Arena

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4.19 Um software mais versátil 199 4.19 Um software mais versátil Veremos a seguir um outro programa (simulacao)3 , um pouco mais versátil do que acabamos de ver. Ele simula um sistema de filas e permite que se escolha o número de estações que prestam serviço, o número máximo de clientes que podem ficar no sistema, a distribuição do intervalo entre chegadas (exponencial, normal, uniforme ou empírica), a distribuição da duração do serviço prestado (exponencial, normal, uniforme ou empírica) e a duração da simulação. Pode-se escolher também a unidade de tempo a ser usada. Pode-se determinar também o número de replicações (até o máximo de 100), ou seja quantas vezes deseja-se executar a simulação para o mesmo conjunto de dados de entrada. O programa usa a RAND4 como o gerador de números aleatórios e usa “séries” diferentes, entre 1 e 50, para o intervalo entre chegadas e para a duração do serviço. As sementes e as séries usadas são escolhidas, aleatoriamente, pelo programa. No caso de se executar replicações, séries e sementes diferentes são criadas em cada uma das execuções individuais da replicação. Os resultados mostrados na saída são, no caso das replicações, as médias obtidas com as diversas execuções. 3 É um dos módulos do programa PO, que pode ser obtido de www.mpsantos.com.br 200 Introdução à Simulação 4.19.1 Alguns exemplos usando o programa “Simulação” Como exemplo do uso do programa, vamos simular um sistema de filas que tenha solução analítica para compararmos os resultados. Vamos simular o sistema de filas de uma agência bancária, com 3 caixas de atendimento, em que as chegadas sigam uma distribuição exponencial com intervalo médio entre chegadas igual a 2 minutos. A distribuição do tempo de atendimento dos caixas também segue uma distribuição exponencial com atendimento médio igual a 4 minutos. A tela de entrada do programa para execução desta simulação seria a seguinte: Como não existe limitação para o número de clientes, ao mesmo tempo, na agência, o campo “Máximo usuários permitido no Sistema” ficou com 100.000. A duração da simulação foi de 10.000 minutos e solicitamos que 100 replicações fossem executadas. O valor em qualquer dos campos pode ser mudado, bastando para isto clicar nele e apagar o valor existente com as teclas [Delete] ou [Backspace]. Os campos Unidade de tempo, Distribuição das chegadas e Distribuição do Serviço podem ser mudados com o simples click do mouse no novo ítem desejado. Após se colocar os valores desejados, clica-se em SIMULAR e a Simulação será executada. No nosso exemplo aparecerá a seguinte tela: 4.19 Um software mais versátil 201 Caso se tenha uma impressora esta tela poderá ser impressa. Clicando-se no botão VOLTAR saímos do programa, voltando-se para o software Po. Como este modelo simulado é um exemplo do modelo M/M/s, podemos comparar os resultados obtidos na simulação com os resultados teóricos obtidos das fórmulas analíticas daquele modelo de filas: Tempo médio que um cliente permanece na fila (Wq ): Simulação : 1,789 minutos Teórico : 1,776 minutos Número Médio de clientes na fila (Lq ): Simulação : 0,894 clientes Teórico : 0,888 clientes Taxa de ocupação das estações de serviço (caixas): Simulação : 66,5% Teórico : 66,7% Podemos observar que a simulação deu resultados praticamente iguais aos teóricos o que demonstra a robustez da técnicas de simulação além de servir para demonstrar que o programa está se comportando de maneira adequada. 202 Introdução à Simulação Vamos usá-lo agora para simular uma situação de fila em que não existem, pelo menos de forma fácil, fórmulas teóricas. Vamos supor uma agência bancária, com 4 caixas de atendimento, onde as chegadas chegam seguindo uma distribuição normal com intervalo médio entre chegadas de 2 minutos e desvio padrão de 0, 5 minutos. A duração do atendimento prestado pelos caixas também segue uma distribuição normal, com média de 8 minutos para a duração do atendimento e desvio padrão de 1, 5 minutos.. A tela de entrada desta simulação seria: A saída, após 100 replicações, cada uma com 20.000 minutos de simulação, apresentou os seguintes resultados: 4.19 Um software mais versátil 203 Os resultados da simulação mostram que esta agência bancária não está prestando um serviço de boa qualidade pois, em média, cada cliente tem que esperar mais de 30 minutos na fila e, em média a fila tem quase 16 clientes. Para melhorar a qualidade do serviço prestado vamos examinar os resultados da simulação se colocamos mais 1 caixa de atendimento. Alterando a entrada e executando a simulação, chegamos aos seguintes resultados: 204 Introdução à Simulação Como pode ser visto, a fila praticamente desaparece. Embora bastante versátil, o programa é limitado a determinados tipos de sistema de fila. Se alteramos as condições básicas, temos que alterar o programa alterandose rotinas já existentes ou incluindo novas rotinas. Como ilustração da dificuldade e do custo de se fazer isto, lembramos que o fonte do programa tem 20 páginas de código de programação. Mesmo se tirarmos as 5 ou 6 páginas de código que são necessários para o ambiente Windows, ainda restariam 15 páginas de codificação!. Para cada modelo, a não ser que sejam muito semelhantes como nos exemplos acima, temos que construir programas de computador cuja complexidade é proporcional a complexidade do modelo simulado. Apesar da vantagem advinda de se ter um programa “sob medida”, o tempo que se leva para se obter os primeiros resultados normalmente invalida aquela vantagem, principalmente em modelos complexos. Este fato fez com que fossem desenvolvidos programas voltados exclusivamente para a construção de modelos de simulação. Veremos a seguir, um dos mais usados na atualidade. 4.20 O software ARENA 205 4.20 O software ARENA A tela principal do ARENA é a seguinte: A esquerda temos a área dos painéis (templates) como Create, Dispose, Process, etc... Os modelos de simulação são construídos com estes painéis, como veremos mais adiante. Observe que o título da área de painéis é “Basic Process”, ou seja estes são os blocos básicos e poderemos acrescentar outros a medida que eles forem sendo necessários. Na verdade, na sua forma mais simplificada, criamos modelos no ARENA construindo “desenhos” lógicos com os painéis. 