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CADERNO DE EXERC´ICIOS C´ alculo infinitesimal Atualizado em:
23/10/2016
Sum´ ario 1 Assintota Horizontal
2
2 Exerc´ıcios Resolvidos: Assintota Vertical
9
3 Exerc´ıcios Resolvidos: Continuidade
13
4 Deriva¸ c˜ ao por Limite
18
5 Limites Laterais
23
6 Limites que Resultam em Indetermina¸ c˜ oes
25
7 Limite Quando x Tende ao Infinito (x→ ±∞)
29
8 Limite de Fun¸ c˜ ao Modular
36
9 Limites de Fun¸ c˜ ao Por Partes
38
10 Limite Simples
40
11 Limite de Fun¸ c˜ oes com Descontinuidade
45
12 Limite de Fun¸ c˜ oes Logaritmas
53
13 Exerc´ıcios Resolvidos: L’hospital
54
14 Provas Com Limites
58
15 Teorema do Confronto (Sandu´ıche)
62
16 Limite de Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas Cont´ınuas em x
66
17 Limite de Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas Com Descontinuidade
68
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
1
Assintota Horizontal
Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como encontrar? 1◦ passo: Calcule lim f (x); x→+∞
2◦ passo: Calcule lim f (x). x→−∞
Se o primeiro limite existir e for igual a a (a ∈ R) ent˜ao a fun¸c˜ao possui uma assintota horizontal passando por (0, a). Se o segundo limite existir e for igual a b (b ∈ R) ent˜ao a fun¸c˜ao possui uma assintota horizontal passando por (0, b).
Exemplo 1: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) =
x2 − 1 x2 + 1
Solu¸ c˜ ao Primeiro calculamos lim f (x) x→∞
x2 − 1 lim x→∞ x2 + 1 1 1 1− 2 1− x = ∞ = 1−0 =1 = lim 1 1 x→∞ 1+0 1+ 2 1+ x ∞
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 1. Agora fazemos lim f (x) x→−∞
x2 − 1 x→−∞ x2 + 1 1 1 1− 2 1− x = ∞ = 1−0 =1 = lim 1 1 x→−∞ 1+0 1+ 2 1+ x ∞
lim
Como ambos os limites s˜ ao iguais ent˜ao a fun¸c˜ao f (x) possui somente uma assintota horizontal, que como j´ a dito passa em y = 1.
2
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
2.
1.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
4.
−1.
−2.
−3.
Gr´ afico de f(x) =
x2 − 1 x2 + 1
Exemplo 2: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) =
3x2 − x − 2 5x2 + 4x + 1
Solu¸ c˜ ao Primeiro calculamos lim f (x) dividindo numerador e denominador da fun¸c˜ao por x2 . x→∞
3x2 − x − 2 x→∞ 5x2 + 4x + 1 3 − (1/x) − (2/x2 ) = lim x→∞ 5 + (4/x) + (1/x2 )
lim
=
3 − (1/∞) − (2/∞) 5 + (4/∞) + (1/∞)
=
3−0−0 3 = 5+0+0 5
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 3/5. Calculando lim f (x) chega-se ao mesmo resultado. Concluindo que a assintota encontrada x→−∞
´e u ´nica.
3
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
2.
1.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
0
2.
3.
4.
−1.
−2.
−3.
3x2 − x − 2 com assintota passando por (0, 3/5) Gr´ afico de f(x) = 5x2 + 4x + 1
√ Exemplo 3: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) = Solu¸ c˜ ao Primeiro calculamos lim f (x) x→∞
√ lim
x→∞
2x2 + 1 3x − 5
!
√
= lim
x→∞
√1 2x2 + 1 x2 √1 (3x − 5) x2
!
p
= lim
x→∞
2 − (1/x2 ) (3x/|x|) − (5/|x|)
!
Como x → ∞ ent˜ ao |x| = x. p
= lim
x→∞
2 − (1/x2 ) (3x/x) − (5/x)
!
p = lim
x→∞
2 − (1/x2 ) 3 − (5/x)
!
p √ √ 2 − (1/∞) 2−0 2 = = = 3 − (5/∞) 3−0 3 √ Assim f(x) possui assintota horizontal em y =
2 . 3 √
Calculando lim f (x) chegamos at´e o resultado de − x→−∞
4
2 . 3
2x2 + 1 3x − 5
Exerc´ıcios Resolvidos √
2x2 + 1 3x − 5
lim
x→−∞
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
!
√
= lim
x→−∞
√1 2x2 + 1 x2 √1 (3x − 5) x2
!
p
= lim
x→−∞
2 − (1/x2 ) (3x/|x|) − (5/|x|)
!
Como x → −∞ ent˜ ao |x| = −x. ! p 2 − (1/x2 ) lim = lim x→−∞ x→−∞ (−3x/x) + (5/x)
! p 2 − (1/x2 ) −3 + (5/x)
s
1 √ √ √ x→−∞ x→−∞ x→−∞ x 2+1·0 2 2 = = = =− 1 −3 − 5 · 0 −3 3 lim (−3) − lim (5) · lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ x lim (2) + lim (1) · lim
√ Assim a fun¸c˜ ao f(x) possui uma segunda assintota passando pelo ponto (0, −
2 ). 3
3.
2.
1.
g
−7.
−6.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
0
f h
1.
2.
3.
4.
5.
6.
−1.
−2.
−3.
−4.
Gr´ afico da fun¸ c˜ ao f(x) com suas duas ass´ıntotas.
Exemplo 4: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) = 5
√
x2 + 1 − x
7.
8.
Exerc´ıcios Resolvidos
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Solu¸ c˜ ao Primeiro calculamos lim
x→∞
p
= lim
x→∞
x2
p x2 + 1 − x
√x2 + 1 + x +1−x √ x2 + 1 + x
(x2 + 1) − x2 1 = lim √ = lim √ x→∞ x→∞ x2 + 1 + x x2 + 1 + x Finalmente divide-se denominador e numerador por √ 2 1/ x = lim q √ √ x→∞ 2 2 2 2 (x / x ) + (1/x ) + (x/ x )
x→∞
p
x2 .
!
1/|x|
= lim
√
1 + (1/|x|) + (x/|x|)
Como x → ∞ ent˜ ao |x| = x. !
1/x
= lim
x→∞
p
1 + (1/x) + (x/x) !
1/x
= lim
x→∞
p
1 + (1/x) + 1
1/∞ =r 1 1+ +1 ∞ =√
0 =0 1+0+1
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 0. Calculando lim f (x) chega-se ao mesmo resultado. Concluindo que a assintota encontrada x→−∞
´e u ´nica. Exemplo 5: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) = √
x x2 + 1
Solu¸ c˜ ao Primeiro calcula-se lim f (x) dividindo numerador e denominador de f(x) por x→∞
lim
x→∞
√
x
x2 + 1 6
√
x2
Exerc´ıcios Resolvidos
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x √ √ 2 x/ x2 x = lim q = lim s x→∞ x→∞ 1 + √1x2 x2 1 √ + x2 x2 x/|x| = lim q x→∞ 1 1 + |x| Como x → ∞ ent˜ ao |x| = x. x/x = lim q x→∞ 1+ 1 =q 1+ =√
1 x
1 = lim q x→∞ 1+
1 x
1 ∞
1 =1 1+0
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 1. Para verificar a existˆencia de uma segunda ass´ıntota calculamos agora lim f (x) dividindo x→−∞ √ numerador e denominador de f(x) por x2 . x √ lim x→−∞ x2 + 1 x √ √ 2 x/ x2 x = lim s = lim q x→−∞ x→−∞ 1 + √1x2 x2 1 √ + x2 x2 x/|x| = lim q x→−∞ 1 1 + |x|
x/|x| lim q 1 1 + |x|
x→−∞
Como x → −∞ ent˜ ao |x| = −x e ent˜ao (−x/x) lim r 1 1− x
x→−∞
−1 = lim q x→−∞ 1−
1 x
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lim (−1)
−1 −1 = √1 − 0 = √1 = −1 1 lim (1) − lim x→−∞ x→−∞ x
=s
x→−∞
Assim f(x) possui uma segunda ass´ıntota horizontal em y = −1.
1.
g
−4. f h
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
−1.
−2.
Gr´ afico de f(x) com suas duas ass´ıntotas
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 8
Exerc´ıcios Resolvidos
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Exerc´ıcios Resolvidos: Assintota Vertical Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como encontrar? Se lim f (x) = x→a
b , com a, b ∈ R ent˜ ao a fun¸c˜ao possui uma assintota vertical em x = a. 0
Exemplo 1: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) =
2x x−3
Solu¸ c˜ ao: Primeiro fazemos o denominador igual a zero. x−3=0⇒x=3 Agora calculamos o limite de f(x) com x tendendo a 3. 2x lim x→3 x − 3 =
2(3) 6 = 3−3 0
b Como o resultado do limite ´e uma singularidade do tipo existe uma assintota vertical em 0 x = 3.
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Exerc´ıcios Resolvidos
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8. 6. 4.
f
2.
−12.−10.−8. −6. −4. −2.
0 2.
4.
6.
8. 10.
−2. −4. −6. −8. −10.
Gr´ afico da fun¸ c˜ ao f(x) com sua assintota vertical passando pelo ponto (3, 0).
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 2: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) = tg(x) Solu¸ c˜ ao: sen(x) e que cos(x) = 0 para x = {π/2, 3π/2, ...}. cos(x) Assim podemos afirmar que existe uma assintota vertical em x = π/2, 3π/2, .... Sabe-se que tg(x) =
Exemplo 3: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) =
3 x−3
Solu¸ c˜ ao: Fazendo o denominador igual a zero chegamos a x = 3. x−3=0⇒x=3 Agora calculamos o limite da fun¸ca˜o com x tendendo a 3. 3 3 3 lim = = x→3 x − 3 3−3 0 b Como o resultado do limite ´e uma singularidade do tipo existe uma assintota vertical em 0 x = 3.
