Apostilas Transformada De Laplace - Ma Teoria Laplace 5

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Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE conclui-se que: Γ(2) = Data de impressão (versão): 9 de setembro de 2006, 20:37:27 documento composto com LATEX 2ε usando LYX. A Transformada de Laplace1 é um método de resolução de equações diferenciais e dos correspondentes problemas de valor inicial e de valor de contorno. Ela é importante para o Controle Automático porque os modelos matemáticos dos sistemas físicos que se deseja controlar são, em geral, descritos por equações diferenciais. A aplicação da Transformada de Laplace permite prever o que deve acontecer no futuro de um sistema o que é fundamental para o controle deste sistema. Em outras palavras, pode-se prever qual será a resposta de um sistema a uma entrada conhecida e isso é importante para: 1) elaborar uma entrada que leve o sistema a um determinado estado; e 2) simular o comportamento do sistema e verificar se a entrada elaborada surtiu o efeito desejado; 3) ter uma visão geral do comportamento do sistema. Existem duas Transformadas de Laplace: 1. A Transformada de Laplace Bilateral; 2. A Transformada de Laplace Unilateral. O maior interesse é pela Transformada de Laplace Unilateral que é largamente empregada no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo e na resolução de equações diferenciais. O processo de resolução das equações diferenciais2 consiste de três etapas principais: 1a etapa: Um problema “difícil” é transformado numa equação “simples” (equação subsidiária - algébrica). 2a Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas. 3a etapa: etapa: Desta maneira, a Transformada de Laplace reduz o problema de resolução de uma equação diferencial a um problema algébrico. A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujo papel é análogo ao das tabelas de integrais na integração. (Estas tabelas também são úteis na primeira etapa.) Uma está incluída no fim do capítulo. O método é amplamente usado na Matemática aplicada à Engenharia, onde possui numerosas aplicações. É particularmente útil nos problemas em que a força de propulsão (mecânica ou elétrica) tem descontinuidades: por exemplo, atua apenas durante um curto intervalo de tempo ou é periódica, mas não é simplesmente uma função senoidal ou co-senoidal. Outra vantagem é que ele resolve diretamente os problemas. Realmente, os problemas de valor inicial são resolvidos sem que se determine de início uma solução geral. De modo análogo, resolve-se as equações não-homogêneas sem necessidade de resolver primeiro a equação homogênea correspondente. Neste capítulo, a Transformada de Laplace é considerada sob ponto de vista prático, ilustrando sua utilização em problemas importantes de engenharia. Portanto este capítulo é dedicado à aplicação da Transformada de Laplace às equações diferenciais ordinárias3 . As equações diferenciais parciais também podem ser tratadas pela Transformada de Laplace. A função gama de x denotada por Γ(x) é definida como: 0 Γ(k) = Γ(k + 1) = Γ(1 + 1) = 1 · Γ(1) = 1! Γ(2 + 1) = 2 · Γ(2) = 2.1! = 2! Γ(3 + 1) = 3 · Γ(3) = 3.2! = 3! Γ(4 + 1) = 4 · Γ(4) = 4.3! = 4! .. . (k − 1)! k! k = 0, 1, 2, . . . (1.3) A função gama é uma versão contínua do fatorial, isso é, ela existe para valores fracionários do argumento e para os valores inteiros ela é igual ao fatorial do valor precedente (Γ(k) = (k − 1)!). Note que a função gama é uma função de números reais:   Z ∞ Z ∞ 1 1 1 = e−t t 2 −1 dt = e−t t − 2 dt Γ 2 0 0 {z } | t = λ2 Z x 0 dt = 2λ dλ ∴   Z ∞ 2 1 =2 e−λ dλ Γ 2 0 2 e−λ dλ é chamada de função de erro de x, para x → ∞ esta integral vale 1, logo:   √ 1 = π. Γ 2 (1.4) Exemplo 1: calcular a função gama de 3, 5 = 7/2 usando o valor de Γ(0, 5) junto com a equação (1.2):   √ 1 π = Γ 2       1 1 1√ 1 3 = Γ 1+ = Γ = π Γ 2 2 2 2 2       3 3 3 1√ 3 5 3√ π= π = Γ 1+ = Γ = Γ 2 2 2 2 22 4       √ √ 5 5 53 5 15 7 = Γ 1+ = Γ = π= π. Γ 2 2 2 2 24 8 A Figura 1.1 ilustra o comportamento da função gama. Observe, no gráfico, alguns pontos de interesse: Γ(1) = 0! = 1, Γ(2) = √ 1! = 1, Γ(3) = 2! = 2, Γ(4) = 3! = 6 e Γ(0, 5) = π ∼ = 1, 772 453 851. Função Gama Z ∞ Γ(5) = .. . 2 onde a integral √ π A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado. Γ(x) = Γ(3) = Γ(4) = Γ(x) e−t t x−1 dt para x > 0 . (1.1) 6 5 Pode-se ainda calcular: 4 Z ∞ Γ(x + 1) = |0 e−t t x dt {z } dv = e−t dt ∴ u = tx ∴ = − e−t t x i∞ 0 +x Z ∞ 0 e−t t x−1 dt . 3 2 v = −e−t 1 x du = xt x−1 dt 0 0,5 O primeiro termo da última expressão à direita é nulo, a integral é Γ(x). Isso fornece a relação: Γ(x + 1) = xΓ(x) . Como Γ(1) = Z ∞ 0 e−t dt = − e−t i∞ 0 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Figura 1.1: Função gama de x (1.2) = lim −e−t + e0 = 1 , t→∞ 1 Pierre-Simon Laplace (1749-1827). 2 São equações que modelam o comportamento de sistemas dinâmicos e por isso são importantes para o Controle Automático. 3 De uma única variável. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 1 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 2 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.2 Transformada de Laplace 1.2.1 Algumas Funções Importantes Seja g(t) uma dada função definida para todos os valores positivos de t. Multiplicando g(t) por e−st , onde e é uma constante4, e integrando em relação a t de zero ao infinito. Então, se a integral resultante existe, ela será uma função de s, digamos G(s). Função Degrau de Heaviside5 ou Função Degrau Unitário G(s) = Z ∞ g(t) e 0 −st G(s) = L {g(t)} = 0 g(t) e−st dt . (1.5) Esta função apresenta uma descontinuidade em t = 0, uma vez que o valor de u(t) se modifica instantaneamente de 0 para 1 quando t = 0, como mostrado na Figura 1.2. É interessante observar que se pode criar outras funções tomando como base a função degrau unitário. 1 L {g(t)} = L {1} = Z ∞ 0 L {t} = δ(t) = Z +∞ −∞ 1 . s A notação na primeira linha à direita é conveniente, mas se deve dizer uma palavra a respeito dela. O intervalo de integração em (1.5) é infinito. Uma integral deste tipo é chamada de integral imprópria e, por definição, é calculada de acordo com a regra: e−st g(t) dt = lim Z T T →∞ 0 δ(t) e−st g(t) dt . 1 δ(t − a) − δ(t − b) 1 1 t T 0   1 1 1 = lim − e−sT + e0 = T →∞ s s s (Re(s) > 0) Exemplo 3: seja g(t) = eat , quando t > 0, onde a é uma constante. Então, Z ∞ 0 e−st eat dt = Z ∞ 0 e−(s−a)t dt = b Figura 1.3: Função Delta de Dirac ou Função Impulso Unitário δ(t) = Z +∞ −∞ g(t) δ(t) dt = δ(t) = u′ (t) = conseqüentemente, quando Re(s − a) > 0 ou Re(s) > Re(a), 0 para t 6= 0 (1.6) g(0) (1.7) que se justifica pelo fato da função delta não ser nula apenas na origem, assim apenas o valor que g(t) assume na origem é que influencia o valor da integral. A função delta pode ser vista como sendo a derivada da função degrau unitário: −1 −(s−a)t i∞ e ; s−a 0 d u(t) dt Note que em t = 0 a função u(t) apresenta uma descontinuidade onde a sua derivada não é definida: o limite à esquerda quando t → 0 vale zero enquanto o limite à direita quando t → 0 vale 1. Como houve um salto para cima a derivada deve tender a infinito em t = 0. Exatamente como a função delta de Dirac. 1 . L {eat } = s−a 5 Oliver 6 Paul constante e é a base dos logaritmos nemperianos ou naturais e vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 094. Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. t a Outra forma de definir a função delta de Dirac é através da integral do produto da função delta por uma outra função g(t): Se T tende a infinito, o valor do co-seno e do seno são indeterminados, mas limitados no intervalo [−1, 1], e e−σT → e−∞ = 0. Então dizemos que a integral só converge para valores de s com parte real positiva (Re(s) > 0). Esta aparente desvantagem pode ser removida (veja a Seção 1.2.3), mas por hora ela deve ser levada em conta na determinação do domínio da Transformada de Laplace de uma função. G(s) = t a e−sT = e−(σ+ j ω)T = e−σT e− j ωT = e−σT (cos ωT − j sen ωT ) . 9 de setembro de 2006 = δ(t − a) 1 Esta notação é usada em todo o texto. Note, ainda, que se Re(s) ≤ 0 a integral não existe porque o limite tende a infinito. Por outro lado, quando Re(s) > 0, tem-se a parte real de s positiva, como s = σ + j ω, pode-se escrever 4A δ(t) dt 0 para t 6= 0 Observe que ela não é definida para t = 0. Muitos autores dizem que ela tende a infinito quando t → 0, definindo assim o limite de δ(t) quando t → 0. Embora isso não seja necessário já que não é usado para provar nenhuma propriedade da função, é conveniente para facilitar a visualização. Por isso, a função delta é representada como uma seta para cima em t = 0 com comprimento igual à uma unidade e uma reta sobre o eixo dos tt representando os valores onde t 6= 0 para os quais a função delta é nula, como mostrado na Figura 1.3. Daí, nossa notação significa 1 e−st dt = lim − e−st T →∞ s b Função Delta de Dirac6 ou Função Impulso Unitário i∞ 1 e−st dt = − e−st ; s 0 assim, quando Re(s) > 0,  t a A função delta de Dirac é definida por: Exemplo 2: seja g(t) = 1 quando t > 0. Determinar G(s). 0 t a Figura 1.2: Função Degrau de Heaviside ou Função Degrau Unitário N OTAÇÃO Representa-se a função original por uma letra minúscula, de modo que G(s) designe a transformada de g(t), e Y (s) designe a transformada de y(t), etc. Z ∞ 1 1 t g(t) = L −1 {G(s)} . 0 u(t − a) − u(t − b) u(t − a) u(t) A operação realizada sobre g(t) é chamada Transformada de Laplace. É comum incluir o zero no intervalo de integração, isso é, quando o limite à direita e à esquerda de zero são diferentes, usa-se o valor à esquerda para incluir os fatos que ocorrem quando t = 0. Além disso, a função original g(t) na equação (1.5) é chamada de Transformada Inversa ou, simplesmente, a inversa de G(s), e será representada por L −1 {G(s)}; assim, escreve-se Z ∞   1 se t ≥ 0 u(t) =  0 se t < 0 dt A função G(s) é chamada a Transformada de Laplace da função original g(t) e será representada por L {g(t)}. Assim: Z ∞ A função degrau unitário é definida por: 3 Heaviside (1850-1925). Adrien Maurice Dirac (1902-1984). 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 4 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná A Transformada de Laplace bilateral da função delta vale: L {δ(t)} = Z ∞ −∞ δ(t) e−st dt para t 6= 0, δ(t) = 0 e portanto e−st não importa (está sendo multiplicado por zero). Para t = 0, e−st vale 1. Logo, pela equação (1.7): Z ∞ L {δ(t)} = δ(t) dt = 1 −∞ Portanto, a Transformada de Laplace unilateral da função delta de Dirac também vale 1 porque a função δ(t) vale 0 de −∞ até 0, logo sua integral vale 0 também. Em outras palavras, integrar a função δ(t) de −∞ até +∞ é equivalente a integrá-la de 0 até +∞7 . Deve-se prosseguir desta maneira, aplicando a definição da equação 1.5 para obter a transformada de uma função após outra, diretamente a partir da definição? A resposta é negativa. E a razão é que a transformada de Laplace goza de propriedades gerais úteis para esse objetivo. Uma propriedade de grande importância é que a Transformada de Laplace é uma operação linear, como o são também a diferenciação e a integração. Esse assunto é abordado a segir no Teorema 1. Tabela 1.1: Algumas Funções Elementares g(t) e suas transformadas de Laplace L {g(t)} # g(t) L {g(t)} Região de Convergência 1 δ(t) 1 C A Transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções g(t) e h(t) cujas Transformadas de Laplace existem e quaisquer constantes a e b, tem-se 2 1 1 s Re(s) > 0 L {ag(t) + bh(t)} = aL {g(t)} + bL {h(t)} . 