4.20.1 Simulação de um pequeno posto bancário Vamos ver o exemplo de um pequeno posto bancário com um único caixa. Como já dissemos, no Arena trabalhamos com blocos e, interligando-os, construímos o modelo. Antes de ver como se faz no Arena, vamos construir nosso modelo lógico. Podemos representar nosso posto da seguinte forma: 206 Introdução à Simulação Clientes Chegam Clientes são Atendidos Clientes vão embora Vamos agora para o Arena. O nosso 1o bloco, ou seja a chegada de clientes, tem que ser criado. Clicando e segurando o mouse, arrastamos o template Create do lado esquerdo para a área de trabalho, que é a maior área branca da tela inicial. Soltamos o mouse e uma caixa Create1 aparece no espaço em branco. A seguir temos que criar o bloco que representa o atendimento aos clientes. Para isto, temos que usar o template Process, ou seja clicamos, seguramos o mouse e o arrastamos para a direita da caixa Create1. O ARENA conecta automaticamente as 2 caixas (isto pode ser desligado). Vai ser criada uma caixa chamada Process1. E, para finalizar, fazemos o mesmo com o template Dispose e a colocamos à direita da Process1. Esta caixa vai representar a saída dos clientes. A aparência da nossa tela deverá ser a seguinte: Na parte abaixo da área de trabalho aparece uma espécie de planilha com alguns dados que ficarão mais claros a medida que formos avançando. Dando um duplo click na caixa Create1, abre-se o seguinte quadro: 4.20 O software ARENA 207 Podemos entrar com os dados da nossa aplicação. Na 1a linha, vamos trocar o nome (Name) de Create 1 para Chegada de Clientes. O tipo da entidade (Entity Type) de Entity 1 para Clientes. A 2a linha trata da distribuição do intervalo entre chegadas (Time Between Arrivals). Em Type, vamos escolher Expression e em Value escolhemos EXPO(Mean), ou seja estamos dizendo que o intervalo entre chegadas segue uma distribuição exponencial. No exemplo que queremos simular, o intervalo entre chegadas tem média igual a 2 minutos. Antes de introduzirmos este valor, devemos saber que o ARENA usa a RAND4 como gerador de números aleatórios. Assim, além da média, convém informar, embora seja opcional, qual a série que deve ser usada para gerar as chegadas de clientes. Em princípio não deve-se usar a série 10 pois esta é a série que o Arena usa quando não se informa nada. Vamos usar a série 23. Colocamos então no campo Value a expressão EXPO(2,23), ou seja média igual a 2 usando-se na simulação, a série 23 da RAND4. A seguir devemos trocar o campo Units para minutos. A 3a linha fica como está pois Entidades por Chegada (Entities per Arrival) é igual a 1, ou seja cada cliente chega sozinho. Não existe limite para o número de clientes que podem chegar, assim Max Arrivals é igual a Infinito e o instante de criação (First Creation) da 1a chegada é o instante 0.0, ou seja o início da simulação. Nosso quadro fica então desta forma: 208 Introdução à Simulação Basta clicar em OK para confirmar as alterações. Vamos agora dar um duplo click no bloco Process 1. Um novo quadro se abre: Mudamos o Name para Atendimento aos Clientes, o tipo fica Standard. No campo Action, deve ser escolhida a opção Seize Delay Release, ou seja Captura–Retém por algum tempo–Libera, que é o que um caixa faz com os clientes. Ao se escolher a ação acima abre-se um novo campo Prioridade (Priority) que deve 4.20 O software ARENA 209 ser deixado como Medium(2). Abre-se, também um novo quadro para a definição dos recursos (resources) que, no nosso exemplo, é um único caixa. Devemos clicar na opção Add para incluir o recurso (Caixa) no modelo, como mostrado a seguir: 210 Introdução à Simulação Como pode ser visto acima, escolhemos Resource (em Type), Caixa (em Resource name) e 1 (em quantity). Precisamos informar agora o tipo de distribuição do atendimento feito pelo caixa que, no nosso exemplo, segue uma distribuição exponencial com média de 1.5 minutos. Escolhemos então: Expression (em Delay Type), Minutes (em Units), Value Added (em Allocation) e EXPO(Mean) (em Expression). Devemos a seguir substituir o (Mean) por (1.5,7), pois vamos usar a série 7 da RAND4 para a geração da duração do serviço. Se não estiver marcado, devemos marcar o campo Report Statistics. Finalmente clicamos em OK para confirmar nossos dados. Repetimos o processo para a caixa Dispose. O seguinte quadro aparecerá: 4.20 O software ARENA 211 Mudamos o nome para Saída de Clientes, marcamos o campo Record Entity Statistics e clicamos em OK, obtendo-se o seguinte quadro. A área de trabalho do ARENA estará da seguinte forma; Podemos reparar que aparece uma linha em cima do bloco Atendimento aos Clientes. Esta linha representa a fila que se forma no caixa. Na parte de baixo, a medida que se clica em um dos blocos, aparece uma planilha com as informações pertinentes a cada bloco. Podemos alterar, se for o caso, as informações na planilha que elas passarão a valer para o bloco. Neste ponto, o modelo está construído mas antes de executar a simulação, temos que ajustar alguns parâmetros. Assim, devemos clicar em Run → Setup, no menu. O quadro a seguir (já com as alterações feitas), para Replication Parameters aparecerá: 212 Introdução à Simulação Vamos fazer apenas uma simulação (1 replicação) com duração de 10.000 minutos. Também no Run → Setup, aba Project Parameters, podemos entrar com os parâmetros do projeto tais como nome do projeto, nome do analista, descrição do projeto, etc... Devemos também marcar os ítens para os quais queremos que sejam gerados relatórios: 4.20 O software ARENA 213 Para finalizar clicamos em OK. Para executar a simulação clicamos, no menu, em Run → Go. Passamos a ver então a simulação dinamicamente acontecendo como no “retrato” a seguir (obtido apertando-se, durante a simulação, a tecla ): Neste ponto já tinham chegado 509 clientes, 503 já tinham sido atendidos, 5 estavam na fila e 1 estava sendo atendido. Ao final da simulação, o ARENA emite dezenas de relatórios que podem ser acessados a partir da “aba” Reports que existe na parte esquerda da tela. Vamos mostrar alguns destes relatórios e ver os resultados obtidos. O 1o é o Queues que dá informações sobre a fila em si: 214 Introdução à Simulação O tempo de espera médio na fila é de 4,59 minutos. O teórico (Wq ), modelo M/M/1, é 4,50 minutos. A maior espera foi de 44.69 minutos. O número médio de clientes na fila é 2,30 clientes. O teórico (Lq ) é igual a 2,25 clientes. O número máximo de clientes na fila foi 21. O próximo relatório que podemos examinar é o de Resources que, no nosso exemplo é o caixa. 4.20 O software ARENA 215 Como podemos observar, o Caixa ficou ocupado 75% do tempo. Este resultado é exatamente igual ao teórico (ρ = 0.75). Mostra também que o Caixa atendeu 5.002 clientes. Outro relatório que pode ser visto é o de Processes: Ele mostra que a maior espera total de um cliente foi de 46.85 minutos, o atendimento mais demorado foi 14,71 minutos e a maior espera na fila foi de 44.69 minutos. Como citamos anteriormente, vários outros relatórios, com gráficos inclusive, são impressos e podem ser examinados. 