Exemplo 4: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) =
2x3 − 3x2 + x 2x3 + 5x2 − 3x
Solu¸ c˜ ao: Temos de descobrir primeiro qual, ou quais, os valores de x para que 2x3 − 3x2 + x = 0. Fatorando 2x3 − 3x2 + x chegamos aos valores de 0, -3 e 1/2. 2x3 − 3x2 + x = x(x + 3)(2x − 1) Agora vamos verificar cada um desses resultados. Quando x tende a zero: 3 2x − 3x2 + x x(2x − 1)(x − 1) lim = lim x→0 2x3 + 5x2 − 3x x→0 x(x + 3)(2x − 1) x(2x − 1)(x − 1) x−1 1 = lim = lim =− x→0 x(x + 3) − 1) x→0 x + 3 (2x 3 Quando x tende a -3: 3 2x − 3x2 + x x(2x − 1)(x − 1) lim = lim x→−3 2x3 + 5x2 − 3x x→−3 x(x + 3)(2x − 1) 11
Exerc´ıcios Resolvidos
= lim
x→−3
x(2x − 1)(x − 1) − x(x + 3) (2x 1)
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= lim
x→−3
x−1 x+3
=
−3 − 1 −4 = −3 + 3 0
Quando x tende a 0.5: 3 2x − 3x2 + x x(2x − 1)(x − 1) lim = lim x→0.5 2x3 + 5x2 − 3x x→0.5 x(x + 3)(2x − 1) x(2x − 1)(x − 1) 0.5 − 1 0.5 x−1 = lim = =− = lim x→0.5 x(x + 3) x→0.5 x + 3 0.5 + 3 3.5 (2x − 1) Perceba que somente para x tendendo a −3 o resultado do limite ´e uma singularidade do tipo b Assim ocorre uma u ´nica ass´ıntota vertical passando em x = −3. 0
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
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Exerc´ıcios Resolvidos: Continuidade Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 Como saber se uma fun¸ c˜ ao ´ e cont´ınua? Uma fun¸c˜ ao f (x) ´e continua em a ∈ R se: i) f(a) existe; ii) O lim f (x) existir; x→a
iii) lim f (x) = f (a) x→a
Propriedades:
1. Toda fun¸c˜ ao polinomial ´e cont´ınua em o R. 2. Toda fun¸c˜ ao racional (divis˜ ao de polinˆomios) ´e cont´ınua em seu dom´ınio. 3. As fun¸c˜ oes sen(x), cos(x) e ex s˜ao cont´ınuas em todo R. 4. Se f e g s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas em um ponto a, ent˜ao: 4.1) f ± g ´e cont´ınua em a; 4.2) f · g ´e cont´ınua em a; 4.3) f/g ´e cont´ınua em a se g(a) 6= 0; 5. Se f e g s˜ ao cont´ınuas em a, ent˜ao a fun¸c˜ao composta g ◦ f tamb´em ´e cont´ınua em a. 6. A fun¸c˜ ao ln(g(x)) ´e cont´ınua apenas para g(x) > 0.
Exemplo 1: Verifique se a fun¸c˜ ao a baixo ´e descont´ınua em 1. 3x − 5 se x 6= 1 f(x) = 2 se x = 1 Solu¸ c˜ ao: i) f(1) = 2 ii) lim f (x) = lim (3x − 5) = −2 x→1
x→1
iii) Como 2 6= 2, ent˜ ao a fun¸c˜ ao n˜ ao ´e cont´ınua em x = 1.
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 2: Verifique se a fun¸c˜ ao a baixo ´e descont´ınua em -2. 2 x + 2x se x ≤ −2 f(x) = x3 − 6x se x > −2 Solu¸ c˜ ao: i) f(-2) = (−2)2 + 2(−2) = 0; lim (x2 + 2x) = 0 x→−2− ii) lim f (x) = lim lim + (x3 − 6x) = 4 x→−2 x→−2 x→−2
Assim conclui-se que:
lim f (x) n˜ao existe (limites laterais distintos), e a fun¸c˜ao n˜ao ´e
x→−2
cont´ınua.
Exemplo 3: Verifique se a fun¸c˜ ao a baixo ´e descont´ınua em -1. f(x) =
x2 + 1 x3 + 1
Solu¸ c˜ ao: i) Como f(-1) n˜ ao existe ent˜ ao a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua.
Exemplo 4: Para que valores a fun¸c˜ao f(x) = ln
x−1 x+2
´e continua?
Solu¸ c˜ ao: A fun¸c˜ ao ln(g(x)) ´e continua para todo g(x) > 0 assim: x−1 x−1>0 e x+2>0⇒x>1 = x − 1 < 0 e x + 2 < 0 ⇒ x < −2 x+2 Logo a fun¸c˜ ao ´e continua para x < −2 e x > 1.
Exemplo 5: Para que valores de x a fun¸c˜ao f (x) =
esen(x) √ ´e descont´ınua? 4 − x2 − 9
Solu¸ c˜ ao: Como toda fun¸ ao racional ´e continua em seu dom´ınio e o dom´ınio de f(x) ocorre para √ √c˜ 4 − x2 − 9 6= 0 e x2 − 9 ≥ 0, ent˜ ao f (x) ´e continua para x ≤ −3 e x ≥ 3 excerto para x = ±5. 4−
p
x2 − 9 6= 0 ⇒ x 6= ±5
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Exerc´ıcios Resolvidos
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p x2 − 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 e x ≤ −3
x−1 √ se x > 1 x−1 Exemplo 6: Para que valores de x a fun¸ca˜o f (x) = 5 − 3x se − 2 ≤ x ≤ 1 ´e continua? 6 se x < −2 x−4 Solu¸ c˜ ao: x−1 ´e cont´ınua para x > 1; Note que f(x) = √ 1−1 Do mesmo modo f(x) = 5 − 3x ´e continua em todo R, pois ´e uma fun¸c˜ao polinomial; E por fim verifica-se que
6 ´e cont´ınua para x < -2. x−4
A fun¸c˜ ao parece ser continua em todo o R, mas ainda pode haver descontinuidades do tipo salto em x = −2, e x = 1. TESTANDO A CONTINUIDADE EM 1 x−1 = lim− (5 − 3x) = 2 que implica na existˆencia de lim f (x) i) lim+ √ x→1 x−1 x→1 x→1 ii) f (1) = 2 iii) Como f(1) = lim f (x) ent˜ ao a fun¸c˜ao ´e continua em 1. x→1
TESTANDO A CONTINUIDADE EM -2 i)
lim (5 − 3x) = 11
x→−2+
lim
x→−2−
6 x−4
= −1
Como os limites laterais s˜ ao distintos ent˜ao conclui-se que n˜ao existe limite de f(x) quando x = 2. Portanto f(x) ´e descont´ınua para x = 2.
Exemplo 7: Para que valores de x a fun¸c˜ao ´e f (x) =
x2 + 3x + 5 cont´ınua ? x2 + 3x − 4
Solu¸ c˜ ao: A fun¸c˜ ao ´e continua para qualquer valor de x exceto quando isso levar o denominador da fun¸c˜ ao ser igual a zero. Ou seja:
15
Exerc´ıcios Resolvidos
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x2 + 3x − 4 6= 0 (x − 1)(x + 4) 6= 0 ⇒ x 6= 1; x 6= −4 Portanto, a fun¸c˜ ao ´e continua para todo x ∈ R − {1; −4}
Exemplo 8: Para que valores de x a fun¸c˜ao ´e g(x) = (sin(x20 + 5))1/3 cont´ınua ? Solu¸ c˜ ao: Primeiro devemos verificar a continuidade da fun¸c˜ao x20 + 5. Contudo, facilmente se percebe que essa fun¸c˜ ao ´e sempre cont´ınua. Como as fun¸c˜ oes seno e cosseno s˜ao sempre cont´ınuas ent˜ao se conclui que a fun¸c˜ao ´e continua para todo valor de x.
Exemplo 9: Determine todos os valores da2 constante A para que a seguinte fun¸c˜ao seja A x − A se x ≥ 3 cont´ınua para todos os valores de x. f (x) = 4 se x < 3 Solu¸ c˜ ao: Como fun¸c˜ oes polinomiais s˜ ao cont´ınuas para todo o R ent˜ao s´o resta supor a cont´ınua em x = 3. Se f(x) ´e cont´ınua em 3 ent˜ ao: lim f (x) = lim f (x)
x→3+
x→3−
3A2 − A = 4 3A2 − A − 4 = 0 ⇒ A = 4/3; A = −1 Solu¸ca˜o: A = 4/3 ou -1.
Exemplo 10: Verifique se a fun¸c˜ ao a baixo ´e descont´ınua em -3. √ x + 19 − 4 se x 6= −3 x+3 f(x) = 1 se x = −3 8 Solu¸ c˜ ao: i) Primeiro verificamos o limite.
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Exerc´ıcios Resolvidos
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√
x + 19 − 4 lim x→−3 x+3 √ √ x + 19 − 4 x + 19 + 4 = lim ·√ x→−3 x+3 x + 19 + 4 = lim
(x + 19) − 16 √ (x + 3)( x + 19 + 4)
= lim
x+3 √ (x + 3)( x + 19 + 4)
x→−3
x→−3
= lim √ x→−3
1 1 1 =√ = 8 x + 19 + 4 16 + 4
ii) Agora calculamos f(-3). 1 f (−3) = . 8 √ x + 19 − 4 = f (−3) ent˜ao a fun¸c˜ao ´e cont´ınua em 3. iii) Como lim x→−3 x+3
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 17
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Deriva¸c˜ ao por Limite
Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Utilizamos duas f´ ormulas f (x + h) − f (x) (1) h→0 h f (x) − f (a) 0 f (a) = lim (2) x→a x−a
f 0 (x) = lim
Onde (1) fornece a derivada da fun¸c˜ao e (2) o valor da derivada no ponto a.
Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) =
1 3 x− . 2 5
Solu¸ c˜ ao: O que desejamos ´e determinar uma fun¸c˜ao f 0 (x), portanto utilizaremos a f´ormula 1.
(1/2)(x + h) − (3/5) − 0 f (x) = lim h→0 h
Logo f 0 (x) =
1 3 1 x− h 2 5 = 2 = 1 h 2
1 2
Exemplo 2: Calcule a derivada de f(x) = 5x2 − 3x + 7. Solu¸ c˜ ao: O que desejamos ´e determinar uma fun¸c˜ao f 0 (x), portanto utilizaremos a f´ormula 1.
0
f (x) = lim
h→0
5(x + h)2 − 3(x + h) + 7 − (5x2 − 3x + 7) h
f 0 (x) = lim (10x + 5h − 3) = 10x − 3 h→0
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 3: Calcule a derivada de f(x) = cos(3x). Solu¸ c˜ ao: f 0 (x) = lim
h→0
cos(3(x + h)) − cos(3x) h
0
f (x) = lim
h→0
cos(3x + 3h) − cos(3x) h
Como cos(A+B) = cos(A)cos(B) − sen(A)sen(B).
0
cos(3x)cos(3h) − sen(3x)sen(3h) − cos(3x) h
f (x) = lim
h→0
f 0 (x) = lim
h→0
0
f (x) = lim
h→0
f 0 (x) = lim
h→0
cos(3x)(cos(3h) − 1) − sen(3x)sen(3h) h
cos(3x)(cos(3h) − 1) sen(3x)sen(3h) − lim h→0 h h
sen(3h) cos(3h − 1) · 3cos(3x) − lim · 3sen(3x) h→0 3h 3h
f 0 (x) = 0 · 3cos(3x) − 1 · 3sen(3x) f 0 (x) = −3sen(3x)
Exemplo 4: Calcule a derivada de f 0 (2) sendo f(x) = x2 –3x + 4. Solu¸ c˜ ao: Diferente dos outros exerc´ıcios at´e agora o que desejamos aqui ´e apenas o valor de f 0 (2). Assim usaremos a f´ ormula (2).
f 0 (2) = lim
h→2
0
f (2) = lim
h→2
(x2 − 3x + 4) − (22 − 3(2) + 4) x−2
x2 − 3x + 2 x−3
f 0 (2) = lim
h→2
= lim
h→2
(x − 2)(x − 1) x− 2
19
(x − 2)(x − 1) x−2
= lim (x − 1) h→2
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
f 0 (2) = 2 − 1 = 1
Exemplo 5: Encontre a derivada da fun¸c˜ao f (x) = 4 −
√
x + 3.
