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UFMT Universidade Federal do Mato Grosso Departamento de Matem´ atica-CUR
Cosmologia: O Bigue Bangue
Cosmology: The Big Bang Prof. Rosevaldo de Oliveira
Professor: Rosevaldo de Oliveira
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Conte´ udo 1 Introdu¸ c˜ ao
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2 A teoria do Bigue Bangue ou The Theory of the Big Bang 5 3 Distˆ ancias
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4 Redshift e Expans˜ ao do Universo
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5 Radia¸ c˜ ao de Corpo Negro e Radia¸ c˜ ao C´ osmica de Fundo 17 6 Curvatura
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2
7 A m´ etrica de Robertson-Walker
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8 Relatividade Geral
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9 Dinˆ amica do Universo
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10 Coment´ arios Finais
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1
Introdu¸c˜ ao
Imagine uma ´epoca do passado remoto, h´a bilh˜oes de anos, muito antes do nascimento da Terra, do Sol e da Via L´actea. Imagine tamb´em o espa¸co c´osmico primordial, escuro e frio, de volume infinito, totalmente vazio, exceto por um u ´nico lugar, uma regi˜ao extremamente pequena onde repousa a semente da Cria¸c˜ao. Aquele ponto diminuto, de temperatura e press˜ao enormes, sofre algum tipo de perturba¸c˜ ao interna e detona subitamente numa grande explos˜ao, criando a mat´eria. Esta ´e lan¸cada em todas as dire¸c˜oes e forma uma esfera que ocupa cada vez mais lugar naquele espa¸co vazio e infinito anteriormente existente, organizando-se at´e chegar `a configura¸c˜ao peculiar e menos densa que observamos atualmente. O centro do Universo ´e o local onde ocorreu a explos˜ao e corresponde ao centro da grande esfera de gal´axias em expans˜ao que vemos
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hoje. Se pud´essemos viajar livremente pelo espa¸co e dispus´essemos do tempo necess´ario, conseguir´ıamos visitar aquela misteriosa regi˜ ao onde tudo come¸cou. Por outro lado, as gal´axias da periferia da esfera avan¸cam velozmente para o v´acuo infinito que se apresenta `a sua frente. Se algum ser inteligente vive em uma delas, percebe que s´o existem gal´axias numa metade do c´eu. Com essa constata¸c˜ao, ele raciocina e deduz que, quando ele olha para o centro da metade escura e vazia do espa¸co, vˆe o ponto para onde sua gal´axia se dirige, e, quando olha para o lugar oposto, bem no meio da regi˜ao das gal´axias, vˆe o ponto de onde sua gal´axia se afasta, centro do Universo material, onde ocorreu a explos˜ao.
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2
A teoria do Bigue Bangue ou The Theory of the Big Bang
´ uma teoria baseada na Teoria da Relatividade Geral de 1. E Einstein. ´ a teoria padr˜ao da cosmologia atual, o nome Big Bang vem 2. E do fato de considerar o surgimento do universo como um evento inicial. 3. Na metade dos anos 40 um f´ısico sovi´etico G. Gamov rec´em ingressado nos EUA (ignorando o trabalhos de Adam e MecKellar) propˆos a um de seus estudadntes R. Alpher o estudo da nucleoss´ıntese de um universo em expans˜ao. 4. No final dos anos 40 R. Alpher e R. Herman passam a considerar a existˆencia de uma radia¸c˜ao de fundo remanescente
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do per´ıodo da cria¸c˜ao do universo.
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3
Distˆ ancias
A luz do sol leva aproximadamente 8 mimutos para atingir a terra, 8
e a distˆancia das estrelas mais pr´oximas s˜ao de aproximadamente de 3 anos-luz ou 1 pc.
O diˆametro da nossa gal´axia ´e de aproximadamente 163000AL. 9
Uma das gal´axias mais pr´oximas da nossa gal´axia ´e Andromeda, e est´a aproximadamente 2 milh˜oes de anos luz. Quanto tempo levar´ıamos para alcan¸car a estrela mais pr´oxima numa levocidade de 60000km/h? t=
d ∼ 8, 5 anos v
(1)
E para chegarmos em Andromeda nesta velocidade o tempo seria de t=
d ∼ 578 milh˜oes de anos v
10
(2)
4
Redshift e Expans˜ ao do Universo
1. Em 1912 Vesto Slipher fez as primeiras medidas observando o redshift que ´a definido por λobs − λem z= λem
(3)
O valor de z varia entre 0 e 1
v=
∆λ ∆T
z
>
0
Redshift
(4)
z
<
0
Blueshift
(5)
v ∆λ ∆λ = = =z c c∆T λe
11
(6)
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2. Em 1929 Edwin Hubble relacionou o redshift com a distˆancia das gal´axias H0 z= r c
(7)
Usando a rela¸c˜ao z = v/c podemos mostrar que z = H0 r
(8)
km o valor atual da costante de Hubble ´e H0 = 70 ± 7 s.M pc .