4.20.2 Simulação de um check-in Vamos imaginar a seguinte situação: passageiros, que vão viajar em determinada companhia aérea, chegam ao aeroporto com intervalo médio de 1.6 minutos, de acordo com uma distribuição exponencial. Estes viajantes, desde do momento em que entram no aeroporto até chegar ao balcão de check-in, demoram entre 2 e 3 minutos com distribuição uniforme entre estes 2 valores. No check-in, os viajantes tem que entrar em uma fila única até que um dos 5 atendentes o atenda.O tempo no check-in segue uma Distribuição de Weibull com parâmetros α = 3.91 e β = 7.76. Após o check-in, eles podem se dirigir aos portões de embarque. Visando melhorar o atendimento, deseja-se determinar uma série de variáveis tais como o tempo médio 216 Introdução à Simulação que um passageiro gasta desde de que chega no aeroporto até ser liberado para o embarque, o número médio de viajantes na fila do check-in, o no de passageiros atendidos no check-in de 8:00 horas da manhã até 22:00 horas, etc... O modelo desta situação pode ser representado pelo gráfico a seguir: Chegada dos Passageiros Procura pelo Check–In Check–In Saída para Embarque Como fizemos no 1o exemplo, vamos construir um modelo equivalente no ARENA. Nossos blocos básicos ficam como: O bloco de chegada é idêntico ao que já fizemos no exemplo anterior e escolhemos EXPO(1.6,7) para a distribuição exponencial, usando a série 7 da RAND4. Vamos chamar de Passageiros a entidade que vai circular na simulação. Temos então: O 2o bloco é referente a procura pelo balcão de check-in. A ação, neste caso é só Delay porque só há um atraso, uniformemente distribuído, para chegar até o balcão. O quadro preenchido fica da seguinte forma: 4.20 O software ARENA 217 O bloco do check-in também é bastante similar ao que vimos anteriormente com a diferença de que escolhemos o nome de Atendentes para o recurso e a distribuição do atendimento é escolhida como WEIB(7.76,3.91,23), ou seja uma Weibull com os parâmetros dados e usando-se a série 23 da RAND4. Temos então: 218 Introdução à Simulação No bloco Dispose muda-se apenas o nome para Saída para o embarque. Neste momento devemos nos lembrar que temos 5 atendentes no balcão de checkin. Como informar isto ao modelo ? No lado esquerdo da tela do ARENA (onde estão os blocos), rolando com o mouse vão aparecer desenhos de planilhas e uma delas é referente a Resources. Clicando nela vai aparecer, na parte inferior, uma planilha referente aos recursos (atendentes no nosso caso). Um dos campos da planilha é Capacity que deverá estar com 1. Deve ser alterado para 5, como mostrado a seguir: Podemos agora escolher um símbolo que represente os passageiros na dinâmica da simulação. No lado esquerdo, clicamos a planilha Entity. Vai abrir, em baixo a direita, a planilha relativa aos passageiros. No campo Initial Picture, escolhemos a figura Picture.women que é um boneco representando uma mulher, como podemos ver a seguir: 4.20 O software ARENA 219 Vamos alterar a forma de representação da fila de linha para pontos. Dando um duplo click na linha, o seguinte quadro aparece: Mudamos de Line para Point e depois clicando em Points.., vai abrir outro quadro onde, clicando no botão Add, podemos ir colocando pontos ou seja lugares na fila (até o máximo de 14). Neste exemplo colocamos 10 pontos. No final clica-se em OK. Para dar um toque mais realista a simulação, vamos acrescentar o balcão do checkin e os 5 pontos de atendimento. Iniciamos clicando, na 2a barra de botões em cima, em que fará com que a seguinte tela apareça: 220 Introdução à Simulação Escolhendo Atendentes como Identif ier, podemos selecionar figuras para representar os atendentes ociosos (Idle) ou ocupados (Busy). É importante notar que as figuras que aparecem fazem parte da chamada biblioteca padrão. Podemos (clicando no open deste quadro) abrir outras bibliotecas que possuem outras figuras. Para escolher uma figura para Idle, por exemplo, clica-se em Idle, clica-se na figura desejada e depois clica-se em Antes de clicar em OK, devemos marcar Seize Area. Isto faz com que junto a figura seja criada uma linha (semelhante a da fila) para identificar os pontos de atendimento. No nosso exemplo criamos 5 pontos (de maneira similar ao feito para a fila) pois temos 5 atendentes. Para finalizar, vamos colocar um relógio para melhor visualização do andamento (clock) e arrastá-lo apara a da simulação. Para tanto basta clicar no botão área de trabalho. Escolhemos 8:00 horas como a hora inicial marcada pelo relógio. Nosso modelo está pronto e sua aparência é: «. 4.20 O software ARENA 221 Ajustamos a seguir os parâmetros da simulação (Run → Setup) e escolhemos 14 horas para a duração da simulação (das 8:00 às 22:00 horas). A figura a seguir mostra um retrato da simulação: O relógio marca 13:44:32, ou seja já temos 5,5 horas de simulação sendo que 223 passageiros já chegaram, 212 já passaram pelo check-in sendo que os 5 atendentes estão ocupados e 4 passageiros aguardam na fila. Temos também 2 passageiros procurando pelo balcão de check-in. Dos relatórios emitidos ao final da simulação, podemos extrair, entre outros, os seguintes dados: Passageiros atendidos pelo check-in das 8:00 às 22:00 : 524 Tempo total gasto, em média, por um passageiro, da entrada a saída : 13,19 minutos Menor tempo gasto por um passageiro, da entrada a saída : 4,91 minutos Maior tempo gasto por um passageiro, da entrada a saída : 29,35 minutos 222 Introdução à Simulação Percentual de ocupação dos Atendentes : 89% do tempo Número médio de clientes na fila do check-in : 2,26 passageiros Maior tempo gasto por um passageiro na fila do check-in : 26,90 minutos Como já citado, dezenas de outros relatórios podem ser impressos com dados da simulação. 4.20.3 Simulação de um processo de produção Uma indústria eletrônica produz 2 medidores eletrônicos que chamaremos de A e B. Basicamente os 2 aparelhos, embora com funções distintas, tem as mesmas características quais sejam, uma placa de circuito impresso, onde são soldados componentes, e uma embalagem de plástico com alguns botões. As placas de circuito impresso e as embalagens são produzidas externamente e, ao chegar a indústria, são enviadas para uma área onde, as placas, são “preparadas” para receber os componentes que serão soldados. Por sua vez, as embalagens são pintadas e colocados os botões. Estas áreas de preparação são, dadas as características técnicas, diferentes para os aparelhos A e B. Após a preparação, as placas e embalagens são enviadas para a área de montagem (única para A e B) onde os componentes são soldados e o aparelho é montado. Nesta área é, ao final, feita uma inspeção de qualidade onde dados históricos tem mostrado que 91% dos aparelhos acabados estão perfeitos e são enviados diretamente para a seção de venda. Os que não passam no controle de qualidade (9%), são enviados para um outro