Apostila Topografia 2009-1

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA COORDENADORIA DE ENSINO MÉDIO E TECNOLÓGICO COLÉGIO POLITÉCNICO DA UFSM Apostila de Topografia Prof. M. Sc. Eng. Florestal Erni José Milani Santa Maria 2009 1. APRESENTAÇÃO Esse material tem a finalidade de buscar um aprendizado prático da topografia, de maneira a oferecer aos interessados uma iniciação na área, por essa razão não será um documento completo e muitas explicações teóricas de certa forma ficaram um pouco prejudicadas, pois se não fosse dessa maneira o número de horas deveria em muito ser aumentado. Fica, portanto o alerta para que posteriormente o aluno continue a buscar aquelas informações complementares e necessárias. 2. OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS As operações topográficas podem ser divididas em 4 etapas: Ä Levantamento: É quando se obtém as medidas angulares e lineares; Ä Cálculo: Transformação das medidas obtidas no levantamento em coordenadas, área e volume; Ä Desenho: É a etapa onde se faz a representação das coordenadas; Ä Locação: Confirmação no campo dos dados levantados e calculados. 3. ÂNGULOS DA MENSURAÇÃO: Ä Horizontais; Ä Verticais. Ângulo: É dado pela diferença de direção entre duas retas que se encontram em um determinado ponto chamado de vértice. 1 3.1. Ângulo Horizontal: É o ângulo medido segundo o plano horizontal. Ä Sentido dos Ângulos Horizontais: Em mensuração, o sentido positivo de um ângulo horizontal é o sentido horário. 3.2. Ângulo Vertical: É o ângulo medido segundo o plano vertical. Ä São 3 tipos de ângulos verticais: - Ângulo de altura ou de Inclinação Vertical (β); - Ângulo Zenital (Ζ); - Ângulo Nadiral (Ν). 3.2.1. Ângulo de Altura: É o ângulo que vai da linha do horizonte, até a direção tomada. Ä É positivo quando contado acima da linha do horizonte; Ä É negativo quando contado para baixo do plano horizontal. 2 3.2.2. Ângulo Zenital É o ângulo que vai da linha do zênite, até a direção tomada. 3.2.3. Ângulo Nadiral É o ângulo que vai da linha do Nadir, até a direção tomada. 4. MEDIDA DA DISTÂNCIA A distância em topografia é sempre a projeção no plano. As distâncias em topografia podem ser medidas de quatro maneiras mais comuns. Ä Direta; ÄIndireta Taqueométrica; ÄIndireta Trigonométrica; Ä Eletrônica. 3 4.1. Distância Inclinada e Distância Horizontal cos β = cat.adj( D ) hip( D' ) D = D'. cos β D´ = distância inclinada entre P e Q. D = distância horizontal entre P e Q. β = ângulo de altura da direção P e Q Então: D = D'. cos β → Somente para pontos próximos, que se possa desconsiderar a curvatura da terra. 4.2. Medida Direta da Distância: É a medida feita com o Diastímetro, de preferência leve e com boa resistência, os mais comuns são as trenas “fiber-glass”. Como com o diastímetro não temos o ângulo para reduzir ao horizonte, devemos tomar alguns cuidados, veja na figura. 4 4.2.1. Principais Erros na Medição Direta Ä Catenária Ä Inclinação do diastímetro Ä Inclinação das balizas Ä Erro de alinhamento 4.3. Medida Indireta da Distância: 4.3.1. Método Taqueométrico: É a medida feita nos fios estadimétricos do aparelho. Retículo: Ä No plano: 5 Na figura acima a’b’ = h → distância que separa o retículo superior do inferior na ocular, mas que por fabricação geralmente vale 1/100 de f. f = distância focal da objetiva F = foco exterior da objetiva c = distância que vai do centro ótico do aparelho à objetiva C = c + f (constante do aparelho) = 0 d = distância que vai do foco à mira AB = H = diferença da leitura superior e inferior M = leitura do retículo Médio A distância horizontal entre P e Q será: D = d + C Então: a’Fb’ ≅ AFB a ' b' AB = f d onde d.h=H.f e d= H. f h à então: d = H . 100 D=C+d D = H . 100 + C a’b’ = h h= d= E AB = H à d = H . f . 100 / f f 100 H. f f 100 D = H . 100 Dessa forma podemos determinar uma distância de modo indireto, mas no plano. 6 Ä Quando o terreno é inclinado: cos β = cat . Adj ( A' M ) hip( AM ) A' M = AM . cos β + B' M = BM . cos β = A' M + B' M = AM + BM (cos β ) A' M = AM .cos β B' M = BM .cos β D’ = A’B’ . 100 + C D’ = H . cosβ . 100 + C (= 0) D’ = H . 100 . cosβ A’B’=AB(cos β) A’B’=H . cosβ D D' D = D'.cos β D = h.100. cos β . cos β cos β = ou D = H .100.Sen 2 Z D = H . 100 . cos 2 β ou, ainda: D = H .100.Sen 2 N 7 Exercícios: a) Calcule a distância entre o ponto A e o ponto B, sendo que a diferença de leitura dos fios estadimétricos foi 1,25m e o ângulo de altura (β) = 10º15’00” b) Calcule a distância tendo as seguintes informações: Vért. LS LM Li Âng. Zenital 1 2,632 2,0 1,368 86º10’00” 2 2,457 2,0 1,543 81º40’00” 3 2,238 2,0 1,762 83º15’00” Dist.(m) 4.3.2. Método Trigonométrico Este método se baseia em visar com o fio nivelador a parte inferior da mira falante (régua) e anotar o ângulo zenital correspondente (Z1), posteriormente visar a parte mais superior possível da régua e também anotar o ângulo zenital correspondente (Z2). Obs: É recomendável mirar novamente a parte inferior da régua, porém sem repetir a mesma leitura, e anotar o ângulo zenital (Z3). Com isso é possível medir duas vezes a mesma distância. Os valores devem ser muito próximos, e sendo assim, é recomendável que se use a média aritmética entre eles. 8 Exemplo: LM1= 0,10 → Z 1 = 91º25’20” LM2= 3,90 → Z 2 = 87º04’40” LM3= 0,20 → Z 3 = 91º18’40” Cálculo D1a = LM 2 − LM 1 3,90 − 0,10 = = 50,083m cot gZ 2 − cot gZ1 0.051046668 − (−0,024827559) D1b = LM 2 − LM 3 3,90 − 0,20 = = 50,045m cot gZ 2 − cot gZ 3 0.051046668 − ( −0,0228872) D1 = D1a + D1b 50,083 + 50,045 = = 50,064 m 2 2 4.4. Medição Eletrônica da Distância: É a obtenção da distância através da medida do número de ondas com um determinado comprimento, ondas essas emitidas por um Distanciômetro e rebatidas por um prisma. Cada aparelho tem seu próprio manual para que possamos operá-los. 9 5. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Os ângulos são medidos normalmente com teodolitos, mas podemos também deduzi-los quando conhecidos as distâncias do triângulo. 5.1. Medição de Ângulo com Trena e Balizas: Através do teorema dos cossenos, temos: Ä Medidas dos lados do triângulo: a2 = b2 + c2 − 2bc * Cos A b2 = a2 + c2 − 2ac * Cos B c2 = a2 + b2 − 2ab * Cos C Exercício: Calcule os ângulos A, B e C do triângulo cujos lados são: AB = 23m, BC = 28 m e AC = 30m então: a = 28m, b = 30m e c = 23m. Isolando-se o ângulo temos:  b2 + c2 − a2 A = ArcCos 2bc      30 2 + 23 2 − 28 2 A = ArcCos  2 * 30 * 23   A = 62°08’05,66”   a 2 + c2 − b2 B = ArcCos 2ac      28 2 + 23 2 − 30 2 B = ArcCos  2 * 28 * 23   B = 71°17’51,47”   a2 + b2 − c2 C = ArcCos 2ab      28 2 + 30 2 − 23 2 C = ArcCos  2 * 28 * 30   C = 46°34’02,87”  ∑ Ai = A + B + C ∑ Ai = 180° 6 ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS NO PLANO HORIZONTAL: Os ângulos topográficos podem ser observados ou calculados, sendo que se entende como observados os ângulos medidos através de instrumentos no campo e os calculados aqueles deduzidos através de cálculo de escritório. 10 Os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser: Ä Geométricos: - Internos; - Deflexão; - Irradiados. Ä Geográficos: - Azimute; - Rumo. 6.1 Ângulos Geométricos 6.1.1 Ângulos Internos: São os ângulos voltados para dentro da poligonal fechada. Esses ângulos variam de zero à 360° e seu somatório em uma poligonal fechada deve ser igual a 180° ( n - 2 ), sendo n o número de vértices dessa poligonal. Resumindo: ∑ Ai = 180° (n - 2) Porém ao medirmos os ângulos no campo estamos sempre sujeitos a cometer erros e como limite de tolerância para ângulos medidos com teodolitos usamos T= 1’ n , sendo n o número de vértices e T a tolerância. OBS.: Quando os levantamentos apresentam erros iguais ou menores do que a tolerância se faz a distribuição desses erros, e para erros acima desse limite, deve-se repetir a obtenção dos dados de campo. A distribuição pode ser de várias maneiras, o técnico pode usar aquela que julgue mais lógica. Indicaremos aqui uma maneira simples e rápida, que é compensar até um minuto por vértice, a partir do vértice que corresponde a menor distância. 6.1.1.1 Método de Levantamento Planimétrico, com ângulos internos: O método de levantamento planimétrico que usa os ângulos internos é o caminhamento perimétrico. Esse método consiste em andarmos em todo o perímetro do polígono, medindo a distância horizontal de cada alinhamento e os ângulos internos de cada vértice. Por uma questão de comodidade andamos sempre no sentido anti-horário. 11 Para a orientação de nossa planta precisamos ainda medir pelo menos o azimute de um alinhamento. 6.1.2 Ângulo de Deflexão: O ângulo de deflexão é aquele obtido a partir do prolongamento do alinhamento até o alinhamento seguinte, portanto podendo estar a direita ou esquerda, usados em poligonais abertas, porém para averiguação de sua precisão a poligonal terá que ser fechada. No caso de fecharmos a poligonal, os limites de tolerância bem como sua distribuição segue o que já apresentamos no capítulo anterior. Quando a poligonal for fechada saberemos que os ângulos foram bem medidos quando o ΣAdD ≠ ΣAdE = 360° 6.1.3 Ângulos Irradiados: Os ângulos irradiados normalmente são medidos no campo de forma acumulada, zerando-se o aparelho somente no vértice 1, e medindo-se posteriormente nos demais vértices. 6.1.3.1 Método de Levantamento Planimétrico, com ângulos irradiados: O método de levantamento planimétrico que usa os ângulos irradiados é a irradiação ou coordenadas polares. Esse método consiste em instalar o aparelho num ponto onde possamos enxergar todos os vértices. Zeramos o aparelho no primeiro vértice após medimos os demais vértices sempre da esquerda para direita, portanto no sentido horário. Medimos a distância do aparelho, até cada um dos vértices. Para a orientação de nossa planta, precisamos ainda medir pelo menos o azimute de um alinhamento. 12 6.2 Ângulos Geográficos 6.2.1 Azimute: O azimute é o ângulo formado a partir do Norte até o alinhamento, contando sempre no sentido horário, varia de zero à 360° . OBS.: O azimute de um alinhamento deve vir do campo, os demais azimutes se calcula a partir dos ângulos geométricos 6.2.2 Rumo: É o menor ângulo formado do Norte ou do Sul, o mais próximo, até o alinhamento, portanto contando no sentido horário ou anti-horário, varia de zero à 90° e deve sempre vir acompanhado das letras que lhe dão orientação. Assim: 1o quadrante - R NE 2o quadrante - R SE 13 3o quadrante - R SW 4o quadrante - R NW Ø Por não ter tanta importância nesse trabalho, não aprofundaremos o assusto sobre Rumo, pois trabalharemos sempre com o azimute. 7. DETERMINAÇÃO DO AZIMUTE NO CAMPO Ä Azimute magnético: A determinação do azimute magnético é possível através de uma bússola, a qual nos indica o Norte Magnético. Procedimento: Com a bússola acoplada ao teodolito instalado no vértice, direcionamos para o Norte e zeramos o aparelho, após visamos a baliza de vante e medimos o azimute. Ä Azimute verdadeiro: (Com uma visada ao sol). Procedimento: Com o teodolito instalado no vértice, zeramos o aparelho na baliza de vante, e após visamos o sol, tapando a objetiva para evitar riscos a retina, observar o ensinamento na prática. Da visada ao sol preenchemos a seguinte caderneta: Data: ______________ Hora legal da observação: ______________ Ângulo horizontal (α): ______________ Ângulo vertical (Z): ______________ Localização (latitude ϕ): ______________ a = 90 + d b = 90 + ϕ c=Z d = declinação magnética ϕ = latitude Z = ângulo zenital Manhã ⇒ Azθ = A Tarde ⇒ Azθ = 360 - A A = Azθ cos A = cos b.cos c + sen b.sen c.cos A 14 cos A = cos a − cos b.cos c (I) sen b.sen c cos a = cos (90 + d) ou sen d cos b = cos (90 + ϕ) ou sen ϕ sen b = sen (90 + ϕ) ou cos ϕ cos c = cos Z sen c = sen Z Substituindo na expressão (I), temos: cos A = sen d − sen ϕ .cos Z (II) cos ϕ .sen Z OBS.: Como a latitude (ϕ) é sempre negativa para o hemisfério sul, podemos usá-la como positiva e trocar o sinal da expressão (II), então: cos A = Az (1-2) = 360° - α + Azθ sen d + (sen ϕ .cos Z ) cosϕ .sen Z Az (1-2) = 360° - α + Azθ Quando o valor der maior que 360°, devemos subtrair 360° 15 Exemplo: Local: Itaara – RS Latitude: Data: 12 / 01 / 96 1° ----- 6,8cm Hora: 17h 40min x ----- 4,0cm Z = 180 - N N = 113°05’00” x = 0°35’17,65” Z = 66°55’00” α = 1°10’20” ϕ = 29°35’18” Declinação: 12 / 01 / 96 = - 21°47’24,4” 13 / 01 / 96 = -21°37’47,3” ____________________ Vd = 0°09’37,1” Ângulo Zenital: P2 1) -21°37’47,03” 2) -21°47’24,4” 3) 17h 40min 4) ϕ = 29°35’18” 5) Z = 66°55’00” 6) α = 1°10’20” Az(1-2)= 616°09’49,91” - 360° Vh = Vd / 24 = 0°00’24,05” Az (1-2) = 256°09’50” d = do + (Hl + F) . Vh d = -21°47’24,4” + (17h40min + 3h) . 