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i “ApostilaPolosZeros” — 2006/9/25 — 14:26 — page 1 — #1
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Cap´ıtulo 1
C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros
1.1 Introduc ¸˜ ao O c´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo y(t) de um sistema g(t) pode ser calculado atrav´ es da integral de convoluc ¸˜ ao: Z∞ y(t) =
g(τ)u(t − τ)dτ, 0
onde u(t) ´ e o sinal de excitac ¸˜ ao do sistema. Usualmente, utiliza-se a transformada de Laplace para a convers˜ ao do sistema para o dom´ınio da freq¨ uˆ encia: Y (s) = G(s)U (s). Posteriormente, para o c´ alculo de y(t), pode-se realizar a anti-transformada de Laplace. Para isto, ´ e mais f´ acil transformar Y (s) utilizando a t´ ecnica de expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais, j´ a que cada frac ¸˜ ao parcial tem anti-transformada facilmente conhecida. Neste caso, ´ e poss´ıvel evidenciar o efeito de cada p´ olo do sistema e do sinal de entrada u(t). Os zeros de Y (s) desaparecem na expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais. O efeito dos zeros afeta apenas os coeficentes das frac ¸˜ oes parciais. A conclus˜ ao que devemos chegar ´ e que os zeros do sistema atuam como filtros evidenciando ou anulando o efeito dos p´ olos do sistema.
1.2 Algumas quest˜ oes b´ asicas Seja um sistema linear e invariante no tempo representado por:
an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + . . . + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + bm−1 u(m−1) (t) + . . . + b1 u(1) (t) + b0 u(t), 1
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros
onde, y (i)(t) ,
d(i) y(t) , dt (i)
u(i)(t) ,
d(i) u(t) , dt (i)
Podemos definir: D(p) , an p n + an−1 p n−1 + . . . + a1 p + a0 , e N(p) , bm p m + bm−1 p m−1 + . . . + b1 p + b0 , onde, p (i) ,
d( i) . dt ( i)
Utilizando esta notac ¸˜ ao podemos escrever: D(p)y(t) = N(p)u(t).
(1.7)
A soluc ¸˜ ao para y(t) envolve dois termos. O primeiro, corresponde a resposta do sistema D(p)y(t) = N(p)u(t) considerando uma entrada nula, i.e., u(t) = 0. Neste caso, a Equac ¸˜ ao 1.7 se reduz a equac ¸˜ ao denominada Homogˆ enea, D(p)y(t) = 0. A sua transformada de Laplace pode ser expressa como: Y (s) =
I(s) , D(s)
onde I(s) ´ e um polinˆ omio cujos coeficientes dependem das cond´ıc ¸˜ oes iniciais. D(s) ´ e denominado polinˆ omio caracter´ıstico de 1.7 porque caracteriza a resposta denominada livre, n˜ ao forc ¸ada ou resposta natural. As ra´ızes de D(s) s˜ ao denominadas modos do sistema. Por exemplo, se D(s) = (s − 2)(s + 1)2 (s + 2 − j3)(s + 2 + j3). Os modos do sistema nesse caso s˜ ao: 2, −1, −2 + j3, 2 − j3. Os p´ olos tem multiplicidade unit´ aria, com execec ¸˜ ao de −1 que possui multiplicidade igual a dois. Desta forma, para quaisquer condic ¸˜ oes iniciais Y (s) pode ser expandido em frac ¸˜ oes parciais como: Y (s) =
K1 K2 K3 C1 C2 . + + + + (s − 2) (s + 2 − j3) (s + 2 + j3) (s + 1) (s + 1)2
(1.11)
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1.2. Algumas quest˜ oes b´ asicas
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A resposta no tempo pode ser escrita como: y(t) = K1 exp2t +K2 exp−(2−j3)t +K3 exp−(2+j3)t +C1 exp−t +C2 t exp−t , onde K1 , K2 , K3 , C1 e C2 dependem das condic ¸˜ oes iniciais. Se todas as condic ¸˜ oes iniciais forem nulas a resposta de 1.7 pode ser escrita como: Y (s) N(s) = = G(s), U(s) D(s) onde G(s) ´ e a transformada de Laplace quando as condic ¸˜ oes iniciais s˜ ao nulas (c.i.n.): G(s) =
L[sa´ıda] Y (s) = . U (s) c.i.n. L[entrada] c.i.n.
