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Pode-se encarar a "previsão de enchentes" sob dois pontos de vistas técnicos importantes: sob o ângulo do "projetista" ou sob a ótica dos "operadores de sistemas hidrológicos". Do ponto de vista do projetista, prever uma enchente é estimar a máxima vazão que poderá ocorrer numa determinada seção de um curso d’água (saída da bacia); sob esses aspectos várias fórmulas ou modelos matemáticos podem ser utilizados. Na ótica dos “operadores de sistemas de hidrológicos” ou aqueles que trabalham com hidrologia em tempo real, prever uma enchente é estimar os picos e os volumes do hidrograma de uma cheia em determinada seção de um rio ou reservatório e seu instante de ocorrência, a partir do conhecimento da chuva ocorrida na bacia, ou à partir de um hidrograma registrado à montante da seção em análise. É comum para esses hidrólogos a utilização de Modelos Hidrológicos ou Modelos
Matemáticos que simulam o comportamento físico de uma
Bacia. Esses modelos são usualmente conhecidos como modelos de e transformação de chuva em vazão. Um bom exemplo deste tipo é o Modelo SMAP.
O modelo SMAP
( Soil Moisture Accounting Procedure ) é um
modelo determinístico de simulação hidrológica do tipo transformação chuva-vazão. Foi desenvolvido em 1981 por Lopes J.E.G., Braga B.P.F. e
2 Conejo J.G.L., e apresentado no International Symposium on RainfallRunoff Modeling realizado em Mississippi, U.S.A. e publicado pela Water Resourses Publications (1982). Em sua versão diária, tem a seguinte descrição: É constituído de três reservatórios matemáticos, cujas variáveis de estado são atualizadas a cada dia da forma:
Rsolo (i+1) = Rsolo (i) + P - Es - Er - Rec Rsup (i+1) = Rsup (i) + Es - Ed Rsub (i+1) = Rsub (i) + Rec – Eb onde:
Rsolo = reservatório do solo (zona aerada) Rsup = reservatório da superfície da bacia Rsub = reservatório subterrâneo (zona saturada)
P
= chuva
Es
= escoamento superficial
Ed
= escoamento direto
Er
= evapotranspiração real
Rec = recarga subterrânea
3 Eb
= escoamento básico
inicialização: Rsolo (1) = Tuin . Str Rsup (1) = 0 Rsub (1) = Ebin / (1-kk) / Ad * 86.4 onde:
Tuin = teor de umidade inicial (ad.)
Ebin = vazão básica inicial (m3/s) Ad = área de drenagem (km2) A figura abaixo ilustra a estrutura do modelo em sua versão diária.
O Modelo é composto de: • 5 funções de transferência: A separação do escoamento superficial é baseado no método do SCS ( Soil Conservation Service do U.S.Dept. Agr.).
4 1- Se (P > Ai)
Então
S = Str - Rsolo
Es = (P - Ai) ^ 2 / (P - Ai + S) Caso contrário Es = 0 2- Se ((P - Es) > Ep) Então
Er = Ep
Caso contrário Er = (P - Es) + (Ep - (P - Es)) * Tu 3- Se Rsolo > (Capc * Str) Então
ec = Crec * Tu * (Rsolo - (Capc * Str))
Caso contrário Rec = 0 4- Ed = Rsolo * ( 1 - K2 ) 5- Eb = Rsub * ( 1 - Kk ) sendo
Tu = Rsolo / Str
• E 6 os parâmetros característicos da bacia: Str
- capacidade de saturação do solo (mm)
K2t - constante de recessão do escoamento superficial (dias) Crec - parâmetro de recarga subterrânea (%) Ai
- abstração inicial (mm)
Capc- capacidade de campo (%) Kkt - constante de recessão do escoamento básico (dias) Foram ajustadas as unidades dos parâmetros:
5 Kk = 0,5 ^ (1/Kkt) e K2 = 0,5 ^ (1/K2t) onde Kkt e K2t são expressos em dias em que a vazão cai a metade de seu valor. Crec e Capc são multiplicados por 100 O eventual transbordo do reservatório do solo é transformado em escoamento superficial. Finalmente o cálculo da vazão é dado pela equação: Q = (Es + Eb) * Ad / 86.4 Os dados de entrada do modelo são os totais diários de chuva e o total diário médio do período de evaporação potencial (tanque classe A). Para calibração são necessários de 30 a 90 dias de dados de vazão media mensal, incluindo eventos de cheia. É utilizado um coeficiente de ajuste da chuva media da bacia 'Pcof’ que deve ser calculado em função da distribuição espacial dos postos.
