Arcos E Cabos

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1 universidade do vale do itajaí centro de ciências tecnológicas da terra e do mar Luiz fernando antunes dos santos Thiago frança piovesam thiago hinckel curtius relatório de pesquisa: arcos e cabos itajaí 2012 luiz fernando antunes dos santos thiago frança piovesam thiago hinckels curtius RELATÓRIO DE PESQUISA: ARCOS E CABOS Relatório de pesquisa apresentado a disciplina de Teoria das Estruturas, Engenharia Civil, 4º Período, para composição de notas da M3. Professor Andriei José Beber ITAJAÍ 2012 SUMÁRIO 1 – INTRODUÇÃO 4 1.1– Objetivos 4 2 – ARCOS 5 2.1 – Definição 5 2.2 – Tipos de arcos 5 2.4 – Análise dos esforços em um arco bi-apoiado 8 2 – CABOS 10 2.1 – Definição 10 2.2 – Mecanismos de deformação 11 2.3 – Determinação das reações de apoios 13 3 – COMPARAÇÃO ENTRE ARCOS E CABOS 16 4- CONCLUSÃO 17 5- REFERÊNCIAS 18 LISTA DE EXERCÍCIOS 19 1 – INTRODUÇÃO Uma estrutura é uma configuração de itens que apresentam similaridades e se inter-relacionam para formação de um sistema, objetivando suportar e transmitir cargas. Na engenharia civil uma estrutura é concebida de forma que seja eficiente em cinco aspectos: resistência, estética, economia, rigidez e segurança. As estruturas podem ser classificadas de acordo com suas dimensões. Com uma dimensão predominante (vigas, cabos, barras), duas dimensões (lajes), e com três dimensões predominantes (sapatas, e blocos estruturais). A estaticidade de uma estrutura é outro importante fator de classificação. Um sistema estrutural isoestático é um sistema onde o número de reações na estrutura é igual ao número de equações de equilíbrio. Um estrutura que possui número de reações maior que o de equações de equilíbrio é chamada de hiperestática, e quando o número de reações é menor que o de equações de equilíbrio é chamada hipoestática. Outra interessante classificação é quanto a maneira que os esforços ocorrem na estrutura. Um sistema estrutural é considerado de forma ativa, quando o fluxo das forças é o mesmo da forma da estrutura. A linha onde ocorrem os esforços é chamada de linha funicular, ou linha de pressão. Neste relatório será discutido sobre a importância do estudo de estruturas isoestáticas de forma ativa, em especial arcos e cabos, mostrando as formas de cálculo, tipos de esforços entre outros fatores. 1.1– Objetivos Identificar e definir os sistemas estruturais cabos e arcos e demonstrar o sistema de cálculos destas estruturas. 2 – ARCOS 2.1 – Definição O que faz uma estrutura um arco é sua forma curva, sendo que a parte central é mais alta que as extremidades. A forma da curva que define o arco é um função de uma série de fatores como tipo de materiais, esforços atuantes entre outros fatores. São sistemas estruturais muito utilizados para vencer grandes vãos, sendo muito notável sua utilização em pontes. De certa forma arcos podem ser definidos como pórticos de barras curvas. São elementos estruturais que sustentam cargas e sofrem apenas com esforços de compressão. Devem-se evitar-se esforços de flexão em arcos, pois seus materiais, geralmente, rochas e tijolos, não resistem a estes esforços. 2.2 – Tipos de arcos Existem fatores para determinar o tipo de arco que se deve utilizar. Estes fatores podem ser: a composição das cargas, o vão, e o material a ser utilizado. Entre os diversos tipos de arcos destacam-se: Arco semi-circular: Conhecido como arco romano, é uma estrutura biapoiada e não recomenda-se seu uso em grandes vãos. Arco elíptico: Possui dois ou mais apoios, e seu uso varia de grandes a pequenos vãos. Arco hiperbólico: Por possui a forma de uma hipérbole torna-se difícil sua construção, sendo menos utilizado. Arco Moorish ou cebola: é um arco tridimensional composto por diversos arcos, muito comuns em cúpulas. Arcos góticos: São arcos muito comuns nas catedrais européias. Possuem uma ponta destacada que por motivos religiosos seriviria para se aproximar de Deus. Arco parabólico: Por possuir a mesma forma de diagramas de momento fletores faz com que as tensões de flexão sejam anuladas, sendo assim um dos mais recomendados tipos de arco a ser utilizado. 