setor onde as causas da rejeição são analisadas e, se for o caso, corrigidas. Dados estatísticos mostram que 80% dos aparelhos que caem neste setor conseguem ser recuperados e vendidos enquanto que os restantes 20% vão para sucata. Foram efetuadas amostras estatísticas em todo o processo e ficou comprovado que todas as atividades (chegadas, preparação, montagem, etc...) são processos aleatórios que seguem determinadas distribuições. A figura a seguir dá a visão geral de todo o processo: TRIA(1,4,8) A EXPO(5) Sucata Preparo Conserto A TRIA(1,3,4) Montagem TRIA(3,5,10) B EXPO(30) Lotes de 4 Preparo WEIB(2.5,5.3) B EXPO(45) 9% 91% 20% 80% Venda 4.20 O software ARENA 223 As placas e embalagem do produto A, chegam seguindo uma distribuição exponencial com intervalo médio de 5 minutos entre chegadas. Já as placas e embalagens do modelo B chegam, em lotes de 4, também seguindo uma distribuição exponencial com intervalo médio de 30 minutos entre chegadas. O tempo de preparação de cada unidade tipo A segue uma distribuição triangular com parâmetros 1, 4 e 8 minutos enquanto que a do produto B também segue uma triangular com parâmetros 3, 5 e 10 minutos. Após preparados, tanto as placas como embalagens dos 2 produtos vão para a seção de montagem. Lá, cada unidade do produto tipo A é montada num tempo que segue uma distribuição triangular com parâmetros 1, 3 e 4 minutos. Já uma unidade do produto B é montada em um tempo que segue uma Weibull com β = 2.5 e α = 5.3. Os produtos rejeitados vão para a seção de “reparo” onde são consertados em um tempo que também segue a distribuição exponencial com duração de 45 minutos. Deseja-se simular esta situação para determinar algumas varáveis tais como no de unidade na fila, tempo total de produção, etc... Vamos construir o modelo no Arena. Inicialmente vamos construir um bloco “Create” para a chegada dos componentes do produto A. Criamos de forma idêntica um bloco “Create” para as chegadas das placas e embalagens do produto tipo B. Temos então: 224 Introdução à Simulação Devemos notar que “Entities per Arrival” foi alterado para 4, pois as placas e embalagens de B chegam em lotes de 4. Neste ponto temos que nos preocupar com um ponto que não apareceu nos modelos anteriores. Depois de chegar e ser preparado, os componentes do modelo A vão para a seção de montagem. No entanto com o modelo tipo B ocorre a mesma coisa, ou seja ambos usam a seção de montagem mas com tempos seguindo distribuições diferentes. Não podemos definir 2 distribuições para o mesmo processo nem definir 2 processos porque na verdade só existe uma seção de montagem. Para contornar isto, vamos definir um atributo Tempo de Montagem a quem atribuiremos o tempo de montagem apropriado para cada tipo de produto. O bloco que faz estas atribuições no Arena é o Assign. Temos então: 4.20 O software ARENA 225 Demos o nome de Definição Montagem A. A seguir, clicamos no botão Add e criamos o atributo Tempo de Montagem informando a distribuição do tempo de montagem para o produto tipo A, ou seja, TRIA(1,3,4). Cliando em Add mais uma vez, vamos criar o atributo Instante da Chegada informando o instante da chegada das peças de um modelo A. Usamos a variável TNOW que é uma variável do Arena que contém o instante do evento que acabou de ocorrer, no caso a chegada dos componentes de um modelo tipo A. O Tempo de Montagem, para o produto A está completo: 226 Introdução à Simulação Temos que fazer o mesmo para o produto B só tendo o cuidado de escolher os atributos Tempo de Montagem e Instante da Chegada que tínhamos escolhido anteriormente (eles vão aparecer no Listbox dos atributos). Podemos agora criar os blocos (Process) para a etapa de preparação. Para o tipo A temos: 4.20 O software ARENA 227 Podemos observar que criamos um recurso que chamamos de “Preparador para A”. Para o tipo B temos que fazer a mesma coisa: Temos agora a Montagem onde devemos usar o atributo Tempo Montagem que criamos anteriormente. Após montados, os produtos passam por uma inspeção de qualidade. Podemos representá-la usando o bloco Decide. Temos então: 228 Introdução à Simulação Podemos escolher o percentual, no caso 9% de rejeição. Estes rejeitados vão para a área de conserto que, no Arena, será representado por mais um bloco Process. Adicionamos o recurso que vai consertar os produtos rejeitados (Técnico). 4.20 O software ARENA 229 Temos após o conserto uma re-inspeção para verificar as que podem ser comercializadas. Temos então mais um bloco de decisão. Podemos representá-lo usando o bloco Decide. Temos então: Tendo definido todas as operações, precisamos nos preocupar com a obtenção das informações que queremos analisar.Lembre-se que, como parte da própria simulação, nós obtemos estatísticas sobre a utilização dos recursos, tamanho das filas e espera em cada uma das filas. No entanto, queremos também informações sobre a duração do ciclo para os produtos que passam no controle de qualidade e para os que não passam, queremos conhecer o ciclo dos que são “consertados” e dos que vão para a sucata. O bloco Record permite que se tenha estes dados. Para os que vão para a sucata, temos: Para Type, escolhemos Time Interval e no atributo escolhemos Instante da Chegada. Com isto o Arena vai registrar cada duração desde que as partes do produto chegam até irem para a sucata. Para os demais itens (comercializadas direto e comercializados após reparo), o procedimento é o mesmo como podemos ver s seguir: 230 Introdução à Simulação Finalmente não podemos esquecer dos módulos de saída, ou seja Dispose. Temos 3 “saídas” possíveis: Sucata, Vendas Pós Conserto e Vendas Diretas. Temos que ter 3 blocos Dispose. Em um modelo deste tipo é usual que vá se construindo os “blocos” sem nos preocuparmos com a ligação lógica entre eles. Neste momento, quando todos os blocos já estão prontos, devemos fazer a ligação ente eles de modo a que o Arena possa executar a simulação. Após fazer esta tarefa, nosso modelo tem a seguinte aparência: 4.20 O software ARENA 231 232 Introdução à Simulação Executando a simulação para um período de 40 horas, os seguintes resultados foram obtidos nos relatórios impressos pelo Arena: Espera média na Fila (Wq ) Na prep A Na prep B Na montagem No conserto Tamanho médio da Fila (Lq ) Na prep A Na prep B Na montagem No conserto Vendas Direto Consertados Utilização do Recurso (ρ) Prep A Prep B Montagem Conserto Minutos 14,98 28,16 2,52 536,79 3,18 3,52 0,84 15,97 Quantidade 728 39 % 75 90 85 96 Os resultados mostram que temos um problema na área de conserto. Ao final da simulação, existiam 32 modelos na fila aguardando reparo. Pode-se ver também que a área está ocupada quase 100% do tempo. Para se melhorar o processo de produção, teríamos que aumentar a capacidade de produção da seção de conserto. 