Logo a soluc ¸˜ ao geral da Equac ¸˜ ao 1.7 pode ser escrita como: Y (s) =
I(s) N(s) + . U(s) D(s) D(s) | {z } | {z } Resposta a Entrada-Zero Resposta a Estado-Zero
Considere por exemplo a seguinte equac ¸˜ ao diferencial: d2 y(t) dy(t) du(t) +3 + 2y(t) = 3 − u(t). dt 2 dt dt
(1.16)
A utilizac ¸˜ ao da transformada de Laplace considerando condic ¸˜ oes iniciais n˜ ao nulas, resulta em: ˙ − ) + 3[sY (s) − y(0− ) + 2Y (s) = 3[sU (s) − u(0− )] − U(s), s 2 Y (s) − sy(0− ) − y(0 ˙ = dy/dt e as letras mai´ onde y usculas denotam as transformadas de Laplace das vari´ aveis representadas pelas letras min´ usculas correspondentes. Fazendo um reagrupamento dos termos podemos escrever a equac ¸˜ ao acima da seguinte forma: Y (s) =
˙ − ) − 3u(0− ) (s + 3)y(0− ) + y(0 3s − 1 + 2 U(s) . (s 2 + 3s + 2) (s + 3s + 2) | {z } | {z } Resposta a Entrada-Zero
Resposta a Estado-Zero
Esta equac ¸˜ ao revela que a soluc ¸˜ ao da Equac ¸˜ ao 1.16 ´ e parcialmente excitada por u(t), t > 0, o que resulta numa parcela denominada de Resposta a Estado-Zero, e parcialmente exci˙ − ), e u(0− ), o que resulta na parcela denominada tada pelas condic ¸˜ oes iniciais y(0− ), y(0 Resposta a Entrada-Zero. Tais condic ¸˜ oes iniciais ser˜ ao denominadas aqui de estado inicial. O estado inicial pode ser entendido como o resultado da entrada u(t) para t ≤ 0.
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros
1.3 Classificac ¸˜ ao das func ¸˜ oes de transferˆ encia Considere a seguinte func ¸˜ ao racional:
N(s) , D(s)
G(s) =
onde N(s) e D(s) s˜ ao polinˆ omios com coeficientes reais. Tais func ¸˜ oes de transferˆ encia s˜ ao classificadas de acordo com o grau do polinˆ omio do numerador degN(s) e do grau do polinˆ omio do denominador degD(s). A Tabela 1.1 a seguir resume a classificac ¸˜ ao.
˜o das func ˜es de transferˆ Tabela 1.1. Classificac ¸a ¸o encia. degN(s) > degD(s)
impr´ opria
degN(s) ≥ degD(s)
pr´ opria
degN(s) < degD(s)
estritamente pr´ opria
degN(s) = degD(s)
bi-pr´ opria
Se G(s) ´ e bi-pr´ opria ent˜ ao G−1 (s) tamb´ em ´ e bi-pr´ opria. Em geral, trabalhamos com ˜es pr´ func ¸o oprias ou estritamente pr´ oprias, j´ a que, func ¸˜ oes de transferˆ encia impr´ oprias descrevem sistemas n˜ ao causais.
