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Universidade Federal de Uberlândia
Exercícios propostos de RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1
PROJETO PIBEG
Bolsistas: Renata Cristina de Castro Gomide Luciano Barros da Silva
Profª. Eliane Regina Flores Oliveira
ÍNDICE Unidade 1 – Solicitação Axial -------------------------------------------------------- 2 Tubo de Parede Fina ---------------------------------------------------------- 10 Unidade 2 – Cisalhamento Puro ---------------------------------------------------- 13 Unidade 3 – Estudo das Tensões em um ponto ----------------------------------- 18 Unidade 4 – Torção Pura ------------------------------------------------------------- 23 Torção – Seção Retangular --------------------------------------------------- 28 Molas Helicoidais ------------------------------------------------------------- 29 Unidade 5 – Momento de Inércia --------------------------------------------------- 31 Produto de Inércia ------------------------------------------------------------- 33 Unidade 6 – Flexão Simples --------------------------------------------------------- 37 Flexão Composta -------------------------------------------------------------- 41 Unidade 7 – Estado Plano de Tensão ---------------------------------------------- 45 Unidade 8 – Deflexão ---------------------------------------------------------------- 51 Respostas ------------------------------------------------------------------------------ 65
1
UNIDADE 1 – SOLICITAÇÃO AXIAL 1 – Três barras iguais, são articuladas entre si e nas extremidades, como indica a figura. Determinar a força normal em cada barra, proveniente de P, e o deslocamento vertical de seu ponto de aplicação. As barras têm o mesmo comprimento, a mesma área de seção transversal e são de mesmo material.
P B 60
C
, 0°
°
12
0 12
0°
A
D
2 – Os arames de aço BE e DF, com 25 mm de diâmetro (E = 2×106 Kgf/cm²), estão esticados na ocasião da aplicação da força de 200 Kgf em C. Considerando a barra AD rígida, determinar: a) A tensão em cada arame; b) O deslocamento do ponto C.
F 0,4 m
0,5 m
E
A
D
C
B
200Kgf
1m
1m
2
1m
3 – Seja uma barra ABC, considerada rígida, articulada em A e fixada em C através de um tirante de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²). A área de seção transversal para o tirante de aço é 2 cm² e do bloco de alumínio (E = 0,7×106 Kgf/cm²) é 6 cm². Sabendo-se que as tensões normais admissíveis para o aço e para o alumínio valem 1400 Kgf/cm² e 600 Kgf/cm², pede-se determinar o maior valor que P pode assumir respeitando os limites estabelecidos nas tensões de projeto. D
50 cm
A
B P
C
0.005 cm 10 cm
30 cm
30 cm
40 cm
4 – Um tubo de aço (E = 30×106 psi , α = 6,5×10-6 /°F), de diâmetro externo igual a 2” e diâmetro interno igual a 1 ¾” , está envolvendo um cilindro de latão (E = 14×106 psi , α = 10,4×10-6 /°F), de 1 ½” de diâmetro. Ambos estão ligados a placas rígidas nas extremidades. À temperatura de 80 °F as tensões normais são nulas. Se elevar a temperatura à 250 °F, qual a tensão normal no aço e no latão?
Aço
1 3/4"
1 1/2"
2"
Latão
3
5 – Uma barra é composta de uma placa de aço (E = 30×106 psi) e duas placas de cobre (E = 13×106 psi). As extremidades estão unidas a placas rígidas, e o conjunto está submetido a uma carga normal axial de tração P. Todas as barras tem 4” de largura. A barra de aço tem ¾” de espessura e as barras de cobre tem ¼” de espessura cada. A resistência do aço é de 80.000 psi e do cobre é 30.000 psi. Adotando um coeficiente de segurança igual a 3, determinar o máximo valor que P pode assumir.
P
P
6 – A barra rígida AD é articulada em A e nas extremidades B e D das barras BC de latão e DE de aço. A temperatura de BC diminui de 20°C e a temperatura de DE aumenta de 20°C. Desprezada a influencia do peso próprio e a possibilidade de flambagem, pede-se as tensões normais nas barras BC e DE. DADOS: Latão – A = 6 cm² ; E = 0,98×106 Kgf/cm² ; α = 18,7×10-6 /°C Aço – A = 3 cm² ; E = 2,1×106 Kgf/cm² ; α = 11,7×10-6 /°C
E 25 cm B
A
D 30 cm C 25 cm
40 cm
4
7 – No sistema da figura abaixo, os tirantes A e C, e o bloco B, são extensíveis e os cotovelos D e E são considerados rígidos. Determinar o máximo valor que a carga P pode assumir, se as tensões normais axiais, não devem exceder a 1.400 Kgf/cm² para o material A e 200 Kgf / cm² para o material B. DADOS: Material A – Aço: A = 3 cm² ; E = 2,1×106 Kgf/cm² Material B – Concreto : A = 4 cm² ; E = 0,14×106 Kgf/cm² Material C – Latão : A = 1 cm² ; E = 1×106 Kgf/cm²
0,8 m
A
0,35 m
0,15 m
C D E
P 0,1 m
0,1 m
0,006
0,2 m 0,3 m
B
8 – O corpo rígido de peso P da figura, é suportado por uma barra de aço de 20 ft de comprimento. O corpo pende na posição indicada quando a temperatura é de 120 °F. Determinar o maior valor que P pode assumir se a tensão normal na barra de aço não pode exceder de 20.000 psi, quando a temperatura reduz a 20°F. DADOS: α = 6,5×106 /°F E = 30×106 psi
0.2 in
anteparo
20 ft anteparo
0,1 in P
5
9 – Os parafusos de aço (E = 2×106 Kgf/cm²) BE e CD, com 16 mm de diâmetro, são rosqueados nas extremidades com rosca de 2,5 mm de passo. Após ser perfeitamente ajustada a rosca em C é apertada uma volta. Determinar: a) A tensão no parafuso CD; b) O deslocamento do ponto C da barra rígida ABC.