Solu¸ c˜ ao: lim
4−
p
h→0
√ = lim
(x + h) + 3 − 4 − h
x+3−
h→0
√
√
x+3
!
! p (x + h) + 3 h
! p p √ (x + h) + 3 x + 3 + (x + h) + 3 p = lim ·√ h→0 h x + 3 + (x + h) + 3 √ 2 2 p − x + 3 (x + h) + 3 = lim √ p h→0 h x + 3 + (x + h) + 3 x+3−
x + 3 − (x + h) − 3 = lim √ p h→0 h x + 3 + (x + h) + 3 x + 3 − x − h − 3 = lim √ p h→0 h x + 3 + (x + h) + 3
= lim − √ h→0 h x+3+
h p
(x + h) + 3
1 = lim − √ p h→0 x + 3 + (x + h) + 3 = − √
x+3+
1 p
1 1 =− √ =− √ √ x + 3 + x + 3 2 x +3 (x + 0) + 3
Exemplo 6: Encontre a derivada da fun¸c˜ao f (x) = Solu¸ c˜ ao:
20
x+1 . 2−x
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
(x + h) + 1 x + 1 − 2 − (x + h) 2 − x lim h→0 h
(x + h) + 1 x+1 = lim − h→0 h(2 − x + h) h(2 − x) h2 (2 + 1) = lim h→0 h2 (2 − x − h)(2 − x) =
3 (2 − x − 0)(2 − x)
=
3 (2 − x)2
Exemplo 7: Encontre o valor da derivada de f (x) = 2x2 + 1 no ponto x = 3. Solu¸ c˜ ao: Utilizando a f´ ormula (2): 2 2x + 1 − (2(3)2 + 1) lim x→3 x−3 2 (x − 3)(2x + 6) 2x − 18 = lim = lim (2x + 6) = 2(3) + 6 = 12 = lim x→3 x→3 x→3 x−3 x−3
Exemplo 8: Calcule o valor da derivada de f (x) =
x3 + 4 no ponto x = 5. x2 − 5
Solu¸ c˜ ao: Utilizando a f´ ormula (2): 3 x + 4 53 + 4 x2 − 5 − 52 − 5 lim x→5 x−5
3 x + 4 6.45(x2 − 5) x3 + 4 − x2 − 5 − 6.45 2 (x2 − 5) = lim x − 5 = lim x→5 x→5 x−5 x−5
= lim
x→5
x3 + 4 − 6.45x2 + 32.25 (x − 5)(x2 − 5)
= lim
x→5
x3 − 6.45x2 + 36.25 (x − 5)(x2 − 5)
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Exerc´ıcios Resolvidos
(x − 5)(x2 − 1.45x − 7.25) (x − 5)(x2 − 5)
x2 − 1.45x − 7.25 x2 − 5
= lim
x→5
= lim
x→5
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=
(5)2 − 1.45(5) − 7.25 10.5 = = 0.525 2 (5) − 5 20
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 22
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
5
Limites Laterais
Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016
Exemplo 1: Verifique se existe lim (1 +
√
x→3
x − 3) usando limites laterais.
Solu¸ c˜ ao: A fun¸c√ ao n˜ ˜ ao existe para x → 3−√, pois n˜ao pode haver raiz negativa. Logo n˜ao existe lim (1 + x − 3) e portanto lim (1 + x − 3) tamb´em n˜ao existe.
x→3−
x→3
Exemplo 2: Verifique se lim f (x) existe usando limites laterais sendo: x→0 ( −|x| , se x 6= 0 f (x) = x 1, sex = 0 Solu¸ c˜ ao: x −|x| − x se x > 0 = − −x se x < 0 x x Vamos considerar agora os limites laterais: −x lim− − =1 x x→0 x lim+ − = −1 x x→0 Como os limites laterais s˜ ao diferentes ent˜ao n˜ao existe lim f (x). x→0
Exemplo 3: Verifique se lim f (x) existe usando limites laterais sendo: x→2 2 x + 1 para se x < 2 2 para x = 2 f (x) = 9 − x2 para x > 2 Solu¸ c˜ ao: Para x > 2 f (x) = 9 − x2 lim (9 − x2 ) = 9 − 22 = 5
x→2+
23
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Para x < 2 f (x) = x2 + 1 lim (x2 + 1) = 22 + 1 = 5
x→2−
Como os limites laterais s˜ ao iguais ent˜ao: lim (9 − x2 ) = lim− (x2 + 1) = lim f (x) = 5
x→2+
x→2
x→2
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Limites que Resultam em Indetermina¸co ˜es Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Por mais que se tente alguns limites n˜ao podem ser calculados. Essa ultima afirma¸c˜ ao da margem a eterna pergunta: “como ´ e que eu sei se um limite tˆ em solu¸ c˜ ao?”. A melhor forma ´e conhecer o gr´ afico da fun¸c˜ao. Por exemplo, considere o gr´afico de f(x) abaixo.
´ evidente Temos dois pontos interessantes aqui. O ponto que ocorre em x = -1 e em x = 6. E que f(x) n˜ ao existe para x = -1, mas note que tanto pela direita como pela esquerda a fun¸c˜ao est´ a tendendo para 5. Assim o limite de f(x) quando x tende a -1 ´e 5. No entanto quando f(x) se aproxima de 6 pela esquerda a fun¸c˜ao de aproxima de 5. Quando se aproxima pela direita f(x) tende a 1. Como os limites laterais s˜ao diferentes ent˜ao n˜ao existe limite de f(x) quando x tende a 6. De um modo geral uma fun¸c˜ ao n˜ ao tˆem limite quando apresenta uma descontinuidade do tipo “salto” como ocorre em x = 6, ou se a fun¸c˜ao possui uma assintota vertical no ponto para o qual o x est´ a tendendo (caso mais comum).
Exemplo 1: Calcule lim
x→3
x2 + x + 2 x2 − 2x − 3
Solu¸ c˜ ao: Primeiro vamos partir da premissa de que o limite exista. Assim vamos verificar se ´e poss´ıvel remover a indetermina¸c˜ ao que ter´ıamos caso fiz´essemos a substitui¸c˜ao do x pelo 3.
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Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
A primeira coisa que podemos tentar ´e fatorar o numerador ou denominador da fun¸c˜ao. Contudo, apesar do denominador ser fator´avel o numerador n˜ao ´e. lim
x→3
x2 + x + 2 x2 − 2x − 3
= lim
x→3
x2 + x + 2 (x + 1)(x − 3)
Assim por meio da fatora¸c˜ ao n˜ ao conseguiremos eliminar a indetermina¸c˜ao. Vamos agora testar a possibilidade do limite n˜ao existir. Primeiro fazemos f(3). f (x) =
x2 + x + 2 x2 − 2x − 3
⇒ f (3) =
32 + 3 + 2 14 14 = = 32 − 2(3) − 3 4·0 0
O resultado (zero no denominador), sugere a existˆencia de uma assintota vertical1 em x = 3. Se isso ocorrer ent˜ ao o limite acima n˜ao ter´a mesmo solu¸c˜ao. Pois, os valores a direita e a esquerda da ass´ıntota ser˜ ao diferentes. Aproxima¸ c˜ ao pela esquerda f (2.999) = −3499.13 f (2.9999) = −34999.13 Aproxima¸ c˜ ao pela direita f (3.001) = 3500.88 f (3.0001) = 35000.88 Observe que quando f(x) tende a 3 pela esquerda obtemos um valores muito pequenos e quando tende a trˆes pela direita obtemos valores muito grandes. Assim como uma varia¸c˜ao muito grande entre eles. Com isso se conclui que a assintota vertical realmente existe e que que portanto o limite em quest˜ ao n˜ ao tˆ em solu¸ c˜ ao. Exemplo 2: Verifique se existe o limite lim
x→0
x4 + 5x − 3 √ 2 − x2 + 4
Solu¸ c˜ ao: Novamente partimos da premissa que o limite existe. Para retirar a indetermina¸c˜ ao que ter´ıamos, caso substitu´ıssemos o x por zero, vamos multiplicar a fun¸c˜ ao pelo conjugado do denominador. 1 Ver
assintota vertical.
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Exerc´ıcios Resolvidos
= lim
x→0
= lim
x→0
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! √ (x4 + 5x − 3)(2 + x2 + 4) √ √ (2 − x2 + 4)(2 + x2 + 4) ! √ (x4 + 5x − 3)(2 + x2 + 4) (4 − (x2 + 4))
= lim
! √ (x4 + 5x − 3)(2 + x2 + 4) = lim x→0 (4 − x2 − 4)
= lim
(x4 + 5x − 3)(2 + − x2
= lim
(x4 + 5x − 3)(2 + − x2
x→0
x→0
x→0
√
x2 + 4)
! = lim
x→0
√
x2 + 4)
(x4 + 5x − 3)(2 + −x2
√
x2 + 4)
(x4 + 5x − 3)(2 + − x2
√
!
x2 + 4)
!
!
Mesmo aplicando a t´ecnica acima ainda n˜ao foi poss´ıvel remover a indetermina¸c˜ao. Veja: ! ! √ √ (x4 + 5x − 3)(2 + x2 + 4) (04 + 5(0) − 3)(2 + 02 + 4) lim − = − x→0 x2 02 =
0 3·0 = =∞ 0 0
Vamos ent˜ ao testar agora a possibilidade da n˜ ao existˆencia deste limite. Calculamos f (0). f (x) =
x4 + 5x − 3 −3 0 + 5(0) − 3 √ √ = ⇒ f (0) = 2 0 2 − 0 + 4 2− x +4
O resultado acima (zero no denominador) sugere uma assintota vertical em x = 0. Vejamos como a fun¸c˜ ao se comporta perto de zero. Aproxima¸ c˜ ao pela esquerda f(-0.001) = 12020000.76 f(-0.0001) = 1200200113.89 Aproxima¸ c˜ ao pela direita f(0.001) = 11980000.75 f(0.0001) = 1199800113.86 Observe que quando x tende a 0 tanto pela esquerda como pela direita obtemos valores muito grandes. Em outras palavras, a medida que nos aproximamos do zero f (x) tende ao “infinito”. Com isso se conclui que o limite em quest˜ao realmente n˜ao tˆem solu¸c˜ao.
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 3: Verifique se existe lim
x→0
x2 − 1 x
Solu¸ c˜ ao: Aparentemente n˜ ao existe nada que possamos fazer para remover a indetermina¸c˜ao de f(0). O que nos leva a crer que o limite sugerido n˜ao exista. Calculando f(0) ter´ıamos: f (0) =
02 − 1 −1 = 0 0
Esse resultado sugere uma assintota vertical em x = 0. Testando numericamente essa fun¸c˜ao chega-se a conclus˜ ao de que essa ass´ıntota de fato existe e portanto, o limite n˜ ao tˆ em solu¸ c˜ ao.
