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F´ısica Matem´atica I Jorge L. deLyra 15 de Abril de 2010
18: O Limite do Cont´ınuo numa Caixa Neste ponto, temos a estrutura completa do formalismo em uma rede finita de N s´ıtios. Recordando os pontos centrais, isto inclui a transformada de Fourier ϕ ek de uma fun¸c˜ao ϕ(n) definida na rede, ϕ ek =
N 1 X ∗ fk (n)ϕ(n), N n=1
bem como a expans˜ ao de Fourier da fun¸c˜ao ϕ(n), ϕ(n) =
kM X
k=km
fk (n)ϕ ek ,
onde a base de Fourier em sua vers˜ao complexa ´e formada pelas fun¸c˜oes fk (n) = eı 2πkn/N . Al´em disso, temos as mesmas rela¸c˜oes escritas em forma explicitamente real, caso no qual definimos os coeficientes de Fourier reais αk , para k = 0, . . . , kM , e βk , para k = 1, . . . , kM , N kn 2 X cos 2π ϕ(n), αk = N N n=1 N kn 2 X sin 2π ϕ(n), βk = N N n=1
de forma que a expans˜ ao de Fourier para o caso de N ´ımpar ´e dada por kM X 1 kn kn ϕ(n) = α0 + + βk sin 2π . αk cos 2π 2 N N k=1
e, para o caso de N par, por
kX M −1 1 kn 1 kn ϕ(n) = α0 + + βk sin 2π + αN/2 cos(nπ). αk cos 2π 2 N N 2 k=1
Vamos agora considerar o que vamos chamar de limite do cont´ınuo, ou seja, o limite N → ∞ no qual a representa¸c˜ao das fun¸c˜oes na rede se aproxima da correspondente representa¸c˜ao no cont´ınuo, no sentido discutido anteriormente. Por simplicidade, vamos iniciar a discuss˜ ao com a vers˜ao complexa da nossa estrutura. Vamos lembrar que nossa rede tem comprimento L e espa¸camento a = L/N , onde L ser´a mantido constante conforme tomamos o limite N → ∞, como ilustrado no diagrama que segue. 1
Fig. 1: Uma rede e um refinamento da mesma, de N para N ′ = 2N . Como temos que a = L/N , segue que quando N vai para o infinito a vai a zero, de forma que ´ claro que neste a rede se torna infinitamente fina dentro do intervalo de comprimento L. E limite n˜ao podemos mais usar n como coordenada para descrever a posi¸c˜ao dos pontos, pois ela adquire um car´ater singular no limite, e que s´ o podemos usar x para esta finalidade. Da mesma forma, o comprimento da rede tem de passar a ser descrito por L em vez de por N . Vamos portanto escrever a express˜ao de ϕ ek em termos de x e L em vez de n e N . Temos que x = na, e que ϕ(n) pode ser escrita em termos de x, como ϕ(x). O mesmo pode ser feito com as fun¸c˜oes da base, de forma que podemos escrever N
1X ∗ afk (x)ϕ(x), L
ϕ ek =
n=1 ı 2πkx/L
fk (x) = e
.