3 u(t) 1 s Re(s) > 0 4 t 1 s2 Re(s) > 0 5 t2 2! s3 Re(s) > 0 6 t n (n inteiro e positivo) n! sn+1 Re(s) > 0 7 t a (a positivo) Γ(a + 1) sa+1 Re(s) > 0 8 eat 1 s−a Re(s) > Re(a) 9 cos ωt s s2 + ω2 Re(s) > 0 10 sen ωt ω s2 + ω2 Re(s) > 0 11 cosh at s s2 − a2 Re(s) > |Re(a)| 12 senh at a s2 − a2 Re(s) > |Re(a)| 1.2.2 Linearidade da Transformada de Laplace Teorema 1 (Linearidade da Transformada de Laplace) D EMONSTRAÇÃO. Por definição, L {ag(t) + bh(t)} = Z ∞ 0 (ag(t) + bh(t))e−st dt = a Exemplo 4: seja8 g(t) = cosh at = Z ∞ 0 e−st g(t)t + b Z ∞ 0 e−st h(t) dt = aL {g(t)} + bL {h(t)} (eat + e−at ) . Empregando o Teorema 1 e o resultado do Exemplo 3, encontra-se 2   1 1 1 1 + ; L {coshat} = L {eat + e−at } = 2 2 s−a s+a isto é, quando Re(s) > Re(a) (≥ 0) L {cosh at} = s . s2 − a2 Na Tabela 1.1 encontra-se uma pequena lista de algumas funções elementares importantes e de suas Transformadas de Laplace. Quando as transformadas da Tabela 1.1 são conhecidas, quase todas as transformadas mais usuais podem ser obtidas pelo emprego de alguns teoremas gerais simples que são examinados nas seções seguintes. As fórmulas 3, 4 e 5 na Tabela 1.1 são casos especiais da fórmula 6. Esta decorre de 7 e de Γ(n + 1) = n!, da equação (1.3), onde n é um inteiro não-negativo. A fórmula 7 pode ser demonstrada a partir da definição: L {t a } = fazendo st = x. Então, dt = dx s . Z ∞ 0 e−st t a dt, Empregando a equação (1.1)... L {t a } = Z ∞ 0 e−x Z ∞  x a dx 1 Γ(a + 1) = a+1 e−x xa dx = s s s sa+1 0 (s > 0). A fórmula 8 foi demonstrada no Exemplo 3. Para demonstrar as fórmulas 9 e 10, faz-se a = j ω na fórmula 8. Segue-se 1 s + jω s + jω 1 s ω L {e jωt } = = = = +j 2 . s − jω s − jω s + jω s2 + ω2 s2 + ω2 s + ω2 Por outro lado, pelo Teorema 1, L {e jωt } = L {cosωt + j sen ωt} = L {cos ωt} + jL {sen ωt}. Igualando as partes real e imaginária destas equações, obtém-se as fórmulas 9 e 10. A fórmula 11 foi demonstrada no Exemplo 4, e a fórmula 12 pode ser demonstrada de maneira semelhante. 7 Há uma certa falta de rigor matemático nesta declaração, mas mesmos assim o seu resultado é válido. (ex + e−x ) (ex − e−x ) é a função co-seno hiperbólico definida por cosh x = . Existe também a função seno hiperbólico definida por senh x = . Ambas 2 2 j x − j x j x − j x (e + e ) (e − e ) estão relacionadas com equação de Euler com a qual é fácil mostrar que cos x = e sen x = . Se nessas equações a constante imaginária 2 2j 8 cosh j for simplesmente suprimida obtemos o co-seno e seno hiperbólicos, respectivamente. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 5 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 6 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Concluindo esta seção introdutória, cabem algumas considerações sobre a existência da Transformada de Laplace. Em termos intuitivos, a situação é a seguinte: para um s fixo, a integral em (1.5) existirá se todo o integrando e−st g(t) tender a zero de modo suficientemente rápido quando t → ∞, ou seja, pelo menos como uma função exponencial com expoente negativo. Isto motiva a desigualdade (1.8) no teorema de existência subseqüente. g(t) não necessita ser contínua. Isto tem importância prática uma vez que as entradas descontínuas (forças de propulsão) são exatamente aquelas para as quais a Transformada de Laplace se torna particularmente útil, basta exigir que g(t) seja secionalmente contínua em cada intervalo finito na faixa t ≥ 0. Por definição, uma função g(t) é secionalmente contínua num intervalo finito a ≤ t ≤ b se g(t) é definida neste intervalo e tal que o intervalo possa ser subdividido em um número finito de intervalos, em cada um dos quais g(t) é contínua e tem limites finitos quando t tende para qualquer ponto extremo do intervalo de subdivisão a partir do interior. Decorre da definição que os saltos finitos são as únicas descontinuidades que uma função secionalmente contínua pode ter; estas são conhecidas por descontinuidades ordinárias. A Figura 1.12 mostra um exemplo. Além disso, está claro que a classe de funções secionalmente contínuas inclui toda função contínua. Assim, as partes real e imaginária de s são chamadas respectivamente de σ e ω e representadas nos dois eixos horizontais; elas são as variáveis independentes ou, se preferir, as partes real e imaginária da variável independente s pois s = σ + j ω. No eixo vertical, deve-se representar o valor numérico da transformada que varia em função de s, ou seja, para cada posição no plano σω existe um número complexo associado. Pode-se, então, representar a transformada usando duas perspectivas: uma para a parte 1 real e outra para a parte imaginária de s+1 como mostrado na Figura 1.5-a e b. A interpretação destes gráficos é muito difícil porque deve ser feita conjuntamente. Uma forma alternativa mais intuitiva é representar a transformada na forma polar como mostrado na Figura 1.5-c e d. Embora a interpretação ainda tenha que ser feita de forma conjunta, o gráfico do módulo diz muito do comportamento da função quanto à amplitude e o da fase quanto ao atraso. A questão da fase (atraso) depende da interpretação da transformada: 1) se é uma transformada de um sinal, a fase representa o atraso de cada componente (cada produto senóide-exponencial que compõe o sinal); e 2) se a transformada representa o comportamento de um sistema, a fase representa o atraso sofrido por cada sinal, ou componente do sinal de entrada, dependendo de sua freqüência complexa (parte real ligada ao amortecimento, parte complexa ligada a freqüência da senóide). Da mesma forma, o gráfico do módulo deve ser interpretado de forma diferenciada, conforme a natureza da transformada: 1) se é uma transformada de sinal, o módulo representa amplitude do sinal para cada freqüência complexa; e 2) se a transformada representa o comportamento de um sistema, o módulo representa o ganho pelo qual cada componente do sinal de entrada é multiplicada para compor o sinal de saída. A interpretação na forma retangular é mais difícil porque as partes real e imaginária da transformada não são simples de interpretar, ou melhor, não trazem uma informação fácil de interpretar como fase (atraso) e módulo (amplitude/ganho). 1.2.3 Região de Convergência Para calcular a Transformada de Laplace pela definição dada pela equação (1.5) foi necessário restringir os valores de s para que a integral convirja. Surpreendentemente, no entanto, a Transformada de Laplace das funções apresentadas é válida mesmo fora da região de convergência. Isso se deve ao “Teorema da Extensão Analítica” que vem da teoria das variáveis complexas. Esse teorema estabelece que, se duas funções forem iguais em um comprimento finito ao longo de qualquer arco em uma região em que ambas as funções são analíticas9 , então elas são iguais em toda a parte na região. Assim, usando qualquer arco (uma reta, o eixo real por exemplo) que tenha parte na região de convergência e parte fora dela (ver Figura 1.4), ou seja, na região onde a integral não existe, é possível estender a validade do resultado (da transformada obtida) para fora da região de convergência incluindo todos os pontos onde a função (a Transformada de Laplace) é analítica. Região de Corvergência Im(s) a arco (reta) nas duas regiões a integral não converge mas mesmo assim a transformada existe 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Re  1 s+1  Im 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 Re(s) −1 ω (a) −3 σ −2 −1 − 5π 4 2 2 1 1 −3 0 −2 −1 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. − 7π 4 −2π −3 σ −2 −1 −1 0 (d) e−t : 2 0 1 −2 Figura 1.5: Gráfico da Transformada de Laplace de 1 de s+1 σ 1 −2 (a) parte real, (b) parte imaginária, (c) módulo, (d) fase (em radianos) Observe na Figura 1.5-d que há uma descontinuidade quando ω passa de negativo para positivo quando σ é negativo. Este salto de fase deve ser interpretado com cautela: para análise em regime (como as obtidas com o emprego da Série e Transformada de Fourier12) o ângulo de fase representa o atraso ou adiantamento de sinal em relação à referência de tempo. Contudo, na análise transitória (principal aplicação da Transforma de Laplace) o ângulo de fase representa um valor numérico para construção do gráfico já que todos os sinais são considerados nulos para t < 0. Por isso, a fase foi representada sempre com sinal negativo, para dar a impressão de que o sinal está atrasado em relação ao sinal de entrada ou que o sistema sempre atrasa o sinal. Caso contrário, o sistema não seria causal (não obedeceria a lei de causa-efeito). Isso é um pouco falho porque um sinal com fase de 450 pode estar realmente atrasado de −3150 ou −6570, etc. Não se sabe o atraso em termos de ângulo de fase porque o sinal de saída em geral não é periódico (não se repete), porém, o atraso pode ser considerado em termos temporais, o que é mais significativo. Isso diminui um pouco a utilidade da interpretação do gráfico de fase. O módulo da transformada tende a infinito quando s se próxima de −1 + j 0 por qualquer lado (ver na Figura 1.5-c). Este ponto corresponde ao pólo (valor que anula o denominador) da transformada. Assim, grande parte do comportamento da função 12 Jean-Baptiste-Joseph 7 ω − 3π 2 −1 0 (c) 9 de setembro de 2006 1 s+1 −π 3 1.2.4 Representação Gráfica da Transformada de Laplace função analítica em uma região é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem em qualquer ponto desta região. são os valores de s que anulam o denominador da transformada. verdade são duas superfícies tridimensionais como é visto mais a frente. ω 1 −2 0 4 9 Uma σ − π2 − 3π 4 5 10 Pólos 1 2 − π4 6 11 Na ω −1 0 (b) ∠ 1 0 1 −2 1 s + 1 Não é comum representar graficamente uma Transformada de Laplace (que é uma função de s) porque se trata de uma função complexa de uma variável complexa. A representação é muito complicada e difícil de construir a menos que se disponha de um software para isso. Mesmo assim, é difícil visualizar e interpretar o gráfico já que é a representação de uma11 superfície tridimensional. Além disso, grande parte da informação ou do sentimento sobre o comportamento destas funções complexas podem ser obtidos de um gráfico muito mais simples para a grande maioria dos casos de interesse prático. 1 de acordo com a Fórmula 8. Como s é um Considere como exemplo a Transformada de Laplace de e−t que vale s+1 1 número complexo ele possui duas dimensões independentes (parte real e imaginária). O resultado de s+1 também é um número complexo e também possui duas dimensões independentes. Não é possível representar um número complexo com apenas uma dimensão e também não é possível construir um gráfico tetradimensional para representar as partes reais e imaginárias dos números complexos. Portanto, deve-se usar algum artifício para reduzir para três o número de dimensões a serem representadas e usar uma perspectiva. Não é prático reduzir o número de dimensões da variável independente s porque isso tolhe a representação a ponto de torná-la sem sentido. Portanto, só resta reduzir o número de dimensões da variável independente (da função, ou seja, da transformada) e trabalhar com dois gráficos.  −1 0 Portanto, mesmo que seja necessário restringir os valores de s para tornar a integral da equação (1.5) absolutamente convergente, uma vez obtida a Transformada da Laplace, pode-se considerar essa transformada válida para qualquer valor de s com exceção dos pólos10 já que nos pólos a transformada não é analítica. Mais detalhes sobre a região de convergência e sua relação com a lei de causa-efeito e a Transformada Inversa de Laplace são vistos na Seção 1.3.4. 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 0 −2 Figura 1.4: Plano s com região de convergência e extensão da existência da Transformada de Laplace 1 s+1 2 1 −3 a integral converge logo a transformada existe  Fourier (1768-1830). 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 8 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná pode ser obtido apenas pela análise dos valores de s que anulam o denominador (pólos) e numerador (zeros). Na Figura 1.6-c, pode-se notar que o gráfico apresenta picos nós pólos ± j cai a zero em s = 0 porque este é o valor que anula o numerador da transformada. A fase, representada na Figura 1.6-d, é bastante complexa. gerar os gráficos, mas esse software, além de difícil de usar, produz resultados de pouca qualidade se comparados aos obtidos com o ft3d. O mesmo ocorre com os software matemáticos como octave, Matlab e MuPAD. 