A 40 cm B D
E
25 cm
C 3m
2m
10 – Um cilindro de alumínio e outro de bronze, perfeitamente centrados, são presos entre placas rígidas que se podem apertar tensionando os eixos de aço, como se observa na figura. Determinar as tensões que aparecem no alumínio e no bronze e a tensão normal nos eixos de aço, quando se aperta os eixos de aço girando a porca de uma volta. O passo da rosca do parafuso (eixo de aço) é de 0,1 cm. DADOS: Alumínio - A = 12 cm² ; E = 0,7×106 Kgf/cm² Bronze - A = 18 cm² ; E = 0,84×106 Kgf/cm² Aço - A = 4,5 cm² para cada eixo ; E = 2,1×106 Kgf/cm² 3
9 cm
12 cm
Bronze
Alumínio
6
3
11 – A barra rígida, horizontal, AB é presa em três barras verticais como se mostra na figura. O peso próprio das barras é desprezível e não há tensões, antes da aplicação da carga de 12 t. A barra central é de latão, a da esquerda é de aço e a da direita é de cobre. Admita-se que, ao aplicar a carga de 12 t, se acreça a temperatura das barras de 22,5°. Pede-se: a) A tensão em cada barra, sabendo-se que, quando assim solicitada, a posição final de AB é horizontal; b) A posição x da carga de 12t. DADOS: Latão Aço Cobre L=2m L=3m L = 2,5 m A = 3,5 cm² A = 1,5 cm² A = 2 cm² 6 6 E = 0,98×10 Kgf/cm² E = 2,1×10 Kgf/cm² E = 1,19×106 Kgf/cm² α = 18,7×10-6 /°C α = 11,7×10-6 /°C α = 16,7×10-6 /°C
Aço
Latão 90 cm
60 cm
A
Cobre B
x
12 t 12 – A barra rígida CDE é presa ao apoio E através de um pino e se apóia no cilindro BD de 3,0 cm de diâmetro. Um parafuso de 2,2 cm de diâmetro, passa por um furo na barra rígida em C, e é fixo por uma porca simplesmente ajustada. A montagem é feita, à temperatura de 20°C, e não leva nenhuma tensão a esta temperatura. A temperatura do cilindro BD, que é de cobre, é elevada até à temperatura de 50°C, enquanto que a temperatura do parafuso, que é de aço permanente inalterada. Para esta situação, pede-se determinar a tensão normal no parafuso de aço e a tensão normal no cilindro de cobre. DADOS: Aço – E = 2,1×106 Kgf/cm² ; α = 11,7×10-6 /°C Cobre – E = 1,0×106 Kgf/cm² ; α = 16,7×10-6/ °C
7
45 cm
30 cm
E
D
C
30 cm 90 cm B
13 – Na figura a barra BCD é rígida. Determinar a seção transversal do cabo AB, se a tensão admissível do mesmo é 2000 Kgf/cm². DADOS: l = 200 cm K = 10.000 Kgf/cm EAB = 2,1×106 Kgf/cm² P = 1000 Kgf
D
A
P
l B
C
l 2,5 l
14 – Para o sistema mostrado, a barra C e o suporte D são considerados rígidos. Os parafusos A e B são de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), com mesma área de seção transversal A = 1 cm². Pede-se: a) Determinar as tensões normais que aparecerão nos pinos A e B quando a porca no topo do pino B sofrer o avanço de uma volta. O passo da porca em referência é de 0,1 cm;
8
b) Quanto deveria avançar a porca B (a partir da posição inicial) de modo a induzir uma tensão axial de 2000 Kgf/cm² no pino A e quais seriam as deformações axiais nos pinos A e B?
200 mm
125 mm
C 1.500 mm
D
A
B
15 - A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apóia no cilindro de latão BD de 30 mm de diâmetro. Um parafuso de 22 mm de diâmetro, passa por um furo na barra em C, e é fixo por uma porca simplesmente ajustada. A montagem feita à temperatura de 20°C, não leva nenhuma tensão à estrutura. A temperatura do cilindro de latão é aumentada para 50°C, enquanto o parafuso, tem sua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condições a tensão normal no cilindro de latão e a tensão normal no parafuso de aço. DADOS: Barra AC:Aço – E = 200×109 Pa ; α = 12×10-6 /°C Cilindro BD:Latão – E = 105×109 Pa ; α = 18,8×10-6 /°C
0,3 m
0,45 m
C
E D 0,9 m
0,3 m B A 9
TUBO DE PAREDE FINA 1 – Seja um tubo de alumínio (E = 0,7×106 Kgf/cm²), revestido com um tubo de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), coaxialmente. À temperatura ambiente os dois tubos se ajustam perfeitamente (sem folga e sem pressão entre os mesmos). Determinar: a) A pressão que aparecerá entre os dois tubos, se elevar a temperatura à 20 °C; b) A tensão circunferencial em cada tubo. Aço 0.6 cm
0.4 cm
Alumínio
2 – São dados dois tubos com as seguintes características: Tubo A: Material: aço Tubo B: Material: latão 6 E = 2,1×10 Kgf/cm² E = 1×106 Kgf/cm² Espessura: e A = 0,6 cm Espessura: e B = 0,8 cm r int = r A = 49,9 cm r ext = r B = 50 cm Pede-se: a) A pressão de contato entre os dois tubos, quando se introduz o tubo B em A; b) Tensões normais circunferênciais atuantes nos tubos A e B.
0 ,6
0,8 cm
B cm
A
49
,
m 9c
10
50, 0 c m
50 cm
3 – O depósito da figura abaixo é construído com chapas de espessura igual a 3 mm. Sabendo-se que o mesmo está sujeito a uma pressão interna de 12 Kgf/cm², pede-se as tensões que atuam nas paredes do depósito.
60 cm
4 – Um bastidor (equipamento utilizado para pressionar tecido) é formado por dois anéis, que quando soltos, têm as seguintes dimensões: o menor: espessura eA e raio rA o maior: espessura eB e raio rB Conhece-se o módulo de elasticidade (E = 1×105 Kgf/cm²) do material dos anéis e a distância que deve mediar entre eles, quando apertam o tecido com a pressão exigida p. Pergunta-se qual deve ser o valor rB, sendo conhecido rA . DADOS: eA = eB = 0,5 cm rA = 20 cm p = 6,0 Kgf/cm² d = 0,2 cm
rB rA eB
eA
11
5 – Um tubo de cobre (E = 1,2×106 Kgf/cm²), com raio externo de 30 cm, é revestido coaxialmente, por um tubo de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²). Após a operação de encaixe do tubo de cobre e o tubo de aço, aparece entre os dois tubos uma pressão de contato igual a 10 Kgf/cm². Pergunta-se: qual é o valor do raio interno do tubo de aço? DADOS: espessura do tubo de cobre = 0,8 cm Espessura do tubo de aço = 0,6 cm Aço
Cobre
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UNIDADE 2 – CISALHAMENTO PURO 1 – Determinar a força P necessária para produzir um furo de 2,5 cm de diâmetro na chapa de aço ao lado, cuja espessura é de 3/8”. A chapa de aço em referência tem limite de resistência ao cisalhamento de 3.160 Kgf/cm². Se G = 0,84×106 Kgf/cm², qual a deformação angular no contorno do furo, no instante em que a tensão de cisalhamento for igual a 1.500 Kgf/cm².
3 8"
2 – Seja um pino com diâmetro de 1,2 cm, sujeito a carga a 2.000 Kgf. Pede-se: a) A tensão normal; b) A tensão tangencial.
φ = 1,2 cm 2000 kgf
0,8 cm
13
3 – Determinar a tensão de cisalhamento no pino.
N = 1000 kgf
N
φ = 1,6 cm
4 – Um eixo de aço, com diâmetro de 3cm é acoplado à polia, através de uma chaveta, como mostra a figura. O sistema de correias que produzem certa rotação dão origem a um momento igual a 4.000 Kgf×cm. Determinar a tensão cisalhante na chaveta.
0,6
2 cm T2
3 cm
0,4
T1
5 – O dispositivo mostrado é empregado para determinar a resistência ao cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é 1.250 Kgf, qual a tensão média de cisalhamento na junta, por ocasião da ruptura? P
0,5" 1,5"
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6 – A transmissão da carga P = 15.000 lb, do mecanismo abaixo ilustrado, é feito através de dois pinos de mesmo diâmetro. Sabendo-se que a tensão admissível ao cisalhamento dos pinos é de 12.000 psi, determinar qual deve ser o diâmetro de cada pino.
15.000 lbs P
7 – Para o sistema articulado, pede-se: a) O valor de P para manter o mesmo em equilíbrio; b) A tensão de cisalhamento no pino.