Notemos agora que, quando N → ∞ e a → 0, podemos encarar a como o elemento de comprimento dx associado a cada um dos N pequenos intervalos que, concatenados, constituem o comprimento total da rede. Vemos assim que a soma acima, que corre sobre todos os N intervalos em que dividimos o segmento [0, N ], com a = dx, converge para a integral de Riemann da fun¸c˜ao fk∗ (x)ϕ(x) no intervalo indicado, 1 ϕ ek = L
Z
L
0
dx fk∗ (x)ϕ(x),
onde indicamos o fato de que, quando n varia de 0 a N , x varia de 0 a L. Vemos assim que, no limite do cont´ınuo, com L mantido fixo, a transformada de Fourier da fun¸c˜ao ϕ(x) ´e expressa como uma integral sobre o intervalo no qual a fun¸c˜ao est´a definida. A express˜ao da expans˜ ao da fun¸c˜ao em termos da base de Fourier ´e ainda uma soma discreta, mas temos agora uma s´erie infinita em vez de uma soma finita, ϕ(x) =
∞ X
k=−∞
fk (x)ϕ ek ,
pois no limite N → ∞ temos que km → −∞ e kM → ∞, de forma que os detalhes relativos aos valores m´ aximo e m´ınimo de k perdem toda sua significˆancia. Como esta ´e ainda uma soma discreta, a denominamos de s´erie de Fourier, cujos coeficientes s˜ ao agora expressos por meio de integrais sobre o intervalo de periodicidade. ´ claro que podemos fazer exatamente a mesma coisa no caso da vers˜ao real da transE formada, e neste caso obtemos os coeficientes reais αk , para k = 0, . . . , ∞, e βk , para k = 1, . . . , ∞, Z 2 L kx αk = dx cos 2π ϕ(x), L 0 L Z 2 L kx βk = dx sin 2π ϕ(x), L 0 L 2
enquanto a express˜ao real da s´erie de Fourier ´e ∞ X kx 1 kx αk cos 2π ϕ(x) = α0 + + βk sin 2π , 2 L L k=1
´ interessante onde naturalmente as dependˆencias com a paridade de N n˜ao existem mais. E chamar a aten¸c˜ao para o fato de que o que temos aqui ´e uma expans˜ ao para uma fun¸c˜ao gen´erica ϕ(x) em termos de um conjunto de fun¸co ˜es anal´ıticas, pois tanto o seno quanto o cosseno podem ser estendidos para o plano complexo como fun¸c˜oes anal´ıticas. O mesmo vale, ´e claro, para as exponenciais da vers˜ao complexa da expans˜ ao. Entretanto, n˜ao h´a nenhuma necessidade de que ϕ(x) seja ela mesma anal´ıtica como resultado da soma infinita indicada, e de fato ela tipicamente n˜ao ser´a anal´ıtica, como veremos nas aplica¸c˜oes. Assim, vemos aqui que um conjunto de fun¸c˜oes anal´ıticas pode ser usado como base para representar um conjunto muito mais geral de fun¸c˜oes, que satisfazem a v´ınculos muito menos restritivos. Apenas para escrever estas rela¸c˜oes em uma outra forma familiar, podemos transladar o intervalo [0, L] para [−L/2, L/2], o que n˜ao muda os coeficientes, devido ` a periodicidade das fun¸c˜oes, obtendo para os coeficientes reais Z 2 L/2 kx αk = dx cos 2π ϕ(x), L −L/2 L Z kx 2 L/2 dx sin 2π ϕ(x), βk = L −L/2 L sem que haja qualquer mudan¸ca na forma da s´erie. Podemos agora fazer uma mudan¸ca de vari´aveis, passando da vari´avel dimensional x para a vari´avel adimensional ξ = 2πx/L, e escrever para os coeficientes Z 1 π αk = dξ cos(kξ)ϕ(ξ), π −π Z 1 π βk = dξ sin(kξ)ϕ(ξ), π −π e para a s´erie de Fourier X 1 [αk cos(kξ) + βk sin(kξ)] . ϕ(ξ) = α0 + 2 ∞
k=1
´ nesta forma que as rela¸c˜oes s˜ E ao encontradas em muitos livros, como por exemplo em [1]. De forma geral vamos preferir usar vari´aveis dimensionais, especialmente nas aplica¸c˜oes f´ısicas. A pr´oxima coisa a se fazer ´e verificar como ficam as rela¸c˜oes de ortogonalidade e completicidade no limite do cont´ınuo. Usando primeiro a vers˜ao complexa do formalismo, podemos escrever a rela¸c˜ao de ortogonalidade da forma N
1X afk (n)fk∗′ (n) = δ(k, k ′ ), L n=1
onde usamos mais uma vez que 1/N = a/L. Interpretando a como dx como fizemos antes, vemos que tamb´em neste caso aparece, no limite do cont´ınuo, uma integral sobre o intervalo [0, L], 3
1 L
Z
L
0
dx fk (x)fk∗′ (x) = δ(k, k ′ ), fk (x) = eı 2πkx/L .