0°00’24,05” d = -21°39’7,45 cos A = sen d + (sen ϕ .cos Z ) cosϕ .sen Z cos A = sen( −21°39'7,45") + (sen 29°3518 ' ").cos( 66°55'00") cos(29°3518 ' ").sen(66°55'00") A = 102°39’50” ⇒ Azθ = 257°20’10” Az(1-2) = 360° - α + Azθ Az(1-2) = 360° - 1°10’20” + 257°20’10” Az(1-2) = 256°09’50” OBS.: Essa maneira de determinarmos o azimute, através de uma visada ao sol, é apenas uma maneira prática de obter um valor aproximado, já que não se fez nenhuma correção. 16 Então poderemos melhorar esse resultado, procedendo de uma maneira mais efetiva, ainda que não precise totalmente, devido ao tipo de material disponível para ser usado. Procedimento: Devemos escolher uma mira o mais distante possível, que fique próxima ao horizonte e que se possa ter bem a certeza do ponto visado, pois faremos mais de uma visada e se a mira não for favorável, já é um fator de erro considerável. No mínimo devemos fazer duas observações, mas se quisermos ter mais certeza poderemos fazer quatro seis ou mais observações. Cada observação consta de visadas a mira e depois ao sol com a luneta na posição normal e invertida, e os valores a serem usados são os médios. Exemplo 1: Os dados foram obtidos na aula prática do curso de Técnico em Geomática do Colégio Politécnico da UFSM. Determinação do Azimute Verdadeiro. Método da Distância Zenital Absoluta do Sol Teodolito: T100-Leica precisão de 10” Temperatura: 7°c Latitude(Ф)= 29°43’18,03” S Data: 29/08/2007 Altitude = 88 m PRIMEIRA OBSERVAÇÃO VISADA AO SOL LMD = 44°15’00” Z’D = 59°57’20” LMI =224°14’30” Z’I = 300°39’20” LAD = 22°50’30” VISADA AO SOL LAI = 202°10’10’ Z’D = 61°47’10” HLD = 9 h 26 m 37 s Z’I = 299°25’40” HLI = 9 h 30 m 03 s LAD = 141°35’30” LAI = 320°19’50” LMD – Leitura na mira com a luneta na HLD = 9 h16 m 38 s posição direta HLI = 9 h 23 m 20 s LMI – Leitura da mira com a luneta na posição invertida SEGUNDA OBSERVAÇÃO Z’D – ângulo zenital com a luneta na posição LMD = 287°23’20” direta LMI = 107°22’50” Z’I – ângulo zenital com a luneta na posição invertida 17 LAD – Leitura no astro com a luneta na posição direta Z’ = 61°10’45” b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: LAI – Leitura no astro com a luneta na α = LA – LM posição invertida α = 96°42’55” HLD – Hora legal quando foi feita a leitura no astro com a luneta na posição direta HLI – Hora legal quando foi feita a leitura no c) Cálculo da Declinação Magnética (δ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: astro com a luneta na posição invertida Declinação do dia 29 = + 9°34’9,1” 1. Cálculo do Azimute com os dados da Declinação do dia 30 = + 9°12’’50,9” primeira observação: Variação diária = - 0°21’18,2” a) Cálculo das médias: Variação horária = -0°0’53,26” a 1) Hora Legal HLD + HLI 2 HL = HL = 9 h 19 m 59 s a 2) Leitura na Mira: LM = ( LMI ± 180) + LMD 2 (224°14'30"−180) + 44°15'00" LM = 2 LM = 44°14’45” a 3) Leitura no Astro: LA = ( LAI ± 180) + LAD 2 LA = (320°19'50"−180) + 141°35'30" 2 LA = 140°57’40” a 4) Ângulo Zenital sem correção: Z'= Z '= (360 − Z ' I ) + Z ' D 2 δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = + 9°23’12,26” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Z = Z’ + R – P d ) Refração: R = Rm . P’.T’ d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Rm = 0°1’49,32” d 1.2) Fator de correção da pressão: Por falta de instrumento para medir a pressão Vamos nos valer de um cálculo empírico, ou seja, descontar a cada 11 metros de altitude 1mm, dos 760mm hg do nível do mar, então: (360 − 299°25'40" ) + 61°47'10" 2 18 Altitude de 88 metros descontaríamos 8mm, assim: P = P0 . SenZ’ P = 0°0’7,63” Então o Ângulo Zenital corrigido fica: 760-8 = 752 P' = P 760 P' = Z = Z’ + R – P Z = 61°12’22,71” 752 P’ = 0,98947368 760 d 1.3) Fator de correção da temperatura: T '= 1 T’ = 0,973823621 1 + 0,00384T e) Cálculo do Azimute do Astro. A = ArcCos( Senδ + Senφ .CosZ ) Cosφ .SenZ A = 58°07’29,72” AZSOL = A ( Manhã ) Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°1’45,33” f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL d 2) PARALAXE: PO = 8,7940586 Dist. Aterra(u.a.) PO = 8,7940586 1,0100524 AZMIRA = 321°24’34,7” P0 = 8,71” 2. Cálculo do Azimute com os dados da LA = ( LAI ± 180) + LAD 2 LA = ( 202°10'10"−180) + 22°50'30" 2 segunda observação: a) Cálculo das médias: a 1) Hora Legal HLD + HLI HL = 2 LA = 22°30’20” a 4) Ângulo Zenital sem correção: Z '= (360 − Z ' I ) + Z ' D 2 ( LMI ± 180) + LMD LM = 2 Z '= (360 − 300°39'20" ) + 59°57'20" 2 (107°22'50"+180) + 287°23'20" LM = 2 Z’ = 59°39’00” HL = 9 h 28 m 20 s a 2) Leitura na Mira: LM = 287°23’05” a 3) Leitura no Astro: b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM α = 95°07’15” 19 c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: d 1.3) Fator de correção da temperatura: T '= 1 T’ = 0,973823621 1 + 0,00384T Então a Refração fica: Declinação do dia 29 = + 9°34’9,1” R = Rm.P’.T’ R = 0°1’39,03” Declinação do dia 30 = + 9°12’50,9” Variação diária = - 0°21’18,2” d 2) PARALAXE: Variação horária = -0°0’53,26” PO = 8,7940586 Dist. Aterra(u.a.) PO = 8,7940586 1,0100524 δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = + 9°23’04,85” P0 = 8,71” P = P0 . SenZ’ P = 0°0’7,51” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Então o Ângulo Zenital corrigido fica: Z = Z’ + R – P Z = 59°40’31,51” Z = Z’ + R – P d 1) Refração: e) Cálculo do Azimute do Astro. R = Rm . P’.T’ d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ A = ArcCos( Senδ + Senφ .CosZ ) Cosφ .SenZ A = 56°31’58,88” Rm = 0°1’42,77” AZSOL = A ( Manhã ) d 1.2) Fator de correção da pressão: pela altitude P P' = 760 760-8 = 752 752 P’ = 0,98947368 P' = 760 f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL AZMIRA = 321°24’43,8” AZMÉDIO = 321°24’39,2” Exemplo 2: Os dados foram obtidos na aula prática do curso de Técnico em Geomática do Colégio Politécnico da UFSM, em 2005. Determinação do Azimute Verdadeiro. Método da Distância Zenital Absoluta do Sol 20 Teodolito: T100-Leica precisão de 10” Temperatura: 38°c Latitude(Ф)= 29°43’18,6” S Data: 21/11/2005 Altitude = 88 m PRIMEIRA OBSERVAÇÃO Z’D – ângulo zenital com a luneta na posição LMD = 67°24’40” direta LMI =247°24’40” Z’I – ângulo zenital com a luneta na posição invertida VISADA AO SOL LAD – Leitura no astro com a luneta na Z’D = 39°42’10” posição direta Z’I = 319°10’40” LAI – Leitura no astro com a luneta na LAD = 339°40’00” posição invertida LAI = 159°00’10” HLD – Hora legal quando foi feita a leitura no HLD = 15 h12 m 55 s astro com a luneta na posição direta HLI = 15 h 17 m 03 s HLI – Hora legal quando foi feita a leitura no astro com a luneta na posição invertida SEGUNDA OBSERVAÇÃO LMD = 186°25’20” 1. Cálculo do Azimute com os dados da LMI = 06°25’20” primeira observação: a) Cálculo das médias: VISADA AO SOL Z’D = 41°29’50” a 1) Hora Legal HLD + HLI 2 HL = Z’I = 317°46’50” LAD = 97°35’30” LAI = 277°05’40’ HLD = 15 h 20 m 06 s HL = 15 h 14 m 59 s a 2) Leitura na Mira: LM = ( LMI ± 180) + LMD 2 LM = (247°24'40"−180) + 67°24'40" 2 HLI = 15 h 24 m 36 s LMD – Leitura na mira com a luneta na posição direta LM = 67°24’40” a 3) Leitura no Astro: LMI – Leitura da mira com a luneta na posição invertida LA = ( LAI ± 180) + LAD 2 21 LA = (159°00'10"+180) + 339°40'00" 2 LA = 339°20’05” a 4) Ângulo Zenital sem correção: Z '= (360 − Z ' I ) + Z ' D 2 (360 − 319°10'40" ) + 39°42'10" Z'= 2 Z’ = 40°15’45” d 1.2) Fator de correção da pressão: Por falta de instrumento para medir a pressão Vamos nos valer de um cálculo empírico, ou seja, descontar a cada 11 metros de altitude 1 mm, dos 760 mm hg do nível do mar, então: Altitude de 88 metros descontaríamos 8 mm, assim: b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM 760-8 = 752 P' = α = 271°55’25” c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: Declinação do dia 21 = - 19°53’9,88” P 760 P' = 752 P’ = 0,989473684 760 d 1.3) Fator de correção da temperatura: T '= 1 T’ = 0,872661267 1 + 0,00384T Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°0’44,11” Declinação do dia 22 = - 20°06’16,27” Variação diária = - 0°13’6,39” Variação horária = - 0°0’32,77” d 2) PARALAXE: 8,7940586 Dist. Aterra(u.a.) δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh PO = δ = - 20°03’7,85” Dist.à terra = 0,987696 u.a. 1 u.a.= 149,6 milhões de Km CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: PO = 8,7940586 0,987696 P0 = 8,90” Z = Z’ + R – P P = P0 . SenZ’ P = 0°0’5,75” d 1) Refração: Então o Ângulo Zenital corrigido fica: R = Rm . P’.T’ Z = Z’ + R – P Z = 40°16’23,36” d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Rm = 0°0’51,09” 22 e) Cálculo do Azimute do Astro. A = ArcCos( Senδ + Senφ .CosZ ) Cosφ .SenZ f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL A = 86°23’5,7” AZSOL = 360 - A ( Tarde ) AZMIRA = 1°41’29,3” AZSOL = 273° 36’54,3” 2. Cálculo do Azimute com os dados da segunda observação: a) Cálculo das médias: a 1) Hora Legal HLD + HLI 2 HL = HL = 15 h 22 m 21 s a 2) Leitura na Mira: LM = ( LMI ± 180) + LMD 2 (6°25'20"+180) + 186°25'20" LM = 2 LM = 186°25’20” b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM α = 270°55’15” c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: Declinação do dia 21 = - 19°53’9,88” Declinação do dia 22 = - 20°06’16,27” Variação diária = - 0°13’6,39” Variação horária = -0°0’32,77” a 3) Leitura no Astro: ( LAI ± 180) + LAD LA = 2 LA = ( 277°05'40"−180) + 97°35'30" 2 LA = 97°20’35” δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = - 20°03’11,88” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Z = Z’ + R – P a 4) Ângulo Zenital sem correção: d 1) Refração: (360 − Z ' I ) + Z ' D 2 R = Rm . P’.T’ (360 − 317°46'50" ) + 41°29'50" 2 Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Z '= Z'= d 1.1) Refração média: Rm = 0°0’54,04” Z’ = 41°51’30” 23 Então o Ângulo Zenital corrigido fica: d 1.2) Fator de correção da pressão: pela altitude P' = Z = Z’ + R – P Z = 41°52’10,72” 760-8 = 752 P 752 P’ = 0,989473684 P' = 760 760 e) Cálculo do Azimute do Astro. A = ArcCos( Senδ + Senφ .CosZ ) Cosφ .SenZ A = 87°23’56,67” d 1.3) Fator de correção da temperatura: T '= 1 T’ = 0,872661267 1 + 0,00384T Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°0’46,66” AZSOL = 360 - A (Tarde ) AZSOL = 272°36’3,33” f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL d 2) PARALAXE: PO = 8,7940586 Dist. Aterra(u.a.) PO = 8,7940586 0,987696 AZMIRA = 1°40’48,33” P0 = 8,9036” AZMÉDIO = 1°41’08,81” P = P0 . SenZ’ P = 0°0’5,94” Após determinarmos o azimute de um alinhamento no campo, calculamos os demais: 8. AZIMUTES - ÂNGULOS INTERNOS A determinação do azimute a partir dos ângulos internos já compensados se procede da seguinte maneira: 24 AZ 2 = AZ1 + 180° + Ai2 AZ n = AZ ( n −1) + Ain + 180° AZ 2 = AZ1 + 180° + Ai2 AZ n = AZ ( n −1) + Ain + 180° Genericamente: Az (n) = Az (n-1) + Ai (n) ± 180° Então quando somarmos o azimute anterior com o ângulo interno do vértice e o valor for menor do que 180° soma-se 180°; quando essa soma for maior que 180°, subtraímos 180°. 