P
30°
20 cm
O 40 cm
15
1.000 Kgf
Φ =1 cm
8 – No suporte da figura, a haste ABC tem, na parte superior 9 mm de espessura, e na parte inferior 6 mm de espessura de cada lado. Uma resina a base de epoxy é usada para colar as partes superior e inferior da haste, no ponto B. Os pinos no ponto A e C têm 9 mm e 6 mm de diâmetro, respectivamente. Determinar: a) A tensão de cisalhamento no pino A; b) A tensão de cisalhamento no pino C; c) A maior tensão normal na haste ABC; d) A tensão média de cisalhamento nas superfícies coladas no ponto B. D
A 32 mm B 152 mm 45 mm
C
178 mm E 2200 N
25 mm 12 mm
9 – Na estrutura de aço mostrada, um pino de 6 mm de diâmetro é usado em C, enquanto que em B e D usam-se pinos de 10 mm de diâmetro. A tensão de cisalhamento para todas as ligações é de 150 MPa, e a tensão normal é de 400 MPa na viga BD. Sendo o coeficiente de segurança igual a 3 determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. 18 mm
Vista lateral D
Vista frontal
D
B
A B P
6 mm
C
160 mm
120 mm
Vista superior A
B
16
C
10 – O esquema abaixo representa um trem de pouso de avião, AB forma um ângulo de 53° com BC. a) Determinar a tensão de compressão na barra AB, produzida na aterrizagem por uma reação no solo de 2000 Kgf. b) Os pinos A e B trabalham a corte duplo e o pino em C a corte simples. Determinar os diâmetros necessários se a tensão cisalhante admissível é de 560 Kgf/cm².
Tirante oco D ext. = 4,2 cm D int. = 3,2 cm
A
B C 20 cm
45 cm
R 11 – A figura abaixo, mostra a união de um apoio de uma estrutura de madeira. Pede-se determinar o menor valor que a dimensão b pode assumir, se a tensão admissível ao cisalhamento da madeira é de 9 Kgf/cm².
P = 4200 Kgf
b
30° 15 cm
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UNIDADE 3 – ESTUDO DAS TENSÕES EM UM PONTO 1 – Para os estados de tensão esquematizados abaixo, pede-se: a) Esboçar o círculo de Mohr; b) Determinar as tensões normais principais; c) Determinar a máxima tensão tangencial; d) Posicionar as direções principais do ponto; e) Posicionar a direção da máxima tensão tangencial.
300 Kgf/cm2
800 Kgf/cm2
500 Kgf/cm2
1200 Kgf/cm2
400 Kgf/cm2
600 Kgf/cm2
60 MPa
80 MPa
30 MPa
2 – Um tubo de parede fina, está submetido a uma pressão de 15 Kgf/cm². Sabendo-se que o raio do tubo é de 50 cm e sua espessura é de 2 cm, pede-se: a) Isolar um ponto e traçar o círculo de Mohr; b) As tensões principais; c) A máxima tensão tangencial.
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3 – As tensões mostradas, atuam em um ponto de um membro estrutural. A tensão principal de tração é conhecida, sendo de 1.200 Kgf/cm². Determine: a) A tensão tangencial máxima no ponto; b) A orientação dos planos nos quais a tensão do item a atua; c) A tensão tangencial no plano horizontal.
τ yx 800 Kgf/cm2
4 – Em um ponto de uma região sob tensão, num plano vertical há uma tensão normal de 130 MPa de tração e uma tensão tangencial negativa desconhecida. A tensão principal máxima no ponto é de 150 MPa de tração e a tensão tangencial máxima tem uma magnitude de 100 MPa. Determinar as tensões desconhecidas nos planos vertical e horizontal, assim como as tensões principais num esboço. 5 – Em um ponto de um corpo sob tensão, existem sobre os planos horizontal e vertical tensões, como na figura. As tensões principais no ponto são de 100 MPaC e de 30 MPaT. Determine σx e σy e mostre sobre um esboço completo as tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto. σx
σ
y
25 MPa
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6 – A placa de seção transversal (3×5) cm² , é construída de duas peças de madeira coladas na direção indicada θ = 30º. Sabendo-se que esta placa está suportando uma carga P = 450 Kgf, conforme a figura, pede-se: a) Determinar a tensão normal de tração no plano da seção transversal; b) Determinar a tensão normal e a tensão tangencial no plano da cola (plano θ), usando as propriedades do círculo de Mohr.
5 cm
30°
P = 450 Kgf
3 cm
cola
7 – Dado um tubo de parede fina, usado para armazenar gás a uma pressão interna de 12 Kgf/cm², com diâmetro médio de 0,8 m e cuja espessura do mesmo é de 0,6 cm. Pede-se determinar as tensões normal e tangencial atuantes no cordão de solda indicado. OBS: A espessura do cordão de solda é a mesma espessura da parede do tubo.
y
30°
x z
20
cordão de solda
8 – O Círculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: a) Colocar as tensões no plano y e no plano x adequadamente; b) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante; c) Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 30° antihorário do plano y. 120
y Ponto A
80
0
σ
C
30°
y
x
x
(Kgf/cm²) 9 – Para o estado de tensão esquematizado abaixo, pede-se: a) Esboçar o círculo de Mohr; b) Determinar as tensões normais principais; c) Determinar a máxima tensão cisalhante; d) Posicionar as direções principais do ponto; e) Posicionar a direção da máxima tensão cisalhante. f) Usando as propriedades do círculo de Mohr, determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 65° anti-horário em relação ao plano y.
800 Kgf/cm2 65°
y
400 Kgf/cm2 600 Kgf/cm2
21
x
10 - Para o estado de tensão esquematizado abaixo, pede-se: a) Esboçar o círculo de Mohr; b) Determinar as tensões normais principais; c) Determinar a máxima tensão cisalhante; d) Posicionar as direções principais do ponto; e) Posicionar a direção da máxima tensão cisalhante. f) Usando as propriedades do círculo de Mohr, determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 45° anti-horário em relação ao plano x.
120 MPa y 45° 40 MPA x
150 MPa
22
UNIDADE 4 – TORÇÃO PURA 1 – Dado um eixo de aço (G = 0,84×106 Kgf/cm²) constituído de um trecho AB com diâmetro de 10 cm e um trecho BC com diâmetro de 7,5 cm. Pede-se: a) O valor de maior tensão tangencial para um ponto de uma seção de trecho AB; b) O valor de maior tensão tangencial para um ponto de uma seção de trecho BC; c) Determinar o ângulo de torção das seções B e C.
90.000 Kgfxcm 60.000 Kgfxcm A
B
C
ø = 7,5 cm
ø = 10 cm
100 cm
70 cm
2 – Sabendo- se que τ = 900 Kgf/cm². Determinar o diâmetro d necessário ao eixo bi-engastado abaixo.
100.000 Kgfxcm
B
A
0,6 m
0,4 m
23
3 – Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial para o eixo mostrado.
