Transcript
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
FLUIDOS: ESTÁTICA E HIDRODINÂMICA A maioria das substâncias pode ser classificada em um dos três estados, ou fases: sólido, líquido ou gasoso. Quando submetidos a forças externas, os sólidos tendem a conservar seu volume e sua forma; os líquidos tendem a conservar seu volume, mas não a sua forma; e os gases não conservam nem volume nem forma. Os líquidos e os gases são classificados como fluidos. Estas substâncias facilmente escoarão sob a ação de uma força cisalhante. As diferenças entre as propriedades de um fluido e de um sólido dependem das forças exercidas entre suas moléculas. Pode-se imaginar um sólido como um arranjo tridimensional de moléculas em que cada molécula é unida à sua vizinhança através de forças geradas por elementos análogos a um conjunto de molas, sendo capaz de gerar uma força reativa oposta a uma força aplicada em qualquer direção. Em um líquido, as forças intermoleculares são relativamente fracas, ao contrário do acontece nos sólidos, o que propicia, a estes, grande estabilidade. Nos gases, as forças intermoleculares são muito fracas, e o espaçamento médio entre as moléculas é maior do que nos líquidos e nos sólidos. Tanto os gases quanto os líquidos podem escoar quando a eles são aplicadas forças relativamente fracas. Geralmente, é mais conveniente analisar os fluidos utilizando as leis que dependem do comportamento estatístico das partículas ou que envolvem as propriedades médias ou específicas, como pressão, massa específica e temperatura. PRESSÃO A capacidade de escoar impossibilita um fluido de sustentar uma força paralela à sua superfície. Sob condições estáticas, a única componente paralela de força que necessariamente deve ser considerada é a que atua na direção normal ou perpendicular à superfície do fluido. A intensidade da força normal por unidade de área da superfície é chamada de pressão. A pressão é uma grandeza escala. Logo, podemos defini-la como
p=
F A
(1)
A pressão possui as dimensões de força dividida por área (N/m2), essa unidade, segundo o SI, recebe o nome de Pascal (Pa).
1
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
DENSIDADE Quando dizemos que o ferro é “mais pesado” do que o alumínio, que queremos dizer realmente? Certamente não pretendemos que qualquer pedaço de ferro seja mais pesado do que qualquer pedaço de alumínio, e sim que dados dois volumes iguais de ferro e de alumínio, o ferro pese mais e, assim, tenha mais massa. Isto se traduz por massa por unidade de volume, ou densidade, de uma substância
ρ=
m V
(2)
onde m é a massa e V o volume. A dimensão da densidade é massa dividida por volume, e sua unidade no SI é quilograma por metro cúbico (kg/m3). A Tabela 1 mostra algumas massas específicas. Material
Densidade, kg/m3
Material
Densidade, kg/m3
Alumínio
2,7 x 103
Gelo
0,92 x 103
Cobre
8,9 x 103
Madeira
0,7 x 103
Ouro
19,3 x 103
Sangue
1,05 x 103
Ferro ou aço
7,8 x 103
Mercúrio
13,6 x 103
Chumbo
11,3 x 103
Água
1,00 x 103
Platina
21,4 x 103
Água do mar
1,03 x 103
Osso
1,8 x 103
Ar
1,29
Concreto
2,4 x 103
Hélio
0,179
Hidrogênio
0,090
Vidro
3
2,6 x 10
Tabela 1. Massa específica de alguns materiais
VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE Embora a pressão em um fluido estático seja a mesma para uma determinada profundidade, a pressão varia efetivamente com a posição vertical, em razão do peso do fluido. Para deduzirmos a pressão em relação a densidade e profundidade, iremos considerar um fluido de densidade ρ em repouso num recipiente como o da Figura 1 abaixo. Consideraremos um cilindro imaginário nesse fluido. A força resultante dFR que esse fluido exerce sobre o cilindro é
2
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
Fig. 1. Pequeno elemento de fluido num recipiente