˜es parciais 1.4 Expans˜ ao em frac ¸o Nesta sec ¸˜ ao, detalha-se a t´ ecnica de expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais. Suponha a seguinte func ¸˜ ao de transferˆ encia: Qm G(s) = Qq
i=1 (s
l=1 (s
+ zi )
+ zi )(s + pm )r
,
whre i = 1, . . . , q and n = q + r . A expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais de G(s) pode ser escrita como: q X
Ki A1 A2 Ar + + + +... + , 2 (s + p ) (s + p ) (s + p ) (s + pm )r m m i i=1
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1.5. P´ olos e zeros
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onde: Ki = (s + pi )G(s) |s=−pi , Ar = [(s + pm )r G(s)] |s=−pm , d [(s + pm )r G(s)] |s=−pm ds 1 d2 = [(s + pm )r G(s)] |s=−pm 2! ds 2
Ar −1 = Ar −2 .. . A1 =
dr −1 1 [(s + pm )r G(s)] |s=−pm . (r − 1)! ds r −1
A func ¸˜ ao no dom´ınio do tempo pode ser escrita como:
g(t) =
q X
Ki exp−pi t +A1 exp−pm t +A2 t exp−pm t + . . . + Ar t r −1 exp−pm t .
i=1
1.5 P´ olos e zeros A seguir, uma definic ¸˜ ao formal para p´ olos e zeros ´ e estabelecida. Definic ¸˜ ao 1 (P´ olo) n´ umero real ou complexo finito λ tal que |G(λ)| = ∞.
♦
Definic ¸˜ ao 2 (Zero) n´ umero real ou complexo finito λ tal que |G(λ)| = 0.
♦
Um primeiro questionamento de ordem te´ orica que pode ser feito ´ e se todas as ra´ızes do polinˆ omio D(s) s˜ ao polos de G(s). Considere a seguinte func ¸˜ ao de transferˆ encia: G(s) =
N(s) 2(s 3 + 3s 2 − s − 3) = . D(s) (s − 1)
Para λ = 2 temos: G(−2) =
6 = ∞. 0
Portanto, λ = −2 ´ e um p´ olo e tamb´ em λ = −2 ´ e uma raiz de G(s). Agora vamos fazer λ = 1, dessa forma: G(1) =
0 N(1) = , D(1) 0
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros
o que torna o resultado indefinido. Entretanto, utilizando a regra de L’Hopital obtemos: N(s) N 0 (s) G(1) = = 0 , D(s) s=1 D (s) s=1 2(3s 2 + 6s − 1) = , 5s 4 + 16s 3 + 12s 2 − 4s − 5 s=1
16 = ≠ ∞. 24 Dessa forma, λ = 1 n˜ ao ´ e um p´ olo de G(s). Portanto, nem toda raiz de D(s) ´ e um p´ olo de G(s). No exemplo acima, o fato se deve ao fato que N(s) e D(s) possuem um fator comum. Na verdade, a func ¸˜ ao de transferˆ encia pode ser escrita como: 2(s + 3)(s − 1)(s + 1) 2(s + 3) = . 3 (s − 1)(s + 2)(s + 1) (s + 2)(s + 1)2 G(s) tem um zero em s = −3 e trˆ es p´ olos: s = −2, −1, −1. Nesse exemplo, observamos que se os polinˆ omios N(s) e D(s) n˜ ao possuem fatores comums, ent˜ ao todas as ra´ızes de N(s) e D(s) s˜ ao respectivamente zeros e p´ olos de G(s). Se N(s) e D(s) n˜ ao possuem um fator comum eles s˜ ao denominados co-primos e G(s) ´ e denominado irredut´ıvel. Resposta a estado-zero
A resposta a estado-zero ´ e estabelecida pela seguinte equac ¸˜ ao: Y (s) = G(s)U (s).
(1.27)
Computa-se inicialmente a transformada de Laplace de u(t), U(s), e posteriomente podemos obter Y (s). Uma expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais de Y (s) pode facilmente levar a transformada de Laplace inversa para obtenc ¸˜ ao da resposta do sistema no dom´ınio do tempo y(t). A seguir s˜ ao apresentados alguns exemplos.
