Transcript
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace A generalização da representação por senóides complexas de um sinal de tempo contínuo fornecida pela Transformada de Fourier é realizada em termos de sinais exponenciais complexos pela Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace fornece uma caracterização mais ampla, podendo ser utilizada para a solução de problemas de tempo contínuo que envolvem sinais que não são absolutamente integráveis. Transformada de Laplace
1
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Admite-se então que complexa com
seja uma função exponencial , ou seja:
Considera-se agora o problema de aplicar um sinal a um sistema LTI com resposta ao impulso . Transformada de Laplace
2
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace A saída do sistema
será dada por:
Transformada de Laplace
3
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Logo
sendo
Transformada de Laplace
4
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Desta forma, caracteriza-se como sendo uma autofunção do sistema e como seu autovalor. A função de transferência pode ser representada na forma
em que e módulo e a fase de
representam, respectivamente, o . Transformada de Laplace
5
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace
Admitindo-se
Transformada de Laplace
6
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Conclui-se então que o sistema altera a amplitude do sinal de entrada por um fator e desloca a fase por um fator , não alterando o fator de amortecimento nem a frequência do sinal de entrada.
Transformada de Laplace
7
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Logo, é a transformada de Fourier de Sendo assim, a transformada de Fourier inversa de deve ser , ou seja:
.
ou ainda . Transformada de Laplace
8
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Uma vez que do em
, tem-se
, resultan-
.
Transformada de Laplace
9
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Generalizando as relações anteriores para um sinal arbitrário , tem-se transformada de Laplace de
;
transformada inversa de Laplace de . Transformada de Laplace
10
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Ou ainda .Conforme observado, a transformada de Laplace de também pode ser interpretada como sendo a transformada de Fourier de , consequentemente uma condição necessária para a convergência da transformada de Laplace é a integrabilidade absoluta de , ou seja . Transformada de Laplace
11
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace
A faixa de para a qual a transformada de Laplace converge é denominada de região de convergência RDC.
Transformada de Laplace
12
Transformada de Laplace
13
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace A forma mais comum de representação da transformada de Laplace de é dada por uma função racional em , na forma
. Transformada de Laplace
14
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Sendo as raízes do polinômio do numerador, denominados de zeros finitos de . Da mesma forma, representam as raízes do polinômio do denominador de , e são definidos como sendo os pólos de . A diferença entre os graus dos polinômios do numerador e do denominador de, , é definido como sendo o grau relativo de . Transformada de Laplace
15
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Diagrama de Pólos e Zeros
Transformada de Laplace
16
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Exemplo 6.1: Determinar a transformada de Laplace e a RDC de . Exemplo 6.2: Determinar a transformada de Laplace e a RDC de . Exercício 6.1: Determinar a transformada de Laplace e a RDC de . Transformada de Laplace
17
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Unilateral Em muitas aplicações os sistemas considerados são causais, interessando apenas o comportamento do sistema em instantes . Sendo assim é comum a utilização da transformada de Laplace unilateral, avaliadas para . Definição: A transformada de Laplace unilateral de um sinal é definida por
Transformada de Laplace
.
18
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace Unilateral O limite inferior implica não incluir o ponto na integral, excluindos as descontinuidades e impulsos em . Sendo assim, representa-se
Por exemplo equivale a Transformada de Laplace
19
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades As propriedades da transformada de Laplace são similares as da transformada de Fourier. Nas propriedades apresentadas a seguir será considerado e sendo omitido doravante o “u” de unilateral. Transformada de Laplace
20
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Linearidade:
Mudança de Escala:
Transformada de Laplace
21
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Deslocamento no tempo:
para todo tal que
.
Transformada de Laplace
22
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Deslocamento no Domínio s:
A multiplicação por uma exponencial complexa no domínio tempo introduz um deslocamento na frequência complexa da transformada de Laplace.
Transformada de Laplace
23
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Convolução:
Diferenciação no Domínio s:
Transformada de Laplace
24
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Exemplo 6.3: Determinar a transformada de Laplace unilateral de . Exercício 6.3: Determinar a transformada de Laplace unilateral de . Transformada de Laplace
25
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Diferenciação no Domínio Tempo:
Exercício: A partir da expressão anterior deduzir a relação:
Transformada de Laplace
26
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Exercício: Obter a transformada de Laplace de e generalize para o caso de .
Transformada de Laplace
27
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Propriedade da Integração:
em que
é o valor da integral para Transformada de Laplace
. 28
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada de Laplace - Propriedades Exercício 6.4: Obter a transformada de Laplace de .
Transformada de Laplace
29
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Teoremas do Valor Inicial e Final Permite concluir, a partir da expressão de valores de e .
,
Teorema do Valor Inicial: Teorema do Valor Final:
Transformada de Laplace
30
Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Teoremas do Valor Inicial e Final Exercício 6.5: Determinar os valores inicial e final de sendo
Exercício: Determinar o valor final de
Transformada de Laplace
sendo
31
