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AULA
O operador momento angular
Meta da aula
objetivos
Introduzir o operador momento angular quântico.
• escrever a expressão para o operador momento angular em coordenadas esféricas; • identificar os autovalores e autofunções dos operadores Lˆ 2 e Lˆ z ; • identificar e manipular matematicamente os harmônicos esféricos.
Pré-requisito Para melhor compreender esta aula, é preciso que você reveja a Aula 18 desta disciplina.
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular
PARTÍCULA SOBRE UM CÍRCULO (ROTOR RÍGIDO): VISÃO SEMICLÁSSICA DO MOMENTO ANGULAR Para abordar os problemas físicos desta aula e da próxima, precisaremos utilizar alguns resultados matemáticos sem demonstrálos. Na maioria das vezes, isso não prejudicará o entendimento físico dos problemas, no qual iremos focalizar nossa atenção. A derivação completa desses resultados pode ser encontrada em livros-texto mais avançados de Mecânica Quântica. Nas últimas aulas, estudamos alguns sistemas quânticos em três dimensões pelo método de separação de variáveis em coordenadas cartesianas. Esse método, apesar de bastante útil em algumas situações, não é o mais conveniente para se utilizar quando o potencial tem simetria esférica (potencial central), ou seja, quando podemos escrever V = V(r), em que r =
x 2 + y 2 + z 2 . Nesse caso, o uso de coordenadas esféricas
é mais adequado. Vale destacar que esse tipo de situação é bastante comum em Física. Em particular, sistemas atômicos, que constituem uma das aplicações mais antigas e importantes da Mecânica Quântica, têm simetria esférica. Na Mecânica Clássica, vimos que uma partícula sob a ação de um potencial tem seu momento angular conservado. O mesmo ocorrerá na Mecânica Quântica. Sendo assim, é importante introduzir o operador momento angular, que terá um papel fundamental em nossa abordagem:
rˆ r r L = rˆ × pˆ ,
(19.1)
onde os operadores posição e momento linear são vetores em três dimensões. Estes podem ser obtidos por uma generalização imediata de suas definições em uma dimensão:
r r r r rˆ = xi + yj + zk r r ∂ r ∂ r ∂ r pˆ = −i h i+ j + k = −i h∇. ∂y ∂z ∂x
(19.2)
Antes de abordarmos o problema do operador momento angular em sua forma completa, é instrutivo fazer uma análise mais simplificada, usando uma abordagem semiclássica. Vamos considerar o problema de uma partícula quântica em movimento circular no plano xy, com
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raio constante r e momento linear de módulo p, como mostrado na
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Figura 19.1. Este problema também é conhecido como o rotor rígido, ou seja, imagina-se a partícula presa a uma haste rígida de massa desprezível e comprimento r. A partícula movimenta-se livremente ao longo do círculo (em outras palavras, a energia potencial não depende do ângulo
ϕ, também mostrado na figura). Este problema é bastante parecido com o de uma partícula livre em 1D e, portanto, é consideravelmente mais simples que o problema de uma partícula em 3D sob ação de um potencial central. No entanto, veremos que é possível obter alguns resultados interessantes e que serão úteis em nossa análise posterior.
y r p
r r
ϕ x
Figura 19.1: Partícula em movimento circular de raio r e momento linear tracejada indica a onda de de Broglie associada ao movimento.
r p . A linha
Usando a hipótese de de Broglie, vemos que a onda associada ao movimento da partícula tem comprimento de onda λ = h p . Esta onda está indicada, de forma pictórica, por uma linha tracejada na figura. Vimos que, na teoria de Schrödinger, esta onda é, na verdade, uma função de onda Φ, que determina a dinâmica quântica da partícula. Como a distância da partícula à origem é fixa, podemos usar o ângulo ϕ como variável de movimento. Assim, utilizaremos a função de onda Φ(ϕ) para descrever esse sistema.
