Transcript
D I S C I P L I N A
Cálculo I
Mais primitivas e as somas de Riemann Autores André Gustavo Campos Pereira Joaquim Elias de Freitas Roosewelt Fonseca Soares
aula
09
Governo Federal
Revisoras de Língua Portuguesa
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Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara
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Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Pereira, André Gustavo Campos Cálculo I / André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008. 220 p.
1. Cálculo. 2. Funções reais. 3. Reta real. 4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título. ISBN: 978-85-7273-398-4 RN/UF/BCZM
2008/12
CDD 515 CDU 517.2/.3
Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Apresentação
N
a aula 8 (A primitiva), estudamos a primitiva de uma função e calculamos muitas primitivas. Nesta aula, continuaremos o estudo das primitivas e começaremos a trilhar o caminho no sentido de explicar por que as estudamos. Além disso, introduziremos a idéia de como calcular a área sob a curva de uma função.
Objetivos Esperamos que ao final desta aula você tenha compreendido o porquê do estudo das primitivas e saiba calcular a área sob a curva do gráfico de uma função.
Aula 09 Cálculo I
Mais primitivas Na aula 8, vimos que utilizando as regras da derivada da soma, da diferença e de uma constante vezes uma função provamos que cf (x)dx = c f (x)dx
(f (x) + g(x))dx =
(f (x) − g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx
f (x)dx −
g(x)dx.
e
E também que (f (x)g(x) + f (x)g (x))dx = f (x)g(x) + K e
f (x) g(x)
dx =
f (x)g(x) − f (x)g (x) g(x)2
dx =
f (x) + K. g(x)
Nesta aula, calcularemos a primitiva de uma função que envolva a regra da cadeia, ou seja, que envolva compostas. Consideremos g : I → J, f : J → R e F : J → R a primitiva de f. Vimos na aula 5 (Derivadas de funções compostas) que (F (g(x))) = F (g(x)) · g (x) .
Por F ser a primitiva de f, temos que F (y) = f (y) para todo y ∈ J , e podemos reescrever a equação anterior como (F (g(x))) = f (g(x)) · g (x).
Por outro lado, se essa igualdade é verdade para todo x ∈ I , então, por definição, F (g(x)) é a primitiva de f (g(x)) · g (x) e podemos então escrever
f (g(x))g (x)dx = F (g(x)) + K .
(Equação 1)
Na aula 4 (A derivada), fizemos alguns cálculos determinando u = g(x) , o que implica du = g (x) ou, em forma de diferencial, temos du = g (x)dx . Substituindo essa notação dx na equação (1), temos (Equação 2) f (u)du = F (u) + K .
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O processo de transformação da equação (1) na equação (2) pela substituição de u = g(x) e du = g (x)dx é chamado de método da substituição u. Observação Algumas condições sobre as funções g : I → J, f : J → R são necessárias para que possamos realizar tal substituição, entretanto, para um primeiro curso de cálculo, as funções que utilizaremos estarão satisfazendo tais condições.
Exemplo 1 Calcule
(x2 + 1)50 2xdx.
