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Equação do Primeiro Grau
Introdução
Durante a Quinzena Básica aprendemos o que são as equações, para que elas
servem, alguns conceitos necessários e algumas propriedades básicas. Apesar
disso, é muito importante que nos debrucemos um pouco mais sobre esse
assunto em virtude de seu caráter fundamental e que nos permitirá subir
outros degraus em busca de técnicas de resolução de problemas no futuro.
Faremos, então, um trabalho de recordação e aplicação do que foi aprendido
nas aulas passadas e de alicerçamento de novos conceitos.
Preste atenção no seguinte exercício:
Um grupo de estudantes dedicados à confecção de produtos de artesanato
gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida, e, além disso, tem um
gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas
unidades terão de ser vendidas para que se obtenha um lucro de R$ 800,00?
Tradução para a linguagem matemática
Uma das maiores dificuldades encontradas pelos alunos é a descrição
matemática das proposições apresentadas.
Primeiramente, é preciso entender quais são as grandezas a serem
determinadas, ou seja, as incógnitas do problema. Normalmente elas são
representadas por letras.
No caso apresentado, quer-se descobrir qual o número de unidades que se
precisa vender para obter um certo lucro. Esta será a incógnita do problema
e utilizaremos a letra n para representá-la.
Uma vez esclarecido o que se procura e de posse das outras informações
dadas no enunciado, monta-se a equação que descreve o problema.
Sabemos que a cada unidade, o grupo gasta R$ 15,00 na confecção e cobra R$
85,00 na venda. Assim, o custo de n produtos de artesanato é de 15 * n e o
valor recebido é de 85 * n. Além disso, foi informado que existe um gasto
fixo de R$ 600,00, o que nos dá o custo total, para n unidades ainda, de
600 + 15 * n. Lembrando que se quer obter um lucro de R$ 800,00, o que
significa que este valor deve ser a diferença entre o que se recebeu e o
que se gastou, a expressão final ficaria:
Antes de prosseguirmos, é interessante identificar os membros da equação:
Agora que se tem a equação que descreve matematicamente o problema
proposto, deve-se lembrar que sua raiz, ou solução, é um valor que torna
essa sentença matemática verdadeira. Isso significa que, resolvendo esta
equação, obteremos o número de unidades que devem ser vendidas para
satisfazer as restrições do problema. Vale recordar que o conjunto das
raízes é chamado de Conjunto Solução (Conjunto Verdade). No caso, como
estamos trabalhando em um problema linear, ou de primeira ordem, só existe
uma solução.
Além disso, o que temos é uma equação, ou seja, podemos manipular a equação
desde que o façamos mantendo a igualdade e faremos isso a seguir.
Portanto, precisa-se vender 20 unidades para que o lucro seja de R$ 800,00.
Formalização
Equação do Primeiro grau ou primeira ordem é toda aquela que pode ser
expressa na forma a * x + b = 0, com a e b constantes. Note que a tem que
ser diferente de zero senão chegaríamos a conclusão de que 0 = 0. Apesar de
isso não ser falso, não nos acrescenta informação alguma e por isso não nos
interessa.
Assim, para deixar este ponto mais claro, trabalharemos com o exemplo
anterior, que já nos é bem conhecido. Em uma das passagens da resolução
temos 70 * n = 1400. É a partir dela que trabalharemos para deixar óbvia a
identidade com a equação linear.
E fazendo a seguinte identidade:
Ou ainda usando a expressão final do exemplo anterior, n = 20:
Perceba que as expressões 70* n - 1400 = 0 e n - 20 = 0 são equivalentes
pois apresentam a mesma solução.
Exercícios Propostos
1. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
Resposta: Esse número é 100.
2. A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é
esse número? Resposta: Esse número é 45.
3. O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse
número? Resposta: Esse número é 8.
4. O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?
Resposta: Esse número é 83.
5. O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse
número ?
6. Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de
suas idades será 72 anos?
7. Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas.
Determine o número de bicicletas e de carros.
8. A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é
igual a 75. Quantos objetos há na caixa?
9. Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90
empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?
10. Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se
tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará
igual. Qual a quantidade de bolas brancas?
11. Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao
quíntuplo do número. Qual é esse número?
Equação do Segundo Grau
Introdução
Agora que sabemos manipular as equações do primeiro grau e resolver os
problemas aos quais ela é necessária, veremos um tipo de equação um pouco
mais complexo, a equação do 2º grau. Ela diferencia-se da equação do
primeiro grau pelo fato de a incógnita aparecer elevada ao quadrado, o que
introduz as operações de potenciação e radiciação na resolução dessas
equações. A equação do segundo grau será muito importante na física, na
geometria e em diversos campos do conhecimento. Vamos começar analisando o
seguinte problema:
"Para pagar as despesas mentais de um condomínio, ficou combinado que todos
contribuiriam com a mesma quantia. Num certo mês, em que as despesas
totalizaram R$ 10.800,00, dois condôminos não puderam contribuir com a sua
parte e cada um dos demais foi obrigado a pagar, além da sua cota normal,
um adicional de R$ 32,00. Qual é o número de condôminos?"
Descrição Matemática
Como sabemos, o primeiro passo é "traduzir" o problema para a linguagem
matemática. Como aprendemos nas aulas anteriores, temos:
A incógnita do problema é o número de condôminos, pois é ele que eu quero
descobrir no final dos cálculos, correto? Logo, podemos dizer que o
condomínio tem X condôminos.
Se as despesas totalizaram 10.800 e haviam x condôminos, cada um deveria
pagar a quantia de para as despesas mensais. (Obs: note que estamos
dividindo o total das dívidas pelo número de moradores do condomínio.). O
número de moradores que deveria pagar a dívida era x, que são todos os
moradores.
Como a despesa de cada um teve um acréscimo de 32 reais, temos que cada um
(menos os moradores inadimplentes) acabou pagando a quantia de
(quantia que deveria pagar + acréscimo de 32 reais). O número de moradores
que pagou a dívida é (total de moradores – quantas pessoas ficaram
sem pagar).
Vamos colocar o nosso raciocínio em uma tabela:
" "Nº de "Condômino"Valor que"Total "
" "condômi"s que "cada um "a ser "
" "nos "pagaram a"pagou "pago "
" " "dívida " " "
"Como "x "x " "R$ "
"deveri" " " "10.800"
"a " " " ",00 "
"aconte" " " " "
"cer. " " " " "
"Como "x " " "R$ "
"aconte" " " "10.800"
"ceu. " " " ",00 "
Essa parte que virá é fundamental para montarmos a expressão. Tente
entender que:
No primeiro caso (como deveria ser), temos:
ou seja, essa equação nos conduziu a uma verdade óbvia e não traz
informação nenhuma.
No segundo caso, temos: . Vamos aplicar a distributiva e desenvolver a
equação.
Mas, peraí, que equação é essa? É exatamente o que chamamos de equação do
segundo grau.
Definição
Esse nome existe porque o expoente mais alto existente na equação é o 2.
Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma ,
onde a, b e c são os coeficientes e x é a incógnita que se quer calcular.
No nosso problema, podemos ver que a = 32, b = - 64 e c = -21600.
Resolução de uma equação do 2º grau
Descreveremos dois modos de se resolver uma equação do segundo grau:
- Descobrindo trinômios quadrados perfeitos;
- Através da fórmula de Bháskara, que é um caso particular do modo
anterior.
Descobrindo trinômios quadrados perfeitos
Peguemos, como exemplo, a equação x2 + 2x – 8 = 0.
1) Em primeiro lugar, deve-se colocar o termo independente (no caso, -8)
no segundo membro. Assim a equação fica x2 + 2x = 8.
2) Agora concentre-se no primeiro membro (em x2 + 2x). Que número
poderíamos colocar para que ele virasse um trinômio quadrado perfeito?
Resposta: o número +1, pois x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 correto (lembre-se
da aula sobre fatoração!!)? Não? Vamos fazer o exercício 2 da lista
para fixar melhor esse conceito. Notar que só esse número transforma o
primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito. Se você entendeu
esse passo, vamos para o próximo:
3) Vamos transformar o primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito
da seguinte forma:
Se x2 + 2x = 8, então x2 + 2x + 1 = 8 + 1.
Note que, como é uma equação, o que eu fizer no primeiro membro (lado
esquerdo da igualdade) deverá ser feito no segundo membro (lado esquerdo
da igualdade). Vamos para o próximo passo:
4) Se x2 + 2x + 1 = 8 + 1, então (x + 1)2 = 9 (lembre-se da aula sobre
fatoração!), e então x + 1 = raiz quadrada de 9.
Como sabemos, a raiz de 9 pode ser +3 ou menos 3, de modo que teremos duas
possibilidades para resolver a equação:
Se x + 1 = 3, então x = 3 – 1, o que nos leva a x1 = 2.
Se x + 1 = - 3, então x = -3 – 1, o que nos leva a x2 = - 4.
Pronto, resolvemos a equação!
Portanto, para resolver qualquer equação desta forma, procedemos da
seguinte maneira:
1) Colocamos o termo independente no segundo membro.
2) Completamos o primeiro membro com um número para descobrir um trinômio
quadrado perfeito e usamos a fatoração.
3) Aplicamos a raiz quadrada ao dois membros e resolvemos como se fosse
uma equação comum.
Lembre-se que a raiz quadrada tem duas possibilidades de
resposta, logo a equação terá duas soluções.
Se ao tirar a raiz quadrada dos dois membros, o segundo membro
for um número negativo (não existe raiz quadrada de número
negativo), então a equação não terá solução.
Outro exemplo: Vamos resolver 2x2 – 4x – 6 = 0.
Neste caso, x2 está multiplicado por 2 e isso atrapalha. Neste caso, para
deixar o x2 isolado, divide-se toda a equação por 2.
"Se dividirmos todos os coeficientes da equação por um mesmo número, a
solução dessa equação não se altera". A solução de x2 – 2x – 3 = 0 é a
mesma de 2x2 – 4x – 6 = 0.
Mas e se a equação fosse 3x2 – 6x + 1 = 0? Então iríamos dividi-la por 3:
Note que sempre dividimos a equação pelo número que "acompanha" x2.
Voltando a equação 2x2 – 4x – 6 = 0, que havíamos dividido por 2 e obtido
. Vamos resolvê-la:
A Fórmula de Bháskara
Outra forma que aprenderemos, no curso, para resolver a equação do 2º grau,
é através da fórmula de Bháskara, que é dada a seguir:
Fórmula de Bháskara:
Se , então:
e
Em muitos livros, os autores chamam de delta (Δ) a expressão . Assim,
a fórmula de Bháskara também pode ser:
e
Ops... repare que:
Uma equação do 2º grau tem duas soluções possíveis, x1 e x2;
Se for negativo, a equação não terá solução nenhuma;
Se for zero, então x1=x2;
A fórmula de Bháskara também pode ser deduzida descobrindo trinômios
quadrados perfeitos. Preste atenção:
Temos , certo? Vamos dividir toda a equação por a:
Vamos jogar o termo independente no segundo membro:
Qual o número que falta para completar um trinômio quadrado perfeito? Não é
fácil descobrir essa né? Mas, depois de pensar um pouco (ou muito),
descobrimos que o número é (é legal você fazer as contas, para ter
certeza que é esse número mesmo). Você descobrirá que:
Tirando o mínimo no segundo membro, temos:
Como uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e outra negativa,
temos que:
Passando o termo para o segundo membro, finalmente obtemos a fórmula
de Bháskara!
Resolução do problema dos condôminos
Voltemos então ao nosso problema. A equação que tínhamos que resolver era:
Vamos usar uma propriedade das equações de segundo grau. Ela pode ser
descrita assim:
"Se dividirmos todos os coeficientes da equação por um mesmo número, a
solução da equação não se altera".
Por exemplo, se dividirmos os coeficientes dessa equação por 32, teremos
. Fazendo as divisões, teremos . Vamos resolver as duas equações
para provar que a solução é a mesma.
Em , a = 32, b = - 64 e c = - 21600. Logo:
Agora, se resolvermos onde a = 1, b = -2 e c = -675, temos:
Observe que, nos dois casos, x1 = 27 e x2 = -25. Isso comprova a
propriedade das equações que foi dita. Obviamente, os exercícios a serem
feitos não contém números muito extensos e nem cálculos muito trabalhosos
como neste problema, que serviu apenas para ilustração.
Agora que descobrimos o valor de x, qual das duas respostas serve para o
problema do início do capítulo? Qual é o número de condôminos? É lógico que
não pode haver um número de condôminos igual a – 25 (um número de
condôminos negativo é um absurdo). Logo, vemos que existem 27 condôminos.
Verificando se um número é solução de uma equação do segundo grau
Para saber se um número é solução (ou raiz) de uma equação do segundo grau,
basta substituí-lo na própria equação.
Exemplo:
Será que -2 é raiz de ?
Vamos substituir x por 2. Então: . Logo, -2 NÃO é solução de .
Será que 27 e – 25 são soluções de ?
Já vimos que sim, devido à solução do problema, mas vamos provar assim
mesmo:
Logo, 27 e – 25 são soluções da equação , mas apenas 27 é a solução do
problema dos condôminos.
Equações Biquadráticas
São equações desse tipo:
Essas equações são de quarto grau ou quarta ordem, mas elas tem um método
especial de resolução. Para entendê-lo, você deve entender que:
Se , então .
Se você entendeu, agora criamos uma outra variável y que seja igual a x2,
ou seja, y = x2. Sendo assim, vamos colocar y no lugar de x2 nesta equação.
Note que acabamos de transformar uma equação do quarto grau em uma do
segundo grau, a qual aprendemos como resolver!
Pela fórmula de Bháskara, vamos achar:
Mas o que queremos é achar o valor de x. Como sabemos que y = x2, fazemos
(lembre-se que a raiz quadrada de y1 tem duas respostas:
Note que uma equação de quarto grau possui quatro soluções.
Exercícios
1) Qual das equações abaixo tem soluções iguais a e ?
a)
b)
c)
d)
e)
2) Completar os termos abaixo para que se transformem em um trinômio
quadrado perfeito e fatorar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
3) Identificar os coeficientes a, b e c e resolver:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
Respostas
1) d
2)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
3)
a) 3 e 5;
b) 3 e -2;
c) -4 e 1;
d) -2 e -3;
e) 2 e 0;
f) 0 e 3/2;
g) 3 e -3;
h) 5/2 e -5/2;
i) 3 e 3;
j) -5 e -5;
k) 2/3 e 2/3;
l) -1/2 e -1/2;
m) não possui solução.
n) 2, -2, 1 e -1;
o) e ;
p) 1, 1, -1 e -1;
q) 0 e 8;
r) +3 e -3;
s) -1 e 7/3;
t) 4 e -1;
u) 3 e -2;
v) 1 e -1/2;
Bibliografia
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Sites pesquisados
1. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm
2. http://jmpmat5.blogspot.com/
Teoria Geral das Funções
Introdução: Noção intuitiva de função
A idéia de função aparece sempre que relacionamos duas grandezas que
podem variar seu valor.
Por exemplo:
Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado com a
sua área:
"Lado "1 "2 "3 "4 "L "
"Área "1 "4 "9 "16 "L² "
Sabemos que, nesse caso: Área = (lado) ²
Temos então que a área de um quadrado depende do seu lado, ou seja, a
área de um quadrado é calculada EM FUNÇÃO do seu lado.
Exercícios
1. A tabela abaixo mostra o preço que uma certa companhia telefônica
cobra pelo tempo que seus clientes utilizam o celular em ligações locais:
"Tempo "Preço "
"(minutos) "(reais) "
"1 "0,95 "
"2 "1,90 "
"3 "2,85 "
"4 "3,80 "
"5 "4,75 "
Responda:
a) O que é dado em função de que?
b) Escreva a fórmula que relaciona o tempo do telefonema e o preço;
c) Quanto custa uma ligação de 35 minutos? E de 45 minutos?
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 123,50, por quanto tempo
ele utilizou o celular em horas?
Definindo o conceito de função através dos conjuntos
Definição de função: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B
é uma regra que diz como associar cada elemento de A com um elemento de B.
Vamos considerar novamente a tabela que relaciona a área de um
quadrado com o seu lado.
Seja então A um conjunto que contém os valores do lado do quadrado e B
o conjunto que contém os valores da área do quadrado.
Teremos que:
O diagrama de flechas representa uma função que leva os elementos de A
ao seu quadrado em B.
É importante observar que todos os elementos de A têm correspondente
em B e que, só sai uma flecha de cada elemento de A.
Sendo assim, nesse nosso caso, temos uma função de A em B (Notação:
f: A B) que pode ser escrita pela expressão y = x² ou f(x) = x² .
Como reconhecer uma função pelo diagrama de flechas
Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada
elemento de A partir uma única flecha.
Observe:
Temos que:
Nos casos 1 e 2: O diagrama de flechas representa uma função;
Nos casos 3 e 4: O diagrama de flechas não representa uma função.
Exercícios
2. Considerando os conjuntos de cada item e a correspondência que os
relaciona, desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondência f
é uma função de A em B.
a) A={1,2,3,4}; B={1,4,9,16}; y = x²
b) A={1,2,3,4}; B={1,4,12,16}; y = x²
c) A={-1,1,0,5}; B={0,1,10,25}; y = x²
d) A={0,1,2}; B={-2,-1,0,1,2}; y² = x²
e) A={0,1,2}; B={-2,-1,0,1,2}; y = x-2
f) A={0,1,2}; B={-2,-1,0,1,2}; y = x²-2x+1
Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função
Vamos considerar uma função f de A em B.
Temos que:
A é o domínio da função f (Notação: D(f))
B é o contradomínio da função f (Notação: CD(f))
Para cada x є A, o elemento y є B chama-se imagem de x pela
função f e o representamos por f(x) (lê-se f de x). O conjunto
de todos os y obtidos por f é chamado de conjunto imagem de f
(Notação: Im(f)).
Observe:
Seja A={0,1,2,3} e B={0,1,2,3,4,6,7,9}, vamos considerar a função f: A
B que transforma x є A em 3x є B.
Temos que:
f:A B é definida por f(x)=3x ou y=3x;
D(f)=A ou D(f)={0,1,2,3};
CD(f)=B ou CD(f)={0,1,2,3,4,6,7,9};
Im(f)={0,3,6,9};
f(0)=0, f(1)=3, f(2)=6, f(3)=9.
Exercícios
3. Considere a função f dada pelo diagrama e determine:
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4. Seja a função f: A -> B onde f(x) = 4x+2 e o domínio A={-2,-
1,0,1,2,3}. Determine a imagem de f.
5. Seja a função f: lR -> lR dada por f(x) = x²+x. Determine a imagem do
número 5.
6. Dada a função f(x) = x²+4. Determine f(2) e f(3).
7. Se f(x) = 3x+2m e g(x) = -2x+1, calcule m sabendo que f(0)-g(1)=3
Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora
Função Sobrejetora: Uma função f: A -> B é sobrejetora se, e somente se,
todo elemento de B é atingido por, pelo menos, uma flecha.
(Ou seja, Im(f) = CD(f))
Função Injetora: Uma função f: A -> B é injetora se, e somente se, cada
elemento de B é atingido por, no máximo, uma flecha.
(Ou seja, x1 x2 então f(x1) f(x2))
Função Bijetora: Uma função f: A -> B é dita bijetora se, e somente se, é
sobrejetora e injetora.
Exercícios
8. Classifique as funções do exercício 2. em sobrejetoras, injetoras ou
bijetoras.
Estudo do domínio de uma função real
Muitos exercícios pedem para que, uma dada função f, se explicite seu
domínio.
O domínio de uma função é o maior subconjunto de lR tal que deixe a
fórmula y=f(x) válida.
Veja os exemplos mais comuns:
Seja f definida pela fórmula y = 4x+5.
D(f)=lR, pois qualquer que seja o valor real de x, podemos calcular y
= 4x+5 nos reais.
Seja f definida por y= .
D(f)=lR – {0}, pois podemos substituir x por qualquer número real,
menos o zero – nunca se esqueça que não existe divisão por zero!
Seja f definida por y = .
D(f)={x є lR l x0}, pois podemos substituir x apenas por números
reais positivos – nos reais, não existe raiz de número negativo.
