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Demonstração de dois importantes teoremas do cálculo integral e diferencial: o Teorema de Leibniz e o Teorema de Barrow 1. Teorema de Leibniz: O teorema de Leibniz é um teorema muito importante no cálculo integral e diferencial, pois, com ele, é possível de se calcular a derivada de uma integral. A seguir, veremos uma maneira de se demonstrar esse teorema. c d Seja: (1) ∫ f  x , u du dx a Desejamos encontrar o valor da derivada da expressão acima. Para isso, usaremos a definição de derivada, para funções de duas variáveis reais. f  xh , y − f  x , y  ∂f =lim (2) ∂ x h0 h Aplicando a expressão (2) na expressão (1), temos: c c ∫ f  xh , u du−∫ f  x , u du c (3) d a f  x , u du=lim a ∫ dx a h h 0 Com os limites de integração são os mesmos e também a variável de integração é a mesma na duas integrais da expressão (3), podemos juntar tudo em apenas uma única integral: c ∫ { f  xh , u− f  x , u }du c (4) d f  x , u du=lim a ∫ dx a h h 0 Pela expressão (2), temos que o integrando acima é a derivada parcial de f em função de x. Logo, podemos reescrever a expressão (4) da seguinte maneira: c c d f  x , u du=∫ ∂ f  x , u du (5) ∫ dx a a ∂x E a expressão (5) é o denominado Teorema de Leibniz. Exemplo: 3 Calcule o valor de:  d ∫ 1 cos ux du . dx 2 u Resolução: 3  3 3   d 1 x 1 x 1 x cos du = ∫ ∂ cos du = −∫ 2 sen du ∫ dx 2 u u u u 2 u ∂x 2 u Mas, para simplificar no cálculo da integral acima, vamos utilizar um argumento um tanto que holístico, pois, sabemos que: x x x ∂ cos x = − 1 . sen x ⇒ −x. ∂ cos = 2 . sen (6) 2 ∂u u u ∂u u u u u Logo, substituindo a expressão (6) na integral, fica: u=3 3 3 −1 x x 1 d x −1 x 1 x x . sen du = − . cos du = . cos = − . cos −cos ∫ ∫ x 2 u2 u x 2 du u x u u=2 x 3 2 Com isso a expressão inicial foi resolvida, com a utilização do teorema de Leibniz. Logo: 3 d 1 x 1 x x cos du = − . cos −cos ∫ dx 2 u u x 3 2           [  ] [    ]  [    ] 2. Teorema de Barrow: Um outro teorema muito importante ainda dentro do cálculo diferencial e integral é o Teorema de Barrow, pois, também ele permite o cálculo da derivada de uma integral. A diferença entre este teorema e o de Leibniz é que este teorema atinge um conjunto de funções que estão inacessíveis para o Teorema de Leibniz, pois, no Teorema de Leibniz, os limites de integração são duas constantes, enquanto que no teorema de Barrow, um desses limites pode ser uma função de domínio real. Então, seja f(x) e g(u) funções reais, desejamos calcular a derivada em função de x da integral de f(u), que tem o seu limite superior de integração g(x). Ou seja: g  x d (1) ∫ f u  du = ? dx a Novamente, vamos utilizar a definição de derivada para iniciar os nosso cálculos: g  x h g x ∫ g  x f u du− ∫ f  u du (2) d a f u  du = lim a ∫ dx a h h 0 Para simplificar a expressão (2), utilizaremos uma representação geométrica: seja uma reta real que contém os valores dos limites de integração: Do lado direito da expressão (2), chamaremos a primeira integral de (1) e a segunda integral de (2). Então, veremos que, na verdade: g  xh ∫ a g  x f  u du − ∫ g  xh  f u du = a ∫ f u du (3) g  x Então, podemos escrever a expressão (2) da seguinte maneira: g  xh  ∫ f u du (4) g x lim h Para resolvermos a integral da expressão (4), precisamos recorrer ao teorema do valor médio, que diz o seguinte: h 0 Fig. 1 Pela Fig. 1 podemos traçar três retângulos, com a seguinte relação entre eles: c c−a . L ≤ ∫ f  x dx ≤  c−a . M (5) a Isolando L na expressão (5), obtemos: c ∫ f  x dx L≤ a c−a ≤M (6) Podemos então dizer que existe um valor médio, f(ξ), que pode ser dado por: c ∫ f  x  dx Logo: = c−a . f  a onde :  = g  x (7) c ∫ f  x dx f  = (8) a c−a Então, podemos escrever a expressão (4) da seguinte forma: g  xh  ∫ lim h 0 f u du g  x = lim h { g  xh− g  x } . f  h h 0 g  xh  ∫ lim h0 , ou seja: g  xh ∫ f u du g x h = g '  x. f  , Ou ainda : lim h0 f u du g x h = g '  x . f  g  x . Logo : g  x d ∫ f u du=g ´  x . f  g  x  dx a E a expressão (9) é denominada de Teorema de Barrow. (9)