Exemplo 1 Dado o sistema G(s) =
3s − 1 , (s + 1)(s + 2)
calcular a resposta para um entrada a degrau unit´ ario u(t) = 1 para t ≥ 0. Podemos escrever Y (s) como: Y (s) = G(s)U (s) =
3s − 1 1 . (s + 1)(s + 2) s
A expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais pode ser representada como: Y (s) =
K1 K2 K3 3s − 1 = + + , (s + 1)(s + 2)s (s + 1) (s + 2) s
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1.5. P´ olos e zeros
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onde os coeficientes podem ser calculados como: 3s − 1 (−4) K1 = Y (s)(s + 1)|s=−1 = = = 4, (s + 2)s s=−1 (1) × (−1) (−7) 3s − 1 = K2 = Y (s)(s + 1)|s=−2 = = −3.5, (s + 1)s s=−2 (−1) × (−2) (−1) 3s − 1 = K3 = Y (s)s|s=0 = = −0.5. (s + 1)(s + 2) s=0 (2)
Y (s) pode ent˜ ao ser representada como: Y (s) =
3s − 1 4 −3.5 −0.5 = + + , (s + 1)(s + 2)s (s + 1) (s + 2) s
A resposta no tempo pode ent˜ ao ser calculada como: y(t) =
4 exp−t −3.5 exp−2t − 0.5 . |{z} | {z } olos de U (s) Devido aos p´ olos de G(s) Devido aos p´
Podemos observar atrav´ es do Exemplo 1 que os termos relativos aos p´ olos do sistema podem ser divididos em duas partes, uma relativa aos p´ olos do sistema G(s) e um relativo aos p´ olos de U(s). A resposta deste sistema poderia ser escrita genericamente como: y(t) = K1 exp−t +K2 exp−2t +termos devidos aos p´ olos de U (s). Uma quest˜ ao importante ´ e que dependendo de u(t), os p´ olos de G(s) podem n˜ ao ser excitados. O exemplo a seguir ilustra esta quest˜ ao.
Exemplo 2 Considere por exemplo U(s) = s + 1. Neste caso, 3s − 1 (s + 1), (s + 1)(s + 2) 3(s + 2) − 7 7 3s − 1 = =3− . = (s + 2) (s + 2) (s + 2)
Y (s) = G(s)U (s) =
O que implica em: y(t) = 3δ(t) − 7 exp−2t .
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros Exemplo 3 Vamos supor agora que: u(t) =
1 2 + exp −3t, 3 3
A transformada de Laplace ´ e dada por: U(s) =
(s + 1) , s(s + 3)
dessa forma, 3s − 1 s+1 3s − 1 = (s + 2)(s + 1) s(s + 3) (s + 2)(s + 3)s 7 10 1 = − − . 2(s + 2) 3(s + 3) 6s
Y (s) =
A resposta do sistema no dom´ınio do tempo y(t) ´ e dada por: y(t) =
7 10 1 exp−2t − exp−3t − . 2 3 6
Neste exemplo, ´ e poss´ıvel observar que a excitac ¸˜ ao ou n˜ ao do p´ olo depende se U (s) possui um zero para cancel´ a-lo.
1.6 P´ olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo A seguir apresenta-se os casos principais dos tipos de termos que comumente aparecem numa expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais em conjunto com sua descric ¸˜ ao anal´ıtica e gr´ afica. 1. P´ olo real negativo s = −σ : • Func ¸˜ ao de transferˆ encia:
K . (s + σ )
• Resposta no tempo: K exp−σ t .
A figura 1.1 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema: G(s) =
1 . (s + 2)
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1.6. P´ olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo Polo Real Negativo
1
1
0.8
0.9
0.6
0.8
0.4
0.7
0.2
0.6 g(t)
jω
Polo Real Negativo
0
0.5
−0.2
0.4
−0.4
0.3
−0.6
0.2
−0.8
0.1
−1 −3
−2.5
−2 σ
−1.5
9
0
−1
0
1 2 Tempo (seg)
3
˜o dos p´ Figura 1.1. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1/(s + 2). 2. P´ olo real positivo s = +σ : • Func ¸˜ ao de transferˆ encia:
K . (s − σ )
• Resposta no tempo: K expσ t .