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Como o movimento é livre ao longo de ϕ, a função de onda será uma onda plana, semelhante à de uma partícula livre em 1D, discutida na Aula 7:
Φ(ϕ ) = Neiks = Neikrϕ ,
(19.3)
em que o comprimento de arco de circunferência s = rϕ é a coordenada tangencial e N é uma constante de normalização. Como a função de onda deve ser unívoca, temos
Φ(ϕ + 2π ) = Φ(ϕ ) ,
(19.4)
o que nos leva à quantização do número de onda m = 0, ±1, ±2, ...
kr = m,
(19.5)
A quantização do número de onda k nos leva, pela condição de de Broglie, à quantização do momento linear
p = h λ = hk =
mh . r
(19.6)
Na geometria considerada na Figura 19.1, o momento angular tem apenas a componente z, dada pela relação Lz = rp . Isso nos leva, pela Equação (19.6), à quantização da componente z do momento angular:
Lz = mh
(19.7)
Portanto, vemos que, ao contrário do que acontece na Mecânica Clássica, a componente z do momento angular não pode ter qualquer valor, mas apenas múltiplos inteiros Lz = de mh . O número inteiro m é conhecido como número quântico magnético. Valores positivos de m correspondem à partícula (ou sua onda associada) se movimentando no sentido anti-horário, enquanto que valores negativos de m estão associados à propagação no sentido horário. O resultado obtido na Equação (19.7), apesar de ter sido obtido por uma abordagem semiclássica, permanece correto na descrição puramente quântica, como veremos mais adiante, devendo apenas ser reinterpretado da seguinte forma: os autovalores do operador
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momento angular Lˆ z são iguais a mh, em que m é inteiro, com as autoLz =
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funções (19.3) que podem ser escritas como
Φ m (ϕ ) = eimϕ ,
(19.8)
em que omitimos a constante de normalização. Vamos obter uma expressão para o operador Lˆ z . Sabemos que
∂ . Em nosso ∂x caso, a coordenada “linear” do movimento é a coordenada tangencial o operador momento linear em 1D é dado por pˆ = −i h
s, de modo que podemos adaptar a expressão para o momento linear tangencial:
$ = −i h ∂ p ∂s
(19.9)
Sabendo que s = rϕ e Lz = rp, obtemos a expressão para o operador Lˆ z :
µ z = −i h ∂ L ∂ϕ
(19.10)
Como veremos, essa expressão permanece válida na descrição puramente quântica. É fácil verificar que as funções (19.8) são autofunções deste operador com autovalores m h: Lz = m
∂Φ Lˆ z Φ m (ϕ ) = −i h m = −i h ∂ϕ
∂ ( eimϕ ) ∂ϕ
= mhΦ m (ϕ )
(19.11)
ATIVIDADE 1. Obtenha os autovalores da energia para uma partícula de massa µ sobre um círculo. ________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ .
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RESPOSTA COMENTADA
A energia é puramente cinética, com o Hamiltoniano
pˆ 2 h2 ∂ 2 Hˆ = =− 2µ 2 µ ∂s2 Aplicando o Hamiltoniano à função de onda da Equação (19.3), obtemos a equação:
h 2 ∂ 2 Φ h 2 k2 Hˆ ψ = − = Φ. 2 µ ∂ϕ 2 2 µ
Portanto, vemos que o autovalor da energia vale E = relação de quantização (19.5), obtemos E = às vezes, escrita como E =
h 2 k2 . Usando a 2µ
h2 m2 . Esta expressão é, 2µ r 2
h2 m2 2 , em que I = µ r é o momento de inércia 2I
da partícula em relação à origem.
O OPERADOR MOMENTO ANGULAR EM COORDENADAS ESFÉRICAS E HARMÔNICOS ESFÉRICOS Vamos agora iniciar a abordagem quântica do problema do momento angular. Como dissemos, o uso de coordenadas esféricas é mais adequado para esse propósito. O sistema de coordenadas esféricas está ilustrado na Figura 19.2. A partir desta figura, podemos obter a correspondência entre as coordenadas esféricas r, θ e ϕ e as coordenadas cartesianas x, y e z:
rˆ
z
ϕˆ
θ
r
θˆ y
x
ϕ
x = r senθ cos ϕ y = r senθ senϕ z = r cosθ
Figura 19.2: Sistema de coordenadas esféricas. Na figura, estão também definidos os vetores unitários rˆ , θˆ e ϕˆ.