Exemplo 4: Calcule lim
x→1
x2 + 1 x2 − 4x + 3
Solu¸ c˜ ao: Fatorando o denominado ainda n˜ ao conseguimos remover a indetermina¸c˜ao. Pois, embora o denominador seja fatur´ avel o numerador n˜ao ´e. lim
x→1
x2 + 1 2 x − 4x + 3
= lim
x→1
x2 + 1 (x − 1)(x − 3)
Calculando f(1) ter´ıamos: f (x) =
x2 + 1 x2 − 4x + 3
⇒ f (1) =
2 12 + 1 = 2 1 − 4(1) + 3 0
Esse resultado sugere uma ass´ıntota vertical em x = 1. Testando numericamente a fun¸c˜ao x2 + 1 f (x) = 2 constatamos essa teoria. x − 4x + 3 Assim o limite requerido n˜ ao possui solu¸c˜ao.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Limite Quando x Tende ao Infinito (x→ ±∞) Contato:
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Atualizado em 08/05/2016 Como se calcula? A estrat´egia ´e dividir cada termo da fun¸c˜ao por xn , onde n ´e o maior expoente de x na fun¸c˜ao. Exemplo 1: Encontre o valor de lim
x→∞
3x + 4 √ 2x2 − 5
Solu¸ c˜ ao: O maior expoente de x ´e 2. Contudo, como x2 est´a no interior de uma raiz quadrada usa-se √ 2 para divis˜ ao x do numerador e denominador da fun¸c˜ao. lim
x→∞
3x + 4 √ 2x2 − 5
√1 (3x x2
+ 4) + (4/|x|) = lim (3x/|x|) r = lim √ x→∞ x→∞ 1 5 2 √ 2x − 5 2− 2 2 x x Como x → ∞ ent˜ ao |x| = x, assim
(3x/|x|) + (4/|x|) + (4/x) = lim (3x/x) = lim 3r+ (4/x) r r lim x→∞ x→∞ x→∞ 5 5 5 2− 2 2− 2 2− 2 x x x 3+0 3 =√ =√ 2−0 2
3x + 4 Exemplo 2: Calcule lim √ x→−∞ 2x2 − 5 Solu¸ c˜ ao: Observe que este limite ´e idˆentico ao limite anterior excerto pelo valor ao qual x est´a tendendo, no caso −∞. 1 Dividindo numerador e denominador da fun¸c˜ao por √ . x2
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Exerc´ıcios Resolvidos
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1 √ · (3x + 4) x2 = lim √ 1 x→−∞ √ · 2x2 − 5 x2
lim
x→−∞
3x + 4 √ 2x2 − 5
(3x/|x|) + (4/|x|) r = lim x→−∞ 2x2 5 − x2 x2 Como x → −∞ ent˜ ao |x| = −x, assim
4 −3 − x (3x/|x|) + (4/|x|) − (4/x) = lim (−3x/x) = lim r r r lim x→−∞ x→∞ x→−∞ 5 5 5 2x2 2x2 2− 2 − 2 − 2 x x2 x x2 x 1 lim (−3) − lim (4) · lim x→∞ x→∞ x→∞ x −3 − 4 · 0 =s = √2 − 5 · 0 1 lim (2) − lim (5) · lim x→∞ x→∞ x→∞ x2 −3 − 0 3 =√ = −√ 2−0 2
Exemplo 3: Calcule lim
x→∞
100 2 x +5
Solu¸ c˜ ao: Dividindo numerador e denominador da fun¸c˜ao por x2 100 lim x→∞ x2 + 5 100/x2 100/|x| = lim = lim x→∞ 1 + (5/|x|) x→∞ (x2 /x2 ) + (5/x2 ) Como x → ∞ ent˜ ao |x| = x, assim lim
x→∞
=
100/|x| 1 + (5/|x|)
= lim
x→∞
100/x 1 + (5/x)
0 =0 1+0
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Exerc´ıcios Resolvidos
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s Exemplo 4: Calcule lim x→∞
x3 + 7x 4x3 + 5
Solu¸ c˜ ao: 1 Dividindo denominador e numerador da fun¸c˜ao por √ x3 s 1 s √ x3 + 7x 3 x3 + 7x lim = lim · x 3 3 x→∞ x→∞ 4x + 5 4x + 5 √1 x3 s s ! ! (x3 /x3 ) + (7x/x3 ) 1 + (7/x2 ) = lim = lim x→∞ x→∞ (4x3 /x3 ) + (5/x3 ) 4 + (5/x3 ) r =
1 1+0 = 4+0 2
Exemplo 5: Calcule lim
x→∞
log
x6 − 500 x6 + 500
Solu¸ c˜ ao: 6 6 x − 500 x − 500 lim log = log lim x→∞ x→∞ x6 + 500 x6 + 500 Para encontrar lim
x→∞
lim
x→∞
=
x6 − 500 x6 + 500
(x6 /x6 ) − (500/x6 ) (x6 /x6 ) + (500/x6 )
dividimos numerador e denominador da fun¸c˜ao por x6
= lim
x→∞
1 − (500/x6 ) 1 + (500/x6 )
1−0 1 = =1 1+0 1 6 x − 500 log =0 x→∞ x6 + 500
Por fim calculamos log10 (1) que ´e igual a zero. Assim lim
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Exemplo 6: Calcule lim
x→∞
x2 − 5x + 1 3x + 7
Solu¸ c˜ ao: 1 2 (x − 5x + 1) x2 − 5x + 1 2 lim = lim x 1 x→∞ x→∞ 3x + 7 (3x + 7) x2 1 − 5/x + 1/x2 1−0+0 1 = lim = = =∞ 2 x→∞ 3/x + 7/x 0+0 0
Exemplo 7: Calcule lim
x→∞
x (x3 + 10)1/3
Solu¸ c˜ ao: lim
x→∞
x (x3 + 10)1/3
x→∞
=
= lim
1 √ 3 3 x
x→∞
1 √ 3 3 · x x (x3 + 10)1/3
1 (1 + 0)1/3
=
1 √ 3 1
=1
Exemplo 8: Calcule lim
x→∞
√
x+2−
√ x
Solu¸ c˜ ao: √ √ x+2+ x Primeiro multiplicamos f(x) por √ √ x+2+ x √ √ lim x+2− x
x→∞
= lim
x→∞
!
! √ 3 x/ x3 1 = lim x→∞ (1 + 10/x3 )1/3 (x3 /x3 + 10/x3 )1/3
= lim
√
2 √ x+2+ x
=
2 =0 ∞
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Exemplo 9: Calcule lim
x→−∞
−2x3 + x2 + 3x .
Solu¸ c˜ ao: Primeiro multiplicamos f (x) por −2x3 + x2 + 3x
lim
x→−∞
x3 x3
x3 3 2 = lim (−2x + x + 3x) · 3 x→−∞ x 3 = lim x (−2 + 1/x + 3/x2 ) x→−∞
= lim
x→−∞
−2 + 1/x + 3/x2
x3 · lim
x→−∞
= −∞ · (−2 + 0 + 0) = −∞ · −2 = ∞
Casos especiais A seguir s˜ ao apresentados alguns limites que fogem um pouco, ou totalmente a estrat´egia aplicada nos problemas anteriores.
Exemplo 1: Calcule lim
x→∞
ex . 4 + 5e3x
Solu¸ c˜ ao: Nesse caso a divis˜ ao do numerador e denominador da fun¸c˜ao ´e feita por ex ou e3x . Qualquer escolha fornece o mesmo resultado. ex lim x→∞ 4 + 5e3x 1 (ex /ex ) = lim = lim x→∞ (4/ex ) + (5e3x /ex ) x→∞ (4/ex ) + (5e2x ) Como lim eax = ∞ ent˜ ao: x→∞
lim
x→∞
1 (4/ex ) + (5e2x )
=
1 1 = =0 0+∞ ∞
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 2: Calcule lim
x→∞
5x . 3x + 2x
Solu¸ c˜ ao: Como no caso anterior a divis˜ ao pode ser feita tanto por 3x , 5x ou 2x . Contudo, a escolha de 3 simplifica o c´ alculo. 5x lim x→∞ 3x + 2x x
= lim
x→∞
5x /3x x x (3 /3 ) + (2x /3x )
= lim
x→∞
(5/3)x (3/3)x + (2/3)x
= lim
x→∞
(5/3)x 1 + (2/3)x
Como lim (ax ) = ∞ para a > 1 e lim (ax ) = 0 para 0 < a < 1 ent˜ao: x→∞
lim
x→∞
x→∞
(5/3)x 1 + (2/3)x
=
∞ =∞ 1+0
Exemplo 3: Calcule lim
x→∞
p x 3x + 32x
Solu¸ c˜ ao: p x lim 3x + 32x x→∞
1/x
= lim (3x + 9x ) x→∞
√ x 9x Multiplicando f(x) por por √ : x 9x √ x 9x 1/x lim (3x + 9x ) · √ x x→∞ 9x = lim
9
x→∞
lim
x→∞
x
9x 3x + 9x 9x
x1
x x1 1/x x 1 1 9 +1 = lim (9) · lim +1 x→∞ x→∞ 3 3 x
x 1 1 Quando x → ∞ tanto como se aproxima de zero ent˜ao: 3 x x 1/x 1 +1 lim (9) · lim x→∞ x→∞ 3
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= 9 · (0 + 1)0 = 9 · 1 = 9
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Limite de Fun¸c˜ ao Modular Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Usa-se a seguinte propriedade. Propriedade: lim |f (x)| = | lim f (x)|
x→a
x→a
Exemplo 1: 3x + 5 lim x→5 |x2 − 5x − 1| Aplicando a propriedade da divis˜ ao2 lim (3x + 5)
x→5 lim |x2 x→5
− 5x − 1|
Aplicando a propriedade do modulo: lim (3x + 5)
x→5 | lim (x2 x→5
− 5x − 1)|
=
|52
3(5) + 5 20 = = 20 − 5(5) − 1| | − 1|
Exemplo 2: lim (2x + |x − 3|) = lim 2x + lim |x − 3| = 2(3) + |3 − 3| = 6 + 0 = 6
x→3
x→3
x→3
Exemplo 3: Caso especial (x − 4)3 x→4 |4 − x|
Observe o limite: lim
N˜ ao ´e poss´ıvel aplicar a propriedade da divis˜ao, pois lim |4 − x| = 0 x→4
Nesses casos resolveremos este limite considerando duas poss´ıveis formas para f(x). 2 Essa
propriedade afirma que o limite de
f (x) ´ e igual ao limite de f (x) dividido pelo limite de g(x) se e g(x)
somente se limite de g(x) 6= 0
36
Exerc´ıcios Resolvidos
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lim
x→4
3
(x − 4) |4 − x|
(x − 4)3 lim para x → 4− x→4 4 − x = 3 lim (x − 4) para x → 4+ x→4 x − 4
Calculando o primeiro limite lim
x→4
(x − 4)3 4−x
= lim
x→4
−(x − 4)3 x−4
= − lim (x − 4)2 = 0 x→4
Calculando o segundo limite (x − 4)3 = lim (x − 4)2 = 0 lim x→4 x→4 x−4 Como ambos os limites s˜ ao iguais a zero ent˜ao se conclui que: (x − 4)3 =0 lim x→4 |4 − x|
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Limites de Fun¸c˜ ao Por Partes Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Observa-se o valor para qual “x” est´a tendendo e com base nele se determina qual parte (ou senten¸ca), da fun¸c˜ ao utilizar.