A idade do Universo pode ser estimada por meio de r r 1 t0 = = = ∼ 15 bilh˜oes de anos v H0 r H0
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(9)
14
Dados trˆes gal´axias no espa¸co a distˆancia entre eles ´e dada por r12
=
|~r1 − ~r2 |
(10)
r23
=
|~r2 − ~r3 |
(11)
r31
=
|~r3 − ~r1 |
(12)
3. A expans˜ao do universo implica no sugimento de um fator de escala que preserva a forma do triˆangulo
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r12 (t)
= a(t)r12 (t0 )
(13)
r23 (t)
= a(t)r23 (t0 )
(14)
r31 (t)
= a(t)r31 (t0 )
(15)
4. A velocidade entre as trˆes gal´axias ´e v12 (t) v12 (t)
dr12 a˙ = ar ˙ 12 (t0 ) = r12 (t) dt a = H0 r =
16
(16) (17)
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Radia¸c˜ ao de Corpo Negro e Radia¸c˜ ao C´ osmica de Fundo
17
A densidade de energia total de um Corpo-Negro ´e uma fun¸c˜ao da temperatura E = σT 4 V
(18)
Em 1965 Arno Penzias e Robert Wilson no laborat´orio da Bell descobriram a Radia¸c˜ao C´osmica de Fundo T0 = 2.725 ± 0.001K
18
(19)
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Curvatura
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O elemento de distˆancia ds2
=
dx2 + dy 2
ds2
=
dr2 + r2 dθ2
(Cartesianas)
(20)
(P olares)
(21)
onde A ´e a ´area da esfera e R ´e o raio da esfera.
20
Na superf´ıcie 2D de uma esfera o elemento de linha ´e descrito por ³r´ 2 2 2 2 (22) ds = dr + R sin dθ2 R
A distˆancia no espa¸co hiperb´olico 2D ´e dada por ³r´ ds2 = dr2 + R2 sinh2 dθ2 R 21
(23)
Em 3D a distˆancia nas coordenadas cartesianas ´e dada por ds2
=
dx2 + dy 2 + dz 2
(24)
ds2
=
dr2 + Sk (r)2 dΩ2
(25)
onde dΩ2 = dθ2 + sin2 (φ)dφ2
(26)
e Sk (r)
=
Sk (r) =
R sin(r/R)
para
k = +1
r
para
k=0
para
k = −1
Sk (r) = R sinh(r/R)
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(27)
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A m´ etrica de Robertson-Walker
A distˆancia num universo em expans˜ao ´e dada por ds2
=
−c2 dt2 + a(t)[dr2 + Sk (r)2 dΩ2 ]
(28)
onde dΩ2 = dθ2 + sin2 (φ)dφ2
(29)
e Sk (r)
=
Sk (r) =
R sin(r/R)
para
k = +1
r
para
k=0
para
k = −1
Sk (r) = R sinh(r/R)
(30)
Fazendo algumas transforma¸c˜oes podemos escrever a m´etrica de
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Robertson-Walker da seguinte forma · ¸ 2 ¡ ¢ dr 2 2 2 2 ds2 = −c2 dt2 + a2 (t) + r dθ + sin (θ)dφ 1 − kr2 gµν
−1 0 = 0 0
(31)
0
0
0
a2 (t) 1−kr 2
0
0
2
0
a (t)r
0
0
2
0
(32)
a2 (t)r2 sin2 (θ)
Para o caso particular k = 0 temos um universo plano (m´etrica de Minkowsky com fator de escala)
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25
A distˆancia pr´opria entre um observador e uma gal´axia num tempo fixo t e ˆangulos fixos θ, φ ´e dada por ds = dp (t)
a(t)dr
= a(t)r
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(33) (34)
A velocidade da expans˜ao ´e dada por d˙p (t) = v(t) = v(t) =
a(t)r ˙ µ ¶ a˙ dp (t) a H(t)dp (t)
(35) (36) (37)
No momento o tempo ´e t0 e a rela¸c˜ao acima ´e dada por v(t0 )
= H(t0 )dp (t0 )
(38)
Esta ´e a velocidade de recess˜ao que as gal´axias est˜ao se afastando de n´os. Quando a distˆancia atinge o valor de dH (t0 ) = c/H0 a velocidade de recess˜ao atinge a velocidade da luz c esta ´e conhecida como sendo a distˆancia Hubble dH (t0 ) = 4300 ± M pc
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(39)
8
Relatividade Geral
Para obter a dinˆamica partiremos da equa¸c˜ao de Einstein da Relatividade Geral Gµν = −
8πGTµν c4
(40)
