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Matematica Essencial: Alegria: Calculos Rapidos
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Dica 01-1: Multiplicar por 10
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita. Exemplo: 12×10=120 Exemplo: 12,345×10=123,45 Dica 01-2: Multiplicar por 100
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita. Exemplo: 12×100=1200 Exemplo: 12,345×100=1234,5 Dica 01-3: Multiplicar por 1000
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita. Exemplo: 12×1000=12000 Exemplo: 12,345×1000=12345 Dica 01-4: Multiplicar por 10n
Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita. Exemplo: 12×107=120000000 Exemplo: 12,345×107=123450000 Dica 02-1: Dividir por 10
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda. Exemplo: 12÷10=1,2 Exemplo: 12,345÷10=1,2345 Dica 02-2: Dividir por 100
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda. Exemplo: 12÷100=0,12
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Exemplo: 12,345÷100=0,12345 Dica 02-3: Dividir por 1000
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda. Exemplo: 12÷1000=0,0120 Exemplo: 12,345÷1000=0,012345 Dica 02-4: Dividir por 10n
Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda. Exemplo: 12÷107=0,0000012 Exemplo: 12,345÷107=0,0000012345 Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25
Tomar o dobro do dobro do número. Exemplo: 4×16=2×2×16=2×32=64 Exemplo: 12,3×4=2×2×12,3=2×24,6=49,2 Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5
Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10. Exemplo: 0,4x16=2x2x16÷10=2x32÷10=64÷10=6,4 Exemplo: 0,4x12,3=2x2x12,3÷10=2x24,6÷10 =49,2÷10=4,92 Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25
Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10. Exemplo: 40×16=2×2×16×10=2×32×10=64×10=640 Exemplo: 40x12,3=2x2x12,3×10=2x24,6×10 =49,2x10=492 Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número.
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Exemplo: 16÷4=16÷2÷2=8÷2=4 Exemplo: 12,3÷4=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075 Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5
Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10. Exemplo: 16÷0,4=16÷2÷2x10=8÷2x10= 4x10=40 Exemplo: 12,3÷0,4=12,3÷2÷2x10=6,15÷2x10 =3,075x10=30,75 Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número e dividir por 10. Exemplo: 16÷40=16÷2÷2÷10=8÷2÷10=4÷10=0,4 Exemplo: 12,3÷40=12,3÷2÷2÷10= 6,15÷2÷10 =3,075÷10=0,3075 Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2
Tomar a metade do número e multiplicar por 10. Exemplo: 5×16=16÷2×10=8×10=80 Exemplo: 5×12,3=12,3÷2×10=6,15×10=61,5 Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2
Tomar a metade do número. Exemplo: 0,5×16=16÷2=8 Exemplo: 0,5×12,3=12,3÷2=6,15 Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02
Tomar a metade do número e multiplicar por 100. Exemplo: 50×16=16÷2×100=8×100=800 Exemplo: 50×12,3=12,3÷2×100=6,15×100=615 Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2
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Tomar o dobro do número e dividir por 10. Exemplo: 16÷5=2×16÷10=32÷10=3,2 Exemplo: 12,3÷5=12,3×2÷10=24,6÷10=2,46 Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2
Tomar o dobro do número. Exemplo: 16÷0,5=2×16=32 Exemplo: 12,3÷0,5=12,3×2=24,6 Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02
Tomar o dobro do número. Exemplo: 16÷50=2×16÷100=32÷100=0,32 Exemplo: 12,3÷50=2×12,3÷100=24,6÷100=0,246 Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5]
Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25. Justificativa Matemática [M5] = 10M + 5 logo [M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25 (10M+5)² = 100 (M² + M) + 25 (10M+5)² = 100 M × (M+1) + 25 Exemplo: 35²=(3x4)25=1225 Exemplo: 75²=(7x8)25=5625 Exemplo: 105²=(10x11)25=11025 Exemplo: 205²=(20x21)25=42025 Dica 08-1: Multiplicar por 11
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N].