Exercício Resolvido
Vamos explicitar o domínio da função: f(x)= +
Resolução:
Calcular só é possível se 5-x 0 x5;
Calcular só é possível se x-2 0, mas, como está no
denominador, precisa ser também diferente de zero. Então: x-3
0 x.;
Assim, D(f) = {x є lR l x5 e x} ou { x є lR l 3
x5}
Exercícios
9. Explicite o domínio das seguintes funções reais definidas por:
a)
b)
c) x²+1
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Respostas dos Exercícios
1) a. O preço é dado em função do tempo
b. P = 0,95 . T, onde P = preço em reais e T = tempo em minutos
c. R$ 33,25 ; R$ 42,75
d. 2 horas e 10 minutos
2) a. É função
b. Não é função
c. É função
d. Não é função
e. É função
f. É função
3) a. {1,2,3,4}
b. {0,6,7,8,10,12}
c. {0,6,8,10}
d. f(3) = 8
e. f(4) = 10
f. x = 3
g. y = 8
h. f(4 ) = 10
4) Im(f) = {-6,-2,2,6,10,14}
5) f(5) = 30
6) f(2) = 8; f(3) = 13
7) m = 1
Referências
1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto
Dante; Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
Função do Primeiro Grau
Na última aula, aprendemos o que significa uma função (uma relação entre
conjuntos numéricos), aprendemos a analisar uma função pelo diagrama de
flechas, aprendemos a descobrir se ela é injetora, sobrejetora e bijetora,
aprendemos o que significa seu conjunto domínio, contra-domínio e seu
conjunto imagem e aprendemos a identificar as condições de existência dessa
função.
Agora, vamos falar um pouco sobre um tipo especial de função: a função do
primeiro grau. Para ficar mais claro o significado do que é função, vamos
analisar o seguinte problema:
Uma companhia telefônica cobra seus serviços (por mês) dos clientes da
seguinte forma:
- R$ 30,00 referentes a taxa fixa, impostos e custos de manutenção da
linha;
- R$ 0,05 por minuto utilizado pelo cliente nas suas ligações;
a) Quanto o cliente que utilizar o serviço por 200 minutos em abril/09
pagará?
b) Qual a expressão que relaciona o número de minutos e o total da fatura
a ser paga?
Lembrando-se da resolução de problemas com equações do primeiro grau,
poderemos resolver o item a:
- O cliente pagará R$ 30,00 da taxa fixa;
- O cliente pagará também cada minuto dos 200 que falou, isto é: 200*R$
0,05 = R$ 10,00 (cada minuto custa R$ 0,05);
- A conta do cliente será de um total de R$ 30,00 + R$ 10,00 = R$ 40,00
(resposta do item a);
Para resolver o item b, vamos pensar de uma forma mais abrangente. Para
quaisquer minutos que o cliente tiver utilizado teremos:
- O cliente pagará R$ 30,00 da taxa fixa;
- O cliente pagará também cada minuto dos que falou, isto é: (nº de
minutos)*R$ 0,05;
- A conta do cliente será de um total de R$ 30,00 + (nº de minutos)*R$
0,05;
Ou seja (retirando os símbolos de moeda da conta),
(Total da conta telefônica) = 30 + (nº de minutos)*0,05
- Para "facilitar", vamos chamar (Total da conta telefônica) de y;
- Vamos chamar o nº de minutos utilizados pelo cliente, de x;
Daí temos:
y = 30 + x*0,05
Veja se você consegue relacionar essa expressão com essas três frases
(todas essas frases dizem a mesma coisa):
O total da conta telefônica (y) depende do número de minutos
utilizados (x);
O total da conta telefônica (y) é função do número de minutos
utilizados (x);
y é função de x;
Para melhorar a explicação, vamos admitir que a empresa não cobra pelos
segundos utilizados a mais (quem utilizou 200 minutos e 50 segundos, paga
apenas 200 minutos).
Imagine um conjunto M que contém todos os números de minutos que o cliente
pode utilizar em um mês (os valores de x estão neste conjunto – este é o
conjunto domínio);
Note que o conjunto M é o conjunto dos números naturais. Não podem existir,
fisicamente, número de minutos negativos.
Imagine agora um conjunto D com todos os valores totais de uma conta
telefônica (os valores de y estão neste conjunto – este é o conjunto contra-
domínio);
Note que o conjunto D é o conjunto dos números racionais, maiores que 30
(taxa fixa), com duas casas decimais (os valores do conjunto D são dados em
reais – R$).
Imagine agora uma função que associa cada elemento de x com um elemento de
y segundo essa regra: y = 30 + 0,05x.
A função então é apresentada desta forma: .
Entendeu como é usada a função?
Podemos dizer que esse é um dos assuntos mais importantes da matemática e,
se você entendê-lo, entenderá muitos assuntos dentro da sua universidade,
seja qual for a área do conhecimento em que você estiver.
A forma de apresentação de uma função
Considere a função que estamos analisando f(x) = 30 + x*0,05. Se essa
função for apresentada desta forma:
Seja
Isto significa que:
O domínio da função é o conjunto dos números reais.
O contra-domínio da função também é o conjunto dos números reais.
Mas se for apresentada da seguinte maneira:
Significa que:
O domínio da função é o conjunto M.
O contra-domínio da função também é o conjunto dos números reais.
O modo como a função é apresentada define se ela é sobrejetora, injetora e
bijetora. Por exemplo, considere esses três conjuntos.
R = conjunto dos números reais;
M = conjunto dos números racionais maiores que 0;
D = conjunto dos números racionais com duas casas decimais;
A função: é bijetora (=injetora + sobrejetora);
A função também é bijetora;
A função é injetora (para cada f(x) só há um único x) mas não é
sobrejetora (não alcança todos os valores do contra-domínio);
A função é injetora, mas não é sobrejetora.
Ilustramos esses exemplos com os diagramas de flechas abaixo:
Como foi visto, a função do problema da conta telefônica:
é uma função bijetora.
Agora veremos porque esta é uma função do primeiro grau.
Definição
Função do 1º grau é toda função que pode ser escrita na forma:
f(x) = ax + b ou y = ax + b
onde a e b são os coeficientes, x é a variável independente e y (ou f(x))é
a variável que depende de x (variável dependente); O coeficiente a é
chamado de coeficiente angular da equação do primeiro grau.
Para cada valor de x, a função terá um valor de y diferente.
Tabela com os valores da função
Preste atenção na função f(x) = x + 4;
Se x = 3, logo f(x) = 7;
Se x = 9, logo f(x) = 13;
Se x = 0, logo f(x) = 4;
Se x = 0,5 logo f(x) = 4,5;
Se x = , f(x) = 4 +;
Vamos fazer uma tabela com a função f(x) = x + 4;
"Se x for "Então f(x) = x +"
"igual a... "4 será igual "
" "a... "
"-5 "-1 "
"-3,5 "0,5 "
"2,7 "6,7 "
"1 "5 "
Preste atenção na tabela de outras funções:
"f(x) = x – 2 "
"x "F(x) "
"-3 "-5 "
"-2,5 "-4,5 "
"-1,7 "-3,7 "
"0 "-2 "
"1,7 "0,3 "
"2,7 "0,7 "
"f(x) = x – 3 "
"x "f(x) "
"-3 "-6 "
"-2,5 "-5,5 "
"-1,7 "-4,7 "
"0 "-3 "
"1,7 "- 1,3 "
"2,7 "- 0,3 "
"f(x) = 2x - 2 "
"x "f(x) "
"-3 "2*(-3) – 2 = -8 "
"-2 "2*(-2) – 2 = -6 "
"-1 "2*(-1) – 2 = -4 "
"0 "2*(0) – 2 = -2 "
"1 "2*(1) – 2 = 0 "
"2 "2*(2) – 2 = 2 "
"f(x) = 0,5x – 2 "
"x "F(x) "
"-3 "0,5*(-3) – 2 = "
" "-3,5 "
"-2 "0,5*(-2) – 2 = -3"
"-1 "0,5*(-1) – 2 = "
" "-2,5 "
"0 "0,5*(0) – 2 = -2 "
"1 "0,5*(1) – 2 = "
" "-1,5 "
"2 "0,5*(2) – 2 = -1 "
Raiz ou zero de uma função do primeiro grau
Raiz de uma função função é o valor de x para o qual y é igual a zero.
No caso de uma função do primeiro grau, para achar a raiz substituímos f(x)
por zero e calculamos o x correspondente.
Ex: Achar o zero das funções f(x) = 6x – 0,6; g(x) = 3x – 18 e h(x) = 4x +
5;
Procedemos da seguinte forma:
Logo, a raiz (ou zero) de f(x) é 0,1; a raiz de g(x) é 6 e a raiz de h(x) é
.
Gráfico de uma função do primeiro grau
Além do diagrama de flechas e da tabela, existe um outra forma de
representar qualquer função: a forma gráfica. Para isso, nos utilizaremos
do plano cartesiano (aquele com os eixos x e y que vimos na quinzena
básica) e combinaremos o seguinte:
"Os pontos (x;y) que marcaremos no gráfico serão os pontos onde x é cada um
dos valores da variável independente e y é o valor dado pela função para
aquele x".
Podemos chamar os pontos (x; y) de pares ordenados.
Por exemplo:
Observe a tabela da função f(x) = 2x – 2 (dada no exemplo anterior);
"f(x) = 2x - 2 "
"x "f(x) "
"-2 "-6 "
"-1 "-4 "
"0 "-2 "
"1 "0 "
"2 "2 "
Os pontos (pares ordenados) no plano cartesiano seriam (-3; -8), (-2; -6),
(-1; -4), (0; -2), (1; 0) e (2; 2).
Observe esses pontos marcados no plano cartesiano.
Observe agora, a tabela da função g(x) = 0,5x – 2 e os pontos no gráfico:
"g(x) = 0,5x – 2 "
"x "F(x) "
"-3 "0,5*(-3) – 2 = "
" "-3,5 "
"-2 "0,5*(-2) – 2 = -3"
"-1 "0,5*(-1) – 2 = "
" "-2,5 "
"0 "0,5*(0) – 2 = -2 "
"1 "0,5*(1) – 2 = "
" "-1,5 "
"2 "0,5*(2) – 2 = -1 "
Para gerar o gráfico de uma função, basta ligarmos os pontos. Observe como
vai ficar o gráfico de f(x) = 2x –2 e o gráfico de g(x) = 0,5x – 2:
Note que o gráfico de f(x) = 2x – 2 passa pelo ponto (3; 4). Isto significa
que, se x = 3, então f(x) = 4. Se fizermos as contas, f(x) = 2.3 – 2 = 4.
Então, podemos dizer que o gráfico pode nos dar outros valores que não
estejam na tabela. Por exemplo, se procurarmos o ponto onde x = 1,5 por
onde a função passa, veremos que esse ponto é (1,5; 1). Logo, temos que se
x = 1,5 então f(x) = 2.1,5 – 1 = 1.
Preste atenção no que será dito agora:
O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta. Para desenhá-
lo, precisamos saber somente dois pontos (x; y) que fazem parte da função.
O coeficiente a indica o crescimento e o decrescimento da reta.
Ex: desenhe o gráfico da função f(x) = x + 4;
- Se x = 0, logo f(x) = 4; ponto (0; 4).
- Se x = -1, logo f(x) = 3; ponto (-1; 3).
Marcamos os pontos primeiro e depois traçamos a reta:
Note que o gráfico passa pelo ponto (-4; 0) ou seja, se x = -4, logo f(x) =
0;
Da mesma forma, o gráfico passa pelos pontos (-1; 3), (-2; 2); (-4; 0),
etc...
COMO ACHAR UMA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU A PARTIR DE DOIS PARES ORDENADOS
(PONTOS) PERTENCENTES Á FUNÇÃO
Ex: vamos achar a função que contém a seguinte tabela:
"x "f(x) "
"-1 "-2 "
"1 "7 "
Note que os pontos no gráfico da função são (-1; -2) e (1; 7). Já
poderíamos desenhar o gráfico dela sem ao menos conhecê-la.
Pelo gráfico também, poderíamos saber vários pontos pelos quais passa a
equação, mas não teríamos a sua forma algébrica (que é a forma f(x) = ax +
b). Para descobri-la, precisamos descobrir os valores de a e de b.
- Note, da tabela, que, se x = 0, então f(x) = 6. Podemos escrever
então:
- Note da mesma tabela, que, se x = 1, então f(x) = 7. Podemos escrever
também:
Como, nas duas contas, o valor de a e de b devem ser os mesmos, teremos o
seguinte sistema:
Cuja resolução nos dá a = 3 e b = 1.
Logo, temos que a forma algébrica da função que tem a tabela acima é f(x) =
3x + 1.
Isso nos ensina que:
Para conhecer a forma algébrica, ou o gráfico de uma função, só precisamos
de dois pontos (pares ordenados) pertencentes a ela.
As equações do primeiro grau na Física
Você já deve ter aprendido, na Física, que um móvel em MRU percorre uma
trajetória reta com velocidade constante. Vamos ver a relação desse tema
com as equações de primeiro grau.
Preste atenção no desenho abaixo. Note que a velocidade do móvel é de 2 m/s
e o ponto onde ele inicia o movimento é S0 = 1m (1m de distância do início
da pista).
Se a cada segundo, o carro percorre 2 m, note na tabela abaixo qual a
posição do carro para cada instante de tempo:
"Em t = "O carro "
"... "estará em S "
" "=... "
"0 "1 "
"1 "3 "
"2 "5 "
"3 "7 "
"4 "9 "
"5 "11 "
"6 "13 "
Note que esta tabela também está relacionada a uma função do primeiro grau
(S = 2t + 1), que na Física, é um exemplo de uma função horária do
movimento retilíneo uniforme. Seu gráfico é dado por:
Agora, veja a "coindidência" entre a física e a matemática:
Função do primeiro grau: f(x) = ax + b;
Função horária do MRU: S(t) = S0 + v.t
Quando conhecemos a e b, f(x) depende de x;
Quando conhecemos v e S0, S(t) depende de t;
Exercícios
1. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 1:
a) y = x;
b) y = x + 1;
c) y = x – 3;
2. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 2:
a) y = x;
b) y = 2x;
c) y = 3x;
3. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 3:
a) y = -x;
b) y = -x –2
c) y = -x + 1;
d) y = -2x;
e) y = -3x;
4. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 4:
a) y = 2x + 1;
b) y = 2x;
c) y = 2x – 1;
5. O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância
percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa,
denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de
quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00
e o quilômetro rodado, R$ 1,20.
a) Expresse o preço P em função da distância d percorrida.
b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?
c) Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância
percorrida pelo táxi.
6. Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada
para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100
litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se:
a) a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em
função do tempo (t) que a bomba fica ligada.
b) a expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS)
em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.
c) o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada.
d) quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de
funcionamento da bomba?
e) o esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina
em função do tempo em que a bomba fica ligada.
7. Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e
cujo coeficiente angular é -4.
8. Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos
abaixo:
a) (0, 1) e (1, 4)
b) (-1, 2) e (1, -1)
9. Faça os gráficos das seguintes funções:
a) y = 2x + 3
b)
c) y = –x
10. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$
240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.
a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número
(u) de unidades vendidas.
b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$
700,00?
c) Determine o domínio e a imagem desta função.
11. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é
consumido, por dia, 0,5 kg de gás:
a) Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t)
de dias de consumo.
b) Esboce o gráfico desta função.
c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio?
12. A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A
temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a
temperatura em graus Celsius (C).
a) Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico
desta função.
b) A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta
temperatura em graus Fahrenheit?
c) A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F.
SITE CONSULTADO:
http://si.uniminas.br/~katia/Lista1_cal_2007_2.pdf
Inequação do Primeiro Grau
Observe o seguinte problema:
Dois táxis têm preços dados por:
Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado;
Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.
a) Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB)
em função da distância percorrida.
b) Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi?
Se você aprendeu a lição anterior, vai saber resolver o item a. Para
resolver o item b, daí sim, recorremos as inequações do primeiro grau.
DEFINIÇÃO
Inequação do primeiro grau é qualquer desigualdade que pode ser expressa de
umas das formas abaixo:
Sendo f(x) = ax + b;
Note, que o lado esquerdo da equação do primeiro grau é uma função do
primeiro grau, cujo valor depende de x.
RESOLVENDO UMA INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Observe o exemplo:
Ex: Resolva a inequação 4x – 2 > 0
Antes de resolvermos a inequação algebricamente, vamos dar uma olhada no
gráfico da função f(x) = 4x – 2:
Repare que a raiz dessa função é . Logo, o ponto faz parte do
gráfico dessa função. Agora vem a parte mais importante. Note que:
Se , então y = 4x – 2 será igual a zero;
Se , então y = 4x – 2 será maior que zero;
Se , então y = 4x – 2 será menor que zero;
Ou seja, se o exercício nos pede para resolver 4x – 2 > 0, nossa reposta
deve ser:
Resposta 1: 4x – 2 > 0 se, e somente se, .
Resposta 2: O conjunto dos números reais maiores que resolve a
inequação 4x – 2 > 0;
Resposta 3: O conjunto-solução da equação 4x – 2 é o conjunto dos números
reais maiores que .
Resposta 4 (em linguagem matemática):
Obs: S é a letra que utilizamos para representar o conjunto – solução. A
resposta 4 é a mais utilizada.
Mas será que sempre precisaremos fazer o gráfico da função f(x) para
resolver a inequação?
Resposta: Não.
Utilizamos o gráfico apenas para que ficasse mais clara a relação entre
inequação e função do primeiro grau. Resolvemos uma inequação do primeiro
grau da mesma forma que resolvemos uma equação do primeiro grau.
Ex: resolva a equação 4x – 2 > 0;
Resposta: .
Ex: resolva a inequação .
Observe os dois modos de resolução:
Resposta: .
Ex: Resolva a inequação 1 – 4x > 0.
Resposta: .
Neste exemplo, como o x tem que estar positivo na última linha da
inequação, ficou mais fácil isolar o x no segundo membro e inverter a
equação no final.
Ex: resolva a inequação 1 – 2x > 4 + x
Resposta: .
Perceba que, neste exemplo, a inequação do primeiro grau estava um pouco
"disfarçada", de forma que precisamos manipular um pouco para chegarmos à
forma conhecida de inequação do primeiro grau (neste caso, na quarta linha
da resolução, a = -3 e b = -3, o que nos leva a concluir que f(x) = -3 –
3x).
Note também outra coisa: Se existirem duas funções g(x) = 1 – 2x e h(x) = 4
+ x, os gráficos das mesmas e suas tabelas serão dados por:
"x "g(x) " "x "h(x) "
"- 3 "7 " "- 3 "1 "
"- 2 "5 " "- 2 "2 "
"- 1 "3 " "- 1 "3 "
"0 "1 " "0 "4 "
"1 "-1 " "1 "5 "
"2 "-3 " "2 "6 "
"3 "-5 " "3 "7 "
Note, pela tabela, que, nas duas funções, quando x = -1, g(x) = 3 e h(x) =
3, ou seja, g(-1) = h(-1) = 3. Note também que:
Se x < -1, então g(x) = 1 – 2x será maior que h(x) = 4 + x;
Se x > -1, então g(x) = 1 – 2x será menor que h(x)= 4 + x;
Se x = -1, então g(x) será igual a h(x), ou seja, g(-1) = h(-1).
Tente concordar com isso olhando o seguinte gráfico com as duas funções.
Note que estamos comparando duas funções do primeiro grau:
Vamos voltar ao problema proposto no ínicio:
a) O preço de cada táxi é uma função da distância percorrida. No caso do
táxi A, essa função é dada por:
Preço no táxi A = R$ 4,00 + (kilômetros rodados)*R$ 0,75;
Preço no táxi B = R$ 3,00 + (kilômetros rodados)*R$ 0,90;
Chamando o preço do táxi de P e a quilometragem rodada de q, teremos:
PA = 4 + 0,75q
PB = 3 + 0,90q
b) Em qual situação o preço cobrado pelo táxi A é igual ao preço cobrado
pelo táxi B?
Se fizermos PA = PB, teremos:
De fato, se uma pessoa fizer uma corrida de 6,66 Km, o táxi A cobrará:
PA = 4 + 0,75*(6,66) = R$ 9,00.
E o táxi B cobrará:
PB = 3 + 0,9*(6,66) = R$ 9,00.
Em qual situação o preço cobrado no táxi A é maior do que o cobrado no táxi
B?
Vamos fazer PA > PB.