2.3 – Características dos arcos Independente do tipo do arco existem características que são encontradas em todos os tipo de arcos. O maior número de articulações permitida num arco é três As reações de apoio são inversamente proporcional a flecha do arco O empuxo horizontal é resultante direto do tamanho da flecha Deve-se garantir que o arco não sofra esforços de flexão A maior tensão acontece nos apoios e a menor no centro do arco Por serem elementos longos sofrem com a flambagem Os arcos ainda possuem diferentes relações de esforços de acordo com o tipo de vinculação utilizada. Arco triarticulado: Podem ser montados em partes e possuem grande adaptação para mudanças de cargas. Sofrem mais com a flambagem. Com a concavidade volta para baixo sofrem esforços de compressão, se a concavidade for voltada para cima sofrerão esforços de tração. Utilizados quando estiverem previstas grandes reações de recalque. Arco Biarticulado: Bastante utilizados em locais onde são previstas pequenos recalques. Sofrem grande influência quando existe mudança na forma. Arcos Biengastados: Por não possuírem articulações são recomendados quando não existirem possiblidades de recalque nos apoios. São arco hiperestáticos e absorvem os momentos fletores. 2.4 – Análise dos esforços em um arco bi-apoiado Figura: Reações e forças no arcoFigura: Reações e forças no arco Figura: Reações e forças no arco Figura: Reações e forças no arco Onde: VA = Reação vertical A HA = Reação horizontal A VB = Reação vertical B P = Carga aplicada R= Raio Considerando o sistema em equilíbrio pode-se aplicar as três equações de equilíbrio: Fx= 0 HA= 0 Fy= 0 VA+VB-P = 0 Mz= 0 VB2R - PR=0 Por definição as reações são: VA= P2 VB= P2 O esforço normal em um arco é sempre perpendicular a seção, enquanto que o esforço cortante é sempre ortogonal ao esforço normal. Quando se analisa um arco, a cada infinitésimo o arco muda de direção pelo fato de ser uma curva. A análise dos esforços tem de variar tal qual, podem-se calcular os esforços internos solicitantes considerando tanto a combinação de coordenadas x e y, como seus equivalentes trigonométricos Seno e Cosseno. Estudo da seção S1 Figura: Seção S1Figura: Seção S1 Figura: Seção S1 Figura: Seção S1 Como o arco varia sua direção ao passo que o ângulo θ varia, pode-se dizer que o infinitésimo do arco como sendo uma reta, transferindo a reação para qualquer ponto do arco e colocando-a em função do ângulo θ. Normal -HA cos (π2- Ө) - VA sen ( π2 -Ө) = -P2 cos Ө N = -P2 cos Ө Cortante -HA sen (π2- Ө) + VA cos ( π2 -Ө) = -P2 sen Ө V = -P2 sen Ө Momento fletor -HA sen Ө+ VA R (1 - cosӨ) = PR2 (1 - cos Ө) M = PR2 (1 - cos Ө) 2 – CABOS 2.1 – Definição Um fio é elemento que só resiste a esforços de tração resultantes na direção de sua forma. Os esforços ocorrentes em um fio geralmente são de peso próprio, ação do vento, dilatação entre outros fatores. Um conjunto de fios formará um cabo, que além de impedir os esforços já citados também suportará carregamentos de diversos tipos. Por possuírem enorme flexibilidade não possuem quase nenhuma resistência a flexão e compressão. O cabo então pode ser definido como uma barra flexível de baixa rigidez que resiste a esforços de tração. A utilização dos cabos se dá principalmente em pontes que podem ser do tipo suspensa ou estaiada de acordo com o modo que o sistema de cabos estará vinculado a ponte. Entretanto devido ao baixo peso próprio dos cabos em função do seu vão deve-se levar em conta cálculos de oscilações e feitos de cargas de ventos. 2.2 – Mecanismos de deformação A forma de um cabo é resultado das cargas que nele atuam. Uma única carga centrada no cabo provocará uma deformação em forma de triângulo no cabo. Linha funicular em forma de triângulo Duas cargas formarão um trapezóide. Linha funicular em forma de catenária Já uma carga distribuída por toda a extensão do cabo provocará o surgimento de uma parábola, ou uma catenária. Como na catenária o peso próprio se distribui próximo as extremidades ela possui uma geometria mais baixa do que a parábola. Linha funicular em forma de catenária Linha funicular em forma de parábola Fica assim evidenciado que a forma que o cabo assume é consequência direta do carregamento que nele é imposto. Essa deformação em relação ao carregamento é chamada de linha funicular, e é nela que acontecem todos os esforços do cabo. Por isso num cabo, ao contrário dos arcos, qualquer carga muda sua forma e sua linha funicular, formando uma nova estrutura. A flecha do cabo é determinada como a altura entre o apoio do cabo até o ponto mais baixo do vão. O tamanho da flecha é inversamente proporcional as solicitações do cabo. Quanto menor a flecha maior terá de ser o esforço realizado pelos apoios para manter o sistema em equilíbrio. Entretanto com uma flecha maior o comprimento do cabo também será maior. Por isso deve-se buscar uma relação ideal entre comprimento e flecha de modo que se utilize o menor volume de material. 