4.20.4 Enfeitando o modelo O que vimos, até aqui, do ARENA deve representar de 10% a 20% do que é possível fazer com o software. Modelos bastante sofisticados e análise de custos são possíveis de serem realizados. O Arena permite também que modelos de “animação” sejam criados. Um exemplo pode ser visto na página a seguir, onde temos um modelo de uma agência bancária onde além do normal em uma agência, temos caixas de atendimento para clientes motorizados. No entanto, devemos ressaltar que a animação, embora muito interessante como ferramenta de “venda” do modelo, consome tempo para ser construída e, obviamente, os mesmos resultados são obtidos se trabalhamos só com os blocos dos templates. Na página a seguir temos um modelo de uma agência bancária com 3 filas: a dos 2 caixas, das máquinas ATM e de carros na caixa tipo drive-in. Este exemplo vem no cd do software Arena e ilustra o que comentamos acima sobre modelos com “animação”. 4.20 O software ARENA 233 234 Introdução à Simulação 4.21 Exercícios 1) Usando o método dos quadrados médios, calcule os 12 primeiros números gerados, com 4 dígitos, a partir de uma semente igual a 7308. 2) Use o método congruente linear para gerar um seqüencia de 3 números aleatórios de 2 dígitos. Use x0 = 27, a = 8, c = 47 e m = 100. 3) Encontramos algum problema no exercício anterior se x0 = 0 ? 4) Considere o método congruente multiplicativo para os seguintes casos: a) a = 11 m = 16 x0 = 7 b) a = 11 m = 16 x0 = 8 c) a = 7 m = 16 x0 = 7 d) a = 7 m = 16 x0 = 8 Gere, para cada caso, todo o período. O que podemos inferir dos resultados encontrados ? 5) Construa, para a RAND2, um cubo idêntico ao mostrado na página 157 para o gerador RANDU. 6) Pesquise na internet para descobrir qual a fórmula usada pela planilha Excel no seu gerador de números aleatórios padrão. 7) Desenvolva um gerador de números aleatórios, usando o método da transformação inversa, para a seguinte distribuição probabilística: ( e2x, −∞ < x ≤ 0 f (x) = e−2x, 0 < x < ∞ 8) Idem para:  1   , 0≤x≤2    3 1 f (x) = , 2 < x ≤ 10   24     0, x > 10 9) Com uma calculadora que tenha a função para gerar números aleatórios uniformemente distribuídos em [0, 1], gere 10 números seguindo a distribuição de Poisson com média (λ) igual a 2, 5. 235 4.21 Exercícios 10) Modifique o programa da página 172 para calcular a probabilidade de um valor (x) de uma distribuição normal, com média (µ) igual a 1.500 e desvio padrão (σ) igual a 300, estar entre 1.300 e 1.800. Use, no programa, a fórmula da distribuição normal: (X − µ)2 − 1 2σ 2 e f (x) = √ 2 2πσ Compare o valor obtido pela simulação com o valor obtido da tabela normal. 11) A gerente de uma loja de eletro-domésticos está desconfiada que o seu estoque de fogões está acima do que seria necessário. Antes de modificar a política de estoques, ela registrou o número de fogões vendidos, diariamente, nos últimos 25 dias. Os dados encontrados estão mostrados a seguir: Fogões vendidos Número de dias 2 4 3 7 4 8 5 5 6 1 a) Use os dados para estimar a distribuição de probabilidade das vendas diárias de fogões. b) Calcule a média da distribuição obtida na parte (a ). c) Descreva como números aleatórios uniformemente distribuídos em [0, 1] podem ser usados para simular as vendas diárias. d) Usando os números aleatórios 0.4475, 0.9713 e 0.0629, simule as vendas diárias de 3 dias. e) Usando uma planilha eletrônica (Excel, por exemplo), faça um modelo para simular as vendas diárias. Realize 300 replicações e obtenha a média de vendas diárias. 12) Utilizando como sementes os valores 1234, 76545, 88787, 77712, 564783 e 5434 encontre os 3 primeiros números gerados pela RAND4. 13) Pesquise e descubra os comandos para a geração de números aleatórios no Turbo Pascal, inclusive com a escolha da semente. 14) Utilizando uma planilha eletrônica (Excel, por exemplo), construa um modelo para a seguinte situação: Um posto de gasolina do governo, que tem somente uma bomba de gasolina, está sempre aberto e tem 2 tipos de clientes. Uma ambulância chega, exatamente, a cada 30 minutos, com o 1o carro chegando no “instante”, 15 minutos. Carros de outras repartições públicas, que não são ambulâncias, chegam com um intervalo médio entre chegadas, exponencial, de 5, 6 minutos, com o 1o carro chegando no instante 0. O tempo de serviço, para todos os tipos de carros, tem uma média de 4, 8 minutos (exponencial). Um carro que chega e encontra a bomba vazia vai ser atendido imediatamente enquanto que os que chegam com a bomba ocupada, formam uma fila única. Isto só não vale para as ambulâncias que, ao chegar, vão imediatamente para o 236 Introdução à Simulação início da fila (assuma que, se já tem uma ou mais ambulâncias no início da fila, esta nova chegada passa a ser a 1a da fila). Considere que no início da simulação (instante 0), o posto está vazio. Execute a simulação até que 500 carros, no total, tenham sido atendidos. Estime o tempo de espera médio na fila para os 2 tipos de carro, o número médio de carros na fila para os 2 tipos de carro e a taxa de ocupação da bomba de gasolina. 15) Desenvolva um modelo para um sistema com 2 processos consecutivos (I e II). Os ítens chegam ao sistema com intervalo, médio, entre chegadas de 10 minutos. Assim que chegam, os ítens são imediatamente enviados para o processo I que tem uma fila ilimitada e um recurso simples com uma duração, média, do serviço de 9 minutos. Após terminar o 1o processo, os ítens são enviados para o processo II que é idêntico ao processo I. Após o serviço do processo II ser completado, os ítens deixam o sistema. As medidas de interesse no sistema são o número médio de ítens na fila, em cada processo, e o tempo total, médio, que um ítem permanece no sistema. Usando 10.000 minutos como a duração a ser estudada, faça as 4 simulações a seguir e compare os resultados. a) Intervalo entre chegadas exponencial e duração do serviço exponencial. b) Intervalo entre chegadas exponencial e duração do serviço constante. c) Intervalo entre chegadas constante e duração do serviço exponencial. d) Intervalo entre chegadas constante e duração do serviço constante. 16) Peças chegam a uma estação de trabalho com um intervalo, médio, entre chegadas de 21 segundos (exponencial). Após a chegada, as peças são processadas. O tempo de processamento segue uma distribuição triangular com parâmetros 16, 19 e 22. Existem características visuais que determinam se uma peça tem um eventual problema de qualidade. Estão peças, que são cerca de 10% do total, são enviadas para outra estação onde sofrem uma rigorosa inspeção. As demais (90%) são enviadas para a expedição e consideradas boas. A distribuição do tempo de inspeção rigorosa é, em média, igual a 95 segundos mais uma variável aleatória que segue uma distribuição de Weibull com parâmetros iguais a 48,5 e 4,04. Em torno de 14% das peças que sofrem inspeção, são reprovadas e viram sucata. As demais vão para a expedição. Execute a simulação para 10.000 segundos para determinar o número de peças boas, o número de peças sucateadas e o número de peças que são inspecionadas parcialmente e rigorosamente. 