Exemplo 1: x⇔x<1 3⇔x=1 Tomando a fun¸ca ˜o f(x) = 2 − x2 ⇔ 1 < x ≤ 2 x−3⇔x>2 Calcule os limites:
a) lim− g(x) x→1
Como x tende a 1 pela esquerda ent˜ao x < 1 e logo: lim g(x) = lim− (x) = 1
x→1−
x→1
b) lim g(x) x→1
Neste caso n˜ ao sabemos se x tende a 1 pela direita ou esquerda. Assim temos que calcular ambos os limites. • lim g(x) = lim (x) = 1 x→1−
x→1−
• lim+ g(x) = lim+ (2 − x2 ) = 2 − 1 = 1 x→1
x→1
Como ambos os limites coincidem ent˜ao: lim g(x) = 1 x→1
c) lim− g(x) x→2
Como x tende a 2 pela esquerda ent˜ao x < 2, assim: lim g(x) = lim (2 − x2 ) = 2 − 22 = −2
x→2−
x→2−
38
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
d) lim+ g(x) x→2
Como x tende a 2 pela direita ent˜ao x > 2, assim: lim g(x) = lim+ (x − 3) = 2 − 3 = −1
x→2+
x→2
Exemplo 2: √ x3 + 6x2 ⇔ x 6= 0 Considere f (x) = 6 ⇔ xx = 0 a) Calcule lim f (x). x→0
Como x tende a zero e n˜ ao ´e igual a zero ent˜ao: ! √ x3 + 6x2 lim f (x) = lim x→0 x→0 x √ = lim
x→0
x3 + 6x2 x
√
! = lim
x2 ·
√
x+6
!
x
x→0
√ x x + 6 = √0 + 6 x→0 x √ = 6
= lim
b) Verifique se lim f (x) = f (0) x→0
Para x = 0 f(x) = 6. Como 6 6=
√
6 ent˜ao lim f (x) 6= f (0). x→0
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 39
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
10
Limite Simples
Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Se f (x) ´e uma fun¸c˜ ao polinomial ent˜ao: lim f (x) = f (a)
x→a
Com base na afirma¸c˜ ao acima e nas quatro propriedades a seguir podemos calcular com facilidade o limite de algumas fun¸c˜ oes mais complexas. Seja f (x) e g(x) fun¸c˜ oes polinomiais ent˜ao: P1: Se lim g(x) = L (com L ∈ R∗ ), ent˜ao: x→a
lim
x→a
f (x) g(x)
lim f (x)
=
x→a
lim g(x)
x→a
P2: lim [g(x) ± f (x)] = lim g(x) ± lim f (x) x→a
x→a
x→a
s f (x) f (x) n n > 0 ent˜ ao lim = P3: Se lim x→a x→a g(x) g(x) s s f (x) f (x) n n f (x) P4: Se = lim < 0 ent˜ ao lim somente para n impar. Caso x→a x→a g(x) g(x) g(x) contr´ ario o limite n˜ ao pode existir.
f (x) g(x)
s
Exemplo 1: Calcule lim (x2 + 5) x→2
Solu¸ c˜ ao lim (x2 + 5) = f (2)
x→2
= (2)2 + 5 = 9
40
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 2: Calcule lim
x→1
x2 + x − 3 x+2
Solu¸ c˜ ao x2 + x − 3 quando x → 1 ´e diferente de x+2
Observe que o limite do denominador de f (x) = zero. Portanto, podemos aplicar P1.
lim
x→1
x2 + x − 3 x+2
lim (x2 + x − 3)
=
x→1
lim (x + 2)
x→1
O problema agora se reduz ao calculo de limites de fun¸c˜oes polinomiais. Que como vimos ´e bastante simples. lim (x2 + x − 3) = 12 + 1 − 3 = −1
x→1
lim (x + 2) = 1 + 2 = 3
x→1
portanto lim (x2 + x − 3)
x→1
=
lim (x + 2)
x→1
−1 1 =− 3 3
Concluindo que: lim
x→1
Exemplo 3: Calcule lim
x→4
x−1 √ x−1
x2 + x − 3 x+2
=−
1 3
Solu¸ c˜ ao x−1 quando x → 4 ´e diferente de zero. Observe que o limite do denominador de f (x) = √ x−1 Portanto, podemos aplicar P1. lim
x→4
x−1 √ x−1
=
lim (x − 1) √ lim ( x − 1) x→4
x→4
A fun¸c˜ ao do numerador ´e polinomial de modo que seu limite ´e simples de calcular lim (x − 1) = 4 − 1 = 3
x→4
41
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Assim: lim (x − 1) 3 √ √ = lim ( x − 1) lim ( x − 1) x→4
x→4
x→4
Usando P2 chega-se a: √ √ lim ( x − 1) = lim ( x) − lim (1) x→4
x→4
x→4
√ = lim ( x) − 1 x→4
Usando P3 q √ √ lim ( x) = lim (x) = 4 = 2 x→4
x→4
Assim 3 3 √ =3 = 2−1 lim x − 1
x→4
Exemplo 4: Calcule lim (x2 + 4x + 3)3 x→−2
Solu¸ c˜ ao lim (x2 + 4x + 3)3 = (−2)2 + 4(−2) + 3
3
x→−2
Exemplo 5: Calcule lim
x→−2
= (−1)3 = −1
p 3 x2 + 4x + 3
Solu¸ c˜ ao Observe que g(x) = x2 + 4x + 3 < 0 para x = −2 assim n˜ao podemos utilizar P3. Contudo, como a raiz ´e c´ ubica (e trˆes ´e numero impar), n˜ao existe restri¸c˜ao para utilizarmos P4.
lim
x→−2
p 3
r x2 + 4x + 3 = 3 lim
x→−2
p x2 + 4x + 3 = 3 (−2)2 + 4(−2) + 3 = −1
42
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 6: Calcule lim
x→5
x+2 3x + 5 + √ 4 x8
Solu¸ c˜ ao Aplicando P2 x+2 x+2 lim 3x + 5 + √ = lim (3x) + lim (5) + lim √ 4 4 x→5 x→5 x→5 x→5 x8 x8 x+2 quando x → 5 ´e diferente de zero. Portanto, Observe que o limite do denominador de √ 4 x8 podemos aplicar P1. lim (3x) + lim (5) + lim
x→5
x→5
x→5
x+2 √ 4 x8
= lim (3x) + lim (5) + x→5
x→5
lim (x + 2) √ 4 lim ( x8 )
x→5
x→5
Aplicando P3 lim (x + 2) q = lim (3x) + lim (5) + x→5 x→5 x→5 4 lim (x8 ) x→5
Todos os limites agora s˜ ao de fun¸co˜es polinomiais e podem ser facilmente calculados. lim (x + 2) 7 507 5+2 q = 20 + = = lim (3x) + lim (5) + x→5 = 3(5) + 5 + √ 4 8 x→5 x→5 25 25 4 lim (x8 ) 5 x→5
Exemplo 7: Calcule lim (5x + 7)4 x→−2
Solu¸ c˜ ao Como consequˆencia de P3 e P4 4 4 lim (5x + 7) = lim (5x + 7) = (5(−2) + 7)4 = 81 x→−2
x→−2
r Exemplo 8: Calcule lim
x→4
3
x −7x + 1
43
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Solu¸ c˜ ao Usando P4 r s x x lim 3 = 3 lim x→4 x→4 −7x + 1 −7x + 1 x quando x → 4 ´e diferente de zero. Portanto, −7x + 1
Observe que o limite do denominador de podemos aplicar P1. s 3
lim
x→4
x −7x + 1
v u u 3 =t
lim (x)
r
x→4
=
lim (−7x + 1)
x→4
Exemplo 9: Calcule lim
x→2
x+2 x2 − 2
3
√ 3 4 4 =− −7(4) + 1 3
Solu¸ c˜ ao Observe que o limite do denominador de podemos aplicar P1. lim
x→2
x+2 x2 − 2
lim (x + 2)
x→2
=
lim (x2 − 2)
=
x+2 quando x → 2 ´e diferente de zero. Portanto, x2 − 2
4 2+2 = =2 22 − 2 4−2
x→2
Exemplo 10: Calcule lim
x→0
2x2 + 25 −x + 2
Solu¸ c˜ ao Observe que o limite do denominador de podemos aplicar P1. lim
x→0
2x2 + 25 −x + 2
lim (2x2 + 25)
=
x→0
lim (2 − x)
x→0
=
2x2 + 25 quando x → 1 ´e diferente de zero. Portanto, −x + 2
2(0)2 + 25 25 = 2−0 2
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 44
Exerc´ıcios Resolvidos
11
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Limite de Fun¸c˜ oes com Descontinuidade Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 A seguir ser´ a apresentado 5 estrat´egias para resolver limites de fun¸c˜oes com descontinuidade. No entanto, embora essas estrat´egias estejam sendo apresentadas de forma separada a resolu¸c˜ao de alguns limites envolvem a combina¸c˜ao de duas ou mais delas.
´ aplic´ ´ ESTRATEGIA 1: E avel a fun¸c˜oes do tipo: p(x) q(x) Onde p(x) e q(x) s˜ ao polinˆ omios e p(x) ´e divis´ıvel por q(x). A estrat´egia ´e fatorar p(x) e simplificar a fun¸c˜ ao. Exemplo 1: Calcule lim
x→−1
x2 − x − 2 x+1
Solu¸ c˜ ao lim
x→−1
x2 − x − 2 x+1
= lim
x→−1
(x + 1)(x − 2) (x + 1)
= lim (x − 2) x→−1
Agora a indetermina¸c˜ ao que ocorreria se tiv´essemos substitu´ıdo x por -1 desapareceu. De modo que finalmente podemos calcular o valor do limite da fun¸c˜ao pela simples substitui¸c˜ao de x pelo seu valor de tendˆencia. lim (x − 2) = −1 − 2 = −3
x→−1
Exemplo 2: Calcule lim
x→2
x2 + x − 6 x−2
Solu¸ c˜ ao lim
x→2
x2 + x − 6 x−2
Exemplo 3: Calcule lim
x→9
= lim
x→2
9−t √ 3− t
(x + 3) (x − 2) = lim (x + 3) = 2 + 3 = 5 x→2 (x − 2)
45
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Solu¸ c˜ ao lim
x→9
9−t √ 3− t
= lim
(3 +
x→9
√
√ √ √ t) (3 − t) √ = lim (3 + t) = 3 + 9=6 t x→9 3−
´ aplic´ ´ ESTRATEGIA 2: E avel tamb´ em a fun¸c˜oes do tipo: p(x) q(x) S´ o que diferente do 1◦ m´etodo tanto p(x) como q(x) s˜ao fator´aveis e possuem ao menos um fator em comum. A estrat´egia consiste em fatorar tanto p(x) como q(x) e em seguida realizar as devidas simplifica¸c˜ oes da fun¸c˜ ao. Exemplo 1: Calcule lim
x→2
x3 − x2 − 2x x2 − 3x + 2
Solu¸ c˜ ao Primeiro vamos fatorar o numerador x3 − x2 − 2x = x(x2 − x − 2) = x(x − 2)(x + 1) Em seguida fatoramos o denominador x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) Finalmente calcula-se o limite
lim
x→2
x3 − x2 − 2x x2 − 3x + 2
= lim
x→2
Exemplo 2: Calcule lim
x→−3
x (x − 2)(x + 1) (x − 1) (x − 2)
t2 − 9 2t2 + 7t + 3
= lim
x→2
x(x + 1) x−1
=
2(2 + 1) =6 2−1
Solu¸ c˜ ao
lim
x→−3
t2 − 9 2t2 + 7t + 3
= lim
x→−3
(t + 3)(t − 3) (2t + 1) (t + 3)
46
=
t−3 lim x→−3 2t + 1
=
−3 − 3 −6 6 = = 2(−3) + 1 −5 5
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 3: Calcule lim
x→2
x2 − 7x + 10 x2 − 4
Solu¸ c˜ ao lim
x→2
x2 − 7x + 10 x2 − 4
Exemplo 4: Calcule lim
x→5
= lim
x→2
(x − 2)(x − 5) (x − 5) 3 = lim =− x→2 (x − 2)(x + 2) (x + 2) 4
x2 + 2x − 35 x2 − 10x + 25
Solu¸ c˜ ao lim
x→5
x2 + 2x − 35 x2 − 10x + 25
= lim
x→5
(x + 7) (x − 5) (x − 5)2
!