O problema de Propagação de Enchentes ou Encaminhamento da onda de cheia num trecho do rio, em geral, é posto da seguinte maneira: conhece-se um hidrograma numa seção do rio a montante de uma determinada localidade onde se deseja se determinar quando e como chegará este hidrograma, supondo não ter havido contribuição no trecho intermediário.
6
Hidrograma Entrando em S o e Saindo em S 1
7 Para se estimar o hidrograma na saída existem vários modelos matemáticos, um dos mais simples é o de Muskingum (modelo cinemático). Esse modelo baseia-se na equação da continuidade.
dS Q (t) − Q (t) = e s dt
(1)
E na equação do armazenamento:
S = K [ Qe X − ( 1 − x ) Qs ]
(2)
Onde: S - armazenamento X - coef. de propagação entre Q e e Q s1 K - Constante do tempo Escrevendo a equação (1) na forma discreta, no intervalo de tempo ∆t:
Qsi+1 = C0Qi+1 + C1Qi + C2Qsi Onde:
Co =
0,5 ∆t − Kx K (1− x) + 0,5 ∆t
C1 =
0,5?, + Kx K(1 − x) + 0,5 ∆ t
C2 =
K(1 − x) − 0,5 ∆t k(1 − x) + 0,5 ∆t
8
Considere o hidrograma abaixo, observado no posto fluviométrico localizado a 60 km a montante da seção de saída da bacia. Determine, utilizando o método de Muskingum, o hidrograma na saída da bacia. Assumir K=1,05 dia, ∆t = 1 dia e X = 0,3. Assuma ainda que o regime antes e depois d a cheia é permanente. Tempo
Q
Qi+1
CoQi+1
C1Qi
C2Qsi
Qsi+1
1
2,2
28,4
4,26
1,45
0,418
6,13
2
28,4
29,7
4,45
18,74
1,164
24,36
3
29,7
20,4
3,06
19,602
4,6284
27,29
4
20,4
12,6
1,89
13,464
5,1851
20,54
5
12,6
6,7
1,005
8,316
3,9026
13,22
6
6,7
4,1
0,615
4,422
2,5118
7,55
7
4,1
2,4
0,36
2,706
1,4345
4,50
8
2,4
2,2
0,33
1,584
0,855
2,77
9
2,2
2,2
0,33
1,452
0,5263
2,30
Co = 0,15 C1 = 0,66 C2 = 0,19 + 1,00
Qsi+1 = (CoQi +1) + (C1Qi ) + (C2Qsi )
9
As fórmulas empíricas são fundamentadas na experiência do engenheiro ou técnico e, em geral, são do tipo:
Q = f ( A, L, S0 , C, I ,...) Todos estes parâmetros são característicos da bacia estudada, cujas unidades dependem do autor. Em geral essas fórmulas empíricas não são dimensionalmente homogêneas, por que dependem do estado em que os parâmetros foram observados.
Se Q [ l/ s ]
e
A [ ha ], , pode-se ter uma relação do tipo:
Q =a A
+
n
[l 3 /s]
10 Na relação acima, embora a área seja dada em hectares, a vazão obtida é em [m³/s]. A - FORMULA DE BURKLI – ZIEGLER
Q = 0,022 A I C
4S
0
A [m3/s]
A [ha] - área da bacia I [cm/h] - Intensidade média S0 [m/1000m] - declividade C - coef. de escoamento, tabelado. Valores de "C" para Burkli – Ziegler
CARACTERÍSTICA DA BACIA
C
Regiões pavimentadas
0,75
Ruas, ciadas interioranas.