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Sendo assim, será necessário expressar o operador gradiente em
r ∂ 1 ∂ 1 ∂ + ϕˆ . ∇ = rˆ + θˆ r ∂θ ∂r r senθ ∂ϕ
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coordenadas esféricas: (19.13)
Esta relação pode ser encontrada em livros de Cálculo, Mecânica ou Eletromagnetismo. Em particular, você deve tê-la visto na Aula 2 da
r
disciplina Introdução ao Eletromagnetismo. Notando ainda que r = rrˆ , podemos usar a Equação (19.1) para obter a expressão para o operador momento angular em coordenadas esféricas:
rˆ ∂ 1 ∂ L = − i h ϕˆ − θˆ , senθ ∂ϕ ∂θ
(19.14)
em que usamos as relações rˆ × rˆ = 0, rˆ × θˆ = ϕˆ, rˆ × ϕˆ = −θˆ. Tais relações podem ser verificadas a partir da Figura (19.2). Note que o operador momento angular depende apenas das coordenadas angulares θ e ϕ. A partir da Equação (19.14), podemos escrever as componentes cartesianas Lˆ x , Lˆ y e Lˆ z em coordenadas esféricas:
∂ ∂ + cot θ cos ϕ Lˆ x = i h sen ϕ ∂ θ ∂ ϕ
(19.15)
∂ ∂ + cot θ senϕ Lˆ y = i h − cos ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ . Lˆ z = −i h ∂ϕ ∂ Em particular, note que Lˆ z = −i h na descrição puramente ∂ϕ quântica, confirmando a Equação (19.10), com autofunções Lz = mh . Φ m (ϕ) = eimϕ e autovalores
ATIVIDADE 2. Obtenha as Equações (19.15) a partir da Equação (19.14). _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ __________________________________________________________________
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RESPOSTA COMENTADA
É preciso projetar as componentes esféricas nas componentes cartesianas. Para isso, observando a Figura (19.2), vemos que
ϕˆ ⋅ xˆ = −senϕ , ϕˆ ⋅ yˆ = cos ϕ , ϕˆ ⋅ zˆ = 0 e θˆ ⋅ xˆ = cosθ cos ϕ , θˆ ⋅ yˆ = cosθ senϕ , θˆ ⋅ zˆ = −sen θ . Logo, ∂ cosθ cos ϕ ∂ − Lˆ x = −i h −sen ϕ sen θ ∂ϕ ∂θ ∂ cosθ sen ϕ ∂ , − Lˆ y = −i h cos ϕ sen θ ∂ϕ ∂θ
1 ∂ Lˆ z = i h ( − senθ ) senθ ∂ϕ
∂ ∂ Lˆ x = i h sen ϕ + cot θ cos ϕ ∂ θ ∂ ϕ
ou seja,
∂ ∂ , Lˆ y = i h − cos ϕ + cot θ senϕ ∂θ ∂ϕ ∂ , Lˆ z = −i h ∂ϕ como queríamos demonstrar.
Nesse momento, poderíamos tentar buscar as autofunções das componentes Lˆ e Lˆ do operador momento angular. No entanto, não x
y
é possível obter autofunções simultâneas das três componentes do momento angular. Este resultado, que enunciamos sem demonstrar, é, de fato, semelhante ao Princípio de Incerteza, segundo o qual não é possível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula. Se conhecemos perfeitamente a componente z do momento angular, não podemos conhecer com certeza as componentes x e y.
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É importante enfatizar que, em um potencial central, não há nada que privilegie a direção z em relação às demais. Por convenção e por conveniências matemáticas, escolheˆ em detrimento das se trabalhar com autofunções de L z demais componentes. Diz-se então que o eixo z é o eixo de quantização do sistema. Mas, em termos físicos, seria igualmente válido usar os eixos x, y, ou qualquer outro, como eixo de quantização.
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No entanto, é possível ter autofunções simultâneas de Lˆ z e do
1 ∂ ∂ 1 ∂2 θ + sen Lˆ 2 = Lˆ 2x + Lˆ 2y + Lˆ 2z = −h2 . ∂θ sen2θ ∂ϕ 2 sen θ ∂θ
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operador Lˆ 2, definido por (19.16)
Essa expressão pode ser obtida a partir das definições (19.15), o que deixamos como exercício opcional. Perceba que este operador está associado à magnitude do momento angular. Vamos buscar as autofunções deste operador usando o método de separação de variáveis, ou seja, buscamos funções Ylm (θ , ϕ ) que possam ser escritas na forma:
Ylm (θ , ϕ ) = Θlm (θ ) Φ m (ϕ ),
(19.17)
em que Φ m (ϕ ) = eimϕ são as autofunções de Lˆ z apresentadas anteriormente e l é um novo número quântico, chamado número quântico azimutal, do qual falaremos a seguir. Obviamente, as funções Ylm (θ , ϕ ) também são autofunções de Lˆ z com os mesmos autovalores:
Lˆ zYlm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) .
