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110 Computação para Engenharia
Turmas EE, EM, EMP
3ª Aula INTRODUÇÃO À LÓGICA ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Objetivo: • • • • •
Fornecer conceitos básicos da álgebra das proposições e a definição de conectivos; Apresentar a lógica simbólica para o tratamento de sentença; Mostrar a analogia entre Teoria dos Conjuntos, Álgebras das Proposições e Circuitos Eletrônicos; Análise e síntese de expressões lógicas e circuitos elétricos; O uso de circuitos eletrônicos digitais através dos conectivos lógicos.
Raciocínio Pensamento Humano
LÓGICA
Fazer a máquina "PENSAR"
Histórico • •
Século XIX, George Boole desenvolveu sistema de álgebra (Álgebra das Proposições) onde se pode determinar se uma sentença é falsa ou verdadeira; Em 1930, Alan Turing mostrou que com apenas três funções lógicas (os conectivos "E", "OU" e "NÃO") a álgebra de Boole pode ser utilizada para compor sentenças verdadeiras ou falsas.
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Proposição é qualquer afirmação verbal que pode ser verdadeira ou falsa (nunca ambas). Exemplo: A frase
"Choveu ontem à tarde"
é proposição pois pode ser V ou F
Já a frase
"Onde é que você esteve?"
não é proposição
3a AULA
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O conectivo "E" - Conjunção Duas proposições podem ser combinadas pelo conectivo "E" ou "e" para formar uma nova proposição chamada conjunção das proposições originais. Dadas duas proposições p e q, a representação da conjunção das duas proposições é indicada por:
p∧q
(Leia-se p e q)
Exemplo1 Sejam as proposições: p: q: r: s:
"Paris está na França" "Paris está na Inglaterra" 2+2=5 2+2=4
é uma proposição Verdadeira é uma proposição Falsa é uma proposição Falsa é uma proposição Verdadeira
As novas proposições obtidas pelas conjunções abaixo podem proposições V ou F: a)
p∧s Significa "Paris está na França e 2+2=4"
b)
é portanto uma proposição Verdadeira
p∧r Significa "Paris está na França e 2+2=5" de 2+2 não é igual a 5
c)
é portanto uma proposição Falsa, apesar
q∧s Significa "Paris está na Inglaterra e 2+2=4" de 2+2=4 ser Verdadeira
d)
é portanto uma proposição Falsa, apesar
q∧r Significa "Paris está na Inglaterra e 2+2=5"
é portanto uma proposição Falsa
Uma conseqüência do uso da conjunção "E" é que, no caso da combinação de duas proposições, basta uma proposição ser FALSA para que a nova proposição seja FALSA, conforme pode ser visto na tabela abaixo: p V V F F
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q V F V F
p∧q V F F F
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O conectivo "OU" - Disjunção Duas proposições podem ser combinadas pelo conectivo "OU" (com sentido de e/ou) para formar uma nova proposição chamada disjunção das proposições originais. Dadas duas proposições p e q, a representação da disjunção das duas proposições é indicada por:
p∨q
(Leia-se p ou q)
Exemplo2 Vamos utilizar as mesmas proposições apresentadas no exemplo anterior: p: q: r: s:
"Paris está na França" "Paris está na Inglaterra" 2+2=5 2+2=4
é uma proposição Verdadeira é uma proposição Falsa é uma proposição Falsa é uma proposição Verdadeira
As novas proposições obtidas pelas disjunções abaixo podem proposições V ou F: e)
p∨s Significa "Paris está na França ou 2+2=4"
f)
é portanto uma proposição Verdadeira
p∨r Significa "Paris está na França ou 2+2=5" apesar de 2+2 =5 ser Falsa
g)
é portanto uma proposição Verdadeira,
q∨s Significa "Paris está na Inglaterra ou 2+2=4" apesar de Paris está na Inglaterra ser Falsa
h)
é portanto uma proposição Verdadeira,
q∨r Significa "Paris está na Inglaterra ou 2+2=5" duas são Falsas.
é portanto uma proposição Falsa, pois as
Uma conseqüência do uso da disjunção "OU" é que, no caso da combinação de duas proposições, basta uma proposição ser VERDADEIRA para que a nova proposição seja sempre VERDADEIRA, conforme pode ser visto na tabela abaixo: p V V F F
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q V F V F
p∨q V V V F
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O "NÃO" - Negação Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição pode ser obtida escrevendo "É falso que .." antes de p, chamada negação de p ou não p , cuja representação é indicada por:
¬p
(Leia-se não p)
Exemplo3 Vamos utilizar as mesmas proposições apresentadas no exemplo anterior:
p: "Paris está na França" ¬p: "É falso que Paris está na França"
é uma proposição Verdadeira é uma proposição Falsa
r: "2+2=5" ¬r: "2+2≠5"
é uma proposição Falsa é uma proposição Verdadeira
Uma conseqüência do uso da negação "NÃO" é que: • se p é VERDADEIRA então ¬p é FALSA; • se p é FALSA então ¬p é VERDADEIRA; Conforme pode ser visto na tabela abaixo: ¬p F V
p V F
ANALOGIA ENTRE TEORIA DOS CONUNTOS E ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Disjunção
A∧ B
A
B
A∪B (A união B)
A∧ B
A
B
A∩B (A intersecção B)
Conjunção
Negação
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¬A
A
A (Complemento de A)
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Leis da Álgebra das Proposições Lei
Descrição
p∨ p ≡ p p∧ p ≡ p
Idempotentes
( p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r ) ( p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r ) p∨q ≡ q∨ p p∧q ≡q∧ p p ∨ (q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r ) p ∧ (q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p∧0 ≡ 0 p ∧1 ≡ p p ∨1 ≡ 1 p∨0≡ p
Associativas
Comutativas
Distributivas
de Identidade
(sempre verdade)
p ∨ ¬p ≡ 1
p ∧ ¬p ≡ 0 ¬0 ≡ 1 ¬¬p ≡ p ¬1 ≡ 0 ¬( p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Complementares
de De Morgan
¬( p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Exemplo4 Uso da Lei de De Morgan Sejam as seguintes proposições: p:
"Chove"
q:
"Faz frio"
Caso quizemos dizer: "Não é verdade que chove e faz frio". A representação simbólica da nova proposição seria: .
¬( p ∧ q )
Aplicando Lei de Morgan obtemos:
¬( p ∧ q ) ≡ ¬p ∨ ¬q O que equivale dizer "Não chove ou não faz frio" ___________________ Exercícios de fixação pág. 75 a 77. Ref.: Guimarães/Lages. "Introdução à Ciência da Computação". Livros Técnicos e científicos, 1998.
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