= lim
x→5
x+7 x−5
=
12 =∞ 0
O resultado mais importante do ultimo exerc´ıcio ´e que limites que resultam em indetermina¸c˜ao sempre apresentar˜ ao uma indetermina¸c˜ao como resultado. N˜ao importa qual estrat´egia se utilize.
47
Exerc´ıcios Resolvidos
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´ aplic´ ´ ESTRATEGIA 3: E avel a fun¸c˜oes racionais com radical no numerador ou denominador como, por exemplo: √ x+3 x2 f (x) = ; g(x) = √ 9−x x2 + 12 A estrat´egia ´e multiplicar a fun¸c˜ ao (“em cima e em baixo”), pelo conjugado do numerador ou do denominador. Emfim, da parte que contem o radical. √ Exemplo 1: Calcule lim
x→0
x2 + 9 − 3 x2
!
Solu¸ c˜ ao √ lim
x→0
! √ x2 + 9 − 3 x2 + 9 + 3 ·√ = lim x→0 x2 x2 + 9 + 3 ! 1 x2 √ = lim √ x→0 x2 + 9 + 3 x2 + 9 + 3
x2 + 9 − 3 x2
= lim
x2
x→0
√
Exemplo 2: Calcule lim
x→2
√
!
1 1 1 =√ = 6 9+3 02 + 9 + 3
x−2 √ 2 x +5−3
Solu¸ c˜ ao lim
x→2
x−2 √ x2 + 5 − 3
= lim
x→2
! √ x−2 x2 + 5 + 3 √ ·√ x2 + 5 − 3 x2 + 5 + 3
! √ (x − 2)( x2 + 5 + 3) = lim x→2 (x − 2)(x + 2)
= lim
x→2
√ Exemplo 3: Calcule lim
x→8
x+1−3 x−8
√
x2 + 5 + 3 x+2
! =
3 2
Solu¸ c˜ ao √ lim
x→8
x+1−3 x−8
√
= lim
x→8
√ x+1−3 x+1+3 1 1 ·√ = lim √ = x→8 x−8 6 x+1+3 x+1+3 48
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 4: Calcule lim
x→0
√
x2 √ x2 + 12 − 12
Solu¸ c˜ ao lim
x→0
x2 √ √ 2 x + 12 − 12
= lim
x→0
= lim
x→0
! √ √ x2 ( x2 + 12 + 12) √ √ √ √ ( x2 + 12 − 12)( x2 + 12 + 12)
! √ √ p √ √ x2 ( x2 + 12 + 12) 2 + 12 + = lim x 12 = 2 · 12 x→0 (x2 + 12) − 12
49
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
´ aplic´ ´ ESTRATEGIA 4: E avel a fun¸c˜oes que tamb´em possuem radicais e consiste em “trocar” a vari´ avel da fun¸c˜ ao.
√ 3 x−4 √ x→64 x−8
Exemplo 1: Calcule lim Solu¸ c˜ ao
√ √ √ 3 3 x−4 x−4 x+8 √ = lim √ = lim lim √ x→64 x→64 x→64 x−8 x−8 x+8 √ 6
Substituindo
lim
y→2
! √ √ 6 6 ( x2 − 4)( x3 + 8) x − 64
x por y temos y6 = x. Observe que se x → 64, ent˜ao y → 2.
! p p 2 2 (y − 4)(y 3 + 8) ( 6 y 12 − 4)( 6 y 18 + 8) y −4 = lim = lim y→2 (y 3 − 8)(y 3 + 8) y→2 y 3 − 8 y 6 − 64 = lim
y→2
(y − 2)(y + 2) 2 + 2y + 4) (y − 2)(y
Exemplo 2: Calcule lim
x→27
x − 27 √ 3 x−3
=
2+2 = 1/3 (22 + 2(2) + 4)
Solu¸ c˜ ao x − 27 lim √ 3 x→27 x−3 Chamando
lim
y→3
√ 3
y 3 − 27 y−3
x de y ent˜ ao se x → 27, y → 3
= lim
y→3
(y − 3)(y 2 + 3y + 9) = lim (y 2 + 3y + 9) = (3)2 + 3(3) + 9 = 27 y→3 (y − 3)
50
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
´ ESTRATEGIA 5: Algumas indetermina¸c˜oes podem ser retiradas apenas desenvolvendo um pouco a fun¸c˜ ao e realizando simplifica¸c˜oes.
Exemplo 1: Encontre lim
x→0
(x + 3)3 − 27 x
Solu¸ c˜ ao lim
x→0
(x + 3)3 − 27 x
lim
x→0
= lim
x→0
x(x2 + 9x + 27) x
x3 + 9x2 + 27x + 27 − 27 x
= lim (x2 + 9x + 27) = 27 x→0
3 1 1 − x→0 x 5+x 5−x
Exemplo 2: Calcule lim Solu¸ c˜ ao 3 x→0 x lim
1 1 − 5+x 5−x lim
x→0
3 2x 6 6 − = − lim =− 2 x→0 x x→0 25 − x2 25 − x 25
= lim
x(x2 + 9x + 27) x
Exemplo 3: Calcule lim
x→−2
= lim (x2 + 9x + 27) = 27 x→0
1 1 x + 2 x3 + 8
Solu¸ c˜ ao lim
x→−2
1 1 x + 2 x3 + 8
= lim
x→−2
2+x 2x(x3 + 8)
2+x (2 + x) = lim 3 − 2x2 + 4x)] x→−2 2[ x→−2 2(x4 + 8x) (2 + x)(x lim
lim
x→−2 2x3
1 1 1 = =− 2 3 2 − 4x + 8x 2(−2) − 4(−2) + (−2) 48 51
Exerc´ıcios Resolvidos
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Estas cinco estrat´egias servir˜ ao para o calculo do limite de v´arias fun¸c˜oes. Mas caso algum limite n˜ ao se enquadre em nenhum deles (o que acontecer´a em v´arios casos), haver˜ao duas hip´ oteses a serem consideradas: a resolu¸c˜ao do limite deve envolver uma estrat´egia diferente das abordadas ou a fun¸c˜ ao simplesmente n˜ao possui limite. Em uma disciplina introdut´ oria de limite como c´alculo 1 ou pr´e calculo o mais prov´avel ´e que a fun¸c˜ ao n˜ ao tenha limite mesmo. Isso se deve ao fato de que a maioria dos professores tˆem bom senso em evitar quest˜ oes demasiadamente dif´ıceis. O limite a seguir ´e um exemplo que foge a regra das estrat´egias apresentadas. Para resolve-lo usamos as equa¸c˜ oes. (a3 − b3 ) = (a − b)(a2 + ab + b2 ) (a4 − b4 ) = (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) √ √ √ √ 3 3 x−1 x−1 ( 3 x)2 + 3 x + 1 √ √ = lim √ lim √ 4 4 x→1 x→1 x−1 x−1 ( 3 x)2 + 3 x + 1
lim
x→1
x−1 √ √ √ 3 ( x2 + 3 x + 1)( 4 x − 1)
! = lim
x→1
x−1 √ √ √ 3 ( x2 + 3 x + 1)( 4 x − 1)
! √ √ ( 4 x + 1)(( 4 x)2 + 12 ) √ √ ( 4 x + 1)(( 4 x)2 + 12 )
√ √ ( 4 x + 1)( x + 1) 4 √ √ = x→1 3 ( 3 x)2 + 3 x + 1 lim
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Exerc´ıcios Resolvidos
12
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Limite de Fun¸c˜ oes Logaritmas Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Usa-se a seguinte propriedade. Propriedade: lim logb f(x) = logb lim f (x) com b > 0 e diferente de 1.
x→a
x→a
Exemplo 1: Calcule lim log4 (x3 + 4x) x→2
Solu¸ c˜ ao: lim log4 (x3 + 4x) = log4 lim (x3 + 4x) = log4 (23 + 4(2))
x→2
x→2
= log4 (16) = log4 (42 ) = 2 · log4 (4) = 2 · 1 = 2
Exemplo 2: Calcule lim (log3 (9x) − log2 (16x)) x→1
Solu¸ c˜ ao: lim (log3 (9x) − log2 (16x)) = lim (log3 (9x)) − lim (log2 (16x))
x→1
x→1
x→1
= log3 (9(1)) − log2 (16(1)) = log3 (9) − log2 (16) = log3 (32 ) − log2 (24 ) = 2 − 4 = −2
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Exerc´ıcios Resolvidos: L’hospital Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 O que ´ e L’hospital? A regra de L’hospital enuncia o seguinte. Se
f (a) ∞ 0 resultar em ou mesmo , ent˜ao lim n→a g(a) ∞ 0
Exemplo 1. Calcule: lim
x→0
tg(x) − x x − sen(x)
f (n) g(n)
= lim
n→∞
f 0 (n) . g 0 (n)
Solu¸ c˜ ao:
sen(x) − x cos(x) tg(x) − x lim = lim x→0 x − sen(x) x→0 x − sen(x) Aplicando L’hospital sen2 (x) + cos2 (x) 1 − 1 − 1 2 cos2 (x) = lim cos (x) = lim x→0 x→0 1 − cos(x) 1 − cos(x) Aplicando L’hospital novamente 1 − 1 cos2 (x) = lim (2 · cos(x)) lim x→0 1 − cos(x) x→0 = 2 · cos(0) = 2 · 1 = 2
Exemplo 2. Calcule: lim
x→0
ax − 1 x
Solu¸ c˜ ao: Aplicando l’hospital ln(a) · ax − 0 = lim = lim (ln(a) · ax ) = ln(a) · a0 = ln(a) · 1 = ln(a) x→0 x→0 1
54
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Derivada de y = ax . y = ax ln(y) = x · ln(a) y0 = ln(a) y y 0 = ln(a) · y y 0 = ln(a) · ax
Exemplo 3. Calcule: lim
x→∞
π x2 + x · sen 2x + 3 x
Solu¸ c˜ ao: Fazendo x2 1 + x2
lim
x→∞
1 x 2 x
sen(π/x) + x32
!