Vemos assim que a rela¸c˜ao de ortogonalidade, e portanto o produto escalar entre as fun¸c˜oes, ´e agora expresso por uma integral sobre o intervalo de periodicidade. Em termos da vari´avel ξ = 2πx/L, mudando o intervalo de periodicidade em termos de x para [−L/2, L/2] como antes, podemos escrever isto alternativamente como Z π 1 dξ fk (ξ)fk∗′ (ξ) = δ(k, k ′ ), 2π −π fk (ξ) = eı kξ .
O caso da rela¸c˜ao de completicidade requer uma an´ alise um pouco mais cuidadosa. Neste caso continuamos tendo uma soma discreta, mas agora infinita, ∞ X
fk (x)fk∗ (x′ ) = lim N δ(n, n′ ). N →∞
k=−∞
Nosso problema aqui ´e interpretar corretamente o que acontece no lado direito desta equa¸c˜ao. Podemos tentar simplesmente substituir δ(n, n′ ) por δ(x, x′ ) sem mudar o significado da equa¸c˜ao, mas o que devemos fazer em rela¸c˜ao ao fator divergente de N ? Para resolver este problema, ´e necess´ario lembrar qual ´e o significado desta equa¸c˜ao. Este significado, quando a equa¸c˜ao ´e usada para alguma coisa dentro do formalismo, ´e que o lado esquerdo ´e zero em todos os pontos menos em n = n′ , ou seja x = x′ , e que quando multiplicamos ambos os lados por uma fun¸c˜ao ϕ(n′ ) e somamos para todo n′ , dividindo ent˜ao por N , ou seja, quando tiramos uma m´edia sobre a vari´avel n′ , obtemos como resposta ϕ(n). Vamos escrever as opera¸c˜oes que acabamos de descrever, usando o lado direito da equa¸c˜ao. Devemos ter, portanto, que " # N 1 X ′ ′ lim N δ(n, n )ϕ(n ) = ϕ(n). N →∞ N ′ n =1
No limite N → ∞ a soma se aproxima da integral de alguma coisa. Se escrevermos tudo que ´e poss´ıvel em termos de L e x, em lugar de N e n, obtemos a express˜ao Z L 1 dx′ [N δ(x, x′ )]ϕ(x′ ) = ϕ(x). lim N →∞ L 0 Observe-se que a u ´nica dependˆencia restante com N est´a no integrando. Podemos escrever isto da seguinte forma, Z L N ′ ′ δ(x, x ) ϕ(x′ ) = ϕ(x), dx lim N →∞ 0 L ou ainda, assumindo que seja poss´ıvel definir o limite do integrando, Z L N δ(x, x′ ) ϕ(x′ ) = ϕ(x). dx′ lim N →∞ L 0 Temos aqui uma esp´ecie de “fun¸c˜ao” [N δ(x, x′ )/L] = [δ(x, x′ )/a], que tem as seguintes propriedades para qualquer valor de N , inclusive no limite do cont´ınuo N → ∞, 4
N ′ δ(x, x ) = 0, se x 6= x′ , L N ′ lim δ(x, x ) = ∞, se x = x′ , N →∞ L Z L N dx′ lim δ(x, x′ ) ϕ(x′ ) = ϕ(x), N →∞ 0 L ´ claro que o limite N → ∞ deste objeto n˜ao ´e uma fun¸c˜ao real para qualquer fun¸c˜ao ϕ(x). E no sentido usual, pois nenhuma fun¸c˜ao pode ter estas trˆes propriedades no limite. Vamos entretanto definir uma “fun¸c˜ao”, num sentido generalizado, para representar este objeto. Num sentido matem´ atico mais preciso, que est´a al´em do escopo destas notas, trata-se na realidade n˜ao de uma fun¸c˜ao, mas do “kernel” de uma distribui¸ca ˜o. A uma “fun¸c˜ao” que tenha estas propriedades damos o nome de fun¸ca ˜o delta de Dirac, que denotamos por N lim δ(x, x′ ) = δ(x − x′ ). N →∞ L Em termos desta nova defini¸c˜ao podemos de fato passar o limite para dentro da integral, como fizemos antes, e escrever a rela¸c˜ao de completicidade de forma mais simples e sucinta, como ∞ X
fk (x)fk∗ (x′ ) = δ(x − x′ ).