110< fL < 15 Onde: f = Tamanho da flecha L = Comprimento do cabo 2.3 – Determinação das reações de apoios Como o carregamento do cabo é em geral um força para baixo, as reações de apoio se darão no sentido do cabo. Sendo assim aparecerão reações verticais e horizontais para ambas as extremidades do cabo. Onde: VA = Reação vertical A HÁ = Reação horizontal A VB = Reação vertical B HB = Reação horizontal B f = Flecha do cabo P = Carga aplicada Considerando o sistema em equilíbrio pode-se aplicar as três equações de equilíbrio: Fx= 0 HA=HB=H Fy= 0 VA+VB=P Mz= 0 VA=VB=P2=V A carga H encontrada é chamada de empuxo horizontal. Entretanto nota-se que não é possível encontrar o empuxo horizontal. Para isso deve-se considerar uma quarta equação que saí da hipótese de que o momento fletor será nulo em qualquer ponto do cabo. Aplicando-se essa equação no ponto C: CMz= 0 VL2f- Hf=0 H=PL4f O empuxo horizontal H será constante ao longo de todo o cabo. A equação da carga de empuxo será diferente de acordo com o número de cargas e a disposição destas no cabo. Para facilitar o cálculo pode-se utilizar uma viga de substituição. Neste sistema de cálculo considera-se o cabo como uma viga com apoios nas pontas, como mostrado abaixo com um cabo com carga distribuída. Desta forma as reações de apoio podem ser descobertas através da resolução de uma viga simples. O empuxo pode ser encontrado através da relação entre o momento máximo e a flecha do cabo. H=qL8f Conhecidas as reações de apoio atuantes no cabo pode-se calcular os esforços internos da estrutura. A determinação dos esforços internos solicitantes nos cabos pode ser feita através do método das seções. Considerando o momento fletor nulo em qualquer ponto da seção o único esforço existente é o normal. O exemplo abaixo se refere ao exemplo anterior com uma única carga centrada no meio do vão do cabo: Estudo da seção AC: Fx=0 NACx=PL4f Fy=0 NACy=P2 Por se tratar de um estrutura simétrica não existe necessidade de se calcular a outra seção do cabo. Caso seja utilizada uma viga de substituição para resolução do problema, será possível notar que o diagrama de momento fletor da viga assumirá a mesma configuração geométrica do cabo. 3 – COMPARAÇÃO ENTRE ARCOS E CABOS Cabos Arcos Esforço tração Esforço compressão Menor gasto de material. Maior gasto de materiais pela sua forma Mais leve Mais pesado, pois tem um volume maior em relação aos cabos Não resiste a compressão Evita flambagem Suporta grandes Vãos, cabos podem chegar até 1300m Suporta grandes Vão Elemento Flexível Elemento rígido Apresentam reações horizontais. Apresentam reações horizontais Material mais usado é o aço. Material mais usado concreto. Forma varia desacordo com as cargas Já tem forma definida 4- CONCLUSÃO No âmbito de projetos estrutural cada análise requer uma diferente solução. Faz-se assim importante conhecer o funcionamento de cada tipo de sistema estrutural. E por isso este relatório de pesquisa torna-se parte importante do conhecimento sobre estruturas. Os arcos são sistemas que podem ajudar a substituir pórticos e vigas em grandes vãos, ou em pequenos vãos enriquecendo a arquitetura de uma edificação. Inicialmente projetados de forma empírica eram muito utilizados em janelas e portas para evitar o aparecimento de rachaduras. Hoje em dia sabe-se que são sistemas de forma ativa que quando bem executados e calculados sofrem apenas a esforços de compressão. Já os cabos possuem grande vantagem em relação aos outros materiais por permitirem grande economia de materiais. São a solução para grandes vãos em pontes tanto nas estaiadas quanto nas suspensas. Entretanto em cabos deve-se ter cuidado com as possíveis oscilações que podem aparecer e causar problemas, como aconteceu por exemplo na ponte Tacoma Narrows, que caiu quando seus sistemas de cabos entrou em ressonância. 