(19.18)
Aplicando agora o operador Lˆ 2 nas funçõesYlm (θ , ϕ ) na forma
(19.17), chegamos a uma equação de autovalores para Lˆ 2 envolvendo as funções Θlm (θ ) . Pode-se mostrar que os autovalores de Lˆ 2 podem ser escritos como h2 l(l + 1) , de modo que
Lˆ 2Ylm (θ , ϕ ) = h2 l(l + 1)Ylm (θ , ϕ ),
(19.19)
o que nos leva à equação para Θlm (θ ) :
−
m2 Θlm (θ ) d Θlm (θ ) 1 d = l (l + 1)Θlm (θ ) . + sen θ 2 sen θ senθ dθ dθ
(19.20)
Mais uma vez, não nos preocupamos com os detalhes da solução da Equação (19.20), que podem ser encontrados em livros-texto ou em cursos mais avançados de Mecânica Quântica. Vamos apenas enunciar algumas características das soluções. A Equação (19.20) tem soluções para valores de l inteiros, tais que, para cada valor de l, os valores possíveis de m são: m = –l, –l +1, –l + 2, ... –2, –1, 0, 1, 2, ... , l –2, l –1, l
(19.21)
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Além disso, para cada par de valores aceitáveis de l e m, chamados números quânticos l e m, as funções Θlm (θ ) têm a forma:
Θlm (θ ) = ( sen θ ) Fl m ( cosθ ) , m
(19.22)
onde as funções Fl|m| são polinômios em (cos θ).
As funções Ylm (θ , ϕ ) = Θlm (θ ) Φ m (ϕ ) são conhecidas como har-
mônicos esféricos e também aparecem em outras áreas da Física (por exemplo, na expansão do campo elétrico em multipolos). Após serem normalizadas, a forma explícita destas funções Ylm para os primeiros valores dos números quânticos l e m está mostrada na Tabela 19.1. A normalização é dada pela condição 2π
π
0
0
* * ∫ dϕ ∫ senθ Ylm (θ ,ϕ)Ylm (θ ,ϕ)dθ = 1.
Tabela 19.1: Fórmulas de alguns harmônicos esféricos
m
Ylm (θ )
0
0
1 Y00 = 4π
1
0
3 Y10 = 4π
1
±1
3 Y1±1 = m 8π
2
0
5 Y20 = 16π
2
±1
15 Y2 ±1 = m 8π
2
±2
15 Y2 ± 2 = 32π
3
0
7 Y30 = 16π
l
1/ 2
1/ 2
cosθ 1/ 2
senθ e ± iϕ
1/ 2
( 3 cos
2
θ − 1)
1/ 2
senθ cosθ e ± iϕ
1/ 2
1/ 2
sen2θ e±2iϕ
( 5 cos θ − 3 cosθ ) 3
1/ 2
21 = m 64π
3
±1
Y3±1
3
±2
105 Y3± 2 = 32π
3
±3
35 Y3± 3 = m 64π
seenθ ( 5 cos2 θ − 1) e ± iϕ
1/ 2
sen2θ cosθ e ±2iϕ 1/ 2
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sen3θ e ±3iϕ
(19.23)
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Vamos agora analisar a distribuição angular da densidade de
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probabilidade associada a estas funções. Esta pode ser obtida pela seguinte equação em coordenadas esféricas: 2
rlm (θ , ϕ ) = Ylm* (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ ) .
(19.24)
Note que esta é a equação de uma superfície em coordenadas esféricas, onde a coordenada radial rlm é proporcional ao módulo ao quadrado do harmônico esférico correspondente. Em outras palavras, a magnitude de rlm ao longo de uma certa direção (θ, ϕ) será proporcional à probabilidade de encontrarmos a partícula quântica ao longo dessa direção. Começamos nossa análise pelo harmônico esférico Y00. Pela fórmula da Tabela 19.1, obtemos Y00 (θ , ϕ )
2
= 1 4π, ou seja, uma cons-
tante independente de θ e ϕ. O gráfico da superfície correspondente, definida pela Equação (19.24), está mostrado na Figura 19.3 como um corte no plano yz (à esquerda) e como uma superfície em 3D (à direita). Perceba que o harmônico esférico Y00 é esfericamente simétrico. z
|Y00|2
y
Figura 19.3: Harmônico esférico Y00.