Essa resposta quer dizer, para qualquer quilometragem abaixo de 6,66 Km (q
<6,66), então PA > PB, ou seja, o preço do táxi A será maior do que o do
táxi B.
Se fizermos PA < PB, veremos que, para qualquer quilometragem acima de 6,66
Km (q >6,66), teremos PA < PB, ou seja, o preço do táxi A será menor do que
o do táxi B.
Então a resposta do ítem b seria:
Se a distância a ser percorrida for menor que 6,66 Km, é mais vantajoso
tomar o táxi B, pois é mais barato. Se a distância a ser percorrida for
maior que 6,66 Km, é mais vantajoso tomar o táxi A.
Como exercício, você pode fazer o gráfico do preço cobrado pelos dois táxis
e compará-los diretamente no gráfico.
Exercícios.
1) Fazer o gráfico das funções:
f(x) = 4 + 0,75x
g(x) = 3 + 0,9x
A partir do gráfico, responder:
Em quais condições teremos f(x) > g(x)?
Em quais condições termos f(x) = g(x).
2) Obtenha a lei das funções de 1º grau que passam pelos pares de pontos
abaixo:
a) (-1, 2) e (2, -1)
b) (-1, 0) e (3, 2)
c) (3,2) e (-1,0)
3) Determine a equação da reta cujo gráfico está representado abaixo:
4) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico passa pelo ponto (2,
3) e cujo coeficiente linear vale 5.
5) Dada a função y = 3x – 2, encontre o valores de x em que a ordenda y é
o seu dobro..
6) Dada a função y = –2x + 1, encontre os interceptos (pontos em que a
função intercepta o eixo x e o eixo y).
7) Dada a função y = 2/3x + 10.Encontre os interceptos (pontos em que a
função intercepta o eixo x e o eixo y).
8) Determine a equação da reta que passa por (1,5) e tem coeficiente
angular = 20.
9) Seja a reta dada por y = -3x + b. Determine o valor de b para que a
reta corte o eixo as ordenadas no ponto (0,5).
10) Dadas as funções f (x) = x + 2 e g(x) = x 4, encontre os valores de
x para os quais g(x) = f(x).
11) Para cada um das retas abaixo, responda:
Em que condições y=0?
Em que condições y > 0?
Em que condições y < 0?
a)
b)
c)
11) Resolva as inequações:
a)
b)
12) Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e
cujo coeficiente angular é -4.
13) Dadas as funções e g(x) = 2x 4 , calcule os valores de x para
os quais
14) g(x) < f(x).
15) Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos
abaixo:
a) (0, 1) e (1, 4)
b) (-1, 2) e (1, -1)
16) De modo geral , a lei que rege as transações comerciais é dada por:
V = C + L
Onde:
V = preço total de venda
C é o custo total do produto
L é o lucro total
Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade produzida.
Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00 independentemente da
quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o
número mínimo de unidades a partir do qual a firma começa a ter lucro?
EXERCÍCIOS RETIRADOS DO SITE:
http://si.uniminas.br/~katia/Lista1_cal_2007_2.pdf
Função do Segundo Grau
Definição
Chama-se função polinomial do 2º grau (ou função quadrática), a toda função
f : lR -> lR definida por:
f(x) = ax²+bx+c, a є lR*, b є lR e c є lR
Como obter o gráfico de uma função quadrática
Antes de generalizarmos a construção do gráfico de uma função quadrática.
Vejamos alguns exemplos:
1. Construir o gráfico da função f : lR -> lR definida por f(x) = x²-2x-3
Primeiramente, vamos construir uma tabela atribuindo alguns valores de
x, e calculando sua imagem f(x) correspondente.
"X "f(x) = x² - 2x – 3 "
"-2"f(-3) = (-2)² - 2(-2)"
" "- 3 = 5 "
"-1"f(-2) = (-1)² - 2(-1)"
" "- 3 = 0 "
"0 "f(-1) = (0)² - 2.0 - "
" "3 = -3 "
"1 "f(0) = 1² - 2.1 - 3 ="
" "-4 "
"2 "f(1) = 2² - 2.2 - 3 ="
" "-3 "
"3 "f(2) = 3² - 2.3 - 3 ="
" "0 "
"4 "f(4) = 4² - 2.4 - 3 ="
" "5 "
Gráfico de f:
2. Construir o gráfico da função f : lR -> lR definida por f(x) =
-x²+2x+3
Analogamente ao exercício 1, temos:
"X "f(x) = -x² + 2x + 3 "
"-2"f(-2) = -(-2)² + "
" "2(-2) + 3 = -5 "
"-1"f(-1) = -(-1)² + "
" "2(-1) + 3 = 0 "
"0 "f(0) = -(0)² + 2.0 + "
" "3 = 3 "
"1 "f(1) = -(1)² + 2.1 + "
" "3 = 4 "
"2 "f(1) = -(2)² + 2.2 + "
" "3 = 3 "
"3 "f(2) = -(3)² + 2.3 + "
" "3 = 0 "
"4 "f(4) = -(4)² + 2.4 + "
" "3 = -5 "
Gráfico de f:
3. Construir o gráfico da função f : lR -> lR definida por f(x) = x²-4x+4
"X "f(x) = x² - 4x + 4 "
"-1"f(-1) = (-1)² - 4(-1)"
" "+ 4 = 9 "
"0 "f(0) = 0² - 4.0 + 4 ="
" "4 "
"1 "f(1) = 1² - 4.1 + 4 ="
" "1 "
"2 "f(0) = 2² - 4.2 + 4 ="
" "0 "
"3 "f(3) = 3² - 4.3 + 4 ="
" "1 "
Gráfico de f:
4. Construir o gráfico da função f : lR -> lR definida por f(x) = -x²+2x-
3
"X "f(x) = -x² + 2x - 3 "
"-1"f(-3) = -(-1)² - "
" "2(-1) - 3 = -6 "
"0 "f(-2) = -(0)² - 2.0 -"
" "3 = -3 "
"1 "f(-1) = -(1)² - 2.1 -"
" "3 = -2 "
"2 "f(0) =-(2)² - 2.2 - 3"
" "= -3 "
"3 "f(1) = -(3)² - 2.3 - "
" "3 = -6 "
Gráfico de f:
Observamos então que:
a) O gráfico de f(x)= ax²+bx+c é sempre uma parábola;
b) Se a0, a parábola é "boca para cima" (concavidade voltada para
cima);
c) Se a0, a parábola é "boca para baixo" (concavidade voltada
para baixo);
d) Se Δ = 0 então f admite duas raízes reais distintas,
logo, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos;
e) Se Δ = 0 então f não admite raízes reais, logo, a
parábola não intercepta o eixo Ox ;
f) Se Δ = 0 então f admite uma raíz real, logo, a
parábola tangencia o eixo Ox (toca o eixo Ox em apenas 1 ponto);
Resumindo
Uma função polinomial de 2º grau tem como gráfico uma parábola que
pode ser representada de seis maneiras diferentes:
Vértice de uma parábola
Existe uma fórmula que podemos usar para determinar diretamente as
coordenadas do vértice de uma parábola:
V = ( ; )
Observe que:
Se a 0, então V é o mínimo da função f
Se a 0, então V é o máximo da função f
Exercícios
1. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = x²-5x+6
b) f(x) = x²-4x+5
c) f(x) = x²-4x+4
d) f(x) = -x²+x+2
e) f(x) = -x²+6x-9
f) f(x) = -x²+2x+3
2. Verifique se as seguintes funções admitem valor máximo ou mínimo e
calcule esse ponto.
a) f(x) = -3x²+2x
b) f(x) = 2x² - 3x – 2
c) f(x) = -4x²+4x-1
3. Determine o valor de K para que a função f(x) = (2-k)x²-5x+3 admita um
valor máximo.
4. Determine o valor de m para que a função f(x) = (4m+1)x²-x+6 admita
valor mínimo.
5. Para que valores reais de k a função f(x) = kx²-6x+1 admite valores
reais e diferentes?
6. Determine para que valores reais de k a função f(x) = (k-1)x²-2x+4 não
admite valores reais.
7. Determine que valores de m a função f(x) = (m-2)x²-2x+6 admite raízes
reais.
8. (Univali - SC) Os valores de m para os quais as raízes da função y =
-x²-mx-4 sejam reais e diferentes pertencem ao intervalo:
a) (-2,2)
b) [-2,2]
c) [-4,4]
d) lR – [-4,4]
e) (4, )
9. (UFOP - MG) Em relação ao gráfico da função f(x) = -x²+4x-3, pode-se
afirmar:
a) É uma parábola de concavidade voltada para cima.
b) Seu vértice é o ponto V(2,1).
c) Intersecta o eixo das abscissas em P(-3,0) e Q(3,0).
d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.
e) Nda.
10. (Vunesp - SP) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = x²-
mx+(m-1), em que m є lR, tem um único ponto em comum com o eixo das
abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x=2 é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
11. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t
segundos após o lançamento, seja h= -t²+4t+6. Determine:
a) O instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
b) A altura máxima atingida pela bola;
c) Quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.
Resposta dos Exercícios
2) a. máximo = 1/3 b. mínimo = -25/8 c. máximo = 0
3) k 2
4) m -1/4
5) k 9
6) k 5/4
7) m 13/6
8) d
9) b
10) d
11) Deve ser um quadrado de 20 cm. de lado
12) a.25s b. 10m c. 5min e 10s
Referências
1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante;
Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
Inequação do Segundo Grau
Definição
Chama-se inequação do 2º grau toda sentença dos tipos:
ax²+bx+c0
ax²+bx+c0 Onde a є lR*, b є lR e c
є lR
ax²+bx+c0
ax²+bx+c0
Como resolver uma equação do segundo grau
Vamos definir o passo a passo através de um exemplo:
1. Resolva x²-3x+2 0
Resolver essa inequação significa encontrar um conjunto de valores x, para
o qual a função f(x) = x²-3x+2 seja negativa ou zero ().
Vamos esboçar o gráfico dessa função (Você já aprendeu a fazer isso na aula
passada):
Observando o gráfico, fica fácil perceber que f(x) assume valores negativos
quando x está entre 1 e 2, logo:
Conjunto Solução: S= {xє lR l 12}
Em resumo,
I. Resolver uma inequação do tipo ax²+bx+c0 (a 0) é determinar o
conjunto dos valores de x que deixam o gráfico de f(x) = ax²+bx+c
acima do eixo Ox.
II. Resolver uma inequação do tipo ax²+bx+c0 (a 0) é determinar o
conjunto dos valores de x que deixam o gráfico de f(x) = ax²+bx+c
abaixo do eixo Ox.
Exercícios
1) Resolva as seguintes equações:
a) 3x²-10x+7 0
b) -2x²-x+1 0
c) x²-5x+10 0
d) -4x²+9 0
e) 3x²+x+1 0
f) x²-4x 0
2) Determine a solução das seguintes inequações:
a) 2(x-1)² x
b) 3(x²-10) 4x2 -34
c) x(x-3)+1 5(x-3)
Exercício Resolvido
Vamos resolver a seguinte inequação: -8 x²-2x-8 0
Então, queremos que:
x²-2x-8 0 x²-2x-8 0 (1)
x²-2x-8 -8 x²-2x 0 (2)
Resolvendo (1): x²-2x-8 0 , obtemos que: a = 1 0 ; Δ = 36
0 ; x1 = 4 e x2 = -2
Logo, S1 = {x є lR l -2 x 4}
Resolvendo (2): x²-2x 0 , obtemos que: a = 1 0 ; Δ = 4 0
; x1 = 2 e x2 = 0
Logo, S2 = {x є lR l x 0 ou x 2}
Como temos duas soluções que devem ser satisfeitas simultâneamente, vamos
calcular a intersecção S=S1S2 :
Portanto, S = {x є lR l -2 x 0 ou 2 x 4}
Exercício
3) Resolva as seguintes inequações:
a) -6 x²-5x 6
b) 7 x²+3 4x
c) 2 x²-x 20-2x
d) 3 x²-2x+8 8
Respostas dos Exercícios
1) a. S = {x є lR l 1 x 7/3 }
b. S = {x є lR l x -1 ou x 1/2}
c. S = ø
d. S = {x є lR l -3/2 x 3/2}
e. S = lR
f. S = {x є lR l x 0 ou x 4}
2) a. S = {x є lR l 1/2 x 2}
b. S = {x є lR l -2 x 2 }
c. S = lR – {4}
3) a. S = {x є lR l -1 x 2 ou 3 x 6 }
b. S = {x є lR l 2 x 3}
c. S = { x є lR l -5 x -1 ou 2 x 4}
d. S = {x є lR l 0 x 2 }
Referências
1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante;
Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
Inequação Produto/Quociente
Agora que você conhece as funções e inequações de segundo grau, os seus
gráficos, o estudo do sinal de cada uma, podemos partir para um estudo de
inequações aparentemente mais complicadas, mas cuja resolução envolve a
combinação dos conceitos vistos até aqui. Os exercícios de inequação
produto e inequação quociente, desta forma, envolvem num mesmo exercício: o
estudo do sinal de uma função do primeiro grau, o estudo do sinal de uma
função do segundo grau e o conhecimento da "regra dos sinais".
Regra dos Sinais
"Multiplicação ou "Resultado "
"Divisão de... " "
"Um número positivo "Um número "
"por outro número "positivo. "
"positivo. " "
"Um número negativo "Um número "
"por outro número "positivo. "
"negativo. " "
"Um número positivo "Um número "
"por um número "negativo. "
"negativo ou " "
"vice-versa. " "
Esse assunto não tem, em geral, uma incidência direta e constante nos
vestibulares, mas é fundamental para desenvolver o raciocínio lógico e
estimulá-lo na resolução de problemas reais, como mostra o exemplo.
(FGV – SP adaptado) O lucro de uma empresa é dado por: L(x) = 10.(10 –
x).(x – 2).(20 – x) , onde x é a quantidade vendida. Calcular as
quantidades de x que podem ser vendidas de modo que a empresa não tenha
prejuízo.
Para resolver este problema, note que:
A empresa terá lucro quando L(x) for maior que zero (L(x) > 0) e terá
prejuízo quando L(x) for menor que zero (L(x) < 0). Quando L(x) for igual a
zero a empresa não terá prejuízo nem lucro.
O problema está interessado apenas nas situações em que não há prejuízo, ou
seja, aquelas em que L(x) > 0 ou L(x) = 0.
Logo, temos que saber para quais valores de x teremos L(x) 0, ou seja,
temos que estudar o sinal da inequação 10.(10 – x).(x – 2).(20 – x) 0.
Se eu for aplicar a propriedade distributiva para tentar resolver este
problema, o resultado será uma função do terceiro grau (L(x) =), que
não estudamos e nem sabemos estudar o seu sinal.
Porém, podemos ver que L(x) é um produto (uma multiplicação) de 4 funções:
, que é uma função constante;
;
;
.
Podemos escrever, então, que e que temos que resolver a inequação
. Essa forma caracteriza uma inequação quociente.
Definição
Inequação produto é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas
abaixo:
ou ou ou .
Inequação quociente é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas
abaixo:
ou ou ou .
Exemplo:
é o produto entre as funções e em uma inequação.
Temos que descobrir para quais valores de x esse produto é maior ou
igual a zero.
é o quociente entre as funções e em uma inequação.
Temos que descobrir para quais valores de x esse quociente é menor que
zero.
é produto das funções e e o quociente desse produto
por . Temos que descobrir para quais valores de x a equação é
menor ou igual a zero.
Resolução de inequações produto/quociente
O modo de se resolver as inequações quociente e produto é o mesmo, já que a
"regra dos sinais" na multiplicação é a mesma aplicada na divisão. Tal modo
pode ser descrito assim:
Faz-se o estudo do sinal de cada uma das funções envolvidas no produto
ou no quociente;
Compara-se o estudo desses sinais em cada um dos intervalos dos
números reais;
Usa-se a "regra dos sinais" para determinar o sinal da função que será
o produto/ quociente de cada uma das funções envolvidas.
Exemplo 1:
Vamos resolver a inequação .
Sabemos que ela é um produto das funções e . Vamos dar uma
olhada no gráfico de cada uma dessas funções:
Gráfico de f(x) = x – 3:
Desse gráfico nota-se:
x – 3 é maior que zero (positivo) se x for maior que 3;
x – 3 é menor que zero (negativo) se x for menor que 3;
x – 3 é igual a zero se x for igual a 3.
Baseado nisso, simplificamos o gráfico e o desenhamos nesta forma (estudo
do sinal da função):
Se você entende o que significa este gráfico (mesmo das aulas anteriores),
você não terá dificuldades em entender o resto da aula.
Gráfico de g(x) = x+2:
Notar que:
g(x) = x + 2 é positivo se x > -2;
g(x) = x + 2 é negativo se x < -2;
g(x) = x + 2 é zero se x = 2;
Gráfico para estudo de sinal:
Vamos comparar os gráficos de sinal para as duas funções dessa forma:
Entender esse gráfico é a parte mais importante da aula (o gráfico apenas
apresenta todas as informações de antes em um desenho só). Ele diz que:
Em x > -2, f(x) = x - 3 é negativo (f(x) < 0 – vide gráfico de f(x) =
x - 3) e g(x) = x + 2 também é negativo (g(x) < 0 – vide gráfico de
g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a "regra dos sinais" o
produto f(x).g(x) será positivo (produto de dois números negativos é
positivo).
Quando x está entre -2 e 3 (-2 < x < 3), f(x) = x - 3 é negativo (f(x)
< 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 é positivo (g(x) >
0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a "regra
dos sinais" o produto f(x).g(x) será negativo (produto de número
negativo com número positivo é negativo).
Quando x é maior que 3 (x > 3), f(x) = x - 3 é positivo (f(x) > 0 –
vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 é positivo (g(x) > 0 –
vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a "regra dos
sinais" o produto f(x).g(x) será positivo (produto de dois números
positivos é positivo).
De posse dessas informações, montamos o estudo do sinal para a função
.
E a partir daí resolvemos a inequação .
"( x – 3).(x + 2) é maior que zero se x pertencer ao conjunto dos números
reais, contanto que ele seja menor que -2 ou seja maior que 3."
Com maior rapidez, considerando que já é sabido o estudo do sinal de
funções do primeiro e segundo grau, vamos resolver mais alguns exemplos.
Exemplo 2:
Estudo do sinal de :
Estudo do sinal de :
Comparação entre f(x) e g(x):
Essa comparação é feita mais facilmente fazendo-se o estudo do sinal das
funções em um quadro, conforme a seguir:
Note que, neste caso, x não pode ser igual a -4, pois o denominador g(x)
ficaria igual a zero, o que não é permitido nos números reais.
Vemos que os valores de x que tornam menores ou iguais a zero são os
números menores que -4 (x < - 4) e os que estão entre -1 e 2 (- 1 x 2).
Os valores que tornam igual a zero são -1 e 2, porque eles fazem o
numerador ficar igual a zero. Por isso que o intervalo entre -1 e 2 é
descrito da forma (- 1 x 2) e não da forma (- 1 < x < 2). Porque os
números -1 e 2 fazem parte da solução neste caso. Os intervalos que
satisfazem a inequação são: ou .
Exemplo 3 (Resolução do problema do lucro):
Temos a inequação , que, substituindo, fica .
Colocamos o quadro de resolução diretamente (verificar se está certo
mesmo!):
Então vemos que:
A empresa do problema terá lucro (L(x) > 0) se x estiver entre 2 e 10 ou se
x for maior que 20.
A empresa não terá prejuízo nem lucro (L(x) = 0) se x = 2, x = 10 ou se x =
20.
Logo, os intervalos que satisfazem a inequação são: ou .
Os vários tipos de resposta para uma inequação
A solução de uma inequação é um conjunto. No caso de uma inequação
quociente, a solução geralmente é uma união de alguns subconjuntos de
formando um conjunto solução.
Resposta para o exemplo 1:
A solução de é o conjunto dos x que pertencem a (conjunto dos
números reais) que são menores que -2 e também o conjunto dos que são
maiores que 3. Em linguagem matemática, isso pode ser escrito assim (é
muito importante que você entenda isso):
.
Note que o símbolo """ significa "contanto" e que o símbolo significa
"ou".
Uma outra forma de responder a questão seria dizer que a solução de é
a união dos intervalos e certo? Em linguagem matemática, isso
seria:
Note a presença do símbolo união "".
