Transcript
\documentclass[a4paper]{article},,,,,,,,,
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\usepackage[latin1]{inputenc},,,,,,,,,
\usepackage[brazil]{babel},,,,,,,,,
\usepackage{amsmath},,,,,,,,,
\usepackage{amssymb},,,,,,,,,
\title{C lculo III - Aula 1},,,,,,,,,
\author{Prof. Stavros Christodoulou},,,,,,,,,
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\date{\small S o Paulo, $1^{\tiny \b{o}}$ de Mar o de 2005},,,,,,,,
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\begin{document},,,,,,,,,
\maketitle,,,,,,,,,
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\small Transcri o das aulas ministradas pelo professor Stavros Christodoulou na Escola Polit cnica da USP no primeiro semestre de 2005. Este material resultado de trabalho volunt rio e o seu \emph{uso comercial proibido}. Todo o material est dispon vel no website \verb+www.lsi.usp.br/~felipe/calculo.html+ C pias XEROX s o permitidas desde que o pre o cobrado seja apenas o pre o de custo do servi o (tipicamente de 10 a 15 centavos por folha de papel). Pr ticas abusivas podem levar descontinuidade deste projeto volunt rio.,,,,,,,,,
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\section{Defini o de Integral (simples)},,,,,,,,,
A igualdade a seguir\footnote{n o a defini o de integral simples.} conseq ncia do Teorema Fundamental do C lculo (de Newton e Leibniz):\\$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$ $$\text{onde F alguma primitiva de f}$$ $$\text{(i.e. $F'(x) = f(x), \forall x$)}$$,,,,,,,
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Escolhemos pontos $\bar{x_i} \in [x_{i-1},x_{i}]$,,,,,,,,
para $i=1,\dots,n$ e formamos a soma de Riemann: $$\sum_{i=1}^n{f(\bar{x_i})} \Delta x_{i}\text{, onde }\Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}$$,,,,,,
$$\text{e $a=x_0 \leq x_1 \leq \dots \leq x_n = b$}$$,,,,,,,,,
$$\text{ uma parti o de $[a,b]$}$$,,,,,,,,
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No curso de C lculo I, a integral $\int_a^b f(x)\,dx$ foi definida como o limite da soma de Riemann acima quando os $\Delta x_i$ tendem a zero.,,,,,,,
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O c lculo de integrais por meio da defini o muito trabalhoso. Portanto, foram estudadas t cnicas mais simples e pr ticas. O mesmo ocore para o c lculo de integrais duplas.,,,,,,,,
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\section{Integrais Duplas},,,,,,,,,
\subsection{Motiva o},,,,,,,,,
\begin{itemize},,,,,,,,,
\item C lculo do volume da regi o do espa o,,,,,,,,,
$$S=\{(x,y,z):(x,y) \in B, 0 \leq z \leq f(x,y)\}$$ onde B um subconjunto do plano xy; e f uma fun o real definida em B, que vamos supor $f(x,y) \ge 0, \forall (x,y) \in B$.
\item C lculo da massa de uma ``l mina'' plana cuja densidade superficial num ponto (x,y) de B f(x,y).,,,,,,,
\end{itemize},,,,,,,,,
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\subsection{Defini o},,,,,,,,,
Vamos assumir que tanto o dom nio B um conjunto limitado do plano xy \footnote{o que significa que existe algum ret ngulo R = [a,b]x[c,d] no qual B est contido} quanto a fun o f limitada (isto , $\exists M : "f(x,y)" \le M \; \forall (x,y) \in B $).\\,,,,
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Sejam, ent o $f:B \subseteq R^2 \longrightarrow R$, com B limitado e f limitada; e seja $R = [a,b]\times[c,d]$ algum ret ngulo contendo B. Tomamos uma parti o $a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ de $[a,b]$ e uma parti o $c=y_0 < y_1 < \dots < y_m = d$ de $[c,d]$.\\,,,
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Isso fornece uma parti o de R em m.n pequenos ``ret ngulos''\\,,,,,,,,,
$$R_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$$,,,,,,,
$$i=1,\dots ,n$$,,,,,,,
$$j=1,\dots ,m$$,,,,,,,
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Escolhemos pontos $(x_{ij} *,y_{ij} *)$ dentro dos $R_{ij}$ e formamos a soma:\\,,,,,,,,
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(x_{ij} *,y_{ij} *)\Delta x_{i}\Delta y_{j}$$,,,,,,,,
$$\text{onde }\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i-1}$$ ,,,,,,,,,