25 OBS.: Caso a soma seja superior a 540° (o que, às vezes, é possível), ao invés de diminuirmos 180°, devemos diminuir 540°, pois senão o azimute calculado ficará com um valor acima de 360°, o que não existe. Exemplo: O exemplo a ser usado aqui foi levantado em aula prática e trabalharemos até o cálculo da área. V Ai Lidos Ai Comp. Azimutes Dist. (m) 1 90°21’40” 90°22’40” 81°18’10” 192,20 2 116°55’35” 116°55’40” 18°13’50” 202,13 3 115°40’30” 115°41’30” 313°55’20” 90,83 4 128°53’40” 128°53’40” 262°49’00” 230,81 5 88°06’30” 88°06’30” 170°55’30” 258,29 539°57’55’ 540°00’00” 974,26 Σ Ai = 180° (n - 2) T = 1′ n ERRO = 540° - 539°57’55” Σ Ai = 540° T = 1′ 5 ERRO = 0°02’05” T = 0°02’14” Obs: Cálculo dos ângulos internos: conhecido o azimute Anti-horário → Ain = (180-Azn-1)+Azn Horário → Ain = (180+Azn-1)-Azn 8.1 Prova do Cálculo do Azimute Basta, com o último azimute calculado e com o primeiro ângulo interno, recalcularmos o primeiro azimute, tendo este que ter o valor igual ao primeiro azimute calculado. 26 9. AZIMUTES - ÂNGULOS DE DEFLEXÃO A determinação do Azimute a partir dos ângulos de deflexão pode ser em poligonais abertas ou fechadas, pois o cálculo é o mesmo, assim: Então, de forma genérica podemos dizer que: Az (n) = Az (n - 1) + Ad D Az (n) = Az (n - 1) - Ad E OBS.: Aqui também devemos ter o cuidado, pois pode a soma ultrapassar a 360°, e nesse caso, após somado, se diminui 360°. Também pode ocorrer que na subtração o valor fique negativo, e nesse caso soma-se 360°. Exemplo: Esse exemplo foi medido em aula prática e trabalharemos o cálculo até a área do polígono. 27 Essa poligonal usada no exemplo é fechada, pois só desta forma podemos avaliar os erros contidos, o que não seria possível se a poligonal fosse aberta. V Deflex. lidas Deflex. Comp. Azimutes Dist. (m) 1 89°19’45” E 89°19’45” E 124°27’30” 206,50 2 91°54’35”E 91°54’25”E 32°33’05’ 137,65 3 47º38’50” E 47º38’50” E 344°54’15” 196,06 4 1°39’40” E 1°38’40” E 343°15’35” 71,90 5 129°28’20” E 129°28’20” E 213°47’15” 310,09 360°01’10” 360°00’00” Σ dE = 360°01’10” T = 1′ n Σ dD = 0°00’00” T = 1′ 5 ≠ = 360°01’10” T = 0°02’14” 922,20 ERRO = 0°01’10” 9.1 Prova do Cálculo do Azimute Com o valor do último azimute calculado e com o primeiro ângulo de deflexão, recalcular o primeiro azimute. O valor terá que ser o mesmo. 10. AZIMUTES - ÂNGULOS IRRADIADOS A determinação do azimute a partir de ângulos irradiados de forma cumulativa ocorre da seguinte maneira: somando sempre o azimute do primeiro elemento com o ângulo irradiado acumulado, já que ambos são para o mesmo calculado. Da mesma forma, como já explicado, pode passar de 360°, e aí basta que se diminua 360°. 28 Exemplo: Esse exemplo foi medido em aula prática e trabalharemos o cálculo até a área do polígono. V Âng. irrad. Azimutes Ls Lm Li Zenital 1 0°00’00” 155°20’30” 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 2 63°20’40” 218°41’10” 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 3 124°50’10” 280°10’40” 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 4 188°30’20” 343°50’50” 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 5 250°10’20” 45°31’20” 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 6 305°40’30” 101°01’00” 2,482 2,00 1,518 95°14’50” Posteriormente calcularemos a distância e a área dessa poligonal fechada. 11. CÁLCULO DAS PROJEÇÕES E COORDENADAS Inicialmente devemos definir projeção e coordenada. Projeção x (Px) ⇒ É dado pelo rebatimento do alinhamento sobre o eixo cartesiano X. Projeção y (Py) ⇒ É dado pelo rebatimento do alinhamento sobre o eixo cartesiano Y. Coordenada X ( abcissa) ⇒ É a distância que vai do centro do sistema de eixos cartesianos até o ponto, sobre o eixo X. Coordenada Y ( ordenada) ⇒ É a distância que vai do centro do sistema de eixos cartesianos até o ponto, sobre o eixo Y. D A’ B’ = Projeção x ( Px) D A” B” = Projeção y (Py) D 0 A’ = Coordenada X, abcissa de A (XA) D 0 B’ = Coordenada X, abcissa de B (XB) D 0 A” = Coordenada Y, ordenada de A (YA) D 0 B” = Coordenada Y, ordenada de B (YB) 29 Como vemos: XB – XA = Px ou XB = XA + Px YB – YA = Py ou YB = YA + Py Px = sen Az . d Py = cos Az . d OBS.: Quando conhecemos as coordenadas, podemos calcular os azimutes e as distâncias, assim: - Azimute: TgA' = XB − XA Px Px ∴ TgA' = ∴ A' = arcTg YB − YA Py Py ( XB - XA) Px ( YB - YA) Py AZIMUTE + + A’ + - A’ + 180° - - A’ + 180° - + A’ + 360° - Distância: DAB = ( X B − X A ) 2 + (YB − YA ) 2 , Teorema de Pitágoras. DAB = Px 2 + Py 2 30 11.1.1 Exemplos de Cálculo de Projeções e Análise do Erro por Quilômetro Retornando o exemplo da página anterior, cujos dados foram medidos por caminhamento perimétrico e já calculamos os azimutes, então: Projeções Calculadas Sobre o eixo x (sen Az . d) Sobre o eixo y (cos Az . d) Correções Proj. Compensadas Vert E (+) W (-) N (+) S (-) ∆x ∆y Px Py 1 189,99 - 29,06 - 0,15 -0,01 190,14 29,05 2 63,23 - 191,98 - 0,05 -0,04 63,28 191,94 3 - 65,42 63,01 - 0,05 -0,01 - 65,37 63,00 4 - 229,00 - 28,86 0,18 -0,01 - 228,82 - 28,87 5 40,74 - - 255,06 0,03 -0,06 40,77 - 255,12 293,96 294,42 284,05 283,92 0,46 -0,13 0,00 0,00 Ex = - 0,46 Ey = 0,13 A soma algébrica das projeções de cada eixo tem que ser igual a zero. Erro Linear El = Ex 2 + Ey 2 ∴ El = 0,478016736m Erro por Quilometro Ek = El 0,478016736m ∴ Ek = ∴ Ek = 0,49m / km L 0,97426km Obs: O CREA permite o seguinte limite de erro para levantamentos planimétricos. Até 1 m/ Km ⇒ para terrenos planos Até 2 m/ Km ⇒ para terrenos semi-planos Até 3 m/ Km ⇒ para terrenos inclinados Estando o levantamento dentro do limite de tolerância devemos fazer a compensação, e aqui faremos uma compensação proporcional ao tamanho das projeções, assim: Coeficiente de Correção Ä Para X: Ccx = Ex 0,46 ∴ Ccx = = 0,0007818076753 Σpx 293,96 + 294,42 31 A correção de X será o Ccx, multiplicado por cada projeção X ( veja na tabela), com o valor contrário ao sinal do erro. Ä Para Y: Ccy = Ey 0,13 ∴ Ccy = = 0,0002288853285 Σpy 284,05 + 283,92 Procedemos da mesma forma de X. Após calculado as correções procedemos as compensações, bastando para isso realizar uma soma algébrica entre a correção e sua projeção. 11.2 Cálculo das Coordenadas: A coordenada X ( abscissa) Por definição é a distância que vai do centro do sistema de eixo cartesiano até o ponto, sobre o eixo X. A coordenada Y ( ordenada) Por definição é a distância que vai do centro do sistema de eixo cartesiano até o ponto, sobre o eixo Y. 11.2.1 Cálculo das coordenadas a partir das projeções: Após conhecermos as projeções compensadas dos alinhamentos, portanto sem mais erros de campo, podemos calcular as coordenadas dos vértices. Se não conhecemos o valor das coordenadas do vértice inicial, devemos atribuir um valor de coordenadas locais, que normalmente é zero, assim: X ( n + 1) = Xn + Pxn e Y ( n + 1) = Yn + Pyn Coordenadas Vert Abcissas ( X ) Ordenadas ( Y ) 1 0.00 0.00 2 190.14 29.05 3 253.42 220.99 4 188.05 283.99 5 - 40.77 255.12 590,84 789,15 x2 x2 1181,68 1578,30 32 Cálculo das Projeções e Coordenadas: Exercícios: Para consolidarmos bem o que vimos no capítulo anterior, vamos exercitar usando o exemplo da página anterior, cuja poligonal foi levantada por deflexão. Projeções calculadas Px (sen Az . d) Py (cos Az . d) V E (+) W (-) N (+) S (-) 1 170,27 - - 116,84 2 74,06 - 116,03 3 - 51,06 4 - 5 - Proj. Comp. Coordenadas Px Py X Y -0,04 0,06 170,23 -116,78 0,00 0,00 - -0,02 0,06 116,09 170,23 -116,78 189,29 - -0,01 0,10 - 51,07 189,39 244,27 - 0,69 20,71 68,85 - -0,00 0,04 - 20,71 68,89 193,20 188,70 172,45 - 257,72 -0,04 0,13 -172,49 -257,59 172,49 257,59 374,17 374,56 -0,11 0,39 0,00 780,19 328,82 x2 x2 1560,38 657,64 244,33 244,22 Ex = + 0,11 Correções ∆x ∆y 74,04 0,00 Ey = - 0,39 Ek = 0,44 m/km 11.2.2 Cálculo das Coordenadas no Levantamento por Irradiação: Observe que no caso da irradiação se as coordenadas planimétricas da Estação forem (0; 0) o valor da projeção será igual ao da coordenada, então: X = (Px = Sen Az * d) Y = (Py = Cos Az * d) Vamos calcular as coordenadas do exemplo da página anterior, porém antes teremos que calcular a distância, relembrando a fórmula: D= H * 100 * Cos2 β Ou D= H * 100 * Sen2 Z 33 Vértice Azimute Dist. (m) X Y 1 155°20’30” 145,95 60,89 - 132,64 2 218°41’10” 82,88 - 51,80 - 64,69 3 280°10’40” 108,54 - 106,83 19,18 4 343°50’50” 162,96 - 45,34 156,53 5 45°31’20” 72,59 51,79 50,86 6 101°01’00” 95,59 93,83 - 18,27 12. CÁLCULO DA ÁREA A área pode ser calculada de várias maneiras, aqui veremos três métodos, os mais importantes: Ä Método trigonométrico Ä Método analítico por Sarrus Ä Método analítico por Gauss 12.1 Trigonométrico: Vejamos a área de algumas figuras conhecidas: Quadrado A = L2 Retângulo A=b*h Triângulo retângulo b*h A= 2 Triângulo qualquer Ä Triângulo Qualquer: Nesse caso devemos encontrar antes o valor da altura (h), que é dada por: senip = cat.oposto( h) ∴ h = d 1 * senip1 hipotenusa( d1 ) Substituindo na fórmula anterior, temos: A= b * h d 2 .d 1 .senip1 ∴ 2 2 34 A= d1 .d 2 .senip1 2 Pelo somatório de todos os triângulos, teremos a área do polígono, assim: AP= Σ AT Exemplo: Vamos calcular a área da irradiação anterior V Irrad. Parc.(ip) Dist. (M) Duplas Áreas (DA) 1 63°20’40” 145,95 10810,73 2 61°29’30” 82,88 7905,03 3 63°40’10” 108,54 15852,58 4 61°40’30” 162,96 10412,95 5 55°29’40” 72,59 5718,13 6 54°19’30” 95,59 11333,22 DA = 62032,65 ÷ 2 A = 31016,33 m2 ou 3ha 10a 16ca 12.2 Cálculo Analítico - Sarrus Esse é um método matricial, no qual temos, através das coordenadas X e Y, uma matriz de 2° ordem e pelo algoritmo de Sarrus podemos determinar a área, assim: X Y Yn * X n +1 X1 Y1 X n * Yn +1 Y1*X2 X2 Y2 X1*Y2 Y2*X3 X3 Y3 X2*Y3 .. .. .. .. .. Xn Yn .. Yn*X1 X1 Y1 Xn*Y1 Σ1= A= ∑ −∑ 1 2 2 quando, os pontos estão no sentido horário Σ2= 35 Exemplo: Vamos calcular a área do mesmo exercício da irradiação anterior. X Y Yn * X n +1 60,89 - 132,64 X n * Yn +1 6870,7520 - 51,80 - 64,69 -3938,9741 6910,8327 - 106,83 19,18 -993,524 - 869,6212 - 45,34 156,53 -16722,0999 8106,6887 51,79 50,86 -2305,9924 4772,1938 93,83 - 18,27 -946,2033 - 1112,4603 60,89 - 132,64 -12445,6112 Σ 1 = 24678,3857 ∑ −∑ A= 1 2 2 Σ2 = -37352,4049 A = 31015,3953 m2 ou A = 3ha 10a 15ca A área calculada por Sarrus não da exatamente o mesmo resultado do que o método trigonométrico, por que as coordenadas foram arredondadas. Se calcularmos essa mesma poligonal pelo método analítico de Gauss, dará exatamente o mesmo resultado, do encontrado pelo método de Sarrus. 12.3 Cálculo Analítico - Gauss No método analítico de Gauss, a área de um polígono irregular, é determinada pelo somatório das áreas dos trapézios que ele forma, sendo que as bases são dadas pelas coordenadas, e as alturas pelas projeções do eixo contrário. Assim: 36 A1= 1 1” Py1 = 1” 2” 2AT1= (A1 + A2) . Py1 Py2 = 2” 3” 2AT2 = (A2 + A3) . Py2 A3= 3 3” Py3 = 3” 4” 2AT3 = (A3 + A4) . Py3 A4= 4 4” Py4 = 4” 1 2AT4 = (A4 + A1) . Py4 A2= 2 2” E Podemos observar que onde houve sobreposição, o cálculo ora foi positivo e ora foi negativo, portanto se anulando, restando apenas à área do polígono. Poderíamos demonstrar a área negativa a qual serve de prova para o cálculo, mas isso deixaremos para explicar em sala de aula. 37 Exemplo: Vamos usar como exemplo uma poligonal levantada por caminhamento perimétrico, e que já calculamos as projeções e coordenadas anteriormente, assim: Proj. compensadas Coordenadas(bases) ΣX D. áreas ΣY D. áreas V Px Py X Y base+base base+base 1 190,14 29,05 0,00 0,00 190,14 5523,567 29,05 5523,567 2 63,28 191,94 190,14 29,05 443,56 85136,9064 250,04 15822,5312 3 -65,37 63,00 253,42 220,99 441,47 27812,61 504,98 -33010,5426 4 -228,82 -28,87 188,05 283,99 147,28 -4251,9736 539,11 -123359,1502 5 40,77 -255,12 -40,77 255,12 -40,77 10401,2424 255,12 10401,2424 0,00 0,00 590,84 789,15 1181,68 124622,3522 1578,30 -124622,3522 x2 x2 1181,68 1578,30 A= 62311,1761 m2 A= 6ha 23a 11ca 13. DESENHO DA POLIGONAL CALCULADA Para fazermos a representação de nossa poligonal, vamos nos basear nos valores das coordenadas (X e Y). Teremos que estabelecer uma boa relação entre os valores a serem representados e o tamanho do papel disponível. Essa relação chama-se de ESCALA, no caso escala de redução. A escala é sempre representada com a unidade no numerador e o fator de redução no denominador, assim: E= 1 mas também é a relação entre os valores no desenho e seus M correspondentes no campo, então: E = d 1 d , portanto, podemos dizer que: onde, M e o = D M D fator de redução; d valor desenho e D o valor correspondente no campo. 