Uma terceira forma de resposta ainda, seria dizer que a solução de
pode ser qualquer número do conjunto dos números reais menos aqueles que
estão entre -2 e 3 (que é aquela região onde (x - 3).(x + 2) é negativo),
ou seja, que estão no intervalo . Em linguagem matemática:
Da mesma forma, são fornecidas as respostas que serviriam para os outros
exemplos.
Respostas para o exemplo 2:
a)
b)
Respostas para o exemplo 3:
a)
b)
Exercícios
1. Resolva as inequações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
2. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
3. (FEI – SP adaptado) Qual o conjunto solução da inequação ?
4. (FEI – SP adaptado) Qual o domínio da função ?
5. (Fatec – SP adaptado) Qual o domínio da função ?
6. (FCC – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
7. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
8. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
9. (UFV – MG adaptado) Qual a solução da inequação ?
10. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução do sistema ?
Respostas:
1. a
a) {" ou }
b) {" ou }
c) {" ou ou }
d) {" ou }
e) {" ou }
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Bibliografia
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Alguns Tipos de Função
Um pouco mais de função...
Agora que vimos os tipos mais comuns de funções estudadas para o vestibular
e temos as noções de domínio e conjunto imagem, vamos estudar mais duas
relações entre as funções e como essas relações são representadas entre os
conjuntos numéricos. As relações que estudaremos são:
O que significa uma função ser inversa de outra função?
O que significa uma função ser composta com outra função?
Quais os outros tipos de funções especiais que existem?
Depois disso, daremos atenção à alguns tipos especiais de funções:
definiremos a função constante, a função crescente, a função decrescente, a
função par e a função ímpar.
Função Inversa (válido apenas para funções bijetoras)
Aprendemos, há algumas aulas, que as funções são relações entre conjuntos
numéricos. Que elas associam um elemento de um conjunto a um elemento de
outro conjunto. Vejamos o caso da função f(x) = 2x + 4.
Tabela de f(x) = 2x + 4;
"x "f(x) "
"Se x = -2; "f(x) = 0; "
"Se x = 0; "f(x) = 4; "
"Se x = 1; "f(x) = 5; "
Gráfico de f(x) = 2x + 4;
A função f(x) = 2x + 4 relaciona o conjunto x, que é idêntico ao conjunto
dos números reais (infinito), com o conjunto y, que também é idêntico
ao conjuto dos números reais e também é infinito.
Repare o sentido das flechas. O conjunto de partida (x) é o domínio e o
conjunto de chegada (y) é o contradomínio. É óbvio que só colocamos alguns
poucos elementos de x e de y, pois os dois conjuntos são infinitos, o que
vai gerar infinitas flechas ligando cada elemento de x a um elemento de y.
Repare que as mesmas informações que estão no diagrama estão no gráfico e
também na tabela. Por exemplo: f(0) = 4; f(-2) = 0; etc...
Repare agora, no diagrama da função . Observe que o seu diagrama é
dado por:
Compare o diagrama de f(x) com o de g(x). Note que: f(-2) = 0 e g(0) = - 2;
g(4) = 0 e f(0) = 4. Perceba que g(x) estabelece a relação inversa de f(x)
entre os dois conjuntos. Dizemos então, que g(x) é a função inversa de f(x)
– ou que f(x) é a função inversa de g(x) – e, matematicamente escrevemos:
g(x) = f -1(x) ou f(x) = g -1(x). O símbolo f -1(x) significa "função
inversa de f(x)", assim como g –1(x) significa "função inversa de g(x)".
Como fazemos para descobrir a inversa de uma função?
Seja a função f(x) = 2x + 4. Para descobrir a função inversa:
- Substituímos x por g(x) e substituímos f(x) por x:
Neste caso, como , fazemos .
Isolamos g(x) no primeiro membro.
Vamos descobrir a inversa da função f(x) = x – 1.
Comparando as tabelas de f(x) = x – 1 e g(x) = x + 1, temos.
Perceba que f(-2) = -3 e g(-3) = -2; f(0) = -1 e g(-1) = 0; etc... Se a
função passa pelo ponto (-2, -3), a inversa passará pelo ponto (-3, -2). Se
a equação passa pelo ponto (0, 1), a inversa passará pelo ponto (1, 0).
Veja se, de acordo com os exemplos anteriores, você concorda com esta
propriedade: Se g(x) é função inversa de f(x), então
O conjunto domínio de f(x) será igual ao conjunto Imagem de g(x).
O conjunto imagem de f(x) será igual ao conjunto Domínio de g(x).
Em matematiquês, dizemos: se g(x) = f -1(x) Dom{f(x)} = Im{g(x)} e
Im{f(x)} = Dom{g(x)}.
Função Composta
Vamos pensar novamente na nossa função f(x) = 2x + 4. Imagine uma outra
função, g(x) = x2. Vamos fazer com que o resultado de uma função seja
utilizado na outra função. Dessa forma:
- em x = 2, f(2) = 8 e g(8) = 64. Logo, g(f(2)) = 64.
- em x = 1, f(1) = 6 e g(6) = 36. Logo, g(f(1)) = 36.
- em x = -1, f(-1) = 2 e g(2) = 4. Logo, g(f(2)) = 4.
- em x = 0. f(0) = 4 e g(4) = 12. Logo, g(f(0)) = 12.
A função g(f(x)) é o que chamamos de função composta.
Imagine que a função seja uma máquina onde colocamos um número e ela
apresenta um outro número na saída, correspondente ao resultado da função:
Visão das funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x2 como uma máquina (esquema
"caixa-preta").
Então, a função composta é quando interligamos duas caixas, da seguinte
forma:
função composta no esquema "caixa-preta"
A função g(f(x)) é chamada função composta de g(x) com f(x) e representada
assim: gºf(x).
Preste atenção na tabela dessa função composta:
"x "g(f(x)"Demonstração "
" ") " "
"-4 "16 "f(-4) = 2.(- "g(- 4) = (- "
" " "4)+4 = - 4 "4)2 = 16 "
"-3 "4 "f(-3) = 2.(- "g(- 2) = (- "
" " "3)+4 = - 2 "2)2 = 4 "
"-2 "0 "f(-4) = 2.(- "g(0) = (0)2 ="
" " "2)+4 = 0 "0 "
"-1 "4 "f(-1) = 2.(- "g(2) = (2)2 ="
" " "1)+4 = 2 "4 "
"0 "16 "f(-4) = "g(4) = (4)2 ="
" " "2.(0)+4 = 4 "16 "
"1 "36 "f(-4) = "g(6) = (6)2 ="
" " "2.(1)+4 = 6 "36 "
"2 "64 "f(-4) = "g(8) = (8)2 ="
" " "2.(2)+4 = 8 "64 "
"3 "100 "f(-4) = "g(10) = (10)2"
" " "2.(3)+4 = 10 "= 100 "
"4 "144 "f(-4) = "g(12) = (12)2"
" " "2.(4)+4 = 12 "= 144 "
Será que existe uma função h(x) cuja tabela seja igual a da função
composta? Sim, existe. No caso, é a função h(x) = 4x2 + 16x + 16. Então
dizemos que:
g(f(x)) = gºf(x) = h(x) = 4x2 + 16x + 16.
"Tabela de h(x) "
"x "h(x) "Demonstração "
"-4 "16 "4.(- 4)2 + 16.(- 4) + "
" " "16 = 16 "
"-3 "4 "4.(- 3)2 + 16.(- 3) + "
" " "16 = 4 "
"-2 "0 "4.(- 2)2 + 16.(- 2) + "
" " "16 = 0 "
"-1 "4 "4.(- 1)2 + 16.(- 1) + "
" " "16 = 4 "
"0 "16 "4.(0)2 + 16.(0) + 16 ="
" " "16 "
"1 "36 "4.(1)2 + 16.(1) + 16 ="
" " "36 "
"2 "64 "4.(2)2 + 16.(2) + 16 ="
" " "64 "
"3 "100 "4.(3)2 + 16.(3) + 16 ="
" " "100 "
"4 "144 "4.(4)2 + 16.(4) + 16 ="
" " "144 "
Como será que apareceu essa função? Como fazemos para achar a função
equivalente à função composta? O método é simples se entendermos o
conceito.
Observe que, se g(x) = x2, então, g(f(x)) = f(x)2. Como f(x) = 2x + 4 ,
g(f(x)) = (2x + 4)2 = 4x2 + 16x + 16.
Além de g(f(x)) podemos ter também a composição f(g(x))= fºg(x) = 2(g(x)) +
4 = 2x2 + 4, que é diferente de g(f(x)).
(Fatec – SP adaptado) Sejam e definidas por e . Se
, então calcule o valor de t.
Passos para resolver o exercício:
a) Calcular f(g(x));
b) Calcular f(g(1)) = 16 e resolver o exercício.
a) Calculando f(g(x)), temos:
;
Como , então
b) Como f(g(1)) = 16, logo:
Alguns tipos de função
Função constante: é toda função em que f(x) é igual a um número real
somente, para qualquer valor de x.
Ex: f(x) = 3
Note que f(1) = f(2) = f(10) = f(1000000) = 3! Por isso chamamos de função
constante. O gráfico de uma função constante pode ser dado por:
função constante
Função Crescente: é aquela em que, se x1 > x2, então teremos f(x1) > f(x2).
Ex: f(x) = 2x. Nesta função, f(8) = 16 > f(5) = 10, pois 8 > 5.
O gráfico de uma função crescente, é sempre inclinado para a direita. Em
uma função crescente de primeiro grau o coeficiente que multiplica x é
sempre positivo.
Ex:
função crescente
Função Decrescente: é aquela em que, se x1 > x2, então teremos f(x1) <
f(x2).
Ex: f(x) = - x + 5. Nesta função, f(8) = 16 > f(5) = 10, pois 8 > 5.
O gráfico de uma função crescente, é sempre inclinado para a esquerda. Em
uma função crescente de primeiro grau o coeficiente que multiplica x é
sempre negativo.
Ex:
função decrescente
E a função f(x) = x2 mostrada abaixo, ela é crescente ou decrescente? Neste
caso, dizemos que f(x) = x2 é decrescente no intervalo e é crescente
no intervalo . Confirme isso olhando no gráfico logo abaixo.
Função Par: é toda função onde f(-x) = f(x), ou seja, onde f(-3) = f(3), f(-
1) = f(1), f(10) = f(-10). Um bom exemplo seria f(x) = x2 não é mesmo? Pois
é, x2 é uma função par. Toda função par é simétrica em torno do eixo y, ou
seja, o eixo y divide o desenho em duas partes iguais e opostas.
função par.
Outras funções pares são f(x) = x2 + 1, f(x) = x2 + 2, f(x) = x2 + 3, f(x)
= 2x2, f(x) = 3x2, f(x) = 4x2, f(x) = 2x2 + 1, f(x) = 3x2 + 2, etc...
Veremos, mais adiante no curso, um outro tipo de função par, a função
modular.
Função Ímpar: é toda função onde f(-x) = - f(x), ou seja, onde f(-3) = -
f(3), f(-1) = - f(1), f(-10) = - f(10). Tomemos como exemplo f(x) = 2x.
Note que:
"Tabela de f(x) = 2x. Note que, em "
"cada momento, f(- x) = - f(x). "
"f(1) = 2 "f(-1) = - 2 "
"f(2) = 4 "f(-2) = - 4 "
"f(3) = 6 "f(-3) = - 6 "
"f(4) = 8 "f(-4) = - 8 "
"f(5) = 10 "f(-5) = - 10 "
As funções f(x) = x, f(x) = 3x, f(x) = 4x, f(x) – x, f(x) = - 2x, etc...
também são ímpares. O gráfico de uma função ímpar necessariamente passa
pelo ponto (0,0) e a parte da função que se encontra no 1º quadrante é
simétrica a parte que se encontra no 3º quadrante.
funções ímpares
Mas existem funções, como f(x) = x + 1, que não obedecem a nenhum desses
critérios. Nesse caso, onde e , dizemos que a função não é par e
nem é ímpar.
Exercícios Propostos
1. (ITE – Bauru) Dadas as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = x3, determine (f
º g)-1(x).
2. (Mack – SP adaptado) Se f(x – 1) = x2, então, qual o valor de f(2)?
3. (PUC – SP) Qual das funções a seguir é par?
a)
b)
c)
d)
e) n.d.a.
4. (Cescem – SP adaptado) Se f(x) = a + 1 e g(z) = 2z + 1, calcule
g(f(x)).
5. (Mack – SP adaptado) Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = x + 1, calcule g(f(2)).
6. (Mack – SP adaptado) Se f(x) = 3x, g(x) = x2 – 2x + 1 e h(x) = x + 2,
calcule h(f(g(2))).
7. (FCC – SP adaptado) Calcule a inversa da função .
8. (UFU – MG) se é uma função estritamente crescente e ímpar, então
sua inversa f-1 é:
a) Estritamente crescente e ímpar.
b) Estritamente decrescente e par.
c) Estritamente crescente e par.
d) Estritamente decrescente e par.
e) Nem par nem ímpar.
9. (UECE) Seja uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico
de f passa pelos pontos P1(0,4) e P2(3,0), então o gráfico de f-1
passa pelo ponto:
a) (8, - 3)
b) (8, - 2)
c) (8, 2)
d) (8, 3)
10. (Santa – Casa SP adaptado) Se f-1 é a função inversa da função f, de R
em R, definida por f(x) = 3x – 2, então qual o valor de f-1(-1)?
Respostas
1.
2. 9
3. a
4. 2a+3
5. 4
6. 5
7.
8. b
9. a
10.
Bibliografia
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Funções, Equações e Inequações Modulares
Neste ponto da matéria começamos a abordar conceitos que quase não vemos no
ensino médio público e que são muito recorrentes em alguns vestibulares. O
módulo tem um conceito simples, mas as aplicações desse conceito em
equações, funções e inequações modulares podem ser bem complicadas. Elas
exigem um conhecimento grande na parte de funções e equações em geral.
O Conceito de Módulo
Módulo é um nome que provavelmente você já ouviu na Física, no estudo dos
vetores, correto? Lá, o módulo era o comprimento de um vetor. Por exemplo,
se temos duas forças em um caixote F1 e F2, isso vai ocasionar o
aparecimento de uma resultante FR:
Daí o professor de Física nos diz que, se o módulo de F1 for 3 e o módulo
de F2 for 4, então o módulo de FR será 5. Mas em matemática, como é
definido o módulo?
O módulo de um número real A é indicado por "A" e é definido da seguinte
forma.
"x" = x, se x for positivo (x > 0);
"x" = - x, se x for negativo (x < 0);
Ex:
"+ 3" = 3;
"- 3" = - (- 3) = + 3, ou seja, "- 3" = 3;
" - 1" = 1;
" 7" = 7;
"0" = 0.
Considere a reta que contém todos os números reais em ordem crescente (o
eixo x do plano cartesiano):
Dizemos que o módulo de um número real é o módulo do vetor que liga o
número em questão ao ponto 0:
Ex:
O módulo de -3 ( " - 3" ) é o módulo desse vetor:
Que é 3. O módulo de 7 ( " 7 " ) que é 7, é o módulo do vetor mostrado na
figura abaixo:
Propriedades do Módulo
Considere x e y números reais. Para qualquer que seja f(x), temos:
, pois o resultado do módulo é sempre um número positivo. Veja os
exemplos dados.
, seja x positivo ou negativo, o módulo sempre é o mesmo.
; pense em (x = - 3) e (y = 5). O módulo da soma () é 2 e a
soma dos módulos () é 8. Logo, a soma dos módulos será sempre maior,
principalmente quando os números tiverem sinais contrários.
; pense em números de sinais contrários novamente. Seja (x = - 3) e (y
= 5). Note que: e que .
; perceba que é indiferente qualquer jogo de sinal neste caso.
; perceba que também é indiferente qualquer jogo de sinal neste caso.
; o quadrado de qualquer número é sempre positivo, e o módulo também.
; o quadrado de qualquer número é sempre positivo.
A equação modular
É qualquer equação onde a incógnita aparece dentro de um módulo.
Ex:
" x + 1 " = 5;
" x "2 + 2." x " - 4 = 0
Uma equação modular pode ter mais de uma solução. Mesmo se a equação for do
1º grau.
Exemplo 1: vamos resolver " x + 1 " = 5.
Existem duas possibilidades:
a) Se x + 1, que é o número dentro do módulo, for positivo (x + 1 > 0),
então " x + 1" = x + 1. Daí a equação se resolve assim:
b) Se x + 1 for um número negativo, então devemos trocar o sinal de x + 1
para obter o seu módulo, ou seja, " x + 1 " = - x – 1, e a equação
ficará assim:
Podemos ver então, que as soluções dessa equação são 4 e -6. O conjunto
solução é:
S = {4, - 6}
Substituindo x por 4, temos: , o que é verdade.
Substituindo x por 6, temos: , o que também é verdade.
Exemplo 2: Vamos resolver " 2x2 – 12x " = 16.
a) Primeira hipótese: 2x2 – 12x é positivo. Logo:
b) Segunda hipótese: 2x2 – 12x é negativo. Logo:
Logo, as respostas possíveis são 4, 2, - 4 e – 2 e o conjunto dos valores
solução é
S={4, 2, - 4, - 2}
Substituindo x por 4, temos: , que é verdade.
Substituindo x por 2, temos: , que é verdade.
Substituindo x por - 4, temos: , que é verdade.
Substituindo x por - 2, temos: , que é verdade.
Exemplo 3: Vamos resolver " x "2 – 5 " x " + 4 = 0.
Notar que " x " 2 = x2, porque mesmo que x for negativo, a potenciação ao
quadrado o transformará em um número positivo. Observe que " - 5 "2 = 52 =
(- 5)2=25, por exemplo.
Logo a equação fica x2 – 5 " x " + 4 = 0. Se x for positivo, temos" x " = x
e x2 –5x +4 = 0 (resolve-se por Bháskara). Se x for negativo, temos " x " =
- x e x2 –5(-x) +4 = 0, logo x2 +5x +4 = 0 (resolve-se por Bháskara).
Função Modular
Da mesma forma que definimos a equação modular, também podemos falar em
função modular, na qual a variável de domínio da função encontra-se dentro
do módulo.
Para construir o gráfico de uma função modular, também devemos considerar
as várias possibilidades envolvidas, se o número que estiver dentro do
módulo for positivo ou for negativo. Também é interessante a comparação do
gráfico de uma função com o módulo com o mesmo gráfico de uma função sem o
módulo.
Vamos comparar o gráfico de f(x) = " x " com o gráfico de g(x) = x. Vamos
dar uma olhada na tabela dessas funções.
Note que:
1. Se x > 0 (positivo), o gráfico de f(x) é o mesmo de f(x) = x.
2. Se x < 0(negativo), o gráfico de f(x) é o mesmo de f(x) = - x.
Comparando os gráficos, vemos que:
O gráfico de f(x) = " x " tem a parte negativa de x "rebatida para cima".
As funções modulares, devido à essa característica do módulo, conseguem
"juntar" duas ou mais funções em um mesmo gráfico.
Comparando os gráficos de f(x) = x - 2 e f(x) = " x - 2 ":
Novamente, perceba que o gráfico tem a parte negativa de y "rebatida para
cima".
Comparação dos gráficos de f(x) = " x2 - 2 " e g(x) = x2 – 2:
Quando " x2 – 2 " > 0, temos que f(x) = x2 – 2;
Quando " x2 – 2 " < 0, temos que f(x) = - x2 + 2;
Atenção nos gráficos:
Repare que a parte negativa de y sempre é rebatida para cima.
Existem outras funções modulares mais complexas que, para obter o gráfico,
temos que pensar caso a caso.
Por exemplo, seja a função f(x) = " x + 2 " + " x ".
a) Se x + 2 > 0, então x > - 2. Pode acontecer de x + 2 ser positivo e x
ser negativo (estar entre – 2 e 0).
b) Pode acontecer também de x + 2 ser positivo e x também ser positivo (x
= 4, por exemplo, e x + 2 = 6).
c) Se x + 2 < 0, então x < - 2. Logo se x + 2 for negativo, x também será
negativo.
Temos 3 situações possíveis então. Vamos ver o que acontece nas três:
1. Se " x + 2 " > 0 e x > 0. Logo, " x + 2 " = x + 2 e " x " = x. Então,
f(x) = " x + 2 " + " x " = x + 2 + x = 2x + 2; f(x) = 2x + 2.