k=−∞
O uso da fun¸c˜ao delta de Dirac n˜ao induz ao erro desde que algum cuidado seja tomado ´ preciso lembrar, sempre que aparecer uma durante as manipula¸c˜oes que a envolvem. E d´ uvida, que trata-se de mais um s´ımbolo que representa um processo subjacente de limite, e n˜ao de uma simples fun¸c˜ao real. Como um exemplo de um processo de limite que leva a este objeto, diferente daquele examinado acima, podemos considerar a seguinte sequˆencia de fun¸c˜oes. Considere uma fun¸c˜ao δε (x−x0 ) que seja zero fora de um intervalo de comprimento ε centrado em x0 , e que dentro do intervalo tenha o valor 1/ε. Definimos assim uma sequˆencia de fun¸c˜oes, usando valores decrescentes de ε, como est´a ilustrado do diagrama que segue.
Fig. 2: A sequˆencia de fun¸c˜oes retangulares e superposta a elas uma fun¸c˜ao cont´ınua f (x).
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As fun¸c˜oes s˜ ao n˜ao-nulas em dom´ınios cada vez menores, e ficam com seus valores dentro destes dom´ınios cada vez maiores, conforme ε se aproxima de zero. Cada uma destas fun¸c˜oes tem portanto a sua integral sobre toda a reta real igual a ε × 1/ε = 1. Se multiplicarmos cada uma destas fun¸c˜oes por uma fun¸c˜ao cont´ınua f (x), e integrarmos o produto sobre toda a reta real, apenas a integral dentro do dom´ınio de comprimento ε contribui para o valor total, de forma que temos Z
∞
dx δε (x − x0 )f (x) =
−∞
=
Z
x0 +ε/2
1 dx f (x) ε
x0 −ε/2 Z x0 +ε/2
1 ε
dx f (x),
x0 −ε/2
que ´e uma m´edia de f (x) sobre o intervalo de largura ε. No limite onde ε → 0 a fun¸c˜ao f (x) se aproxima de uma constante dentro do intervalo de largura ε, posto que ela ´e cont´ınua, e portanto a integral se aproxima do valor εf (x0 ). Segue que neste limite temos Z ∞ 1 δ0 (x − x0 )f (x) dx = εf (x0 ) ε −∞ = f (x0 ). Temos portanto como uma poss´ıvel defini¸c˜ao da “fun¸c˜ao” delta de Dirac δ(x − x0 ) = δ0 (x − x0 ) = lim δε (x − x0 ). ε→0
Esta particular sequˆencia de fun¸c˜oes ´e apenas um exemplo particularmente simples. Qualquer sequˆencia de fun¸c˜oes que tenha as propriedades de que as fun¸c˜oes tendem a zero fora do intervalo infinitesimal, e de que elas divergem para o infinito dentro dele, de tal forma que a integral das fun¸c˜oes seja sempre igual a 1, ou pelo menos tenda a 1 no limite, tem a “fun¸c˜ao” delta de Dirac como limite. O tratamento matem´ atico pode ser tornado perfeitamente rigoroso