0,62
Regiões montanhosas
0,40
Povoados praças
0,30
Campos agrícolas
0,20
B - FÓRMULA DE KRESNIK
A Q = 32a [ m 3 / s] 0,5 + A A [ km ²]
0,03 < a < 1,61
11 C - FÓRMULA DE FRANCISCO DE AGUIAR Aguiar estudou várias bacias no Nordeste do Brasil e apresentou várias fórmulas empíricas de vazão - uma das mais utilizadas é a fórmula de vazão centenária (período de retorno T = 100 anos)
Q = A [ km³]
1150 A [ m3 / s ] C L (120 + 3,65 K C L)
1km² =100ha
L [km] K e C - coef. hidrométricos de acordo com tabela de Ryvis.
PARAMATROS DA FORMULA DE FRANCISCO DE AGUIAR
CARACTERÍSTICA DAS BACIAS
Tipo
U
K
C
Pequena, íngreme e rochosa.
1
1,3 a 1,4
0,123
0,85
Acidentadas s/ depressão
2
1.20
0,156
0,95
Média
3
1.00
0,204
1,00
Ligeiramente acidentada
4
0.80
0,278
1,05
Ligeiramente acidentada com
5
0.70
0,40
1,15
Quase plana - termos argiloso
6
0.65
0,625
1,30
Quase plana - terreno variável
7
0.60
1,110
1,45
Quase plana - terreno arenoso
8
0.50
2,50
1,60
evaporativa
depressão evaporativa
12
Considere uma bacia com as seguintes características: - Região montanhosa - Talvegue L = 20 Km e Área A = 10 Km² - Intimidade média ( i ) = 80 mm/h - Dedividade S 0 = 16 m /Km Para essa região dimensionar um sistema de bueiros celular par uma estrada que corta o riacho na região.
b(m) 1,0 1,0 1,2 1,2 1,5 1,5
W(m) 1,0 1,2 1,2 1,5 1,5 1,8
13
A vazão através de um bueiro é dada por:
Q = C d. A
2gH
Cd = coef. de descarga
0,62 ≤ Cd ≤ 0,80
H ≤ 1,5W H = carga
hidráulica 1150 A Aguiar ⇒ Q = ⇒ CL(120 + 3,65KCL 1150(10) ⇒ 0,85 x 20 (120 + 3,65 x 0,123 x0,85 x20
Q= Q=
11500 ⇒ Q = 21,85 m 3 / s 4 x123 x127,63
As fórmulas racionais são muito usadas em bacias urbanas ou outras
bacias
de
dimensões
pequenas.
Essas
fórmulas
são
recomendadas para bacias inferiores a 500há. Para valores superiores pode-se subdividir a área de bacia para a sua aplicação. De um modo geral: Q
f
CIA, onde
f
= é um coef. de abatimento
utilizado para bacia > 500 há, para bacias menores Q = CIA. As fórmulas racionais devem ser dimensionalmente homogênea, assim: Se I [mm/h] e A [Km2], para se ter Q[m³/s] ter-se-á:
14 Q=
1 C I A[ m 3 / s ] 3,6
A) FÓRMULA DO "SOIL CONSERVATION SERVICE"
Q
P
=
0,277 KA he tp
Qp = vazão máxima [m³/s] A = Área da bacia [km²] K = coef. Característico da bacia K = 1 - bacia alta declividade K = 0,75 - média K = 0,5 - bacias planas
A - H. U simples B - H. U complexo C - H. U sintético A teoria do H. U foi desenvolvida pelo matemático americano SHERMAN em 1932. Essa teoria está fundamentada na hipótese de que a bacia é um "SISTEMA LINEAR INVARIANTE NO TEMPO". A aplicação dessa teoria só é valida para os casos de precipitação uniforme e efetiva que produzam hidrograma do escoamento superficial.