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Vamos analisar agora os harmônicos esféricos correspondentes a l = 1, ou seja, Y 11, Y 10 e Y 1-1. Pela Tabela 19.1, temos
Y10 (θ , ϕ )
2
= ( 3 4π ) cos2 θ e Y11 (θ , ϕ )
2
= Y1−1 (θ , ϕ ) = ( 3 8π ) sen2θ . 2
Os gráficos correspondentes estão mostrados na Figura 19.4, novamente como um corte no plano yz (à esquerda) e como uma superfície em 3D (à direita). Perceba que o harmônico esférico Y10 é alongado na direção z: a partícula tem probabilidade máxima de ser encontrada naquela direção. Note ainda que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no plano xy é nula. Em contrapartida, os harmônicos esféricos Y11 e Y1-1 fornecem probabilidade máxima no plano xy e probabilidade nula ao longo de z. Perceba que a densidade de probabilidade não depende de ϕ. Com efeito, isso vale para qualquer harmônico esférico Ylm. z
|Y10|2
y
z |Y11|2 = |Y1–1|2
y
Figura 19.4: Harmônicos esféricos com l = 1.
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bilidade associada aos harmônicos esféricos com l = 2: Y22, Y21, Y20,
= ( 5 16π ) ( 3 cos2 θ − 1) , 2 2 Y22 (θ , ϕ ) 2 = Y2 − 2 (θ , ϕ ) = (15 32π ) sen4θ Y21 (θ , ϕ ) 2 = Y2 −1 (θ , ϕ ) = (15 8π ) sen2θ cos2 θ e
Y2-1 e Y2-2. Pela Tabela 19.1, temos Y20 (θ , ϕ )
Y22 (θ , ϕ )
2
2
2
. π ) sen4θ . Os gráficos correspondentes estão mos= Y2 − 2 (θ , ϕ ) = (15 32 2
trados na Figura 19.5. Perceba que a dependência angular da densidade se torna cada vez mais complexa à medida que aumentamos o valor de l. z
|Y20|2
y
z
|Y21|2 = |Y2–1|2
y
z
|Y22|2 = |Y2–2|2
y
Figura 19.5: Harmônicos esféricos com l = 2.
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Como último exemplo, vamos apresentar a densidade de proba-
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular
Finalmente, vamos fazer uma nova análise semiclássica do momento angular. Vimos que os harmônicos esféricos Ylm (θ , ϕ ) são 2 autofunções dos operadores Lˆ z e Lˆ 2 com autovalores m h2el(lh+ l1 (l)+ 1),
respectivamente. Vimos ainda que m pode ter qualquer valor inteiro entre –l e l, em que l também é inteiro. A analogia clássica que podemos fazer deste sistema está mostrada na Figura 19.6. A figura mostra um vetor momento angular de módulo igual a 6h (correspondendo portanto a l = 2) que pode ter apenas cinco valores possíveis para a componente
z(−2h, − h, 0, h e 2h) , mas nunca valores intermediários. Pode-se mostrar que os valores esperados das componentes x e y do momento angular são nulos em qualquer autoestado de Lˆ z . Assim, o análogo clássico desse resultado corresponderia ao vetor momento angular em movimento de precessão em torno do eixo z, com a componente z fixa, mas com as componentes x e y oscilando em torno de um valor médio nulo.
Lˆ z 2h −h
L
0
−h 2h l=2 Figura 19.6: Analogia clássica dos cinco estados quânticos com l = 2.
Como dissemos no início desta aula, o estudo do momento angular quântico é de fundamental importância para os problemas que envolvem potenciais centrais. Veremos isso detalhadamente na próxima aula, quando estudarmos o átomo de hidrogênio.
