Transcript
\documentclass[a4paper]{article},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\usepackage[latin1]{inputenc},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\usepackage[brazil]{babel},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\usepackage{amsmath},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\title{C lculo III - Aula 2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\author{Prof. Stavros Christodoulou},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\date{\small S o Paulo, 3 de Mar o de 2005},,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\begin{document},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\maketitle,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\small Transcri o das aulas ministradas pelo professor Stavros Christodoulou na Escola Polit cnica da USP no primeiro semestre de 2005. Este material resultado de trabalho volunt rio e o seu \emph{uso comercial proibido}. Todo o material est dispon vel no website \verb+www.lsi.usp.br/~felipe/calculo.html+ C pias XEROX s o permitidas desde que o pre o cobrado seja apenas o pre o de custo do servi o (tipicamente de 10 a 15 centavos por folha de papel). Pr ticas abusivas podem levar descontinuidade deste projeto volunt rio.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\section{Aula Passada},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Vimos a defini o de $\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy$, a integral dupla de f em B, como o limite das somas de Riemann, $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(x_{ij} *,y_{ij} *)\Delta x_{i}\Delta y_{j}$; e foi dito que, no caso em que $f(x,y) \ge 0 \; \forall (x,y) \in B$, a integral $\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy$ igual ao volume da regi o $S=\{(x,y,z) : (x,y) \in B; 0\leq z \leq f(x,y)\}$; e tamb m igual massa de uma l mina plana ocupando a regi o B e cuja densidade em (x,y) f(x,y).
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Em particular, defini-se a rea de B como $\iint\limits_{B} 1\,dx\,dy$, quando a integral existe. Quando a integral n o existe dizemos que B n o tem rea (o que n o o mesmo que dizer que B tem rea zero).,,,,,,,,,,,,,,,,
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Vimos o exemplo: $B=\{(x,y):0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1,x \in Q,y \in Q\}$ para o qual a integral $\iint\limits_{B} 1\,dx\,dy$ n o existe!\\,,,,,,,,,,,,,,
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\section{ rea e Fronteira},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\subsection{DEFINI O:},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Seja B um subconjunto de $R^2$. Um ponto $(x_{o},y_{o}) \in R^2$ se diz um \emph{ponto da fronteira de B} sse dado qualquer ret ngulo com centro em $(x_{o},y_{o})$ existem pontos do ret ngulo que est o em B e pontos que est o no complementar de B.,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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No exemplo acima, a fronteira de B todo o quadrado $[0,1]\times [0,1]$.,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\subsection{DEFINI O:},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Um subconjunto A de $R^2$ se diz de \emph{conte do zero} sse dado $\epsilon > 0$ qualquer, poss vel achar ret ngulos $R_{1},\dots ,R_{n}$ tais que sua reuni o cont m A e a soma de suas reas $< \epsilon$.,,,,,,,,,,,,,,,,,
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Prova-se que gr ficos de fun es $\phi:[a,b]\longrightarrow R$ cont nuas t m conte do nulo.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\subsection{TEOREMA},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\begin{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\item (i) Seja $B \subseteq R^2$ limitado. A integral $\iint\limits_{B} 1\,dx\,dy$ existe se e somente se a fronteira de B tem conte do zero.,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\item (ii) Seja $B \subseteq R^2$ um conjunto limitado e com fronteira de conte do nulo\footnote{i.e. B um ``conjunto com rea''}; e seja $f:B\longrightarrow R$ uma fun o limitada que cont nua exceto eventualmente num conjunto de conte do nulo. Ent o, f integr vel em B (i.e. existe $\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy$),,,,,,,,,,,,,,,,
\end{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\section{Algumas Propriedades das integrais},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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Sejam f e g integr veis em B. Ent o:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\begin{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\item (i) a soma de f e g integr vel em B e $\iint\limits_{B} [f(x,y) + g(x,y)]\,dx\,dy = \iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy + \iint\limits_{B} g(x,y)\,dx\,dy$,,,,,,,,,,
\item (ii) para todo $c \in R$, $cf(x,y)$ integr vel em B e $\iint\limits_{B} cf(x,y)\,dx\,dy = c\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy$,,,,,,,,,,,,
\item (iii) se $f(x,y) \leq g(x,y) \forall (x,y) \in B$, ent o $\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy \leq \iint\limits_{B} g(x,y)\,dx\,dy$,,,,,,,,,,
\item (iv) (em particular) $"f(x,y)"$ integr vel em B e $\left" \iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy \right" \leq \iint\limits_{B} "f(x,y)" \,dx\,dy$,,,,,,,,,,,,,
\item (v) (e tamb m) se $m \leq f(x,y) \leq M \; \forall (x,y) \in B$, ent o $m.(\text{ rea de B}) \leq \iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy \leq M.(\text{ rea de B})$,,,,,,,,,,,,,,
\item (vi) seja f integr vel em $B_{1}$, em $B_{2}$ e em $B_{1} \bigcup B_{2}$ e suponhamos que $B_{1} \bigcap B_{2}$ tem rea zero. Ent o: $\iint\limits_{B_{1}} f(x,y)\,dx\,dy + \iint\limits_{B_{2}} f(x,y)\,dx\,dy = \iint\limits_{B_{1} \bigcup B_{2}} f(x,y)\,dx\,dy$,,,,,,,,,,