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Justificativa Matemática Como [MN] (10M+N) × (10M+N) × (10M+N) × (10M+N) ×
= 10M + N, então 11 = (10M+N) × (10+1) 11 = 100M + 10M + 10N + 1 11 = 100M + 10(M+N) + 1 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1]
Exemplo: 35×11=(3,8,5)=385 Exemplo: 27×11=(2,9,7)=297 Dica 08-2: Multiplicar por 11
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N]. Justificativa Matemática Como [MN] = 10M + N, então (10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1 (10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1 (10M+N)×11=100M +100 - 100 + 10(M+N)+1 (10M+N)×11=100(M+1)+10(M+N-10)+1=[M+1,M+N-10,1] Exemplo: 78×11=(8,5,8)=858 Exemplo: 95×11=(10,4,5)=1045 Dica 08-3: Multiplicar por 11
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escreve-se [A, A+B, B+C, C]. Justificativa Matemática Como [ABC] = 100A (100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×11 =
+ 10B + C, então (100A+10B+C)×(10+1) 1000A+100B+10C+100A+10B+C 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C [A,A+B,B+C,C]
Exemplo: 134×11=(1,1+3,3+4,4)=(1,4,7,4)=1474
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Exemplo: 235×11=(2,2+3,3+5,5)=(2,5,8,5)=2585 Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04
Dividir o número por 4 e multiplicar por 100. Exemplo: 16×25=16÷2÷2×100=8÷2×100=4×100=400 Exemplo: 12,3×25=12,3÷2÷2×100=6,15÷2×100 =3,075×100=307,5 Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4
Dividir o número por 4 e multiplicar por 10. Exemplo: 16×2,5=16÷2÷2×10=8÷2×10=4×10=40 Exemplo: 12,3×2,5=12,3÷2÷2×10=6,15÷2×10 =3,075×10=30,75 Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4
Dividir o número por 4. Exemplo: 16×0,25=16÷2÷2=8÷2=4 Exemplo: 12,3×0,25=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075 Dica 10-1: Multiplicar por 101
Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B] Exemplo: 35×101=(3,5,3,5)=3535 Exemplo: 27×101=(2,7,2,7)=2727 Dica 10-2: Multiplicar por 101
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C]. Justificativa Matemática Como [ABC] = 100A + 10B + C, então [ABC]×101 = (100A+10B+C)×101 [ABC]×101 = (100A+10B+C)×(100+1) [ABC]×101 = 10000A+1000B+100C+100A+10B+C
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[ABC]×101 = 10000A+1000B+100(A+C)+10B+C [ABC]×101 = [A,B,A+C,B,C] Exemplo: 435×101=(4,3,(4+5),3,5)=(4,3,9,3,5)=43935 Exemplo: 257×101=(2,5,(2+7),5,7) =(2,5,9,5,7)=25957 Dica 11-1: Multiplicar por 9
Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN. Exemplo: 35×9=350-35=315 Exemplo: 27×9=270-27=243 Dica 11-2: Multiplicar por 99
Se o número tem a forma MN, como 99=100 - 1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN. Exemplo: 35×99=3500-35=3465 Exemplo: 27×99=2700-27=2673 Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre X e Y e o produto entre eles é (M-1)x(M+1)=M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1. Exemplo: 14×12=13² -1=169-1=168 Exemplo: 14×16=15² -1=225-1=224 Exemplo: 34×36=35² -1=1225-1=1224 Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-2)x(M+2)=M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4.