= lim
1+
x→∞
sen(π/x) + lim = lim 3 x→∞ 2 x→∞ + x x2
1 x 2 x
sen(π/x) + x32
1 x
· sen(π/x) 3 2 + 2 x x
sen(π/x) sen(π/x) = lim + lim 2 3 3 x→∞ x→∞ + 2 2+ x x x sen(π/x) +0 = lim 2 3 x→∞ + 2 x x sen(π/x) = lim 2 3 x→∞ + 2 x x Aplicando L’hopital −πcos(π/x) sen(π/x) x2 lim = lim 2 2 3 x→∞ x→∞ −(2/x ) − (6/x3 ) + 2 x x πcos(π/x) = lim x→∞ 2 + (6/x)
55
!
Exerc´ıcios Resolvidos
=
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π 2
Exemplo 4. Calcule: lim
1+
x→∞
2 x
x
Solu¸ c˜ ao: x 2t 1 1 = lim 1 + = lim 1 + t→∞ x→∞ x/2 t t !2 1 = e2 = lim 1 + t→∞ t
Exemplo 5. Calcule: lim
√
x→∞
x+1−
√ x
Solu¸ c˜ ao: √ √ √ √ ( x + 1 − x)( x + 1 + x) 1 √ √ lim = lim √ √ x→∞ x→∞ ( x + 1 + ( x + 1 + x) x) " # 1/|x| 0 p = lim p = =0 x→∞ 1+0 1 + 1/|x| + 1/|x|
Exemplo 6. Calcule: lim
x→∞
x+1 x−1
x
Solu¸ c˜ ao: x+1 x 1+ lim x = lim x−1 x→∞ x→∞ 1− x
Exemplo 7. Calcule: lim
x→∞
1 x 1+ x = lim 1 x→∞ 1− x
x5 ex
Solu¸ c˜ ao: Usando L’hospital sucessivamente 5 x 120 120 lim = lim = =0 x→∞ ex x→∞ ex ∞
56
x 1 e x 2 x = e−1 = e 1 x
Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 8. Calcule: lim
x→∞
1 · sen(x) x
Solu¸ c˜ ao: 1 1 lim · sen(x) = lim · lim (sen(x)) x→∞ x x→∞ x x→∞ 1 Como lim = 0 ent˜ ao: x→∞ x 1 lim · sen(x) = 0 · lim (sen(x)) x→∞ x x→∞ =0
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 57
Exerc´ıcios Resolvidos
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14
Provas Com Limites
Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como provar o limite de uma fun¸ c˜ ao? Provar um certo limite ´e mais do que simplesmente resolvˆe-lo. E exige o uso da defini¸c˜ao formal de limite. Por exemplo, para que lim f (x) = L
x→a
´e necess´ ario que para todo n´ umero > 0 dado exista um numero δ tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜ ao |f (x) − L| < . Assim a demostra¸c˜ ao de um limite consiste em: mostrar que |f (x)−L| < acontece, partindo apenas de |x − a| < δ.
Exemplo 1: Demonstre que lim (4x − 5) = 7. x→3
Solu¸ c˜ ao: Passo 1: Determinando um valor de δ. O que queremos ´e a partir de |x − 3| < δ chegar a |(4x − 5) − 7| < . Se conseguirmos essa proeza teremos demonstrado o limite. No entanto, antes precisamos encontrar um valor para δ. Para conseguir isso se faz o contr´ario do que ser´ a feito na demonstra¸c˜ ao, isto ´e, partimos de |f (x)−L| < tentamos chegar a |x−a| < δ. Para o caso em particular f (x) = 4x − 5 e L = 7 temos: |(4x − 5) − 7| < |4x − 12| < |4(x − 3)| < 4|x − 3| < |x − 3| < 4 Asim um valor poss´ıvel para δ seja
. 4
Passo 2: Fazendo a demonstra¸c˜ ao. De posse do valor de δ podemos iniciar a demonstra¸c˜ao que consiste em mostrar que a partir de |x − 3| < δ pode se chegar a |(4x − 5) − 7| < . |x − 3| < δ 58
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA 4 4|(x − 3)| < |x − 3| <
|4x − 12| < |(4x − 5) − 7| < Assim pela defini¸c˜ ao limite mostramos que dado um > 0 qualquer, se 0 < |x − 3| < δ ent˜ao |(4x − 5) − 7| < tamb´em ir´ a ocorrer, concluindo que: lim (4x − 5) = 7
x→3
Como se queria demonstrar.
Exemplo 2: Demonstre que lim (x2 ) = 9. x→3
Solu¸ c˜ ao: Passo 1: Determinando um valor de δ. Para determinar um valor para δ se faz o contr´ario do que seria feito na demonstra¸c˜ao, isto ´e, partindo de |f (x) − L| < tenta-se chegar a |x − a| < δ. Para o caso em particular f (x) = x2 e L = 9 assim: |x2 − 9| < |(x − 3)(x + 3)| < |x − 3||x + 3| < (1) |x − 3| < |x + 3| Ainda n˜ ao ´e poss´ıvel dizer que foi encontrado um valor de δ pois este n˜ao pode estar em fun¸c˜ ao de nada que n˜ ao seja o . Para resolver esse problema analisaremos agora a seguinte desigualdade fixando δ ≤ 1. |x − a| < δ |x − 3| < δ Como fixamos delta como menor ou igual a um ent˜ao: |x − 3| < δ ⇒ |x − 3| < 1 ⇒ −1 < x − 3 < 1 59
Exerc´ıcios Resolvidos
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Somando 6 a cada membro a desigualdade anterior passa a ser 5
0 qualquer se 0 < |x − 3| < δ ent˜ao |x2 − 9| < tamb´em ir´ a ocorrer, concluindo que: lim (x2 ) = 9
x→3
60
Exerc´ıcios Resolvidos
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TNT
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Teorema do Confronto (Sandu´ıche) Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como ´ e o teorema? Se f(x) ≥ g(x) ≥ q(x) e lim f (x) = lim q(x) = L (com L ∈ R), ent˜ao pode se afirmar que: x→a
x→a
lim g(x) = L
x→a
1 x2 sen ´e igual a zero. x→0 x
Exemplo 1: Mostre que lim Solu¸ c˜ ao:
Partimos da seguinte desigualdade 1 ≥ −1 1 ≥ sen x Multiplicando todos os termos por x2
x2 ≥ x2 sen
1 ≥ −x2 x
Como lim x2 = 0 e lim (−x2 ) = 0, ent˜ao pelo teorema do confronto. x→0
x→0
lim
x→0
x2 sen
1 =0 x
Exemplo 2: Se 4x − 9 ≥ f(x) ≥ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim f (x). x→4
Solu¸ c˜ ao: Como lim (x2 − 4x + 7) = lim (4x − 9) = 7 ent˜ao pelo T.C. conclui-se que: x→4
x→4
lim f (x) = 7
x→4
62
Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 3: Dado g(x) − 2 ≤ 3(x − 1)2 para todo x, encontre lim g(x). x→1 Solu¸ c˜ ao: Pela defini¸c˜ ao de modulo tem-se que: −3(x − 1)2 ≤ g(x) − 2 ≤ 3(x − 1)2 2 − 3(x − 1)2 ≤ g(x) ≤ 3(x − 1)2 + 2 Como lim 2 − 3(x − 1)2 = lim 3(x − 1)2 + 2 = 2 ent˜ao pelo T.C. se conclui que: x→1
x→1
lim g(x) = 2
x→1
1 Exemplo 4: Prove que lim x · sen =0 x→0 x Solu¸ c˜ ao:
−1 ≤ sen
1 ≤1 x
1 −x ≤ x · sen ≤x x como lim (−x) = lim (x) = 0 ent˜ ao pelo T.C.: x→0
x→0
1 1 = |0| = 0 = lim x · sen lim xsen x→0 x→0 x x
Exemplo 5: Determine o valor de lim
x→∞
2 − cos(x) x+3
Solu¸ c˜ ao: Observe a seguinte desigualdade: −1 ≤ cos(x) ≤ 1
1 ≥ −cos(x) ≥ −1
63
Exerc´ıcios Resolvidos
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1 + 2 ≥ 2 − cos(x) ≥ −1 + 2
3 ≥ 2 − cos(x) ≥ 1 Dividindo todos os membros por x + 3
Como lim
x→∞
3 x+3
3 x+3
= lim
x→∞
≥
1 x+3
2 − cos(x) x+3
x→∞
x→∞
1 x+3
= 0 ent˜ao se conclui que:
≥
lim
Exemplo 6: Calcule lim
2 − cos(x) x+3
sen(x) + cos(x) (x2 + 1)(x − 3)
=0
Solu¸ c˜ ao: Sabe-se que −1 ≤ cos(x) ≤ 1 e que −1 ≤ sen(x) ≤ 1. Somando membro a membro as duas desigualdade chega-se a: −2 ≤ sen(x) + cos(x) ≤ 2 Dividindo todos os membros por (x2 + 1)(x − 3)
−
Como lim
x→∞
−
sen(x) + cos(x) 2 2 ≤ 2 ≤ 2 (x2 + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3)
2 (x2 + 1)(x − 3)
= 0 e tamb´em lim
x→∞
2 (x2 + 1)(x − 3)
Ent˜ ao pelo T.C. conclui-se que: lim
x→∞
sen(x) + cos(x) (x2 + 1)(x − 3)
64
=0
=0
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Limite de Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas Cont´ınuas em x Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Se f (x) ´e cont´ınua em a ∈ R ent˜ao: lim sen(x) = sen lim (x) . O mesmo vale para o x→a x→a cosseno.