5- REFERÊNCIAS PUCPR. Sistemas Estruturais. Disponível em: . Acesso em: 23 nov. 2012. REBELLO, Yopanan Conrado Pereira. A concepção estrutural e a arquitetura. São Paulo: Zigurate, 2003. VALLE, Ângela do; LA ROVERE, Henriette Lebre. Apostila de Análise Estrutural I. Universidade Federal de Santa Catarina. LISTA DE EXERCÍCIOS 1ª Questão: No âmbito do funcionamento dos sistemas estruturais de forma ativa, responda à seguinte questão: A forma da estrutura coincide com o fluxo dos esforços sendo, portanto, o trajeto natural das forças ("linha funicular"). Comente sobre esse mecanismo de funcionamento. (utilize ilustrações, equações, e croquis se necessário) Os sistemas estruturais de forma ativa são sistemas onde a estrutura é formada por matéria não rígida, ou seja, se deforma de acordo com seu peso próprio e com o carregamento instituído. Quando o sistema de forma-ativa está em sua forma ideal o fluxo dos esforços coincide exatamente com a forma da estrutura. Portanto os sistemas de forma-ativa são o fluxo natural dos esforços. O fluxo natural dos esforços toma o nome de linha funicular de compressão em sistemas que trabalham com compressão (arcos), e linha funicular de tração em sistemas que trabalham com tração (cabos). Por isso qualquer variação de carga altera a linha funicular. Em um cabo esta alteração significará mudança na forma da estrutura. Já em um arco, que não pode mudar sua forma, transforma a variação de cargas em esforços de flexão. Como mecanismo de funcionamento destes sistemas reside essencialmente na forma da estrutura, um desvio na forma da estrutura coloca em risco seu funcionamento, e pode requerer outros mecanismos para corrigir tais desvios. 2ª Questão: Considerando as estruturas em cabo apresentadas abaixo, demostre as expressões que conduzem à determinação das reações de apoio, explicando cada passo para sua obtenção . Aplicando as equações de equilíbrio ao cabo ACDB temos: Fx = 0; Ax – Bx = 0, então Ax = Bc = H; Fy = 0; Fy = 0 Ay + By = 2P, portanto Ay = 2P-By = P. Mz =0 MA= 0 PL3 + P(2L3) – By.L = 0, então By = P; Para realizar o cálculo do empuxo utiliza-se uma nova equação de equilíbrio. Onde o momento fletor nulo para qualquer ponto do cabo. Aplicando no ponto C Mc= 0. Mc= 0 - H.f + PL3 = 0, logo H= PL3f. Os esforços normais de tração são calculados através das equações de equilíbrio. Esforços normais no trecho AC ΣFx = 0 Nacx= PL3f ΣFy = 0 ACy= P, NAC²= (NACx)²+ (NACy)² NAC= [(PL3f )²+ P²]½ ii) Cabo com força distribuída uniformemente ao longo do comprimento do cabo Aplicando as equações de equilíbrio: Fx = 0; Fy = 0; Mz = 0. Fx = 0 Ax – Bx = 0, logo Ax = Bc = H; MA= 0 -qLL2+By.L = 0, logo By = qL2; Fy = 0 Ay + By = q.L, assim sendo Ay = q.L- qL2 = qL2 Mf= 0 Ay L2+ Ax.f – qLL2+= 0 como Ay = qL2 temos, - qL2.L2 + Ax.f –q LL2= 0 - qL²8 + Ax.f = 0 Portanto Ax = Bx = qL²8f Calculando os esforços normais Cortando a seção: Equações de Equilíbrio: ΣFx=0 NSX= H; ΣFy = 0 NSy – qL2+ qx = 0 NSy = qL2- q x, sendo: Para x = 0, NSy= qL2 ; Para x = L2, NSy= 0. Para o ponto x = L2, onde ocorre a flecha f, distância máxima da linha AB, não há componente vertical do esforço normal de tração. Logo, o esforço normal varia ao longo do comprimento do cabo: Para x = 0 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ½ NS = [ (H)2 + (q L /2)2 ] ½ (Valor máximo) Para x= L2 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ½ NS = [ (H)2 + (0)2 ] ½ NS = H (Valor mínimo) Pode-se concluir que o esforço normal de tração para um cabo é estimado pela expressão: NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ½ NS = [ (H)2 + (VS*)2 ] ½ 3 ªQuestão : Cálculo da carga em cada cabo Carregamento = 10 kN/m² Área da influência do cabo = 1,5m Carga atuante no cabo =10*1,5 Carga atuante no cabo =15 kN/m Reações de apoio Fy= 0 VA+VB=P Fy= 0 VA+VB=qL2 Fy= 0 VA=VB=187,5 kN Fx= 0 HA=HB=H Mz= 0 H=qL²8f Mz= 0 H=15*25²8*5 H=234,38 kN Esforço normal atuante no cabo Ns²=Nx²+Ny² Ns²=234,38²+187,5² Ns=300,15 kN 4ª Questão Reações de apoio Fx= 0 HA= 0 Fy= 0 VA+VB-P = 0 Mz= 0 VB2R - PR=0 VA= P2 VB= P2 Esforços internos solicitantes : FN= 0 NS1 + COS θ *P2 = 0 NS1 = - COS θ * P2 FV= 0 - VS1 + SIN θ * P2 = 0 VS1 = SIN θ * P2 Mz= 0 - P2 * a = 0 M s1 = PR2(1+ cos θ)