4.000 π lbxin
6.000 πlb 4"
4 – Seja um eixo de seção circular vazada, sujeito à ação de um momento torçor T = 60.000 Kgf × cm e uma carga normal de tração de 20.000 Kgf. Para os pontos A e B pede-se: a) Maior tensão tangencial devido ao torçor; b) Maior tensão normal devido à carga normal; c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial. Dados:
Ø ext = 6 cm Ø int = 4 cm T A B
N
l 5 – Seja um eixo como o mostrado na figura. Pede-se: a) Calcular o ângulo de torção da extremidade livre (G = 0,84×106 Kgf/cm²); b) Identificar o ponto mais solicitado, e para este ponto determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial; c) Para este ponto, esboçar o círculo de Mohr. 24
60.000 Kgfxcm 40.000 Kgfxcm A
B
ø
ø
= 6 cm
80 cm
C = 4 cm
30.000 Kgf
40 cm
6 – A barra de alumínio da figura tem G = 4.000 ksi e é rigidamente fixada em C. Mas o apoio A, permite uma rotação de 0,012 rd antes de se tornar rígido. Determinar o máximo torque que poderá ser aplicado em B se a tensão de cisalhamento não deve ultrapassar 7 ksi. A
T 6"
B C 3' 6'
7 – Um eixo de secção circular vazada, com diâmetro externo igual a 5 cm e diâmetro intero a 3 cm, está carregado com uma carga normal axial de compressão e dois torçores ,tal como mostra a figura. Pede-se: a) Diagrama de momento torçor; b) Diagrama de esforço normal; c) Valor do ângulo de torção da extremidade livre; d) Identificar o ponto mais crítico e, para este ponto, determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial; e) Para este ponto esboçar o círculo de Mohr.
25
T2 = 11.000 Kgfxcm T1 = 4.000 Kgfxcm A
C
B
N = 5.000 Kgf
80 cm
50 cm
8 – A figura abaixo, mostra um eixo de secção circular, sendo que parte do mesmo é de secção vazada (80 cm) e parte de secção maciça (50 cm). O mesmo está engastado na extremidade esquerda, e submetido aos seguintes carregamentos: Momento torçor T1 = 500 Kgf × cm; Momento torçor T2 = 1300 Kgf × cm; Carga Axial N = 20.000 Kgf O diâmetro externo do referido eixo, vale 6 cm e o diâmetro interno vale 4 cm. Pede-se: a) Diagrama de momento torçor; b) Diagrama de esforço normal; c) Valor do ângulo de torção da extremidade livre (G = 0,84×106 Kgf/cm²); d) Identificar o ponto mais crítico e, para este ponto, determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante (esboçar o círculo de Mohr). T2 = 1.300 Kgfxcm T1 = 500 Kgfxcm A
C
B
N = 20.000 Kgf
6 cm 50 cm
4 cm
80 cm
26
9 – A figura abaixo, mostra um eixo de secção circular, sendo que parte do mesmo é de secção vazada (80 cm), com diâmetro externo de 6 cm e diâmetro interno de 4 cm, e parte de secção maciça (50 cm), com diâmetro de 5 cm. O mesmo está engastado na extremidade esquerda, e submetido aos seguintes carregamentos: Momento torçor T1 = 700 Kgf × m; Momento torçor T2 = 200 Kgf × m; Carga Axial N = 15.000 Kgf Pede-se: a) Diagrama de momento torçor; b) Diagrama de esforço normal; c) Valor do ângulo de torção da extremidade livre (G = 0,84×106 Kgf/cm²);; d) Identificar o ponto mais crítico e, para este ponto, determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante (esboçar o círculo de Mohr). T2 = 200 Kgfxm T1 = 700 Kgfxm A
B
C
N = 15.000 Kgf
50 cm
80 cm
27
TORÇÃO – SEÇÃO RETANGULAR 1 – Seja a viga de seção retangular (10×5) cm², de aço (G = 0,8×106 Kgf/cm²), pede-se: a) Ângulo de torção da extremidade livre; b) Tensões normais principais e máxima tensão tangencial para os pontos D, E, c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr. DADOS: para a/b = 2; α = 0,246; β = 0,229; η = 0,795
12.000 Kgfxcm A
E
5 cm
D F
30.000 Kgf
10 cm
1m
2 – Para a viga de seção retangular (10×15) cm², de aço (G = 0,8×106 Kgf/cm²), pede-se: a) Ângulo de torção da extremidade livre; b) Tensões normais principais e máxima tensão tangencial para os pontos A, B, c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr. DADOS: para a/b = 2 ; α = 0,246; β = 0,229; η = 0,795
45.000 Kgfxcm E
C A
15 cm
B 30 cm
1,5 m
28
3.500 Kgf
MOLAS HELICOIDAIS 1 – Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determine a máxima tensão tangencial em B, quando P = 1.200 lb. DADOS: Mola A – n = 8; G = 5,6×106 psi; D = 4 in; d = 0,8 in Mola B – n = 15; G = 6,5×106 psi; D = 3,6 in; d = 0,6 in
P
B
A
D 4"
4"
2"
2 – Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determine a máxima tensão tangencial nas molas A e B, quando P = 900 lb. DADOS: Mola A – n = 8; G = 5,6×106 psi; D = 4 in; d = 0,8 in Mola B – n = 15; G = 6,5×106 psi; D = 3,6 in; d = 0,6 in
900 lb B
A
C
30 "
20 "
29
40 "
3 – Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determinar a carga máxima P para que a tensão nas molas não exceda a 1800 Kgf/cm². DADOS: Mola A – n = 24; G = 8,4×105 Kgf/cm²; D = 10 cm; d = 0,6 cm Mola B – n = 48; G = 4,2×105 Kgf/cm²; D = 15 cm; d = 1,2 cm
B
A
P
C
2 cm
1 cm
2 cm
4 – Uma placa rígida de peso desprezível está apoiada na mola central cujo comprimento é 2 cm maior que o das molas laterais idênticas, simetricamente posicionadas. Cada uma das molas laterais, têm 18 espirais de diâmetro médio igual a 10 cm, construídas com arame de 1 cm de diâmetro. A mola central têm 24 espiras de diâmetro médio igual a 15 cm, construída com arame de 1,8 cm de diâmetro. Sabendo-se que, as três molas são de mesmo material (G = 0,84×106 Kgf/cm²), e que a tensão admissível ao cisalhamento é de 1050 Kgf/cm², pede-se determinar o maior valor que a carga P pode assumir.
P 2 cm A
B
30
A
UNIDADE 5 – MOMENTO DE INÉRCIA 1 – Para as seções representadas, determinar os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais horizontal e vertical. (Cotas em cm).
1
2
3
4
31
5 45
2,5
20x10x2.5
58.75x2.5
60
¯ 2,5 L 20×10×2,5 Ix = 453 cm4
S = 68,8 cm² Iy = 2719 cm4
⎯x = 7,625 cm
⎯y = 2,625 cm
6 y
b
e C
e
x h
y
C
e b A = 10,7 cm² Ix = Iy = 48,2 cm4
A = 15,6 cm Ix = 491 cm4
e = 2,02 cm b = 7 cm
Iy = 45,4 cm4 e = 1,67 cm b = 5,8 cm h = 14 cm
32
x
PRODUTO DE INÉRCIA 2 – Para as seções representadas, determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais horizontal e vertical. (Cotas em cm).
1
2
3
33
3 – Para a seção transversal representada, pede-se: a) Determinar os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais horizontal e vertical; b) Determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais horizontais e vertical. (Cotas em cm).