pA + ( p + dp ) A = dFR Mas, como o cilindro está em repouso, essa força deve ser igual ao peso do cilindro. Deste modo, teremos: − dpA = dFR = gdm Mas, dm = ρ dV = ρ Ady
Ou seja, dp = − ρ gdy
Logo, teremos p2
y2
p1
y1
∫ dp = − ρ g ∫ dy ⇒ p2 − p1 = − ρ g ( y2 − y1 )
Considerando que a pressão aumenta com a profundidade, vamos definir a profundidade y2 como (h), a pressão a essa profundidade é p e à superfície, po. Desse modo, teremos
p = p0 + ρ gh
(3)
O que nos mostra que a pressão varia linearmente com a profundidade. VARIAÇÃO DA PRESSÃO NA ATMOSFERA Para os gases, ρ é de valor comparativamente pequeno (em relação aos líquidos), e a diferença na pressão entre dois pontos vizinhos é geralmente desprezível. A pressão do ar varia substancialmente quando se consideram grandes alturas na atmosfera. Além disso, uma vez que os gases são compressíveis, a variação na pressão causa uma variação na massa específica ρ com a altitude y. 3
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
Pode-se obter uma aproximação razoável para a variação da pressão com a altitude na atmosfera terrestre, admitindo-se que a massa específica ρ seja proporcional á pressão. Esta consideração é muito próxima da realidade. Utilizando esta hipótese e admitindo-se que a variação de g com a altitude seja desprezível, pode-se obter a pressão p a uma altitude y qualquer acima do nível do mar. Vimos que dp = − ρ gdy
Uma vez que ρ é proporcional a p, infere-se que ρ p = ρ 0 p0
onde ρ o e po são os valores da massa específica e da pressão ao nível do mar. Assim, gρ dp = − 0 dy p p0
Integrando ambos os membros p1
h
gρ dp ∫p p = −∫0 p00 dy 0 Que nos fornece ln
gρ p =− 0h p0 p0
Ou, −
p = p0 e
g ρo h po
(4)
Pressão Atmosférica É a pressão exercida num corpo devido à atmosfera. O instrumento utilizado para medir a pressão atmosférica é o barômetro, inventado por Evangelista Torricelli (1608-1647). A Fig. 2 mostra um barômetro de mercúrio, semelhante ao utilizado por Torricelli. A pressão atmosférica é: ௧ = 1 = 1,013 10ହ
4
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
Fig. 2. Barômetro de mercúrio Pressão manométrica É a diferença entre a pressão absoluta (total) e a atmosférica. Consideremos a Figura abaixo, onde a pressão absoluta é dada por:
p = patm + ρ gh
(5)
Se p = 0, então h = 10 m para a água e 760 mm para o mercúrio.
Fig. 3. Manômetro de tubo aberto O PRINCÍPIO DE PASCAL A pressão aplicada a um fluido estático incompressível fechado se transmite igualmente a todas as partes do fluido. Assim, concluímos que F1 F2 = A1 A2
(6)
5
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
(a)
(b)
Fig. 3. (a) Aplicação do teorema de Pascal (b) Prensa hidráulica O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido sofre uma força igual em módulo ao peso do fluido deslocado e dirigida para cima segundo uma reta. Chamamos essa força de Empuxo, e é definida como E=P
(7)
onde E é o empuxo e P (=mg) é o peso do fluido deslocado. Assim, o empuxo é
ܸ݃ߩ = ܧ
(8)
onde ρ é a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e V o volume deslocado. FLUIDOS EM MOVIMENTO Fluidos podem se mover ou escoar de várias maneiras. A água pode fluir suave e vagarosamente em um córrego tranquilo ou violentamente numa queda-d’água. O ar pode formar uma brisa suave ou um tornado violento. Para lidar com tal diversidade, é útil identificar alguns dos tipos básicos de escoamento de fluidos. O escoamento de um fluido pode ser permanente ou não-permanente. No escoamento permanente, o vetor velocidade das partículas de fluido em qualquer ponto é constante com o passar do tempo. Enquanto que no escoamento não-permanente, o vetor velocidade sempre varia em um ponto com o passar do tempo. O escoamento turbulento é um tipo extremo de escoamento não permanente e ocorre quando existem obstáculos pontudos ou existem curvas na trajetória de um fluido se movendo rapidamente.
