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Geometria Anal´ıtica ´ Area do Paralelogramo
Luiz C. M. de Aquino
[email protected] http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino
´ Area do Paralelogramo Introdu¸c˜ ao
Nesta aula n´os vamos determinar como calcular a ´area de um paralelogramo cujo os lados s˜ao representados por vetores.
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Sabemos que a ´area A de um paralelogramo de altura h e base b ´e dada por A = bh.
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Vamos considerar que ~u e ~v representam os lados do paralelogramo. Note que a sua base ser´a k~u k e a sua altura ser´a k~v k sen α. Portanto, a ´area desse paralelogramo ser´a A = k~u k k~v k sen α.
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos que cos α =
~u · ~v k~u k k~v k
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos que cos α =
~u · ~v k~u k k~v k
p 1 − sen2 α =
~u · ~v k~u k k~v k
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos que cos α =
~u · ~v k~u k k~v k
~u · ~v k~u k k~v k 2 ~u · ~v 2 1 − sen α = k~u k k~v k p 1 − sen2 α =
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos que cos α =
~u · ~v k~u k k~v k
~u · ~v k~u k k~v k 2 ~u · ~v 2 1 − sen α = k~u k k~v k 2 2 ~u · ~v A 1− = k~u k k~v k k~u k k~v k p 1 − sen2 α =
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos que cos α =
~u · ~v k~u k k~v k
~u · ~v k~u k k~v k 2 ~u · ~v 2 1 − sen α = k~u k k~v k 2 2 ~u · ~v A 1− = k~u k k~v k k~u k k~v k p 1 − sen2 α =
A2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos que cos α =
~u · ~v k~u k k~v k
~u · ~v k~u k k~v k 2 ~u · ~v 2 1 − sen α = k~u k k~v k 2 2 ~u · ~v A 1− = k~u k k~v k k~u k k~v k p 1 − sen2 α =
A2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 q A = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Podemos provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Podemos provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
Sendo assim, podemos dizer que q A = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 q A = k~u × ~v k2
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Podemos provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
Sendo assim, podemos dizer que q A = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 q A = k~u × ~v k2 A = k~u × ~v k
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Vamos agora provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Vamos agora provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
Seja ~u = (x0 , y0 , z0 ) e ~v = (x1 , y1 , z1 ). Sabemos que ~u × ~v = (y0 z1 − y1 z0 , x1 z0 − x0 z1 , x0 y1 − x1 y0 )
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Vamos agora provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
Seja ~u = (x0 , y0 , z0 ) e ~v = (x1 , y1 , z1 ). Sabemos que ~u × ~v = (y0 z1 − y1 z0 , x1 z0 − x0 z1 , x0 y1 − x1 y0 )
k~u × ~v k2 = (y0 z1 − y1 z0 )2 + (x1 z0 − x0 z1 )2 + (x0 y1 − x1 y0 )2
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Vamos agora provar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
Seja ~u = (x0 , y0 , z0 ) e ~v = (x1 , y1 , z1 ). Sabemos que ~u × ~v = (y0 z1 − y1 z0 , x1 z0 − x0 z1 , x0 y1 − x1 y0 )
k~u × ~v k2 = (y0 z1 − y1 z0 )2 + (x1 z0 − x0 z1 )2 + (x0 y1 − x1 y0 )2 = (y0 z1 )2 − 2y0 z1 y1 z0 + (y1 z0 )2 + (x1 z0 )2 − 2x1 z0 x0 z1 + (x0 z1 )2 + (x0 y1 )2 − 2x0 y1 x1 y0 + (x1 y0 )2
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Por outro lado, temos que (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 =
x02 + y02 + z02
x12 + y12 + z12
− (x0 x1 + y0 y1 + z0 z1 )2
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Por outro lado, temos que (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 =
x02 + y02 + z02
x12 + y12 + z12
− (x0 x1 + y0 y1 + z0 z1 )2 = (x0 y1 )2 + (x0 z1 )2 + (y0 x1 )2 + (y0 z1 )2 + (z0 x1 )2 + (z0 y1 )2 − 2x0 x1 y0 y1 − 2x0 x1 z0 z1 − 2y0 y1 z0 z1
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos ent˜ao que k~u × ~v k2 = (y0 z1 )2 − 2y0 z1 y1 z0 + (y1 z0 )2 + (x1 z0 )2 − 2x1 z0 x0 z1 + (x0 z1 )2 + (x0 y1 )2 − 2x0 y1 x1 y0 + (x1 y0 )2 (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 = (x0 y1 )2 + (x0 z1 )2 + (y0 x1 )2 + (y0 z1 )2 + (z0 x1 )2 + (z0 y1 )2 − 2x0 x1 y0 y1 − 2x0 x1 z0 z1 − 2y0 y1 z0 z1
´ Area do Paralelogramo No¸c˜ ao intuitiva
Temos ent˜ao que k~u × ~v k2 = (y0 z1 )2 − 2y0 z1 y1 z0 + (y1 z0 )2 + (x1 z0 )2 − 2x1 z0 x0 z1 + (x0 z1 )2 + (x0 y1 )2 − 2x0 y1 x1 y0 + (x1 y0 )2 (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 = (x0 y1 )2 + (x0 z1 )2 + (y0 x1 )2 + (y0 z1 )2 + (z0 x1 )2 + (z0 y1 )2 − 2x0 x1 y0 y1 − 2x0 x1 z0 z1 − 2y0 y1 z0 z1 Portanto, podemos afirmar que k~u × ~v k2 = (k~u k k~v k)2 − (~u · ~v )2 .