4 – Dois perfis de 25 cm e 7,65 Kg, são soldados a uma chapa de 30 cm×2,5cm para formar a seção transversal de uma viga. Encontre a distância d para a qual os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais sejam iguais. (Cotas em cm) X0 x
h
Y0
[
d/2
b 25 cm - 7,65 Kg
I X 0 = 2613 cm 4 I Y 0 = 89,8 cm 4
d/2
S = 27,9 cm 2
34
5 – Para a seção transversal constituída por uma área retangular 10×100 mm, e duas cantoneiras L de 89×64×7,6 mm, pede-se: a) Determinar os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais horizontal e vertical; b) Determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais horizontais e vertical. (Cotas em cm).
x1 10 mm
y1
y x L = 89x64x7,6
100 mm
IX1 IY1
= 912x10
3
mm 4
= 391x10 2 A = 1148 mm
3
mm 4
P X 1 y 1 = 349x10
4 3
mm
x = 16 mm y = 29 mm
6 – Para a seção transversal representada, pede-se: a) Determinar os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais horizontal e vertical; b) Determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais horizontal e vertical. 2 A1 = 32,2 cm² A2 = 20,4 cm e1 = 2,01 cm e2 = 1,75 cm 4 4 Ix1 = 1910 cm Ix2 = 62,7 cm 4 4 IY1 = 148 cm Iy2 = 605 cm
35
7,5 cm
14 cm
X2 Y2
20 cm
1,75
X1
2,01
Y1
36
UNIDADE 6 – FLEXÃO SIMPLES Para as vigas esquematizadas abaixo, pede-se: a) Diagrama de momento fletor; b) Diagrama de esforço cortante; c) Determinar a maior tensão normal de tração e a maior tensão normal de compressão, devido à flexão.
1) 1200 Kgf
300 Kgf 1,4
600 Kgf/m 1,2 E
B
D 900 Kgfxm 1,5 1,5
3m
A
8
2m
1,4 6 cm
2) 400 Kgf
300 Kgf/m 2 A
B 2m
500 Kgfxm 1
E
1 cm 4 cm
2
2 2 6 cm
37
3)
1
1800 Kgf 200 Kgf/m
A
B
4 cm
D
C
1300 Kgfxm 3
4m
3
1 5 cm
4)
600 Kgf 1,6
800 Kgf/m
400 Kgf/m B
E
A 3m
1200 Kgfxm 2
2
5 cm
D
C 1
F 3m
38
2
5 cm
2
5) 2000 Kgf 400 Kgf /m
1 cm
800 Kgf x m 8 cm
2 cm 6 cm
3m
2m
3m
6) 300 Kgf /m P =1000 Kgf 6 cm 2 cm
600 Kgf x m
5 cm
2 cm
3m
3m
2m
39
7) 1500 Kgf 300 Kgf /m 200 Kgf /m 1300 Kgf x m
2cm 1cm 1cm
3cm
1cm 5cm
3cm
4cm
4cm
40
FLEXÃO COMPOSTA 1 – Uma coluna de seção transversal em I, está submetida à carga de compressão P = 10.000 Kgf, aplicada na posição indicada. Pede-se: a) Posição da L.N.; b) Maior tensão normal de tração; c) Maior tensão normal de compressão. P 1,6 cm
y
1,6 cm
15 cm 2 cm
x 10 cm
2 – Seja uma coluna de seção transversal retangular vazada. O material do qual é constituída a coluna não oferece resistência à tração. Esta coluna suporta uma carga P = 20.000 Kgf de compressão, aplicada sobre o eixo y-y, excêntrica de e. Pede-se: a) A maior excentricidade “e” que pode ser dada a carga (material não resistente à tração); b) Para esta excentricidade determinar a maior tensão normal de compressão. X 5
40
5
P
5
Y
20 5 e
41
Y
3 – Para a estrutura representada, pede-se: a) Posição da L.N.; b) Maior tensão normal de tração; c) Maior tensão normal de compressão. Desprezar o efeito do cortante na seção analizada. Z Detalhe da Seção
P = 400 Kgf 350cm
Y X 6cm 10cm
90 cm
4 – Para a estrutura representada, pede-se: a) Posição da L.N.; b) Maior tensão normal de tração; c) Maior tensão normal de compressão.
B
2cm
F F
B
1cm 2cm 3cm
15cm
42
1cm
5 – Para a estrutura representada, pede-se: a) Posição da L.N.; b) Maior tensão normal de tração; c) Maior tensão normal de compressão.
5cm
30cm
5cm
30 tf 5cm 40cm
10 tf 5cm
6) A figura abaixo, mostra um grampo utilizado para prender peças. Se seu material é ferro fundido, com tensão normal admissível a tração de 400 Kgf/cm² e tensão normal admissível a compressão de 900 Kgf/cm², pergunta-se qual é a capacidade (Pmáx) deste grampo.
A
A
15cm
4,0cm
0,8
P P
6,0cm
43
1,0cm
7) Para a coluna dada, pede-se determinar o maior valor que a excentricidade e pode assumir, sabendo-se que o material da coluna tem tensão normal admissível a tração igual a 1.500 Kgf/cm² e tensão normal admissível a compressão igual a 800 Kgf/cm².
1,4
4 cm
600 Kgf
1,6
8 cm e
1,6
8) A figura abaixo, mostra uma coluna de concreto armado, com seção transversal vazada constante, sujeita às cargas uniformemente distribuídas “q”. Para a seção engastada, pede-se: a) Posição da L.N.; b) Maior tensão normal de tração; c) Maior tensão normal de compressão.
B
q = 175 Kgf/m
Seção Engastada
C
5
40
5
z 5
x 5 D A x
Trecho CD = 2 m (paralelo ao eixo z) Trecho BD = 3 m (paralelo ao eixo x) Trecho AB = 6 m (vertical)
z
44
20
UNIDADE 7 – ESTADO PLANO DE TENSÃO 1 – Para a viga mostrada, pede-se: a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor); b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes; c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A, B, C da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos. Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795
400 Kgf 200 Kgf
Y
E
B
300 Kgf
50 cm
4 cm
A
X
C Z
8 cm
80 cm
2 – Para a viga dada, de seção quadrada (5×5) cm², pede-se: a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor); b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes; c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos. Para a/b = 1 : α = 0,208
45
60 cm B A
50 cm 600 Kgf 400 Kgf
800 Kgf
3 – Para o eixo mostrado, pede-se: a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor); b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes; c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos. 80 cm X A
Z
40 cm
B
300 Kgf 6 cm
200 Kgf
46
4 – Para a viga esquematizada abaixo de seção circular vazada, pede-se determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos.