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Exemplo: 14×18=16² -4=256-4=252 Exemplo: 24×28=26² -4=576-4=572 Exemplo: 33×37=35² -4=1225-4=1221 Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)x(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9. Exemplo: 14×20=17² -9=289-9=280 Exemplo: 51×57=54² -9=2916-9=2907 Dica 13-1: Multiplicar por 1,5
Somar o número com a sua metade. Exemplo: 16×1,5=16+8=24 Exemplo: 12,3×1,5=12,3+6,15=18,45 Dica 13-2: Multiplicar por 15
Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10. Exemplo: 16×15 =(16+8)×10=24×10=240 Exemplo: 12,3×15=(12,3+6,15)×10=18,45×10=184,5 Dica 13-3: Multiplicar por 0,15
Somar o número com a sua metade e dividir por 10. Exemplo: 16×15 =(16 + 8)÷10=24÷10=2,4 Exemplo: 12,3×15=(12,3 + 6,15)÷10=18,45÷10=1,845 Dica 14-1: Multiplicar números com algarismos das dezenas iguais, mas a soma dos algarismos das unidades = 10
Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido como: (Mx(M+1),AxB)
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Justificativa Matemática [MA]=10M + A, [MB]=10M + B, A+B=10 [MA]x[MB]=(10M+A)x(10M+B)=100M²+10Mx(A+B)+AxB [MA]x[MB]=100M² + 100M + AxB [MA]x[MB]=100Mx(M+1) + AxB Exemplo: 14×16=(1x2,4x6)=(2,24)=224 Exemplo: 17×13=(1x2,7x3)=(2,21)=221 Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224 Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224 Exemplo: 73×77=(7x8,3x7)=(56,21)=5621 Exemplo: 104×106=(10x11,4x6)=(110,24)=11024 Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P]
Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,PxP). Justificativa Matemática [5P]=50 (50+P)² (50+P)² (50+P)²
+ = = =
P, logo 2500 + 2x50xP + P² 2500 + 100 P + P² (100x(25+P)+P²
Exemplo: 53²=(25+3,09)=(28,09)=2809 Exemplo: 54²=(25+4,16)=(29,16)=2616 Exemplo: 58²=(25+8,64)=(33,64)=3364 Exemplo: 59²=(25+9,81)=(34,81)=3481 Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]
Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0]. Justificativa Matemática
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Como (X+1)²=X² + 2X + 1, então [M1]² = (10M+1)² [M1]² = 100 M² + 20M + 1 [M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M) [M1]² = [M²,[M+1+M]] Exemplo: 31²=[900, 31+30]=[900,61]=961 Exemplo: 71²=[4900,71+70]=[4900,141]=5041 Exemplo: 101²=[10000,101+100]=[10000,201]=10201 Exemplo: 151²=[150²,151+150]=[22500,301]=22801 Dica 17-1: Multiplicar dois números por decomposição
Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto. Justificativa Matemática Como [YZ] = 10Y + Z, então X×[YZ] = X × (10Y + Z) = 10×X×Y + X×Z Exemplo: 8×13=8×10+8×3=80+24=104 Exemplo: 9×17=9×10+9×7=90+63=153 Exemplo: 15×22=15×20+15×2=300+30=330 Exemplo: 1,5×22=1,5×20+1,5×2=30+3=33 Exemplo: 1,5×2,2=(1,5×22)÷10=(1,5×20+1,5×2)÷10= (30+3)÷10=3,3 Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos e subtraimos um número D (diferença entre Z e Y) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraimos D do resultado obtido anteriormente. Justificativa Matemática
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Se a diferença entre Z e Y é D=Z-Y, então: [XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z) [XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) [XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) +D -D [XY]-[WZ] = 10(X-W) - D Exemplo: 72-48=72+6-6-48=78-6-48=78-48-6=30-6=24 Exemplo: 57-49=57+2-2-49=59-2-49=10-2=8 Exemplo: 142-88=142+6-6-88=148-88-6=60-6=54 Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e então realizamos a diferença. Justificativa Matemática Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é D+Z=10, então: [XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z) [XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + Z + D) [XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + 10) [XY]-[WZ] = (10X - 10W - 10) + (Y + D) [XY]-[WZ] = [X-W-1,Y+D] Exemplo: 72-48=(72+2)-(48+2)=74-50=24 Exemplo: 57-49=(57+1)-(49+1)=58-50=8 Exemplo: 142-87=(142+3)-(87+3)=145-90=55 Dica 18-3: Somando com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao último número e subtraimos D do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma. Justificativa Matemática