6
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
O escoamento de um fluido pode ser compressível ou incompressível. A maioria dos fluidos é praticamente incompressível; ou seja, a massa específica de um líquido permanece quase constante quando a pressão varia. Em contraste, os gases são altamente compressíveis. O escoamento de um fluido pode ser viscoso ou não-viscoso. Um fluido viscoso, como o mel, não escoa prontamente e dizemos que ele possui uma grande viscosidade. Em contraste, a água é menos viscosa e escoa mais prontamente; a água possui uma viscosidade menor do que a do mel. Embora nenhum fluido real possua viscosidade nula a temperaturas usuais, alguns fluidos possuem viscosidade tão pequena que pode ser desprezada. Um fluido não-viscoso e incompressível é chamado fluido ideal. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Você já usou o seu polegar para controlar o fluxo de água saindo pela extremidade de uma mangueira? Em caso afirmativo, você percebeu que a velocidade da água aumenta quando o seu polegar reduz a área da seção transversal da abertura da mangueira. Este tipo de comportamento de um fluido é descrito pela equação da continuidade. Esta equação expressa a seguinte idéia: Se um fluido entrar por uma extremidade de um tubo numa certa taxa, então o fluido também deve sair a mesma taxa. A massa do fluido por unidade de tempo que escoa por um tubo é chamada fluxo de massa.
Fig. 4. Fluido escoando pelo tubo Observando a Figura 4 percebemos que o fluxo de massa na posição 1 é Fluxo de massa posição 1 =
∆m1 = ρ1 A1v1 ∆t
Fluxo de massa posição 2 =
∆m2 = ρ 2 A2 v2 ∆t
7
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
O fluxo de massa possui o mesmo valor em todas as seções ao longo de um tubo que possui uma única seção de entrada e uma única seção de saída para o escoamento do fluido. Assim, teremos que ρ1 A1v1 = ρ 2 A2v2 A massa específica de um fluido incompressível não se altera durante o escoamento, logo ρ1 = ρ 2 , e a equação da continuidade se reduz a
A1v1 = A2v2
(8)
Onde A é a área de seção transversal do tudo (em m2) e v a velocidade escalar do fluido (em m/s). A grandeza Av representa o volume do fluido por segundo que passa pelo tubo, sendo conhecida como a vazão Q (em m3/s) Q = Av
EQUAÇÃO DE BERNOULLI A Equação de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido em movimento.
Fig. 5. Fluido em movimento num tubo que possui diâmetro e altura variável
8
(9)
Universidade Federal do Piauí
Prof. Robson de S. Nascimento
Para deduzir a equação de Bernoulli, consideremos a Figura 5. A porção do fluido de massa m que está entre 1 e 1´ sofrerá uma variação na energia potencial ao chegar em 2, dada por: ∆U = mg ( y2 − y1 ) = ρ g ∆V ( y2 − y1 ) Mas, a variação da energia cinética é dada por: ∆K =
1 m(v22 − v12 ) = ρ∆V (v22 − v12 ) 2
A força para empurrar a massa m em A1 se contrapõe a F2 que realiza um trabalho negativo dado por: F1 = p1 A1 ⇒ W1 = p1 A1∆x1
e
F2 = p2 A2 ⇒ W2 = − p2 A2 ∆x2
Logo, o trabalho total será: WT = W1 + W2 = ( p1 − p2 )∆V Assim, o teorema do trabalho-energia nos fornece: ( p1 − p2 ) ∆V = ρ g ∆V ( y2 − y1 ) +
1 ρ∆V (v22 − v12 ) 2
Então, teremos: p1 + ρ gy1 +
1 2 1 ρ v1 = p2 + ρ gy2 + ρ v22 2 2
A equação 10 é denominada de Equação de Bernoulli.
9
(10)