4.21 Exercícios 237 17) Clientes chegam a uma caixa com um intervalo, médio, entre chegadas igual a 10 minutos (exponencial). Um único funcionário recebe o pagamento além de conferir o pedido. Ele demora, em média, entre 8 a 10 minutos para fazer estas tarefas, variando a duração uniformemente naquele intervalo. Após esta atividade estar completada, o cliente é, aleatoriamente, atribuído a um de 2 funcionários do estoque que separam e embalam a mercadoria para entregar ao cliente. O tempo desta atividade é também uniformemente distribuído entre 16 e 20 minutos. Cada um dos 2 funcionários do estoque só podem atender clientes que foram designados para ele. Após receber sua mercadoria, o cliente vai embora. Desenvolva um modelo e rode a simulação para 5.000 minutos. Há uma sugestão de que os 2 funcionários possam atender qualquer cliente que ficariam em uma fila única esperando atendimento. Rode a simulação também para 5.000 minutos e compare os resultados. 238 Introdução à Simulação Apêndice A Tabela Normal Parte I Z -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.0 0 .00187 .00256 .00347 .00466 .00621 .00820 .01072 .01390 .01786 .02275 .02872 .03593 .04457 .05480 .06681 .08076 .09680 .11507 .13567 .15866 .18406 .21186 .24196 .27425 .30854 .34458 .38209 .42074 .46017 .50000 1 .00181 .00248 .00336 .00453 .00604 .00798 .01044 .01355 .01743 .02222 .02807 .03515 .04363 .05370 .06552 .07927 .09510 .11314 .13350 .15625 .18141 .20897 .23885 .27093 .30503 .34090 .37828 .41683 .45621 .49601 2 .00175 .00240 .00326 .00440 .00587 .00776 .01017 .01321 .01700 .02169 .02743 .03438 .04272 .05262 .06426 .07780 .09342 .11123 .13136 .15386 .17879 .20611 .23576 .26763 .30153 .33724 .37448 .41294 .45224 .49202 3 .00169 .00233 .00317 .00427 .00570 .00755 .00990 .01287 .01659 .02118 .02680 .03362 .04182 .05155 .06301 .07636 .09176 .10935 .12924 .15151 .17619 .20327 .23270 .26435 .29806 .33360 .37070 .40905 .44828 .48803 4 .00164 .00226 .00307 .00415 .00554 .00734 .00964 .01255 .01618 .02068 .02619 .03288 .04093 .05050 .06178 .07493 .09012 .10749 .12714 .14917 .17361 .20045 .22965 .26109 .29460 .32997 .36693 .40517 .44433 .48405 5 .00159 .00219 .00298 .00402 .00539 .00714 .00939 .01222 .01578 .02018 .02559 .03216 .04006 .04947 .06057 .07353 .08851 .10565 .12507 .14686 .17106 .19766 .22663 .25785 .29116 .32636 .36317 .40129 .44038 .48006 6 .00154 .00212 .00289 .00391 .00523 .00695 .00914 .01191 .01539 .01970 .02500 .03144 .03920 .04846 .05938 .07215 .08692 .10383 .12302 .14457 .16853 .19489 .22363 .25463 .28774 .32276 .35942 .39743 .43644 .47608 7 .00149 .00205 .00280 .00379 .00508 .00676 .00889 .01160 .01500 .01923 .02442 .03074 .03836 .04746 .05821 .07078 .08534 .10204 .12100 .14231 .16602 .19215 .22065 .25143 .28434 .31918 .35569 .39358 .43251 .47210 8 .00144 .00199 .00272 .00368 .00494 .00657 .00866 .01130 .01463 .01876 .02385 .03005 .03754 .04648 .05705 .06944 .08379 .10027 .11900 .14007 .16354 .18943 .21770 .24825 .28096 .31561 .35197 .38974 .42858 .46812 9 .00139 .00193 .00264 .00357 .00480 .00639 .00842 .01101 .01426 .01831 .02330 .02938 .03673 .04551 .05592 .06811 .08226 .09853 .11702 .13786 .16109 .18673 .21476 .24510 .27760 .31207 .34827 .38591 .42466 .46414 240 Tabela Normal Parte II Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 .50000 .53983 .57926 .61791 .65542 .69146 .72575 .75804 .78814 .81594 .84134 .86433 .88493 .90320 .91924 .93319 .94520 .95543 .96407 .97128 .97725 .98214 .98610 .98928 .99180 .99379 .99534 .99653 .99744 .99813 1 .50399 .54379 .58317 .62172 .65910 .69497 .72907 .76115 .79103 .81859 .84375 .86650 .88686 .90490 .92073 .93448 .94630 .95637 .96485 .97193 .97778 .98257 .98645 .98956 .99202 .99396 .99547 .99664 .99752 .99819 2 .50798 .54776 .58706 .62552 .66276 .69847 .73237 .76424 .79389 .82121 .84614 .86864 .88877 .90658 .92220 .93574 .94738 .95728 .96562 .97257 .97831 .98300 .98679 .98983 .99224 .99413 .99560 .99674 .99760 .99825 3 .51197 .55172 .59095 .62930 .66640 .70194 .73565 .76730 .79673 .82381 .84849 .87076 .89065 .90824 .92364 .93699 .94845 .95818 .96638 .97320 .97882 .98341 .98713 .99010 .99245 .99430 .99573 .99683 .99767 .99831 4 .51595 .55567 .59483 .63307 .67003 .70540 .73891 .77035 .79955 .82639 .85083 .87286 .89251 .90988 .92507 .93822 .94950 .95907 .96712 .97381 .97932 .98382 .98745 .99036 .99266 .99446 .99585 .99693 .99774 .99836 5 .51994 .55962 .59871 .63683 .67364 .70884 .74215 .77337 .80234 .82894 .85314 .87493 .89435 .91149 .92647 .93943 .95053 .95994 .96784 .97441 .97982 .98422 .98778 .99061 .99286 .99461 .99598 .99702 .99781 .99841 6 .52392 .56356 .60257 .64058 .67724 .71226 .74537 .77637 .80511 .83147 .85543 .87698 .89617 .91308 .92785 .94062 .95154 .96080 .96856 .97500 .98030 .98461 .98809 .99086 .99305 .99477 .99609 .99711 .99788 .99846 7 .52790 .56749 .60642 .64431 .68082 .71566 .74857 .77935 .80785 .83398 .85769 .87900 .89796 .91466 .92922 .94179 .95254 .96164 .96926 .97558 .98077 .98500 .98840 .99111 .99324 .99492 .99621 .99720 .99795 .99851 8 .53188 .57142 .61026 .64803 .68439 .71904 .75175 .78230 .81057 .83646 .85993 .88100 .89973 .91621 .93056 .94295 .95352 .96246 .96995 .97615 .98124 .98537 .98870 .99134 .99343 .99506 .99632 .99728 .99801 .99856 9 .53586 .57534 .61409 .65173 .68793 .72240 .75490 .78524 .81327 .83891 .86214 .88298 .90147 .91774 .93189 .94408 .95449 .96327 .97062 .97670 .98169 .98574 .98899 .99158 .99361 .99520 .99643 .99736 .99807 .99861 Apêndice B Tabela do χ2 ν ⇓ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 1,32 2,77 4,10 5,38 6,62 7,84 9,03 10,21 11,38 12,54 13,70 14,84 15,98 17,11 18,24 19,36 20,48 21,60 22,71 23,82 24,93 26,03 27,14 28,24 29,33 30,43 31,52 32,62 33,71 34,80 45,61 56,33 2,70 4,60 6,25 7,77 9,23 10,64 12,01 13,36 14,68 15,98 17,27 18,54 19,81 21,06 22,30 23,54 24,76 25,98 27,20 28,41 29,61 30,81 32,00 33,19 34,38 35,56 36,74 37,91 39,08 40,25 51,80 63,16 3,84 5,99 7,81 9,48 11,07 12,59 14,06 15,50 16,91 18,30 19,67 21,02 22,36 23,68 24,99 26,29 27,58 28,86 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,41 37,65 38,88 40,11 41,33 42,55 43,77 55,75 67,50 5,02 7,37 9,34 11,14 12,83 14,44 16,01 17,53 19,02 20,48 21,92 23,33 24,73 26,11 27,48 28,84 30,19 31,52 32,85 34,17 35,47 36,78 38,07 39,36 40,64 41,92 43,19 44,46 45,72 46,97 59,34 71,42 6,63 9,21 11,34 13,27 15,08 16,81 18,47 20,09 21,66 23,20 24,72 26,21 27,68 29,14 30,57 32,00 33,40 34,80 36,19 37,56 38,93 