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Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é D+Z=10, então: [XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z) [XY] + [WZ]=(10X + Y - D) + (10W + Z + D) [XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + 10) [XY] + [WZ]=(10X + 10W + 10) + (Y + D) [XY] + [WZ]=[X+W+1,Y+D] Exemplo: 72+48=(72-2)+(48+2)=70+50=120 Exemplo: 57+49=(57-1)+(49+1)=56+50=106 Exemplo: 142+87=(142-3)+(87+3)=139+90=229 Dica 18-4: Somando com soma compensada
Quando o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao primeiro número e subtraimos D do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma. Justificativa Matemática Se D é a diferença entre 10 e Y, isto é D+Y=10, então: [XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z) [XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + Z - D) [XY] + [WZ]=(10X + 10) + (10W + Z - D) [XY] + [WZ]=(10X + 10 + 10W) + (Z - D) [XY] + [WZ]=[X+W+1,Z-D] Exemplo: 72+48=(72+8)+(48-8)=80+40=120 Exemplo: 57+49=(57+3)+(49-3)=60+46=106 Exemplo: 142+87=(142+8)+(87-8)=150+79=229 Dica 19-1: Soma dos n primeiros números naturais
Para obter a soma S=1+2+3+...+n, basta tomar a metade do produto de n por n+1. Justificativa Matemática
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Se S = 1 + 2 + 3 + ... + n-2 + n-1 + n, então, com os naturais trás para frente, obtemos S = n + n-1 + n-2 + ... + 4 + 3 + 2 + 1 Somando membro a membro as duas igualdades: 2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...+(n-1+2)+(n+1) 2S=(n+1)+(n+1)+ ... + (n+1)+(n+1) ( n vezes) 2S = n×(n+1) S = n×(n+1)÷2 Exemplo: 1+2+3+...+12=12×13÷2=156÷2=78 Exemplo: 1+2+3+...+100=100×101÷2=5050 Exemplo: 13+14+...+100=5050-78=4972 Dica 20-1: Soma dos n primeiros números naturais ímpares
A soma S=1+3+5+7+...+2n-1 é obtida como o quadrado de n. Justificativa Matemática Seja S=1 + 3 + 5 + ... + 2n-5 + 2n-3 + 2n-1. Pondo S com os termos de trás para frente S=2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + ... + 5 + 3 + 1 Somando membro a membro as duas igualdades: 2S=(1+2n-1)+(2+2n-3)+...+(2n-3+3)+(2n-1+1) 2S = 2n + 2n + 2n + ... + 2n ( n vezes) 2S=2n×n S=n² Exemplo: 1+3+5+...+5=5²=25 Exemplo: 1+3+5+...+101=101²=10201 Exemplo: 7+9+11+...+101=10201-25=10176 Dica 21-1: Soma dos n primeiros números naturais pares
Para obter a soma S=2+4+6+...+2n, basta multiplicar n por n+1, observando que n é exatamente a metade do último par (2n). Justificativa Matemática Seja S=2 + 4 + 6 + 2n-4 + 2n-2 + 2n. Tomando os termos de trás para frente:
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15/10/2005
Matematica Essencial: Alegria: Calculos Rapidos
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S=2n + 2n-2 + 2n-4 + ... + 6 + 4 + 2 Somando membro a membro as duas igualdades: 2S=(2+2n)+(4+2n-2)+...+(2n-2+4)+(2n+2) 2S=(2n+2) + (2n+2) + ... + (2n+2) ( n vezes) 2S=n×(2n+2) S=n×(n+1) Exemplo: 2+4+6+...+98+100=50×51=2550 Exemplo: 2+4+6+...+14=7×8=56 Exemplo: 16+18+20+...+98+100=2550-56=2494 Dica 22-1: Divisão aproximada por 17 = produto por 0,06
Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 17, basta multiplicar por 6 e dividir por 100 Exemplo: 42÷17:=42x6÷100=252÷100=2,52; (o certo é 2,47) Exemplo: 150÷17:=150x6÷100=900÷100=9; (o certo é 8,82) Dica 23-1: Divisão aproximada por 33 = produto por 0,03
Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 33, basta multiplicar por 3 e dividir por 100 Exemplo: 42÷33:=42×3÷100=126÷100=1,26 (±1,27) Exemplo: 150÷33:=150×3÷100=450÷100=4,5 (±4,55)
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