Transcript
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exerc´ıcios Resolvidos: Assintota Vertical Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como encontrar? Se lim f (x) = x→a
b , com a, b ∈ R ent˜ ao a fun¸c˜ao possui uma assintota vertical em x = a. 0
Exemplo 1: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) =
2x x−3
Solu¸ c˜ ao: Primeiro fazemos o denominador igual a zero. x−3=0⇒x=3 Agora calculamos o limite de f(x) com x tendendo a 3. 2x lim x→3 x − 3 =
2(3) 6 = 3−3 0
b Como o resultado do limite ´e uma singularidade do tipo existe uma assintota vertical em 0 x = 3.
1
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
8. 6. 4.
f
2.
−12.−10.−8. −6. −4. −2.
0 2.
4.
6.
8. 10.
−2. −4. −6. −8. −10.
Gr´ afico da fun¸ c˜ ao f(x) com sua assintota vertical passando pelo ponto (3, 0).
2
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 2: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) = tg(x) Solu¸ c˜ ao: sen(x) e que cos(x) = 0 para x = {π/2, 3π/2, ...}. cos(x) Assim podemos afirmar que existe uma assintota vertical em x = π/2, 3π/2, .... Sabe-se que tg(x) =
Exemplo 3: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) =
3 x−3
Solu¸ c˜ ao: Fazendo o denominador igual a zero chegamos a x = 3. x−3=0⇒x=3 Agora calculamos o limite da fun¸ca˜o com x tendendo a 3. 3 3 3 lim = = x→3 x − 3 3−3 0 b Como o resultado do limite ´e uma singularidade do tipo existe uma assintota vertical em 0 x = 3.
Exemplo 4: Encontre a ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao f (x) =
2x3 − 3x2 + x 2x3 + 5x2 − 3x
Solu¸ c˜ ao: Temos de descobrir primeiro qual, ou quais, os valores de x para que 2x3 − 3x2 + x = 0. Fatorando 2x3 − 3x2 + x chegamos aos valores de 0, -3 e 1/2. 2x3 − 3x2 + x = x(x + 3)(2x − 1) Agora vamos verificar cada um desses resultados. Quando x tende a zero: 3 2x − 3x2 + x x(2x − 1)(x − 1) lim = lim x→0 2x3 + 5x2 − 3x x→0 x(x + 3)(2x − 1) x(2x − 1)(x − 1) x−1 1 = lim = lim =− x→0 x(x + 3) − 1) x→0 x + 3 (2x 3 Quando x tende a -3: 3 2x − 3x2 + x x(2x − 1)(x − 1) lim = lim x→−3 2x3 + 5x2 − 3x x→−3 x(x + 3)(2x − 1) 3
Exerc´ıcios Resolvidos
= lim
x→−3
x(2x − 1)(x − 1) − x(x + 3) (2x 1)
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
= lim
x→−3
x−1 x+3
=
−3 − 1 −4 = −3 + 3 0
Quando x tende a 0.5: 3 2x − 3x2 + x x(2x − 1)(x − 1) lim = lim x→0.5 2x3 + 5x2 − 3x x→0.5 x(x + 3)(2x − 1) x(2x − 1)(x − 1) 0.5 − 1 0.5 x−1 = lim = =− = lim x→0.5 x(x + 3) x→0.5 x + 3 0.5 + 3 3.5 (2x − 1) Perceba que somente para x tendendo a −3 o resultado do limite ´e uma singularidade do tipo b Assim ocorre uma u ´nica ass´ıntota vertical passando em x = −3. 0
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 4