38 Formatos de papel segundo a ABNT formato A4 210 x 297 formato A3 420 x 297 formato A2 420 x 594 formato A1 841 x 594 formato A0 841 x 1189 Devemos escolher o formato de papel, mas não esquecendo de deixar espaço para as margens e para a legenda. Após basta somarmos o maior valor positivo e o maior valor negativo das coordenadas, tanto para X como para Y, e dividirmos pelo papel útil também para o eixo X e para o eixo Y, com isso teremos o valor de redução. Devemos escolher o maior fator de redução como base para a nossa escala, assim: Mx = 253,42 + 40,77 = 1839 ∴ 0,16 My = 283,99 + 0 = 1420 0,2 Exemplo: Como usamos valores inteiros, neste caso a escala recomendada é 1:2000. 39 40 Obs: O desenho normalmente é feito em papel milimetrado, como rascunho e depois passado a limpo com nanquim numa folha transparente, o que servirá de matriz para as cópias heliográficas, as quais devem ser assinadas e junto com o memorial descritivo ser entregues ao proprietário. 14. MEMORIAL DESCRITIVO Ä Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, pertencentes a Mário de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria -RS. Ä Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 62311 m2 ou 6 ha, 23 a, 11ca, com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por cerca, 230,63 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por cerca, 192,35 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha quebrada por cerca, 202,10 metros, mais 90,79 metros com terras de José Londero e Ao Oeste uma linha reta, 258,36 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: Mário de Almeida, brasileiro, casado, agricultor, portador do CPF n° 1050235-00, residente e domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. Ä Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. Santa Maria, 26/01/2008 Técnico Responsável Engº florestal Erni José Milani CREA 29993 41 15. MÉTODOS COMBINADOS Na medição de área o que mais nos utilizamos são dos métodos combinados pois assim podemos utilizar as vantagens de cada um. Na prática o que nos da a garantia de conferir nosso trabalho é o método de caminhamento perimétrico, porém esse método na maioria das vezes não nos permite andar sobre a divisa, porque nela há cercas ou mesmo sangas, portanto se para a área extra-poligonal, utilizarmos a irradiação conseguiremos uma maior eficiência. Outro caso típico é o levantamento com a estação total, nesse caso para potencializarmos o uso do aparelho temos que trabalhar com coordenadas. Localizando bases no campo para a continuidade do levantamento e irradiando dessas bases. Como meio de comprovação do levantamento devemos fechá-lo no vértice inicial e encontrarmos o mesmo valor de coordenadas, a diferença é o erro cometido. Obs.: Durante o curso faremos exercícios. 16. ALTIMETRIA. É a parte da topografia que nos permite o levantamento do relevo do terreno, ou seja o valor da coordenada Z. Para isso, temos que ter bem presente em nossas mentes o que é: Ä ALTITUDE: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície topográfica, até o nível médio do mar. Tido como plano de referência verdadeiro. Ä COTA: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície topográfica, até o plano imaginário de referência. Plano particular para um nivelamento. Ä DESNÍVEL: é a diferença da distância vertical entre dois ou mais pontos da superfície topográfica. Geralmente determinado pela diferença entre as cotas dos pontos em questão, tendo-se o cuidado de indicar se essa diferença é em aclive (+) ou em declive (-). Ä REFERÊNCIA DE NÍVEL (RN): o RN é um marco geodésico que nos indica o valor das coordenadas, principalmente a altitude do referido ponto. Esses marcos são levantados, pelo SGE (Serviço Geográfico do Exército) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). Ä TRANSPORTAR UM RN: significa fazermos um nivelamento de precisão desde um RN pré-existente, até o local onde desejamos saber a altitude. 42 Ä ERRO ALTIMÉTRICO DEVIDO A CURVATURA E REFRAÇÃO: BN = h = B0 - A0 h = B0 – R T = Tgα . R BO = T 2 + R 2 Exemplo: Calcule o erro altimétrico devido a curvatura, sendo que o raio médio é de 6370km e o ângulo à partir do centro da terra de ô = 0°30’. Então: D = Tg 0°30’ * 6370000 m D = 55.590,14783 m BO = T 2 + R 2 BO = 6.370.242,5592 m h = B0 – R h = 242,5592 m Efeito da refração: hR = 0,1306 * D 2 2R hR = 31,67884995 m Erro devido à curvatura e Refração: h’ = h – hR h’ = 210,88035 m Para simplificar podemos determinar uma constante desta relação, assim: C= h' D2 C = 0,06824 * 10-6 / m 43 Assim quando quisermos saber o erro devido a curvatura e refração de modo direto, basta associarmos a distância de visada à essa constante, então: h’ = 0,06824*10-6 / m * D2 Exercícios: Calcule o erro altimétrico devido à curvatura e refração das seguintes visadas: a) 1000 m b) 500 m c) 250 m d) 125 m e) 90 m a) h’ = 0,06824*10-6 / m * D2 h’ = 0,06824*10-6 / m * 10002 m2 h’ = 0,06824*10-6 / m * 1000000 m2 h’ = 0,06824 m ou h’ = 68,24 mm b) h’ = 0,06824 * 10-6 / m * 5002 m2 h’ = 0,01706 m ou h’ = 17,06 mm c) h’ = 4,265 mm d) h’ = 1,066 mm e) h’ = 0,55 mm 17. MÉTODOS DE NIVELAMENTO: Ä Nivelamento Geométrico. ÄNivelamento Trigonométrico. 17.1 Nivelamento Geométrico: o método geométrico é dito direto ou por alturas, pois medimos através de um nível de luneta e um mira falante, a altura dos pontos na superfície topográfica. 44 O nivelamento geométrico se divide em simples e composto. O simples é quando obtemos a altura de todos os pontos a partir de uma única estação. O nivelamento geométrico composto é quando para obter a altura de todos os pontos temos que ter mais de uma estação. 17.1.1 Nivelamento Geométrico Simples Ä PLANO DE REFERÊNCIA: o plano de referência pode ser verdadeiro ou imaginário, como é mais comum sairmos de um local desconhecido. Citamos o imaginário. Ä DISTÂNCIA HORIZONTAL: é a distância que separa os pontos, mesmo que não entre no cálculo das coordenadas Z, é fundamental para fazermos o desenho e para cálculos de volume. Ä PLANO HORIZONTAL DE VISADA: plano definido pelo fio nivelador do aparelho, desde que nivelado. 45 Ä VISADA DE RÉ: é a primeira visada de uma estação. Ä VISADA DE VANTE: são todas as demais visadas feitas desta estação. Ä ALTURA DO INSTRUMENTO NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: é a distância vertical que vai desde o plano de visada até o plano de referência. 17.1.1.1 Cálculo da Altura do Instrumento e das Cotas AI = COTA1+ V. RÉ COTA = AI - V.VANTE Exemplo: Para a organização dos dados usamos anotá-los numa caderneta de campo, assim: EST. P.V DH V. RÉ V.VANTE AI COTAS A 1 - 3.742 - 13.742 10 2 20 3.513 10.229 3 30 3.324 10.418 4 30 2.942 10.800 5 30 1.872 11.870 6 25 1.134 12.608 7 20 1.267 12.475 17.1.2 Nivelamento Geométrico Composto É o nivelamento que temos a necessidade de trocar o aparelho de lugar, e para que possamos permanecer com o mesmo levantamento, ou seja, com o mesmo plano de referência, então temos que fazer a ligação entre os nivelamentos simples, e isso é possível com a estaca de amarração, assim: Ä ESTACA DE AMARRAÇÃO: a estaca de amarração é onde se faz duas leituras, uma de vante e a outra de ré da estação seguinte. Serve de elo de união entre os nivelamentos simples, formando o nivelamento composto. 46 Exemplo: Calcule as cotas dos pontos, da poligonal aberta, pelo método geométrico, cujos dados se encontram na caderneta de campo. Est P. V D. h V. Ré A 1 20 3,532 2 20 2,733 20,799 3 20 1,967 21,565 4 20 1,122 22,410 5 20 6 20 1,377 23,929 7 20 0,669 24,637 8 20 1,833 23,473 9 20 10 20 1,465 21,734 11 20 2,337 20,862 12 20 13 20 1,562 19,327 14 20 2,278 18,611 15 20 2,937 17,952 B C D V. Vante 2,318 0,544 0,638 2,745 0,834 3,144 Σ v. ré= 7,322 Alt. Instr. Cotas 23,532 20,000 25,306 23,199 20,889 22,988 22,561 20,055 Σ v. van.= 9,37 ≠ 2,048 ≠ 2,048 17.1.2.1 Prova de caderneta de campo A prova do cálculo da caderneta de campo se aplica tanto para poligonais abertas ou fechadas, saberemos se o cálculo está certo se a diferença entre a somatório das visadas de ré e o somatório das visadas de vante onde tiver ré mais a última vante, for igual a diferença entre as cotas extremas. 17.1.2.2 Prova do nivelamento: Já a prova do nivelamento só é possível se a poligonal for fechada, mesmo que tenhamos que fechá-la apenas para conferir os dados levantados. Normalmente a cada 2 Km de trecho nivelado se faz o contra nivelamento. 47 Ä Análise do erro cometido: Segundo a A.G.I ( Associação Geodésica Internacional), podemos classificar os nivelamentos conforme a seguinte ordem: - Nivelamento de alta precisão ⇒ ± 1,5 mm por km - Nivelamento de 1ª ordem ⇒ ± 2,5 mm por km - Nivelamento de 2ª ordem ⇒ ± 10 mm por km - Nivelamento de 3ª ordem ⇒ ± 30 mm por km - Nivelamento de 4ª ordem ⇒ ± 100 mm por km Normalmente nas obras de engenharia em geral, usa-se a precisão ditada pela 2ª e 3ª ordem. Os nivelamentos de alta precisão e de 1ª ordem são usados para transporte de R.N ( Referência de Nível), e certos tipos de nivelamento em instalações industriais. Tolerância: ET = EP mm onde: n n = nº de quilômetros de trecho levantado ET = erro tolerável EP = erro permitido Compensação do erro cometido desde que dentro da tolerância. A compensação do erro se faz normalmente nas visadas de ré, distribuindo o erro de modo a compensá-lo integralmente, para isso temos que ter o cuidado no seu sinal. A compensação terá que ser sempre de sinal contrário ao erro. 48 Exemplo: Calcule as cotas da poligonal fechada abaixo. Es Pv Dh Ré Vant AI Cota Es Pv Dh Ré Van AI Cota 1,237 -- 21,237 20,000 t t 1 -- 19,652 2 20 1,583 19,654 0,948 20,287 3 20 0,948 20,289 20 1,485 19,750 4 20 1,485 19,752 5 20 2,641 18,594 5 20 2,641 18,596 6 20 6 20 7 20 1,893 17,383 7 20 1,893 17,387 8 20 2,378 16,898 8 20 2,378 16,902 9 20 9 20 10 20 1,938 15,729 10 20 1,938 15,735 11 20 2,642 15,025 11 20 2,642 15,031 12 20 1,425 16,242 12 20 1,425 16,248 13 20 13 20 14 20 2,921 17,565 14 20 2,921 17,573 15 20 2,143 18,343 15 20 2,143 18,351 16 20 16 20 17 20 17 20 18 20 18 20 19 20 19 20 G 20 20 1,042 1,348 24,040 22,998 G 20 20 1,044 1,348 24,054 23,010 H X1 -- 1,423 3,677 21,786 20,363 H X1 -- 1,425 3,677 21,802 20,377 I X2 -- 1,257 3,814 19,229 17,972 I X2 -- 1,259 3,814 19,247 17,988 J X3 -- 3,834 2,591 20,472 16,638 J X3 -- 3,836 2,591 20,492 16,656 1 -- 1 -- A B C D E F 1 -- 1,235 2 20 1,583 3 20 4 1,425 1,535 3,457 2,985 -- 3,384 3,144 0,638 1,581 21,235 19,276 17,667 20,486 21,890 1,321 3,143 0,687 17,851 16,132 17,029 18,905 A B C D E 20,569 24,346 2,257 0,492 20,000 21,203 F 22,089 19,980 1,427 1,537 3,459 2,987 3,384 3,144 0,638 1,581 19,280 17,673 20,494 21,900 1,321 3,145 0,687 16,136 17,035 18,913 20,579 24,358 2,257 0,492 17,853 21,213 22,101 20,000 Erro Cometido ( EC) = 19,980-20,000 = 0,020 m ou 20mm 2- Da poligonal acima verifique se houve erro. Caso positivo veja se o mesmo está dentro do limite de tolerância para a 3ª Ordem. Erro permitido de 30 mm por quilômetro de trecho, 49 considere o trecho como o total da ida e volta da poligonal. Estando dentro da tolerância compense o erro e recalcule as Cotas. ET = EPmm × n ET = 30mm × 0,76 ET = 26,15mm O erro cometido foi menor do que o tolerável. 