Pelo que foi explicado anteriormente, devemos identificar as funções envolvidas, ou seja, a g : R → R e a f : R → R . Neste exemplo, se olharmos bem, veremos uma composta (x2 + 1)50 envolvendo as funções f (x) = x50 e g(x) = x2 + 1 . Note que se 2 50 considerarmos tais funções temos que (x + 1) 2xdx = f (g(x))g (x)dx , cujo resultado é F (g(x)) + K , onde F é a primitiva da f. Calculemos então F: x51 . F (x) = f (x)dx = x50 dx = 51
Portanto, g(x)51 (x2 + 1)51 2 50 (x +1) 2xdx = f (g(x))g (x)dx = F (g(x))+K = +K = +K 51 51 E a substituição u? Outra maneira é fazendo a substituição u. Se tomarmos u = x2 + 1, então, du = 2x ⇒ du = 2xdx. Assim, podemos reescrever a integral anterior como dx u51 (x2 + 1)51 2 50 (x + 1) 2xdx = u50 du = +K = + K. 51 51
Observação - É importante dar-se conta de que no método da substituição u você controla a escolha de u, mas, uma vez feita a escolha, você não tem controle sobre a expressão resultante para du. Desse modo, no exemplo anterior, escolhemos u = x2 + 1, mas du = 2xdx foi calculado. Afortunadamente, a nossa escolha de u, combinada com du calculado, funcionou perfeitamente para produzir uma integral envolvendo u fácil de calcular. Porém, em geral, o método da substituição u falhará, se o u escolhido e o du calculado produzirem um integrando, no qual persistem expressões envolvendo x, ou se não for possível calcular a integral resultante. Dessa forma, por exemplo, a substituição u = x2 + 1, du = 2xdx não irá funcionar para a integral (x2 + 1)50 2xcos(x)dx, Aula 09 Cálculo I
pois a substituição transformará a integral anterior em u50 cos(x)du , que ainda contém uma expressão envolvendo x.
De uma forma geral, não há um método seguro e rápido para escolher u e, em alguns casos, nenhuma escolha de u funcionará. Em tais casos, outros métodos serão necessários, alguns dos quais serão estudados nas próximas aulas. Fazer a escolha apropriada de u virá com a experiência, mas será útil seguir o roteiro seguinte combinado com um domínio das integrais básicas. (ANTON, 2000, p. 392).
Roteiro 1. Faça a escolha para u, digamos u = g(x). = g (x). 2. Calcule du dx 3. Faça a substituição u = g(x), du = g (x)dx. Neste ponto, toda a integral deve estar em termos de u ; nenhum x deve continuar. Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para u .
4. Calcule a integral resultante, se possível. 5. Substitua u por g(x); assim, a resposta final estará em termos de x. (ANTON, 2000, p. 392).
Exemplo 2 Calcule
sen(x + 9)dx .
Solução De imediato, vemos uma composta sen(x + 9) das funções f (x) = sen(x) e g(x) = x + 9. Note que g (x) = 1 , o que nos garante que a integral anterior pode ser escrita como sen(x + 9)dx = f (g(x))g (x)dx . Encontrando a primitiva da f, temos sen(x)dx = −cos(x) e, portanto,
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sen(x + 9)dx =
f (g(x))g (x)dx = F (g(x)) + K
= −cos(g(x)) + K = −cos(x + 9) + K.
du Outra forma é chamar u = x + 9 ⇒ = 1 ⇒ du = dx ; substituindo u, ud na dx integral, temos sen(u)du = −cos(u) + K = −cos(x + 9) + K .
Exemplo 3 Calcule
cos(5x)dx .
Solução De imediato, vemos uma composta cos(5x) das funções f (x) = cos(x) e g(x) = 5x . Temos, então, que g (x) = 5 . Agora não temos mais que a integral está escrita na forma f (g(x))g (x)dx , pois para que isso ocorresse deveríamos ter a seguinte integral cos(5x)5dx = 5 cos(5x)dx . Ora, mas podemos fazer manipulações com cos(5x)dx para obtermos essa integral. Basta verificar que 1 5 cos(5x)dx = cos(5x)dx = cos(5x)5dx 5 5 1 F (g(x)) = f (g(x))g (x)dx = + K. 5 5 Calculando a primitiva de f, temos
cos(5x)dx =
cos(x)dx = sen(x) e, portanto,
sen(g(x)) sen(5x) +K = + K. 5 5 du
du
Outra forma é chamar u = 5x ⇒ =5⇒ = dx ; substituindo u, ud na integral, dx 5 temos du 1 1 sen(5x) cos(u) = cos(u)du = sen(u) + K = + K. 5 5 5 5
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Exemplo 4 Calcule
sen(x)2 cos(x)dx .