A figura 1.2 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema: G(s) =
1 . (s − 2) Polo Real Positivo
11
0.8
10
0.6
9
0.4
8
0.2
7 g(t)
jω
Polo Real Positivo 1
0
6
−0.2
5
−0.4
4
−0.6
3
−0.8
2
−1
1
1.5
2 σ
2.5
3
1
0
0.5 1 Tempo (seg)
1.5
˜o dos p´ Figura 1.2. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1/(s − 2).
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros
3. P´ olos complexos conjugados com parte real negativa s = −σ ± jω: • Func ¸˜ ao de transferˆ encia: Ki Ki+1 + . (s + σ − jω) (s + σ + jω) ∗ Onde Ki = Ki+1 .
• Resposta no tempo: Ki exp−(σ −jω)t +Ki+1 exp−(σ +jω)t , A exp−σ t sin(ωt + Φ). A figura 1.3 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema: G(s) =
1 . (s − 0.5 − j3.1225)(s − 0.5 + j3.1225)
Polos Complexos Conjugados Estaveis 4
Polos Complexos Conjugados Estaveis 0.3 0.25
3
0.2 2 0.15 0.1 g(t)
jω
1 0
0.05 0
−1
−0.05 −2 −0.1 −3 −4 −1.5
−0.15 −1
−0.5 σ
0
0.5
−0.2
0
5 10 Tempo (seg)
15
˜o dos p´ Figura 1.3. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s). 4. P´ olos complexos conjugados com parte real positiva s = +σ ± jω: • Func ¸˜ ao de transferˆ encia: Ki Ki+1 + . (s − σ − jω) (s − σ + jω) ∗ Onde Ki = Ki+1 .
• Resposta no tempo: Ki exp−(−σ −jω)t +Ki+1 exp−(−σ +jω)t , A expσ t sin(ωt + Φ).
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1.6. P´ olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo
11
A figura 1.4 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) =
1 . (s − 0.5 − j3.1225)(s − 0.5 + j3.1225)
Polos Complexos Conjugados Instaveis Polos Complexos Conjugados Instaveis 4 80 60
3
40 2 20 0 g(t)
jω
1 0
−20 −40
−1
−60 −2 −80 −3 −4 −0.5
−100 0
0.5 σ
1
1.5
−120
0
5 10 Tempo (seg)
15
˜o dos p´ Figura 1.4. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s).
5. P´ olos reais negativos com multiplicidade 2 s = −σ :
• Func ¸˜ ao de transferˆ encia: Ki Ki+1 + . (s + σ ) (s + σ )2
• Resposta no tempo: Ki exp−σ t +Ki+1 t exp−σ t .
A figura 1.5 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) =
1 . (s + 1)(s + 2)2
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros Polos reais multiplos s=−1, s=−2 (m=2) Polos reais multiplos s=−1, s=−2 (m=2) 1 0.12 0.8 0.1
0.6 0.4
0.08
g(t)
jω
0.2 0
0.06
−0.2 0.04
−0.4 −0.6
0.02
−0.8 −1 −2
−1.5 σ
−1
0
0
5 10 Tempo (seg)
15
˜o dos p´ Figura 1.5. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1/(s = 1)(s + 2)2 .
6. P´ olos imagin´ arios s = ±jω :
• Func ¸˜ ao de transferˆ encia:
Ki+1 ki + . s − jω s + jω ∗ Onde Ki = Ki+1 .
• Resposta no tempo:
Ki expjωt +Ki+1 exp−jωt ,
(1.52)
A sin(ωt + Φ).
A figura 1.6 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) =
1 . (s − j2)(s + j2)
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1.6. P´ olos e suas caracter´ısticas no dom´ınio do tempo Polos imaginarios s=−j2,+j2
13
Polos imaginarios s=−j2, +j2
2
0.5 0.4
1.5
0.3 1 0.2 0.1 g(t)
jω
0.5 0
0 −0.1
−0.5
−0.2 −1 −0.3 −1.5
−0.4
−2 −1
−0.5
0 σ
0.5
1
−0.5
0
5 10 Tempo (seg)
15
˜o dos p´ Figura 1.6. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1/(s − j2)(s + j2).