1.2.5 Deslocamento no Tempo  s Re 2 s +1   s Im 2 s +1  Teorema 2 (Teorema do deslocamento no tempo) Se uma função g(t) é deslocada no tempo de forma que o instante inicial (t = 0) se torne τ, isso é, g(t − τ), então a sua Transformada de Laplace se tornará L {g(t − τ)} = e−s τ L {g(t)} = e−s τ G(s) desde que g(t) = 0 no intervalo (−τ, 0) (ou (0, −τ) se τ for negativo). 2 3 2 1 1 0 0 −1 D EMONSTRAÇÃO. Por definição, −1 −2 2 −3 1 −2 ω −2 −2 0 −1 0 1 1 (a) σ 0 2 −2 (b) ∠ L {g(t − τ)} = −1 1 s s2 + 1 2 0 −1 −1 ω σ 2 −2 g(t − τ) e−st dt = L {g(t − τ)} = L {g(λ)} = s s2 + 1 − π2 − 3π 4 −π 2 − 3π 2 2 1 −2 ω − 7π 4 −2π −2 0 −1 0 1 σ 1 ω 0 −1 1 2 −2 (d) σ τ 2 −2 g(t) Figura 1.6: Gráfico da Transformada de Laplace de cost: (a) parte real, (b) parte imaginária, (c) módulo, (d) fase (em radianos) s de 2 s +1 ∞ −τ g(λ) u(λ + τ) e−s(λ+τ) dλ . τ 1 t t τ g(t − τ) u(t) g(t − τ) u(t − τ) t t Dividindo o intervalo de integração, tem-se:  pólos Re(s)  Z ∞ Z 0    L {g(t − τ)} = e−s τ  g(λ) u(λ) e−s λ dλ + g(λ) u(λ) e−s λ dλ = e−s τ L {g(t)} .  −τ  0 {z } | | {z } =L {g(t)} =0 já que u(λ)=0 Figura 1.7: Gráfico mostrando os pólos e zeros da transformada de cost Está disponível gratuitamente na internet o software ft3d no endereço http://www.ft3d.cjb.net/. Esse software foi desenvolvido na Universidade Federal Tecnológica do Paraná - UTFPR (antigo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná - CEFET-PR) pelo aluno de mestrado Felipe Marcon para plotagem de gráficos de funções de transferências13. Ele roda em Windows e pode ser usado para plotar grande parte das Transformadas de Laplace das funções em que se tem interesse prático. Infelizmente ele só plota o módulo da função em 3D, mas tem a vantagem de gerar um gráfico renderizado de alta qualidade e plotar os pólos e zeros bem como a resposta em freqüência. Há também a possibilidade de se usar o gnuplot para A condição do teorema 2 merece um comentário. Se g(t − τ) u(t) = g(t − τ) u(t − τ) significa que g(t) é nula no intervalo (−τ, 0) ou (0, −τ) caso τ seja negativo (logo −τ é positivo). Na Figura 1.9, pode-se ver dois caso nos quais a função g(t) não é nula neste intervalo e, portanto o teorema 2 não é aplicável; a área que aparece hachurada na Figura 1.9-a e b vai alterar o valor da integral. Ainda, se τ > 0 diz-se que a função g(t − τ) está atrasada em relação à g(t) e que a função g(t + τ) está adiantada porque ocorrem depois e antes de g(t), respectivamente. Se τ < 0 a função g(t − τ) está adiantada em relação à g(t) pois isso é igual à g(t + τ) com τ > 0. Exemplo 5: seja h(t) = cos(ωt − ϕ) u(t − a Transformada de Laplace de h(t) é ϕ Função de transferência é a Transformada de Laplace da resposta ao impulso de um sistema quando a energia inicial do sistema é nula. Também pode ser entendida como sendo a relação entre a a Transformada de Laplace da saída e da entrada de um sistema linear e invariante no tempo. 9 ϕ ) é uma função co-seno nula se t < ϕ/ω e deslocada para o instante inicial t0 = ϕ/ω, ω L {h(t)} = L {cos(ωt − ϕ)} = e−s ω L {cos(ωt)} = 13 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. t τ u(t − τ) u(t) t −τ t τ Figura 1.8: Nulidade de g(t) no intervalo (−τ, 0) implica que g(t − τ) u(t) = g(t − τ) u(t − τ) Im(s) zero g(t − τ) 1 A Figura 1.7 traz uma representação alternativa: ao invés de desenhar um gráfico complicado e trabalhoso, representa-se apenas os pólos e zeros da função. A interpretação da fase é quase impossível de ser feita, porém, a interpretação do módulo é direta: a função tende a infinito (picos) nos pólos (marcados com ×) e tende a zero, ou seja, tende ao plano σωnos zeros (marcados com ◦). A interpretação cabe a quem está lendo o gráfico; pode-se imaginar o que ocorre com a função nas proximidades dos pólos e zeros. 9 de setembro de 2006 g(t − τ) u(t) e−st dt . 2 0 −1 −1 (c) 0 g(t − τ) − 5π 4 1 Z ∞ Se g(t) = 0 no intervalo (−τ, 0) (ou (0, −τ) se τ for negativo), pode-se dizer que g(t − τ) u(t) = g(t − τ) u(t − τ). Esta igualdade é ilustrada na Figura 1.8 para τ > 0. Pode-se mostrar que o mesmo é verdade para τ < 0. Realizando a mudança de variável, esta igualdade também significa que g(λ) u(λ + τ) = g(λ) u(λ). − π4 3 0 já que a integral é calculada de zero à infinito, multiplicar o integrando por u(t) não altera o valor da integral. Mudando a variável t = λ + τ, tem-se: Z 0 4 Z ∞ 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. ϕ s e−s ω . s2 + ω2 10 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná g(t) g(t) g(t) t τ τ (a) Se o sistema for invariante no tempo a resposta ao impulso será G{δ(t − τ)} = g(t − τ), ou seja, uma entrada de impulso deslocada no tempo de um valor τ gera uma saída de resposta ao impulso deslocada do mesmo valor de tempo. Lembrado que, pela definição do impulso: Z t t τ g(t) = G{δ(t)} . g(t − τ) g(t + τ) t O Teorema da Convolução é fundamental para a análise de sistemas. Um sistema linear e invariante no tempo pode ser representado por um sinal chamado de resposta ao impulso. A resposta ao impulso de um sistema G é uma função do tempo g(t) que é o sinal de saída do sistema quando é aplicado um impulso unitário (ou delta de Dirac) na entrada do sistema que está em repouso (com energia inicial nula). A Transformada de Laplace de g(t) é chamada de função de transferência. Assim: t t g(t − τ) Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná +∞ x(t) = (b) (c) y(t) = G{x(t)}  Z +∞ x(τ) δ(t − τ) dτ . = G −∞ 1.2.6 Convolução Se o sistema for linear, a integral do sinal de entrada produzirá a integral do sinal de saída. Ou seja, um sinal integrado é aplicado à entrada é equivalente a aplicar o sinal ao sistema e integrar a saída. Considerando x(τ) dτ o peso do sinal δ(t − τ), tem-se: Z Teorema 3 (Teorema da Convolução) +∞ A Transformada de Laplace da convolução14 de duas funções no tempo é o produto das Transformadas de Laplace das duas funções, ou seja, se L {g(t)} = G(s) e L {h(t)} = H(s) então L {g(t) ∗ h(t)} = L {g(t)}L {h(t)} = G(s) H(s) se g(t) = 0 para t < 0 e h(t) = 0 para t < 0. y(t) = g(t) ∗ h(t) = Z +∞ −∞ g(λ) h(t − λ) dλ = Z +∞ −∞ y(t) = h(λ) g(t − λ) dλ . = Z ∞ Z0 ∞ 0 g(t) ∗ h(t) e−st dt g(t) ∗ h(t) u(t) e−st dt = Z ∞ Z +∞ = Z ∞ Z +∞ = Z ∞ Z +∞ = Z +∞ Z ∞ = Z +∞ −∞ 0 0 −∞ 0 −∞ −∞ −∞ h(λ) g(t − λ) dλ u(t) e−st dt +∞ −∞ h(λ) e−sλ g(t − λ) u(t) e−s(t−λ) dλ dt h(λ) e−sλ g(t − λ) u(t) e−s(t−λ) dt dλ Z ∞  h(λ) e−sλ g(t − λ) u(t) e−s(t−λ) dt dλ . ∞ g(t − λ) u(t − λ) e−s(t−λ) dt dλ . Pode-se, então, substituir t − λ por ξ e dt por dξ já que λ é constante para a integral mais interna o que leva à  Z ∞ Z +∞ L {g(t) ∗ h(t)} = h(λ) e−sλ g(ξ) u(ξ) e−sξ dξ dλ −∞ L {g(t) ∗ h(t)} = = 0 Z ∞ 0 h(λ) e−sλ ∞ 0 Z ∞ 0 Lembrando que Y (s) é um número complexo, é fácil determinar o seu gráfico levando em conta que o produto de dois números complexos é o produto dos módulos e a soma das fases como ilustrado na Figura 1.10. Se uma função g(t) é multiplicada por um fator eat , então a Transformada de Laplace do produto será L {g(t) eat } = G(s − a) onde G(s) = L {g(t)}.  g(ξ) u(ξ) e−sξ dξ dλ g(ξ) u(ξ) e−sξ dξ  π √ y(t) = 3e−t + 3 sent − 3 cost = 3e−t + 3 2 sen t − 4 e que foi obtida expandindo o produto X(s) G(s) em frações parciais e procurando cada termo na Tabela 1.1. Na Seção 1.3 este procedimento é sistematizado. Teorema 4 (Teorema dual do deslocamento no tempo) Como h(t) = 0 para t < 0, tem-se: Z D EMONSTRAÇÃO. Por definição, h(λ) e−sλ dλ Z  L g(t) eat = 0 = L {g(t)} L {h(t)} Substituindo s − a = ξ tem-se: = G(s) H(s) . o dicionário Housaiss, convolução: ato ou efeito de enrolar(-se) para dentro. Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc.   1 s 1 3s =3 + − (s2 + 1)(s + 1) s + 1 s2 + 1 s2 + 1 1.2.7 Multiplicação por eat 0 Z +∞ x(τ) g(t − τ) dτ = x(t) ∗ g(t) que é a transforma de 0 0 −∞ Y (s) = X(s) G(s) = 0 h(λ) e−sλ Z +∞ 3 Exemplo 6: suponha que a transformada da resposta ao impulso do sistema G seja G(s) = s+1 . Neste sistema é aplicando um s sinal x(t) = cost que tem por transformada X(s) = s2 +1 . A transformada do sinal de saída será: h(λ) g(t − λ) u(t) e−st e−s(λ−λ) dλ dt Dizer que g(t) = 0 se t < 0 é o mesmo que g(t − λ) u(t) = g(t − λ) u(t − λ) para λ arbitrariamente grande (ver Figura 1.8 com τ = λ → ∞). Assim:  Z Z L {g(t) ∗ h(t)} = x(τ) G {δ(t − τ)} dτ . que é uma integral de convolução. Assim, a resposta de um sistema linear e invariante no tempo pode ser conhecida para qualquer sinal se for conhecida a resposta ao impulso. Usando a Transformada de Laplace, pode-se calcular a transformada da resposta Y (s) se for conhecida a transformada da entrada X(s) e a transformada da resposta ao impulso G(s) do sistema. Pode-se, então, aplicar a transformada inversa (ver Seção 1.3) para calcular y(t) sem que haja a necessidade de calcular uma integral de convolução. A grande vantagem é que a transformada da resposta ao impulso G(s) do sistema, que caracteriza completamente um sistema linear e invariante no tempo, pode ser obtida sem a necessidade da obtenção da resposta ao impulso no tempo e sem a necessidade da aplicação da Transforma de Laplace. Em outras palavras, um sistema pode ser modelado diretamente em s. Por definição, a Transformada de Laplace da convolução vale: L {g(t) ∗ h(t)} = −∞ Se o sistema for invariante no tempo: D EMONSTRAÇÃO . A convolução de duas funções no tempo denotada por g(t) ∗ h(t) é definida como: 9 de setembro de 2006 x(τ) δ(t − τ) dτ e supondo que a aplicação do sinal x(t) ao sistema G produz o sinal de saída y(t), tem-se: Figura 1.9: Deslocamento no tempo: (a) atraso no tempo, não é possível aplicar o teorema 2; (b) adiantamento no tempo, não é possível aplicar o teorema 2; (c) atraso no tempo, é possível aplicar o teorema 2. 14 Segunda −∞ ∞ g(t) eat e−st dt =  Z L g(t) eat = 0 11 9 de setembro de 2006 ∞ Z ∞ 0 g(t) e−(s−a)t dt . g(t) e−ξt dt Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 12 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná X(s) 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 × −2 −1 σ 0 0 −1 1 −2 −3 2 = −2 −1 σ 0 0 −1 −3 2 + −2 −1 1 σ 0 0 −1 1 −2 −3 2 σ 0 0 −1 1 −2 −3 2 ω cosht < et , 0 = −2 −1 1 σ 0 0 −1 −π 4 −π 2 − 3π 4 −π − 5π 4 − 3π 2 − 7π 4 −2π −2 −2 ω −3 2 σ 0 0 −1 1 −2 ω −3 2 ω Figura 1.10: Uso do Teorema de Convolução para determinar o gráfico de transformada do sinal de saída de um sistema que é exatamente igual à Transformada de Laplace com ξ no lugar de s, assim:  Z L g(t) eat = ∞ 0 g(t) e−ξt dt = G(ξ) = G(s − a) . Ou seja, quando a função g(t)é multiplicada por eat a transformada L {g(t) eat } é igual a transformada de g(t), isso é, G(s) = L {g(t)} trocando s por s − a. Este teorema é de importância fundamental para o cálculo da Transforma Inversa de Laplace. Ele também é conhecido como propriedade do amortecimento porque mostra que, se a função g(t) for amortecida por um fator exponencial e−at com a > 0, a transformada desta função será deslocada para esquerda de a unidades. Exemplo 7: calcule a transformada de g(t) = t cosh ωt. Lembrando que cosh x = g(t) = t cosh ωt = ex + e−x 2 1 2 (s − ω) 2 + 1 2 (s + ω) Exemplo 8: calcule a transformada inversa de G(s) = 2 s2 + 2sω + ω2 + s2 − 2sω + ω2 2 ((s − ω) (s + ω)) 2 1.2.9 Exercícios 1. Determinar as Transformadas de Laplace das seguintes funções.