onde Tµν ´e o tensor energia-momento e Gµν Rµν R
1 (T ensor de Einstein) = Rµν − Rgµν 2 = Rλµλν (T ensor de Ricci) = Rµµ
(Escalar de Curvatura)
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(41) (42) (43)
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Dinˆ amica do Universo
Utilizando a m´etrica de Robertson-Walker · ¸ 2 ¡ ¢ dr 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = −c dt + a (t) + r dθ + sin (θ)dφ 1 − kr2
(44)
Podemos calcular a conex˜ao Γ =
da a g˜ij dt
Γi0j
=
Γij0
Γijk
=
Γ0ij
(45)
1 da i = δ a dt j µ ¶ il g˜ ∂˜ glk ∂˜ gjk ∂˜ glj + − 2 ∂xk ∂xj ∂xl
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(46) (47)
onde g˜µν
−1 0 = 0 0
0
0
0
1 1−kr 2
0
0
2
0
0
r
0
0
e em posse do tensor energia-momento temos −ρ 0 0 0 P 0 Tνµ = 0 0 P 0 0 0
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(48)
r2 sin2 (θ) para um fluido isotr´opico 0
0 0 P
(49)
Da conserva¸c˜ ao da energia temos que ∂Tνµ µ α α µ + Γ T − Γ T αµ ν νµ α = 0 µ ∂x
(50)
e fazendo uso da componente (0-0) da equa¸c˜ao de Einstein obtemos a equa¸ca˜o de Friedmann µ ¶2 a˙ 8πG kc2 = ρ− 2 2 2 a 3c R0 a a˙ ρ˙ + 3 (ρ + P ) = 0 a
P = ωρ
Eq. de Friedmann
(51)
Eq. do Fluido
(52)
Eq. de Estado
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(53)
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Coment´ arios Finais
1. O nada ´ e quase tudo: aproximadamente 70% da energia total do universo (a) 1948 Hendrik Casimir insere duas chapas met´alicas no v´acuo, separadas por 0,02 mil´ımetro. E da energia do v´acuo surge uma for¸ca devido as condi¸c˜oes de contorno. (b) 1980 Alan Guth e Andr´e Linde mostram que, ao nascer, o Universo teve um crescimento por bilion´esimos de segundo. A causa: uma libera¸c˜ao de energia do v´acuo (c) 1997 Descobre-se que o cosmo est´a de novo crescendo em ´ poss´ıvel que o novo impulso seja um ritmo acelerado. E res´ıduo de energia do v´acuo, ainda em a¸c˜ao. (d) 2003 A an´alise de dados do sat´elite-telesc´opio WMAP leva a uma conclus˜ao absurda: a de que 73% do peso do 32
Universo vem do vazio. Absurda, por´em incontest´avel. • O nada est´a mortalmente quieto: armazenou a imensa energia do Big Bang e acomodou-se. Virou o esqueleto do cosmo. • At´e hoje, desde que, em 1930, come¸cou-se a fazer experiˆencias com os precursores dos aceleradores de part´ıculas, o equivalente a 1 863 272 195 pr´otons foram trazidos do nada - uma insignificˆancia.
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2. Quest˜ ao filos´ ofica: Provir do NADA Como nada n˜ao ´e coisa alguma, n˜ao se pode provir do nada. Mas isto n˜ao significa que algo n˜ao possa surgir sem que seja proveniente de alguma coisa. Isto n˜ao ´e proibido e n˜ao significa “surgir do nada”, mas sim surgir sem ser de coisa nenhuma. Tanto sem procedˆencia quanto sem causa e nem prop´osito. Assim ´e que deve ter ocorrido com o surgimento do conte´ udo cujo s´ ubito in´ıcio de expans˜ao consiste no Big Bang.Como nada n˜ao ´e coisa alguma, n˜ao se pode provir do nada. Mas isto n˜ao significa que algo n˜ao possa surgir sem que seja proveniente de alguma coisa. Isto n˜ao ´e proibido e n˜ao significa “surgir do nada”, mas sim surgir sem ser de coisa nenhuma. Tanto sem procedˆencia quanto sem causa e nem prop´osito. Assim ´e que deve ter ocorrido com o surgimento do conte´ udo cujo s´ ubito in´ıcio de expans˜ao consiste no Big Bang.
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