Aula4

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RACIOCÍNIO LÓGICO  AULA Nº 04  CONTEÚDO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES 10 - CONVERSÃO DE CONECTIVOS   É possível transformar proposições ligadas pelos conectivos "Se...então..." (CONDICIONAL), "Ou...Ou..." (DISJUNÇÃO EXCLUSIVA) e "...se e somente se..." (BICONDICIONAL) em proposições equivalentes que usam apenas os conectivos "e" (CONJUNÇÃO) e "ou" (DISJUNÇÃO). Estas transformações são importantes principalmente nas negações de proposições compostas pela condicional, pela disjunção exclusiva e pela bicondicional, bem como quando se trabalha com programas de planilhas como o Excel.   - A CONDICIONAL Construindo as tabelas verdade da condicional p q e da disjunção ~p q, tem-se: Observe que as tabelas dos valores lógicos de p q e ~p q são iguais. Assim, pode-se concluir que as duas proposições se equivalem.  Isto é: "Se Maria é estudiosa então Maria é aprovada" é equivalente a "Maria não é estudiosa ou Maria é aprovada". Isto será aplicado nos itens posteriores. Obs: o sinal significa "equivale a". - A BICONDICIONAL Conforme já visto anteriormente, a bicondicional é uma conjunção de duas condicionais. Isto é p q (p q) (q p). Levando em consideração o exposto na correspondência da condicionais, pode-se escrever: p q (p q) (q p) (~p q) € (~q p).  Será provado futuramente que p q (p q) € (~p ~q) quando forem estudadas as propriedades dos conectivos e for definida a proposição "contradição". - A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA   Revendo as tabelas da bicondicional e da disjunção exclusiva, tem- se: Conforme se pode observar a disjunção exclusiva é a negação da bicondicional. Pode-se então escrever: 11 - NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÃO COMPOSTA   Negar proposições como, (1) Maria é bonita ou João foi ao cinema, (2) ele bebe e não fica tonto, (3) se João não foi ao cinema então Maria comprou o filme,  à primeira vista parece que basta negar cada proposição simples que compõem a proposição composta. Porém não é bem assim, como será visto a seguir por meio de tabelas verdade. - NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO E DA CONJUNÇÃO Negar uma disjunção consiste em negar cada uma das proposições combinadas e trocar o conectivo "ou" pelo conectivo "e".  Da mesma forma, negar uma conjunção consiste em negar cada uma das proposições e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".  As tabelas a seguir mostram a validade dessas afirmações. (1) Para a DISJUNÇÃO Observando as colunas 4 e 7 da tabela vê-se que ~(p q) ~p ~q.    Exemplos:  (I) a negação de "Maria é bonita ou Maria é estudiosa" é "Maria não é bonita e Maria não é estudiosa".  (II) a negação de "Maria não é bonita ou Maria é estudiosa" é "Maria é bonita e Maria não é estudiosa".   (2) Para a CONJUNÇÃO Da tabela, colunas 4 e 7, resulta ~(p q) ~p ~q    - NEGAÇÃO DA CONDICIONAL   Do exposto no item 10 anterior, a condicional p q, equivale a ~p q.  Tem-se então: ~(p q) ~(~p q). Aplicando o princípio da negação da disjunção resulta:  ~(p q) ~(~p q) ~(~p) ~q p ~q. Portanto,  ~(p q) p ~q. Assim, a negação da proposição "se chove então faz frio" é "chove e não faz frio". - NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL   Da equivalência p q (~p q) € (~q p), tira-se ~(p q) [(~p q) € (~q p)]. Usando a negação da conjunção:  ~(p q) [(~p q) € (~q p)] (~p q) € ~(~q p).  Aplicando a negação da disjunção nos dois termos, resulta:  ~(p q) (p ~q) € (q ~p).  Usando a distributividade da disjunção em relação à conjunção: ~(p q) [(p ~q) q] [(p ~q) (~p)]  Reaplicando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:  ~(p q) [(p q) (~q q)] [(p ~p) (~q ~p) ]. Ora, (~q q) e (p ~p) são verdades absolutas. O julgamento de uma proposição qualquer ligada a uma verdade absoluta pelo conectivo "e", depende apenas da veracidade ou não de tal proposição.  Deste modo, conclui-se que: ~(p q) (p q) (~q ~p). Exemplo: a negação da proposição "Maria fica feliz se e somente se Pedro está presente" é "Maria fica feliz ou Pedro está presente e Maria não fica feliz e Pedro não está presente". - A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA   Revendo as tabelas da bicondicional e da disjunção exclusiva, tem- se: Da tabela conclui-se que: a negação do "se e somente" se é a "disjunção exclusiva".   ~(p q) p q. Neste caso, a negação de "Maria fica feliz se e somente se Pedro está presente" é também "ou Maria fica feliz ou Pedro está presente". 