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ATIVIDADES FINAIS 1. Mostre que os harmônicos esféricos Y00, Y11, Y10 e Y1–1 são autofunções dos
Lz = mh e h2 l (l + 1), respectivamente. operadores Lˆ z e Lˆ 2 com autovalores
RESPOSTA COMENTADA
Vamos aplicar as expressões (19.15) e (19.16) para os operadores Lˆ z e
Lˆ 2 aos diferentes harmônicos esféricos: • l = 0 e m = 0: 12
∂ 1 Lˆ zY00 = −i h ∂ϕ 4π
= 0 = 0× h 12
1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 Lˆ 2 Y00 = −h2 senθ + ∂θ sen2θ ∂ϕ 2 4π sen θ ∂θ
= 0 = h2 × 0
• l = 1 e m = 1: 12 3 1 2 ∂ 3 iϕ iϕ − sen θ = h Lˆ zY11 = −i h e − senθ e = hY11 ∂ϕ 8π 8π
1 ∂ ∂ Lˆ 2Y11 = −h2 senθ ∂θ senθ ∂θ
12 1 ∂2 3 iϕ + − senθ e 2 2 sen θ ∂ϕ 8π
12
iϕ 1 d d senθ e senθ senθ dθ dθ
12
1 1 d 3 eiϕ = h2 ( senθ cos θ ) − senθ senθ dθ 8π
3 = h2 8π 3 = h2 8π
2 iϕ senθ d e + 2 2 sen θ dϕ 12
cos2 θ − sen2θ − 1 eiϕ senθ
3 1 2 = h − 2 senθ eiϕ = 2h2Y11 8π 2
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Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular
• l = 1 e m = 0: 12 ∂ 3 Lˆ zY10 = −i h cosθ ∂ϕ 4π
= 0 = 0 × Y10
12 ∂ ∂ 1 ∂ 2 3 2 2 1 ˆ L Y10 = −h sen θ + cosθ ∂θ sen2θ ∂ϕ 2 4π sen θ ∂θ 12
3 = −h 4π 2
12
3 = h2 4π
12
1 d d cosθ 2 3 sen θ = −h dθ 4π senθ dθ
1 d sen2θ ) ( − sen θ dθ
2 sen θ cosθ 2 = 2h Y10 s e n θ
• l = 1 e m = -1: 12 3 1 2 ∂ 3 − iϕ − iϕ sen θ = h Lˆ zY1−1 = −i h e − senθ e = −hY1−1 ∂ϕ 8π 8π 12 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 3 − iϕ θ + Lˆ 2Y1−1 = −h2 sen senθ e 2 2 ∂θ sen θ ∂ϕ 8π senθ ∂θ 12
− iϕ 1 d d senθ e senθ senθ dθ dθ
12
1 1 d 3 e − iϕ = −h2 ( senθ cosθ ) − senθ senθ dθ 8π
3 = −h2 8π 3 = −h2 8π
3 1 2 = h 2 senθ e − iϕ = 2h2Y1−1 8π 2
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2 − iϕ senθ d e + 2 2 sen θ dϕ 12
cos2 θ − sen2θ − 1 e − iϕ senθ
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2. Vimos que o harmônico esférico Y10 é orientado ao longo do eixo z. Neste
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exercício, veremos que é possível construir funções análogas orientadas ao longo dos eixos x e y. (a) Mostre que o harmônico esférico Y10 pode ser escrito como
Y10 = Y1z = ( 3 4π )
12
z. r
(b) Usando combinações lineares dos demais harmônicos esféricos com l = 1, construa as funções Y1x e Y1y , orientadas ao longo de x e y, respectivamente.
RESPOSTA COMENTADA
(a) Basta notar que z = r cosθ , portanto, Y10 = ( 3 4π )
12
cosθ = ( 3 4π )
12
(b) Por analogia com a função Y1z , buscamos as funções Y1x = ( 3 4π )
12
Y1y = ( 3 4π )
12
Y1x = ( 3 4π )
12
eiϕ + e − iϕ eiϕ − e − iϕ e sen ϕ = , chegamos aos resultados 2 2i
eiϕ + e − iϕ x 12 12 = ( 3 4π ) sen θ cos ϕ = ( 3 4π ) sen θ r 2
Y1−1 − Y11 2
Y1y = ( 3 4π )
12
Y1y =
e
y . Usando as expressões da Tabela 19.1, as Equações (19.12) r
e as identidades cos ϕ =
Y1x =
x r
z . r
eiϕ − e − iϕ y 12 12 = ( 3 4π ) sen θ senϕ = ( 3 4π ) sen θ r 2i
−Y1−1 − Y11 2i
Portanto, podemos construir harmônicos esféricos com l = 1 orientados nas direções x e y a partir de combinações lineares dos harmônicos esféricos originais. Na verdade, podemos construir, com essa metodologia, funções orientadas espacialmente em qualquer direção do espaço. Este conceito é bastante útil em Química, pois está associado à idéia de valência dirigida: os estados quânticos orientados em certas direções podem ser usados em moléculas ou sólidos para construir ligações químicas naquelas direções. CEDERJ
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Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular
RESUMO No caso de uma partícula que se movimenta sob o efeito de um potencial central, é importante estudar o operador momento angular, cujas componentes podem ser escritas em coordenadas esféricas. Podemos encontrar autofunções simultâneas dos operadores Lˆ z e Lˆ 2 : são os harmônicos esféricos Ylm (θ , ϕ ) . Essas funções são caracterizadas por dois números quânticos, l e m, que podem ser associados ao módulo e à projeção sobre o eixo z do momento angular orbital da partícula.
INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, vamos aplicar o método de separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas esféricas ao caso de um átomo com um único elétron, como o átomo de hidrogênio.
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