t t ωt t e + e−ωt = eωt + e−ωt . 2 2 2 = Se a Transformada de Laplace de uma função existe, ela é única. Reciprocamente, pode-se mostrar que se duas funções (ambas definidas no semi-eixo real positivo) têm a mesma transformada, tais funções não podem diferir entre si em um intervalo de comprimento positivo (embora possam ser diferentes em vários pontos isolados). Como isto não tem importância nas aplicações, pode-se dizer que a inversa de uma transformada é essencialmente única. Em particular, se duas funções contínuas têm a mesma Transformada de Laplace, elas são completamente idênticas. Este fato é realmente importante na prática. Por quê? (Recorde a introdução ao capítulo). , tem-se: Pelo teorema 4 e 1 é fácil perceber que se deve calcular a transformada de t/2, que vale e s + ω para cada um dos termos respectivamente. Assim: L {g(t)} = (a) t + 2 1 , 2s2 = e então substituir s por s − ω s2 + ω2 2 (s2 − ω2 ) (m) sen2 4t,17 (b) at + b (f) 2 cosh 4t (j) sen(ωt + θ) (c) a + bt + ct 2 (g) cos2 t, 15 (d) 4t 3 + t 2 (h) e−at+b (k) sen(ωt − θ) u(t − θ/ω) . (l) cosh2 3t, 16 g(t) g(t) k 1 1 2 (p) (n) e−7t cosh 2t (o) e−7t cos 2t g(t) 1 t t t S S 2 + ω2 1 1 2 (q) 2 (r) 2. Mostre que: que, pela Tabela 1.1, corresponde a transformada de cos ωt. Contudo, pelo teorema 4, deve-se multiplicar a transformada inversa obtida da tabela por eat onde a = α. Logo, a transformada inversa procurada vale: g(t) = L −1 {G(s)} = eαt cosωt (i) e−at sen ωt (e) a cos 2t s−α . Substituindo s − α por S, tem-se que (s − α)2 + ω2 G(s) = para qualquer t > 0 , onde t0 é um número suficientemente grande que depende de M e γ. √ Note que as condições do Teorema 5 são suficientes ao invés de necessárias. Por exemplo, a função 1/ t é infinita para t = 0 (contrariando as condições √ do Teorema 5), mas sua Transformada de Laplace existe. De fato, de acordo com a definição e tendo em vista que Γ(1/2) = π, obtém-se   r Z ∞ Z ∞ π 1 1 1 1 = . L { √ } = L {t −1/2 } = e−st t −1/2 dt = √ e−x x−1/2 dx = √ Γ s 0 s 2 s t 0 −1 1 1 t n < n!et (n = 0, 1, ...) e qualquer função limitada em valor absoluto para todo t ≥ 0, tal como um seno ou um co-seno de uma variável real. Exemplo 2 de função que não satisfaz a uma relação da forma (1.8) é a função et , porque, por maiores que sejam escolhidos os números M e γ em (1.8) 2 para qualquer t > t0 , et > Meγt ∠Y (s) 0 −π 4 −π 2 − 3π 4 −π − 5π 4 − 3π 2 − 7π 4 −2π Isto completa a demonstração. As condições do Teorema 5 são suficientes para a maioria das aplicações, e é simples determinar se uma função satisfaz ou não a uma desigualdade da forma (1.8). Por exemplo, satisfazem a condição (1.8) −2 −1 ω ∠G(s) 0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 −2 ω ∠X (s) −π 4 −π 2 − 3π 4 −π − 5π 4 − 3π 2 − 7π 4 −2π |Y (s)| |G(s)| 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 D EMONSTRAÇÃO. Como g(t) é contínua em intervalos, e−st g(t) é integrável sobre qualquer intervalo finito sobre o eixo t e de (1.8), Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ M |L { f }| = (Re(s) > Re(γ)) e−st g(t) dt ≤ e−st |g(t)| dt ≤ e−st Meγt dt = M e−(s−γ)t dt = s−γ 0 0 0 0 Y (s) G(s) |X (s)| Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná t ≥ 0.  (a) L t eat = 1  (c) L eat cos ωt = (s − a)2  n at n! (b) L t e = (s − a)n+1  (d) L eat sen ωt = s−a (s − a)2 + ω2 ω (s − a)2 + ω2 3. Exprimindo as funções hiperbólicas em termos de funções exponenciais e aplicando o Teorema 4 mostrar que: 1.2.8 Existência das Transformadas de Laplace Teorema 5. (Teorema da Existência das Transformadas de Laplace) Seja g(t) uma função que é contínua em m intervalos sobre qualquer intervalo finito em t ≥ 0 e satisfaz à |g(t)| ≤ Meγt para qualquer t ≥ 0 e j x + e− j x . use a forma exponencial complexa da função co-seno; cos x = 2 x −x e + e 16 . Dica: use a definição do co-seno hiperbólico; cosh x = 2 jx −jx 17 Dica: use a forma exponencial complexa da função seno; sen x = e − e . 2j 15 Dica: (1.8) e para certas constantes γ e M. Então, a Transformada de Laplace existe para todo Re(s) > Re(γ). 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 13 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 14 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná s3 s4 + 4a4
a s2 − 2a2 (b) L {senh at cos at} = 4 s + 4a4 a s2 + 2a2 s4 + 4a4 2a2 s (d) L {senh at sen at} = 4 s + 4a4 (a) L {cosh at cos at} = (c) L {cosh at sen at} = Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Analogamente, L {g′′′ (t)} = s3 L {g(t)} − s2g(0) − sg′(0) − g′′(0) Teorema 7 (Derivada de Ordem n Qualquer) 4. Determinar g(t) usando a Tabela 1.1 e as propriedades vistas até agora se L {g(t)} vale: (T no exercício 4g é constante). 1 (a) 2 s +9 3 (b) s+π a1 a2 a3 + 2+ 3 (c) s s s 2s + 1 (d) 2 s +4 4(s + 1) (e) 2 s − 16 2 1 (f) + s s+2 2nπT (g) 2 2 T s + (2nπ)2 s (h) 2 s + n2 π2 1 (i) (s + 1)(s + 2) 3 (j) 2 s + 3s (k) Sejam g(t) e suas derivadas g′ (t), g′′ (t),... , g(n−1) (t) funções contínuas para t ≥ 0, que satisfazem (1.8), para certos valores de γ e de M, e seja a derivada g(n) (t) parcialmente contínuas sobre qualquer intervalo finito na faixa t ≥ 0. Então, a Transformada de Laplace de g(n) (t) existe quando s > γ e é dada pela fórmula 3 −5/2 s 4 L {g(n)(t)} = sn L g(t)} − sn−1g(0) − sn−2g(0) − ... − g(n−1)(0) . −3/2 (l) s (1.12) Exemplo 9: seja g(t) = t 2 . Determinar L {g(t)}. Tem-se que g(0) = 0, g′ (t) = 2t, g′ (0) = 0, g′′ (t) = 2 e L {2} = 2L {1} = 2/s. De (1.10) vem 2 2 L {g′′ (t)} = L {2} = s2 L {g(t)} ou L {t 2 } = 3 . s s 5. Obter a fórmula 8 da Tabela 1.1 a partir da fórmula 2 usando o Teorema 4. 6. Obter a fórmula 12 da Tabela 1.1 a partir da fórmula 8. Exemplo 10: seja g(t) = sen2 t. Determinar L {g}. Tem-se que g(0) = 0. 7. Obter a fórmula 8, Tabela 1.1, a partir das fórmulas 11 e 12. g′ (t) = 2 sent cost = sen 2t 8. Deduzir, mediante integração por partes, as fórmulas 9 e 10 da Tabela 1.1. 9. Tendo em vista que cosh x = cos( j x) e senh x = − j sen( j x), j2 = −1, obter as fórmulas 11 e 12 da Tabela 1.1 a partir das fórmulas 8, 9 e 10. 10. Tendo em vista que cos x = cosh( j x) e sen x = − j senh( j x), j2 = −1, obter as fórmulas 9 e 10 da Tabela 1.1 a partir das fórmulas 11 e 12. e (1.9) nos dá L {sen 2t} = 2 = sL {g(t)} s2 + 4 ou L {sen2 t} = g′ (t) = sen ωt + ωt cos ωt , Provavelmente, a propriedade mais importante da Transformada de Laplace é a linearidade (Teorema 1 na seção anterior). A seguir, em ordem de importância, vem o fato de que, em termos rudimentares, a derivada de uma função g(t) corresponde simplesmente à multiplicação por s da transformada G(s). Isto permite a substituição das operações de cálculo por simples operações algébricas nas transformadas. Além disso, como a integração é a operação inversa da derivação, é de supor que ela corresponda à divisão da transformada por s. Este é realmente o caso. Assim, esta Seção cobre o seguinte: o Teorema 6 se refere à derivação de g(t), o Teorema 7 se refere à extensão às derivadas de ordem mais elevada e o Teorema 8 se refere à integração de g(t). São incluídos exemplos bem como uma primeira aplicação a uma equação diferencial. Teorema 6 (Derivada de g(t)) 2 . s(s2 + 4) Exemplo 11: seja g(t) = t sen ωt. Determinar L {g(t)}. Tem-se que g(0) = 0, 1.2.10 Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais g′ (0) = 0 , 2 g (t) = 2ω cos ωt − ω t|sen {zωt} = 2ω cosωt − ω g(t) , ′′ 2 g(t) de modo que, por (1.10) L {g′′ (t)} = 2ωL {cosωt} − ω2L {g(t)} = s2 L {g(t)} Empregando a fórmula para a Transformada de Laplace de cos ωt, obtém-se: (s2 + ω2 )L {g(t)} = 2ωL {cos ωt} = 2ωs s2 + ω2 Conseqüentemente, o resultado é L {t sen ωt} = Suponha que g(t) seja contínua para t ≥ 0, satisfaça (1.8) para determinados γ e M, e possua uma derivada g′ (t) parcialmente contínua sobre qualquer intervalo finito situado em t ≥ 0. Então a Transformada de Laplace da derivada g′ (t) existe, quando s > γ e ′ L {g (t)} = sL {g(t)} − g(0) (s > γ) . L {g′ (t)} = Z ∞ 0 Z  ∞ e−st g′ (t) dt = e−st g(t) 0 + s 0 ∞ Resolver o problema de valor inicial (1.9) y′′ + 4y′ + 3y = 0 , L {y′ (t)} L {y′′ (t)} = sL {g′ (t)} − g′(0) Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. = sY − y(0) = sY − 3 = s2Y − sy(0) − y′(0) = s2Y − 3s − 1 . Levando na Transformada de Laplace da equação diferencial dada, obtém-se: Quando g′ (t) é parcialmente contínua, a demonstração é bem semelhante; neste caso, o intervalo de integração da integral original deve ser dividido em intervalos parciais tais que g′ (t) seja contínua em cada um deles. Observação: este teorema pode ser estendido a funções parcialmente contínuas g(t), mas em lugar de (1.9) obtém-se a fórmula (1.18) do Problema 8 no fim da presente Seção. Aplicando (1.9) à derivada de segunda ordem g′′ (t), obtém-se: = s [sL {g(t)} − g(0)]− g′(0) = s2 L {g(t)} − s g(0) − g′(0) y′ (0) = 1 . y(0) = 3 , Seja Y (s) = L {y(t)}, a Transformada de Laplace da solução y(t) (desconhecida). Então, pelos Teoremas 6 e 7 e as condições iniciais, e−st g(t) dt Como satisfaz (1.8), a parte integrada no último membro é nula no limite superior, quando s > γ, e se reduz a −g(0) no limite inferior. A última é simplesmente L {g(t)}, sua existência para s > γ sendo uma conseqüência do Teorema 5. Assim, fica demonstrado que a expressão à direita existe quando s > γ e igual a −g(0) + sL {g(t)}. Em conseqüência L {g′ (t)} existe quando s > γ, e (1.9) é verificada. L {g′′ (t)} 2ωs . (s2 + ω2 )2 Exemplo 12: uma equação diferencial D EMONSTRAÇÃO. Considere em primeiro lugar o caso em que g′ (t) é contínua para t ≥ 0. Então, de acordo com a definição e mediante uma integração por partes: 9 de setembro de 2006 (1.11) etc. Por indução, obtém-se então a seguinte extensão do Teorema 6. s2Y − 3s − 1 + 4 (sY − 3) + 3Y s2Y + 4sY + 3Y = 0 = 3s + 13 . A equação da transformada Y (s) da função y(t) desconhecida é chamada equação subsidiária da equação diferencial dada. Em nosso exemplo, ela pode ser escrita (s + 3)(s + 1)Y = 3s + 13 . Resolvendo algebricamente em relação a Y e usando frações parciais, obtém-se: Y= (1.10) 15 9 de setembro de 2006 −2 5 3s + 13 = + . (s + 3)(s + 1) s + 3 s + 1 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 16 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Mas na Tabela 1.1 vê-se que −1 L  1 s+3  =e −3t , L −1  1 s+1  1 L {h(t)} = L {g(t)} = L { s −t =e . y(t) = −2e −t + 5e . No processo acima foi admitido que a solução y(t) desconhecida tenha uma transformada Y (s) e os Teoremas 6 e 7 sejam aplicáveis. Uma vez achada a solução, estas hipóteses devem ser justificadas. Na pratica, é mais simples e mais natural verificar por substituição de y(t) satisfaz a equação dada e as condições iniciais. Este é o caso. O processo é resumido na Figura 1.11. A fórmula (1.13) é acompanhada de uma fórmula útil, que se obtém escrevendo L {g(t)} = G(s), trocando os dois membros e considerando a transformada inversa dos dois lados. Assim,   Zt 1 L −1 G(s) = g(τ) dτ . (1.14) s 0 Exemplo 13: seja L {g(t)} = 1 . s2 (s2 +ω2 ) Achar g(t). Da Tabela 1.1, obtém-se: L −1 espaço t g(τ) dτ} 0 Isto completa a demonstração. Usando a linearidade (Teorema 1), vê-se que a solução de nosso problema é: −3t Z t espaço s  1 s2 + ω2  = 1 sen ωt . ω Daí e do Teorema 8, decorre que Problema dado Equação subsidiária y′′ + 4y′ + 3y = 0 L −1 L y(0) = 3 Aplicando o Teorema 8 mais uma vez, obtém-se a resposta desejada.    Z 1 t 1 1 1  sen ωt  = 2 (1 − cosωτ) dτ = 2 t − . L −1 2 s s2 + ω2 ω 0 ω ω s2Y + 4sY + 3Y = 3s + 13 y′ (0) = 1 Solução do problema dado L −1 1.2.11 Valor Inicial e Final de uma Função no Tempo Solução da equação subsidiária y(t) = −2e−3t + 5e−t Y=    Z 1 t 1 1 1 = sen ωτ dτ = 2 (1 − cosωt) . s s2 + ω2 ω 0 ω Dada uma função do tempo g(t), denomina-se de valor inicial o valor que esta função tem quando t = 0, ou seja, g(0). Da mesma forma, denomina-se de valor final o valor de g(t) quando o tempo tende a infinito, ou seja, limt→∞ g(t). Estes dois valores, particularmente o valor final, são muito importantes na análise de sistemas. Se a Transformada de Laplace de g(t) for conhecida, é possível calcular os valores inicial e final sem o conhecimento da função no tempo. Isso é muito útil na análise de sistema porque permite determinar o valor de regime (valor final) de um sistema para um dado sinal de entrada sem a necessidade de conhecer a resposta do sistema no tempo o que poupa muito trabalho. Também é possível determinar o ganho de um sistema que é o valor final se a entrada do sistema for um degrau unitário. 