15
Considera-se "SISTEMA", qualquer relação funcional que transforma uma "CAUSA" em "EFEITO".
16 Matematicamente tem-se:
Q
s (t) = qu( he ( t )) * he(t)
SISTEMA LINEAR - Um sistema é dito linear se atende os princípios de linearidade, isto é: 1 - Se h e1 corresponde a Qs i(t), e Se, he2 corresponde Qs2(t), então, a he1 + he2 ? Qs1 (t) + Q s2 (t)
2 - Se ? = cte, então ?he1 ⇒ ? Qs 1( t )
17 SISTEMA LINEAR INVARIANTE NO TEMPO Se a precipitação efetiva he ocorreu no instante t e gerou o hidrograma Qs ( t ), então essa mesma precipitação he ocorreu no instante t + u ( u - instante qualquer ), gerará o mesmo hidrograma Qs no instante ( t + u ), ou seja Qs (t + u ):
Além dessas hipóteses a teoria do H. U está fundamentada em 3 princípios, denominados de princípios de SHERMAN. 1 ¼ PRINCÍPIO ⇒ Precipitação da mesma duração produz Hidrograma de mesmo tempo de base.
18 2 ¼ PRINCÍPIO ⇒ Chuvas de alturas diferentes produzem hidrogramas cujas ordenadas homólogas são proporcionais aos volumes escoados correspondentes.
Qs( t ) qu( t ) qu( t ) xVe = ⇒ Qs( t ) = Ve Vu Vu heA he Qs( t ) = qu( t ) x ⇒ Qs( t ) = qu( t ) x huA hu De modo que: qu( t ) = Qs( t ) x
hu , se hu é um valor unitário (de he
precipitação efetiva e uniforme), qu(t) - será denominada "função hidrograma unitário" para bacia em estudo e, portanto, é uma função "invariante no tempo", isto é, terá validade em qualquer época para a bacia.
1¼ Procurar no histórico das precipitações registradas na bacia, aquelas precipitações uniformes de duração.
19
tr ≤
tc 5
ou tr ≤
tc 4
2¼ Buscar no histórico das vazões os hidrogramas correspondentes às precipitações selecionadas; 3¼ Fazer a separação do escoamento de base do escoamento superficial. Utilizar um método simples de separação: 4¼ Calcular a altura efetiva he da seguinte forma:
he =
volume escado área da bacia
5 ¼ Arbitrar um valor hu – unitário Exemplo: hu = 10 mm 6 ¼ Determinar as ordenadas qu (ti) do hidrograma unitário, utilizando o 2 ¼ princípio de SHERMAN.
qu ( ti ) = Qs ( ti ) x
hu he
O hidrograma obtido será o H. U simples para a bacia. Se várias precipitações unitárias tiverem sido trabalhadas, determinar o H.U. médio e adotá-lo. EXISTEM DOIS TIPOS DE PROBLEMAS:
20 1¼ Problema indireto - Dados a precipitação e o hidrograma da saída da bacia, determinar o H. U.
2¼Problema Direto - Dados o hidrograma unitário e a precipitação, determinar o hidrograma na saída da bacia.
PROBLEMA DIRETO - São dados a precipitação e o hidrograma unitário e deseja-se determinar o hidrograma resultante para esta precipitação;
Qs (t) = qu (t) x
he hu
PROBLEMA INVERSO (INDIRETO) - São dados a precipitação e o hidrograma resultante, pede-se determinar o H. U correspondente.
qu (t) = Qs (t) x
hu he
21
Exemplo 1. Determinar o H.U. para uma bacia A de área A = 10 km², a partir de uma precipitação uniforme isolada que tenha gerado o hidrograma representado
na
figura
abaixo.
