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CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE. Beer e Johnston, 1995 Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso ∆P1, ∆P2 e ∆Pi, respectivamente. Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos elementares. ΣFz → P = ∆P1+∆P2+...∆Pi
ou seja:
ΣFz → P = ∫dp
Z
P
Z Y
Pi
x
o
G
Y xi
o
y
yi
X
X
∆Pi Momento Axial no eixo Y: ΣMy = x.P = Σxi.∆ ∆Pi Momento Axial no eixo X: ΣMx = y.P = Σyi.∆ Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P deve ser aplicada, temos: ΣMy = xg.P = x1.∆ ∆P1 + x2.∆ ∆P2 + xi.∆ ∆Pi ΣMx = yg.P = y1.∆ ∆P1 + y2.∆ ∆P2 + yi.∆ ∆Pi Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma:
G = (xg ; yg ) xg = ∫xdp/∫dp
yg = ∫ydp/∫dp
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Exemplo 13:
Uma laje de 5 x 7,5 m suporta cinco colunas que exercem sobre ela as forças indicadas na figura abaixo. Determine o módulo e o ponto de aplicação da única força equivalente às forças dadas 3N 7,5 N
2,5 m
3,5 N 4m
6N 1m
2m
4N
0,5 m
1,5 m 0,5 m
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Baricentro - Centro De Gravidade de Figuras Planas: Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas. Trocando a força aplicada pela área, temos: (Murat, S.D.) A
Y
Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)
dx xgi
dy
Baricentro ou centro de gravidade = G.
dA=dx.dy
Eixos baricêntricos = XG e YG.
ygi O
Momentos Estáticos = Msx e Msy. X
Pontos do baricentro = xg e yg. Área da Figura Plana = A
Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X e Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da figura plana, que obedece simultaneamente a duas condições:
xg = Msy/A yg = Msx/A Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:
Msy = xg.A Msx = yg.A Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área total da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes.
yg = yg1.A1+ yg2.A2+ ygi.Ai+ /A1+ A2+ Ai xg = xg1.A1+ xg2.A2+ xgi.Ai+ /A1+ A2+ Ai Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será:
ΣA(i) yg = ΣMsx(i)/Σ ΣA(i) xg = ΣMsy(i)/Σ
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Demonstração, pela definição, do Cálculo do Baricentro:
Para um Triângulo:
Y
Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado Calcularemos sua área e momento estático, bem como,
dx
a
seu baricentro. A variação da figura em relação aos eixos serão:
dy
0 < X < b - b.y/a 0