200 Kgf Y
300 Kgf
A
X
B
60 cm
Z
100 cm 6 cm 8 cm
5 – Para a viga dada abaixo, pede-se: a) Diagrama de momentos (fletor e torçor); b) Isolar a seção engastada, colocando adequadament, todos os esforços; c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A, B e C. (Esboçar o círculo de Mohr para cada ponto).
y 40 cm
x
100 Kgf
60 cm
z
Seção Engastada 3 cm
300 Kgf
9 cm
47
6 – Para a manivela mostrada na figura, sabendo-se que a = 4 cm e b = 2 cm, pede-se: a) Diagrama de momentos fletor e torçor; b) Isolar a seção S, mostrando todos os esforços solicitantes; c) Isolar os pontos A e B da seção S, colocando as tensões convenientemente; d) Esboçar o círculo de Mohr e determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para estes pontos. Dados: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 ; β = 0,229
30 cm Seção S
200 Kgf
Y
Z A
b = 2 cm
100 Kgf 40 cm b B
S a
48
X B
a = 4 cm
7 – Para a viga mostrada na figura de seção transversal retangular maciça (6×3) cm², sujeita às cargas Fx = 900 Kgf, Fy = 600 Kgf e Fz = 400 Kgf, pede-se: a) Diagrama de momentos fletor e torçor; b) Isolar a seção engastada, mostrando todos os esforços solicitantes; c) Isolar os pontos C e D da seção engastada, colocando as tensões convenientemente; d) Esboçar o círculo de Mohr e determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para estes pontos. Dados: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 ; β = 0,229
Y D C
80 cm
3 cm
X
6 cm
Z 60 cm
y Fx
x Fz Fy
z
8 – Para a viga mostrada na figura de seção transversal retangular maciça (6×3) cm², sujeita às cargas Fx = 600 Kgf, Fy = 400 Kgf e Fz = 200 Kgf, pede-se: a) Diagrama de momentos fletor e torçor; b) Isolar a seção engastada, mostrando todos os esforços solicitantes; 49
c) Isolar os pontos C e D da seção engastada, colocando as tensões convenientemente; d) Esboçar o círculo de Mohr e determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos C e D, já mencionados. Dados: Para a/b = 2 : α = 0,246 ; η = 0,795 ; β = 0,229
Fy
80 cm
Fx
Seção Engastada Y Z
Fz 30 cm
X
C 3 cm
50
D
6 cm
UNIDADE 8 – DEFLEXÃO 1 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equação de rotação; b) Armar a equação de deflexão; c) Determinar a deflexão para as seções A, B e C.
200 Kgf/m 800 Kgfxm E
A 2m
2m
D
C
B
2m
2m
2 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equação de rotação; b) Armar a equação de deflexão; c) Determinar a deflexão para as seções A, B, C e D.
200 Kgf 100 Kgf/m 400 Kgfxm E B
A 1
2m
C 1
51
F
D 1
1
3 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equação de rotação; b) Armar a equação de deflexão; c)Determinar a deflexão para as seções A, B,C e F.
600 Kgf 400 Kgf/m 800 Kgfxm E A
B 1
2m
C
D
F 2m
2m
2m
4 – Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equação de rotação; b) Armar a equação de deflexão; c) Determinar a deflexão para as seções A, B, C, D, E e H.
5 0 0 K gf 1 2 cm 4 00 K g f/m 6 0 0 K g fx m B A
H 1 m
D
C 1m
2 m
F
E
2 m
2 m
52
2 m
2 0 cm
5 – Para a viga abaixo, sendo dado E = 2,1×106 Kgf/cm², d2y = - M , pede-se: dx2 EI a) Armar a equação de rotação das seções; b) Armar a equação de deflexão das seções; c) Determinar a rotação na extremidade livre E; d) Determinar a deflexão na extremidade livre D.
800 Kgf 600 Kgf/m
M = 1200 Kgfxm
C
B
E
10 cm
D
20 cm F
A
1m
3m
1m
2m
1m
6 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio.
200 Kgf/m
B
A 3m
53
7 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio. 300 K gf 200 K gf/m
B
A 1
1
2m
1
8 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio.
200 Kgf 200 Kgf/m
D E 4m
2m
2m
9 – Para a viga dada, pede-se determinar as reações de apoio.
200 Kgf/m
E
D 6m
3m
54
10 – Determinar o deslocamento vertical do ponto P, usando o teorema de Castigliano. 200 Kgf 100 Kgf/m
P
B
A
3m
1
11 – Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical do ponto A. 50 Kgf
100 Kgf
C
B E
A 1
2m
2m
12 – Usando a Integral de Mohr, determinar o valor da reação vertical VD.
200 Kgf 800 Kgf/m
D
C
A
E 2m
1
55
1
13 – Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical do ponto A e as reações de apoio.
1000 Kgf 200 Kgf/m
B
A
C 1
4m
14 – Usando a Integral de Mohr, determinar o valor da reação vertical VD.
600 Kgf 300 Kgf/m
C
D
A
4m
2m
56
15 – Para a viga de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), e cuja seção transversal é retangular (5×10) cm², pede-se: a) Reação vertical no apoio da direita; b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seção C). Lembre-se: 1cm2 = 10-4 m2 1cm4 = 10-8 m4 1cm = 10-2 m P = 800 Kgf 5 cm
M = 1000 Kgfxm
10 cm
E
D
A
2m
1m
C
1m
16 – Para a viga de aço (E = 2,1×106 Kgf/cm²), e cuja seção transversal é retangular (6×10) cm², pede-se: a) Reação vertical no apoio da direita; b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seção D).
1200 Kgf 200 Kgf/m
6 cm
A B
10 cm C
E
3m
2m
1m
57
D
17 – A viga abaixo tem seção retangular maciça (10×20) cm² e seu material tem módulo de Elasticidade igual a 2,1×106 Kgf/cm². Sabendo-se que d2y = - M , dx2 EI Pede-se: a) Determinar todas as reações de apoio; b) O valor do deslocamento vertical da seção B. 800 Kgf 400 Kgf/m B
10 cm
300 Kgfxm F
D
20 cm A
E
C
3m
1m
2m
1m
1m
18 – A viga abaixo tem seção retangular maciça (10×20) cm² e seu material tem módulo de Elasticidade igual a 2,1×106 Kgf/cm². O apoio intermediário é uma mola, com constante K = 200 Kgf/cm. sabendo-se que d2y = - M , pede-se: dx2 EI a) Determinar todas as raeções de apoio; b) O valor do deslocamento do apoio intermediário ( da mola), em cm.
800 Kgf 600 Kgf/m
1200 Kgfxm
10 cm
20 cm B
A
E
2m
4m
D
3m
58
19 – Dado EI, pede-se o deslocamento horizontal da seção A.
B
C
l2 l1 A P
20 – Determinar o deslocamento horizontal do apoio da direita.
P
A
B
l F
C
l
l
E D
59
21 – Para a viga mostrada abaixo, dado o módulo de elasticidade do material da viga E = 200×106 KN/m² e o momento de Inércia em relação ao eixo em referência I = 200×10-6 m4, pede-se: a) Usando a Integral de Mohr, determinar a deflexão horizontal em A; b) Usando a Integral de Mohr, determinar a rotação do ponto A.
50 KN
C
A
B
5m D
2m
2m
22 – Dada a viga abaixo, determinar o deslocamento vertical do ponto A. AB = BC = CD = DE = l
D
E
B
C
q A
60
23 – Para a viga mostrada abaixo, dado o módulo de elasticidade do material da viga E = 200×106 KN/m² e o momento de Inércia em relação ao eixo em referência I = 150×10-6 m4, pede-se: a) Determinar a deflexão horizontal em C; b) Determinar a rotação do ponto C.
20 KN/m C
B
2m 4m D A
4m
24 – Dada a viga abaixo, determinar o deslocamento vertical do ponto A. AB = BC = CD = l
D
C
B
q A
61
25 – Dado EI = cte, pede-se determinar o deslocamento horizontal da seção da extremidade da direita (ponto A).