O
ietograma
correspondente
a
precipitação está dado na mesma figura, representado acima do hidrograma.
t
0 1/2
1
1 1/2
2
2 1/2
3
3 1/2
4
Q(m³/s)
5 10
38
37
20
15
10
10
10
QB(m³/s)
5
6
7
8
9
9,5
10
10
10
Qs(m³/s)
0
4
31
29
11
5,5
0
0
0
Cálculo do he ⇒ he =
Volume escoado =
Vol.esc. área da bacia
?t
∑
Qs
(? t
1 = 1800s ) 2
22
Vol. esc. = 1800 x 80,5 ⇒Vol. esc. = 144900 m³
144900m 3 144900m −3 he = ⇒ he = x10 mm ⇒ 6 2 6 10x10 m 10x10
he ≅ 14,5mm ⇒ C =
he 14,5 = ≅ 0,52 h 30,0
arbitrando hu ⇒ hu = 10 mm
qu(ti ) = Qs(tr ) x Qu(t)→U0
U1
0
40 14.5
U1
U1
U1
10 14,5 U1
U1
U1 0
Exemplo 2. Uma bacia de característica de escoamento uniforme (c = 0,3), área A = 10 km², tem como hidrograma unitário, o hidrograma abaixo determinado por uma precipitação uniforme e efetiva hu = 10 mm, de ½ hora de duração. Se ocorrer na bacia uma precipitação uniforme h = 50 mm em ½ hora de duração, qual será o hidrograma da saída da bacia? T
0
½
1
1½
2
2½
3
qu ( t )
0
2
4
10
5
2
0
U0
U1
U2
U3
U4
U5
U6
0
3
6
15
7,5
3
0
Qs ( t )
23 Ordenadas “vivas” (ordenadas não nulas) U1,
U2, U3, U4, U5 , ou seja,
ordenadas ≠ 0 Ordenadas externas: U0 e U6, ou seja, ordenadas = 0.
3¼ PRINCÍPIO - As precipitações antecedentes, não interferem nos hidrogramas das precipitações conseqüentes.
Pelo primeiro princípio o tempo de base é o mesmo para as mesmas
Q1 h1 durações. Pelo segundo princípio : q = h 2 2
24 APLICAÇÃO Determinar o hidrograma resultante para as precipitações uniformes indicadas no ietograma da figura abaixo, admitindo que o hidrograma unitário, para hu = 10 mm é o mesmo já obtido no problema 2 e que a bacia continua com as mesmas características de escoamento ( c = 0,3 ).
Pela equação Qs( t ) = qu ( t ) x
he , tem-se: Qs (t) = qu( t ) x Ri . hu
A tabela abaixo fornece o resultado: T 0 ½ 1 1½ 2 2½ 3 3½ 4 4½
Q1 0 0,6 1,2 3,0 1,5 0,6 -
Q2
Q3
0 1,2 2,4 6,0 3,0 1,2 0 -
0 0 0 0 0 0 0
Q4
0 0,6 1,2 3,0 1,5 0,6 0
Q 0 0,6 2,4 5,4 8,1 4,8 4,2 1,5 0,6 0
Q1 = U1R1 ⇒ p/t = 0 ⇒ Ui = 0 ⇒ R1 = 0,3 Q 2 = U1R 2 ⇒ R 2 = 0,6 Q3 = 0 Q 4 = U1R 4
25
Q1=U1R1 Q2=U1R2+U2R1 Q3=U1R3+U2R2+U3R1 Q4=U1R4+U2R3+U3R2+U4R1 Q5= U1R5+U2R4+U3R3+U4R2+U5R1 Q6= U1R6+U2R5+U3R4+U4R3+U5R2+ U6R1 . . . QK=U1RK+U2RK-1+...UmR Seja: Ri - a i - ésima ordenada dada pela relação h ei Qk a k - ésima ordenada de H. resultante hu Uj - a j - ésima ordenada de H. U, então. Q1=U1R1 Q2=U1R2+U2R1 Q3=U1R3+U2R2+U3R1 . . . QK=UKR1+UR-1 RK-1+...Uj Ri Com: j = k - i + 1, por outro lado se for dado o hidrograma resultante e a precipitação efetiva que o gerou, pode-se obter o hidrograma unitário de maneira inversa, ou seja:
26 U 1 = Q1 / R1 U2 =
Q2 − U1 R2 R1
U3 =
Q3 − U 2 R2 − U1 R3 R1
M Uj =
QK − U K −1 R2 − LUiRi R
Onde: Uj - são as ordenadas ( ≠0) do H.U 1 - Determine o H. U de uma bacia a partir da precipitação uniforme e efetiva indicada na figura abaixo correspondente ao hidrograma observado na bacia.