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Exemplo 1: O paralelogramo ABCD ´e tal que A = (1, 2, −1), B = (3, 1, 4) e C = (1, 1, −5). Determine a ´area desse paralelogramo.
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
A figura abaixo ilustra o paralelogramo ABCD.
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
−→ −→
A ´area de ABCD ser´a igual a BA × BC .
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ BA = A − B = (1, 2, −1) − (3, 1, 4) = (−2, 1, −5)
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ BA = A − B = (1, 2, −1) − (3, 1, 4) = (−2, 1, −5) −→ BC = C − B = (1, 1, −5) − (3, 1, 4) = (−2, 0, −9)
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ BA = A − B = (1, 2, −1) − (3, 1, 4) = (−2, 1, −5) −→ BC = C − B = (1, 1, −5) − (3, 1, 4) = (−2, 0, −9) ~ −→ −→ i BA × BC = −2 −2
~j ~k 1 −5 = −9~i − 8~j + 2~k = (−9, −8, 2) 0 −9
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ BA = A − B = (1, 2, −1) − (3, 1, 4) = (−2, 1, −5) −→ BC = C − B = (1, 1, −5) − (3, 1, 4) = (−2, 0, −9) ~ ~j ~k −→ −→ i BA × BC = −2 1 −5 = −9~i − 8~j + 2~k = (−9, −8, 2) −2 0 −9
−→ −→ q √
BA × BC = (−9)2 + (−8)2 + 22 = 149
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ BA = A − B = (1, 2, −1) − (3, 1, 4) = (−2, 1, −5) −→ BC = C − B = (1, 1, −5) − (3, 1, 4) = (−2, 0, −9) ~ ~j ~k −→ −→ i BA × BC = −2 1 −5 = −9~i − 8~j + 2~k = (−9, −8, 2) −2 0 −9
−→ −→ q √
BA × BC = (−9)2 + (−8)2 + 22 = 149 Portanto, a ´area de ABCD ´e igual a
√
149 u.a. (unidade de ´area).
´ Area do Paralelogramo ´ F´ ormula da Area do Paralelogramo
Considere os vetores ~u e ~v sobre um mesmo Espa¸co Cartesiano, tal que esses vetores representam os lados de um paralelogramo. A ´area A desse paralelogramo ser´a dada por A = k~u × ~v k
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a ´area do triˆangulo ABC , tal que A = (1, −1), B = (1, 2) e C = (4, 3)
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
A figura abaixo ilustra o triˆangulo ABC .
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
A figura abaixo ilustra o triˆangulo ABC .
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
A partir de ABC podemos criar o paralelogramo ABDC como ilustra a figura abaixo.
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
A ´area de ABC ser´a igual a
1 2
−→ −→
AB × AC .
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ AB = B − A = (1, 2, 0) − (1, −1, 0) = (0, 3, 0)
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ AB = B − A = (1, 2, 0) − (1, −1, 0) = (0, 3, 0) −→ AC = C − A = (4, 3, 0) − (1, −1, 0) = (3, 4, 0)
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ AB = B − A = (1, 2, 0) − (1, −1, 0) = (0, 3, 0) −→ AC = C − A = (4, 3, 0) − (1, −1, 0) = (3, 4, 0) ~ −→ −→ i AB × AC = 0 3
~j 3 4
~k 0 = 0~i + 0~j − 9~k = (0, 0, −9) 0
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ AB = B − A = (1, 2, 0) − (1, −1, 0) = (0, 3, 0) −→ AC = C − A = (4, 3, 0) − (1, −1, 0) = (3, 4, 0) ~i ~j ~k −→ −→ AB × AC = 0 3 0 = 0~i + 0~j − 9~k = (0, 0, −9) 3 4 0
−→ −→ q
AB × AC = 02 + 02 + (−9)2 = 9
´ Area do Paralelogramo Exerc´ıcio
Temos ent˜ao que: −→ AB = B − A = (1, 2, 0) − (1, −1, 0) = (0, 3, 0) −→ AC = C − A = (4, 3, 0) − (1, −1, 0) = (3, 4, 0) ~i ~j ~k −→ −→ AB × AC = 0 3 0 = 0~i + 0~j − 9~k = (0, 0, −9) 3 4 0
−→ −→ q
AB × AC = 02 + 02 + (−9)2 = 9 Portanto, a ´area de ABC ´e igual a
9 2
u.a. (unidade de ´area).
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