2. Se " x + 2 " > 0 e -2 < x < 0. Logo, " x + 2 " = x + 2 e " x " = - x.
Então,
f(x) = " x + 2 " + " x " = x + 2 - x = 2; f(x) = 2 (função constante).
3. Se " x + 2 " < 0 e x < 0. Logo, " x + 2 " = - x - 2 e " x " = - x.
Então,
f(x) = " x + 2 " + " x " = - x – 2 – x = -2x – 2.
Vamos colocar essas situações em uma tabela:
"x "" x " "" x + 2 "f(x) "
" " "" " "
"x < - 2 "" x " = "" x + 2 "- 2x – 2 "
" "- x "" = - x " "
" " "- 2 " "
"- 2 < x "" x " = "" x + 2 "2 "
"< 0 "- x "" = x + " "
" " "2 " "
"x > 0 "" x " = "" x + 2 "2x + 2 "
" "x "" = x + " "
" " "2 " "
Para x = - 2, temos que f(-2) = 2 e para x = 0, temos que f(0) = 0.
Assim, a tabela da função e o gráfico ficam:
Repare que o gráfico contém todos os pontos descritos na tabela.
Inequação Modular
Para começarmos a resolver a inequação modular, você deve entender o
seguinte:
a) Se " x " > a, (sendo a um número real positivo), logo pode-se dizer
que: x > a ou – x < – a.
Exemplo:
Se " x " > 5, então ou x > 5 (caso x seja positivo) ou x < - 5 (caso x seja
negativo).
A principal dificuldade nesse aspecto está em entender que: o módulo de
qualquer número menor que -5 (-6, -7, -8, etc...) é maior do que 5.
O conjunto dos valores de x tal que " x " é maior que 5 é mostrado na
figura a seguir:
Valores de x tais que " x " > 5.
Da mesma forma, o conjunto dos valores de x tais que " x " > a é mostrado a
seguir:
Valores de x tais que " x " > a.
b) Se " x " < a, (sendo a um número real positivo), logo pode-se dizer
que: - a < x < a.
Exemplo: Se " x " < 5, então – 5 < x < 5 (x está entre -5 e 5). A principal
dificuldade nesse aspecto está em entender que: o módulo de qualquer número
negativo maior que -5 (-4, -3, -2, etc...) é menor do que 5.
O conjunto dos valores de x tal que " x " é menor que 5 é mostrado na
figura a seguir:
Valores de x tais que " x " > 5.
Da mesma forma, o conjunto dos valores de x tais que " x " > a é mostrado a
seguir:
Valores de x tais que " x " > a.
Sabendo disso, qual será a solução da inequação " x + 1 " > 4?
Baseado nas explicações anteriores, devemos entender que, se " x + 1 " > 4,
então " x + 1 " > 4 (se x + 1 for positivo) ou " x + 1 " < - 4 (se x + 1
for negativo). A partir daí, temos:
Se x + 1 for positivo, logo x + 1 > 4 x > 4 – 1 x > 3.
Se x + 1 for negativo, logo x + 1 < - 4 x < -4 + 1 x < - 3.
Concluímos que a inequação só é satisfeita para valores de x maiores que 3
ou para valores de x menores que – 3.
Se substituirmos x por 5, que é um valor maior do que 3, teremos:
" x + 1 " > 4 " 5 + 1 " > 4 6 > 4, que é verdade.
Se substituirmos x por -10, que é um valor menor do que -4, teremos:
" x + 1 " > 4 " (-10) + 1 " > 4 9 > 4, que é verdade.
Agora, se substituirmos x por um valor que não for menor que – 3 ou maior
que 3 (por exemplo, o – 1), veremos que cairemos em uma inverdade:
" x + 1 " > 4 " (-1) + 1 " > 4 0 > 4, que não é verdade.
Escrevemos o conjunto (lembre-se que a solução de uma inequação é um
conjunto, ou seja, são vários valores) solução de alguma forma dentre essas
três possíveis:
Note que a resposta é a mesma, a forma de escrever é diferente.
Outro exemplo:
Vamos resolver "x2 – 6x + 5" < 1.
Para que " x2 – 6x + 5" seja menor que 1, então teremos -1 < x2 – 6x + 5 <
1.
Olhando o gráfico de f(x) = x2 – 6x + 5, vemos as regiões 1 e 2, onde x é
tal que -1 < x2 – 6x + 5 < 1.
Existe um jeito muito mais fácil de fazer do que ter que desenhar todo este
gráfico. Observe:
Veja que "quebramos" a desigualdade em duas inequações. Os valores de x
para os quais são aqueles para os quais e .
As raízes de são, aproximadamente, 4,7 e 1,3; de modo que:
g(x) > 0 se x > 4,7 ou se x < 1,3.
As raízes de são, aproximadamente, 5,2 e 0,8; de modo que:
h(x) > 0 se x > 5,2 ou x < 0,8.
Vamos comparar o estudo do sinal das duas funções:
Perceba que as regiões destacadas {0,8 < x < 1,3} e {4,7 < x < 5,2} são as
regiões que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo e, portanto,
são regiões com valores de x tais que -1 < x2 – 6x + 5 < 1 (são as regiões
1 e 2 no gráfico de f(x) = x2 – 6x + 5) e portanto, são a solução para o
problema "x2 – 6x + 5" < 1.
O conjunto solução é escrito de uma dessas formas:
Determinando o domínio de uma equação modular
As inequações modulares também servem para determinar o conjunto domínio de
uma função modular, observando as condições de existência dessa função.
Ex: determinar o domínio da função .
As condições de existência de f(x) são:
a) x tem que ser tal que , pois não existe raiz quadrada de número
negativo;
b) x não pode ser tal que , pois o denominador não pode ser zero.
No caso a, temos:
No caso b temos:
Para que as condições de existência sejam satisfeitas, temos que:
a) x deve ser menor ou igual a 3, para que o termo dentro da raiz ()
seja positivo; x não pode ser maior que 3.
b) x deve ser maior ou igual a -1, para que o termo dentro da raiz
() seja positivo; x não pode ser menor que -1.
c) x não pode ser igual a 5 e nem igual a -5, para que não exista um
termo nulo (0) no denominador.
Colocando essas informações em um eixo, temos:
Logo, vemos que a única região que obedece a condição de existência de f(x)
é .
ou
Exercícios Propostos
1. Exemplifique, com números quaisquer que você imaginar, todas as
propriedades do módulo.
2. Dada a função , calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. (PUC-SP) A equação admite:
a) duas raízes positivas.
b) Duas raízes negativas.
c) Uma raiz positiva e outra negativa.
d) Somente uma raiz real e positiva.
e) Somente uma raiz real e negativa.
4. (UEL - PR) Quaisquer que sejam os números reais x e y:
a) Se " x " < " y ", então x < y.
b) " x . y " = " x " . " y "
c) " x + y " = " x " + " y "
d) " - " x" " = - x
e) se x < 0, então " x " < x.
5. (UCS – RS adaptado) Determine o conjunto solução da equação .
6. (UFG adaptado) Quais são os zeros da função ?
7. Resolva as inequações:
a)
b)
8. (FGV – SP) O domínio da função é:
a)
b)
c) o campo real.
d)
e) nenhuma das anteriores.
9. (UFOP - MG) O domínio da função real f, definida por , é o
conjunto dos números reais, tais que:
a) ou
b)
c) e
d) ou
e)
Respostas
1. a
2.
a) 15
b) 25
c) 1
d) 9
e)
f) 73
3. c
4. b
5. {- 1, 1}
6. - 7 e 8
7.
8. c
9. a
Bibliografia
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Funções e Equações Exponenciais
Introdução
Até agora, no estudo das funções, vimos que existem muitos problemas reais
que podem ser estudados por meio de uma função. Vimos que o escoamento de
água por uma tubulação pode ser estudado por uma função de 1º grau (função
linear), assim como o movimento de um veículo com velocidade constante.
Vimos também que o movimento de um veículo com aceleração constante pode
ser aproximado por uma função do segundo grau, assim como o cálculo da área
máxima de um cercado retangular.
A função do primeiro grau estuda as grandezas que têm um crescimento
constante ou linear, que pode ser pensado a partir de uma regra de três.
Pense no movimento retilíneo uniforme, partindo do repouso. Se um veículo
percorre 1 metro em 1 segundo, percorrerá 2 metros em 2 segundos, 5 metros
em 5 segundos e assim por diante...
Já a função do segundo grau não tem essa característica. Se um veículo em
M.U.V. percorre 1 metro em 1 segundo, de acordo com as equações já
estudadas, ele percorrerá 4 metros em 2 segundos, 9 metros em 3 segundos,
16 metros em 4 segundos, 100 metros em 10 segundos e assim por diante.
Dizemos que a distância percorrida pelo veículo em M.R.U. aumenta
linearmente, enquanto que a distância percorrida pelo veículo em M.U.V.
aumenta quadraticamente.
Abaixo apresentamos uma comparação desses dois exemplos, através de
gráficos e tabelas:
M.R.U.
"Tempo "Distância "
" "percorrida "
"1 s "1 m "
"2 s "2 m "
"3 s "3 m "
"4 s "4 m "
"8 s "8 m "
"10 s "10 m "
M.U.V.
"Tempo "Distância "
" "percorrida "
"1 s "1 m "
"2 s "4 m "
"3 s "9 m "
"4 s "16 m "
"8 s "64 m "
"10 s "100 m "
Note também este outro exemplo:
M.R.U.
"Tempo "Distância "
" "percorrida "
"1 s "7 m "
"2 s "14 m "
"3 s "21 m "
"4 s "28 m "
"8 s "56 m "
"10 s "70 m "
M.U.V.
"Tempo "Distância "
" "percorrida "
"1 s "7 m "
"2 s "7.4 = 28 m "
"3 s "7.9 = 63 m "
"4 s "7.16 = 112 m "
"8 s "448 m "
"10 s "700 m "
Existem grandezas que crescem de outra maneira. Por exemplo, existem
bactérias que tem a capacidade de se reproduzir por duplicação e cada
bactéria mãe gera uma filha idêntica. Pensando em uma situação em que uma
bactéria desse tipo é isolada e se reproduza uma vez a cada dia, teremos
que no primeiro dia a população duplicará, passando a ser de duas bactérias
(mãe + filha). Considerando que a mãe e a filha se reproduzam por
duplicação no segundo dia, a população passará de 2 para 4 bactérias,
duplicando-se novamente. Se esse tipo de reprodução continuar pelos
próximos dias, teremos que sempre haverá uma duplicação da população de
bactérias que podemos registrar na seguinte tabela:
"Dias de "Nº de bactérias "
"isolamento "presentes "
"0 "1 "
"1 "2 = 21 "
"2 "4 = 22 "
"3 "8 = 23 "
"4 "16 = 24 "
"5 "32 = 25 "
"6 "64 = 26 "
"7 "128 = 27 "
Essa tabela mostra que o número de bactérias presentes é função do número
de dias de isolamento, dada por y = 2x (y – número de bactérias; x – dias
de isolamento) e pode ser apresentado no seguinte gráfico.
Esse tipo de crescimento é totalmente diferente das funções que já
estudamos e é chamado de crescimento exponencial. A função apresentada
também é chamada de função exponencial.
Definição
Função exponencial é toda função da forma: , sendo e .
Comparação com as funções já vistas
No exemplo citado das bactérias, imagine:
- Uma situação em que as bactérias tivessem crescimento linear e 2
bactérias fossem geradas por dia;
- Outra situação em que as bactérias tivessem crescimento quadrático;
- A situação de crescimento exponencial já explicada;
As tabelas e gráficos comparando as três situações são apresentados logo
abaixo. Note que o crescimento exponencial é mais "vigoroso" que os demais.
Comparação entre crescimento linear, quadrático e exponencial.
" "Nº de "Nº de "Nº de "
"Tempo "bactérias "bactérias "bactérias "
"(dias)"(crescimen"(crescimen"(crescimen"
" "to linear)"to "to "
" " "quadrático"exponencia"
" " ") "l) "
"1 "3 "2 "2 "
"2 "5 "5 "4 "
"3 "7 "10 "8 "
"4 "9 "17 "16 "
"5 "11 "26 "32 "
"6 "13 "37 "64 "
"7 "15 "50 "128 "
"8 "17 "65 "256 "
"9 "19 "82 "512 "
A potenciação
Para saber lidar com as funções exponenciais, é fundamental que recordemos
aqui algumas propriedades da potenciação.
1. Os números envolvidos na potenciação tem as seguintes definições:
2. A potenciação é uma extensão da multiplicação (assim como a
multiplicação é uma extensão da soma).
Ex: assim como 2.5 = 2+2+2+2+2, temos que 25 = 2.2.2.2.2;
3. Sendo assim, note que a multiplicação de potências de mesma base se
faz somando os expoentes:
Ex:
.
Por outro lado, como e , então . Isso comprova que
.
4. Da mesma forma, toda divisão de potência de mesma base se faz
subtraindo os expoentes.
Ex: .
Note que .
5. Da mesma forma, toda potenciação de uma potenciação se realiza
multiplicando os expoentes.
Ex: ;
Note que: .
6. Da mesma forma, toda radiciação de uma potenciação se realiza
dividindo-se os expoentes.
Exemplo: .
Note que: .
7. Toda potenciação com expoente 0 é igual a 1.
Exemplo: .
Note que .
Outro exemplo: .
Note que, para isso acontecer, devemos ter . Isso será explicado
na próxima propriedade.
8. Das propriedades acima, vemos que, uma potenciação com expoente
negativo é igual a uma potenciação com o mesmo expoente positivo e
base invertida.
Exemplo: ; ;
Obs: todas as propriedades citadas antes valem para expoente negativo.
9. A igualdade das potenciações: duas potenciações são iguais se suas
bases e seus expoentes forem estritamente iguais. Essa propriedade
será fundamental na resolução de equações, como nos exemplos.
Exemplo:
.
Outro exemplo:
Equações Exponenciais
São todas as equações cujas incógnitas encontram-se no expoente. As formas
mais comuns de se resolver equações exponenciais são: através das
propriedades da potenciação (principalmente a 9) e através da substituição
da exponenciação por uma nova variável.
a) Aproveitando as propriedades da potenciação:
Exemplo: vamos resolver a equação .
Outro exemplo: vamos resolver:
Note que a equação exponencial resultou em uma equação algébrica, cuja
resolução é feita a seguir:
Neste caso, a equação algébrica transformou-se em uma equação do segundo
grau, resolvida através da fórmula de Bháskara. Note que este exercício
cobrou vários conceitos na resolução de equações exponenciais.
Um outro modo de resolução se dá através de substituição por outra
variável.
Neste caso, quando há uma exponenciação comum em todos os termos da
equação, podemos substituí-la por uma variável simples, de modo a tornar a
equação do 1º ou 2º graus e facilitar a resolução.
Exemplo: vamos resolver .
Aproveitando-se de que o termo aparece em alguns termos da equação (e
não aparece nenhum outro tipo de exponenciação diferente), podemos fazer
, e daí teremos:
que, resolvendo, dá:
Como ,
E é o valor de x que precisamos descobrir, fazemos:
;
Note que após resolver as equações do 1º/2º graus, criamos uma equação
exponencial e a resolvemos, gerando a solução final.
Exponenciais crescentes e decrescentes
Vamos observar mais um caso em que se usa funções exponenciais.
As substâncias químicas radioativas possuem uma característica que é
chamada de meia-vida. A meia-vida é um período de tempo no qual a
quantidade presente da substância radioativa reduz-se para metade do seu
valor inicial e a radiação emitida (muitas vezes prejudicial aos seres
humanos) vai sendo diminuída.
Para exemplificar esse conceito, suponha uma quantidade de 1 kg da
substância Urânio 238 que foi isolada. Após uma meia-vida, teremos a metade
disso (ou seja 0,5 Kg ou 500 g). Após mais uma meia vida (duas meias-vidas)
teremos 0,25 Kg (ou 250 g) de Urânio 238 e assim em diante. A meia-vida do
Urânio 238 é de 5 bilhões de anos.
A quantidade de Urânio em função das meias-vidas que passaram é dado pela
função ... cuja tabela e gráficos são mostrados a seguir.
"Nº de "Quantidade de "
"meias-vidas "urânio "
"0 "1 Kg "
"1 "0,5 Kg = 500 g "
"2 "0,25 Kg = 250 g "
"3 "0,125 Kg = 125 g "
"4 "0,0625 Kg = 62,5 g"
O caso das bactérias, dado no início do capítulo, é um exemplo de função
exponencial crescente (ou decaimento exponencial). O caso da meia-vida é um
exemplo de função exponencial decrescente.
Características das funções exponenciais
Dada a função , temos:
O domínio é o conjunto dos números reais.
A imagem são os números reais maiores que zero;
O gráfico sempre contém o ponto (0,1);
A função será crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1;
A função será constante se a = 1;
Gráficos de funções crescente e decrescente:
Gráfico de - função crescente.
Gráfico de - função decrescente.
Inequações exponenciais
Todas as propriedades vistas na resolução de equações exponenciais também
valem para inequações exponenciais. A única diferença é que o sinal pode se
alterar no caso da função ser crescente ou decrescente.
Também tudo o que foi visto em inequações produto, modular e quociente
valem se estivermos tratando de equações exponenciais.
Exemplo: Vamos resolver .
Cálculo das raízes de :
Logo, como é função crescente, vemos que em e . Logo
o conjunto solução da inequação exponencial é:
Outro exemplo: vamos resolver .
Pois a base é menor que 1 (a função é decrescente);
Logo a solução será .
Exercícios
1. (PUC – PR adaptado) Resolva a equação .
2. (UECE adaptado) Se x1 e x2 são raízes da equação , então quanto
vale ?
3. Resolva a equação .
4. (UEL – PR adaptado) Qual a diferença entre a maior e a menor raiz de
?
5. (Mack – SP adaptado) Qual o produto das raízes de ?
6. (PUC – SP adaptado) Resolva a equação .
7. (Fatec – SP adaptado) Resolva a inequação .
8. (UFPa adaptado) Qual o conjunto solução de ?
9. (Mack – SP adaptado) Qual o conjunto solução de ?
10. (PUC – RS adaptado) Qual o domínio da função ?
11. (UFRGS adaptado) Descubra a soma de todos os números inteiros que
satisfazem a desigualdade .
12. (PUC – MG) Descubra o valor de x + y, sabendo que x e y são soluções
do sistema: .
Gabarito
1. x = 2
2. 10
3. 7
4. 1
5. 0
6. x1 = 0 e x2 = 2
7.
8.
9.
10.
11. -3
12. 2
Bibliografia e sites consultados
1. http://www.ensinomedio.impa.br/
2. http://pt.wikipedia.org/
3. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Logaritmos
Introdução
Agora que já aprendemos as particularidades da função exponencial, vamos
trabalhar com a potenciação de um modo diferente. Sabemos que a função
exponencial é definida por:
No capítulo anterior, abordamos o exemplo de uma população de bactérias que
se reproduz exatamente de acordo com a função exponencial , cuja
tabela e esquema de "caixa-preta"(vide capítulo sobre função composta) são
apresentados abaixo:
"x – dias "y – nº "
"de "de "
"isolament"bactéria"
"o "s "
"0 "1 "
"1 "2 "
"2 "4 "
"3 "8 "
"4 "16 "
O presente capítulo vai se dedicar a achar a função inversa de f(x), ou
seja, pretendemos descobrir uma função em que, a partir do número de
bactérias presentes, podemos saber há quantos dias a única bactéria
disponível foi isolada. A tabela da função e esquema de "caixa-preta" (vide
capítulo sobre função composta) que queremos descobrir é apresentada a
seguir:
"x – nº de"y – dias "
"bactérias"de "
" "isolament"
" "o "
"1 "0 "
"2 "1 "
"4 "2 "
"8 "3 "
"16 "4 "
Este problema também pode ser enunciado da seguinte forma: como isolar o x
na expressão ? É aí que entra o papel dos logaritmos.
Definição
Se a base x elevado ao expoente y resulta em um número z, dizemos que y é o
logaritmo de z na base x. Em linguagem matemática, escrevemos dessa forma:
Se xy = z, então logyz = x;
Para o logaritmo existir, é necessário que z > 0, x > 0 e x 1.
Os números que compõem a operação de logaritmo são descritos dessa forma:
Podemos ver que o logaritmo simboliza a relação entre três números, assim
como a potenciação. O resultado do logaritmo é o expoente da potenciação.