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 -
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q( t ) 0 2 5 15 25 20 15 8 5 0
R1 = 3 = 3 1 R2 = 6 = 6 1 R3 = 0
U0 = 0 U 1 = Q1 U2 =
R1
= 2 = 0,667 3
5 − 0,667 x 6 ≅ 1,35 m 3 / s 3
R4 = 2 = 2 1
U4=Q4 - U3R2 - U2R3 - U1R4 / R1 U4=Q5- U4R2- U3R3- U2R4 - U1R5 / R1
U 3 = 2,7 U 4 = 2,49 U 5 = 0,78
27
2 - Dado o hidrograma unitário abaixo determinar o hidrograma resultante correspondente à precipitação efetiva indicada no ietograma abaixo. ( hu = 1,0 mm ).
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 -
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q( t ) 0 2 5 15 25 20 15 8 5 0
3 - ordenadas vivas ⇒U1,U2,U3,U4,U5 e U6 Q0=0 Q1=U1R1=1,3 x 2 = 2,6 m³/s Q2=U2R1+U1R2= 3 x 2 + 1,3 x 6 = 13,8 m³/s Q3=U3R1+U2R2+U1R3 = 38 m³/s . . . Q7=U7R1+U6R2+U5R3+U4R4+U3R5+U2R6+U1R7 Q9=U6R4 Q10=0
O hidrograma unitário triangular é uma simplificação da teria do H. U. e é obtido da forma “sintética. É muito usado nas aplicações urbanas”.
28
tb = Tp + 1,67Tp → tr ≤
tc ou 5
tc 4 0,385
2 L tc = 57 ? H tr Tp = + 0,6tc 2
Ocorrência natural de chuvas e vazão variam muito de estação para estação. Na região Nordeste do Brasil, observa-se grandes variações desses eventos hidrometeorológicos com a observação de eventos externos de secas e enchentes. Esses eventos extremos ocorrem de modo aleatório, podendo dessa maneira ser tratado com "variáveis Aleatórias”. Os projetos de engenharia, tais como: estruturas de drenagem e rodovia (pontes e bueiros) devem ser projetados de modo que suportem cheias de determinadas magnitudes. A grandeza dessa magnitude pode ser determinada à partir do conhecimento da Lei de Distribuição
de probabilidade de ocorrência
daquela grandeza. Consideremos o hidrograma formado pelas máximas vazões diárias, registradas durante um longo período “n” de anos. Para cada ano “i”, pode-se determinar a vazão diária máxima daquele ano – Qi.
29
Q1 = máxima diária do ano 1 O conjunto formado por todas as vazões Qi (Q1, Q2,... Qn), se constitui no histórico das "máximas vazões diárias anuais", e são consideradas variáveis aleatórias, e, como tal, segue a uma lei de distribuição de probabilidades.
5.1.2.1 – Leis de Distribuição de Probabilidade 1B LEI NORMAL - ou lei de GAUSS - é uma das leis mais conhecidas e das mais aplicadas. Os principais parâmetros que a define são:
- média =
[x =
- Desvio padrão
1 ∑ xi] N δ ≅
eo
2 ∑ ( xi − x ) N −1
30 Chamando
µ=
xi − x δ
de variável reduzida, essa lei de escrever:
−u 2 1 u Pr( x ≥ µ) = 1 − ∫ − ∞e 2 du π denominada de "lei de distribuição normal". A sua representação gráfica está indicada no exemplo a seguir:
LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
DENSIDADE DE PROBABILIDADE
A lei de GAUSS é aplicável à eventos comuns onde os eventos são independentes e homogêneos.