Solução Podemos observar uma composta das funções f (x) = x2 e g(x) = sen(x) . Note que g (x) = cos(x) , o que nos garante que a integral anterior pode ser escrita como
sen(x) cos(x)dx = 2
f (g(x))g (x)dx . Encontrando a primitiva da f, temos
x2 dx =
x3 3
e, portanto, g(x)3 sen(x)3 2 sen(x) cos(x)dx = f (g(x))g (x)dx = F (g(x))+K = +K = +K 3 3 3 3 g(x) sen(x) sen(x)2 cos(x)dx = f (g(x))g (x)dx = F (g(x))+K = +K = +K . 3 3 du Outra forma é chamar u = sen(x) ⇒ = cos(x) ⇒ du = cos(x)dx ; substituindo dx u3 sen(x)3 +K = +K. u, du na integral, temos u2 du = 3 3
Atividade 1 Calcule as seguintes integrais indefinidas (tente encontrar a substituição u. Caso não consiga, poderá enconrar algumas sugestões ao final desta aula) 23 5x4 2 a) 2x(x + 1) dx b) dx x5 + 1 ex d) e2x dx c) 1 + ex dx 2t 2t e) e 1 + e dt f) cos(4θ) 1 − sen(4θ)dθ
g) i)
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√ x x − 3dx
esen(x) cos(x)dx
h)
xcosx(3x2 )dx
A área sob uma curva e as integrais definidas
V
ocê já parou para se perguntar alguma vez na vida qual o significado da área da região limitada superiormente pelo gráfico de uma função y = f (x), que consideraremos por um instante não-negativa em seu intervalo de definição a ≤ x ≤ b ; inferiormente pelo eixo x; e lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b, como mostrado na Figura 1?
y y = f(x)
x a
b
Figura 1 - Área A limitada superiormente pelo gráfico da função y = f (x); inferiormente pelo eixo x ; e lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b .
Vamos pensar juntos: se a curva representa a velocidade instantânea de um automóvel no tempo, então, a área representará a distância percorrida por esse automóvel do instante a ao instante b. Se o gráfico representa a vazão instantânea de um líquido que está fluindo por um dado duto, então, a área representará a quantidade de líquido que fluiu do instante a ao instante b. De maneira geral, sempre que um gráfico é construído para representar algum fenômeno, a área sob o gráfico tem algum significado relativo ao problema modelado. Começaremos tratando do problema de encontrar a área da região limitada superiormente pelo gráfico de uma função y = f (x), que consideramos inicialmente não-negativa em seu intervalo de definição a ≤ x ≤ b ; inferiormente pelo eixo x; e lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b , como mostrado na Figura 1. Suponhamos que a função y = f (x) é contínua no intervalo [a, b]. Ou seja, relembrando, isso significa que lim f (x) = f (c) ou, ainda, que o gráfico de f não tem saltos nem furos x→c em todo o intervalo fechado [a, b]. Aula 09 Cálculo I
Além disso, suponhamos também que f seja limitada superiormente e inferiormente, o que significa dizer que existe um número real positivo K, tal que |f (x)| ≤ K para todo x em [a, b], e que existem os valores máximo e mínimo de f em [a, b].
Somas de Riemann Para calcular a área pretendida, executaremos os seguintes procedimentos:
1. Subdividir
o intervalo fechado [a, b] em n subintervalos usando um conjunto P = {x0 , x1 , · · · , xk−1 , xk , · · · , xn−1 , xn } com n + 1 pontos, onde a = x0 < x1 < · · · < xk−1 < xk < · · · < xn−1 < xn = b, definindo n subintervalos
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xk−1 , xk ], . . . , [xn−1 , xn ]. A um tal conjunto P denominamos de partição de [a, b];
2. Em cada subintervalo fechado [xk−1 , xk ], com k = 1, 2, . . . , n , escolher
xk um ponto, tal que xk−1 ≤ xk ≤ xk . Denotamos por Sk = a área retângulo de base ∆xk e altura f (xkdo )∆x k S = f (x )∆x f (xk ) , ou seja, k k k ;
3. Denominar por An a soma das áreas dos n sub-retângulos definidos anteriormente, isto é, An =
n
Sk =
k=1
n k=1
f (xk ) · ∆xk ;
4. Façamos a quantidade de pontos da partição crescer indefinidamente, ou seja, tender para infinito. Só para termos a noção de que esse limite de fato é a área: faremos o gráfico de f (x) = x2 + 1 no intervalo [−1, 1]; faremos a aproximação por 4, 10 e 30 divisões do domínio [−1, 1]; e tomaremos xk como sendo o ponto médio do subintervalo correspondente.