Retomando a função 2x, descrita lá em cima, vamos ver como o logaritmo se
aplica aos diferentes casos.
"x – dias "y – nº "
"de "de "
"isolament"bactéria"
"o "s "
"0 "20 = 1 "
"1 "21 = 2 "
"2 "22 = 4 "
"3 "23 = 8 "
"4 "24 = 16 "
No caso da função inversa, temos:
"x – nº de"y – dias de "
"bactérias"isolamento "
"1 "log21 = 0 "
"2 "log22 = 1 "
"4 "log24 = 2 "
"8 "log28 = 3 "
"16 "log216 = 4 "
No caso da função log2x, temos a seguinte tabela:
"x "y "
"0 "log20 = não existe "
"1 "log21 = 0, pois 20 = 1 "
"2 "Log22 = 1, pois 21 = 2 "
"3 "log23 = 1,585 pois "
" "21,585 = 3 "
"4 "log24 = 2 pois 22 = 4 "
"5 "log25 = 2,323 pois "
" "22,323 = 5 "
"6 "log26 = 2,585 pois "
" "22,585 = 6 "
"7 "log27 = 2,807 pois "
" "22,807 = 7 "
"8 "log28 = 3 pois 23 = 8 "
Note que o resultado do logaritmo é o expoente da potenciação e a base do
logaritmo é a base da potenciação.
A título de curiosidade, os logaritmos mais usados são o logaritmo na base
10 (log10) e na base 2,7318281828.... (este número é chamado de número
neperiano e é será importante em muitos cursos superiores em ciências
exatas e biológicas).
Equações logaritmicas
São equações que envolvem logaritmos. Solucionaremos algumas delas enquanto
vemos algumas propriedades dos logaritmos.
Propriedades dos Logaritmos
Como a potenciação tem certas propriedades que já vimos nos outros
capítulos, uma série de propriedades para os logaritmos também pode ser
definida.
1) logx1= 0 (x pode ser qualquer número), pois qualquer número x elevado
a 0 é igual a 1 (x0 = 1);
Exemplo: Vamos resolver
Para que esse logaritmo seja igual a zero, devemos ter:
, ou seja, .
Resolvendo a equação, vemos que apenas x = 0 ou x = 2 são soluções
para o problema.
2) logxx = 1 (x pode ser qualquer número maior que zero), pois qualquer
número elevado a 1 é igual a si mesmo (x1 = x);
Exemplo: Vamos resolver
De acordo com a propriedade vista, devemos ter:
, ou seja, .
Resolvendo a equação, vemos que apenas x = 0 ou x = 2 são soluções
para o problema.
3) logxxm = m (x maior que zero e diferente de 1, m pode ser qualquer
número), essa propriedade resulta da definição de logaritmos;
Exemplo
Vamos resolver
De acordo com a propriedade vista, devemos ter:
, ou seja, .
Resolvendo a equação, vemos que apenas x = 0 ou x = 2 são soluções para o
problema.
4) (m maior que zero e diferente de 1, x maior que zero), essa
propriedade resulta da definição de logaritmos;
Exemplo
Vamos resolver
De acordo com a propriedade vista, devemos ter:
Nota-se que x = 4 é solução do problema.
5) Se logmx = logmy, então x = y (igualdade de logaritmos na mesma base);
Exemplo
Vamos resolver
De acordo com a propriedade vista, devemos ter:
Resolvendo a equação, temos que x = 1 é solução do problema.
6) ; essa propriedade resulta da propriedade 3 (definida no capítulo
anterior) da potenciação, na qual a multiplicação das potências se faz
somando os expoentes.
Prova da propriedade 6
Seja . Seja também .
Logo, para saber quanto vale logb(x.y), temos:
Exemplo
e , logo:
7) ; essa propriedade é uma conseqüência da última propriedade
vista.
Prova da propriedade 7
Se , então,
Exemplo
8) ; da mesma forma, essa é uma propriedade conseqüência da
anterior, já que a radiciação é um expoente fracionário.
Exemplo
Saiba-se que e ;
. Da mesma forma,
.
9) ; essa propriedade resulta da propriedade 4 (definida no capítulo
anterior) da potenciação, na qual a divisão das potências se faz
subtraindo os expoentes.
Prova da propriedade 9
Seja . Seja também .
Logo, para saber quanto vale , temos:
Exemplo
e , logo:
10) ; essa propriedade resulta da propriedade 5 definida no capítulo
anterior, segundo a qual a potenciação de uma potência se faz
multiplicando-se os expoentes;
Prova da propriedade 10
Seja .
Exemplo
Seja e .
, por outro lado:
.
11) (mudança de base). Essa propriedade também é uma conseqüência da
propriedade anterior.
Prova da propriedade 11
Seja . Seja também .
Logo, para saber quanto vale , temos:
Exemplo
Saiba-se que , e (pois ), logo:
Funções logarítmicas
É uma função da forma , onde x > 0, b > 0 e b é diferente de 1.
As tabelas e os gráficos das funções e são dados abaixo:
"x "f(x) = " "x "f(x) = "
" "log2x " " "log0,5x "
"0,25 "-2 " "0,25 "2 "
"0,5 "-1 " "0,5 "1 "
"0,75 "-0,415 " "0,75 "0,415 "
"1 "0 " "1 "0 "
"2 "1 " "2 "-1 "
"3 "1,585 " "3 "-1,585 "
"4 "2 " "4 "-2 "
"5 "2,322 " "5 "-2,322 "
A função logarítmica pode ser crescente (se b > 1) ou decrescente (se
b < 1).
Inequações logarítmicas
São equações que contém logaritmos. Da mesma forma que nas equações, usamos
as propriedades dos logaritmos para resolver as inequações com logaritmos e
usamos toda a análise que fizemos no caso das inequações produto e
quociente, por exemplo. Deve-se considerar as condições que o logaritmo
deve obedecer para existir e ter o cuidado de trocar o sinal quando a base
do logaritmo for menor que um. Veja os seguintes exemplos:
(Cescem – SP adaptado) Qual o domínio da função ?
Para que a função exista, é necessário saber que não existe raiz de número
negativo, ou seja, . Para isso é necessário O sinal não muda pois
a função log2x é crescente.
Para que o logaritmo log2x exista, é necessário que x > 0. Então, a solução
do problema pode ser dada por: .
Vamos resolver .
Para que o logaritmo exista, devemos ter .
Se , então devemos ter (note que trocamos o sinal, pois a função
é decrescente.
Temos duas condições para x: . Logo, o domínio pode ser dado por :
.
Vamos resolver .
Para que os logaritmos existam, devemos ter:
e , ou seja, .
Resolvendo a inequação (usando as propriedades dos logaritmos), temos:
Não trocamos o sinal pois a função é crescente.
Quando a base do logaritmo não aparece, significa que é base 10.
Para ter , devemos ter:
,
de acordo com o estudo do sinal de funções do segundo grau.
Juntando tudo, temos quatro condições para x: ,
Sendo que as duas últimas condições não precisam ser satisfeitas ao mesmo
tempo (apenas uma das duas condições precisa ser satisfeita):
Assim sendo, a solução final é dada por:
Exercícios
1. (Fuvest adaptado) Qual o valor de ?
2. (UFRGS adaptado) Qual o valor de ?
3. (PUC – SP adaptado) Qual o valor de ?
4. (Mack – SP adaptado) Qual o valor de ?
5. (Fuvest – SP adaptado) Se , quanto vale ?
6. (PUC – SP adaptado) Se e , quanto vale , em função de
n?
7. (Cesgranrio adaptado) As indicações R1 e R2 na escala Richter, de dois
terremotos, estão relacionadas pela fórmula , onde M1 e M2 medem
a energia liberada pelos terremotos sobre a forma de ondas que se
propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um corresponde
a R1 = 8 e o outro corresponde a R2 = 6. Quanto vale a razão ?
8. (PUC – SP adaptado) Se , quanto vale x?
9. (PUC – RS adaptado) Se e , então descubra uma fórmula para
em função de x e de y.
10. (PUC – SP adaptado) Se e , então calcule .
11. (Cesesp - PE adaptado) Qual a solução da equação ?
12. (PUC - RS adaptado) Descubra a solução da equação .
13. (UFPa adaptado) Descubra a solução da equação .
14. (FGV – SP adaptado) Resolva a inequação .
15. (FGV – SP adaptado) Resolva a inequação .
Gabarito
1. 1
2. -1
3. 6
4. -10/3
5. 32
6. 8n/3
7. 100
8. 0,5
9. y+3x
10. 0,22
11. 32
12.
13. conjunto vazio (não tem solução)
14. -1/2 < x < 3/5
15. -1/2 < x < 0 ou 3/2 < x < 2
Referência e sites consultados
1. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Números Complexos
Introdução
Nas equações do segundo grau, aprendemos que as equações que apresentam
"delta" negativo não possuem solução, ou raízes. Parece mesmo natural
quando pensamos que não existe número negativo que, multiplicado por ele
mesmo, resulte em outro número negativo. A humanidade aceitou durante muito
tempo essa afirmação. A partir do século XVII no entanto, desenvolveu-se
uma nova forma de lidar com esse fenômeno. As conseqüências disso é que, o
conjunto dos números reais passou a ser interpretado como um caso
particular dentro do conjunto que estudaremos agora, o conjunto dos números
complexos. A maior aplicação dos números complexos atualmente é a
eletricidade e a análise de sistemas físicos em geral. Também os números
complexos vão servir de base para o estudo do nosso próximo capítulo: os
polinômios.
Definição e Forma Algébrica
Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto , uma
extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que
representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade
imaginária.
Cada número complexo C pode ser representado na forma:
onde e são números reais conhecidos denota a unidade
imaginária:
O coeficiente a é conhecido como parte real do número complexo C.
O coeficiente b é conhecido como parte imaginária do número complexo C.
Essa forma de se escrever os números complexos é conhecida como forma
algébrica.
O conjunto dos números complexos
Podemos afirmar, então, que:
"Todo número real é um número complexo com parte imaginária nula." Isso
quer dizer que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos
números reais e, conseqüentemente, seus subconjuntos.
O conjunto dos números reais e naturais, dentre outros, estão contidos no
conjunto dos números complexos, assim como o conjunto dos números naturais
está contido no conjunto dos números reais.
Os números complexos e as equações do segundo grau – conjugado de um número
complexo
Uma equação do segundo grau onde o cálculo do termo "delta" resulte em um
número negativo, não tem solução dentro dos números reais. Porém, a mesma
equação passa a ter solução dentro dos números complexos. Na verdade, pode-
se dizer que:
"Toda equação do segundo grau possui solução dentro dos números complexos."
Exemplo: Seja a equação . No cálculo do delta, temos:
Sendo e , temos:
e
Ou seja, o conjunto solução é:
Outro exemplo: Seja a outra equação
Logo,
Você já deve ter notado que:
"Em uma equação do segundo grau com soluções complexas, os números diferem
apenas por possuírem partes imaginárias opostas."
Dizemos que os números complexos que possuem partes imaginárias opostas são
números complexos conjugados.
Exemplos:
O conjugado do número complexo é o número complexo .
O conjugado do número complexo é o número complexo .
O conjugado do número complexo é o número complexo .
Então, podemos dizer o seguinte em relação às equações do segundo grau:
1. Se um número complexo for solução de uma equação do segundo grau, o
conjugado desse número complexo também será solução.
2. A solução de uma equação do segundo grau cujo termo "delta" resultar
em um número negativo serão dois números complexos conjugados.
Exemplo:
Sabe-se que é uma das raízes da equação . Logo, também
será raiz da mesma equação.
Prova:
A igualdade de números complexos
Dois números complexos e são iguais se, e somente se: e
, ou seja, se suas partes reais e suas partes imaginárias forem
iguais.
Exemplo: Dado o número complexo , calcule os valores de x e y para que
tenhamos :
Para que seja estabelecida a condição de igualdade, devemos ter:
O que significa:
e
Resolvendo o sistema obtemos as
soluções e .
Os números complexos e o plano cartesiano
Os números complexos podem ser representados no plano cartesiano como
segue:
Note que as coordenadas no eixo x representam a parte real no número
complexo e as coordenadas no eixo y representam a parte imaginária. Cada
número complexo equivale a um ponto no plano cartesiano.
Exemplo: Representar no plano cartesiano os números complexos , ,
e . Como percebemos que dois números são complexos conjugados
através do plano cartesiano?
Resposta:
Percebemos que dois números são complexos conjugados quando eles são
simétricos em relação ao eixo x.
Módulo de um número complexo
Dado que podemos representar um número complexo como um ponto no plano
cartesiano, definimos que o módulo de um número complexo é a distância
deste ponto até a origem.
Podemos concluir então, do Teorema de Pitágoras (e da geometria analítica –
distância entre dois pontos) que, o módulo de um número complexo é
calculado da seguinte forma:
Exemplo:
(UFRN - adaptado) Qual o módulo do número complexo ?
Resposta: .
Desenhe no plano cartesiano, todos os números complexos com módulo igual a
3. Que figura geométrica é formada?
Sabemos que módulo é a distância do ponto (que representa o número
complexo) à origem. Então temos que achar os pontos cuja distância à origem
vale 3. O conjunto de todos esses pontos está na figura abaixo:
Nota-se então que a figura geométrica obtida com todos os números complexos
cujo módulo vale 3 é uma circunferência. Note na figura também, que números
complexos conjugados tem o mesmo módulo.
Fase de um número complexo e representação polar
Como vemos, os números complexos com o mesmo módulo definem uma
circunferência no plano cartesiano. Ou seja (note na figura acima), o
número terá o mesmo módulo que , , , , etc...
Imagine, em cada caso, uma reta que liga cada um desses números complexos à
origem.
Note que cada uma dessas retas faz um ângulo diferente com o eixo x.
A reta com o número complexo faz um ângulo de 41,8º com o eixo
x.
A reta com o número faz um ângulo de 90º com o eixo x.
A reta com o número faz um ângulo de 131,8º com o eixo x.
A reta com o número faz um ângulo de 0º com o eixo x.
O ângulo que a reta – que relaciona o número complexo com a origem – faz
com o eixo x denomina-se fase ou argumento do número complexo. Assim,
dizemos que:
A fase ou argumento do número complexo é 41,8º.
A fase do número complexo é 90º.
A fase do número é 131,8º.
A fase do número é 0º.
Note no caso do número , por exemplo, que:
(desenho do triângulo retângulo – módulo e ângulo )
A reta que liga o número complexo até a origem pode ser vista como a
hipotenusa de um triângulo retângulo (na figura com o traço contínuo).
Ela faz um ângulo com o eixo x;
Existe uma reta, de comprimento a (parte real do número complexo –
reta tracejada na figura) que faz parte deste triângulo retângulo e é
o cateto adjacente do ângulo ;
Existe outra reta, de comprimento b (parte imaginária do número
complexo – reta pontilhada na figura) que faz parte deste triângulo
retângulo e é o cateto oposto do ângulo .
De acordo com a definição de seno, cosseno e tangente, a fase de um
ângulo complexo é calculada por:
, e
sabendo que .
Cada número complexo possui um módulo e uma fase diferentes, como podemos
ver a seguir:
o número complexo possui módulo 3 e fase .
o número complexo 3i possui módulo 3 e fase .
o número complexo 3 possui módulo 3 e fase .
o número complexo -3i possui módulo 3 e fase ou .
o número complexo possui módulo e fase .
o número complexo possui módulo e fase ou .
o número complexo possui módulo e fase ou .
Se você entendeu isso, note que podemos representar um número complexo
então, de duas formas:
Da forma , que corresponde à sua forma algébrica;
Dizendo apenas seu módulo e sua fase;
Essa última forma de representação chama-se forma polar de representação
dos números complexos. A forma polar de um número complexo é dada
por:
, onde
e ,
ou ;
Inversamente, a forma algébrica de um número complexo é calculada
por:
onde e .
Podemos escrever também que:
Exemplo: Passar para a forma polar os números complexos e .
1. O módulo de é dado por
.
A fase de é dada por
.
Logo, a forma polar de é .
2. O módulo de é dado por
.
A fase de é dada por
.
Logo, a forma polar de é .
Exemplo: Passar para a forma algébrica os números e .
Operações com números complexos
Adição e subtração
Para adicionar ou subtrair números complexos, é preferível que estejam na
forma algébrica. Se não estiverem, devemos buscar a conversão.
Então, fazemos as operações com os termos semelhantes: somamos ou
subtraímos a parte real dos números da operação; Depois fazemos a mesma
coisa com a parte imaginária, tomando cuidado com os sinais algébricos
envolvidos.
Exemplo: Calcular a soma e a subtração dos números complexos e .
Vamos transformar esses números complexos para a forma algébrica:
Então fazemos:
e
Note, pelo desenho abaixo que simbolizam os dois números complexos e o
número complexo soma, que o procedimento é análogo a uma soma de vetores.
Multiplicação e divisão
Para multiplicar ou dividir números complexos, é preferível que estejam na
forma polar. Se não estiverem, devemos buscar a conversão.
1. Multiplicamos ou dividimos os módulos, de acordo com a operação
envolvida.
2. Se a operação for multiplicação, a fase resultante será a soma das
fases envolvidas;
3. Se a operação for divisão, a fase resultante será a subtração das
fases envolvidas (a fase do dividendo menos a fase do divisor).
Outra alternativa é, caso os dois números estejam na forma algébrica,
aplicar a propriedade distributiva. Analise com cuidado o exemplo a seguir:
Exemplos: Calcule o valor de e o valor de na forma algébrica.
Solução:
Transformação para forma polar:
a) Cálculo do módulo de : .
b) Cálculo do argumento de : , e .
Logo, e .
c) Cálculo do módulo de :
.
d) Cálculo do argumento de :
, e
Logo, e .
Cálculo da divisão:
1. Então, temos que
2. Lembrando que:
3. Logo, podemos escrever:
Cálculo da multiplicação:
Para calcular podemos proceder de duas formas. Uma é aplicar
simplesmente a distributiva e daí teremos:
Logo,
.
A outra forma é fazer as transformações para forma polar e aplicar a regra
descrita:
e ;
Logo,
1.
Lembrando que,
2.
Que é a mesma resposta obtida do primeiro modo.
Os produtos notáveis e o quadrado dos números complexos
Elevando-se o complexo ao quadrado:
Teremos um quadrado da soma de dois termos, cujo desenvolvimento é dado a
seguir:
Lembrando que: , temos que:
Ou seja: .
Da mesma forma, se tivermos , temos um quadrado da diferença de dois
termos:
Daí:
.
A potenciação da unidade imaginária
Partindo da definição , podemos escrever:
Ou seja, colocando o raciocínio em uma tabela:
"i elevado "É igual "
"a "a "
"0 "1 "
"1 "I "
"2 "-1 "
"3 "-i "
"4 "1 "
"5 "I "
"6 "-1 "
"7 "-i "
"8 "1 "
"9 "I "
"10 "-1 "
"11 "-i "
Note que a seqüência de potenciação dos números complexos se repete de 4 em
4 vezes (e sempre que o expoente for múltiplo de 4 o resultado da
exponenciação é 1), de modo que, para calcular qualquer expoente de um
número complexo:
1. Divide-se o expoente por 4;
2. Se o resto for 0, o resultado da potenciação é 1;
3. Se o resto for 1, o resultado da potenciação é i;
4. Se o resto for 2, o resultado da potenciação é -1;
5. Se o resto for 3, o resultado da potenciação é –i;
Exemplo: Calcular .
A divisão de 1249 por 4 tem quociente 312 e resto 1. Se a nossa tabela
continuasse até o 1249, a seqüência iria se repetir por 312 vezes exatas e
no número 4*312 = 1248 (múltiplo de 4), o resultado é 1. Logo:
Potência de um número complexo na forma polar
A potenciação é o resultado de várias multiplicações, correto?
Por exemplo:
Logo, podemos dizer que:
Com o que aprendemos de multiplicação de números complexos (multiplica-se
os módulos, soma-se as fases) podemos dizer que:
Se , então:
Multiplicando os módulos e somando as fases, temos:
Então na forma algébrica.
Logo, um número complexo elevado a um expoente m fica da seguinte maneira:
E transformando para a forma algébrica, temos:
Extrapolando um pouco este conceito, lembrando que uma radiciação é um
expoente fracionário (por exemplo, ), podemos aplicar esses conceitos
aos números complexos, ou seja:
E, transformando para a forma algébrica, temos:
Esta fórmula é conhecida como fórmula de Moivre da potenciação dos números
complexos.