5 −2 + s+3 s+1 Figura 1.11: Solução de equações diferenciais usando Transformada de Laplace A presente seção é concluída com a integração de g(t), a operação inversa da derivação; espera-se que ela corresponda à divisão da transformada por s, uma vez que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Teorema 9 (Valor inicial) Se g(t) é uma função sem descontinuidade na origem, o valor de g(t) para t = 0 é dado por: Teorema 8 (Integração de g(t)) g(0) = lim s G(s) s→∞ Se g(t) é parcialmente contínua e satisfaz a condição (1.8), então onde G(s) é a Transformada de Laplace de g(t). L Z t 0  1 g(τ) dτ = L {g(t)} s (s > 0 , s > γ) D EMONSTRAÇÃO: usando o teorema 6 e a definição da Transformada de Laplace, tem-se que (1.13) D EMONSTRAÇÃO . Suponha que g(t) seja parcialmente contínua e satisfaça a condição (1.8), para determinados γ e M. Evidentemente, se (1.8) se verifica para um dado γ negativo, também se verifica para γ positivo, de modo que pode-se supor γ positivo. Então, a integral h(t) = Z t Z ∞ 0 g(τ) dτ lim é contínua e, empregando (1.8), obtém-se, |h(t)| ≤ 0 |g(τ)| dτ ≤ M 0 M eγτ dτ = (eγt − 1) γ que tende a zero porque (γ > 0)  L {g(t)} = L h′ (t) = sL {h(t)} − h(0) e−st sL {g(t)} − g(0) . s→∞ s→∞ tende a zero quando s → ∞ e a integral de zero é zero, logo g(0) = 0 lim sL {g(t)} = lim s G(s) . s→∞ s→∞ Interessante observar que, se a função g(t) não for contínua em t = 0, este teorema fornece o limite à direita, isso é (Re(s) > Re(γ)) lim g(t) = lim s G(s) . t→0+ s→∞ Teorema 10 (Valor final) de 0 até 0 de uma função, se existir, é sempre 0. Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. sL {g(t)} − g(0) = g′ (t) e−st dt = lim (sL {g(t)} − g(0)) = lim sL {g(t)} − g(0) lim sL {g(t)} − g(0) = Evidentemente, h(0) = 018 e, portanto, 9 de setembro de 2006 g (t) e−st dt s→∞ Além disso, h′ (t) = g(t), exceto nos pontos em que g(t) é descontínua. Assim, h′ (t) é parcialmente contínua sobre qualquer intervalo finito e, de acordo com o Teorema 6. 18 Integral Z ∞ s→∞ 0 Z t L {g′ (t)} = Tomando o limite da expressão acima quando s → ∞, tem-se 0 Z t ′ 17 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 18 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná O valor final de g(t) é dado por: Exemplo 17: determinar o ganho de um sistema cuja transformada da resposta ao impulso vale: lim g(t) = lim s G(s) t→∞ G(s) = onde G(s) é a Transformada de Laplace de g(t). D EMONSTRAÇÃO: usando o teorema 6 e a definição da Transformada de Laplace, tem-se que Z ∞ 0 L {g′ (t)} = g′ (t) e−st dt = onde ωn e ξ são constantes19 . Aplicando o limite acima sL {g(t)} − g(0) sL {g(t)} − g(0) . lim Z ∞ s→0 s→0 Z ∞ s→0 0 g′ (t) e−st dt = Z ∞ 0 Se uma função g(t) é multiplicada por um fator t, então a Transformada de Laplace do produto será L {t g(t)} = − i∞ g′ (t) dt = g(t) = lim g(t) − g(0) = lim sL {g(t)} − g(0) . 0 t→∞ onde G(s) = L {g(t)}. s→0 Exemplo 14: determinar o valor inicial g(0) sabendo que − s . G(s) = 2 s + ω2 s→∞ s2 + ω2 s→∞ dG(s) d =− ds ds Z ∞ 0 g(t) e−st dt = − = 1. g(t) 0 de−st dt = − ds L {g(t)} = G(s) = Este resultado também poderia ser obtido se fosse observado que g(t) = cos ωt (veja fórmula 1.6 na tabela 1.1). L {t sen ωt} = L {t g(t)} = − 1 . s s = 1. s→∞ s Exemplo 19: calcule a Transformada Inversa de Laplace de G(s) = ln lim u(t) = lim sU(s) = lim s→∞ Note que, por definição, limt→0− u(t) = 0. Em outras palavras, u(t) não tem um valor inicial simples porque a função é descontínua em t = 0. São então definidos dois valores iniciais: um à esquerda de zero e outro à direita. Neste caso, o teorema 9 só calcula o valor inicial à direita. 2 Calculando a transformada inversa de s . s2 + ω2 L −1 Aplicando diretamente o teorema 10, tem-se: lim g(t) = lim s G(s) = lim t→∞ s→0 s2 s→0 s2 + ω2 Na Seção 1.2.6 foi estabelecido que o sinal de saída de um sistema linear e invariante no tempo pode ser calculado conhecendo-se o sinal de entrada e a resposta (sinal de saída) do sistema ao impulso. A resposta ao impulso caracteriza complemente os sistemas lineares e invariantes no tempo. A determinação da saída envolve o cálculo de uma integral de convolução ou, pela aplicação do teorema 3, da Transformada de Laplace (direta e inversa). Assim, é possível determinar a transformada Y (s) do sinal de saída, conhecendo-se a transformada X(s) do sinal de entrada e a transformada G(s) da resposta ao impulso por: Y (s) = G(s) X(s) . O ganho de um sistema linear e invariante no tempo é definido como valor final da saída quando a entrada é um degrau unitário. Lembrando que a transformada do degrau unitário vale 1/s (que será usado como sinal de entrada, ou seja, X(s) = 1/s) e usando a letra k para denotar o ganho, pode-se calcular o ganho k por: dG(s) ds dG(s) ds = s2 + ω2 . Derivando G(s) em relação à s, tem-se: s2 s2 2s−(s2 +ω2 ) 2s s4 s2 +ω2 s2 = −2ω2 −2 2s = + 2 . s (s2 + ω2 ) s s + ω2 através da Tabela 1.1, tem-se:  = L −1 g(t) = L −1 {G(s)}  2s −2 + 2 s s + ω2  = −2 u(t) + 2 cosωt Este valor é fundamental para estabelecer o comportamento de um sistema em regime permanente, ou seja, um certo tempo após receber uma perturbação. Este espaço de tempo deve ser suficientemente grande para o sistema se estabilizar (entrar em regime). Sistemas de controle tendem a ter um ganho unitário para anular o chamado erro em regime permanente. 19 dG(s) ds   dG(s) = −2 u(t) + 2 cosωt ds u(t) − cosωt . = 2 t O Teorema 11 é considerado dual do Teorema 6 porque a derivação no tempo implica em multiplicar por s, já a derivação em s implica em multiplicar por t. Da mesma forma o Teorema 6, o Teorema 11 também podem ser generalizado para derivadas múltiplas e para o caso da integral (divisão por t). Teorema 12 (Teorema Dual da Derivada de Ordem n) Se uma função g(t) é multiplicada por um fator t n , então a Transformada de Laplace do produto será L {t n g(t)} = n (−1)n d dsG(s) onde G(s) = L {g(t)}. n s→0 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. ω . s2 + ω2 −t g(t) = L −1 k = lim sY (s) = lim s G(s) X(s) = lim G(s) . 9 de setembro de 2006  2 2 d s +ω s2 ds s2 +ω2 s2 −L {t g(t)} = s→0 g(t) (−t) e−st dt = L {t g(t)} . que, pelo Teorema 11 e pela propriedade de unicidade da transformada, leva à: = 0. Ganho de um Sistema Linear e Invariante no Tempo s→0 2 d ln s +ω dG(s) s2 = = ds ds Exemplo 16: determinar o valor final de g(t) sabendo que G(s) = 0
d 2ω 2 s2 + ω2 0 − ω (2s) dG(s) 2ωs = − s +ω = − = . 2 2 ds ds (s2 + ω2 ) (s2 + ω2) Aplicando diretamente o teorema 9, tem-se t→0+ Z ∞ Pelo Teorema 11: Exemplo 15: determinar o valor inicial de u(t) que é descontínua em t = 0. A transformada de u(t) é dada por: L {u(t)} = Z ∞ Exemplo 18: no exemplo 11 foi usado uma equação diferencial para calcular a Transformada de Laplace de t sen ωt. Usando o Teorema 11 o mesmo resultado pode ser encontrado mais facilmente. Definindo g(t) = sen ωt, tem-se que Aplicando diretamente o teorema 9, tem-se g(0) = lim s G(s) = lim dG(s) ds D EMONSTRAÇÃO. Usando definição da Transformada de Laplace, Cancelando g(0) nos dois lados da equação acima o teorema fica provado. s2 ω2n = 1. ω2n Teorema 11 (Teorema Dual da Derivada de g(t)) Contudo, e−st tende a um quando s → 0, assim lim = 1.2.12 Multiplicação e Divisão por t g′ (t) e−st dt = lim (sL {g(t)} − g(0)) = lim sL {g(t)} − g(0) . s→0 ω2n s→0 s2 + 2ξωn s + ω2n k = lim G(s) = lim Tomando o limite da expressão acima quando s → 0, tem-se: s→0 0 ω2n s2 + 2ξωn s + ω2n s→0 D EMONSTRAÇÃO. Trivial usando indução. 19 ω n é chamado de freqüência natural e ξ de fator de amortecimento. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 20 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Exemplo 20: calcule a Transformada de Laplace de t 3 sen ωt. Definindo g(t) = sen ωt, tem-se que Teorema 14 ω L {g(t)} = G(s) = 2 s + ω2 Se o tempo argumento de uma função g(t) é dividido por um a, então a Transformada de Laplace da função g  no
será L g at = a G(a s) onde G(s) = L {g(t)}. e, portanto, dG(s) ds d 2 G(s) ds2 d 3 G(s) ds3
s2 + ω2 0 − ω (2s) = 2 (s2 + ω2 ) d− = 2ωs 2 (s2 +ω2 ) ds 2 3 d 6ωs2 −2ω 3 (s +ω2 ) = ds s2 + ω2 =
D EMONSTRAÇÃO. Por definição: =− 2ωs 2 (s2 + ω2 ) s2 + ω2 =− t a
3
2 ,
2ω − 2 s2 + ω2 2s 2ωs 4 (s2 + ω2 ) 12ωs − 3 s2 + ω2
2 6 (s2 + ω2 ) = 6ωs2 − 2ω3 3 (s2 + ω2 ) 2s 6ωs2 − 2ω3
=− n  t o Z ∞  t  L g = e−st dt . g a a 0 e 24ωs3 − 24ω3s (s2 + ω2 )4 Mudando a variável para x = at , logo t = a x e dt = a dx: n  t o = L g a . = Pelo Teorema 12 com n = 3: Z ∞   t e−st dt g a Z0 ∞ 0 L {t 3 sen ωt} = L {t 3 g(t)} = (−1)3 ωs3 − ω3 s d 3 G(s) = 24 . ds3 (s2 + ω2 )4 g (x) e−sa x a dx = a Z ∞ 0 g (x) e−sa x dx . Substituindo o produto s a por S e comparando com a definição da transformada: n  t o L g a O uso do Teorema 12 torna o cálculo da transformada muito mais simples do que o método apresentado no exemplo 11 que, basicamente, consistem em derivar a equação para obter uma equação diferencial e, então, aplicar o Teorema 7. = a Z ∞ 0 g (x) e−S x dx = a G(S) = a G(a s) . Teorema 13 (Teorema Dual Integração de g(t)) É interessante observar que o Teorema 14 funciona tanto para mudar a escala de tempo como de freqüência porque: g(t) é parcialmente contínua e satisfaz a condição (1.8) e t   Z ∞ g(t) g(t) se lim existe, então a Transformada de Laplace do quociente será L = G(λ) dλ onde G(s) = + t t t→0 s L {g(t)}. Se uma função g(t) é dividida por um fator t, se L −1 {G(a s)} = Exemplo 22: uma fonte de tensão vi (t) alimenta um circuito LC série de forma que, pela Segunda Lei de Kirschhoff, vi (t) = 1 Rt 20 L di(t) dt + C 0 i(t) dt. Determine a relação entre a Transformada de Laplace de tensão vi (t) e da corrente i(t) supondo que i(t = 0) = 0 e sabendo que L = 54 µH e C = 470 pF. Primeiramente, aplica-se a Transformada de Laplace à equação usando os Teoremas 6 e 8 obtendo-se: D EMONSTRAÇÃO. Usando a definição de Transformada de Laplace na integral do teorema:  Z ∞ Z ∞ Z ∞ G(λ) dλ = g(t) e−λt dt dλ s s 0  Z ∞  Z ∞ Z ∞ Z ∞ = g(t) e−λt dλ dt = g(t) e−λt dλ dt 0 s 0 s Z ∞ i∞ h 1 g(t) − e−λt dt s t    Z ∞ n  t o 1 1 e−λt − − e−st g(t) lim −L g dt = a t t λ→∞ 0     Z ∞ Z ∞ g(t) −st 1 g(t) e dt = L . g(t) 0 + e−st dt = = t t t 0 0 = 0 Exemplo 21: calcule a Transformada de Laplace de Pelo Teorema 13, L n sen ωt o t =L   = = g(t) sen ωt = lim = ω. lim t t→0+ t t→0+ Z ∞ ω λ i∞ dλ = arctan 2 2 ω s s λ +ω s π s λ lim arctan − arctan = − arctan ω ω 2 ω λ→∞ = = = 470 10−12 s . 2538 10−17s2 + 1 (1.15) (1.16) onde s é medido em Mrad/s. Se a equação (1.16) for usada para simular o comportamento do sistema usando um software apropriado para simulação como, por exemplo, o Matlab, é fundamental lembrar que escala de tempo está um microsegundo mesmo que o software traga as escalas em segundos. 1 d arctan x = 2 . É importante observar que as condições do Teorema 13 são atendidas: dx x +1 O escalonamento permite mudar a escala de tempo ou de freqüência. É muito conveniente na simulação de processos muito lentos ou muito rápidos. Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. sCVi (s) Vi (s) I(s) 1 1 I(t) C s
s2 LC + 1 I(s) sC s2 LC + 1 L sI(s) + 470 470 10−12 a s 470 s 18 518, 518 518 s Vi (s) −5 s =a = 2538 10 = ≃ 2 I(s) s + 39, 401 103 2538 10−17 (a s)2 + 1 2538 10−5s2 + 1 s2 + 2538110−5 G(λ) dλ 1.2.13 Escalonamento 9 de setembro de 2006 = As constantes que aparecem na equação são muito pequenas porque os eventos no circuito em questão são muito rápidos. Faz mais sentido trabalhar com uma unidade de tempo pequena como, por exemplo, o microsegundo. Se o tempo, que é medido em segundos, for dividido por um milhão (a = 1000 000) a relação acima de torna: s = onde foi usado o fato de que Z ∞ Vi (s) Vi (s) I(s) ω sen ωt . Definindo g(t) = sen ωt, tem-se que L {g(t)} = G(s) = 2 . t s + ω2 g(t) t 1 t  g . a a 21 A principal aplicação do Teorema 14 é mudar o valor das constantes que aparecem em uma função de transferência. Se estas constantes forem muito grandes ou muito pequenas, como no caso das que aparecem na equação (1.15), os software de simulação não conseguirão simular o sistema a contento. Tem-se, então, duas possibilidade: ou o software ficará muito lento porque está simulando um sistema cuja evolução é lenta e, por isso, o resultado da simulação demorará horas para ser encontrado; ou software perderá resolução não revelando detalhes das alterações rápidas nos sinais produzindo, assim, um resultado inexato e sem utilidade. 20 Esta relação entre Transformadas de Laplace é chamada de função de transferência e é muito importante para o estudo de Controle Automático Clássico. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 22 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Integrando um termo da somatória com a mudança de variável λ = t − nT , tem-se 1.2.14 Resumo das Propriedades da Transformada de Laplace # Em t Z (n+1)T Em s nT Linearidade 1 a g(t) + b h(t) a G(s) + b H(s) Convolução Multiplicação 2 g(t) ∗ h(t) = 3 Z +∞ −∞ g(λ) h(t − λ) dλ a G(a s) lim g(t) lim s G(s) 0 g(λ + nT) e−s(λ+nT ) dλ = e−s nT ∞ L {g(t)} = ∑ n=0  Z e−nT s ∞ ∑ eat G(s − a) 7 Deslocamento no tempo Multiplicação por 8 9 g(t − τ) e−τ s Derivação no tempo dg(t) dt Multicação por s Multiplicação por t Derivação em s dG(s) − ds Integração no tempo 10 Z +∞ Divisão por t g(t) t Z T 0 se se π ω < 2π ω π ω Como o período vale T = ≤t 2π ω, g(λ) e−st dt . 0 G(λ) dλ 22 A ∞ série geométrica L {g(t)} = = 0 g(t) e−st dt + = ∑ n=0 nT g(t) e−λt dt