12 - TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA Construindo as tabelas verdades das seguintes proposições  (1) P(p, q) = (p q) (q p),  (2) P(p, q) = ~(p q) (p q),  (3) P(p, q) = ~p (p ~q),  (4) P(p, q) = ~(p q) (p q), tem-se: Como se pode perceber independente dos valores lógicos das proposições p e q, o valor lógico das proposições compostas (1) e (2) é sempre verdadeiro e o valor lógico das compostas (3) e (4) é sempre falso.   Toda proposição composta cujo único valor lógico é verdadeiro denomina-se TAUTOLOGIA enquanto que as proposições que apresentam apenas o valor lógico falso são chamadas de CONTRADIÇÃO. Quando no julgamento de uma proposição apresentarem os valores falso e verdadeiro, a mesma é denominada CONTINGÊNCIA.  Definem-se então: "(1) TAUTOLOGIA é a proposição composta cujo único valor lógico é " "VERDADEIRO. " " " "(2) CONTRADIÇÃO é a proposição composta cujo único valor lógico é FALSO. " " " "(3) Proposições compostas que apresentam valores lógicos FALSO e VERDADEIRO" " " "são denominadas CONTINGÊNCIAS. " " " EXERCÍCIOS    01 - Negue as proposições:  a) Maria é bonita e Maria é estudiosa.  b) Maria é bonita ou Maria é estudiosa.  c) Maria não é bonita e Maria não é estudiosa.  d) Maria não é bonita ou Maria não é estudiosa.  e) Maria não é bonita ou Maria é estudiosa.  f) Maria é bonita e Maria não é estudiosa.  g) Maria é bonita ou Maria não é estudiosa.  h) Se cabeça de bagre é dura então eu pesquei um bagre.  i) Se eu não for à aula então meu pai irá me por de castigo.  j) João casará com Maria, se e somente se Maria é bonita. 02 - (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:  a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.  b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.  c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.  d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.  e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 03. (MPOG/2001) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que:  a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.  b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.  c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro  d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.  e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 04 - (ESAF-AFC-2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:  a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.  b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.  c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.  d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.  e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 05 - Dizer que "Américo não é médico ou Lucas é dentista" é o mesmo que dizer:  A) se Américo é médico, então Lucas é dentista.  B) se Américo é médico não é médico, então Lucas é dentista.  C) se Lucas é dentista, então Américo é médico.  D) se Américo é médico, então Lucas não é dentista.  E) se Américo não é medico, então Paulo não é dentista. 06 - Não é verdade que "se eu morrer então eu vou para o céu" então:  A) eu vou morrer ou não vou para o céu.  B) eu não vou morrer e vou para o céu.  C) eu vou morrer ou eu vou para o céu.  D) eu não vou morrer ou eu não vou para o céu.  E) eu vou morrer e não vou para o céu. 07 - Mostre que:  a) p q p q b) p q q p  c) p q p d) p q q  e) (p q) (q p) f) ~(p ~q) ~p q.    08 - Dadas as proposições abaixo, verifique quais são tautologias, quais são contradições e quais são contingências.  a) (p q) ((p q) (q r)) b) ((p q) p) q  c) (p q) (p ~q) d) p (p q) r  e) ~(~p q) (p q) f) p (q (q p)  g) (p q) ~(p q) h) (q p) (p q)  i) (p q) ((p r) (q r)) ----------------------- "p "q "p q " "V "V "V " "V "F "F " "F "V "V " "F "F "V " "p "q "~p "~p q" "V "V "F "V " "V "F "F "F " "F "V "V "V " "F "F "V "V " "p"q"p q"p " " " " "q " "V"V"V "F " "V"F"F "V " "F"V"V "F " "F"F"F "V " "p"q"p q"~(p q)"~p "~q "~p ~q " "V"V"V "F "F "F "F " "V"F"V "F "F "V "F " "F"V"V "F "V "F "F " "F"F"F "V "V "V "V " "1"2"3 "4 "5 "6 "7 " "p"q"p "~(p "~p"~q "~p ~q " " " "q "q) " " " " "V"V"V "F "F "F "F " "V"F"F "V "F "V "V " "F"V"F "V "V "F "V " "F"F"F "V "V "V "V " "1"2"3 "4 "5 "6 "7 " "p"q"p q"p q " "V"V"V "F " "V"F"F "V " "F"V"V "F " "F"F"F "V " "p "q "p "q "(p q) " " " "q "p "(q p) " "V "V "V "V "V " "V "F "F "F "V " "F "V "F "F "V " "F "F "F "F "V " "p "q "p "~(p "p "~(p q) " " " " q " q) "q "(p q) " "V "V "V "F "V "V " "V "F "V "F "F "V " "F "V "V "F "F "V " "F "F "F "V "V "V " "p "q "~p "~q "p "~p (p " " " " " "~q "~q) " "V "V "F "F "F "F " "V "F "F "V "V "F " "F "V "V "F "F "F " "F "F "V "F "F "F " "p "q "p "~(p "p "~(p q) (p " " " "q " q)"q "q) " "V "V "V "F "V "F " "V "F "F "V "F "F " "F "V "F "V "F "F " "F "F "V "F "V "F "