3-Calcule as seguintes Diferenças de Nível DN1e15 = DN1e15 = cota15-cota1 DN1e15 = 18,351-20 DN3e20 = DN3e20 = 23,010-20,289 DN3e20 = 2,721 m(+) DN1e15 = 1,649 m(-) DN5e14 = DN7e1 = DN5e14 = 17,573-18,596 DN7e1 = 20-17,387 DN5e14 = 1,023 m(-) DN7e1 = 2,613 m(+) DN19e6 = DN17e5 = DN19e6 = 17,853-22,101 DN17e5 = 18,596-20,579 DN19e6 = 4,248 m(-) DN17e5 = 1,983 m(-) 50 4- Calcule as cotas da poligonal fechada abaixo. E Pv Dh 50,000 A Pv Dh Ré Van 2 30 1,583 30 0,948 3 30 0,948 4 30 1,485 4 30 1,485 5 30 2,641 5 30 2,641 6 30 6 30 3,384 7 30 1,893 7 30 1,893 8 30 2,378 8 30 2,378 9 30 9 30 3,144 10 30 1,938 10 30 1,938 11 30 2,642 11 30 2,642 12 30 1,425 12 30 1,425 13 30 13 30 0,638 14 30 2,921 14 30 2,921 15 30 2,143 15 30 2,143 16 30 16 30 1,581 17 30 17 30 1,321 18 30 18 30 0,687 19 30 19 30 2,257 G 20 30 1,046 1,348 G 20 30 1,348 H X1 -- 1,427 3,677 H X1 -- 3,677 I X2 -- 1,261 3,814 I X2 -- 3,814 J X3 -- 3,838 2,591 J X3 -- 2,591 1 -- 1 -- 0,482 E F 3 E 1,583 D 30 -- Cota -- C 2 1,239 AI -- B -- Vant 1 A 1 Ré 1,429 1,539 3,461 2,989 3,384 3,144 0,638 1,581 B C D E 1,321 3,147 0,687 F 2,257 0,482 AI Cota 51 5-Da poligonal acima verifique se houve erro. Caso positivo veja se o mesmo está dentro do limite de tolerância para a 3ª Ordem. Erro permitido de 30 mm por quilômetro de trecho, considere o trecho como o total da ida e volta da poligonal. Estando dentro da tolerância compense o erro e recalcule as Cotas. 6-Calcule as seguintes Diferenças de Nível DN1e15 = DN3e20 = DN5e14 = DN7e1 = DN19e6 = DN17e5 = 17.2 Nivelamento Trigonométrico O método trigonométrico é dito indireto, pois depende da resolução de um triângulo para que possa saber a diferença de nível (DN) entre o ponto da estação e o ponto que está observado. Assim: 1º Caso (aclive): Ä Altura do Instrumento No nivelamento trigonométrico a altura do instrumento é a distância vertical que vai desde o centro ótico do aparelho, até a superfície do solo onde o aparelho está instalado. 52 Ä Leitura É a leitura que fazemos com o fio do meio, que por vezes em nossas cadernetas chamamos também de leitura média (LM). DN = Ai + OM - L (l) Tgβ = OM D OM = D * Tgβ (II) Substituindo (II) em (I), temos: DN = Ai − L + ( D.Tgβ ) 2º Caso (declive): - DN = OM + L - Ai . (-1) DN = Ai - L - OM DN = Ai - L - (D * Tg β) quando β é usado sem sinal e DN = Ai - L + (D * Tg β) se o β for usado com o seu sinal Assim: DN= Ai - L + (D * Tg β) OBS.: O β deve ser sempre usado com o sinal. 53 Ä Análise do Método: O método trigonométrico tem sérios problemas com a precisão, pois depende de vários fatores, sendo os principais o ângulo β e a distância horizontal, portanto só é lógico nos casos em que a precisão não é fator primordial, porém com o surgimento de novos aparelhos eletrônicos o método ganhou precisão e passou novamente a oferecer interesse pois através dele temos um grande ganho de tempo nas operações de campo. Exemplo: a) Com o aparelho instalado em A, visou-se o ponto B e obteve-se os seguintes dados: Ai = 1,453 m L = 2,00 m D = 143,25 m Nadiral = 87°10’30” DN= Ai - L + (D . tg β) β= 87°10’30” - 90°00’00 β= 2°49’30” (-) DNAB = 1,453 - 2 + (143,25 . tg 2°49’30” DNAB = 7,616 m (-) DNAB = ? b) Com o aparelho instalado em A, visou-se o ponto B e obteve-se os seguintes dados: Ai = 1,533 DN= Ai - L + (D . tgβ) Z= 3°29’20” (+) DNAB = 1,533 - 2 +(97,25 . tg 3°29’20” DNAB = 5,462m (+) L = 2,00 m D = 97,25 m Zenital = 86°30’40” DNAB = ? 17.2.1 Nivelamento Trigonométrico (por taqueometria) Como já vimos anteriormente, a DN= Ai - L + (D * Tg β) (I) e D= H * 100 * cos2β Nós poderemos substituir a distância na fórmula (I) e teremos: DN+ Ai - L + (H * 100 * cos2β * tgβ) ( H *100 * cos 2 β * senβ ) cos β ( H * 50 * 2 * senβ * cos β ) sen 2 β Então: DN= Ai - L + ( H * 50 * Sen 2β) 54 Exemplo: Calcule a coordenada Z (cota) dos pontos, sabendo-se que as coordenadas da estação são: EST Ai P.V A 1,558 1 LS LM LI Zenital β DN Cotas(Z) 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 3°10’40”(-) 8,545(-) 91,455 2 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 3°32’25”(+) 4,686(+) 104,686 3 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 2°46’30”(+) 4,819(+) 104,819 4 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 2°10’40”(-) 6,639(-) 93,361 5 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 4°18’30”(-) 5,911(-) 94,089 6 2,482 2,00 1,518 95°14’50” 5°14’50”(-) 9,221(-) 90,779 17.2.2 Nivelamento Trigonométrico (com dados obtidos por Distanciômetro eletrônico) Nesse caso é importante observar que a distância medida é a inclinada, portanto para reduzi-la ao plano devemos multiplicá-la pelo cosseno do ângulo de altura (β). Assim: D = D’ * Cos β (I) DN = Ai – hr + ( D * Tg β ) (II) e Substituindo-se (I) em (II), temos: DN = Ai − hr + ( D'* cos β * Tgβ ) DN = Ai − hr + ( D '* cos β * senβ ) cos β DN = Ai − hr + ( D '*Senβ ) Exemplo: Calcule a coordenada Z (cota) dos pontos, sabendo-se que as coordenadas da estação são: A (0; 0; 100) EST Ai Hr P.V D’ Zenital β DN Cotas(Z) A 1,515 1,70 1 151,44 87°51’40” 2°08’20”(+) 5,467(+) 105,467 2 128,27 88°12’20” 1°47’40”(+) 3,832(+) 103,832 3 83,41 91°04’40” 1°04’40”(-) 1,754(-) 98,246 4 42,50 93°12’30” 3°12’30”(-) 2,564(-) 97,436 55 17.3. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO: Quando o ângulo vertical usado é o Zenital. 17.3.1. Com distância horizontal direta. DN = Ai − L + ( D.CotgZ ) 17.3.2. Com distância horizontal por taqueometria. D = H .100.Sen 2 Z ( I ) DN = Ai − L + ( D.CotgZ ) ( II ) e Substituindo-se I em II, temos: DN = Ai − L + ( H .100.Sen 2 Z . CosZ ) SenZ DN = Ai − L + ( H .50.2.SenZ .CosZ ) Fazendo-se: 2.SenZ.CosZ = Sen2Z, então: DN = Ai − L + ( H .50.Sen2 Z ) 17.3.3. Com distância horizontal eletrônica: D = D'.SenZ ( I ) e DN = Ai − hr + ( D.CotgZ ) ( II ) Substituindo-se I em II, temos: DN = Ai − hr + ( D '.SenZ . CosZ ) SenZ DN = Ai − hr + ( D '.CosZ ) 17.3.4. Com distância horizontal pelo método Trigonométrico. D= LM 2 − LM 1 CotgZ 2 − CotgZ1 Neste caso, como na maioria das vezes calculamos a distância média, não é vantagem tentar simplificar a fórmula. Então o melhor procedimento é calcular em primeiro lugar a distância e depois calcular a diferença de nível, com a fórmula da distância direta. Assim: DN = Ai − LM 1 + ( D.CotgZ1 ) ou DN = Ai − LM 2 + ( D.CotgZ 2 ) 56 Exemplo1.2 - Esse exemplo, cujos dados do levantamento foram feitos com os alunos da Geomática, serve para demonstrar o levantamento planialtimétrico de pontos com uma troca da estação. CADERNETA PARA LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO NIVELAMENTO TRIG.- DIST. MÉT. TRIGONOMÉTRICO PROPRIETÁRIO: UFSM COORD. DA EST. A: (0 ; 0 ; 100) LOCAL: PINUS AZ DO 1° ALINHAMENTO: 263°01’20” DATA: 12/11/07 ESTAÇÃO: A RESPONSÁVEL: ERNI AI DA EST. A: 1,501 m P 1 2 3 4 5 LM1 0,20 0,10 0,10 0,10 0,20 Z1 92°06’30” 92°00’00” 91°54’50” 91°49’10” 91°28’50” LM2 3,90 3,90 3,90 3,90 3,90 Z2 82°25’30” 83°31’20” 85°53’50” 87°26’10” 88°11’40” AZIMUTE 252°01’50” 294°19’40” 314°50’30’ 325°37’30” 331°41’30” D(m) 21,79 25,60 36,14 49,64 64,49 DN 0,499(+) 0,507(+) 0,193(+) 0,176(-) 0,366(-) X -20,73 -23,32 -25,63 -28,03 -30,58 Y -6,72 10,54 25,48 40,97 56,78 Z 100,499 100,507 100,193 99,824 99,634 6 7 8 9 10 0,20 0,20 0,10 0,10 0,10 92°31’30” 92°52’40” 93°51’00” 96°49’30” 113°10’40” 3,90 3,90 3,90 3,90 3,30 89°01’40” 88°02’50” 86°28’00” 82°17’20” 65°25’40” 356°53’20” 357°21’00” 358°25’00” 2°55’50” 135°43’40” 60,59 43,86 29,45 14,90 3,61 1,371(-) 0,904(-) 0,581(-) 0,382(-) 0,146(-) -3,29 -2,03 -0,81 0,76 2,52 60,50 43,81 29,44 14,88 -2,59 98,629 99,096 99,419 99,618 99,854 11 12 13 14 15 0,10 0,20 0,10 0,10 0,10 95°17’20” 94°44’30” 93°57’20” 93°22’30” 92°54’10” 3,90 3,90 3,90 3,90 3,90 87°32’20” 87/45’10” 88°17’50” 88°54’20” 89°29’00” 86°40’20” 50°56’10” 31°25’40” 20°03’30” 11°11’40” 28,03 30,28 38,43 48,67 63,63 1,194(-) 1,211(-) 1,256(-) 1,469(-) 1,825(-) 27,99 23,51 20,04 16,69 12,35 1,63 19,08 32,79 45,72 62,42 98,806 98,789 98,744 98,531 98,175 B 0,10 94°21’30” 3,90 EST. 87°40’10” B 37°38’00” AI 32,50 DA EST 1,076(-) B=1,505 19,85 m 25,74 98,924 16 17 18 19 20 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 93°49’10” 94°53’00” 95°28’30” 95°22’20” 94°01’00” 3,90 3,90 3,90 3,90 3,90 88°48’20” 87°44’20” 86°59’40” 87°06’00” 88°02’40” 22°34’30” 42°31’00” 65°08’30” 95°21’40” 123°51’00” 43,37 30,42 25,61 26,26 36,41 1,491(-) 1,194(-) 1,050(-) 1,065(-) 1,152(-) 36,50 40,41 43,09 46,00 50,09 65,79 48,16 36,51 23,29 5,46 97,433 97,730 97,874 97,859 97,772 21 22 23 24 25 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 93°35’00” 93°47’40” 93°41’00” 93°36’30” 93°19’20” 3,90 3,90 3,90 3,90 3,90 89°38’50” 89°24’20” 89°17’00” 89°24’40” 89°43’20” 107°22’00” 87°58’20” 72°51’00” 61°17’50” 44°17’40” 55,25 49,55 49,43 51,81 60,42 2,055(-) 1,881(-) 1,777(-) 1,862(-) 2,102(-) 72,58 69,36 67,08 65,30 62,04 9,25 27,49 40,31 50,62 68,98 96,869 97,043 97,147 97,062 96,822 57 18. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO O relevo do solo se representa na planta ou no plano topográfico, por diversos processos, dentre os quais o mais claro e racional, e o mais usado é o das curvas de nível, mas também são usados outros processos, tais como: pontos cotados, hachuras e perfis. 18.1 Curvas de nível Define-se curvas de nível, como sendo linhas que unem pontos de mesma cota ou altitude. A distância vertical entre dois planos horizontais sucessivos, chama-se eqüidistância real. Para obras de engenharia em geral, usa-se a eqüidistância de 1 metro, ou seja, curvas de nível de metro em metro. Para facilitar a interpretação do terreno são usadas curvas com traço reforçado, normalmente as múltiplas de 5 metros, que são denominadas curvas mestras. O desenho a seguir representa em terreno, cujo relevo está representado pelas respectivas curvas de nível. 58 18.1.1 Principais Propriedades das Curvas de Nível: Ä Todos os pontos de uma mesma curva de nível têm a mesma cota ou altitude. Ä Cada curva de nível fecha sobre si mesma, dentro dos limites de um plano considerado, ou fora destes limites, no segundo caso a curva ficará interrompida pela linha marginal que delimita o plano considerado. Ä As partes superiores de uma elevação sempre serão representadas por curvas fechadas, e o mesmo ocorre para representar depressões. Ä As curvas de nível nunca se cortam e nem se encontram, a não ser em uma escarpa vertical, ou em um corte de aterro também vertical feito pelo homem, geralmente cortes em regiões rochosas ou aterros sustentados por muros de arrimo. Ä As curvas de nível de uma superfície plana são linhas retas paralelas. Ä Os aclives ou declives uniformes, são representadas por curvas de nível eqüidistantes. A maior, ou menor aproximação das curvas indicam aclives ou declives mais acentuados. 19. DIVISÃO ANALÍTICA DE TERRAS Dividir uma área analiticamente, é uma atividade topográfica muito comum para quem se dedica a esta profissão. Para que possamos dividir uma área, temos que possuir as coordenadas dos pontos, e cujos piquetes ainda se encontrem no campo, a fim de nos possibilitar a sua futura demarcação. É importante, ainda, possuir uma planta da referida área, pois isso nos permite uma perfeita visualização da propriedade e, portanto, nos facilita um melhor planejamento no momento de procedermos a divisão. Trabalharemos este conteúdo através de um exemplo prático, o que facilitará a compreensão por parte do aluno, assim: Ä1. Planilha de cálculos analíticos Devemos ter a planilha do cálculo analítico, no qual teremos as coordenadas dos pontos. Usaremos o mesmo exemplo anterior. 