n g(t) e−st dt ∞ = 1 ∑ e−nT s = 1 − e−T s n=0 ∞ ∑
e−nT s = n=0 1 1 − e−T s Z T 0 g(t) e−st dt . T 1 1 − e−T s Z T 0 g(t) e−st dt          Z π/ω  Z 2π/ω   1 −st −st   sen ωt e dt 0 e dt +  . −T s 1−e π/ω | 0 {z } | {z }     0  v = sen ωt    −st du = e dt (1.17) Sn = 1 + x + x2 + ··· + xn−1 que se multiplicada por x fornece Z 2T T g(t) e−st dt + Z 3T 2T g(t) e−st dt + · · · x Sn = x + x2 + ··· + xn−1 + xn = Sn = lim Sn = lim n→∞ Se |x| < 1, então limn→∞ xn = 0 e a soma vale 23 n→∞  1 xn − 1−x 1−x lim Sn = Quando se trata de Transformada Unilateral de Laplace, a que está em voga, não importa o valor da função antes de zero; contudo, ela deve ser periódica depois de t = 0, isso é, deve se repetir exatamente de tempos em tempos após o instante t = 0. Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. (1 − x) Sn No limite, quando n → ∞: g(t) e−st dt . 21 9 de setembro de 2006 e−T s 1 g(t) e−st dt Z (n+1)T 0 ∞
e−nT s . ∑ xn converge e tem por soma 1 − x se |x| < 1 porque a soma dos n primeiros termos Sn vale: que quando subtraída de Sn leva à Z T n=0 n=0 D EMONSTRAÇÃO: por definição a Transformada de Laplace de g(t) vale: Z ∞ ∑ 1 =T L {g(t)} = Se g(t) é uma função periódica21 para t > 0 com período T , então g(t + T ) = g(t), ou mesmo g(t + nT ) = g(t) para todo n natural. A Transformada de Laplace de g(t) pode ser calculada integrando sobre apenas um único período: 0 0 ∞ g(t) e−st dt aplicando a equação (1.17), obtém-se: Teorema 15 (Transformada de funções periódicas) 1 1 − e−T s Z T t = Z ∞ = 0≤t < 1.2.15 Transformada de Laplace de Funções Periódicas L {g(t)} =  g(t)   sen ωt g(t) =  0 s Z T g(t) e−st dt Exemplo 23: determinar a Transformada de Laplace da senóide retificada (meia onda) que em um período pode ser representada por g(t): Integração em s Z +∞ g(λ) e−sλ dλ . para Re (s) < 1/T . Usando o teorema da extensão analítica, pode-se estender a região de convergência para qualquer valor de s diferente de zero porque o denominador da equação (1.17) é nulo apenas para s = 0. Divisão por s G(s) s g(t) dt 0 11 L {g(t)} = s G(s) − g(0) t g(t) 0 se T Re (s) < 1. Disto se conclui que a transformada vale lim s G(s) Deslocamento em s Z T converge se |x| < 1. Substituindo x = e−T s , obtém-se: s→0+ Multiplicação por 6 0 n=0 lim g(t) g(λ + nT) e−sλ dλ = e−nT s ∑ xn = 1 − x s→+∞ t→+∞ 0 n=0 Valor Final 5 T ∞ t→0+ Z T Já que a integral não depende de n ela pôde ser retirada da somatória. Lembrando que a série geométrica22 Valor Inicial 4 Z T Substituindo novamente t = λ, G(s) H(s) Escalonamento t  g a g(t) e−st dt = n→∞ 9 de setembro de 2006 1 − xn xn 1 − . 1−x 1−x  = 1 1 − lim xn . 1 − x 1 − x n→∞ ∞ 1 = ∑ xn . 1 − x n=0 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 24 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná −st Resolvendo por partes, escolhendo v = sen ωt e du = e−st dt que leva à dv = ω cos ωt dt e u = − e s , tem-se: 1.2.16 Exercícios 1. Empregando (1.5), deduzir: L {g(t)} =   (a) L {sent} de L {cost} −st iπ/ω Z π/ω  e−st  1  − sen ωt e dt  + ω cos ωt  −T s  1−e s 0 | {z s 0 } 2. Empregando os Teoremas 6 e 7, mostrar que: 0 = 1 ω 1 − e−T s s Z T /2 |0 v du cos ωt e {z = −st (b) L {senh 2t} de L {cosh2t} dt } s2 − ω2 (s2 + ω2)2 s2 + a2 (b) L {t cosh at} = 2 (s − a2)2 (a) L {t cos ωt} = cos ωt = e−st dt (c) L {t senh at} = (d) L {teat } = 2as (s2 − a2 )2 1 (s − a)a 3. Empregando Exemplo 3 (estendido pela aplicação do Teorema 1) e o exercício 2a, mostrar que: −st Resolvendo por partes, novamente, escolhendo v = cos ωt e du = e−st dt que leva à dv = −ω sen ωt e u = − e s , tem-se: 1 1 − e−T s 1 1 − e−T s 1 1 − e−T s L {g(t)} = = =   Z π/ω ω e−st iπ/ω e−st − cosωt dt − ω sen ωt s s 0 s 0    ω Z π/ω ω 1  −sπ/ω −st e +1 − sen ωt e dt s s s 0  Z π/ω   ω 2  ω 1 −sπ/ω sen ωt e−st dt 1+e − 2 −T s s s 1−e 0 {z } |   ω 2 ω 1 L {g(t)} 1 + e−sT/2 − −T s 2 1−e s s = (a) L −1 { 1 1 }= (sen ωt − ωt cos ωt) (s2 + ω2 )2 2ω3 (b) L −1 { s2 1 (sen ωt + ωt cos ωt) }= (s2 + ω2)2 2ω 4. Determinar a Transformada de Laplace do exercício 2b a partir do exercício 2a e usando cosh x = cos( j x). 5. Verificar o resultado do Exemplo 13 mostrando que: L {g(t)} = L {g(t)} 1 ω2  1 1 − s2 s2 + ω2  6. Determinar L {cos2 t}
(a) utilizando o resultado do Exemplo 10 e o Teorema de Pitágoras cos2 t + sen2 t = 1 ; (b) pelo método empregado no Exemplo 10; Assim, (c) exprimindo cos2 t em termos de cos 2t.   ω 2  L {g(t)} 1 + s  2  s + ω2 L {g(t)} s2 = = L {g(t)} = 7. Desenvolva os detalhes da demonstração do Teorema 6, supondo que f ′ (t) tem saltos finitos em t1 ,t2 , ...,tm .  1 ω 1 + e−sT/2 1 − e−T s s2 8. (Extensão do Teorema 6). Tem interesse prático nas aplicações a seguinte extensão do Teorema 6. Mostre que se f (t) é contínua, a menos de uma descontinuidade ordinária (salto finito) em t = a (t > 0), e se as outras condições permanecem as mesmas que no Teorema 6, então 1 + e−sT/2 ω 1 − e−T s s2 1 + e−sT/2 ω 1 − e−T s s2 + ω2   L {g′ (t)} = sL {g(t)} − g(0) − lim g(t) − lim g(t) eas t→a+ t→a− (1.18) Usando a identidade g(t) lim g(t) t→a+ 1+x 1+x 1 = = 1 − x2 (1 − x)(1 + x) 1 − x com x = e−sT /2 ∴ x2 = e−sT /2
2 lim g(t) t→a− Figura 1.12: Problema 8 = e−T s obtém-se, finalmente: L {g(t)} = = 9. Fazer os gráficos das funções seguintes e, empregando (1.18), determinar suas Transformadas de Laplace. 1 ω 1 − e−sT/2 s2 + ω2 ω 1 . 1 − e−π s/ω s2 + ω2 (a) g(t) = 1 quando 1 < t < 2, g(t) = 0 nos demais casos. (b) g(t) = t quando 0 < t < 1, g(t) = 0 nos demais casos. (c) g(t) = t quando 0 < t < 1, g(t) = 1 quando 1 < t < 2, (d) g(t) = t − 1 quando 1 < t < 2, 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. t a 25 9 de setembro de 2006 g(t) = 0 nos demais casos g(t) = 0 nos demais casos Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 26 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.2.17 Tábua de Algumas Transformadas de Laplace 10. Empregando o Teorema 8, determinar g(t) se L {g(t)} valer: (a) (b) 1 s(s − 2) (c) 1 s(s2 + 9) (d) 1 s(s2 − 1)   1 s−1 s2 s + 1   1 s−2 (f) 2 s s2 + 4 (e) 1 s2 (s + 1) (g) (h) A tabela a seguir foi criada no intuito de facilitar o cálculo da Transformada Inversa de Laplace. Para uma tabela mais completa, com 168 fórmulas, ver a referência [3]. 54 s2 (s − 3) 2s − π s2 (s − π) 11. Resolver os seguintes problemas de valor inicial por meio da Transformada de Laplace. (a) y′′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′ (0) = 2 (b) y′′ + y − 2y = 0, y(0) = 0, y′ (0) = 3 y(0) = 1, y (0) = 7 (d) 4y′′ + y = 0, y(0) = 1, y′ (0) = −2 ′′ ′ (c) y − 2y − 3y = 0, (e) y′′ + 2y′ − 8y = 0, ′ y′ (0) y(0) = 1, # G(s) = L {g (t)} g(t) = L −1 {G(s)} 1 1 δ(t) 2 1 s u(t) 3 1 s2 t u(t) =8 12. (Equação subsidiária) Mostrar que a equação subsidiária da equação diferencial y′′ + ω2 y = r(t) tem a solução: Y (s) = (ω constante) 4 sy(0) + y′ (0) R(s) + 2 s2 + ω2 s + ω2 onde R(s) é a Transformada de Laplace de r(t). Notar que o primeiro termo à direita é completamente determinado pelas condições iniciais dadas, ou seja, y(0) = k1 , y′ (0) = k2 , e o segundo termo é independente destas condições. 1 , sn (n = 1, 2...) 5 1 √ s 6 1 s3/2 13. Determine a Transforma de Laplace das funções periódicas para t > 0 dadas por seus gráficos na Figura 1.13 na página 27. 7 h(t) 1 t 1 sa 1 s−a eat u(t) 9 1 (s − a)2 teat u(t) 10 -1 T 1 (eat − ebt ) u(t) (a − b) 13 s (s − a)(s − b) (a 6= b) 1 (aeat − bebt ) u(t) (a − b) 14 1 s2 + ω2 1 sen ωt u(t) ω 15 s s2 + ω2 cos ωt u(t) 16 1 s2 − a2 1 senh at u(t) a 17 s s2 − a2 cosh at u(t) 18 1 (s − a)2 + ω2 1 at e sen ωt u(t) ω t π ω Figura 1.13: Funções periódicas para t > 0 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 27 9 de setembro de 2006 1 k−1 at t e u(t) Γ(k) (a 6= b) T T= (k > 0) 1 (s − a)(s − b) T 2 g(t) = |sen ωt| u(t) 1 t n−1 eat u(t) (n − 1)! 12 t T 4 (n = 1, 2...) 1 (s − a)k T 2 t 1 (s − a)n 11 y(t) x(t) 1 t a−1 u(t) Γ(a) 8 t T 1 √ u(t) πt r t u(t) 2 π (a > 0) T z(t) 1 t n−1 u(t) (n − 1)! Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 28 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná # G(s) = L {g (t)} g(t) = L −1 {G(s)} # G(s) = L {g (t)} g(t) = L −1 {G(s)} 19 s−a (s − a)2 + ω2 eat cos ωt u(t) 39 1 ln s s − lnt − γ (γ ≃ 0, 577 215 665) 20 1 s(s2 + ω2 ) 1 (1 − cosωt) u(t) ω2 40 21 1 s2 (s2 + ω2 ) 1 (ωt − senωt) u(t) ω2 41 22 1 (s2 + ω2 )2 1 (sen ωt − ωt cos ωt) u(t) 2ω3 42 23 s (s2 + ω2 )2 t sen ωt u(t) 2ω 43 24 s2 (s2 + ω2 )2 1 (sen ωt + ωt cos ωt) u(t) 2ω 44 s π − arctan 2 ω 1 sen ωt u(t) t 1 (cos at − cosbt) u(t) b2 − a2 45 arccotgs arctan 1s = s s Si(t) 1 (sen at cosh at − cosat senh at) u(t) 4a3 46 arctan as s Si(at) 25 s (s2 + a2)(s2 + b2 ) (a2 6= b2 ) 1 26 s4 + 4a4 s 27 s4 + 4a4 1 sen at senh at u(t) 2a2 47 48 28 1 s4 − a4 1 (senh at − sen at) u(t) 2a3 29 s s4 − a4 1 (cosh at − cosat) u(t) 2a2 30 √ √ s− a− s− b 31 32 1 √ s2 + a2 J0 (at) u(t) s (s − a)3/2 1 √ eat (1 + 2at) u(t) πt 1 bt (e − eat ) u(t) t ln s2 + ω2 s2 2 (1 − cosωt) u(t) t ln s2 − a2 s2 2 (1 − coshat) u(t) t ln(a) − ln(a + s) s e s2 4a2 −e s2 4a2 eas Γ(as) (a > 0) erf s 2a s
erf(at) 1 u(t) t +a (a > 0) γ = lim n→∞ n 1 ∑ i − ln n ≃ 0, 577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805 767 . i=1 Si(x) é o seno integral definido como: Si(x) = Z x sent 0 33 34 1 1 −k/s e s 35 1 √ e−k/s s 36 1 37 38 9 de setembro de 2006 (k > 0) (s2 − a2)k s3/2 e−k √ s e k/s (k > 0) Ei(at) Onde: γ é a constante de Euler-Mascheroni23 definida como: 1 √ (ebt − eat ) u(t) 2 πt 3   a−b t u(t) e−(a+b)t/2Y0 2 1 √ √ s+a s+b s−a s−b ln Z x sinct dt. 0 Ei(x) é a exponencial integral definida como: √  k−1/2 π t Ik−1/2 (at) u(t) Γ(k) 2a Ei(t) = Z ∞ −t e x t dt. J0 (x) é a função de Bessel24 de primeira espécie de ordem zero definida como: √ J0 (2 kt) u(t) ∞ J0 (x) = √ 1 √ cos 2 kt u(t) πt (−1)m x2m . 2m 2 m=0 2 (m!) ∑ Y0 (x) é a função de Bessel de segunda espécie de ordem zero ou função Neumann de segunda espécie de ordem zero definida como: " #   x ∞ 2 (−1)m−1 hm J0 (x) ln + γ + ∑ 2m Y0 (x) = , 2 π 2 m=1 2 (m!) √ 1 √ senh 2 kt u(t) πk k 2 √ e−k /4t u(t) 2 πt 3 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. t dt = 23 Lorenzo Mascheroni (1750-1800). Bessel (1784-1846). 24 Friedrich 29 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 30 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná onde hm é definido por: Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Exemplo 24: hm = 1 + m 1 1 1 1 + + ···+ = ∑ . 2 3 m i=1 i Y (s) erf(x) é a função erro definida como: 2 erf(x) = √ π Z t 0 2 e−t dt e erf(x → ∞) = 1. Γ(x) é a função gama, as vezes chamada de função fatorial, definida como (ver Seção 1.1 na página 1): Γ(x) = Z ∞ 0 e−t t x−1 dt para x > 0 . Primeiro, divide-se o numerador pelo denominador (divisão de polinômios); em seguida, fatora-se o denominador; e depois, expande-se a função racional (o resto da divisão dividido pelo denominador) em frações parciais. Vale, ainda, lembrar que: e ≃ π ≃ s5 + 6s4 − 8s3 − 65s2 + 7s + 56 s3 + 2s2 − 11s − 12 s2 − 4 2 = s + 4s − 5 + 3 s + 2s2 − 11s − 12 s2 − 4 = s2 + 4s − 5 + (s + 1)(s − 3)(s + 4) 1 5 4 = s2 + 4s − 5 + + + 4(s + 1) 28(s − 3) 7(s + 4) = Nos casos práticos que interessam para Modelamento de Sistemas Dinâmicos, Processamento de Sinais e Controle Automático, o grau do numerador H(s) é sempre menor ou máximo igual ao grau do denominador G(s). Isso decorre do fato que os sistemas modelados são causais, isso é, obedecem a lei de causa e efeito que diz que o efeito nunca pode preceder a sua causa. Com efeito, o sistema modelado não pode se antecipar o valor da saída sem o conhecimento prévio da entrada. Quando o do numerador de Y (s) é maior que o denominador, não é possível determinar diretamente o valor de y(t), mas é possível determinar o valor de sua integral (pode ser a integral da integral de y(t)). 