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a 2
1,5
1
0,5
-1
-0,5
0
0
0,5
1
0 x
0,5
1
0 x
0,5
1
b 2
1,5
1
0,5
-1
-0,5
0
c 2
1,5
1
0,5
-1
-0,5
0
Figura 2 - a) Aproximação da área sob a curva quando tomando partições de 4 e tomando xk como sendo o ponto médio do subintervalo correspondente; b) aproximação da área sob a curva quando tomando partições de 10 e tomando xk como sendo o ponto médio do subintervalo correspondente; c) aproximação da área sob a curva quando tomando partições de 30 e tomando xk como sendo o ponto médio do subintervalo correspondente.
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y 3
2
f( -0,6 )
f( 3,2) 1
f( 2,5)
f( 0,6 )
f( 1,3)
x -1
1
2
3
4
-1
Figura 3 - Uma soma de Riemann da função f (x) = P = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} e com a escolha dos xk s
((x − 7)sin(x)) + 2 para a partição 9
x1 = −0, 6, x2 = 0, 6, x3 = 1, 3, x4 = 2, 5 e x5 = 3, 2 .
Cálculo da área utilizando essa partição AP =
5
f (xk )∆xk ,
k=1
AP = f (−0, 6) · 1 + f (0, 6) · 1 + f (1, 3) · 1 + f (2, 5) · 1 + f (3, 2) · 1 AP = 2, 5 · 1 + 1, 6 · 1 + 1, 4 · 1 + 1, 7 · 1 + 2, 5 · 1 AP = 9, 2
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y
f(x)
x a
b
Figura 4 - Aproximação da área sob a curva usando sete retângulos
Denominamos por norma de P, denotada por P , ao comprimento do maior subintervalo [xk−1 , xk ], k = 1, 2, . . . , n. Observação 1 - No item 1) se representarmos por ∆xk o comprimento do k-ésimo subintervalo [xk−1 , xk ], k = 1, 2, 3, . . . , n , teremos, portanto, ∆xk = xk − xk−1 e n k=1
n k=1
∆xk = b − a , pois ∆xk = ∆x1 + ∆x2 + ∆x3 + · · · + ∆xk + ∆xk+1 + · · · + ∆xn−1 + ∆xn ,
e como ∆xk = xk − xk−1 = −xk−1 + xk , temos n k=1
∆xk = −x0 + x1 − x1 + x2 − x2 + · · · −xk−1 + xk−1 − xk + xk + · · · − xn−1 + xn−1 + xn .
Note que nessa soma todas as parcelas intermediárias se cancelam, restando apenas os extremos –x0 e xn. Portanto, n k=1
∆xk = −x0 + xn = −a + b = b − a .
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Observação 2 - No item 2), se considerarmos a norma P como uma constante, todos os subintervalos [xk−1 , xk ] terão o mesmo comprimento. Assim, ∆xk = ∆x , onde b−a , e podemos escrever An da seguinte forma ∆x = n n n Sk = f (xk ) · ∆x . An = k=1
k=1
Definição 1 Se f : [a, b] → R for positiva e contínua em [a, b], então, a área sob a curva n y = f (x) no intervalo [a, b] é definida por A = lim An = lim f (xk ) · ∆x. n→∞
n→∞
k=1
A observação seguinte é muito importante e, mesmo não sendo oportuno prová-la neste momento do curso, convém deixá-la registrada.