59 Ä2. Planta da área Devemos ter a planta, mesmo que desenhada em papel milimetrado (rascunho). Ä3. Partes da divisão de área Devemos saber em quantas partes vamos dividir a propriedade, qual a área de cada parte, se existe algo sobre a propriedade que deva permanecer em alguma das partes divididas. Exemplo: A sede da propriedade deve pertencer ao lote n° 2, o açude ao lote n° 5, etc... Ä4. Acesso Outro aspecto muito importante, é que todas as partes divididas fiquem com acesso, por isso quando ele não existir, devemos criar um corredor, também, sempre que possível, devemos dar acesso de todos os lotes à água e procurar deixar a figura o mais regular possível. Diríamos que cada caso de divisão é um caso diferente, onde o bom técnico vai ter que analisá-lo para dele obter a melhor divisão, ou seja aquela que atende todos os anseios dos proprietários, sem ferir a lei. OBS.: Muitas dessas informações necessárias serão fornecidas pelo proprietário e algumas planejadas sobre a planta da propriedade. Exemplo: Da área da UFSM que mostramos nos capítulos anteriores, vamos dividir 3ha a partir de 100m do vértice 1. Ä5. Divisão visual da propriedade Apoiados na planta da propriedade, podemos fazer uma divisão aproximada, partindo sempre do ponto fixado pelo proprietário, ou estipulado pelo próprio técnico, com isso nos dará condições para que possamos montar a poligonal auxiliar. Ä6. Montagem da planilha auxiliar A planilha auxiliar possui esse nome porque ela nos dará a condição necessária para que depois, consigamos determinar o ponto exato da divisão, como veremos no exemplo. Esta planilha é montada a partir das projeções compensadas, assim: Para o nosso exemplo devemos primeiro calcular as projeções do ponto inicial chamada de 1’, assim: D1 = 192,35 m D1’2 = 92,35 m Px = SenAz1 * D1' 2 Px = 91,29. Py = CosAz1 * D1' 2 Py = 13,95. 60 Depois copiamos as projeções dos vértices 2, 3 e 4 devemos determiná-lo por diferença, já que o somatório das projeções deve dar zero em cada eixo. Py 1 91,29 13,95 0,00 0,00 91,29 1273,4955 13,95 1273,4955 2 63,28 191,94 91,29 13,95 245,86 47190,3684 219,84 13911,4752 3 - 65,37 63,00 154,57 205,89 243,77 15357,51 474,78 -31036,3686 4* - 89,20 -268,89 89,20 268,89 89,20 - 23984,988 268,89 -23984,988 335,06 488,73 670,12 39836,3859 977,46 - 39836,3859 x2 x2 670,12 977,46 0,000 ORD DA ∑y Px 0,000 AB ∑x V DA Área = 19918,19295 m2 Veja que o valor das projeções de 4* foram determinadas por diferença, já que a soma das projeções do mesmo eixo deve ser igual a zero. Conhecida a área da planilha auxiliar, isso nos mostra se a mesma tem um valor para mais ou para menos em relação à área desejada. Área a avançar 30.000m2 - 19918,19295 = 10081,80705m2. Ä7. Cálculo do afastamento Vemos então que o ponto divisório estará localizado entre os vértices 4 e 5, formando assim um triângulo 1′ 44′ de área conhecida, e para que possamos calcular o afastamento 44′, devemos conhecer a distância 1′ 4, e o ângulo 1′ 44′, então: a) DISTÂNCIA: D= Px 2 + Py 2 D= (−89 ,20) 2 .(−268,89 ) 2 = 283,30m b) AZIMUTE: A' = arctg Px ∴ Az = 198°21'08,81" Py c) ÂNGULO INTERNO DO AFASTAMENTO: Az4 − 5 = 262°48'32 ,5" Az4 −1' = 198°21'08,81" 61 Ai = Az4 − 5 − Az4 − 1' Ai = 64°27 '23,75" d) AFASTAMENTO: A= d 2 . d1 .sen Ai , então: 2 2A 2.10081,80705m2 d2 = ∴ d2 = ∴ d 2 = 78,8843m d1 .sen Ai 283,30m.sen 64°27 '23,75" Após determinado o afastamento, montamos a planilha definitiva, para isso devemos calcular as projeções do alinhamento 44′. Px = SenAZ 4 * D2 Px = -78,26. Py = CosAZ 4 * D2 Py = -9,87. Ä8. Cálculo da área definitiva: O cálculo da área da planilha definitiva serve para verificarmos se realmente o cálculo está correto, devemos observar que pequenas diferenças são normais e não representam erro, pois todos os cálculos feitos desde o afastamento foram arredondados. AB ORD ∑x DA ∑y V Px Py DA 1’ 91,29 13,95 0,00 0,00 91,29 1273,4955 13,95 1273,4955 2 63,28 191,94 91,29 13,95 245,86 47190,3684 219,84 13911,4752 3 -65,37 63,00 154,57 205,89 243,77 15357,51 474,78 -31036,3686 4 -78,26 -9,87 89,20 268,89 100,14 -988,3818 527,91 -41314,2366 4′* -10,94 -259,02 10,94 259,02 10,94 -2833,6788 259,02 -2833,6788 0,00 0,00 346,00 747,75 692,00 59999,3133 1495,5 -59999,3133 x2 x2 692,00 1495,5 A = 29999,7 m2 ≈ A = 30000 m2 62 O vértice 4’* foi também determinado por diferença. Para finalizar, devemos calcular os elementos necessários para demarcação da divisa, então: 9. Elementos da linha divisória definitiva: A) DISTÂNCIA: D= Px 2 + Py 2 ∴ D = (−10,94 ) 2 + ( −259 ,02 ) 2 ∴ D = 259 ,25m B) AZIMUTE: A' = arctg Px ∴ Az 4 '1' = 182°25'07" Py C) ÂNGULO INTERNO NO VÉRTICE 4’ Az 4' −5 = 262°49'00" Az 4 ' −1' = 182°25'07" Ai = Az 4 ' −5 − Az4 ' −1' (1) Ai1' = 80°2353 ' " Ai1' = 180°−80°23'26" Ai4 ' = 99°36'57" (2) D) ÂNGULO INTERNO NO VÉRTICE 1′: Az1' −2 = 81°18'10" Az1' −4 ' = 2°25'07" Ai = Az1' −2 − Az1' −4 ' (1) Ai1' = 78°53'03" Ai1' = 180°−78°53'26" Ai1' = 101°06'57" (2) 63 Podemos ainda fazer o somatório dos ângulos internos de cada uma das novas poligonais, assim: a) 1° Poligonal. b) 2° Poligonal 1 = 90°22’40” 1’= 78°53’03’’ 1’= 101°06’57” 2 = 116°55’40’’ 4’= 80°23’53” 3 = 115°41’30’’ 5 = 88°06’30” 4 = 128°53’40’’ 4’= 99°36’07’’ Σ = 360°00’00” Σ = 540°00’00” 19.2 Divisão Analítica de Terras (Método do Prof. Dr. Enio Giotto) Este método se baseia na Geometria Analítica, e busca dividir uma área desejada a partir do conhecimento das coordenadas dos pontos que compõem a gleba toda. O método do prof. Giotto nos dá condições de determinar as coordenadas do ponto divisor, sem a necessidade do cálculo da planilha auxiliar, porém devemos informar alguns dados que passaremos a mostrar a seguir. Vale a pena ainda citar que o Software TPO do prof. Giotto, se baseia nesse método. A fundamentação do método já foi objeto de publicações em congresso. Existe uma análise completa no polígrafo do prof. Erni Milani. Portanto nesse trabalho nos limitaremos a desenvolver um exemplo prático. Fórmulas: bo = p= 2 A − M − bo( Xpf − Xpi) b1( Xpf − Xpi) + (Ypi − Ypf ) ( X 1.Y 2) − ( X 2.Y 1) X1 − X 2 → b1 = → Yp = bo + b1Xp Y1 − Y 2 X1 − X 2 onde: X p= coordenada X do ponto divisor Yp= coordenada Y do ponto divisor b0= coeficiente linear da reta divisora b1= coeficiente angular da reta divisora 64 A= área a dividir M= determinante da matriz desde o ponto inicial até o ponto final Xpf= coordenada X do ponto final Xpi= coordenada X do ponto inicial Ypf= coordenada Y do ponto final Ypi= coordenada Y do ponto inicial X1= coordenada X do primeiro ponto da reta divisória Y1= coordenada Y do primeiro ponto da reta divisória X2= coordenada X do segundo ponto da reta divisória Y2= coordenada Y do segundo ponto da reta divisória. Ponto inicial: É o ponto onde iniciamos a divisão, pode coincidir com um vértice, ou estar sobre um alinhamento, e nesse caso devemos calcular suas coordenadas antes de começar a divisão. Ponto final: É o primeiro ou o segundo ponto da reta, que supomos vá conter o ponto divisor. A escolha do primeiro ou do segundo ponto depende da vontade de quem calcula, porém tem que definir porque isso vai interferir nos pontos que vão compor a matriz, aqui denominada de M. M: É a matriz que vai desde o ponto inicial, até o ponto final. O seu valor é dado pelo cálculo do determinante dessa matriz. Exemplo: Vamos dividir 3 ha a partir de 100 metros do vértice 1, da área do seu Mário de Almeida, ou seja a mesma área já dividida por Gauss. As coordenadas dos pontos de toda a área são: V X Y 1 0 0 2 190,14 29,05 3 253,42 220,99 4 188,05 283,99 5 -40,77 255,12 65 19.2.1. Cálculo da área total: V X Y 1 Yn + Xn+1 0 0 Xn + Yn+1 2 0 190,14 29,05 0 3 7361,851 253,42 220,99 42019,0386 4 41557,1695 188,05 283,99 71968,7458 5 -11578,2723 -40,77 255,12 47975,316 1 0 0 0 0 ∑1 = 37340,7482 ∑2 = 161963,1004 A= ∑ −∑ 2 1 2 Área= 62.311,1761 m2 19.2.2. Reconstituição da poligonal: V Px Py Dist.(m) Azimutes  internos 1 190,14 29,05 192,35 81°18’48” 90°23’34” 2 63,28 191,94 202,10 18°14’48” 116°56’00” 3 -65,37 63 90,79 313°56’32” 115°41’44” 4 -228,82 -28,87 230,63 262°48’33” 128°52’01” 5 -255,12 258,36 170°55’14” 88°06’41” 40,77 19.2.3. Cálculo das coordenadas do ponto inicial Xpi= (Sen Az1* D11’) + Xp1 ∴ Xpi= (Sen 81°18’48” . 100) + 0 = 98,85 Ypi= (Cos Az1* D11’) + Yp1 ∴ Ypi= (Cos 81°18’48” . 100) + 0 = 15,10 19.2.4. Informações para a divisão Área a dividir = 30.000 m2 Vértice inicial = 1’ Vértice final = 4 Reta divisória = 4 - 5. 66 Então: X1 = 188,05 Xpf = 188,05 X2 =-40,77 Xpi = 98,85 Y1 =283,99 Ypi = 15,10 Y2 =255,12 Ypf = 283,99 19.2.5. Cálculo dos coeficientes b0 e b1 ( X 1.Y 2) − ( X 2.Y 2) X1− X 2 (188,05 × 255,12) − (−40,77 × 2836,99) b0 = ⇒ b0 = 260,2639118 188,05 − ( −40,77) b0 = Y1 − Y 2 X1 − X 2 283,99 − 255,12 b1 = ⇒ b1 = 0,126169041 188,05 − (−40,77) b1 = 19.2.6 Cálculo do M M= 98,85 190,14 253,42 188,05 15,10 29,05 220,99 283,99 M = [(98,85 . 29,05) + (190,14 . 220,99) + (253,42 . 283,99)] - [(190,14 . 15,10) + (253,42 . 29,05) + (188,05 . 220,99)] M = 65069,2424 Xp = 2. A − M − bo .( Xpf − Xpi ) b1 .( Xpf − Ypi ) + (Ypi − Ypf ) Xp = 2.30000 − 65069 ,2424 − 260,2639118.(188,05 − 98,85) 0,126169041.(188,05 − 98,85) + (15,10 − 283,99 ) Xp = 109 ,79 Yp = bo + b1 * Xp Yp = 260,2639118 + 0,126169041*109,79 Yp = 274,12 67 19.2.6. Análise das coordenadas do ponto divisor X4 > Xp >X5 e Y4 > Yp >Y5, portanto o ponto divisor se encontra no intervalo da reta, que indicamos como sendo a divisória. Outra análise que podemos fazer é recalcular a área dividida. Assim: V X Y 1’ Yn + Xn+1 98,85 15,10 Xn + Yn+1 2 2871,114 190,14 29,05 2871,5925 3 7361,851 253,42 220,99 42019,0386 4 41557,1695 188,05 283,99 71968,7458 4’* 31179,2621 109,79 274,12 51548,266 1’ 27096,762 98,85 15,10 1657,829 ∑1 = 110066,1586 ∑2 = 170065,4719 A= ∑ −∑ 2 1 2 A = 29999,65665 ≈ A = 30000 m2 Portanto também fechou, já que a pequena diferença é problema de arredondamento. 19.2.7. Cálculo das distâncias: D4'1' = ( X 4 ' − X 1' ) 2 + (Y4' − Y1' ) 2 ∴ D = (109,79 − 98,85) 2 + ( 274,12 − 15,10) 2 ∴ D = 259,25m D1'2 = ( X 2 − X 1' ) 2 + (Y2 − Y1' ) 2 ∴ D = (190,14 − 98,85) 2 + (29,05 − 15,10) 2 ∴ D = 92,35m D 44 ' = ( X 4' − X 4 ) 2 + (Y4 ' − Y4 ) 2 ∴ D = (109,79 − 188,05) 2 + ( 274,12 − 283,99) 2 ∴ D = 78,88m D 4 '5 = ( X 5 − X 4 ' ) 2 + (Y5 − Y4' ) 2 ∴ D = ( −40,77 − 109,79) 2 + ( 255,12 − 274,12) 2 ∴ D = 151,75m 19.2.8. Cálculo do Azimute 4’1’: A' = ArcTg X 1' − X 4 ' Y1' − Y4 ' AZ4’1’ = A’+180 A' = ArcTg 98,85 − 109,79 15,10 − 274,12 AZ4’1’ = 182°25’07” 68 19.2.9. Cálculo do Azimute 1’4’: A' = ArcTg X 4 ' − X 1' Y4 ' − Y1' AZ1’4’ = A’ A' = ArcTg 109,79 − 98,85 274,12 − 15,10 AZ1’4’ = 2°25’07” 19.2.10. Cálculo dos ângulos internos: Ai11' 4 ' = (180 − AZ1 ) + AZ 1' 4' Ai11’4’ = (180 – 81°18’48”) + 2°25’07” Ai11’4’ = 101°06’19” Ai1' 4'5 = (180 − AZ 1' 4 ' ) + AZ 4 Ai1’4’5 = (180 – 2°25’07”) + 262°48’33” Ai1’4’5 = 80°23’26” Ai4'1' 2 = (180 − AZ 4 '1' ) + AZ 1 Ai4’1’2 = (180 –182°25’07”) + 81°18’48” Ai1’4’5 = 78°53’41” Ai44 '1' = (180 − AZ 4 ) + AZ 4 '1' Ai44’1’ = (180 – 262°48’33”) + 182°25’07” Ai1’4’5 = 99°36’34” 69 19.2.11. Soma dos ângulos internos de cada poligonal: Gleba A: Gleba B: 1 = 90°23’34” 1’ = 78°53’41” 1’= 101°06’19” 2 = 116°56’00” 4’= 80°23’26” 3 = 115°41’44” 5 = 88°06’41” 4 = 128°52’01” ∑Ai = 360° 4’ = 99°36’34” ∑Ai = 540° 19.2.12. Distâncias dos lados de cada poligonal: Gleba A: Gleba B: 1 = 100 m 1’ = 92,35 m 1’= 259,25 m 2 = 202,10 m 4’= 151,75 m 3 = 90,79 m 5 = 258,36 m 4 = 78,88 m 4’ = 259,25 m 19.2.13. Memorial Descritivo da Gleba A: Ä Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, pertencentes a Alexandre de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria RS. Ä Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 22361 m2 ou 2 ha. 23 a. 11ca. com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por cerca, 151,75 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por cerca, 100 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha reta por cerca, 259,25 metros e lindeira com terras da Gleba B de propriedade de Rafael de Almeida e Ao Oeste uma linha reta, 258,36 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: Alexandre de Almeida, brasileiro, solteiro, agricultor, portador do CI n° 1853279915, residente e domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. 