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 e 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 945 . 1.3 Transformada Inversa de Laplace A Transformada Inversa de Laplace, ou Antitransformada de Laplace, pode ser definida como: Exemplo 25: y(t) = L −1 {Y (s)} = 1 2π I Y (s)est ds C H onde o símbolo C representa uma integral de linha calculada sobre o percurso C que, por sua vez, deve ser fechado e não pode conter singularidades. No entanto, o cálculo através desta fórmula é bastante complexo. Geralmente, o interesse recai em obter a transformada inversa de uma função Y (s), que originalmente foi expressa no tempo e posteriormente transformada para s onde foi modificada (um sinal do tempo modificado por um sistema gerando um novo sinal: o sinal de saída). Assim, na prática é usada uma forma alternativa de definir a Transformada Inversa de Laplace simplesmente como sendo a operação inversa da transformada: y(t) = L −1 {Y (s)} . Se for possível obter, em uma tabela de Transformadas de Laplace, uma função de t que, uma vez transformada para s, seja igual a função a qual se deseja a transformada inversa, o trabalho é imediato. Evidentemente, a propriedade de linearidade25 da Transformada de Laplace ajuda muito; através de um pequeno trabalho algébrico é fácil converter a função desejada para a forma que ela se apresenta na tabela. A maioria das funções do tempo t, quando transformadas para freqüência complexa s através da aplicação da Transformada de Laplace, se apresenta na forma de uma fração de dois polinômios (uma função racional). Além disso, a maioria dos sistemas são descritos por equações diferenciais que, quando Transformadas para s se tornam polinômios ou quocientes de polinômios. Por isso, nos casos que mais há interesse prático, pode-se escrever uma função de s como: G(s) Y (s) = H(s) = Y (s) s2 = s5 + 6s4 − 8s3 − 65s2 + 7s + 56 s3 + 2s2 − 11s − 12 s5 + 6s4 − 8s3 − 65s2 + 7s + 56 s2 (s3 + 2s2 − 11s − 12) s5 + 6s4 − 8s3 − 65s2 + 7s + 56 s5 + 2s4 − 11s3 − 12s2 s5 + 6s4 − 8s3 − 65s2 + 7s + 56 s2 (s + 1)(s − 3)(s + 4) 5 1 133 14 1 − + + 1+ + 36s 3s2 4(s + 1) 252(s − 3) 28(s + 4) = = = É fácil encontrar a transformada inversa de cada um dos termos do lado direito da equação acima na Tabela 1.1 na página 6. Já o lado direito que vale Y (s)/s2 não corresponde a transformada de y(t), mas pela aplicação do teorema 8 é fácil verificar que corresponde a integral da integral de y(t) no intervalo de 0 a infinito. Assim, usando as fórmulas 1, 3, 4 e 8 bem como a equação (1.14), obtém-se: Z tZ t 0 (1.19) onde G(s) e H(s) são ambos polinômios de s. Para calcular transformada inversa com o uso de tabelas é necessário dividir (ou particionar) Y (s) em uma representação de tal forma que cada termo possua sua transformada inversa já tabelada. Uma técnica que se mostra muito útil é a “Decomposição em Frações Parciais” que consiste em transformar Y (s) em uma soma de funções, estas facilmente transformáveis. Usando as propriedades de linearidade e superposição fica fácil calcular a transformada inversa. Há apenas cinco casos de interesse, classificados pelas raízes do polinômio H(s), chamadas de pólos de Y (s) e representadas pela letra p. Como são apenas cinco casos, o trabalho de buscar na tabela pode ser feito a priori. Assim, não há a necessidade de repetir a busca para cada cálculo: obtém-se uma equação que já é função do tempo para cada um dos cinco casos. Desta forma, o trabalho de calcular a transformada inversa se resume em identificar o caso e calcular alguns parâmetros constantes para, então, substituí-los nas equações respectivas de cada caso. Y (s) 0 y(t) dt 2 = δ(t) + 1 14 133 5 −3t 1 u(t) − t + et + e + e4t 36 2 4 252 28 que se for derivada duas vezes fornece o valor de y(t) o que é complicado por que implica na derivação da função delta de Dirac. Calculando as derivadas, têm-se: d dt Z tZ t y(t) dt 2 0 0 d dt Z t 0 = Z t 14 1 t dδ(t) 133 15 −3t 1 4t + δ(t) − + e − e + e dt 36 2 4 252 7 2 d δ(t) 133 dδ(t) 1 t 45 −3t 4 4t + e + e + e . y(t) = + dt 2 36 dt 4 252 7 y(t) dt = 0 y(t) dt = A seguir, o método apresentado é sistematizado. O primeiro passo é normalizar o denominador G(s) de Y (s) para aplicar o método dado. Assim, para calcular a transformada inversa de Y (s) = 1.3.1 Decomposição em Frações Parciais A idéia básica consiste representar Y (s) como a soma de várias frações simples. Caso Y (s) seja uma função racional própria, isso é, caso o grau do numerador G(s) seja menor que o grau do denominador H(s), é possível representar Y (s) como uma soma de frações. Caso o grau do numerador G(s) seja maior ou igual ao grau do denominador H(s) será necessário dividir G(s) por H(s) para obter um polinômio (o resultado ou quociente da divisão) e uma fração de polinômios (o resto da divisão dividido pelo denominador). Esta fração será uma função racional própria e, portanto, poderá ser representada como a soma de várias frações. 25 Que Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. é necessário reescrever a equação de forma que o termo da mais alta ordem do denominador apareça com coeficiente unitário. Para isso, divide-se cada termo do numerador e do denominador por coeficiente do termo de mais alta ordem do denominador, no exemplo, T 2 obtendo: Y (s) = 2nπ T 2 s2 + ( 2nπ T ) . Caso I: Fator (s − p) não repetido. é na verdade um teorema e está intimamente ligado com a propriedade da linearidade e superposição de sistemas. 9 de setembro de 2006 2nπT T 2 s2 + (2nπ)2 31 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 32 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Neste caso um pólo particular p só aparece uma única vez em H(s); muito embora H(s) possa ter muitos pólos, desde que com valores diferentes deste pólo p específico. Pode-se escrever Y (s) como: Obs: os casos I e II incluem tanto números p reais quanto complexos; entretanto, quando p é complexo são preferíveis outras fórmulas (casos III, IV e V) por razões práticas (fica mais simples). Além disso, como as funções do tempo devem ser reais (sinais reais) então o uso dos casos I e II, tão somente, leva à funções complexas do tempo quando os pólos p são complexos. Estas funções devem ser simplificas para se obter funções reais o que demanda um trabalho algébrico penoso. Y (s) = G(s) A = + W (s) H(s) s − p (1.20) Exemplo 27: calcule a Transformada Inversa de Laplace de: onde W (s) é o que sobra de Y (s) depois de retirado o fator (s − p). Neste caso, a Transformada Inversa de Laplace é: L −1 {Y (s)} = A e pt + L −1 {W (s)} onde A é dado por uma das duas expressões: A = A = Q p (s)|s=p ou G(s) H ′ (s) (1.22) (1.23) s=p onde Q p (s) é a função que resta após a remoção do fator (s − p) de H(s) em Y (s), isso é: Q p (s) = (s − p)G(s) H(s) Y (s) = (1.21) (1.24) que possui três pólos em 1. Portanto, há um único fator relativo ao pólo p = 1 repetido três vezes, assim, aplicando (1.25), a transformada inversa fica: A3 A2 A1 . Y (s) = 3 + 2 + s s s Para determinar as constantes A1 e , A2 e A3 nas frações parciais correspondentes ao pólo p = 1 calcula-se Q p=1 (s) pela equação (1.28): (s − 1)3 s =s. Q p=1 (s) = (s − 1)3 Com m = 3 na equação (1.27) tem-se: onde o índice inferior de Q p evidencia o fato dele depender de um valor específico de p e se modificar quando se muda de um valor particular de p para outro (passando de um fator linear a outro). A equação (1.23) é conhecida como fórmula de Heaviside. Exemplo 26: determine a transformada inversa de Com m = 2 na equação (1.27) tem-se: s+1 s+1 G(s) = = . Y (s) = H(s) s3 + s2 − 6s s(s − 2)(s + 3) A1 = L Am Am−1 Am−2 A1 G(s) = + W (s) + + + ···+ H(s) (s − p)m (s − p)m−1 (s − p)m−2 (s − p)   t m−1 t m−2 t L −1 {Y (s)} = e pt Am + Am−1 + · · · + A2 + A1 + L −1 {W (s)} (m − 1)! (m − 2)! 1! (1.25) (1.26) onde as constantes A1 , A2 , . . . , Am são dadas por: d m−k Q p (s) 1 m−k (m − k)! ds s=p Q p (s) = (s − p)m G(s) . H(s) Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. G(s) s4 − 7s3 + 13s2 + 4s − 12 = 2 H(s) s (s − 3)(s2 − 3s + 2) Y (s) = A2 A1 B C D + + + + . s2 s s−3 s−2 s−1 Primeiro, determinam-se as constantes A1 e A2 nas frações parciais correspondentes ao pólo p = 0. Para isso, Q0 (s) é calculado pela equação (1.28): s4 − 7s3 + 13s2 + 4s − 12 N(s) = . Q0 (s) = (s − 3)(s2 − 3s + 2) M(s) Com m = 2 na equação (1.27) tem-se: (k = m − 1, . . . , 2, 1) (1.27) A2 = Q0 (s)|s=0 = (1.28) Note que é necessário derivar Q p (s) em relação à s um número a menos de vezes que o fator relativo ao pólo p é repetido, ou seja, m − 1 vezes. 9 de setembro de 2006 1 d 2 Q p (s) = 0 = 0. (2)! ds2 s=p=1 s=p=1 que possui dois pólos em 0 devido à (s2 ), um pólo em 3 devido à (s − 3), um pólo em 2 e outro em 1 ambos devidos à (s2 − 3s + 2). Portanto, há um único fator p = 0 repetido, assim, aplicando (1.25), a transformada inversa fica: e a transformada inversa é e, no caso, = 1. 1 dQ p (s) = 1 = 1. (1)! ds s=p=1 s=p=1 Y (s) = Neste caso Ak = s=p=1 Exemplo 28: calcule a Transformada Inversa de Laplace de: 3 1 2 {Y (s)} = − + e2t − e−3t 6 10 15 Caso II: Fator (s − p)m repetido m vezes. Am = Q p (s)|s=p , = s     2 t t2 t + A2 + A1 = et +t . L −1 {Y (s)} = et A3 (2)! 1! 2 1 3 2 G(0) G(2) G(−3) = − , A2 = ′ = , A3 = ′ =− . H ′ (0) 6 H (2) 10 H (−3) 15 −1 s=p=1 Aplicando estes valores na equação (1.26) tem-se: Daí, de (1.21) decorre que a transformada inversa é: Y (s) = Com m = 1 na equação (1.27) tem-se: A1 A2 A3 s+1 = + + s(s − 2)(s + 3) s s−2 s+3 e G(s) = s + 1, H ′ (s) = 3s2 + 2s − 6, empregando (1.23) para cada um dos pólos, obtém-se: A1 = A3 = Q p=1(s) A2 = O denominador possui três fatores lineares distintos (e portanto não repetidos), s, (s − 2) e (s + 3) correspondentes às raízes do denominador p1 = 0, p2 = 2 e p3 = −3. Assim, pela equação (1.20): Y (s) = s G(s) = H(s) (s − 1)3 33 −12 −12 = =2. (−3) 2 −6 Para determinar A1 faz-se k = 1 e m = 2 na equação (1.27) obtendo: d (2−1) Q0 (s) 1 A1 = = Q′0 (s) s=0 . (2 − 1)! d (2−1) s s=0 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 34 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná que possui as raízes p = α + j β = −1 + 2 j e p = α − j β = −1 − 2 j de modo que α = −1 e β = 2. Pode-se escrever Y (s) como: 2s Y (s) = (s + 1)2 + 22 Calculando Q′0 (s): N(s) N ′ (s) M(s) M ′ (s) Q′0 (s) N(s)|s=0 N ′ (s) s=0 M(s)|s=0 M ′ (s) s=0 A1 = Q′0 (s) s=0 4 3 2 = s − 7s + 13s + 4s − 12 = 4s3 − 21s2 + 26s + 4 = (s − 3)(s2 − 3s + 2) Além disso, de (1.30) tem-se: = (s2 − 3s + 2) + (s − 3)(2s − 3) N ′ (s)M(s) − N(s)M ′ (s) = M 2 (s) = −12 = 4 Q−1+2 j (s) = 2s, Q−1+2 j (−1 + 2 j) = −2 + 4 j = S−1+2 j + j T−1+2 j logo S−1+2 j T−1+2 j = (−3) · 2 = −6 1 L −1 {Y (s)} = e−t (4 cos 2t − 2 sen2t) = e−t (2 cos 2t − sen 2t) 2 4 · (−6) − (−12) · 11 =3 62 Caso IV: Fator complexo (s − p)2 (s − p)2 repetido (duplo). Para outros termos (Caso I) simplesmente se aplicam as equações (1.22) e (1.24) obtendo: G(s) 1 B = = s2 (s2 − 3s + 2) s=3 2 G(s) C = = −2 s2 (s − 3)(s − 1) s=2 G(s) 1 D = =− s2 (s − 3)(s − 2) s=1 2 Escrevendo as frações parciais que correspondem a (s − p)2 e (s − p)2 de maneira explícita, obtém-se: Y (s) = L −1 {Y (s)} = onde 1 1 t 1 1 1 +3 + e3t − 2e2t − et = 2t + 3 + e3t − 2e2t − et . (2 − 1)! (2 − 2)! 2 2 2 2 S p , Tp , S⋆p e Tp⋆ 1 αt e 2β3 Q p (s) = Sp = Tp = S⋆p = Tp⋆ = O complexo conjugado p de um número complexo p que possui parte real α e parte imaginária β é definido como: = α+ jβ = α− jβ. Note que α e β são números reais. Assim, se p é uma raiz complexa de H(s) e H(s) só possui coeficientes reais, p também é uma raiz de H(s). Pode-se, então, escrever a fração parcial de p e p explicitamente. Para isso, é bom observar que: (s − p)(s − p) = (s − α − j β)(s − α + j β) = s2 − sα + s j β − αs + α2 − α j β − j β s + j β α + β2 = (s − α)2 + β2 .