P B
C
A
D R
R
R
26 – Para a estrutura espacial da figura abaixo, são dados: EIx , EIy , EIz , GIt . Usando integral de Mohr, pade-se determinar o deslocamento vertical da seção A (extremidade livre). Dados: Segmento AB = 1,0 L Segmento BC = 2,0 L Segmento CD = 3,0 L
P
Y
A X C
Z
B
D
62
27 – A viga ABC, está engastada em A e sustentada em B por um tirante BD. Determinar a tração no tirante BD. DADOS: Material da viga ABC: Aço – E = 2,1×106 Kgf/cm² Material do tirante BD: Alumínio – E = 0,7×106 Kgf/cm² Área da seção transversal do tirante = 2 cm2 D 300 Kgf
400 Kgf/m
4 cm
1m
C
A
6 cm
B
3m
1,2 m
28 – A viga da figura abaixo é de Alumínio, E = 0,7×106 Kgf/cm² e G = 0,26×106 Kgf/cm². A seção transversal é retangular (2×6) cm². Pede-se: a) Traçar os diagramas dos esforços simples (fletor e torçor); b) Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical da seção A. Dados: P = 6 Kgf It = βab3 Para a/b = 3 ; β = 0,241 Y X 6 cm 2 cm
Z
P
D 20 cm
C A
15 cm 10 cm B
63
29 – A viga da figura abaixo é de Alumínio, E = 0,7×106 Kgf/cm² e G = 0,26×106 Kgf/cm². A seção transversal é retangular (2×6) cm². Pede-se: a) Traçar os diagramas dos esforços simples (fletor e torçor); b) Usando Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical da seção A. Dados: P = 6 Kgf It = βab3 Para a/b = 3 ; β = 0,241
Y
D X
6 cm
30 cm
Z
2 cm C
20 cm P
64
B 10 cm y A
RESPOSTAS UNIDADE 1
1 – 0,67 P; 0,33 P; 0,67 Pl/EA 2 – a) 9,93 Kgf/cm2 ; 23,84 Kgf/cm2 b) 0,0004 cm 3 – 13.533 Kgf 4 – 10.597,82 lb/in2 ; 4.414,26 lb/in2 5 – 89.230,76 lb 6 – 382 Kgf/cm2 ; 497 Kgf/cm2 7 – 2.902,4 Kgf 8 – 408 lb 9 – a) 503,94 Kgf/cm2 b) 0,2 cm 10 – 2.532,93 Kgf/cm2 ; 1.688,62 Kgf/cm2 ; 3.377,24 Kgf/cm2 11 – a) σA = 2.302,71 Kgf/cm2 ; σC = 1.494,34 Kgf/cm2; σL = 1.587,78 Kgf/cm2 b) x = 10,96 cm 12 – σA = 261,22 Kgf/cm2 ; σC = 351 Kgf/cm2 13 – AAB = 0,0476 cm2 ≈ 0,05 cm2 14 – a) σA = 629,20 Kgf/cm2 ; σB = 1.006,72 Kgf/cm2 b) x = 0,318 cm ; εA = 9,523 x 10-4 ; εB = 1,523 x 10-3 15 – σA = 30,51 MPa ; σL = 40,32 MPa TUBO DE PAREDE FINA
1 – a) 2,13 Kgf/cm2 b) 161 Kgf/cm2 ; 105 Kgf/cm2 2 – a) 19,7 Kgf/cm2 b) 1.648 Kgf/cm2 ; 1.221 Kgf/cm2 3 – 1.000 Kgf/cm2 ; 2.200 Kgf/cm2 ; 716,58 Kgf/cm2 4 – 20,1 cm 5 – 29,9967 cm
UNIDADE 2
1 – 23.578 Kgf . 0,00179 rad 2 – a) 1.768 Kgf/cm2 b) 663 Kgf/cm2 3 – 250 Kgf/cm2 4 – 3.334 Kgf/cm2 65
5 – 129 Kgf/cm2 6 – 0,63 in 7 – a) 1.732 Kgf b) 1.524 Kgf/cm2 8 – a) 51,18 x 106 Pa b) 57,58 x 106 Pa c) σA = 15,73 Mpa d) 1,13 Mpa 910 – a) σAB = 622,60 Kgf/cm2 b) ØA = ØB = 2,03 cm ; ØC = 2,31 cm 11 -
UNIDADE 3
1 – a) 666 Kgf/cm2 ; 466 Kgf/cm2 ; 566 Kgf/cm2 b) 966,19 Kgf/cm2 ; -1.366,19 Kgf/cm2 ; 1.166,19 Kgf/cm2 c) 101,6 MPa; 38,4 MPa; 31,6 MPa 2 – b) 375 Kgf/cm2 ; 187,5 Kgf/cm2 c) 93,8 Kgf/cm2 3 – a) 800 Kgf/cm2 c) 692,82 Kgf/cm2 4 – 60 MPa; -30MPa 5 – 25 MPa; 95 MPa 6 – a) 30 Kgf/cm2 b) 7,5 Kgf/cm2 ; 13 Kgf/cm2 7 – 700 Kgf/cm2 ; 173,21 Kgf/cm2 89 – b) 648,53 Kgf/cm2 ; - 1.048,53 Kgf/cm2 c) 848,53 Kgf/cm2 ; f ) - 273,95 Kgf/cm2 ; -845,30 Kgf/cm2 10 – b) 130 Kgf/cm2 ; - 210 Kgf/cm2 c) 170Kgf/cm2 ; f ) 80 MPa (horário) ; - 190 MPa
UNIDADE 4
1 – a) 152 ,79 Kgf/cm2 b) 724,33 Kgf/cm2 c) 0,0036 rad; 0,0125 rad 2 – 3,24 cm 66
3 – 2.000 psi; -500 psi; 1.250 psi 4 – PONTO A – σ = 1.273 Kgf/cm2 ; τ = 1.763 Kgf/cm2 ; 2.511 Kgf/cm2 ; -1.237 Kgf/cm2 ; 1.874 Kgf/cm2 ; PONTO B – σ = 1.273 Kgf/cm2 ; τ = 1.763 Kgf/cm2 ; 2.511 Kgf/cm2 ; -1.237 Kgf/cm2 ; 1.874 Kgf/cm2 ; 5 – a) 0,1507 rad b) 4.594 Kgf/cm2 ; -2.206 Kgf/cm2 ; 3.400 Kgf/cm2 6 – 530.144 lb x in 78 – c) 0,921 x 10-2 rad d) 1.565,5 Kgf/cm2 ; - 2.272,96 Kgf/cm2 ; 1.919,23 Kgf/cm2 9 – c) 0,1145 rad d) 2.495,48 Kgf/cm2 ; - 3.259,62 Kgf/cm2 ; 2.877,55 Kgf/cm2
TORÇÃO – SEÇÃO RETANGULAR
