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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares F´abio S. Bemfica EC&T - UFRN
F´ abio Sperotto Bemfica
Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares
Equa¸co˜es lineares Sejam n vari´aveis xi , i = 1, · · · , n. A equa¸c˜ao linear que relaciona essas vari´aveis, na sua forma mais geral, ´e: n X
ai xi = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b ,
i=1
onde os ai0 s s˜ao os coeficientes da equa¸c˜ao. Exemplos: x + 2y + z = 10 , 1 y = z + 20x , 2 x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 8 , etc.
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Equa¸co˜es n˜ao-lineares
Exemplos de equa¸c˜oes que n˜ao s˜ao lineares: √ y = x +z, y = x r + 6 , r 6= 1 , 1 y = + 10 , x y = 10x + 4 , y = xz + 10 , y = sin x .
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Solu¸c˜ao de equa¸co˜es lineares
Uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b ´e um conjunto S = {s1 , s2 , · · · , sn } tal que x1 = s1 , x2 = s2 , · · · , xn = sn satisfaz a equa¸c˜ao linear acima. O conjunto S ´e chamado conjunto-solu¸c˜ao.
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Sistemas Lineares
Um conjunto finito de equa¸c˜ oes lineares nas vari´aveis x1 , · · · , xn ´e chamada de um sistema de equa¸c˜ oes lineares ou simplesmente sistema linear. Solu¸c˜ ao do sistema: Um conjunto S = {s1 , s2 , · · · , sn } ´e uma solu¸c˜ao do sistema se x1 = s1 , x2 = s2 , · · · , xn = sn satisfizer o n´ umero finito de equa¸c˜ oes lineares.
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Sistema linear arbitr´ario Um sistema arbitr´ario de m equa¸c˜ oes lineares com n inc´ognitas xi (i = 1, · · · , n) ´e descrito por a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b1 .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm Em termos matriciais a11 a12 a21 a22 .. .. . .
··· ··· .. .
a1n a2n .. .
am1 am2 · · ·
amn
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x1 x2 .. . xn
=
b1 b2 .. . bm
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.
Matrizes Aumentadas Outra forma de escrever o sistema de equa¸c˜ oes lineares a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b1 .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ´e atrav´es da id´eia de matrizes a11 a12 a21 a22 .. .. . .
aumentadas: ··· ··· .. .
am1 am2 · · ·
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a1n a2n .. .
b1 b2 .. .
.
amn bm
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Opera¸co˜es com Equa¸co˜es Lineares/Matrizes Aumentadas As seguintes opera¸c˜oes com Equa¸c˜ oes Lineares/Matrizes Aumentadas podem ser realizadas: 1. Multiplicar uma Equa¸c˜ao/Linha inteira por uma constante n˜ao nula; 2. Trocar duas Equa¸c˜ oes/Linhas entre si; 3. Somar um m´ ultiplo de um Equa¸c˜ao/Linha a uma outra Equa¸c˜ao/Linha Exemplo: (1) (2) (3)
x + y + 2z = 9 2x + 4y − 3z = 1 3x + 6y − 5z = 0
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1 1 2 2 4 −3 3 6 −5
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9 1 0
Exerc´ıcios Se¸c˜ao 1.1 Livro texto
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Respostas Se¸c˜ao 1.1 Livro texto
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