40,28 41,63 42,98 44,31 45,64 46,96 48,27 49,58 50,89 63,69 76,15 7,87 10,59 12,83 14,86 16,75 18,54 20,27 21,95 23,58 25,18 26,75 28,30 29,81 31,31 32,80 34,26 35,71 37,15 38,58 39,99 41,40 42,79 44,18 45,55 46,92 48,29 49,64 50,99 52,33 53,67 66,76 79,49 10,82 13,81 16,26 18,46 20,51 22,45 24,32 26,12 27,87 29,58 31,26 32,90 34,52 36,12 37,69 39,25 40,79 43,31 43,82 45,31 46,79 48,26 49,72 51,17 52,62 54,05 55,47 56,89 58,30 59,70 73,40 86,66 ⇐α 242 Tabela do χ2 Apêndice C Tabelas para modelos com população finita As tabelas a seguir 1 tem como objetivo facilitar os cálculos para modelos de filas com população de tamanho finito. As tabelas aqui contidas, por problema de espaço, só abrangem os modelos com população igual a 5, 10, 20 e 30 elementos. Sendo assim, os exercícios apresentados só tratam modelos com populações de um daqueles tamanhos. No acesso a tabela, deve-se observar que, em cada página, existem 3 colunas, cada uma com 4 valores: X, S, D e F. A sequencia dos valores é por coluna. Sendo assim, iniciamos na 1a coluna, descemos até embaixo na página e, ao chegar ao final, subimos para a 2a coluna. Quando esta acaba, embaixo na página, subimos para a 3a coluna e quando chegamos ao final, mudamos para a próxima página onde a sequencia é a mesma. Na própria tabela está impresso onde ela começa a valer para uma determinada população. Assim, após encontrar impresso População 10, por exemplo, passam a valer os valores para esta população. 1 extraída de L.G.Peck and R.N.Hazelwood, Finite Queuing Tables, John Wiley & Sons, 1958 244 Tabelas para modelos com população finita X S D POPULAÇÃO 5 F .012 .019 .025 .030 .034 1 1 1 1 1 .048 .076 .100 .120 .135 .999 .998 .997 .996 .995 .036 .040 .042 .044 .046 .050 1 1 1 1 1 1 .143 .159 .167 .175 .183 .198 .994 .993 .992 .991 .990 .989 .120 .052 .054 .056 1 1 2 1 2 1 2 1 .206 .214 .018 .222 .019 .229 .020 .237 .988 .987 .999 .985 .999 .984 .999 .983 .135 2 1 2 1 2 1 2 .022 .245 .023 .253 .024 .260 .026 .999 .982 .999 .981 .999 .979 .999 1 2 1 2 1 2 1 .268 .027 .275 .031 .294 .035 .313 .978 .999 .977 .999 .973 .998 .969 2 1 2 1 2 1 2 .040 .332 .044 .350 .049 .368 .054 .998 .965 .998 .960 .997 .955 .997 .058 .060 .062 .064 .066 .068 .070 .075 .080 .085 .090 .095 .100 X .100 .105 .110 .115 .125 .130 .140 .145 .150 .155 .160 .165 .170 .180 .190 .200 S 1 2 1 2 1 2 1 D .386 .059 .404 .065 .421 .071 .439 F .950 .997 .945 .996 .939 .995 .933 2 1 2 1 2 1 .076 .456 .082 .473 .089 .489 .995 .927 .994 .920 .993 .914 2 1 2 1 3 2 1 3 .095 .505 .102 .521 .011 .109 .537 .012 .993 .907 .992 .900 .999 .991 .892 .999 2 1 3 2 1 3 2 .115 .553 .013 .123 .568 .015 .130 .990 .885 .999 .989 .877 .999 .988 1 3 2 1 3 2 1 .582 .016 .137 .597 .017 .145 .611 .869 .999 .987 .861 .999 .985 .853 3 2 1 3 2 1 3 .021 .161 .638 .024 .177 .665 .028 .999 .983 .836 .998 .980 .819 .998 X .200 .210 .220 .230 .240 .250 .260 .270 .280 .290 .300 .310 .320 S 2 1 3 2 1 3 2 D .194 .689 .032 .211 .713 .036 .229 F .976 .801 .998 .973 .783 .997 .969 1 3 2 1 3 2 .735 .041 .247 .756 .046 .265 .765 .997 .965 .747 .996 .960 1 3 2 1 3 2 1 3 .775 .052 .284 .794 .058 .303 .811 .064 .730 .995 .955 .712 .994 .950 .695 .994 2 1 3 2 1 4 3 .323 .827 .071 .342 .842 .007 .079 .944 .677 .993 .938 .661 .999 .992 2 1 4 3 2 1 4 .362 .856 .008 .086 .382 .869 .009 .932 .644 .999 .990 .926 .628 .999 3 2 1 4 3 2 1 .094 .402 .881 .010 .103 .422 .892 .989 .919 .613 .999 .988 .912 .597 245 X .330 .340 .360 .380 .400 .420 .420 .440 .460 .480 .500 .520 S 4 3 2 1 4 3 2 D .012 .112 .442 .902 .013 .121 .462 F .999 .986 .904 .583 .999 .985 .896 1 4 3 2 1 4 3 .911 .017 .141 .501 .927 .021 .163 .569 .998 .981 .880 .542 .998 .976 2 1 4 3 2 1 4 .540 .941 .026 .186 .579 .952 .031 .863 .516 .997 .972 .845 .493 .997 3 2 1 4 3 2 1 .211 .616 .961 .037 .238 .652 .969 .966 .826 .471 .996 .960 .807 .451 4 3 2 1 4 3 2 .045 .266 .686 .975 .053 .296 .719 .995 .953 .787 .432 .994 .945 .767 1 4 3 2 1 4 3 .980 .063 .327 .750 .985 .073 .359 .415 .992 .936 .748 .399 .991 .927 X .520 .540 .560 .580 .600 .650 .700 .750 .800 .850 .900 .950 S 2 1 4 3 2 1 4 D .779 .988 .085 .392 .806 .991 .098 F .728 .384 .989 .917 .708 .370 .986 X S D POPULAÇÃO 10 F .016 .019 .021 .023 .025 1 1 1 1 1 .144 .170 .188 .206 .224 .997 .996 .995 .994 .993 3 2 1 4 3 2 1 .426 .831 .993 .113 .461 .854 .994 .906 .689 .357 .984 .895 .670 .345 .026 .028 .030 .032 1 1 1 2 1 2 1 .232 .250 .268 .033 .285 .037 .302 .992 .991 .990 .999 .988 .999 .986 4 3 2 1 4 3 2 .130 .497 .875 .996 .179 .588 .918 .981 .883 .652 .333 .972 .850 .608 .036 2 1 2 1 2 1 2 .041 .320 .046 .337 .050 .354 .055 .999 .984 .999 .982 .999 .980 .999 1 4 3 2 1 4 3 .998 .240 .678 .950 .999 .316 .763 .308 .960 .815 .568 .286 .944 .777 1 2 1 2 1 2 1 .371 .060 .388 .065 .404 .071 .421 .978 .998 .975 .998 .973 .998 .970 2 4 3 2 4 3 2 .972 .410 .841 .987 .522 .907 .995 .532 .924 .739 .500 .900 .702 .470 2 1 2 1 2 1 2 .076 .437 .082 .454 .088 .470 .094 .998 .967 .997 .963 .997 .960 .997 4 3 2 4 3 .656 .957 .998 .815 .989 .871 .666 .444 .838 .631 1 2 1 2 1 2 1 .486 .100 .501 .106 .517 .113 .532 .956 .996 .953 .996 .949 .996 .945 .034 .038 .040 .042 .044 .046 .048 .050 .052 .054 .056 .058 .060 .062 246 X .064 .066 .068 .070 .075 .080 .085 .090 .090 .095 .100 .105 .110 .115 .120 .125 Tabelas para modelos com população finita S 2 1 2 1 3 2 1 D .119 .547 .126 .562 .020 .133 .577 F .995 .940 .995 .936 .999 .994 .931 X .125 3 2 1 3 2 1 3 .022 .140 .591 .026 .158 .627 .031 .999 .994 .926 .999 .992 .913 .999 .135 2 1 3 2 1 3 2 .177 .660 .037 .196 .692 .043 .216 .990 .899 .999 .988 .883 .998 .986 1 3 2 1 3 2 1 .722 .049 .237 .750 .056 .258 .776 .867 .998 .984 .850 .998 .981 .832 3 2 1 3 2 1 3 .064 .279 .800 .072 .301 .822 .081 .997 .978 .814 .997 .974 .795 .996 2 1 4 3 2 1 4 .324 .843 .016 .090 .346 .861 .019 .971 .776 .999 .995 .967 .756 .999 .130 .140 .145 .150 .155 .160 .165 .170 .180 S 3 2 1 4 3 2 1 D .100 .369 .878 .022 .110 .392 .893 F .994 .962 .737 .999 .994 .958 .718 X .180 4 3 2 1 4 3 2 .025 .121 .415 .907 .028 .132 .437 .999 .993 .952 .699 .999 .991 .947 .200 1 4 3 2 1 4 3 .919 .032 .144 .460 .929 .036 .156 .680 .999 .990 .941 .662 .998 .989 2 1 4 3 2 1 4 .483 .939 .040 .169 .505 .947 .044 .935 .644 .998 .987 .928 .627 .998 3 2 1 4 3 2 1 .182 .528 .954 .049 .195 .550 .961 .986 .921 .610 .997 .984 .914 .594 4 3 2 1 5 4 3 .054 .209 .571 .966 .013 .066 .238 .997 .982 .906 .579 .999 .996 .978 .190 .210 .220 .230 .240 .250 .260 S 2 1 5 4 3 2 1 D .614 .975 .016 .078 .269 .654 .982 F .890 .549 .999 .995 .973 .873 .522 5 4 3 2 1 5 4 .020 .092 .300 .692 .987 .025 .108 .999 .994 .968 .854 .497 .999 .992 3 2 1 5 4 3 2 .333 .728 .990 .030 .124 .366 .761 .961 .835 .474 .998 .990 .954 .815 1 5 4 3 2 1 5 .993 .037 .142 .400 .791 .995 .044 .453 .998 .988 .947 .794 .434 .997 