Exercícios
1. Seja o número complexo , em que m é um número real. Para qual
valor de m o número z é imaginário puro?
2. Para quais valores de x o número complexo é real?
3. Partindo-se da igualdade , quanto vale m+n?
4. Calcule o valor da expressão .
5. Calcule o valor de .
6. Qual o conjugado de ?
7. Resolva a expressão .
8. Quanto vale ?
9. Calcular .
10. Calcular o módulo de .
11. Calcular .
12. Calcular o valor de .
Veja também
1. Este site, do Instituto deMatemática e Estatística trata da história
dos números complexos e a partir de quais problemas eles se
desenvolveram:
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/complexos.html
2. Além de conter muitas curiosidades, conta também a história de Leonard
Euler, notável cientista presente na história dos números complexos:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/index.htm
3. Este outro site, nos fala de uma aplicação para os números complexos:
http://sorzal-df.fc.unesp.br/~edvaldo/dominiocores.htm
Respostas
1. 5i
2.
3. -1
4. 2-2i
5.
6.
7. 1-i
8. -i
9. i
10. 100
11. -32i
12. -2
Sites e livros consultados
1. http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-i.html
2. http://pt.wikipedia.org/wiki/Número_complexo
3. http://br.geocities.com/silvandabr/complexo.html
4. http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/complexos.html
5. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.
Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Polinômios
Introdução
Suponha que a figura representa um cubo com arestas de medida (x+3).
A área total desse cubo é expressa por:
6.(x+3)2 = 6.(x2 + 6x + 9) = 6x2 + 36x +54
O volume desse cubo é expresso por:
(x+3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27
Essas expressões são chamadas de Expressões Polinomiais e serão nosso
objeto de estudo.
Definição
Chamamos de expressão polinomial, ou polinômio, toda expressão da forma:
anxn + an-1xn-1 +...+ a2x2 + a1x + a0
Onde:
a0,a1, a2, ..., an-1 e an são números reais chamados coeficientes;
n é um número inteiro positivo ou nulo;
O maior expoente de x, com coeficiente não nulo, é o grau da
expressão.
Função Polinomial
Funções definidas por expressões polinomiais são denominadas funções
polinomiais.
Por exemplo:
f(x) = x3 + 4x2 + 3x + 1, é uma função polinomial de grau três.
Formalmente:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
É denominada função polinomial de grau n, em que n є lN* e an 0.
Observações:
a) Normalmente, utilizamos a palavra polinômio em vez de função
polinomial. Sendo assim, daqui em diante chamaremos as funções
polinomiais de polinômios.
Ex.: p(x) = 2x + 4 é um polinômio de 1º grau
b) Polinômio zero ou nulo:
O polinômio constante p(x) = 0 é denominado polinômio zero ou nulo.
Dizemos que esse polinômio não tem grau.
Formalmente:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 é polinômio nulo an = an-1 =
... = a1 = a0 = 0
Valor numérico de um polinômio
O valor numérico de um polinômio p(x) para x = a é o número que se obtém
substituindo x por a e efetuando os cálculos necessários.
Indicamos o valor obtido por p(a).
Exemplos:
a) p(x) = 4x2 + 3x + 2
p(1) = 4.(1)2 + 3.(1) + 2
p(1) = 4 + 3 + 2
p(1) = 9
b) p(x) = 2x + 3
p(8) = 2.8 + 3
p(8) = 19
Raiz de um polinômio
Se p(a) = 0, o número a é denominado raiz de p(x).
Por exemplo:
a) P(x) = 2x – 2
P(1) = 0
Logo, 1 é raiz de p(x)
b) Vamos determinar a raiz do polinômio: p(x) = x2 + 2x + 1.
Queremos então encontrar x tal que p(x) = 0.
Assim:
x2 + 2x + 1 = 0
= 0
x = = -1
Logo, -1 é raiz de p(x).
Grau de um polinômio
Já vimos que o grau de um polinômio é definido pelo maior expoente de x com
coeficiente não nulo.
Notação: grau de p(x) gr(p)
Exemplo:
a. p(x) = x3 + 3x + 2, gr(p) = 3
b. p(x) = x7 + 3x6 + 4x5 + x3 + x, gr(a) = 7
c. p(x) = 0x2 + 8x + 3, gr(p)= 1
d. p(x) = 0, p não tem grau
e. Vamos discutir, em relação a a o grau do polinômio p(x) = (a-2)x3 +
bx2 + (c-1)x + d
Se a 2 então gr(p) = 3
Se a = 2 e b 0 então gr(p) = 2
Se a = 2, b = 0 e c 1 então gr(p) = 1
Se a = 2, b = 0, c = 1 e d 0 então gr(p) = 0
Se a = 2, b = 0, c = 1 e d = 0 então p não tem grau
Polinômios Idênticos
Sejam A e B dois polinômios.
Dizemos que A e B são idênticos (ou iguais) quando os coeficientes dos
termos semelhantes sejam dois a dois iguais. Observe:
A(x) = 5x4 + 4x3 + 3x + 1
B(x) = 5x4 + 4x3 + 3x + 1
C(x) = 5x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 1
Temos que: A = B, A C e B C
Ex.: Vamos determinar os valores de a, b, c, d e e de modo que os
polinômios p(x) = ax4 + 5x2 + dx – b e g(x) = 2x4 + (b-3)x3 + (2c-1)x2 + x
+ e sejam iguais.
Para que p(x) = g(x), devemos ter:
a = 2
0 = b – 3 b = 3
5 = 2c – 1 2c = 6 c = 3
d = 1
e = -b = -3
Logo, a = 2, b = 3, c = 3, d = 1, e = -3.
Função Polinomial Soma
Dados dois polinômios A e B, a função polinomial soma A+B tal que (A+B)(x)
= A(x) + B(x) é definida pelo polinômio em que cada termo é a soma dos
termos semelhantes dos polinômios A e B.
Por exemplo:
a) A(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 4
B(x) = x2 – 3x + 1
Então:
(A+B)(x) = (2x3 + 3x2 + 5x – 4) + (x2 – 3x + 1)
(A+B)(x) = 2x3 + (3 + 1)x2 + (5 – 3)x + (– 4+1)
(A+B)(x) = 2x3 + 4x2 + 2x – 3
Note que: gr(A) = 3, gr(B) = 2 e gr(A+B) = 3.
b) A(x) = 2x3 + 4x2 - 5x + 3
B(x) = -2x3 + x2 – 3
Então:
(A+B)(x) = (2x3 + 4x2 - 5x + 3) + (-2x3 + x2 – 3)
(A+B)(x) = (2-2)x3 + (4+1)x2 + (- 5)x + (3 - 3)
(A+B)(x) = 5x2 - 5x
Note que gr(A) = gr(B ) = 3 e gr(A+B) = 2 < gr(A).
Formalizando:
O grau de A+B é tal que:
gr(a) > gr(B) gr(A+B) = gr(A)
gr(A) = gr(B) gr(A+B) gr(A) ou A+B não tem grau
Função Polinomial Produto
Dados dois polinômios A e B, a função polinomial produto (A.B) tal que
(A.B)(x) = A(x) . B(x) é definida pelo polinômio cujos termos são todos os
produtos possíveis entre um termo de A e um termo de B.
Por exemplo:
a) A(x) = 2x2 – 3x + 1
B(x) = 3x + 2
Então:
(A.B)(x) = (2x2 – 3x + 1).( 3x + 2)
(A.B)(x) = 2x2.3x + 2x2.2 + (– 3x).(3x)+(-3x).2 + 1.3x + 1.2
(A.B)(x) = 6x3 + 4x2 – 9x2 - 6x + 3x + 2
(A.B)(x) = 6x3 - 5x2 – 9x2 - 3x + 2
Note que gr(A) = 2, gr(b) = 1 e gr(A.B) = 2+1 = 3
b) A(x) = 3x + 4
A2(x) = (3x+4) . (3x+4)
A2(x) = 3x.3x + 4.3x + 4.3x + 4.4
A2(x) = 9x2 + 24x +16
Note que gr(A) = 1 e gr(A.A) = 1+1 = 2
Formalmente:
gr(A.B) = gr(A) + gr(B)
Divisão de Polinômios
Considerando dois polinômios A(x) e B(x), com B(x) não nulo, dividir A(x)
por B(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) e R(x) tais que:
A(x) = B(x) . Q(x) + R(x)
gr(R) < gr(B) ou R(x)=0
Sendo assim, podemos dizer que:
A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto
"A(x) "B(x) "
"R(x) "Q(x) "
Vamos então conhecer alguns métodos para dividir polinômios.
Método da Chave
Esse método consiste em obter o quociente Q e o resto R, em varias etapas,
do mesmo modo que fazemos divisão com números naturais.
Ex.1: Vamos dividir A(x) = 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por B(x) = -2x3 -4x2 + 6x
"2x3+7x2+4x-"x2+2x-3 "
"4 " "
"-2x3-4x2+6x"2x "
"3x2+10x-4 " "
O grau do resto não é menor do que o grau do divisor e, portanto, a divisão
ainda não terminou
"2x3+7x2+4x-"x2+2x-3 "
"4 " "
"-2x3-4x2+6x"2x+3 "
"3x2+10x-4 " "
"-3x2-6x+9 " "
"4x+5 " "
O grau do resto já é menor que o grau do divisor e, portanto, a divisão
terminou.
Ex.2: Vamos dividir A(x) = 2x4 – 2x3 – 13x2 + 10x – 1 por B(x) = 2x2 + 4x
– 3
"2x4 – 2x3 – "2x2 + 4x – 3 "
"13x2 + 10x – 1 " "
"-2x4 – 4x3 + "x2 - 3x + 1 "
"3x2 " "
"-6x3 – 10x2 + " "
"10x – 1 " "
"6x3 + 12x2 - 9x" "
"2x2 + x – 1 " "
"-2x2 - 4x + 3 " "
" -3x +" "
"2 " "
Observe que chegamos em R(x) = -3x + 2 e que R(x) < Q(x), assim, paramos de
efetuar a operação.
Ex.3: Na divisão A(x) = x3 + 2x + 1 por B(x) = x4 + 3x3 + 4, temos que:
"x3 + 2x + 1"x4 + 3x3 + "
" "4 "
"x3 + 2x + 1"0 "
Pois Gr(A) < Gr(B) e, como queremos A(x) = B(x) . Q(x) + R(x), temos:
(x3 + 2x + 1) = (x4 + 3x3 + 4) . 0 + (x3 + 2x + 1)
Divisão por (x-a) – dispositivo de Briott – Ruffini
Há um método prático de efetuar divisões por polinômios do tipo (x-a), de
uma maneira simples e rápida, conhecido como dispositivo pratico de Briot-
Ruffini.
Esse dispositivo consiste no seguinte esquema:
"Coeficientes do"Termo "
"dividendo "constante do "
"[p(x)] "divisor com "
" "sinal trocado"
" " "
q1 = a0 . a + a1
q2 = q1 . a + a2
...
qn = qn-1 . a + an
Ex. 1:Vamos dividir p(x) = x4 – 7x2 + 3x – 1 por h(x) = x-2
Logo:
"x4 – 7x2 + 3x "x-2 "
"– 1 " "
"-7 "x3 + 2x2 - 3x "
" "– 3 "
Teorema de D'Alembert
Esse teorema nos diz que o resto da divisão de um polinômio p(x) por x-a
é p(a).
Ex. 1: Vamos calcular o resto da divisão de p(x) = x4 – 7x2 + 3x – 1 por
h(x) = x-2.
R = p(2) = 24 – 7.(2)2 + 3.2 – 1 = 16 – 28 + 6 – 1 = -7
Logo, o resto da divisão é -7.
Ex. 2: Vamos determinar o valor de a de modo que o polinômio p(x)= 2x3 +
5x2 - ax + 2 seja divisível por h(x)=x-2.
Se p(x) é divisível por h(x), o resto da divisão é zero.
Logo, pelo Teo. De D'Alembert:
p(2) = 0 2.(2)3 + 5.(2)2 – a.(2) + 2 = 0 16 + 20 – 2a + 2 = 0 2a =
38 a = 19
Exercícios
1. Discuta, para m є lR, o grau dos polinômios:
a) p(x) = (m-4)x3 + (m+2)x2 + x + 1
b) g(x) = (m2-4)x4 + (m-2)x + m
2. Calcule os valores de a e b no polinômio:
a) p(x) = x3 + (a-2)x2 +(b-4)x -3, sabendo que 1 e -1 são raízes do
polinômio;
b) p(x) = x3 + ax2 + (b-18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e
p(2) = 25.
3. Consideremos o polinômio p(x) = 2x3 - 6x2 + mx + n. Se p(2) = 0 e p(-
1) = -6, calcule os valores de m e n.
4. (PUC-SP) Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha
(m+n+p)x4 – (p+1)x3 + mx2 + (n-p)x + n = 2mx3 + (2p+7)x2 + 5mx + 2m.
5. (FEI-SP) Determine A, B e C na decomposição:
6. Efetue a divisão de p(x) por h(x) quando:
a) p(x) = x2 + 4x + 3 e h(x)= x+1
b) p(x) = x3 + x2 - x + 1 e h(x)= x+4
c) p(x) = x4 – 10x3 + 24x2 + 10x - 24 e h(x)= x2 – 6x + 5
7. Dividindo p(x) = x3 - 4x2 + 7x – 3 por certo polinômio h(x), obtemos o
quociente q(x) = x-1 e o resto r(x) = 2x – 1. Determine o polinômio
h(x).
8. Calcule os valores reais de x para que x3 + 2x2 + 8x + 7 = 0, sabendo
que o polinômio p(x)= x3 + 2x2 + 8x + 7 é divisível por x+1
9. Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio
p(x) = 2x3 + mx2 + nx – 1 por h(x) = 2x2 - x – 1
10. Calcule o quociente e o resto da divisão dos polinômios de duas
maneiras diferentes:
a) p(x) = 5x2 – 3x + 2 por h(x) = x + 3
b) p(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 1 por h(x) = x-4
c) p(x) = 2x4 + 7x3 – 4x + 5 por h(x) = x+3
11. Calcule o valor de a sabendo que:
a) p(x) = 2x3 + 4x2 – 5x + a é divisível por h(x) = x-1;
b) p(x) = 2x3 + ax2 + (2a + 1)x + a + 3 é divisível por h(x) = x+4
12. Calcule o resto da divisão de:
a) p(x) = 2x3 - 4x2 + x – 1 por h(x) = x-1
b) p(x) = x4 + 2x2 – x - 5 por h(x) = x+3
13. Verifique se o polinômio p(x) = x2 – 3x + 2 é divisível por x+3.
14. Calcule os valores reais de m sabendo que o resto da divisão de:
a) p(x) = x3 + 3x2 + 5x + m por h(x) = x-m é igual a m3
b) p(x) = m2x2 – 5mx + 6 por h(x) = x-1 é menor que 2
15. Determine b e c de modo que o polinômio p(x) = x4 + x2 + bx + c seja
divisível por h(x) = x-2, mas, quando dividido por g(x) = x+2, deixe
resto igual a 4.
Gabarito
1.
a. se m=4, então gr(p) = 2
se m 4, então gr(p) = 3
b. se m=2, então gr(g)=0
se m=-2, então gr(g)=1; se m ±2, então gr(p)=4
2.
a. 5 e 3
b. 10 e 6
3. m=2 e n=4
4. m=1, n=2 e p=-3
5. A=1/3, B=-1/3 e C=-2/3
6.
a. q(x)=x+3; r(x)=0
b. q(x)=x2-3x+11; r(x)=-43
c. q(x)=x2-4x-5; r(x)=1
7. x2-3x+2
8. -1
9. 1 e -2
10.
a) q(x)=5x+18; r (x)=56
b) q(x)=2x2+x+6; r(x)=25
11.
a. -1
b.43/3
12.
a. -2
b.97
13. Não
14.
a. o ou -2
b.m є lR l 1 a1 = 3 . 1 + 2 = 5;
Se n = 2 –> a2 = 3 . 2 + 2 = 8;
Se n = 3 –> a3 = 3 . 3 + 2 = 11;
Se n = 4 –> a4 = 3 . 4 + 2 = 14.
Portanto essa seqüência é dada por (5, 8, 11, 14,...)
2. A seqüência definida por:
n Є lN* é dada por:
a1 = 2;
Se n = 2 –> a2 = 2 . a1 = 4;
Se n = 3 –> a3 = 2 . a2 = 8;
Se n = 4 –> a4 = 2 . a3 = 16.
Logo essa seqüência é dada por (4, 8, 16,...)
3. Vamos determinar an (chamado termo geral) na seqüência dos números
quadrados perfeitos: (1, 4, 9, 16, 25,...)
Observamos que:
Se n = 1 –> a1 = 12 = 1;
Se n = 2 –> a2 = 22 = 4;
Se n = 3 –> a3 = 32 = 9;
Para um n qualquer –> an = n2
Logo, an = n2 é o termo geral da seqüência, onde n Є lN*.
Definição de Progressão Aritmética
Sejam a e r dois números reais. Chama-se Progressão Aritmética (P.A.)
a seqüência tal que:
Onde n Є lN*.
Chamamos r de razão da PA.
Podemos observar que:
A. Numa P.A., cada termo, a partir do segundo é obtido, adicionando-se r
ao termo anterior;
B. r = an+1 – an
Exemplos:
A seqüência (3,8,13,18,23,28,...) é uma P.A. de razão r = 5;
A seqüência (20,10,0,-10,-20) é uma P.A. finita de razão r = -10;
A seqüência (7,7,7) é uma P.A. de razão r=0.
Classificação
Se (an) é uma P.A. Então:
a. (an) é estritamente crescente r 0
b. (an) é estritamente decrescente r 0
c. (an) é constante r = 0
Termo Geral de uma P.A.
Em uma PA de razão r, partindo do 1º termo, para avançar para o 2º,
basta somar r ao 1º termo (a2 = a1 + r), usando o mesmo raciocínio, para
avançar para o terceiro termo basta somar 2r ao 1º termo (a3 = a1 + 2r) e,
para passar para o quarto termo bastar somar 3r ao 1º termo (a4 = a1 + 3r).
Sendo assim, para passar de a1 para an, basta somar (n-1).r ao 1º
termo. Logo:
an = a1 + (n-1).r
Soma dos termos de uma P.A. finita
Existe uma fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros
termos de uma P.A.. Ela é dada por:
Em que:
a1 é o primeiro termo;
an é o enésimo termo;
n é o número de termos;
Sn é a soma dos n termos.
Exemplo:
1. Calculemos a soma dos cinqüenta primeiros termos da P.A. (2, 6,
10,...)
Os cinqüenta primeiros termos formam uma P.A. finita, onde a1 = 2, r = 4 e
an = 50.
a50 = a1 + 49 . r = 2 + 49 . 4 = 198
S50= {(2+198).50} ÷ 2 = 5000
Logo, a soma procurada é igual a 5000
Resolvendo alguns tipos de problemas com P,A.
As soluções de problemas que envolvem somas e produtos entre termos
consecutivos de uma PA ficam mais fáceis quando indicamos a PA em função
dos termos intermediários. OU seja, indicamos uma PA de:
Três termos por (x-r , r , x+r);
Quatro termos por (x-2r , x-r , x , x+r);
Etc..
Exemplo:
1. Quatro números estão em P.A., de modo que a soma dos dois extremos é
14 e a dos dois primeiros é -2 . Vamos determinar esses quatro
números.
Indicamos a P.A. por (x-2r, x-r, x, x+r). Assim temos:
2r = 16 r = 8
2x – 3r = -2 2x – 3 . 8 = -2 2x = 22 x = 11
Logo, a PA é dada por (x-2r, x-r, x, x+r) = (-5, 3, 11, 19)
Exercícios (PA)
1. Escreva a PA de:
a. Cinco termos em que o 1º termo é a1 = 7 e a razão é r = 4;
b. Cinco termos, em que o 1º termo é a1 = x+3 e a razão é r = x.
2. Determine:
a. O 7º termo de uma PA na qual a4 = 25 e r = -5;
b. O 4º termo de uma PA em que o 1º termo é a1 = 1 e a razão é r =
1/n, n 0;
c. O 6º termo da PA em que a3 = (x+2) /3 e r = 2.