Observação 3 - Esta definição é satisfatória para nossos propósitos nesta disciplina. Conforme já destacamos, queremos ressaltar que apenas a usaremos quando: f : [a, b] → R for contínua, porque nesse caso podemos mostrar que o limite anterior não depende da escolha dos pontos xk , xk−1 ≤ xk ≤ xk , k = 1, 2, . . . , n escolhidos. Antes de apresentarmos os exemplos, discutiremos um pouco sobre o procedimento 4 (das somas de Riemann), a saber, fazer a quantidade de pontos da partição crescer indefinidamente, ou seja, tender para infinito. Vamos lá! Quando tomamos a partição no procedimento 1), iniciamos então com n + 1 pontos, certo? Se queremos que essa quantidade cresça, quem deve crescer: o n ou o 1? Ora, o 1 não tem como crescer, pois ele é fixo, a única quantidade passível de crescimento é o n. Assim, fazer a quantidade de pontos da partição crescer é fazer com que esse n seja cada vez maior, e fazer uma quantidade ficar cada vez maior é fazê-la crescer indefinidamente, e fazê-la crescer indefinidamente é fazê-la se aproximar do infinito ou, em outras palavras, fazê-la tender ao infinito. Então, teremos que o n tomará valores cada vez maiores, por exemplo, n = 10, 100, 1000, 10000, .... . 1 Se isso acontece com n, o que acontece com o valor de ? Quando trabalhamos n com frações, quando o numerador (> 0) está fixo e o denominador cresce, o que acontece com a fração? Ela decresce! Ilustrando isso com os valores anteriores, temos 1 = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, . . . Então, se o denominador tender para infinito (ou seja, n assumir valores cada vez maiores), temos que a fração assumirá valores positivos cada vez menores. Mas se a fração está assumindo valores positivos cada vez menores, teremos que cada vez mais ela estará se aproximando de zero (0), ou seja, a fração tenderá para 0 quando o denominador tender para infinito. Em linguagem de limites, podemos escrever isso como lim
n→∞
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1 = 0. n
Do mesmo modo, temos, quando n tende a infinito, n2 , n3 , . . . , ou seja, todos tenderão para infinito, o que implicará pela explicação anterior: 1 1 1 = lim 3 = lim 4 = . . . = 0 . 2 n→∞ n n→∞ n n→∞ n lim
Com essa idéia em mente, partamos para os exemplos.
Exemplo 5 Seja f : [0, b] → R a função definida por f (x) = x, a função identidade. Apresentamos a seguir o gráfico dessa função.
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
x Figura 5 - Gráfico de f : [0, b] → R , a função definida por f (x) = x.
Solução Na Figura 5, vemos que a região limitada superiormente pelo gráfico, inferiormente pelo eixo x e lateralmente pela reta vertical x = b é um triângulo com base b e altura b. Logo, sua b2 área A é dada por A = . 2 No entanto, estamos interessados em verificar que o processo de aproximação pela soma das áreas de pequenos retângulos dá o mesmo resultado. Seja P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } uma partição do intervalo [0, b], tal que
0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b .
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Note que essa função é contínua, então, podemos tomar valores para os pontos da partição de modo que o comprimento da norma da partição seja constante. Tomemos os seguintes pontos como os da partição x0 = 0, x1 =
b 2b 3b (n − 1)b nb , x2 = , x3 = , . . . , xn−1 = , xn = = b. n n n n n
b Desse modo, as bases dos retângulos são todas de comprimentos iguais a ∆x = n b−0 , ou seja, ∆x = , que é o comprimento do intervalo [0, b] dividido pelo número de n pontos da partição, menos um. Vamos considerar as alturas dos retângulos como sendo f (xk ) , onde k = 1, 2, 3, . . . , n . 2b b nb , f (x2 ) = x2 = , ..., f (xn ) = xn = = b . Logo, n n n se chamarmos de Sn a soma de todos os n retângulos de base ∆xk e altura f (xk ) , obteremos
Então, f (x1 ) = x1 =
b b 2b b (n − 1)b b nb b Sn = + + ... + + n n n n n n n n =
b2 [1 + 2 + . . . + (n − 1) + n]. n2
n(n + 1) , temos 2 b2 n(n + 1) b2 n + 1 b2 1 . Sn = 2 · = · = · 1+ n 2 2 n 2 n
Usando a fórmula 1 + 2 + . . . + (n − 1) + n =
Portanto, concluímos que a área da região é igual ao limite b2 1 b2 lim Sn = lim · 1+ = , n→∞ n→∞ 2 n 2
conforme esperávamos.