4 3 2 1 6 5 4 .162 .434 .819 .996 .010 .052 .183 .986 .938 .774 .416 .999 .997 .983 3 2 1 6 5 4 3 .469 .844 .997 .013 .060 .205 .503 .929 .753 .400 .999 .996 .980 .919 247 X .260 .270 .280 .290 .300 .300 .310 .320 .330 .340 S 2 1 6 5 4 3 2 D .866 .998 .015 .070 .228 .537 .886 F .732 .384 .999 .995 .976 .908 .712 1 6 5 4 3 2 1 .999 .018 .081 .252 .571 .903 .999 .370 .999 .994 .972 .896 .692 .357 6 5 4 3 2 1 6 .022 .093 .278 .603 .918 .999 .026 .999 .993 .968 .884 .672 .345 .998 5 4 3 2 1 6 5 .106 .304 .635 .932 .999 .031 .120 .991 .963 .872 .653 .333 .998 .990 4 3 2 6 5 4 3 .331 .666 .943 .036 .135 .359 .695 .957 .858 .635 .998 .988 .952 .845 2 6 5 4 3 2 7 .952 .042 .151 .387 .723 .961 .010 .617 .997 .986 .945 .831 .600 .999 X .340 .360 .380 .400 .420 .440 .460 S 6 5 4 3 2 7 6 D .049 .168 .416 .750 .968 .014 .064 F .997 .983 .938 .816 .584 .999 .995 X .480 S 8 7 6 5 4 3 2 D .015 .074 .230 .499 .791 .961 .998 F .999 .994 .973 .916 .799 .621 .417 5 4 3 2 7 6 5 .205 .474 .798 .978 .019 .083 .247 .978 .923 .787 .553 .999 .993 .971 .500 8 7 6 5 4 3 2 .020 .093 .271 .553 .830 .972 .999 .999 .992 .966 .901 .775 .598 .400 4 3 2 7 6 5 4 .533 .840 .986 .026 .105 .292 .591 .906 .758 .525 .998 .991 .963 .887 .520 8 7 6 5 4 3 2 .026 .115 .316 .606 .864 .980 .999 .998 .989 .958 .884 .752 .575 .385 3 2 7 6 5 4 3 .875 .991 .034 .130 .341 .646 .905 .728 .499 .993 .987 .954 .866 .700 .540 8 7 6 5 4 3 8 .034 .141 .363 .658 .893 .986 .044 .997 .986 .949 .867 .729 .555 .996 2 7 6 5 4 3 2 .994 .045 .160 .392 .698 .928 .996 .476 .997 .984 .943 .845 .672 .454 7 6 5 4 3 8 7 .171 .413 .707 .917 .991 .057 .204 .982 .939 .848 .706 .535 .995 .977 8 7 6 5 4 3 2 .011 .058 .193 .445 .747 .947 .998 .999 .995 .979 .930 .822 .646 .435 6 5 4 3 9 8 7 .465 .753 .937 .994 .010 .072 .242 .927 .829 .684 .517 .999 .994 .972 .560 .580 .600 248 X .600 .650 .700 .750 .750 .800 .850 .900 .950 Tabelas para modelos com população finita S 6 5 4 3 9 8 7 D .518 .795 .953 .996 .021 .123 .353 F .915 .809 .663 .500 .999 .988 .954 X S D POPULAÇÃO 20 F X .040 .005 .009 .011 .013 .014 1 1 1 1 1 .095 .171 .208 .246 .265 .999 .998 .997 .996 .995 .042 6 5 4 3 9 8 7 .651 .882 .980 .999 .040 .200 .484 .878 .759 .614 .461 .997 .979 .929 .015 .016 .017 .018 1 1 1 2 1 2 1 .283 .302 .321 .048 .339 .053 .358 .994 .993 .992 .999 .991 .999 .990 6 5 4 9 8 7 6 .772 .940 .992 .075 .307 .626 .870 .836 .711 .571 .994 .965 .897 .792 .020 2 1 2 1 2 1 2 .058 .376 .064 .394 .070 .412 .075 .999 .989 .999 .987 .999 .986 .999 5 4 9 8 7 6 5 .975 .998 .134 .446 .763 .939 .991 .666 .533 .988 .944 .859 .747 .625 1 2 1 2 1 2 1 .431 .082 .449 .088 .466 .094 .484 .984 .999 .982 .999 .980 .998 .978 4 9 8 7 6 5 9 .999 .232 .611 .879 .978 .998 .387 .500 .979 .916 .818 .705 .588 .963 2 1 2 1 2 1 2. .108 .519 .122 .553 .137 .587 152 .998 .973 .998 .968 .997 .962 .996 8 7 6 9 8 7 .785 .957 .995 .630 .934 .994 .881 .777 .667 .938 .841 .737 1 2 1 3 2 1 3 .620 .168 .651 .036 .185 .682 .041 .955 .996 .947 .999 .995 .938 .999 .019 .021 .022 .023 .024 .025 .026 .028 .030 .032 .034 .036 .038 .040 .044 .046 .048 .050 .052 .054 .056 .058 .060 .062 .064 .066 S 2 1 3 2 1 3 2 D .202 .712 .047 .219 .740 .053 .237 F .994 .929 .999 .993 .918 .999 .992 1 3 2 1 3 2 1 .767 .059 .255 .792 .066 .274 .815 .906 .999 .991 .894 .999 .989 .881 3 2 1 3 2 1 3 .073 .293 .837 .080 .312 .858 .088 .998 .988 .866 .998 .986 .851 .998 2 1 3 2 1 3 2 .332 .876 .097 .352 .893 .105 .372 .984 .835 .997 .982 .819 .997 .980 1 4 3 2 1 4 3 .908 .026 .115 .392 .922 .029 .124 .802 .999 .997 .978 .785 .999 .996 2 1 4 3 2 1 4 .413 .934 .032 .134 .433 .944 .036 .975 .768 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.995 .999 .377 .760 .939 .886 .833 .778 .722 .981 .943 .894 .023 .024 1 2 1 2 1 2 1 .645 .175 .670 .188 .694 .201 .718 .965 .997 .960 .996 .954 .996 .948 16 15 .989 .999 .842 .789 .028 3 2 1 3 2 1 3 .051 .229 .763 .060 .257 .805 .071 .999 .995 .935 .999 .994 .918 .999 .015 .016 .017 .018 .019 .020 .021 .022 .023 .025 .026 .030 .032 .036 .038 .040 .044 .048 .050 .052 .054 .056 S 2 1 3 2 1 3 2 D .286 .843 .083 .316 .876 .095 .347 F .992 .899 .999 .990 .877 .998 .988 1 3 2 1 3 2 1 .905 .109 .378 .929 .123 .410 .948 .853 .998 .986 .827 .997 .983 .800 3 2 1 4 3 2 1 .138 .442 .963 .040 .154 .474 .974 .997 .980 .772 .999 .996 .977 .744 4 3 2 1 4 3 2 .046 .171 .506 .982 .053 .189 .539 .999 .996 .972 .716 .999 .995 .968 1 4 3 2 1 4 3 .988 .060 .208 .571 .992 .068 .227 .689 .999 .994 .963 .663 .999 .993 2 1 4 3 2 1 4 .603 .995 .077 .247 .634 .997 .086 .957 .639 .998 .992 .951 .616 .998 253 X .056 .058 .060 .062 .064 .066 .068 .070 .075 .080 .085 S 3 2 1 4 3 2 1 D .267 .665 .998 .096 .288 .695 .999 F .991 .944 .595 .998 .989 .936 .574 5 4 3 2 1 5 4 .030 .106 .310 .723 .999 .034 .117 .999 .997 .987 .927 .555 .999 .997 3 2 5 4 3 2 5 .332 .751 .038 .128 .355 .777 .043 .986 .918 .999 .997 .984 .908 .999 4 3 2 5 4 3 2 .140 .378 .802 .048 .153 .402 .825 .996 .982 .897 .999 .995 .979 .885 5 4 3 2 5 4 3 .054 .166 .426 .847 .069 .201 .486 .999 .995 .976 .873 .998 .993 .969 2 6 5 4 3 2 6 .893 .027 .088 .240 .547 .929 .036 .840 .999 .998 .990 .959 .805 .999 X .085 .090 .095 .100 .105 .110 .110 .115 .120 S 5 4 3 2 6 5 4 D .108 .282 .607 .955 .046 .132 .326 F .997 .987 .948 .768 .999 .996 .984 X .120 .125 S 2 8 7 6 5 4 3 D .999 .024 .069 .171 .367 .666 .940 F .555 .999 .998 .993 .977 .927 .783 3 2 6 5 4 3 2 .665 .972 .057 .158 .372 .720 .984 .934 .732 .999 .994 .979 .918 .697 .130 8 7 6 5 4 3 8 .030 .083 .197 .409 .712 .957 .037 .999 .997 .991 .972 .914 .758 .999 6 5 4 3 2 7 6 .071 .187 .421 .771 .991 .030 .087 .998 .993 .973 .899 .664 .999 .997 7 6 5 4 3 8 7 .098 .226 .451 .754 .970 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.480 .500 .500 .520 .540 .560 .850 .900 Tabelas para modelos com população finita S 12 11 10 9 20 19 18 D .910 .970 .993 .999 .032 .072 .143 F .826 .762 .694 .625 .999 .997 .992 17 16 15 14 13 12 11 .252 .398 .568 .733 .865 .947 .985 .983 .967 .941 .904 .854 .796 .732 10 21 20 19 18 17 16 .997 .021 .051 .108 .200 .331 .493 .667 .999 .998 .994 .988 .975 .954 15 14 13 12 11 10 21 .663 .811 .915 .971 .993 .999 .035 .923 .880 .827 .767 .705 .641 .999 20 19 18 17 16 15 14 .079 .155 .270 .421 .590 .750 .874 .996 .991 .981 .965 .938 .901 .854 13 12 11 10 22 21 20 .949 .985 .997 .999 .023 .056 .117 .799 .740 .679 .617 .999 .997 .994 22 21 20 19 29 28 27 .957 .987 .997 .999 .047 .200 .441 .862 .823 .784 .745 .999 .992 .977 X .560 .580 .600 .600 .650 .900 .950 S 19 18 17 16 15 14 13 D .215 .352 .516 .683 .824 .920 .972 F .986 .973 .952 .920 .878 .828 .772 12 11 23 22 21 20 19 .993 .999 .014 .038 .085 .167 .288 .714 .655 .999 .998 .996 .990 .980 18 17 16 15 14 13 12 .443 .612 .766 .883 .953 .985 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