7. P´ olos imagin´ arios duplos s = ±jω:
• Func ¸˜ ao de transferˆ encia: K = (s 2 + ω2 )2 K = 2 (s + jω) (s − jω)2 K1 K2 K3 K4 + + + . (s + jω) (s + jω)2 (s − jω) (s − jω)2
• Resposta no tempo:
g(t) = A1 sin(ωt + Φ1 ) + A2 t sin(ωt + Φ2 ).
A figura 1.7 ilustra a localizac ¸˜ ao do p´ olo e a resposta impulsiva para o sistema:
G(s) =
1 . (s − j2)2 (s + j2)2
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros Polos imag. multiplos s=−j2, +j2 (m=2) 2
Polos imag. multiplos s=−j2, +j2 (m=2) 1.5
1.5 1 1 0.5
g(t)
jω
0.5 0
0
−0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 −2 −1
−0.5
0 σ
0.5
1
−1.5
0
5 10 Tempo (seg)
15
˜o dos p´ Figura 1.7. Localizac ¸a olos e resposta impulsiva do sistema G(s) = 1/(s − 2
j2) (s + j2)2 .
1.7 O efeito dos zeros O efeito dos zeros sobre a resposta do sistema ´ e mais dif´ıcil de ser inferido. Apesar da localizac ¸˜ ao dos p´ olos determinar a natureza dos modos do sistema, ´ e a localizac ¸˜ ao dos zeros que determina a proporc ¸˜ ao que os modos s˜ ao combinados. Estas combinac ¸˜ oes podem fazer com que os resultados sejam bastante diferentes quando comparados com os modos individuais relativos a cada p´ olo. Da mesma forma como nos p´ olos, tamb´ em podemos definir zeros r´ apidos e zeros lentos. Zeros r´ apidos s˜ ao aqueles que est˜ ao bastante afastados em relac ¸˜ ao ao eixo imagin´ ario quando comparado com os p´ olos dominantes. Por outro lado, zeros lentos s˜ ao aqueles que est˜ ao bem mais pr´ oximos do eixo imagin´ ario do que os p´ olos dominantes.
Exemplo 4 Para ilustrar a influˆ encia dos zeros na resposta do sistema a resposta a degrau de v´ arios sistemas com p´ olos iguais mas com zeros diferentes s˜ ao comparados. Os sistemas definidos pelas func ¸˜ oes de transferˆ encia G1 (s), G2 (s), G3 (s) e G4 (s) e suas respectivas expans˜ oes em frac ¸˜ oes parxiais podem ser observados na Tabela 4. A expans˜ ao em frac ¸˜ oes parciais de qualquer um desses sistemas pode ser representada por: Y (s) =
K1 K2 K3 K4 + + + . (s + 1) (s + 1 + j) (s + 1 − j) s
A Figura 1.8 ilustra a resposta a degraus do sistemas G1 (s), G2 (s), G3 (s), G4 (s).
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1.7. O efeito dos zeros
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Tabela 1.2. Respostas a degrau dos sistemas G1 (s), G2 (s), G3 (s), G4 (s).
G1 (s) = G2 (s) = G3 (s) = G4 (s) =
K1 (s+1)(s+1+j)(s+1−j) K2 (s+1)(s+1+j)(s+1−j) K3 (s+1)(s+1+j)(s+1−j) K4 (s+1)(s+1+j)(s+1−j)
K1
K2
K3
K4
-2
0.5 + j0.5
0.5 − j0.5
1
2
−1.5 − j0.5
−1.5 − j0.5
1
-6
2.5 + j0.5
2.5 − j0.5
1
1
5 + j4.5
5 − j4.5
1
Resposta a degrau de G1, G2, G3, G4 2.5 G1 G2
2
G3 G4
1.5
y(t)
1
0.5
0
−0.5
−1
0
1
2
3 tempo (seg)
4
5
6
Figura 1.8. Respostas a degrau dos sistemas G1 (s), G2 (s), G3 (s), G4 (s).