70 Ä Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. Santa Maria, 26/01/2008 Técnico Responsável Engº florestal Erni José Milani CREA 29993 19.2.13. Memorial Descritivo da Gleba B: Ä Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, pertencentes a Rafael de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria -RS. Ä Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 30000 m2 ou 3 ha. 00 a. 00 ca. com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por cerca, 78,88 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por cerca, 92,35 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha quebrada por cerca, sendo o primeiro segmento de 202,10 metros e o segundo de 90,79 metros e lindeira com terras de José Londero e Ao Oeste uma linha reta, 259,25 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: Alexandre de Almeida, brasileiro, solteiro, agricultor, portador do CI n° 2536258412, residente e domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. Ä Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. Santa Maria, 26/01/2008 Técnico Responsável Engº florestal Erni José Milani CREA 29993 71 Obs.: Essa mesma divisão, poderemos fazê-la num programa P3 na Casio fx-3900 Pv, para isso precisamos oferecer os dados na seguinte seqüência. P3 Passos X1= 188,05 X2= -40,77 Y1= 283,99 Y2= 255,12 X1= 188,05 Y2= 255,12 X2= -40,77 Y1= 283,99 Ypi= 15,10 Ypf= 283,99 Xpf= 188,05 Xpi= 98,85 A=30000 M= 65069,2424 Resposta: Xp= 109,79 Yp= 274,12 portanto o mesmo resultado. 72 DIVISÃO DE UMA ÁREA COM LINHA PARALELA. Roteiro de um exemplo. Esse roteiro foi feito no acompanhamento do segundo exemplo, e é óbvio que não corresponde a todos os casos, mas serve para dar uma idéia resumida dos p0assos que devemos seguir para dividir a área em quatro partes, com linha paralela. PASSOS: Tendo as coordenadas. 1- Cálculo da Área total (Sarrus). 2- Cálculo da área a dividir AT AD = 4 7- Cálculo da distância 5-B: D5 B = HA Sen 5 8- Cálculo das coordenadas de A: X A = X 1 + SenAz1 * D1 A Y A = Y1 + CosAz1 * D1 A 9- Cálculo das coordenadas de B: s X B = X 5 + SenAz 4 * D5 B s YB = X 5 + CosAz 4 * D5 B 10-Cálculo da área de SA( 1;A;B e 5): 11-Cálculo da distância CD: 3- Reconstituição da poligonal a- Distância: D = ( X B − X A ) 2 + (YB − Y A ) 2 b- Azimutes: AZ = ArcTg Px para alinhamentos no Py primeiro quadrante; Px AZ = ArcTg + 180° para alinhamentos no Py segundo e terceiro quadrantes; AZ = ArcTg Px + 360° para alinhamentos no Py quarto quadrante. c- Ângulos internos: Ain = (180 − Az n −1 ) + Az n quando o resultado der maior do que 360°, diminui-se 360°. 4-Cálculo da distância AB: D AB = D − 2 SA(Cotg1 + Cotg 5) 2 5 2 DCD = D AB − 2 SB(Cotg1 + Cotg 5) 12-Cálculo da altura HB: HB = 2 * SB D AB + DCD 13-Cálculo da distância AC: D AC = HB Sen1 14-Cálculo da distância BD: DBD = HB Sen5 15-Cálculo das coordenadas de C: X C = X A + SenAz1 * D AC YC = YA + CosAz1 * D AC 16-Cálculo das coordenadas de D: s X D = X B + SenAz 4 * D BD s YD = YB + CosAz 4 * D BD 5- Cálculo da altura HA: HA = 2 * SA D5 + D AB 6- Cálculo da distância 1-A: D1 A = HA Sen1 17-Cálculo da área SB( A; C; D e B ): 18-Cálculo do ponto 4’, sobre a reta 1-2, e paralelo a reta 5-1: X 4' − X 1 Y4 ' − Y1 X 4 ' = TgAz1 (Y4 ' − Y1 ) + X 1 (I) TgAz1 = 73 X 4' − X 4 Y4 ' − Y4 X 4' = TgAz 5 (Y4 ' − Y4 ) + X 4 (II) TgAz 5 = Substituindo-se (II) em (I), temos: X4’ e Y4’ 25-Cálculo da distância 4’E : D4 ' E = HC Sen1 26-Cálculo da distância 4F : 19-Cálculo da área SC1( C; 4’; 4 e D): 20-Cálculo da área SC2 : SC2 = SC – SC1 D4 F = HC Sen4* 27-Cálculo das coordenadas de E : X E = X 4 ' + SenAz1 * D4 ' E YE = Y4 ' + CosAz1 * D4' E 21-Cálculo da distância 4-4’: D44 ' = ( X 4' − X 4 ) 2 + (Y4 ' − Y4 ) 2 22-Cálculo do Ângulo interno (344’): Ai4* = (180 – Az3 ) + Az5 23- Cálculo da distância EF : DEF = D442 ' − 2 SC2 (Cotg 4 * +Cotg1) 28-Cálculo das coordenadas de F : s X F = X 4 + SenAz 3 * D4 F s YF = Y4 + CosAz 3 * D4 F 29-Cálculo da área SC (C;E;F;4 e D): 30- Cálculo da área SD ( E;2;3 e F) 24-Cálculo da altura HC : HC = 2 * SC 2 D44 ' + D EF Conhecidas as Coordenadas dos pontos de um polígono medido com a Estação Total, faça o respectivo desenho, sabendo-se que entre o vértice um e três é uma estrada de acesso, e: Divida a área do polígono em quatro (4) partes iguais, com linha paralela ao alinhamento cinco um (5-1). Vért 1 2 3 4 5 X 109 575 894 950 51 Y 40 136 97 758 850 Esse exemplo foi calculado com no mínimo quatro casas depois da vírgula, para que os resultados das áreas ficassem mais perto do fechamento, porém é importante observar que na prática não seria necessário mais de duas casas, ou seja, até o centímetro, pois ao fazer a locação isso é suficiente. 74 1- Cálculo da área Total: 8- Cálculo das coordenadas de A: X A = X 1 + SenAz1 * D1 A V 1 2 3 4 5 1 Yn . Xn+1 23000 121584 92150 38658 92650 ∑1= 368042 A= ∑2 - ∑1 2 X 109 575 894 950 51 109 Y 40 136 97 758 850 40 XA = 296,6886 Xn.Yn+1 14824 55775 677652 807500 2040 ∑2= 1557791 A= 594874,50 m2 3- Reconstituição da poligonal: Px 466 319 56 -899 58 Py 96 -39 661 92 -810 YA = 78,6654 9- Cálculo das coordenadas de B: s X B = X 5 + SenAz 4 * D5 B XB = 242,8634 s YB = Y5 + CosAz 4 * D5 B YB = 830,3656 2- Área a dividir(Ad): Ad= AT Ad= 148718,625 ≈ 4 Ad= 148719 m2 V 1 2 3 4 5 Y A = Y1 + CosAz1 * D1 A Dist(m) 475,7857 321,3752 663,3679 903,6952 812,0739 AZIMUTES 78°21’34” 96°58’13” 4°50’33” 275°50’35” 175°54’15” Â. Internos 82°27’19” 198°36’39” 87°52’20” 91°00’02” 80°03’40” 10- Cálculo da área de SA( 1;A;B e 5): V 1 A B 5 1 Yn*Xn+1 11867,544 19104,94651 42348,6456 92650 X 109 296,6886 242,8634 51 109 ∑1 = 165971,1361 A= ∑ −∑ 2 Y 40 78,6654 830,3656 850 40 Xn*Y n+1 8574,5286 246360,0074 206433,89 2040 ∑2 = 463408,426 1 A = 148718,6449 ≈ 2 A =148719 m2 4- Cálculo da distância AB: D AB = D52 − 2 SA(Cotg1 + Cotg 5) DAB= 753,6248 m 11- Cálculo da distância CD: 2 DCD = D AB − 2 SB(Cotg1 + Cotg 5) DCD = 690,2439 m 5- Cálculo da altura HA: HA = 2 * SA D5 + D AB HA= 189,9709 m 12- Cálculo da altura HB: HB = 6- Cálculo da distância 1-A: D1 A = 7- HA Sen1 HA Sen 5 HB= 206,0002 m D1A= 191,6299 m 13- Cálculo da distância AC: Cálculo da distância 5-B: D5 B = 2 * SB D AB + DCD D AC = HB Sen1 DAC= 207,7992 m D5B= 192,8654 14- Cálculo da distância BD: DBD = HB Sen5 DBD= 209,1389 m 75 Substituindo-se (II) em (I), temos: X2’ = 527,3629 Y2’ = 801,2508 19- Cálculo da área SC1( C; 2; 2’ e D): 15- Cálculo das coordenadas de C: X C = X A + SenAz1 * D AC XC = 500,2139 YC = YA + CosAz1 * D AC YC = 120,5933 V C 2 2’ D C 16- Cálculo das coordenadas de D: s X D = X B + SenAz 4 * D BD XD = 450,9157 YD = 809,0744 A= 17- Cálculo da área SB( A; C; D e B ): X 296,6886 500,2139 450,9157 242,8634 296,6886 Y n*Xn+! 39349,52653 54377,41228 196494,5596 246357,0405 ∑1 = 536678,5389 ∑ −∑ A= 2 1 Y 78,6654 120,5933 809,0744 830,3556 78,6654 Y 120,5933 136 801,2508 809,0744 120,5933 ∑1 = 907069,3283 1009801,535 s YD = YB + CosAz 4 * D BD V A C D B A X 500,2139 575 527,3629 450,9157 500,2139 Yn*Xn+1 69341,1475 71721,3544 361296,5654 404710,261 Xn*Y n+! 35778,65735 404710,261 374420,3766 19104,94651 ∑2 = 834014,2415 A = 148717,8513 ≈ 2 A = 148718 m2 ∑2 = ∑ −∑ 2 Xn*Yn+1 68029,0904 460719,21 426675,8219 54377,41228 A = 51366,10312 m2 1 2 20- Cálculo da área SC2 : SC2 = SC – SC1 SC2 = 97352,52188 m2 21- Cálculo da distância 2-2’: D22 ' = ( X 2' − X 2 ) 2 + (Y2 ' − Y2 ) 2 D22’ = 666,9542 m 22- Cálculo do Ângulo interno (2’23): Ai2* = (180 – Az5 ) + Az2 Ai2* = 101°03’58” 23- Cálculo da distância EF : Podemos observar que essa pequena diferença (148718,625 – 148717,8513 = 0,7737), na prática não significa nada, e no cálculo ocorreu pelo baixo número de casas depois da vírgula, mas que aumentar esse número apenas dificultaria o cálculo. 18- Cálculo do ponto 2’, sobre a reta 4-5 e paralelo a reta 5-1: TgAz 4 = X 2' − X 4 Y2' − Y4 X 2' = TgAz 4 (Y2 ' − Y4 ) + X 4 2 DEF = D22 ' − 2 SC 2 (Cotg 2 * +Cotg 5) DEF = 669,9181 m 24- Cálculo da altura HC : HC = 2 * SC 2 D22 ' + D EF HC = 145,6422 m 25- Cálculo da distância 2E : D2 E = HC Sen2* D2E = 148,4015 m X2’= -9,771773545 Y2’+8357,004347(I) TgAz 5 = X 2' − X 2 Y2 ' − Y2 X 2' = TgAz 5 (Y2 ' − Y2 ) + X 2 X2’= -0,071607796Y2’+584,7386603(II) 26- Cálculo da distância 2’F : D2' F = HC Sen5 D2’F = 147,8613 m 27- Cálculo das coordenadas de E : X E = X 2 + SenAz2 * D2 E XE = 722,3047 76 YE = Y2 + CosAz 2 * D2 E YE = 117,9908 A= 28- Cálculo das coordenadas de F : s X F = X 2' + SenAz 4 * D2' F ∑ −∑ 2 1 A = 148718,6327 ≈ 2 A = 148719 m2 XF = 674,4559 s YF = Y2 ' + CosAz 4 * D2 'F 30- Cálculo da área SD ( E;3;4 e F): YF = 786,1980 29- Cálculo da área SC (C;2;E;F e D): V C 2 E F D C Yn*Xn+1 69341,1475 98233,4392 79579,59121 354509,0215 404710,261 X 500,2139 575 722,3047 674,4559 450,9157 500,2139 ∑1 = 1006373,46 Y 120,5933 136 117,9908 786,1980 809,0744 120,5933 Xn*Yn+1 68029,0904 67844,71 567874,5105 545685,0026 54377,41228 ∑2 = 1303810,726 V E 3 4’ F E X 722,3047 894 950 674,4559 722,3047 Yn*Xn+1 105483,7752 92150 511237,5722 567874,5105 ∑1 = 1276745,858 A= Xn*Yn+1 70063,5559 677652 746888,1 79579,59121 ∑2 = 1574183,247 ∑ −∑ 2 Y 117,9908 97 758 786,1980 117,9908 1 A = 148718,6946 ≈ 2 A = 148719 m2 Conhecidas as Coordenadas dos pontos de um polígono medido com a Estação Total, faça o respectivo desenho, sabendo-se que entre o vértice um e dois é uma estrada de acesso, e: Divida a área do polígono em quatro(4) partes iguais, com linha paralela ao alinhamento cinco um(51). Vért 1 2 3 4 5 X 140 960 920 555 80 Y 80 120 775 720 875 Esse exemplo foi calculado com no mínimo três casas depois da vírgula, para que os resultados das áreas ficassem mais perto do fechamento, porém é importante observar que na prática não seria necessário mais de duas casas, ou seja, até o centímetro, pois ao fazer a locação isso é suficiente. 77 1-Cálculo da área Total: 8- Cálculo das coordenadas de A: X A = X 1 + SenAz1 * D1 A V 1 2 3 4 5 1 X 140 960 920 555 80 140 Yn . Xn+1 76800 110400 430125 57600 122500 ∑1= 797425 A= ∑2 - ∑1 2 Y 80 120 775 720 875 80 XA = 323,230 Xn.Yn+1 16800 744000 662400 485625 6400 ∑2= 1915225 Y A = Y1 + CosAz1 * D1 A YA = 88,938 9- Cálculo das coordenadas de B: s X B = X 5 + SenAz 4 * D5 B XB = 268,548 s YB = Y5 + CosAz 4 * D5 B A= 558900 m2 YB = 813,474 10- Cálculo da área de SA( 1;A;B e 5): 2- Área a dividir(Ad): Ad= 139725 m2 Ad= AT 4 3- Reconstituição da poliginal: V 1 2 3 4 5 Px 820 -40 -365 -475 60 Py 40 655 -55 155 -795 Dist(m) 820,975 656,220 369,121 499,650 797,261 AZIMUTES 87°12’26” 356°30’19” 261°25’51” 288°04’20” 175°41’02” Â. Internos 91°31’24” 89°17’53” 84°55’32” 206°38’29” 67°36’42” V 1 A B 5 1 X 140 323,230 268,548 80 140 Yn*Xn+1 25858,4 23884,12202 65077,92 122500 ∑1 = 237320,442 A= Xn*Yn+1 12451,32 262939,201 234979,5 6400 ∑2 = 516770,021 ∑ −∑ 2 Y 80 88,938 813,474 875 80 1 2 A = 139724,7895 ≈ A =139725 m2 4-Cálculo da distância AB: D AB = D52 − 2 SA(Cotg1 + Cotg 5) DAB= 726,596 m 5- Cálculo da altura HA: HA = 6- 11- Cálculo da distância CD: 2 * SA D5 + D AB DCD = 648,274 m HA= 183,383 m 12- Cálculo da altura HB: Cálculo da distância 1-A: D1 A = HA Sen1 2 DCD = D AB − 2 SB(Cotg1 + Cotg 5) HB = 2 * SB D AB + DCD HB= 203,256 m D1A= 183,448 m 13- Cálculo da distância AC: 7- Cálculo da distância 5-B: D5 B HA = Sen5 D AC = HB Sen1 DAC= 203,327 m D5B= 198,333 m 78 19- Cálculo da área SC1( C; 4’; 4 e D): 14- Cálculo da distância BD: D BD = HB Sen5 DBD= 219,825 m 15- Cálculo das coordenadas de C: X C = X A + SenAz1 * D AC XC = 526,316 V C 4’ 4 D C ∑1 = 852436,4133 YC = Y A + CosAz1 * D AC YC = 98,845 A= 16- Cálculo das coordenadas de D: s X D = X B + SenAz 4 * DBD s YD = YB + CosAz 4 * D BD X 323,230 526,316 477,528 268,548 323,230 Y n*Xn+! 46809,49241 47201,25516 200143,722 262939,201 ∑1 = 557093,6706 ∑ −∑ 1 Y 88,938 98,845 745,281 813,474 88,938 X n*Yn+! 