atrav´es da teoria das distribui¸co ˜es, na qual este objeto est´a relacionado com funcionais lineares que atuam no espa¸co das fun¸c˜oes reais, funcionais estes que tˆem valores em R. Por exemplo, a fun¸c˜ao delta de Dirac δ(x − x0 ) est´a relacionada ao funcional que, a uma fun¸c˜ao real ϕ(x), atribui o seu valor num ponto particular, o ponto x0 , ou seja, tem como imagem o n´ umero real ϕ(x0 ). Um funcional F [f ] ´e simplesmente uma fun¸c˜ao de outro tipo, que tem como dom´ınio o espa¸co de todas as poss´ıveis fun¸c˜oes reais f (x), e como imagem o conjunto R, ou seja, a cada fun¸c˜ao real f (x) o funcional atribui um n´ umero real. Uma forma muito popular de se implementar este tipo de coisa ´e atrav´es de uma integral. Por exemplo, podemos ter Z ∞ 2 F [f ] = dx e−x f (x). −∞
A fun¸c˜ao exp(−x2 ) que aparece dentro da integral, como parte da defini¸c˜ao deste particular funcional, d´a pesos diferentes a cada ponto da reta real, e ´e denominado kernel do funcional. N˜ ao h´a nenhuma dificuldade em se definir o funcional delta de Dirac, que ´e o funcional δx0 [f ] que a cada fun¸c˜ao f (x) atribui o valor real f (x0 ). Tendo em vista a defini¸c˜ao da “fun¸c˜ao” delta de Dirac que acabamos de dar, podemos escrever este funcional como uma integral, Z ∞ dx δ(x − x0 )f (x), δx0 [f ] = −∞
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ou seja, a “fun¸c˜ao” delta de Dirac δ(x − x0 ) ´e o kernel do funcional delta de Dirac δx0 [f ] relativo ao ponto x0 . Este kernel simplesmente d´a peso total ao ponto x0 e peso zero a todos os outros pontos, selecionando assim o valor da fun¸ca˜o no ponto x0 . Como se vˆe, trata-se na realidade de uma estrutura muito simples. Podemos escrever tamb´em as vers˜oes reais das rela¸c˜oes de ortogonalidade e completicidade no limite do cont´ınuo. As manipula¸c˜oes e os conceitos s˜ ao exatamente os mesmos, de forma que temos, por exemplo, o seguinte conjunto completo de rela¸c˜oes de ortogonalidade, excluindo as rela¸c˜oes que s˜ ao meras identidades, 1 L
Z
L
dx 1 × 1 = 1, Z kx 1 L dx 1 × cos 2π = 0, L 0 L Z kx 1 L = 0, dx 1 × sin 2π L 0 L Z 1 L k′ x kx sin 2π = 0, dx cos 2π L 0 L L Z 1 L kx k′ x 1 dx cos 2π cos 2π = δ(k, k ′ ), L 0 L L 2 Z L ′ kx 1 kx 1 dx sin 2π sin 2π = δ(k, k ′ ), L 0 L L 2
(caso k = 0),
0
para k 6= 0, para k 6= 0, para k 6= 0 6= k ′ , para k 6= 0 6= k ′ , para k 6= 0 6= k ′ , onde k = 1, . . . , ∞.