3. Qual é o 50º número ímpar positivo?
4. Calcule o 1º termo da PA:
a. De razão r = 3 sabendo que a7 = 21;
b. Em que a12 = -29 e r = -4.
5. Numa PA na qual o 20º termo é 157 e o 1º termo é 5, calcule a razão.
6. Numa PA , o 8º termo é 52 e o 10º termo é 66. Calcule o 9º termo e a
razão dessa PA.
7. Sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se esses números tem
por soma 24 e por produto 120, calcule os três números.
8. As medidas dos lados de um triangulo retângulo formam uma PA de razão
5. Determine as medidas dos lados desse triângulo.
9. As medidas dos ângulos de um triângulo estão em PA de razão 20.
Calcule as medidas dos ângulos do triangulo.
10. Determine 5 números que formam uma PA crescente de forma que o produto
dos extremos seja 28 e a soma dos seus quadrados seja 24.
11. Determine quatro números que formam uma PA crescente sabendo que sua
soma é 4 e a soma de seus quadrados, 24.
12. Calcule a soma:
a. Dos trinta primeiros termos da PA (4,10,...);
b. Dos 20 primeiros termos de uma PA em que o 1º termo é a1 = 17 e r = 4;
c. Dos cinqüenta primeiros múltiplos positivos de 5;
d. Dos n primeiros números pares positivos.
13. Numa PA, a soma dos seis primeiros termos é 12. Sabendo que o ultimo
termo é 7, calcule o 1º termo dessa PA.
14. Resolva a equação 2 + 5 + 8 + ... + x = 77 sabendo que os termos do 1º
membro estão em PA.
15. Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16
na terceira; as demais fileiras se compõe na mesma seqüência. Quantas
fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?
16. A soma das medidas dos ângulos internos de um triangulo é 180º. Num
triangulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menos desses ângulos
mede 40º . Calcule as medidas dos outros dois ângulos.
Gabarito
1. a.(7,11,15,19,23) b.(x+3,2x+3,3x+3,4x+3,5x+3)
2. a.10 b.1-2π c. (x+20) / 3
3. 99
4. a.3 b.15
5. 8
6. 59 e 7
7. 1, 8 e 15 ou 15, 8 e 1
8. 15, 20 e 25
9. 40º, 60º e 80º
10. 2, 5, 8, 11 e 14
11. -2, 0, 2 e 4
12. a.2730 b.40200 c.6375 d.n(1+n)
13. -3
14. S={20}
15. 20 fileiras
16. 40º, 60º e 80º
Definição de Progressão Geométrica
Do mesmo modo que definimos uma PA anteriormente, podemos definir uma
Progressão Geométrica:
Sejam a e q dois números reais. Chama-se Progressão Geométrica (PG) a
seqüência (an) tal que:
O numero real q é chamado razão da P.G.
Podemos observar que:
na PG, cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se por
q o termo anterior.
Se a1 0 e q 0. Então: q = , onde n Є lN*.
Exemplos:
A seqüência (2, 10, 50, 250) é uma PG onde a razão é q = 5;
A seqüência (512, 128, 32, 8, 2,...) é uma PG onde a razão é q = ¼;
A seqüência (2, -4, 8, -16,...) é uma PG onde a razão é q = -2.
Classificação
Se (an) é uma PG, então:
a. (an) é estritamente crescente
b. (an) é estritamente decrescente
c. (an) é constante a1 0 e q = 1
d. (an) é singular a1=0 ou q=0
e. (an) é alternante a1 0 e q 0
Termo Geral de uma P.G.
Em uma progressão geométrica (a1, a2, a3,. ..) de razão q, partindo do 1º
tremo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a2
= a1 . q), para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo duas
vezes pela razão q (a3 = a1 . q2), para avançar três termos basta
multiplicar três vezes o primeiro termo pela razão q (a4 = a1 . q3) e assim
por diante. Sendo assim, para encontrarmos o termo de ordem n (termo geral
da PG) fazemos:
an = a1 . qn-1
Em que:
an = termo geral;
a1 = 1º termo;
n = número de termos (até an);
q = razão.
Soma dos termos de uma P.G. finita
Existe uma fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros
termos de uma PG. Ela é dada por:
Para q 1, então
Para q = 1, então Sn = n.a1
Soma dos termos de uma P.G. infinita
Vamos considerar a seguinte PG (1, ½ , ¼ , 1/8, 1/16, ...)
Observamos que:
1 + + = 1,75
1 + + + = 1,875
1 + + + + = 1,9375
1 + + + + + = 1,96875
1 + + + + + + = 1,984375
Ou seja, a soma dos termos dessa PG se aproxima de 2 (mas nunca
chega!). Sendo assim, podemos estimar para qual valor a soma dos
termos de uma PG infinita, em que -1 < q < 1, se aproxima.
Podemos encontrar esse valor através da formula:
, -1 < q < 1
Exercícios (PG)
1. Determine a fórmula do termo geral de cada PG:
a. (2, 8, ...)
b. (2, 1, ...)
2. Qual é o 8º termo de uma PG na qual o 1º termo é a1 = e a razão
é q = ?
3. Calcule o 1º termo da PG (a1, a2, a3, ...) em que:
a. a4 =128 e q = 4
b. a6 = 103 e q = 10
c. a11 = 3072 e q = 2
4. Numa PG crescente, o 8º termo vale 8 e o 10º vale 32. Calcule o 9º
termo e a razão dessa PG.
5. Numa PG de números reais, a3 = 16 e a6 = 1024. Determine a1 e a razão
q dessa PG
6. Determine a PG de três elementos que são números inteiros, sabendo que
a soma deles é igual a 31 e o produto é 125
7. Três números inteiros positivos estão em PG de tal forma que a soma
deles é igual a 62 e o maior numero é igual a 25 vezes o menor. Quais
são os três números?
8. Calcule a soma:
a. Dos seis primeiros termos da PG (2, 8, ...);
b. Dos seis primeiros termos da PG (7, 14, ...);
c. Dos dez termos iniciais da PG (a2, a5, ... ).
9. Os termos do 1º membro da equação 3 + 6 + ... + x = 381 formam uma PG.
Calcule o conjunto solução dessa equação
10. Seja uma PG na qual o 1º termo é 2, o último é 256 e a soma dos termos
é 510. Qual é o valor da razão dessa PG?
11. Quantos termos devemos considerar na PG (3, 6, ...) para obter uma
soma igual a 765?
12. Uma empresa produziu 20000 unidades de certo produto no primeiro
trimestre de 1999. Quantas unidades foram produzidas no ano de 1999,
sabendo que a produção aumentou 20% a cada trimestre?
13. Determine o valor de 20 + 4 + + + ...
14. Calcule o valor de x na igualdade x + + + ... = 12, na qual
o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG infinita.
15. Seja um triangulo de área 40. Unindo-se os pontos médios dos lados
desse triangulo, obtemos um segundo triangulo; unindo-se os pontos
médios dos lados desse segundo triangulo, obtemos um terceiro; e assim
por diante, infinitamente. Calcule a soma das áreas de todos esses
triângulos, sabendo que eles formam uma PG.
16. Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas
(Utilizando conceitos de PG):
a. 0,777...
b. 0,515151...
c. 2,666...
17. Um triangulo eqüilátero tem o lado medindo 18. Unindo-se os pontos
médios dos lados desse triangulo, obtém – se um segundo triangulo
eqüilátero; unindo-se os pontos médios dos lados desse segundo
triangulo, obtém - se um terceiro; e assim por diante, infinitamente.
Qual é a soma dos perímetros de todos esses triângulos?
Gabarito (PG)
1. a. an=22n-1 b. an=3n c. an = 22-n
2. 16
3. a.2 b.10-2 c.3
4. 16 e 2
5. 1 e 4
6. (1, 5, 25) ou (25, 5, 1)
7. 2, 10 e 50 ou 50, 10 e 2
8. a.2730 b.441
9. S={192}
10. 2
11. 8 termos
12. 107360 unidades
13. 25
14. 8
15. 160/3
16. a. 7/9 b.17/33 c.8/3
17. 108
Problemas envolvendo PA e PG
São comuns os exercícios que envolvem PA e PG simultaneamente. Para
resolver alguns deles, precisamos observar algumas propriedades dos
termos de uma PA e de uma PG.
1. Propriedade de três termos consecutivos de uma PA
Numa PA, cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética
entre o termo anterior e o termo posterior.
Ou seja,
Numa PA: (a1, a2, a3, ..., ap-1, ap, ap+1,...), temos:
2. Propriedade de três termos consecutivos de uma PG
Numa PG, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica
entre o termo anterior e o termo posterior.
Ou seja,
Numa PG: (a1, a2, a3, ..., ap-1, ap, ap+1,...), temos:
Exemplo:
São dados quatro números x, y,6,4, nessa ordem. Sabendo que os
três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, vamos
determinar x e y.
Se x, y, 6 estão em PA, temos . Se y, 6, 4 estão em PG, temos
62=4y
Devemos resolver o sistema formado por essas duas equações:
y = 9 x + 6 = 18 x = 12
Então, x=12 e y=9
Exercícios
1. Calcule x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é uma PA e a sequência
(x, y, 12) é uma PG crescente
2. A sequência (a, b, c) é uma PA e a sequência (a, b, c+1) é uma PG. Se
a+b+c = 18, escreva a PA sabendo que ela é crescente
3. Sendo (40, x, y, 5) uma progressão geométrica de razão q e (q, 8-a,
7/2) uma progressão aritmética, determine a.
Gabarito
1. 3 e 6
2. (4, 6, 8)
3. 6
Referências
1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante;
Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
3. Álgebra Il – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
Porcentagem e Matemática Financeira
A expressão "por cento" (indicada pelo símbolo %) participa constantemente
do nosso cotidiano: quando lemos um jornal, quando assistimos televisão ou
mesmo quando ouvimos rádio.
Quando um número vem escrito em percentual, fica mais fácil analisar de uma
forma ampla algumas situações, por exemplo:
"60% (sessenta por cento) dos paulistas já sofreram com enchentes."
Ou seja, a cada 100 paulistas, 60 já sofreram com as enchentes.
Sendo assim, não importa qual é o tamanho real da população da cidade de
São Paulo, a porcentagem já nos deu uma informação que nos proporciona uma
visão geral do que acontece a cada 100 paulistas.
Veja outros exemplos:
a) "30% dos jovens praticam esportes." – significa que em um grupo de
100 jovens, 30 praticam esportes.
b) "95% dos homens são viciados em futebol." – significa que em um
grupo de 100 homens, 95 são viciados em vídeo-game.
Sendo assim, a porcentagem é a forma usada para indicar uma fração de
denominador 100.
Veja alguns exemplos e seus significados:
a) 50% é o mesmo que ou 0,5 escrito na forma de porcentagem.
b) 4% é o mesmo que ou 0,04 escrito na forma de porcentagem.
c) 0,15 é o mesmo que .
d) 6 pessoas em um grupo de 10 correspondem a ou ou 60%
do grupo.
* IMPORTANTE *: Como podemos escrever em porcentagem?
Vamos primeiro efetuar a divisão: 32 ÷ 64 = 0,5
Como já vimos, 0,5 é o mesmo que 0,50; que, por sua vez é o mesmo que
e, por fim, = 50%
Logo, em porcentagem, corresponde a 50%.
Definição de uma Quantia
A melhor forma de explicar como se calcula a porcentagem de uma quantia, é
através de exemplos:
a) Qual é o valor de 80% de 50?
Modo 1: 80% de 50 = ?
. 50 = = 40
(Dividimos 50 por 100 e pegamos 80 partes)
Modo 2: Regra de Três:
50 corresponde ao total, ou seja, a 100%. Queremos saber qual valor que
corresponde a 80%.
PORCENTAGEM VALOR
100 ------------ 50
80 ------------ x
100.x = 50.80 ( x = ( x = 40
Resposta: 80% de 50 = 40
b) 25% de quanto dá 40?
Modo 1: 25% de ? = 40
. x = 40 ( x = ( x = 160
Modo 2: Regra de Três:
Queremos saber qual é o valor que corresponde a 100%, sendo que 25%
corresponde a 40.
PORCENTAGEM VALOR
25 ------------ 40
100 ------------ x
25.x = 40.100 ( x = ( x = 160
Resposta: 25% de 160 = 40
c) R$ 72,00 corresponde a quantos por cento de R$360,00?
Modo 1 : ?% de R$ 360,00 = R$ 72,00
X% . 360 = 72
. 360 = 72 ( x = ( x = 20
Modo 2: Regra de Três
Sabemos que R$360,00 corresponde ao total, ou seja, a 100%. Queremos saber
quantos por cento correspondem a R$ 72,00.
PORCENTAGEM VALOR
100 ------------ 360
x ------------ 72
360.x = 100.72 ( x = ( x = 20
Resp: R$72,00 corresponde a 20% de R$360,00
A partir desses exemplos dados, podemos resolver vários problemas que
envolvem porcentagem. Por exemplo:
1) Se um vestido que custa R$250,00 está sendo vendido com um desconto
de 6%. Qual será o novo preço do vestido?
Vamos primeiro calcular 6% de R$250,00 : . 250 = 15
Sendo assim, o desconto será de R$15,00. Então o novo preço do vestido
será: R$250,00 – R$15,00 = R$235,00
2) Um fogão, cujo preço à vista é de R$800,00, tem um acréscimo de 5%
no seu preço se for pago em 3 prestações iguais. Qual é o valor de
cada prestação?
Vamos primeiro calcular 5% de R$800,00 : . 800 = 40 . O acréscimo
será de R$ 40,00.
Sendo assim, o novo preço do fogão a ser pago em três prestações será de:
R$800,00 + R$40,00 = R$840,00
Mas, o exercício pergunta qual é o valor de cada prestação: 840 ÷ 3 = 280
Resposta: O valor de cada prestação será de R$280,00
Exercícios
1. Calcule e responda:
a. Qual é o valor de 60% de 95?
b. Quanto por cento de 70 é igual a 56?
c. 6 são 15% de que numero?
d. R$ 75,20 correspondem a 20% de que quantia?
2. Um fogão está sendo vendido nas seguintes condições: 30% de entrada e
o restante em 5 prestações iguais de R$ 58,80 cada uma. Qual é o preço
desse fogão?
3. Um objeto que custava R$ 70,00 teve seu preço aumentado em R$ 10,50.
De quanto por cento foi o aumento?
4. Uma mercadoria custava R$ 80,00 e seu preço foi reajustado (aumentado)
em 5%. Se ao novo preço foi dado um desconto de 5% ela voltará a
custar R$ 80,00? Calcule os preços após o aumento e o desconto
5. O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido em 2 lojas do
seguinte modo:
Na 1ª loja, sobre o preço de R$ 800,00 há um desconto de 8%;
Na 2ª loja, sobre o preço de R$ 820,00, há um desconto de 10%.
Qual dessas ofertas é mais conveniente ao cliente?
6. Um comerciante comprou uma peça de tecido de 100m por R$ 800,00. Se
ele vender 40m com lucro de 30%, 50m com lucro de 10% e 10m pelo preço
de custo, quanto por cento de lucro ele teve na venda de toda a peça?
7. A quantia de R$ 1890,00 foi repartida entre 3 pessoas, da seguinte
forma: Marta recebeu 80% da quantia de Luís e Sergio recebeu 90% da
quantia da Marta. Quanto recebeu cada pessoa?
Gabarito
1. a. 57 b.80% c.40 d.R$ 376,00
2. R$ 420,00
3. 15%
4. Novo preço: R$ 84,00 ; Novo preço com desconto: R$ 79,80
5. A oferta da 1ª loja
6. 17%
7. Luis: R$ 750,00; Marta: R$ 600,00 e Sergio: R$ 540,00
Termos importantes da matemática financeira
É comum, no dia-a-dia, ouvir frases como: uma pessoa aplicou uma certa
quantia (capital) em uma poupança por um certo período (tempo).
Fazer uma aplicação é como emprestar dinheiro ao banco. Sendo assim, no
final desse período, a pessoa recebe uma quantia (juros) como compensação.
O valor dessa quantia é estabelecido por uma porcentagem (taxa de juros).
Ao final da aplicação, a pessoa terá um saldo correspondente a saldo +
juros (montante).
Juros Simples
Denominamos juros simples aqueles que são calculados sempre a partir de um
Capital Inicial.
Os juros simples são diretamente proporcionais ao capital e ao tempo de
aplicação.
Para entender melhor, veja o exemplo:
Ex.1: O capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao
mês. Qual o valor do montante após 5 meses?
3% de R$ 530,00 = 0,03 . 530 = R$ 15,90 (juros em 1 mês)
5 . R$ 15,90 = R$ 79,50 (rendimento em juros simples ao fim de 5 meses)
R$ 530,00 + R$ 79,50 = R$ 609,50 (montante)
Após 5 meses o montante será de R$ 609,50.
Juros Compostos
Consideremos o seguinte problema:
Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três
meses. Qual foi o montante ao final de três meses?
Considerando o problema de juros simples, temos:
Juros produzidos em um mês: 2% de 40.000 = 0.02 x 40.000 = 800
Juros produzidos em 3 meses: 800 x 3 = 2400
Montante ao final de 3 meses: 40.000 + 2400 = 42.400
Observe como seria se considerássemos o problema de juros compostos:
Juros produzidos no 1º mês: 2% de 40.000 = 800
Montante no final do 1º mês: 40.000 + 800 = 40.800
Juros produzidos no 2º mês: 2% de 40.800 = 816
Montante no final do 2º mês: 40.800 + 816 = 41.616
Juros produzidos no 3º mês: 2% de 41.616 = 832,32
Montante final: 41.616 + 832,32 = 42.448,32
Note que, no sistema de juros compostos, calculamos os juros ao final de
cada período, até esgotar o tempo da aplicação.
Vamos então determinar um método prático de resolução:
Caso Geral
No sistema de juros compostos, o montante (M) produzido por um capital (C)
aplicado à taxa i ao período no fim de t períodos é dado por:
M = C . (1+i)t
Além disso, o Capital (C) aplicado à taxa i ao período produz juros j tal
que:
j = M – C
Exercícios
1. Quanto rendeu a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com a
taxa de 2,5% ao mês, no final de 1 ano e três meses?
2. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples copm uma taxa de 2%
ao mês, resultou no montante de R$880,00 após certo tempo. Qual foi o
tempo da aplicação?
3. Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os
juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o calculo foi feito usando
juros simples, qual foi a taxa de juros?
4. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano,
juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?
5. Se o capital de R$ 300,00 rende mensalmente R$ 12,00, qual é a taxa
anual de juros, no sistema de juros simples?
6. Se uma mercadoria cujo preço é R$ 200,00 for paga em 6 meses, com a
taxa de 20% ao ano, quanto será pago de juros no sistema de juros
simples?
7. Qual será o montante produzido pelo capital de R$ 20000,00, aplicado a
juros compostos, à taxa de 20% ao ano, durante 6 meses? (Lembre-se que
t = 0,5)
8. Aplicando certa quantia na poupança, a juros mensais de 1% durante 2
meses, os juros obtidos são de R$ 200,00 (o sistema é de juros
compostos). Qual é essa quantia?
9. Calcule o montante produzido por R$ 5000,00 aplicado à taxa de 6% ao
bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
10. Uma pessoa deseja aplicar R$ 10000,00 a juros compostos e no final de
3 meses obter R$ 11248,64. Qual deve ser a taxa de juros?
11. Após quanto tempo, à taxa de 4% ao mês, a aplicação de R$1000,00
renderá juros de R$ 170,00, no sistema de juros compostos?
12. Em qual situação a aplicação de R$4000,00 terá maior rendimento e de
quanto a mais:
No sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses?
No sistema de juros compostos, à taxa de 2% ao mês, durante 3
meses?
Gabarito
1. R$ 225,00
2. 5 meses
3. 1% ao mês
4.R$ 220,00
5. 48%
6. R$ 20,00
7. R$ 21908,90
8. R$ 9950,25
9. R$ 7092,59
10. 4%
11. 4 meses
12. No sistema de juros compostos
Referências
1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto
Dante; Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
3. Álgebra Il – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
-----------------------
=
R$ 10.800,00
nº de pessoas que pagaram o condomínio.
X
nº de pessoas que pagaram o condomínio.
Tabela de f(x)
Tabela de g(x)
Apostila de Matemática
- Álgebra
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