\end{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\section{Integrais Iteradas - O Teorema de Fubini},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Seja f uma fun o (limitada e) integr vel num ret ngulo $[a,b]\times [c,d]$ e suponhamos que:,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\begin{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\item (i) para cada $y \in [c,d]$, a integral (de uma s vari vel, $x$) $\int_a^b f(x,y)\,dx$ existe, ent o $\int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y)\,dx \right] \,dy$ existe e igual integral dupla $\iint\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y) \,dx\,dy$.,,,,,,
\item (ii) para cada $x \in [a,b]$, a integral (de uma s vari vel, $y$) $\int_c^d f(x,y)\,dy$ existe, ent o $\int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y)\,dy \right] \,dx$ existe e igual integral dupla $\iint\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y) \,dx\,dy$.,,,,,,
\end{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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Em particular:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
$$\int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y)\,dy \right] \,dx = \iint\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y) \,dx\,dy = \int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y)\,dx \right] \,dy$$,,,,,,,,,
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\section{Exemplo: $$\iint\limits_{[0,2]\times [1,4]} \sqrt[3]{x}y^2\,dx\,dy$$},,,,,,,,,,,,,,,,
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\begin{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\item Usando (i):,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\begin{displaymath},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\begin{split},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\int_1^4 \left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\int_0^2 \sqrt[3]{x}y^2 \,dx ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dy\\ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =\int_1^4 \left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\frac{x^{\frac{1}{3}+1}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
{\frac{1}{3}+1},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
y^2\,dx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right]_{x=0}^{x=2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dy\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =\int_1^4 \left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\frac{3}{4},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2^\frac{4}{3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
y^2 - 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dy\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =\left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\frac{3}{4},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2^\frac{4}{3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\frac{y^3}{3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right]_{y=1}^{y=4}\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =2^{-\frac{2}{3}}(4^3 -1^3)\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =63.2^{-\frac{2}{3}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\end{split},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\end{displaymath},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\item Usando (ii):,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\begin{displaymath},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\begin{split},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\int_0^2 \left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\int_1^4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\sqrt[3]{x},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
y^2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dy,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dx & =\int_0^2 \left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\sqrt[3]{x},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\frac{y^3}{3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right]_{y=1}^{y=4},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dx\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =\int_0^2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\frac{63}{3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\sqrt[3]{x},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\,dx\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& =\left[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
21.\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\right]_{x=0}^{x=2}\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& = 21.\frac{3}{4}.2^{\frac{4}{3}}\\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
& = 63.2^{-\frac{2}{3}} ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\end{split},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\end{displaymath},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\end{itemize},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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\section{Mensagem aos colegas},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Neste semestre, est sendo ministrado no mesanino da sala C1-01 do pr dio da Engenharia El trica, o curso ``Oficina de Arte e Programa o'' com o professor, f sico e artista Etienne Delacroix\footnote{Arte, Conhecimento e inclus o digital\\http://www.eca.usp.br/nucleos/njr/espiral/noosfera19a.htm}. Neste curso, os alunos ter o contato ntimo com reciclagem e express o eletr nica e ser o introduzidos a conceitos b sicos de programa o. Ser o utilizados HTML, JavaScript e linguagem de scripts LUA, com o intuito de tornar acess veis a qualquer pessoa os conceitos da computa o.,,,,,,,,,,,,,
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As aulas acontecem s $4^{\tiny\b{as}}$ feiras s 14h e est o acess veis a alunos de toda a USP.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
\end{document},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