31 Para eventos extremos como o caso de cheias e secas, utiliza-se uma lei de distribuição apropriada como, por exemplo: lei de Gumbel, a lei de Pearson ou outras. A LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL - muito utilizada em hidrologia, seus principais parâmetros são. A média :
x ∧
O desvio
σ
A moda:
x 0 = x + 0,5σ
O coeficiente de dispersão: α (
1 = 0,75σ ) α
Chamando de y = ;(xi - xo) a lei se escreve :
Considerando que o período de retorno é dado por:
E observando-se a equação (2) da lei de Gumbel, aplica-se "ln", temse.
32
ln[1 - Pr (X ≥ x)] = ln[e
−e − y
]
ln[1 − Pr (X ≥ x)] = −e−y ou 1 ln ln = −y, ou substituindo 1 − Pr (X ≥ x)] Pr (X ≥ x) por T e simplificando, tem − se T y = −lnln T − 1
∗T =
(3)
1 Pr
Onde T - é o período de retorno e y - a variável reduzida. Tomando-se valores de T ou P r (X/x) pode-se calcular y:
T(anos)
Pr(%)
y
T(anos)
Pr(%)
y
1,001
99,9
-1,93
5
20
1,5
1,110
90,0
-0,83
10
10
2,25
1,250
80,0
-0,47
20
5
2,97
1,670
60,0
0,09
50
2
3,90
2,000
50,0
0,36
100
1
4,60
2,500
40,0
0,67
1000
0,1
6,90
Com os valores da tabela, pode-se construir um "papel de probabilidade de Gumbel". Neste papel, a equação (1) se torna uma reta.
33
APLICAÇÃO A tabela abaixo contém as máximas descargas diárias anual do rio Maria Luiza, em Forquilhinha. 1 - Ajustar graficamente à lei de Gumbel 2 - Determinar a probabilidade de ocorrer uma vazão maior do que 1000m³/s 3 - Determinar a vazão para um período de retorno T = 100 anos. 4 - Qual o risco de ocorrer em Forquilhinha uma vazão maior do que 1000 m³/s usada para o projeto de uma obra hidráulica que tem 3 anos de vida útil.
34 • RESPOSTA Ano
Vazão
Ano
(m³/s)
Vazão (m³/s) Nota – O número de ordem colocado em ordem decrescente nos dá a freqüência absoluta.
1943 92
52
240
44
228
53
300
45
72
54
380
46
180
55
370
Freqüência relativa
47
180
56
880
N → ∞ a Fr → Pr
48
350
57
480
49
117
58
470
1950 216
59
773
51
1960
880
61
70
330
Fr =
m n , quando
A solução 1¼ ordena-se as vazões em ordem crescente (ou decrescente) atribuindose o "número de ordem" de cada vazão. 2¼ Calcula-se a freqüência empírica F =
m N +1
Onde; N é o número de observações e m é o número de ordem. Supõem-se que, quando N → ∞ Fr → Pr A freqüência empírica no gráfico. N é igual ao número de anos observado
35 Freqüência
N ¼ de ordem
Vazão
(m)
n Fr = N + 1
1
880
0,05
2
880
0,10
3
773
0,15
4
480
0,20
5
470
0,25
6
380
0,30
7
370
0,35
8
350
0,40
9
330
0,45
10
300
0,50
11
240
0,55
12
228
0,60
13
216
0,65
14
180
0,70
15
180
0,75
16
117
0,80
17
92
0,85
18
72
0,90
19
70
0,95
EXEMPLO A probabilidade de acontecer uma vazão de 350 é de 40%
