Transcript
C´alculo III - Aula 1 Prof. Stavros Christodoulou S˜ ao Paulo, 1o¯ de Mar¸co de 2005
Transcri¸c˜ ao das aulas ministradas pelo professor Stavros Christodoulou na Escola Polit´ecnica da USP no primeiro semestre de 2005. Este material ´e resultado de trabalho volunt´ ario e o seu uso comercial ´e proibido. Todo o material est´ a dispon´ıvel no website www.lsi.usp.br/~felipe/calculo.html C´ opias XEROX s˜ ao permitidas desde que o pre¸co cobrado seja apenas o pre¸co de custo do servi¸co (tipicamente de 10 a 15 centavos por folha de papel). Pr´ aticas abusivas podem levar ` a descontinuidade deste projeto volunt´ ario.
1
Defini¸ c˜ ao de Integral (simples)
A igualdade a seguir1 ´e conseq¨ uˆencia do Teorema Fundamental do C´ alculo (de Newton e Leibniz): b
Z
f (x) dx = F (b) − F (a) a
onde F ´e alguma primitiva de f (i.e. F 0 (x) = f (x), ∀x) Escolhemos pontos x¯i ∈ [xi−1 , xi ] para i = 1, . . . , n e formamos a soma de Riemann: n X
f (x¯i )∆xi , onde ∆xi = xi − xi−1
i=1
e a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b ´e uma parti¸c˜ ao de [a, b] Rb No curso de C´ alculo I, a integral a f (x) dx foi definida como o limite da soma de Riemann acima quando os ∆xi tendem a zero. O c´ alculo de integrais por meio da defini¸c˜ ao ´e muito trabalhoso. Portanto, foram estudadas t´ecnicas mais simples e pr´ aticas. O mesmo ocore para o c´ alculo de integrais duplas.
1 n˜ ao
´ e a defini¸c˜ ao de integral simples.
1
2
Integrais Duplas
2.1
Motiva¸c˜ ao
• C´ alculo do volume da regi˜ ao do espa¸co S = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x, y)} onde B ´e um subconjunto do plano xy; e f ´e uma fun¸c˜ ao real definida em B, que vamos supor f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ B. • C´ alculo da massa de uma “lˆ amina” plana cuja densidade superficial num ponto (x,y) de B ´e f(x,y).
2.2
Defini¸c˜ ao
Vamos assumir que tanto o dom´ınio B ´e um conjunto limitado do plano xy a fun¸c˜ ao f ´e limitada (isto ´e, ∃M : |f (x, y)| ≤ M ∀(x, y) ∈ B).
2
quanto
Sejam, ent˜ ao f : B ⊆ R2 −→ R, com B limitado e f limitada; e seja R = [a, b]×[c, d] algum retˆ angulo contendo B. Tomamos uma parti¸c˜ ao a = x0 < x1 < · · · < xn = b de [a, b] e uma parti¸c˜ ao c = y0 < y1 < · · · < ym = d de [c, d]. Isso fornece uma parti¸c˜ ao de R em m.n pequenos “retˆ angulos” Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] i = 1, . . . , n j = 1, . . . , m Escolhemos pontos (xij ∗, yij ∗) dentro dos Rij e formamos a soma: n X m X
f (xij ∗, yij ∗)∆xi ∆yj
i=1 j=1
onde ∆xi = xi − xi−1 e ∆yj = yj − yj−1
Observe que o n´ umero f (xij ∗, yij ∗)∆xi ∆yj (no caso em que f (xij ∗, yij ∗) > 0) ´e o volume do paralelep´ıpedo de base Rij e altura f (xij ∗, yij ∗); e, conseq¨ uentemente, (se ∆xi e ∆yj s˜ ao “pequenos”) est´ a pr´ oximo do volume abaixo do gr´ afico e acima do retˆ angulo Rij 3 . Assim, a soma de Riemann n X m X
f (xij ∗, yij ∗)∆xi ∆yj
i=1 j=1
acaba sendo uma aproxima¸c˜ ao do volume de S = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B; 0 ≤ z ≤ f (x, y)} ou da massa da “lˆ amina” plana que ser´ a tanto melhor quanto menores forem os n´ umeros ∆xi e ∆yj . No limite, quando os n´ umeros ∆xi e ∆yj tenderem a zero, se as somas se “aproximarem” de algum n´ umero “fixo” L, este n´ umero se define como RR a integral dupla, f (x, y) dx dy, de f em B. B 2o
que significa que existe algum retˆ angulo R = [a,b]x[c,d] no qual B est´ a contido para c´ alculo de massa.
3 An´ alogo
2
Formalmente dizemos que as somas de Riemann de f tendem para L sse4 dado > 0 “qualquer” existe algum δ > 0 tal que para toda parti¸c˜ ao do retˆ angulo R para o qual ∆xi < δ, ∆yj < δ para todos i, j; e para toda escolha de pontos (xij ∗, yij ∗) tem-se que ˛ ˛ n X m ˛X ˛ ˛ ˛ f (xij ∗, yij ∗)∆xi ∆yj − L˛ < ˛ ˛ ˛ i=1 j=1
Se existe algum ´nico e ´e chamado integral dupla de f em B; RR L como acima, ele ´e u e ´e denotado por f (x, y) dx dy B
Ou seja, n X m X
ZZ f (x, y) dx dy ,
lim
∆xi →0 ∆yj →0
B
2.2.1
f (xij ∗, yij ∗)∆xi ∆yj
i=1 j=1
Exemplo 1 (trivial) B = [a, b] × [c, d] f (x, y) = k ∀(x, y) ∈ B
´ f´ E acil ver que, XX i
f (x, y)∆xi ∆yj = k(b − a)(d − c)
j
para toda parti¸c˜ ao e toda escolha. Portanto, o limite das somas ´e tamb´em k(b-a)(d-c); e, assim, ZZ k dx dy = k(b − a)(d − c) B
que ´e o volume abaixo do gr´ afico da fun¸c˜ ao5 .