Exemplo 1: Calcule limπ (sen(4x)) x→ 2
Solu¸ c˜ ao: Como sen(ax) ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em todo R ent˜ao: limπ (sen(4x)) = sen limπ (4x) x→ 2
x→ 2
= sen 4 ·
π 2
= sen (2π) = 0
Exemplo 2: Calcule limπ (cos(6x)) x→ 4
Solu¸ c˜ ao: Como cos(ax) ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em todo R ent˜ao: limπ (cos(6x)) = cos limπ (6x) x→ 4
x→ 4
= cos
3π 2
=0
Exemplo 3: Calcule lim
x→0.5
1 − x2 sen(πx)
Solu¸ c˜ ao: Primeiro vamos calcular o limite do denominador e verificar se o mesmo ´e diferente de zero. E como a fun¸c˜ ao seno ´e cont´ınua em todo R ent˜ao: h i lim (sen(πx)) = sen lim (πx) = sen(π/2) = 1 x→0.5
x→0.5
66
Exerc´ıcios Resolvidos
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Como o limite do denominador ´e diferente de zero vale a propriedade do limite da divis˜ao3 . Assim: lim
x→0.5
=
1 − x2 sen(πx)
lim (1 − x2 )
=
x→0.5
lim (sen(πx))
x→0.5
1 − (0.5)2 0.75 3 = = 0.75 ou 1 1 4
1 − x π Exemplo 4: Calcule lim x→0 1 − sen x 2 Solu¸ c˜ ao: Primeiro vamos calcular o limite do denominador da fun¸c˜ao e verificar se o mesmo ´e diferente de zero. πx πx π x = lim (1) − lim sen = 1 − lim sen lim 1 − sen x→0 x→0 x→0 x→0 2 2 2 Como a fun¸c˜ ao trigonom´etrica ´e cont´ınua ent˜ao: πx πx 1 − lim sen = 1 − sen lim = 1 − sen(0) = 1 x→0 x→0 2 2 Como o limite do denominador ´e diferente de zero vale a propriedade do limite da divis˜ao. Assim: lim (1 − x) 1−0 1−x π = x→0 π = =1 lim x→0 1 1 − sen x lim 1 − sen x x→0 2 2
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para [email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 3 Tal
propriedade afirma que lim
x→a
f (x) ´ e igual a lim f (x) dividido por lim g(x) se, e somente se, lim g(x) 6= 0. x→a x→a x→a g(x)
67
Exerc´ıcios Resolvidos
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Limite de Fun¸c˜ oes Trigonom´ etricas Com Descontinuidade Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Normalmente ´e necess´ ario o conhecimento de duas coisas para resolu¸c˜ao deste tipo de limite: algumas rela¸c˜ oes trigonom´etricas e o resultado de outros limites conhecidos como limites fundamentais.
Limites Resolvidos Por Meio de Rela¸c˜ oes Trigonom´ etricas Alguns limites exigem o uso de algumas rela¸c˜oes trigonom´etricas.
Exemplo 1: Encontre lim
x→0
1 − cos(x) sen(x)
Solu¸ c˜ ao: lim
x→0
1 − cos(x) sen(x)
= lim
x→0
= lim
x→0
(1 − cos(x)) (1 + cos(x)) · sen(x) (1 + cos(x))
1 − cos2 (x) sen(x)(1 + cos(x))
Como cos2 (x) + sen2 (x) = 1 ent˜ ao: lim
x→0
1 − cos2 (x) sen(x)(1 + cos(x))
= lim
x→0
2 sen (x) sen(x)(1 + cos(x))
Exemplo 2: Determine lim x→π/4
sen(x) − cos(x) 1 − tg(x)
Solu¸ c˜ ao: Como tg(x) =
sen(x) ent˜ ao: cos(x)
68
= lim
x→0
sen(x) 1 + cos(x)
=
sen(0) =0 1 + cos(0)
Exerc´ıcios Resolvidos
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lim x→π/4
cos(x)(sen(x) − cos(x)) cos(x) − sen(x)
= lim x→π/4
lim x→π/4
sen(x) − cos(x) 1 − tg(x)
sen(x) − cos(x) = lim sen(x) x→π/4 1− cos(x)
= lim x→π/4
−cos(x)(cos(x) − sen(x)) cos(x) − sen(x)
√ ((( cos(x)( 2 cos(x) (cos(x) −( sen(x)) ((( = lim (−cos(x)) = −cos (π/4) = − = lim ( ( ( ( −1 2 x→π/4 x→π/4 −(( cos(x) (( − sen(x))
Exemplo 3: Encontre lim
x→0
x5 + 2x3 tg(x) − sen(x)
Solu¸ c˜ ao: lim
x→0
5
3
x + 2x tg(x) − sen(x)
Como tg(x) =
= lim
x→0
4
4
= lim x→0
2
x + 2x tg(x) − sen(x) x
sen(x) ent˜ ao: cos(x)
lim
x→0
x4 + 2x2 x4 + 2x2 = lim x→0 tg(x) − sen(x) sen(x) 1 sen(x) · + x x cos(x) x
lim
2
x(x + 2x ) tg(x) − sen(x)
x→0
x4 + 2x2 0 0 = = =0 sen(x) 1 sen(x) 1 · 1 + 1 2 · + x cos(x) x
Exemplo 4: Encontre lim
x→0
sen(x) − cossec(x) x − cotg 2 (x)
Solu¸ c˜ ao: Como cotg(x) =
cos(x) 1 e cossec(x) = ent˜ao: sen(x) sen(x)
69
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
1 sen(x) − sen(x) = lim x→0 cos2 (x) x− sen2 (x)
lim
x→0
sen(x) − cossec(x) x − cotg 2 (x)
sen2 (x) − 1 sen2 (x) − 1 sen(x) sen(x) = lim = lim 2 2 2 2 x→0 x→0 x · sen (x) − cos (x) x · sen (x) − cos (x) 2 sen2 (x) sen (x)
= lim
x→0
sen2 (x) − 1 x · sen2 (x) − cos2 (x)
Exemplo 5: Encontre limπ x→ 2
1 − sen(x) 1 − cos(x)
=
0−1 −1 = =1 0·0−1 −1
Solu¸ c˜ ao: Como 1 − cos(x) = 2sen2
x 2
ent˜ ao:
1 − sen(x) x = limπ x→ 2 1 − 2sen2 2 =
1−1 0 1 − sen(90◦ ) √ = = √ =0 1 − 2sen2 (45◦ ) 1 − 2( 2/2) 2
70
Exerc´ıcios Resolvidos
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Limites Resolvidos Atrav´ es de Limites Fundamentais Limites Fundamentais:
sen(ax) lim = 1 (1) x→0 ax tg(ax) = 1 (2) lim x→0 ax
Exemplo 1: Encontre lim
x→0
sen(3x) sen(5x)
Solu¸ c˜ ao: sen(3x) sen(3x) 3 3x x = lim = lim x→0 x→0 sen(5x) sen(5x) 5 x 5x
lim
x→0
sen(3x) sen5x
Usando (1) sen(3x) 3 3·1 3 3x = lim = x→0 sen(5x) 5 · 1 5 5 5x
Exemplo 2: Encontre lim
x→0
2 · tg 2 (x) x2
Solu¸ c˜ ao:
71
Exerc´ıcios Resolvidos
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2 sen(x) 2 cos(x) 2 · sen2 (x) 2 · tg 2 (x) = lim = lim lim x→0 x→0 x2 x2 x→0 x2 · cos2 (x) = lim (2) · lim x→0
x→0
sen(x) x
2
· lim
x→0
1 cos2 (x)
Usando (1) =2·1·
1 =2 1
Exemplo 3: Mostre que lim
x→0
sen(2x) 3x
=
1 3
Solu¸ c˜ ao: lim
x→0
sen(2x) 3x
=
1 · lim 3 x→0
sen(2x) x
=
2 lim 3 x→0
sen(2x) 2x
Usando (1) 2 · lim 3 x→0
Exemplo 4: Encontre lim
x→0
sen(x) tg(5x)
sen(2x) 2x
=
2 2 ·1= 3 3
Solu¸ c˜ ao: sen(x) sen(x) x = lim x = lim x→0 x→0 tg(5x) 5 · tg(5x) x 5x
lim
x→0
sen(x) tg(5x)
sen(x) sen(x) lim lim x→0 x→0 x x = = 5 · tg(5x) tg(5x) lim 5 · lim x→0 x→0 5x 5x Usando (1)
72
Exerc´ıcios Resolvidos
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sen(x) x→0 1 x = tg(5x) tg(5x 5 · lim 5 lim x→0 x→0 5x 5x
lim
Usando (2) 1 5 · lim
x→0
tg(5x 5x
=
1 1 = 5·1 5
Exemplo 5: Encontre lim (x · cossec(x)) x→0
Solu¸ c˜ ao: Como cossec(x) =
1 ent˜ ao: sen(x)
lim (x · cossec(x)) = lim
x→0
x→0
lim
x→0
x sen(x)
= lim
1 sen(x) x
x→0
lim (1) 1 1 x→0 = = sen(x) sen(x) sen(x) lim lim x→0 x→0 x x x
Usando (1)
lim
x→0
1 1 = =1 sen(x) 1 x
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Exerc´ıcios Resolvidos
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Limites Resolvidos Por Meio de Rela¸co ˜es Trigonom´ etricas e Limites Fundamentais
Exemplo 1: Encontre lim
x→0
tg(x) − sen(x) x3
Solu¸ c˜ ao:
lim
x→0
tg(x) − sen(x) x3
= lim
sen(x) cos(x)
− sen(x)
= lim
x→0
= lim
x3
x→0
x→0
sen(x)(1 − cos(x)) x3 cos(x)
sen(x) − cos(x) · sen(x) x3 cos(x)
N˜ ao ´e poss´ıvel fazer: lim
x→0
sen(x) x
· lim
x→0
1 − cos(x) x2 cos(x)
pois lim x2 cos(x) = 0.
x→0
Assim devemos continuar procurando.
senx(1 − cos(x)) x3 cos(x)
sen(x)(sen2 (x)) x3 (cos(x) + cos2 (x))
lim
x→0
= lim
x→0
= lim
x→0
=
sen(x)(1 − cos2 (x)) sen(x)(1 − cos(x))(1 + cos(x)) = x3 cos(x)(1 + cos(x)) x3 (cos(x) + cos2 (x))
= lim
sen3 (x) x3 (cos(x) + cos2 (x)
3
sen(x) x
x→0
· lim
x→0
1 cos(x) + cos2 (x)
74
= lim
x→0
= 13 ·
sen3 (x) 1 · 3 x cos(x) + cos2 (x)
1 1 = 2 1+1 2
Exerc´ıcios Resolvidos
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Exemplo 2: Encontre lim
x→0
cos(x) − 1 x
Solu¸ c˜ ao: cos(x) − 1 (cos(x) − 1)(cos(x) + 1) cos2 (x) − 12 lim = lim = lim x→0 x→0 x→0 x(cos(x) + 1) x x(cos(x) + 1) Como cos2 (x) + sen2 (x) = 1 ent˜ ao sen2 x x→0 x→0 x(cosx + 1) senx 1 · lim (sen(x)) · lim lim x→0 x→0 cos(x) + 1 x→0 x
lim
cos2 − 1 x(cosx + 1)
=1·0·
= lim
1 =0 1+1
Exemplo 3: Encontre lim (x · cotg(x)) x→0
Solu¸ c˜ ao: lim (x · cotg(x)) = lim
x→0
x→0
= lim
x→0
x sen(x)
x sen(x)
x · cos(x) sen(x)
· lim (cos(x)) = lim x→0
x→0
x sen(x)
x = lim x x→0 sen(x) x
= lim
x→0
=
lim (1) 1 = =1 sen(x) 1 lim x→0 x x→0
75
·1
Exerc´ıcios Resolvidos
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Limites Resolvidos Com o Teorema do Confronto Enunciado: Se lim f (x) = lim g(x) = L e f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ent˜ao lim h(x) = L x→0
x→0
x→0
Exemplo 1: Calcule lim
x→0
2 x cos x 4
Solu¸ c˜ ao: Sabe-se que: 2 ≤1 x 2 4 4 −x ≤ x cos ≤ x4 x −1 ≤ cos
Como lim −x4 = lim x4 = 0, ent˜ao pelo T.C. x→0
lim
x→0
x→0
2 x cos =0 x 4
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