$$\text{ e }\Delta y_{j} = y_{j} - y_{j-1}$$\\,,,,,,,,,
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Observe que o n mero $f(x_{ij} *,y_{ij} *)\Delta x_{i}\Delta y_{j}$ (no caso em que $f(x_{ij} *,y_{ij} *) > 0$) o volume do paralelep pedo de base $R_{ij}$ e altura $f(x_{ij} *,y_{ij} *)$; e, conseq entemente, (se $\Delta x_{i}$ e $\Delta y_{j}$ s o ``pequenos'') est pr ximo do volume abaixo do gr fico e acima do ret ngulo $R_{ij}$\footnote{An logo para c lculo de massa.}.,,,,
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Assim, a soma de Riemann $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(x_{ij} *,y_{ij} *)\Delta x_{i}\Delta y_{j}$$ acaba sendo uma aproxima o do volume de $S=\{(x,y,z) : (x,y) \in B; 0\leq z \leq f(x,y)\}$ ou da massa da ``l mina'' plana que ser tanto \emph{melhor} quanto \emph{menores} forem os n meros $\Delta x_{i}$ e $\Delta y_{j}$.,,,
\hyphenation{a-pro-xi-ma-rem},,,,,,,,,
No limite, quando os n meros $\Delta x_{i}$ e $\Delta y_{j}$ tenderem a zero, se as somas se ``aproximarem'' de algum n mero ``fixo'' L, este n mero se define como a integral dupla, $\iint\limits_B f(x,y)\,dx\,dy$, de f em B.,
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Formalmente dizemos que as somas de Riemann de f tendem para L sse\footnote{\emph{sse} de ``se e somente se'' ou \emph{iff} de ``if and only if''} dado $\epsilon > 0$ ``qualquer'' existe algum $\delta > 0$ tal que para toda parti o do ret ngulo R para o qual $\Delta x_{i} < \delta$,\; $\Delta y_{j} < \delta$ para todos $i,j$; e para toda escolha de pontos $(x_{ij}*,y_{ij}*)$ tem-se que,,,,,,
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$$\left" \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(x_{ij} *,y_{ij} *) \Delta x_{i}\Delta y_{j} - L \right" < \epsilon$$,,,,,,,,
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Se existe algum L como acima, ele nico e chamado integral dupla de f em B; e denotado por $\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy$,,,,,
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Ou seja,,,,,,,,,
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%\begin{equation},,,,,,,,,
% \boxed{,,,,,,,,,
% \iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy,,,,,,
% \triangleq \lim ,,,,,,,,,
% \begin{Sb},,,,,,,,,
% {\Delta x_{i} \rightarrow 0 \\,,,,,,,,,
% \Delta y_{j} \rightarrow 0},,,,,,,,,
% \end{Sb},,,,,,,,,
% \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(x_{ij} *,y_{ij} *)\Delta x_{i}\Delta y_{j},,,,,,,,
% },,,,,,,,,
%\end{equation},,,,,,,,,
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$$,,,,,,,,,
\boxed{,,,,,,,,,
\iint\limits_{B} f(x,y)\,dx\,dy,,,,,,
\triangleq \lim_{\Delta x_{i} \rightarrow 0 \; \Delta y_{j} \rightarrow 0},,,,,,,,,
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(x_{ij} *,y_{ij} *)\Delta x_{i}\Delta y_{j},,,,,,,,
},,,,,,,,,
$$,,,,,,,,,
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\subsubsection{Exemplo 1 (trivial)},,,,,,,,,
$$B=[a,b]\times[c,d]$$,,,,,,,
$$f(x,y)=k \; \forall (x,y) \in B$$,,,,,,,
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f cil ver que, $$\sum_{i} \sum_{j} f(x,y)\Delta x_{i} \Delta y_{j} = k(b-a)(d-c)$$ para toda parti o e toda escolha.,,,,,,,
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Portanto, o limite das somas tamb m k(b-a)(d-c); e, assim,$$\iint\limits_{B} k\,dx\,dy = k(b-a)(d-c)$$ que o volume abaixo do gr fico da fun o\footnote{Parelelep pedo de arestas k, (b-a) e (d-c)}.,,,
\subsubsection{Exemplo 2},,,,,,,,,
$$B=[0,1]\times[0,1] \text{ e }$$,,,,,,,
$$,,,,,,,,,
f(x,y)=,,,,,,,,
\begin{cases},,,,,,,,,
0 \;\;\; \text{se $x \in Q$ e $y \in Q$}\\,,,,,,,,,
1 \;\;\; \text{se $x \notin Q$ ou $y \notin Q$},,,,,,,,,
\end{cases},,,,,,,,,
$$,,,,,,,,,
$$\text{para $(x,y) \in B$.}$$,,,,,,,,
$$\text{Q o conjunto dos n meros racionais.}$$,,,,,,,,,
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`` f cil ver'' que as somas de Riemann de f em B valem zero se as escolhas $(x_{ij} *, y_{ij} *)$ s o sempre racionais; valem 1 se sempre pelo menos um dois n o for racional, e podem tomar qualquer valor entre 0 e 1 no caso geral; conseq entemente, estas somas n o tendem para nenhum limite.\\ ,,,,,,