Exemplo 5 Considere, por exemplo, a seguinte func ¸˜ ao de transferˆ encia: H(s) =
−s + c , c(s + 1)(0.5s + 1)
nesse sistema ´ e poss´ıvel verificar a variac ¸˜ ao da resposta y(t) atrav´ es da variac ¸˜ ao do parˆ ametro c sem a mudanc ¸a dos valores dos p´ olos e do ganho do sistema. Os
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Cap´ıtulo 1. C´ alculo da resposta no dom´ınio do tempo: o papel dos p´ olos e zeros dois modos naturais do sistema s˜ ao representados por, exp−1t e exp−2t , que s˜ ao relacionados aos p´ olos −1 e −2 respectivamente. O efeito do primeiro modo natural exp−1t pode gradativamente ser anulado a medida que c → −1. O mesmo acontece para exp−2t quando c → −2. Uma situac ¸˜ ao mais geral, pode ser observada na Figura 1.9 onde ´ e apresentado a resposta a degrau do sistema H(s) considerando c = −0.1, 0.1, −0.25, 0.25, −10, 10. Pode ser observado que, para um zero r´ apido, por exemplo |c| 1, n˜ ao existe um impacto significativo na resposta transit´ oria. Quando o zero ´ e lento e est´ avel o sistema possui sobresinal significativo. Quando o zero ´ e lento e inst´ avel ent˜ ao o sistema exibe um undershoot significativo.
Respostas a degrau de H(s) para c=−0.1, 0.1, −0.25, 0.25, −10, 10 6 c=−0.1 c=0.1 c=0.25 c=−0.25 c=−10 data6
4
y(t)
2
0
−2
−4
−6
0
1
2
3 tempo (seg)
4
5
6
Figura 1.9. Respostas a degrau do sistema H(s) para diferentes valores de c.
´ E poss´ıvel estabelecer estimativas para o sobresinal e undershoot. a seguir alguns resultados desenvolvidos por Goodwin, Graebe e Salgado 1 . Lema 1 (Zeros de fase n˜ ao m´ınima e undershoot) Assuma um sistema linear e est´ avel com func ¸˜ ao de transferˆ encia G(s) possuindo ganho unit´ ario e um zero em s = c, onde c ∈ R+ . 1 G.C.
Goodwin, Stefan F. Graebe e M.E. Salgado, Control System Design, Prentice-Hall.
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1.7. O efeito dos zeros
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Assuma tamb´ em que a resposta a degrau unit´ ario do sistema, y(t), tem um tempo de acomodac ¸˜ ao ts , i.e., 1 + δ ≥ |y(t)| ≤ 1 − δ, (δ 1), ∀t ≥ ts , Ent˜ ao y(t) exibe um undershoot Mu , que satisfaz a seguinte relac ¸˜ ao: Mu ≥
1−δ . expcts −1
Este lema estabelece que, quando o sistema possui zeros de fase n˜ ao m´ınima existe uma soluc ¸˜ ao de compromisso entre ter uma resposta r´ apida e uma resposta com undershoot pequeno.
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Lema 2 (Zeros lentos e sobresinal) Assuma um sistema linear e est´ avel, com func ¸˜ ao de transferˆ encia dada por G(s) possuindo ganho unit´ ario e um zero em s = c, c < 0. Al´ em disso, assuma que: 1. O sistema tem p´ olos dominantes com parte real igual a −p, p > 0, 2. O zero e o p´ olo dominante s˜ ao relacionados atrav´ es da seguinte equac ¸˜ ao: c η , 1, p 3. O valor de δ definindo o tempo de assentamento ts ´ e escolhido tal que K > 0 resultando que: |v(t)| < K exp−pt ,
∀t ≥ ts .
´ poss´ıvel concluir que a resposta a degrau possui um sobresinal que ´ E e limitado de acordo com a seguinte relac ¸˜ ao: MP ≥
1 exp−cts −1
Kη 1− 1−η
! .
Este lema estabelece que quando um sistema est´ avel possui zeros lentos, existe uma soluc ¸˜ ao de compromisso entre uma resposta r´ apida e um sobresinal pequeno.
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