Aula 12 Cálculo I

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Aula 12 – Derivadas Introdução a Derivada, Propriedades, Regra da Cadeia e Derivação Implícita Derivada a Linguagem do Movimento Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, mas particularmente do cálculo com derivadas. LEI DA QUEDA DOS CORPOS A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Derivada a Linguagem do Movimento Isaac Newton e W.G. Leibniz, iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusive sociais cumprem o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática. A Derivada, tem sua origem em dois problemas históricos que conduzem a duas formas de interpretação: a gráfica e símbolica e a numérica/analítica. Graças a introdução das coordenadas cartesianas por Decartes e Fermat no séc. XVII. • O problema da tangente (no estudo de máximos e mínimos de funções) Leibniz Newton (Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716) (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727) • A velocidade de um objeto num determinado momento (taxas de variação) Derivada a Linguagem do Movimento O PROBLEMA DA TANGENTE Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva. A Primeira definição de reta tangente a uma curva: reta que encontrava a curva num único ponto Esta definição ainda é útil para algumas curvas um pouco mais gerais que a circunferência Derivada a Linguagem do Movimento O PROBLEMA DA TANGENTE Embora estas retas interceptem a curva, elas não correspondem a nossa noção intuitiva de tangente. A A A A A A A B A reta tangente pode ser obtida por um processo limite. Quando o ponto A se aproxima do ponto B a reta secante tende a reta tangente. Derivada a Linguagem do Movimento O PROBLEMA DA TANGENTE Fermat resolveu o problema da tangente de maneira muito simples como mostraremos abaixo. y Seja y  f ( x) o gráfico de uma função. Q f(b) f(a) P a Considere dois pontos P e Q dois pontos sobre o gráfico de y  f ( x) Considere a reta secante que passa pelos pontos P e Q b x Derivada a Linguagem do Movimento O PROBLEMA DA TANGENTE Fermat resolveu o problema da tangente de maneira muito simples como mostraremos abaixo. y O coeficiente angular dessa reta é: f (b)  f (a) ba Q f(b) f(a) f(b) – f(a) P b-a a b x Mantemos P fixo e fazemos o ponto Q aproximar de P. Derivada a Linguagem do Movimento O PROBLEMA DA TANGENTE y Mantemos P fixo e fazemos o ponto Q aproximar de P. Q f(b) f(a) Q QP a f (b)  f (a) Se o limite m  lim existe, ba Q ba b obtemos a reta tangente ao gráfico de y  f ( x) em P, e m é o coeficiente x angular desta reta Derivada a Linguagem do Movimento A RETA TANGENTE A UM PONTO Seja y  f ( x) o gráfico de uma função, o ponto P( x , f ( x )) 0 0 O coeficiente angular da reta tangente no ponto P( x , f ( x )) é: y 0 0 f ( x  h)  f ( x ) m  lim h 0 0 h 0 f(x0+h) f(x0) Sabendo que y  mx  b definimos a equação da reta tangente a P( x , f ( x )) por: P 0 x0 x0+h h0 x 0 y  y  m( x  x ) 0 0 ATIVIDADES Determine o coefiente angular da reta tangente ao gráfico da função dada nos pontos dados. a) f  x   x 2  1, (2, 5) x b) f  x   , (3,3) x2 c) f  x   x  2 x 2 , (1,-1) d) h  t   t 3, (2,8) 8 e) g  x   2 , (2,2) x f) h  t   t 3  3t, (1,4) ATIVIDADES Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função dada no ponto dado. a) f  x   x 2  1, (2, 5) x b) f  x   , (3,3) x2 c) f  x   x  2 x 2 , (1,-1) d) h  t   t 3, (2,8) 8 e) g  x   2 , (2,2) x f) h  t   t 3  3t, (1,4) Derivada DEFINIÇÃO A Derivada de uma função y  f ( x) em relação a variável x é a função f  cujo valor em x é: f ( x  h)  f ( x ) f ( x)  lim h h 0 caso o limite exista. Derivada NOTAÇÕES A Derivada é representada de várias formas: df d f ( x)   f ( x)  D( f )( x)  D f ( x) dx dx x d Os símbolos : e D indicam a operação de derivação e são dx chamados operadores de derivação Derivada NOTAÇÕES Para indicar o valor de uma derivada em um número específico, usamos a notação. xa dy f (a)  dx xa ATIVIDADES Determine as derivadas das funções. a) f  x   x 2  1 f) h  t   t 3  3t x b) f  x   x2 c) f  x   x  2 x 2 g) h  s   d) h  t   t 3 8 e) g  x   2 x 2s  1 t h) h  t   2t  1 1 i) f  s   s 1 j) f  x   x  x Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? MOTIVAÇÃO A função f ( x)  x não é derivável na origem. y f ( x)  x x Derivada à direita em zero:. 0h  0 h h f ( x)  lim  lim  lim  lim1  1 h h h  h 0  h 0  h 0  h 0  Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? MOTIVAÇÃO Derivada à esquerda em zero:. 0h  0 h h f ( x)  lim  lim  lim  lim 1  1 h h h  h 0 _ h 0 _ h 0 _ h 0 _ Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? Quando as secantes não tem uma posiçãolimite ou se tornam verticais à medida que Q tende P, a derivada não existe. Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? 1. Um bico, onde as derivadas laterias são diferentes. f  ( p )  lim x p f  x  f  p x p f  ( p )  lim x p f  x  f  p x p Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? 2. Um ponto cuspidal, onde o coeficiente angular de PQ tende a infinito, de um lado, e a menos infinito, do outro. 0 Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? MOTIVAÇÃO 3. Uma tangente vertical, onde o coeficiente angular de PQ tende a mais infinito ou a menos infinito de ambos os lados. 0 Quando uma função não apresenta derivada em um ponto? 4. Uma descontinuidade 0 Proposição Sendo n   , temos que as funções: n i f x  x     , x  n ii f x  x ,        iii  f  x   n x , x  0 se n é par e x   se n for ímpar São deriváveis valendo as fórmulas de derivação, a seguir: Proposição n n 1  i f x  x  f x  nx      n  n 1  ii f x  x  f x   nx       1 1 1 n n  iii  f  x   x  f   x   x n Proposição n 1   i  f  x   x  f  x   nx n Caso n  1 , logo f  x   x f  x  h  f  x f   x   lim h 0 h xhx h f   x   lim  lim  lim1  1 h 0 h  0 h h h0 Proposição n n 1  i f x  x  f x  nx      Se n  2 , então f  x   x 2 logo: f  x  h  f  x f   x   lim h 0 h 2 x  h  x   f   x   lim h 0 h 2 Proposição 2 x  h  x   f   x   lim h 0 h 2 t  xh h0t  x t  x  lim  t  x   x  x  2 x tx tx t  x 2 parcelas f   x   lim 2 2 Proposição n 1   i  f  x   x  f  x   nx n 3 f x  x n  3 Caso , logo   f  x  h  f  x x  h   x3  f   x   lim  lim h 0 h 0 h h 3 h0t  x t  xh t x 2 2  lim  t  t  x  x   x 2  x 2  x 2  3x 2 f   x   lim t x tx t  x 3 3 3 parcelas Proposição n n 1  i f x  x  f x  nx      n f  x  h  f  x x  h  x   f   x   lim  lim h 0 h 0 h h n t  xh h0t  x t n  xn f   x   lim  lim  t n1  t n2 x  t n3 x 2  tx t  x t x n parcelas  x n1  Proposição t n  xn f   x   lim  lim  t n1  t n2 x  t n3 x 2  tx t  x t x n parcelas f   x   x n1  x n2  x  x n3  x 2  f   x   nx n1   x n1  x n1  Proposição Como consequência de i) temos:  ii  f  x   x  n  f   x   nx  n1 1 1 1 n n  iii  f  x   x  f   x   x n Exemplos Determine asa derivadas das funções abaixo. 1. f  x   x 4 2. f  x   x8 3. f  x   x 5 1 4. f  x   6 x 1 5. f  x   3 x 6. f  x   x 7. f  x   5 x 8. f  x   x 1 5 1 9. f  x   6 x 1 10. f  x   1  x 3 Proposição São válidas as seguintes fórmulas de derivação Para as funções abaixo: x   i  f  x   e  f  x   e x  x 1  ii  f  x   ln x  f   x   x   0,   x Obrigado ! 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