Tp − βS⋆p − βS p t cos βt + S p + βTp⋆ + βTp t sen βt + L −1 {W (s)}
2 (s − α)2 + β2 G(s) ((s − p)(s − p))2 G(s) = H(s) H(s)   Re Q p (s)|s=p   Im Q p (s)|s=p ! dQ p (s) Re ds s=p ! dQ p (s) Im ds s=p onde A e B são reais. A transformada inversa é: L −1 {Y (s)} = Y (s) = As+ B G(s) = + W (s) H(s) (s − α)2 + β2 1 αt e (Tp cos βt + S p sen βt) + L −1 {W (s)} β onde S p e Tp são, respectivamente, as partes reais e imaginárias de Q p (s) dado por:
(s − α)2 + β2 G(s) (s − p)(s − p)G(s) Q p (s) = = H(s) H(s)   S p = Re Q p (s)|s=p   Tp = Im Q p (s)|s=p . 9 de setembro de 2006 (1.29) ou seja, p = ±2 j de modo que α = 0 e β = 2. Q p (s) = (1.30) dQ p (s) ds =   S = 0 p 4s ⇒ Q p (s)|s=p=α+β j=2 j = 4s|s=2 j = 8 j ⇒  T = 8 p   S⋆ = 4 dQ p (s) p = 4|s=2 j = 4 ⇒ 4⇒  T⋆ = 0 ds s=p=α+β j=2 j p que, substituindo na equação (1.31), leva à y(t) = L −1 {Y (s)} 2s G(s) = H(s) s2 + 2s + 5 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. G(s) 4s = . H(s) s4 + 8s2 + 16 Para determinar as raízes, deve-se resolver a equação p4 + 8p2 + 16 = 0, assim √ −8 ± 64 − 4.1.16 = −4 , p2 = 2 Exemplo 29: calcule a transformada inversa de Y (s) = (1.32) Exemplo 30: calcule a transformada inversa de Assim, tem-se que: Y (s) = (1.31) são, respectivamente, as partes reais e imaginárias de Q p e de sua derivada dados por: Caso III: Fator complexo (s − p)(s − p) não repetido. p p As+ B Cs+D G(s) = + + W (s) H(s) ((s − α)2 + β2 )2 (s − α)2 + β2 onde A, B, C e D são números reais. A transformada inversa é dada por: As equações (1.21) e (1.26) levam à transformada inversa: L −1 {Y (s)} = 2 −2 4 aplicando α, β, S−1+2 j e T−1+2 j em (1.29) = 2 + (−3) · (−3) = 11 = = = 35 9 de setembro de 2006 1 0t e ((8 − 2 4 − 2 0t)cos 2t + (0 + 2 0 + 2 8t)sen 2t) 2 23 = t sen 2t . = Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 36 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Exemplo 31: resolva o problema do valor inicial: aplicando em (1.33), fornece a solução: y + ω y = K cos ωt com y(0) = 0, y (0) = 0. ′′ ′ 2 L −1 {Y (s)} Aplicando a Transformada de Laplace, vem s2 Y (s) + ω2 Y (s) = K cuja solução é: Y (s) = K s s2 + ω2 s (s2 + ω2 )2 = O denominador possui raízes duplas p = α + j β = j ω e p = α − j β = − j ω, isso é α = 0 e β = ω, assim: Q j ω (s) = Ks, Q j ω ( j ω) = j Kω, S j ω = 0, T j ω = Kω,  1.3.2 Transformada Inversa Envolvendo Deslocamento no Tempo dQ j ω (s) = K, S⋆j ω = K, T j⋆ω = 0 ds Em muitos casos, aparecem termos em eas , onde a é uma constante, na função de s que se deseja determinar a transformada inversa. Estes termos estão atrasados (ou adiantados) no tempo em relação à referência t = 0. O tratamento destes casos é trivial e decorre do teorema 2 (ver página 10): basta calcular a transformada inversa da forma habitual desprezando o fator eas e em seguida substituir t por t + a na expressão obtida (relativa aos termos multiplicados por eas apenas) multiplicada por u(t) (ou u(t + a) após a substituição). e (1.31) fornece a solução: 1 0t e ((Kω − ωK − ω 0t)cos ωt + (0 + ω 0 + ωKωt)sen ωt) 2ω3 2 K t sen ωt ω K t sen ωt = 2ω3 2ω y(t) = L −1 {Y (s)} = =     t0 3 0 cos ωt − − 5 sen ωt + (1 − 1)!(3 − 1)! 8ω   3 t1 − cos ωt − 0 senωt + (2 − 1)!(3 − 2)! 16 ω4   1 t2 0 cos ωt − sen ωt (3 − 1)!(3 − 3)! 8 ω3   3 3 1 sen ωt − t cos ωt − t 2 sen ωt 8 ω3 ω2 ω 2e0·t = Exemplo 33: calcule a transformada inversa de Y (s) = Caso V: Fator complexo (s − p)m (s − p)m repetido m vezes. 3 − 2e−6s s2 + s que possui um pólo em zero e outro em −1. Pode-se reescrever Y (s) como: Escrevendo de maneira explícita as frações parciais que correspondem a (s − p)m e (s − p)m , obtém-se:  m  G(s) Bk Ak Y (s) = + + W (s) . =∑ k k H(s) k=1 (s − p) (s − p) Y (s) = = 3 2 −6s − e s2 + s s2 + s 1 1 3 −2 e−6s . s (s + 1) s (s + 1) A transformada inversa é: L −1 {Y (s)} = 2eαt m t k−1 ∑ (k − 1)!(m − k)! k=1   Q(m−k) Re cos βt − Q(m−k) Im sen βt + L −1 {W (s)} onde Q(m−k) Re e Q(m−k) Im são, respectivamente, as partes real e imaginária de d m−k Q p (s) (0) Q p (s)(m−k) = , Q p (p) = Q p (s)|s=p m−k s=p ds s=p e Q p (s) = (s − p)m G(s) H(s) (1.33) (1.34) = Q j ω (s)′′ = (s2 + ω2)3 (b) (s − j ω)3 (s − j ω)3 1 = = (s2 + ω2 )3 (s + j ω)3 ((s − j ω)(s + j ω))3 3 − (s + j ω)4 12 (s + j ω)5 (c) (d) (e) (f) fazendo s = j ω tem-se: Q j ω (s = j ω) = Q j ω (s = j ω)′ = Q j ω (s = j ω) ′′ 9 de setembro de 2006 = (g) j 8 ω3 3 − 16 ω4 3j − 5 8ω Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 1 t 0 2 4 6 8 10 12 1.3.3 Exercícios (a) 1 que possui raízes triplas em p = j ω e p = − j ω. Aplicando (1.35), tem-se: Q j ω (s)′ 3 1. Determine g(t) se L {g(t)} vale: Exemplo 32: calcule a transformada inversa de Q j ω (s) = y(t) O resultado é ilustrado ao lado. (1.35) Note que a equação (1.35) só retira m pólos do denominador e não os complexos conjugados dos m pólos. Y (s) = A transformada inversa do primeiro termo é simples de se calcular empregando o Caso I duas vezes (para os dois pólos) o que resulta em 3 (1 − e−t ). A transformada inversa do segundo termo é igual ao do primeiro se t for substituído por t − 6 e a expressão resultante for multiplicada por 2/3 u(t − 6) para ajustar a amplitude e anular a função para t < 6. Assim:  
y(t) = 3 1 − e−t − 2 1 − e−t+6 u(t − 6) . (h) (i) 37 3s − 2 s2 − s 1 (s − a)(s − b) s2 + 9s − 9 s3 − 9s 6 (s2 − 1)(s2 − 4) 11s − 14 s3 − s2 − 4s + 4 s−2 s2 + 1 4s + 4 s2 + 16 s s2 + 2s + 2 4 − 2s s3 + 4s 9 de setembro de 2006 (r) 1−s (s2 − 2s + 2)2 (s) s2 − 6s + 7 (s2 − 4s + 5)2 (t) s3 + 6s2 + 14s (s + 2)4 3s2 − 6s + 7 (s2 − 2s + 5)2 (u) s2 + 1 s(s + 1)2 s3 − 3s2 + 6s − 4 (s2 − 2s + 2)2 (v) 1 − e−s s2 + s (s − 2)(s − 1)2 (w) s e−ϕs s2 + ω2 (s − 1)2 (s + 2)2 (x) ωeπs − s e−ϕs s2 + ω2 3s2 − 2s − 1 (s − 3)(s2 + 1) s (k) (s + 1)2 (j) (l) (m) (n) (o) (p) (q) s2 − 4s (s − 2)3 2s2 − 3s 3(s3 − s + 3) s2 + 2s (s2 + 2s + 2)2 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. (y) 1 − e−s 38 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.3.4 Causalidade e Região de Convergência 2. Empregando a Transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial: (a) y′′ − y = 1, y(0) = 1, y′ (0) = 2 Na Seção 1.2.3 é usado o “Teorema da Extensão Analítica” para diminuir a importância da região de convergência da integral na existência da Transformada de Laplace. Contudo, a extensão da região de existência da Transformada de Laplace de uma função para além dos limites da região de convergência da integral, tem implicações sobre a causalidade da função. Isso tem relação direta com o uso da transformada unilateral porque os sistemas físicos sob análise são, via de regra, causais e a dinâmica do sistema é desprezada quando t < 0 (análise transitória). Apenas a energia inicial é considerada (problema do valor de contorno e valor inicial). Para compreender melhor esta relação, considere as duas funções g(t) e h(t) dadas por:   eat se t ≥ 0 g(t) =  0 se t < 0   0 se t ≥ 0 h(t) = ,  −eat se t < 0 (b) y′′ − 3y′ + 2y = e−t , y(0) = 3, y′ (0) = 3 (c) y′′ + 2y′ − 3y = 10 senh2t, y(0) = 0, y′ (0) = 4 (d) y′′ + 4y = 4(cos2t − sen 2t), y(0) = 1, y′ (0) = 3 (e) y′′′ + 2y′′ − y′ + y + 2 = −2 sen 4t, y(0) = 1, y′ (0) = 0, y′′ (0) = −1 3. Mostre que   s3 (a) L −1 4 = cosh at cost s + 4a4   s 1 = 2 senh at sent (b) L −1 4 s + 4a4 2a   s2 1 = (cosh at sen at + senhat cos at) (c) L −1 4 s + 4a4 2a que podem ser escritas como: 4. Analise as equações (1.21), (1.26), (1.29), (1.31) e (1.33) e explique qual a condição necessária para que um sistema excitado por um sinal específico apresente oscilação na saída. 5. O fato de um sistema apresentar na saída um sinal oscilatório está ligado diretamente ao sinal de entrada ou alguma característica do sistema pode gerar este sinal oscilatório mesmo que a entrada não seja oscilatória? g(t) = h(t) = eat u(t) −eat u(−t) e que são representadas abaixo. 6. Um sistema é dito estável se, para uma entrada limitada (que não tende a infinito) ele apresentar uma saída limitada. Analise as equações (1.21), (1.26), (1.29), (1.31) e (1.33) e explique qual a condição necessária e suficiente para que um sistema excitado por um sinal limitado seja considerado estável. g(t) = ea t u(t) h(t) = −ea t u(−t) 7. Determine os sinais de saída dos sistemas abaixo. Considere que quando aparecem mais de um componente do mesmo tipo no mesmo circuito todos têm valores iguais. R R t vi (t) = VMAX sen ωt vi (t) = VMAX sen ωt v0 (t) L t v0 (t) C Plano s Im(s) L vi (t) = VMAX sen ωt R C C vi (t) L v0 (t) 1V Região de Convegêcia de H(s) v0 (t) L C 1 2 vi (t) G(s) = t v0 (t) C 1 2 ii (t) v0 (t) C ii (t) R t 1 2 9 de setembro de 2006 vi (t) L v0 (t) t 1 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 2 ii (t) L Z +∞ −∞ g(t) e−st dt = Z +∞ −∞ eat u(t) e−st dt = Z +∞ 0 e−(s−a)t dt = −1 −(s−a)t i+∞ 1 e = s−a s−a 0 Z +∞ −∞ h(t) e−st dt = Z +∞ −∞ −eat u(−t) e−st dt = Z 0 −∞ −e−(s−a)t dt = 1 −(s−a)t i0 1 e = −∞ s−a s−a se Re(s − a) < 0 o que equivale à Re(s) < Re(a). As duas funções, notadamente diferentes, têm a mesma transformada bilateral, porém com regiões de convergência diferentes. Não é possível que duas funções diferentes tenham a mesma Transformada de Laplace e com regiões de convergência iguais. Nem mesmo é possível que as regiões de convergência tenham algum ponto comum se as funções forem diferentes. A união das duas regiões de convergência cobre quase todo o plano complexo (com exceção da reta s = Re(a) paralela ao eixo imaginário). Empregar o “Teorema da Extensão Analítica” implica em desprezar uma segunda solução, ou ainda mais soluções, para a transformada inversa de cada função. R 1A 1V Região de Convegêcia de G(s) se Re(s − a) > 0 o que equivale à Re(s) > Re(a). Para h(t), tem-se: H(s) = vi (t) Re(s) A transformada bilateral destas funções valem: R 1A t 11111111111 0000000 0000 0000000 1111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 00000001111 1111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 00000001111 1111111 0000 1111 a vi (t) = VMAX cos ωt ii (t) R R v0 (t) 39 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 40 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1 Suponha, então, que seja necessário calcular a transformada inversa de s−a . Há duas respostas diferentes para cobrir todo 1 o plano complexo (com exceção de uma região singular). Se s−a é a resposta ao impulso unitário de um sistema físico, as duas respostas aparecem antes e depois da aplicação do impulso, respectivamente. A primeira resposta, eat u(t), é nula para t < 0 e após a aplicação do impulso (aplicado em t = 0) ela é não-nula. Esta resposta respeita a lei de causa-efeito: o efeito surge após a causa. A segunda resposta, −eat u(−t), não é nula para t < 0 e não respeita a lei de causa-efeito: o efeito (saída) precede sua causa (o impulso aplicado em t = 0). 1.3.5 Exercícios retirados das provas 1. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes expressões: (a) 7 cos (3t) + t 3 (b) 3 senh2 (5t) + cos t  2 (c) t 2 e−6t (d) t cosh (4t) e−3t (f) sen (3t − 6) u (t − 2) (e) u (t − 5) (t − 5)2 (g) sen (3t − 6) 2. Calcule a Transformada Inversa de Laplace das seguintes expressões: s s2 + 2 s + 2 10 (b) 2 s + 2s+ 2 s+2 (c) 2 s + 6s+ 9 2 (d) 2 s + 4s 2s+ 3 (e) (s + 1) (s + 2)2 (a) 2 s2 + 11 s + 16 (s + 3) (s2 + 6 s + 10) −5 s2 + 19 s + 28 (g) − (s − 1) (s + 2) (s − 3) 5s (h) 2 s − 49 s2 − 225 (i) (s2 + 225)2 s2 − 9 s + 15 (j) (s + 2) (s2 − 4 s + 29) (f) (k) − (l) (m) s s2 + 6 s + 10 4 s2 + 3 s − 65 (s − 3) (s − 4) (s + 7) 2s s2 − 4 (n) − 12 s2 − 6 (s2 + 4)5 3. Idem ao anterior: (a) − (b) − (c) (d) −s3 + 9 s2 − 30 s + 36 2 (s2 − 6 s + 18) s2 + s − 2 3 (s + 1) s2 + 9 s + 18 (s + 2) (s + 4)2 2as (a2 + s2 )2 (e) s3 + s2 − 4 s3 (s − 2) s2 − 14 s + 28 (s2 − 4) (s − 3) 15 s + 30 (g) s (2 s + 4) (s + 3) (f) − (h) − s − s2 (s2 + 25) (s + 1) (i) 400 s − 800 s2 + 6 s + 160009 (j) 3 s2 − 16 s + 26 (s + 1) (s − 2) (s − 4) (k) (l) 3s− 4 s2 − 16 s−3 (s2 − 6 s + 13)2 Se o sistema for sabidamente causal, e os sistemas físicos realmente são causais, pode-se desprezar a segunda resposta o que equivale a estender a região de convergência de G(s) para todo o plano complexo. O uso da transformada unilateral também justifica esta simplificação porque a função transformada de volta para o tempo deve ser nula para t < 0 e uma função não-causal (como h(t) do exemplo) não o é. Esta é a verdadeira gênese do “Teorema da Extensão Analítica”. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 41 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 42 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.3.6 Respostas dos exercícios retirados das provas Referências Bibliográficas 1. (a) (b) (c) 7s 6 7 s5 + 6 s2 + 54 + = s2 + 9 s4 s6 + 9 s4 s s2 + 14 + 4 s4 + 200 s2 + 150 150 = s (s2 − 100) 4 s5 − 399 s3 − 100 s 2 (s + 6)3 s2 + 6 s + 25 (2 s + 6) (s + 3) 1 = (d)  2 − 2 2 2 (s + 3) − 16 (s + 3) − 16 (s + 3)2 − 16 [1] K REYSZIG, Erwin. Matemática superior, v1, Rio de Janeiro : LTC, 1984. 2 e−5 s (e) s3 3 e−2 s (f) 2 s +9 3 cos 6 − s sen 6 (g) s2 + 9 [2] S PIEGEL, Murray R. Transformada de Laplace : resumo da teoria, 263 problemas resolvidos, 614 problemas propostos, São Paulo : McGraw-Hill, 1976. [3] S PIEGEL, Murray R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, São Paulo : McGraw-Hill, 1973. [4] B RIGHAM, E. Oran. The fast Fourie transform, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1974. [5] H AYKIN, Simon; V EEN, Barry Van. Sinais e sistemas, Porto Alegre : Bookman, 2001. 2. −t (a) e (cost − sent) (b) 10 sent e−t (c) e−3t − t e−3t 1 − e−4t (d) 2 (e) e−t − e−2t + t e−2t (f) e−3t + cost e−3t − sent e−3t (g) 7 et + 2 e−2t − 4 e3t (n) [6] S MITH, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, http://www.dspguide.com/, San Diego : California Technical Publishing, 1997. (h) 5 cosh (7t) disponível em (i) t cos (15t) (j) (20 cos (5t) − 221 sen (5t)) e2t + 185 e−2t 205 (k) −e−3t (cost − 3 sent) (l) 2 e3t + e4t + e−7t (m) 2 cosh (2t) 144t 4 sen (2t) + 208t 3 cos (2t) − 84t 2 sen (2t) + 30t cos (2t) − 15 sen (2t) 32768 3. e3t (cos(3t) − t sen (3t)) t e−t − e−t + t 2 e−t t e−4t + e−2t t sen (t a) t + e2t + t 2 2 e−2t + e−3t
5 e−3t + 1 (g) 2 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 9 de setembro de 2006 (h) 12 cos (5t) + e−t − 5 sen (5t) 13 (i) e−3t (400 cos (400t) − 5 sen (400t)) (j) 3 e−t − e2t + e4t (k) e4t + 2 e−4t (l) t e3t sen (2t) 4 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 43 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 44