1 – a) φ = 0,0052 rad b) PONTO F – 25,79 Kgf/cm2 ; -18,1 Kgf/cm2 ; 21,9 Kgf/cm2 PONTO E – 0 Kgf/cm2 ; -600 Kgf/cm2 ; 300 Kgf/cm2 PONTO D – 637,375 Kgf/cm2 ; -37,675 Kgf/cm2 ; 337,375 Kgf/cm2 2 – a) φ = 0,00036 rad b) PONTO F – 25,79 Kgf/cm2 ; -18,1 Kgf/cm2 ; 21,9 Kgf/cm2 PONTO E – 31,27 Kgf/cm2 ; -23,49 Kgf/cm2 ; 27,38 Kgf/cm2 PONTO D – 7,78 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 3,89 Kgf/cm2
MOLAS HELICOIDAIS
1 – 60.058,7 psi 2 – Mola A – 5.592,3 psi Mola B – 1.604,28 psi 3 – P = 35,196 Kgf 4 – P = 205,77 Kgf
UNIDADE 5
1 – 33,33 cm4 ; 10,83 cm4 2 – 480,13 cm4 ; 59 cm4 3 – 69.859,64 cm4 ; 43.506,59 cm4 4 – 8,04 cm4 ; 37,1 cm4 67
5 – 470.133,70 cm4 ; 70.597,55 cm4 6 – 696,6 cm4 ; 180 cm4
PRODUTO DE INÉRCIA
2 – 1 – - 1.258 cm4 2 – 76.875 cm4 3 – - 80 cm4 34 – 16,67 cm 5 – a) Ix0 = 4.269.509,33 mm4 ; Iy0 = 4.486.509,33 mm4 b) Px0y0 = 3.352.176 mm4 6 – a) Ix0 = 2.822,679 cm4 ; Iy0 = 1.766,80 cm4 b) Px0y0 = 928,28 cm4 UNIDADE 6
1 – σ t = σ c = 4.002,35 Kgf/cm2 2 – 1.935,48 Kgf/cm2 ; 1.663,86 Kgf/cm2 3 – 37.491,98 Kgf/cm2 ; 51.579,15 Kgf/cm2 4 – 5.400 Kgf/cm2 ; 7.714 Kgf/cm2 5 – 2.519,95 Kgf/cm2 ; 5.375,89 Kgf/cm2 6 – 2.887,07 Kgf/cm2 ; 2.165,302 Kgf/cm2 7 – 33.015,06 Kgf/cm2 ; 32.689,69 Kgf/cm2 FLEXÃO COMPOSTA
1 – b) 988,4 Kgf/cm2 c) -1311 Kgf/cm2 2 – a) 11,76 cm b) -57,14 Kgf/cm2 3 – b) 1.624 Kgf/cm2 c) -1.634 Kgf/cm2 4 – 1,96F ; - 3,91F 5 – 40 Kgf/cm2 ; -140 Kgf/cm2 6 – P = 356,44 Kgf 7 – 48,1868 cm 8 – b) 27,15 Kgf/cm2 (ponto A) c) – 29,65 Kgf/cm2 (ponto B)
68
UNIDADE 7
1 – PONTO C – 187,4 Kgf/cm2 ; - 1.306,16 Kgf/cm2 ; 746,78 Kgf/cm2 PONTO B – 0 Kgf/cm2 ; - 134,75 Kgf/cm2 ; 67,375 Kgf/cm2 PONTOA – 1.127,325 Kgf/cm2 ; -137 Kgf/cm2 ; 632 Kgf/cm2 2 – PONTO A – 2.040 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 1.020 Kgf/cm2 PONTO B – 1.311 Kgf/cm2 ; - 423 Kgf/cm2 ; 867 Kgf/cm2 3 – PONTO A – 809,07 Kgf/cm2 ; - 43,975 Kgf/cm2 ; 426,52 Kgf/cm2 PONTO B – 837,96Kgf/cm2 ; - 61,49 Kgf/cm2 ; 349,72 Kgf/cm2 4 – PONTO A – 643,6 Kgf/cm2 ; - 47,6 Kgf/cm2 ; 345,6 Kgf/cm2 PONTO B – 600 Kgf/cm2 ; - 62 Kgf/cm2 ; 331 Kgf/cm2 5 – PONTO A – 666,81 Kgf/cm2 ; - 174,21 Kgf/cm2 ; 520,51 Kgf/cm2 PONTO B – 667,19 Kgf/cm2 ; - 226,45 Kgf/cm2 ; 446,82 Kgf/cm2 PONTOC – 0 Kgf/cm2 ; - 151,84 Kgf/cm2 ; 75,92 Kgf/cm2 6 – PONTO A – 2.142,85 Kgf/cm2 ; - 1.031,75 Kgf/cm2 ; 1.587,30 Kgf/cm2 PONTO B – 2.165,31 Kgf/cm2 ; - 678,28 Kgf/cm2 ; 1.421,79 Kgf/cm2 7 – PONTO C – 3.933,51 Kgf/cm2 ; - 1.216,,84 Kgf/cm2 ; 2.575,18 Kgf/cm2 PONTO D – 272,23 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 136,115 Kgf/cm2 8 – PONTO C – 1.076,32 Kgf/cm2 ; - 765,22 Kgf/cm2 ; 920,77 Kgf/cm2 PONTO D – 0 Kgf/cm2 ; - 1.244,45 Kgf/cm2 ; 622,225 Kgf/cm2
UNIDADE 8
1 – c) Seção A – 5.066,67/EI Seção B – 7.733,33/EI Seção C – 5.733,33/EI 2 – c) Seção A – 370,27/EI Seção B – 845,49/EI Seção C – 851,09/EI Seção D – 528,87/EI 3 – c) Seção A – -1.633,33/EI Seção B – 4.500/EI Seção C – 7.600/EI Seção F – 5.765/EI 4 – c) Seção A – 0,14 cm 69
Seção B – 0 Seção C – 2,25 cm Seção D – 4,5 cm Seção E – 3,64 cm Seção H – -0,14 cm 5 – c) 4,6875 x 10-3 rad d) – 1,979 10-3 m = 0,1979 cm 6 – H A = 0; V A = 375 Kgf; V B = 225 Kgf; M A = 225 Kgf x m 7 – H A = 0; V A = 400,8 Kgf; V B = 229,2 Kgf; M A = 504,12 Kgf x m 8 – H E = 0; V D = 374,07 Kgf; V E = 225,93 Kgf; M E = 155,58 Kgf x m 9 – V D = 355,55 Kgf; M D = 800 Kgf x m ; V e = 844,45 Kgf; M E = 1.200,05 Kgf x m 10 – 3.712,5/EIZ 11 – -16,67/EIZ 12 – 596,29 Kgf 13 – Y A = 3.200/3EIZ ; Y B = 1.675 Kgf 14 – 1.342,845 Kgf 15 – a) 1.644,44 Kgf b) 0,0099 m = 0,99 cm 16 17 – a) V C = 530,583 Kgf; V A = 386,893 Kgf; V E = 1.082,524 Kgf b) 0,0453 cm 18 19 – Pl1 l22 / 2EI 20 – 4Pl3 / 3EI 21 – a) – 3,125 cm b) 0,015 rad 22 – (-ql4 / EIz ) - (ql4 / 2GI t ) 23 – a) 0,71 cm b) 0,00177 rad 24 – (ql4 / 4EIx ) + (ql4 / 2GI t ) 25 – -(π – 1) PR3 / 2EI 26 – 9 P L3 / EIZ 27 – 929 Kgf 28 – b) – 6,25 x 10-3 cm 29 -
70