2.2.2
Exemplo 2 B = [0, 1] × [0, 1] e ( 0 se x ∈ Q e y ∈ Q f (x, y) = 1 se x ∈ / Q ou y ∈ /Q para (x, y) ∈ B. Q ´e o conjunto dos n´ umeros racionais.
´ f´ “E acil ver” que as somas de Riemann de f em B valem zero se as escolhas (xij ∗, yij ∗) s˜ ao sempre racionais; valem 1 se sempre pelo menos um dois n˜ ao for racional, e podem tomar qualquer valor entre 0 e 1 no caso geral; conseq¨ uentemente, estas somas n˜ ao tendem para nenhum limite. Logo, esta fun¸c˜ ao n˜ ao ´e integr´ avel em B.
4 sse
de “se e somente se” ou iff de “if and only if” de arestas k, (b-a) e (d-c)
5 Parelelep´ ıpedo
3
2.2.3
Exemplo: 3 Muito semelhante! Por´ em, diferente... B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x ∈ Q, y ∈ Q} e f : B −→ R definida por f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ B
Analogamente ao segundo exemplo, as somas de Riemann de f em B n˜ ao tendem a nenhum limite; e, assim, f tamb´em n˜ ao ´e integr´ avel em B.
3
Mensagem aos colegas
Quero pedir licen¸ca e aproveitar esse espa¸co que sobrou na p´ agina, e que poderia muito bem ter ficado em branco, para expor algumas das minhas id´eias. Acredito que elas podem ser u ´teis, agrad´ aveis, interessantes etc. embora alguns possam ach´ a-las entediantes, incomuns ou at´e mesmo provocantes. De qualquer forma, quero deixar claro quais s˜ ao as minhas inten¸c˜ oes ao iniciar um projeto volunt´ ario como este. Durante os u ´ltimos dois anos tomei contato com o mundo do software livre e muitas das id´eias defendidas pelos seus entusiastas se mostraram suficientemente coerentes. A principal mensagem que consegui assimilar foi a de que o trabalho coletivo colaborativo, n˜ ao necessariamente remunerado e, principalmente, movido pelo entusiasmo e pela busca de algo que preza pela qualidade tende a gerar resultados extremamente satisfat´ orios. Exemplos de trabalhos incr´ıveis que est˜ ao surgindo n˜ ao faltam: o browser Firefox e outros aplicativos livres, sites wiki, sistemas operacionais livres Linux, FreeBSD e similares6 , licen¸ca art´ıstica Creative Commons, etc. A Wikipedia7 ´e um dos sucessos desta linha de pensamento. Trata-se de uma enciclop´edia livre 100% escrita por pessoas comuns ao redor do mundo em diversos idiomas (A vers˜ ao em inglˆes ´e, obviamente, a mais volumosa). O desenvolvimento dessa enciclop´edia ´e feito pela Web utilizando um conceito chamado ”wiki”(ouvi dizer que significa ”ligeiro”ou algo parecido em algum idioma ex´ otico). Wikis s˜ ao uma categoria de sites cujo conte´ udo pode ser livremente editado pelos visitantes8 e n˜ ao apenas pelo webmaster. Muitos de vocˆes devem estar pensando ”Oh, meu deus! E se algu´em apagar tudo e escrever uma grande bobagem no meu site wiki?!”. Calma... os wikis guardam hist´ oricos das modificacoes feitas e o conte´ udo antigo pode ser restaurado a qualquer instante por qualquer pessoa. ´ E ´ isso mesmo: completa liberdade. Isso leva as pessoas que participam desse tipo E. de intera¸c˜ ao a tomarem consciˆencia da importˆ ancia da sua coopera¸c˜ ao para que o ambiente de desenvolvimento colaborativo (no exemplo acima, um wiki) seja harmˆ onico e que os esfor¸cos das pessoas n˜ ao se anulem mutuamente. Quanto ` as aulas de C´ alculo 3 transcritas, algumas pessoas j´ a est˜ ao se manifestando e mostrando interesse em colaborar. Eu imagino que o esfor¸co necess´ ario para manter esse projeto durante um semestre inteiro ´e maior do que uma u ´nica pessoa ´e capaz de oferecer. Quero mostrar ` a Poli que, se mais pessoas se dedicarem na confec¸c˜ ao deste material, podemos juntos ter mais um elemento de qualidade no apoio aos nossos estudos. E ´e claro que, se for necess´ ario, podemos fazer um wiki para agilizar o trabalho! Aguardo sugest˜ oes.
[email protected]
6o
Brasil ´ e reconhecido mundialmente no movimento do software livre.
7 http://en.wikipedia.org 8 sem
a necessidade de cadastro de usu´ ario e inser¸c˜ ao de senhas
4