Logo, esta fun o n o integr vel em $B$.,,,,,,,,
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\subsubsection{Exemplo: 3\\ \small Muito semelhante! Por m, diferente...},,,,,,,,
$$B=\{(x,y):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1,x \in Q,y \in Q\}$$,,,,,
$$\text{e $f:B\longrightarrow R$ definida por}$$,,,,,,,,,
$$f(x,y)=1, \forall (x,y) \in B$$,,,,,,
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Analogamente ao segundo exemplo, as somas de Riemann de f em B n o tendem a nenhum limite; e, assim, f tamb m n o integr vel em B.,,,,,,
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\hyphenation{ne-ces-sa-ri-a-men-te},,,,,,,,,
\section{Mensagem aos colegas},,,,,,,,,
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Quero pedir licen a e aproveitar esse espa o que sobrou na p gina, e que poderia muito bem ter ficado em branco, para expor algumas das minhas id ias. Acredito que elas podem ser teis, agrad veis, interessantes etc. embora alguns possam ach -las entediantes, incomuns ou at mesmo provocantes. De qualquer forma, quero deixar claro quais s o as minhas inten es ao iniciar um projeto volunt rio como este.,,,
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Durante os ltimos dois anos tomei contato com o mundo do software livre e muitas das id ias defendidas pelos seus entusiastas se mostraram suficientemente coerentes. A principal mensagem que consegui assimilar foi a de que o trabalho coletivo colaborativo, n o necessariamente remunerado e, principalmente, movido pelo entusiasmo e pela busca de algo que preza pela qualidade tende a gerar resultados extremamente satisfat rios.,,,,,,
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Exemplos de trabalhos incr veis que est o surgindo n o faltam: o browser Firefox e outros aplicativos livres, sites wiki, sistemas operacionais livres Linux, FreeBSD e similares\footnote{o Brasil reconhecido mundialmente no movimento do software livre.}, licen a art stica Creative Commons, etc. ,,,,
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A Wikipedia\footnote{http://en.wikipedia.org} um dos sucessos desta linha de pensamento. Trata-se de uma enciclop dia livre 100\% escrita por pessoas comuns ao redor do mundo em diversos idiomas (A vers o em ingl s , obviamente," a mais volumosa). O desenvolvimento dessa enciclop dia feito pela Web utilizando um conceito chamado ""wiki"" (ouvi dizer que significa ""ligeiro"" ou algo parecido em algum idioma ex tico). Wikis s o uma categoria de sites cujo conte do pode ser livremente editado pelos visitantes\footnote{sem a necessidade de cadastro de usu rio e inser o de senhas} e n o apenas pelo webmaster. Muitos de voc s devem estar pensando ""Oh"," meu deus! E se algu m apagar tudo e escrever uma grande bobagem no meu site wiki?!"". Calma... os wikis guardam hist ricos das modificacoes feitas e o conte do antigo pode ser restaurado a qualquer instante por qualquer pessoa.",,,,,,
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. isso mesmo: completa liberdade. Isso leva as pessoas que participam desse tipo de intera o a tomarem consci ncia da import ncia da sua coopera o para que o ambiente de desenvolvimento colaborativo (no exemplo acima, um wiki) seja harm nico e que os esfor os das pessoas n o se anulem mutuamente.,,,,,,,,
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Quanto s aulas de C lculo 3 transcritas, algumas pessoas j est o se manifestando e mostrando interesse em colaborar. Eu imagino que o esfor o necess rio para manter esse projeto durante um semestre inteiro maior do que uma nica pessoa capaz de oferecer. Quero mostrar Poli que, se mais pessoas se dedicarem na confec o deste material, podemos juntos ter mais um elemento de qualidade no apoio aos nossos estudos.,,,,,,
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E claro que, se for necess rio, podemos fazer um wiki para agilizar o trabalho! Aguardo sugest es.,,,,,,,
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[email protected]+,,,,,,,,,
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\end{document},,,,,,,,,