Exemplo 6 Vamos considerar agora a função f : [0, b] → R definida por y = f (x) = x2 , a função quadrática. Desejamos encontrar a área A da região limitada superiormente por esse gráfico, inferiormente pelo eixo x e lateralmente pela reta vertical x = b . Estamos interessados em usar o processo de aproximação pela soma das áreas de pequenos retângulos para obter a área desejada A. Seja P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } uma partição do intervalo [0, b], tal que 0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b . 14
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Tomemos novamente os mesmos valores utilizados no exemplo 5 para os pontos da partição: x0 = 0, x1 =
b 2b 3b (n − 1)b nb , x2 = , x3 = , . . . , xn−1 = , xn = = b. n n n n n
b . n Vamos considerar as alturas dos retângulos como sendo f (xk−1 ) , onde k = 1, 2, 3, . . . , n .
Desse modo, as bases dos retângulos são todas de comprimentos iguais a ∆x =
2 2 b 2b (n − 1)b 2 , f (x2 ) = , . . . , f (xn−1 ) = Então, f (x0 ) = f (0) = 0, f (x1 ) = . n n n
Logo, se chamarmos de sn a soma de todos os n retângulos de base ∆x e altura f (xk−1 ) , obteremos 2 2 b b b 2b b (n − 1)b 2 b Sn = 0 · + + + ... + n n n n n n n =
b3 [1 + 22 + . . . + (n − 1)2 ]. n3
Usando a fórmula 1 + 22 + . . . + (n − 1)2 =
(n − 1) · n · (2n − 1) , ficamos com 6
b3 (n − 1) · n · (2n − 1) b3 n − 1 n 2n − 1 , · = · · · n3 6 6 n n n b3 1 1 . Sn = · 1− · 2− 6 n n Sn =
Portanto, concluímos que a área da região é igual ao limite b3 1 1 b3 b3 lim Sn = lim · 1− · 2− = ·2= . n→∞ n→∞ 6 n n 6 3 Resumindo, lim Sn = n→∞
b3 . 3
Atividade 2 Calcule as seguintes somas de Riemann utilizando as partições dadas a seguir.
a) Usando a escolha dos pontos
x ¯k = xk−1 , mostre que a área A sob o
gráfico da função y = x3 no intervalo [0, b] é A =
b4 . 4
b) Usando a escolha dos pontos
x ¯k = xk , ache a área sob o gráfico da função identidade y = x no intervalo [0, b].
c) Usando a escolha dos pontos y=
x2
x ¯k = xk , ache a área sob o gráfico da função
no intervalo [0, b].
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Resumo Nesta aula, a continuação do estudo das primitivas nos permitiu: encontrar primitivas utilizando a técnica da substituição u; e mostrar como se aproxima uma área abaixo de uma curva por retângulos, introduzindo as somas de Riemann, bem como usá-las para calcular áreas de regiões limitadas por gráficos de funções contínuas positivas.
Auto-avaliação 1
escreva com suas palavras o procedimento de aproximação da área sob um D gráfico utilizando retângulos.
2
e no procedimento 2) das somas de Riemann você escolhesse como S xk−1 ≤ xk ≤ xk :
a) tal que f (xk ) é o menor valor que a f assume no intervalo [xk−1 , xk ]; b) tal que f (xk ) é o maior valor que a f assume no intervalo [xk−1 , xk ]. O que poderíamos dizer sobre a soma obtida em a) com relação à soma obtida em b)?
Referências ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1. SIMMONS, George F. Cálculo: com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1. THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
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