Temos portanto um conjunto de fun¸c˜oes ortogonais, como antes, mas agora um conjunto infinito e enumer´avel delas. As integrais que aparecem acima podem facilmente ser feitas por meios elementares, e desta forma estes resultados podem ser verificados diretamente, o que ser´a deixado para os exerc´ıcios. Exatamente como fizemos antes, podemos deslocar o intervalo de [0, L] para [−L/2, L/2] e mudar vari´aveis para ξ = 2πx/L, obtendo assim o conjunto alternativo de rela¸c˜oes Z 1 π dξ 1 × 1 = 2, (caso k = 0), π −π Z 1 π dξ 1 × cos(kξ) = 0, para k 6= 0, π −π Z 1 π dξ 1 × sin(kξ) = 0, para k 6= 0, π −π Z 1 π dξ cos(kξ) sin(k ′ ξ) = 0, para k 6= 0 6= k ′ , π −π Z 1 π dξ cos(kξ) cos(k ′ ξ) = δ(k, k ′ ), para k 6= 0 6= k ′ , π −π Z 1 π dξ sin(kξ) sin(k ′ ξ) = δ(k, k ′ ), para k 6= 0 6= k ′ , π −π onde k = 1, . . . , ∞, que ´e uma forma mais familiar destes resultados, encontrada em muitos livros. A rela¸c˜ao de completicidade para as fun¸c˜oes reais pode ser facilmente deduzida da correspondente vers˜ao complexa no limite do cont´ınuo, e resulta ser escrita da forma
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1+2
∞ X k=1
∞ X kx′ kx kx′ kx cos 2π +2 sin 2π sin 2π = δ(x − x′ ), cos 2π L L L L k=1
onde δ(x − x′ ) ´e a mesma fun¸c˜ao delta de Dirac que vimos antes, e a paridade de N tornouse irrelevante no limite, exatamente como antes. Devemos observar mais uma vez que, no limite do cont´ınuo, esta rela¸c˜ao ´e essencial para estabelecer a completicidade da base de Fourier, uma vez que a dimens˜ ao do espa¸co vetorial das fun¸c˜oes reais sobre o intervalo [0, L] torna-se infinita, pois neste caso a simples contagem de dimens˜ oes e de elementos da base n˜ao ´e mais suficiente para tal. Mais uma vez vemos como a representa¸c˜ao explicitamente real do formalismo ´e bem mais complicada que a representa¸c˜ao complexa, em seus detalhes. Por outro lado ela tamb´em ´e muito u ´til, pois veremos nas aplica¸c˜oes `a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais que frequentemente podemos determinar a priori que a solu¸c˜ao procurada est´a num determinado subespa¸co, e portanto utilizar apenas os senos ou apenas os cossenos para as expans˜ oes. Como veremos nas aplica¸c˜oes, o conjunto das fun¸c˜oes seno em particular ´e, com muita frequˆencia, extremamente u ´til, pois os senos est˜ao associadas a um outro tipo de condi¸c˜oes de contorno, as assim-chamadas condi¸c˜oes de contorno fixas, em contraste com as condi¸c˜oes de contorno peri´ odicas que estamos usando aqui. Terminamos por lembrar que, uma vez que escrevemos a expans˜ao de Fourier de uma fun¸c˜ao na forma de uma s´erie infinita, vˆem imediatamente `a tona as quest˜oes sobre a convergˆencia desta s´erie. Enquanto podemos continuar a pensar que, em algum sentido abstrato, a soma completa da s´erie continua representando a fun¸c˜ao, na pr´atica estamos limitados a somar um n´ umero finito de termos, e esta soma completa est´a fora do nosso alcance. Assim, para que a s´erie continue tendo utilidade no sentido de representar a fun¸c˜ao, ´e imprescind´ıvel que ela tenha a propriedade de que suas somas parciais na ordem de k crescente constituam uma aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao, aproxima¸c˜ao esta que possa ser t˜ao boa quanto se queira. Ou seja, ´e preciso que, dado um n´ıvel de precis˜ao p com o qual se queira representar a fun¸c˜ao em um determinado ponto, exista um n´ umero kp tal que, se somarmos todos os termos da s´erie at´e kp , a soma se aproxime da resposta exata dentro deste limite de precis˜ao. A este crit´erio damos o nome de crit´erio de convergˆencia ponto-a-ponto. Existe tamb´em um segundo crit´erio de convergˆencia, mais forte que este, chamado de convergˆencia uniforme, que tamb´em ´e relevante para garantir a utilidade das s´eries de Fourier. Em palestras subsequentes trataremos destas quest˜ oes de uma forma ainda parcial, baseada inicialmente em argumentos intuitivos, pois o tratamento matematicamente rigoroso que se aplica a este t´opico ´e muito complexo e dif´ıcil.
Referˆ encias [1] “Fourier Series and Boundary Value Problems”, Ruel V. Churchill, McGraw-Hill sec 1941. gunda edi¸c˜ao,
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