31949,66935 392253,3148 388456,6123 23884,12202 ∑2 = 836543,7184 D22’ = 619,238 m 22- Cálculo do Ângulo interno (344’): Ai4* = (180 – Az3 ) + Az5 Ai4* = 94°15’11” 23- Cálculo da distância EF : 2 DEF = D44 ' − 2 SC 2 (Cotg 4 * +Cotg1) DEF = 634,056 m A = 139725,0239 ≈ 24- Cálculo da altura HC : A = 139725 m2 HC = 2 18- Cálculo do ponto 4’, sobre a reta 1-2, e paralelo a reta 5-1: TgAz1 = 2 D44 ' = ( X 4' − X 4 ) 2 + (Y4 ' − Y4 ) 2 17- Cálculo da área SB( A; C; D e B ): 2 A = 47753,41026 m2 1 21- Cálculo da distância 4-4’: YD = 745,281 A= Xn*Yn+1 53956,86369 433154,16 413630,955 47201,25516 ∑2 = 947943,2338 ∑ −∑ 2 Y 98,845 102,518 720 745,281 98,845 20- Cálculo da área SC2 : SC2 = SC – SC1 SC2 = 91971,58974 m2 XD = 477,528 V A C D B A X 526,316 601,603 555 477,528 526,316 Yn*Xn+1 59465,44854 56897,49 343820,16 392253,3148 X 4' − X 1 Y4 ' − Y1 2 * SC 2 D44 ' + D EF HC = 146,768 m 25- Cálculo da distância 4’E : D4 'E = HC Sen1 D4’E = 146,820 m X 4 ' = TgAz1 (Y4 ' − Y1 ) + X 1 X4’= 20,49944557 Y4’ – 1499,955646 (I) TgAz 5 = X 4' − X 4 Y4 ' − Y4 X 4' = TgAz 5 (Y4 ' − Y4 ) + X 4 X4’= -0,075473165 Y4’+609,3406792 (II) Substituindo-se (II) em (I), temos: X4’ = 601,603 Y4’ = 102,518 26- Cálculo da distância 4F : D4 F = HC Sen4* D4F = 147,173 m 27- Cálculo das coordenadas de E : X E = X 4 ' + SenAz1 * D4 ' E XE = 748,248 YE = Y4 ' + CosAz1 * D4' E YE = 109,672 79 28- Cálculo das coordenadas de F : s X F = X 4 + SenAz 3 * D4 F XF = 700,530 s YF = Y4 + CosAz 3 * D4 F YF = 741,929 29- Cálculo da área SC (C;E;F;4 e D): V C E F 4 D C Y n*Xn+1 73960,57356 76828,52616 411770,595 343820,16 392253,3148 ∑1 = 1298633,17 A= ∑2 − ∑1 X 526,316 748,248 700,530 555 477,528 526,316 Y 98,845 109,672 741,929 720 745,281 98,845 30- Cálculo da área SD ( E;2;3 e F): X n*Yn+1 57722,12835 555146,8904 504381,6 413630,955 47201,25516 ∑2 = 1578082,829 V E 2 3 F E X 748,248 960 920 700,530 748,248 Yn*Xn+1 105285,12 110400 542910,75 555146,8904 ∑1 = 1313742,76 A= A = 139724,8297 ≈ 2 Xn*Y n+1 89789,76 744000 682574,68 76828,52616 ∑2 = 1593192,966 ∑ −∑ 2 Y 109,672 120 775 741,929 109,672 1 A = 139725,1029 ≈ 2 A = 139725 m2 A = 139725 m2 20. ALINHAMENTOS Em topografia é também muito comum precisarmos alinhar pontos, principalmente quando a divisa é reta e só conhecermos os pontos externos sem nenhuma outra informação que possa nos auxiliar para construir o alinhamento, então podemos proceder da seguinte maneira: Ao alinharmos o levantamento vamos medindo do ponto A em direção ao ponto B, sempre coletando os ângulos e as distâncias dos pontos necessários para chegar até B, com isso poderemos calcular as coordenadas desses pontos; o que nos possibilitará o cálculo da distância dos mesmos até a reta AB. Vamos primeiro desenvolver um exemplo, estudar um pouco de Geometria Analítica. 20.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos: Para que três pontos estejam alinhados, basta que a área do triângulo, cujos vértices são esses três pontos, seja nula. Nesse caso, os três pontos são chamados COLINEARES. Portando, dados três pontos A (X1; Y1), B (X2; Y2) e C (X3; Y3), estes pontos estarão alinhados se: 80 X1 X 2 X 3 X1 Y1 Y2 Y3 Y1 =0 Exemplo: Verifique se os pontos A(1,2), B(6,12) e C(7,14) estão alinhados. Resolução: 1 6 7 1 2 12 14 2 =0 12 + 84 + 14 - 12 - 84 - 14 =0 A área do triângulo é nula, portanto, os três pontos estão alinhados. 20.2 Equação Geral da Reta Tomamos na reta r dois pontos distintos M(X1; Y1) e N (X2; Y2), de coordenadas conhecidas. Consideramos P (x ; y) um ponto genérico de r. Aplicando a condição de alinhamento de três pontos M, N e P, obtemos: x X1 X2 x y Y1 Y2 y =0 (x.Y1 + X1.Y2 + X2.y) - (y.X1 + Y1.X2 + Y2.x) =0 (Y1 - Y2)x + (X2 - X1)y + (X1.Y2 - X2.Y1) =0 Substituindo: ax + by + c = 0 Está é a equação geral de uma reta r; a;b e c são números reais, sendo a ≠ 0 ou b ≠0. Trata-se de uma equação do 1° grau com duas variáveis. Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (5,8) e B (1,4). Resolução: x 5 1 x y 8 4 y =0 8x + 20 + y - 5y - 8 - 4x = 0 4x - 4y + 12 = 0 81 20.3 Distância de um Ponto, a uma Reta: Seja P (X0 ; Y0) um ponto não pertence à reta R de equação ax + by + c = 0,conforme figura ao lado.A distância d, do ponto P à reta r é dada pela fórmula: D= ax 0 + byo + c 2 a +b 2 Exemplo: Determine a distância do ponto (2,5) à reta de equação 4x + 3y - 12 = 0 Resolução: a = 4, b = 3, c = -12, x0 = 2, y0 = 5 D= ( 4 ,2 ) + ( 3,5) − 12 4 2 +3 2 ∴ 8 + 12 − 12 11 ∴ 25 5 Observe que em matemática a distância do ponto à reta é dada pelo módulo da equação, portanto, não importando o sinal, já em topografia é de fundamental importância que além do valor da distância, saibamos também se o ponto se encontra a direita ou a esquerda dessa reta. Para que possamos determinar a direção em que se encontra o ponto, devemos observar o sinal da resposta. Quando é positivo indica que a reta esta a esquerda, pois seu deslocamento até a reta se da para o lado positivo. Quando é negativo indica que o ponto está a direita, pois o deslocamento até a reta se da para o lado negativo. Exemplo 1: a) Determine a distancia e o azimute da reta 4-8. b) Determine a distancia, e a direção que deve deslocar os pontos 5,6 e 7 alem dos ângulos que deveremos tomar para que fiquem alinhados com a reta 4-8. Coordenadas dos pontos: 4(20;20) 5(25;50) 6(40;70) 7(70;90) 8(60;110) a) Cálculo da distância e do azimute: a1) Distância: D = (60 − 20) 2 + (110 − 20) 2 D = 98,49 m 82 a2) Azimute: A' = arcTg 40 Px ∴ A' = arcTg ∴ Az = 23°57'45" 90 Py b) Cálculo do afastamento dos pontos: Equação geral da reta 4-8.(Observe a resolução da determinante) x 20 60 x y 20 110 y = 0 20x + 2200 + 60y - 20y -1200 - 110x = 0 - 90x + 40y + 1000 = 0 a= -90 b= 40 c= 1000 b.1) Deslocamento do ponto 5 à reta 4-8. x0 = 25 Dpr = ax0 + by0 + c a +b 2 2 y0 = 50 ( −90.25) + (40.50) + 100 ∴ Dpr = (−90) 2 + ( 40) 2 ∴ Dpr = 7,62m portanto à esquerda da reta. b.2) Deslocamento do ponto 6 à reta 4-8. x0= 40 Dpr = ax0 + by0 + c a 2 +b 2 y0= 70 ∴ Dpr = ( −90.40) + ( 40.70) + 100 (−90) 2 + ( 40) 2 ∴ Dpr = 2,03m à esquerda da reta. b.3) Deslocamento do ponto 7 á reta 4-8. x0=70 Dpr = ax0 + by0 + c a 2 +b 2 yo=90 ∴ Dpr = ( −90.70) + ( 40.90) + 100 (−90) 2 + (40) 2 ∴ Dpr = −17,26m portanto à direita da reta. Temos que observar que o deslocamento dos pontos, forma um ângulo de 90 com a reta que estamos alinhando. Por esse motivo é interessante calculamos o 6angulo do ponto, a ser deslocado em relação ao vértice anterior, então: 83 Coeficiente angular: Y = −a da reta principal chamaremos de MR e de cada reta b secundária de MS. ÄCálculo do MR x 20 60 x y 20 110 y = 0 20x + 2200 + 60y - 20y - 1200 - 110x=0 -90x + 40y + 1000=0 MR = −a 9 ( −90) ∴ MR = − ∴ MR = b 40 4 ÄCálculo do coeficiente (MS) da reta 4-5. x 20 60 x y 20 50 y =0 20x + 1000 +25y - 20y - 500 - 50x=0 - 30x + 5y + 500 =0 MS = − Tgα = (−30) ∴ MS = 6 5 MS − MR ∴ Tgα = 6 − 9 / 4 1 + 6.9 / 4 ∴ α = 14° 30'01" 1 + MS . MR ÄÂngulo no vértice 5: O ponto está a esquerda da reta, portanto: 5= 270º + α 5= 284 °30'01" ÄCálculo do coeficiente (MS) da reta5-6. x 25 40 x y 50 70 y =0 50x + 1750 + 40Y - 25y - 2000 - 70x =0 - 20x + 15y - 250 =0 MS = − Tgα = (−20) 4 ∴ MS = 15 3 MS − MR ∴ Tgα = 4 / 3 − 9 / 4 1 + 4 / 3.9 / 4 ∴ α = −12°54 '27" 1 + MS . MR 84 ÄÂngulo no vértice 6: O ponto está a esquerda da reta, portanto: 6= 270 + α 6= 257°05'33" ÄCálculo do coeficiente (MS) da reta 6-7. x 40 70 x y 70 90 y =0 70x + 3600 + 70y - 40y - 4900 - 90x =0 -20x + 30y - 1300 =0 MS = − Tgα = 2 (−20) ∴ MS = 30 3 MS − MR ∴ Tgα = 2 / 3 − 9 / 4 1 + 2 / 3.9 / 4 ∴ α = −32°20'51" 1 + MS . MR ÄÂngulo no vértice 7: O ponto está a direita da reta, portanto: 7= 90° + α 7= 57°39'09" Essa não é a única maneira que podemos calcular o deslocamento dos pontos para cima de uma reta principal. Considerando uma reta principal AB e um ponto C desalinhado, então as coordenadas do ponto C’ sobre a reta AB, podem ser determinadas por: YC ' = X C − X A + Y ATgAZ AB + YC CotgAZ AB TgAZ AB + CotgAZ AB X C ' = X A + (YC ' − YA ) * TgAZ AB X C' = ou YC − Y A + X A CotgAZ AB + X C TgAZ AB CotgAZ AB + TgAZ AB Depois de conhecermos as coordenadas ( X e Y ) dos pontos sobre a reta principal, o caminho para obter as distâncias e os ângulos já é conhecido, basta acompanharmos o cálculo do mesmo exemplo anterior. a) Cálculo da distância e do azimute: a1)Distância: D = (60 − 20) 2 + (110 − 20) 2 a2)Azimute: A' = arcTg D = 98,49 m Px 40 ∴ A' = arcTg ∴ Az = 23°57'45" Py 90 85 b) Cálculo das coordenadas dos pontos sobre a reta principal (4-8): PONTO-5: Y5' = X 5 − X 4 + Y4TgAZ 48r + Y5 CotgAZ 48r TgAZ 48r + CotgAZ 48r X 5' = X 4 + (Y5' − Y4 ) * TgAZ 48r Y5’ = 46,90721649 X5’ = 31,95876288 PONTO-6: Y6 ' = X 6 − X 4 + Y4TgAZ 48r + Y6 CotgAZ 48r TgAZ 48r + CotgAZ 48r X 6 ' = X 4 + (Y6' − Y4 ) * TgAZ 48r Y6’ = 69,17525773 X6’ = 41,8556701 PONTO-7: Y7 ' = X 7 − X 4 + Y4TgAZ 48r + Y7 CotgAZ 48r TgAZ 48r + CotgAZ 48r X 7 ' = X 4 + (Y7 ' − Y4 ) * TgAZ 48r Y7’ = 97,01030928 X7’ = 54,22680412 Cálculo dos Azimutes, ângulos horizontais e distâncias à reta principal. AZ 4 5 = ArcTg X5 − X4 Y5 − Y4 AZ 45 = 9°27'44,36" AZ 5 5 ' = ArcTg X 5' − X 5 + 180 Y5' − Y5 AZ 55 ' = 113°57'44,9" A5 = (180 − AZ 4 5 ) + AZ 5 5 ' A5 = 284°30’01” D5 5 ' = ( X 5 ' − X 5 ) 2 + (Y5' − Y5 ) D55 ' = 7,62m à esquerda AZ 56 = ArcTg X6 − X5 Y6 − Y5 AZ 56 = 36°52'11,63" AZ 6 6 ' = ArcTg X 6' − X 6 + 180 Y6 ' − Y6 AZ 66 ' = 113°57'44,9" A6 = (180 − AZ 56 ) + AZ 66 ' A6 = 257°05’33,33” D66 ' = ( X 6' − X 6 ) 2 + (Y6 ' − Y6 ) D66 ' = 2,03m AZ 67 = ArcTg X7 − X6 Y7 − Y6 à esquerda AZ 67 = 56°18'35,76" 86 AZ 77 ' = ArcTg X 7' − X 7 + 360 Y7 ' − Y7 AZ 77 ' = 293°57'44,9" A7 = (180 − AZ 67 ) + AZ 77 ' A6 = 57°39’09” D77 ' = ( X 7 ' − X 7 ) 2 + (Y7 ' − Y7 ) D77 ' = 17,26m à direita OBS.: O ponto estará a ESQUERDA da reta, quando o ângulo for superior a 180°. E estará a DIREITA quando o ângulo for menor do que 180°. Exemplo 2: Calcule a distância e o ângulo que devo utilizar para alinhar os pontos de 2 a 8 sobre a reta 1-9. Nesse exemplo daremos as respostas diretas, calculadas no programa da máquina, e deixaremos como proposta que o aluno faça o desenvolvimento para exercitar. Coordenadas dos pontos: 1 ( 0; 0) 2 ( 10 ; 20 ) 3 ( 20 ; 60 ) 4 ( 50 ; 40 ) 5 ( 60 ; 70 ) 6 (100 ; 50 ) 7 (140 ; 60 ) 8 (150 ; 90 ) 9 (170 ; 120) ÄDistância dos pontos para chegar a reta 1-9. A1) dpr2 = 10,57m positivo, portanto a esquerda. A2) dpr 3 = 37,48m positivo, a esquerda. A3) dpr 4 = 3,84m positivo, a esquerda. A4) dpr5 = 22,59m positivo, a esquerda. A5) dpr 6 = - 16,82 m negativo, a direita. A6) dpr 7 = - 31,72m negativo, a direita. A7) dpr8 = - 12,98m negativo, a direita. 87 ÄÂngulos dos pontos para chegar a reta 1-9. B1) 2 = 298° 13' 02'' B2) 3 = 310° 44'46'' B3) 4 = 201° 05'32'' B4) 5 = 306° 20'51'' B5) 6 = 28° 13'02'' B6) 7 = 68° 49'07'' B7) 8 = 126° 20'51'' Exercício 01: Calcule a distância e o ângulo que devo utilizar para alinhar os pontos de 2 a 9 sobre a reta 1-10. Coordenadas: 1 ( 0;0 ) 2 ( 10; 40 ) 3 ( 50 ; 60 ) 4 ( 60 ; 100 ) 5 ( 130 ; 110 ) 6 ( 160 ; 120 ) 7 ( 170 ; 160 ) 8 ( 160 ; 200 ) 9 ( 190 ; 220 ) 10 ( 210 ; 220 ) 21. DADOS DO RN DA UFSM 1792 H Localização: Arco da UFSM Latitude: - 29°42’02” S Longitude: 53°43’22” O Altitude: 85,6827 m 88 22. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: CARDÃO, Celso. Topografia. V ed. Belo Horizonte, Edições Engenharia e Arquitetura, 1979. 373p. ESPARTEL, L. Curso de Topografia. 5ed. Porto Alegre, Editora Globo, 1977. 655p. GARCIA, G.J. & PIEDADE, G.C.R. Topografia Aplicada às Ciências Agrárias. 5ed. São Paulo, Livraria Nobel S.A. 1989. 256p. GIOTTO, E. SEBEM, E. A Topografia Com o Sistema CR-TP0 6.0. Santa Maria. UFSM, 2001. 357p. JORDAN, W. Tratado General de Topografia. Versión de la 9ed. Alemana, Editorial Gustavo Gili S. A. Barcelona-Espanha. 1957.529p. Tomo I. MARQUES, G.G.M. Topografia Fundamentos Básicos. 1 ed. Santa Maria, 1978. 322p. PASINI, C. Tratado de Topografia. Versión de la 5ed. Italiana, Editorial Gustavo Gili S. A. Barcelona-Espanha, 1960. 615p. ROCHA, A. F. Tratado Teórico e Prático de Topografia. 1 ed. Rio de Janeiro, Reper Editora, 1970. 565p. Tomo I. TRUTMANN, O. El Teodolito e Su Empleo. Heerbrugg, Suiza, Wild Heer-brugg S. A. 1972. 107p. LOCH, C. CORDINI, J. Topografia contemporânea: planimetria. 2ed. Florianópolis, Editora da UFSC, 2000. 321p. 89