Apostila Estruturas

Transcript

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/301359764 Apostila de Teoria das Estruturas Research · April 2016 DOI: 10.13140/RG.2.1.1070.1206 CITATIONS READS 0 3,098 1 author: Romildo Aparecido Soares Junior University of Campinas 7 PUBLICATIONS 0 CITATIONS SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Buckling and bending of thick plates using the boundary element method View project All content following this page was uploaded by Romildo Aparecido Soares Junior on 19 April 2016. The user has requested enhancement of the downloaded file. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior APOSTILA DE TEORIA DAS ESTRUTURAS Prof. ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR CAMPINAS – SP 2016 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 1 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior DEDICATÓRIA A seguinte apostila é dedicada as pessoas que tornaram possível a sua realização. Sendo estas a minha família, que sempre estiveram ao meu lado. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 2 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior AGRADECIMENTOS Agradeço à todos os Professores do curso de Engenharia Civil da PUC de poços de caldas em especial os Prof. Dr. José Gabriel Maluf Soler, Profa. Dr. Ana Paula, Prof. Ms. Ronald Savoi de Senna Junior, Prof. Ms. Luiz Antônio dos Reis, com o qual sem seus ensinamentos não seria possível esta apostila. Também agradeço aos alunos que sem as contribuições à esta apostila não seria possível concretiza-la. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 3 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO 05 2. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 07 3. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 38 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 44 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 4 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 1. INTRODUÇÃO Todo engenheiro civil deve ter um conhecimento teórico para resolver as estruturas não somente utilizando os softwares de cálculo. O conhecimento da solução do problema de maneira manual permite não só uma visão melhor dos resultados quanto um domínio maior do software de cálculo, proporcionando dimensões otimizadas e menores chances de erro, o que pode ser crucial na carreira de um engenheiro. O início do cálculo estrutural começa na teoria das estruturas e na mecânica. Através destas disciplinas o aluno consegue calcular por sua vez os esforços e os deslocamentos nas estruturas, podendo então utilizar a norma da região para calcular se a peça irá ou não resistir ao esforço dado. O objetivo desta apostila é proporcionar o conhecimento para os futuros engenheiros de maneira prática e passo a passo. Existem muitos métodos para resolução de estruturas tanto isostáticas quanto hiperestáticas. Para estruturas isostáticas será apresentado o método das seções, que consiste em encontrar as equações que descrevem os esforços da estrutura, para as estruturas hiperestáticas será detalhado o método das forças, sendo este o mais prático quando se calcula uma viga ou um pórtico à mão. Para o cálculo dos deslocamentos e giros serão apresentados dois métodos, um com o qual o aluno integra as equações dos esforços (dispensando a tabela, porém mais demorado) e também será apresentado o método com o qual o aluno utiliza uma tabela de integrais para encontrar o deslocamento da viga, deixando o cálculo mais rápido. Todos os cálculos desta apostila levam em conta a teoria da elasticidade linear para os deslocamentos, ou seja, a teoria proposta por EULER-BERNOULLI. Os Gráficos desta apostila foram todos feitos utilizando o programa FTOOL podendo ser encontrado em: http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ . Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 5 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 2. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Em mecânica estrutural, diz-se que uma estrutura é isostática quando o número de restrições (reações) é rigorosamente igual ao número de equações da estática. É, portanto, uma estrutura estável. Diferem das estruturas hipostáticas (cujo número de reações é inferior ao número de equações) e das estruturas hiperestáticas (número de reações superior). São exemplos de estruturas isostáticas uma viga biapoiada (com um dos apoios podendo se movimentar horizontalmente) e uma viga engastada em balanço. 2.1 RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DAS SEÇÕES Quando se resolve uma estrutura isostática pelo método das seções aplica-se uma forma sistemática de resolução a partir da realização de cortes na estrutura entre cada tipo de carga e/ou apoio. Estes cortes possibilitam o encontro das equações para cada tipo de esforço solicitante que está ocorrendo no trecho analisado. Após encontrada a equação do esforço solicitante basta a plotagem ao longo do trecho desta equação para encontrar os valores dos esforços solicitantes em qualquer lugar da estrutura. Além disso este método dispensa o uso de tabelas para encontrar deslocamentos ou giros pois estaremos integrando diretamente as equações dos esforços. Resolveremos então uma viga isostática pelo método das seções e encontraremos o deslocamento da viga em um ponto escolhido. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 6 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior O primeiro cálculo a ser feito é encontrar as reações de apoio para a viga abaixo : Reações de Apoio Ma=0 (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo) Fy=0 Diagrama dos esforços solicitantes Para encontrar os esforços solicitantes é então necessário cortar os diversos trechos da estrutura a fim de encontrar as equações dos esforços solicitantes. Primeiramente deve-se posicionar os cortes corretamente ao longo da estrutura, sempre entre apoios e entre cargas diferentes. Teremos então um corte na carga distribuída, um corte entre a carga distribuída e a carga concentrada e outro corte entre a carga concentrada e o apoio simples. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 7 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 1°Corte: Observe então que na figura acima foi feito um corte olhando para a esquerda na carga distribuída da viga expondo-se as os esforços de normal, cortante e momento. A distância total deste trecho será chamada de X, portanto a carga concentrada vinda da carga distribuída para este trecho será de q*X e ela estará a uma distância da seção de X/2. Para encontrar as equações para cada esforço deste trecho deve-se realizar o somatório para o equilíbrio na seção.  Normal: Será feito um somatório das forças em X, portanto: N=0  Cortante: Será feito um somatório das forças em Y, portanto:  Momento: Será feito um somatório de momento na seção andando para a esquerda notando que 6x é a carga que foi concentrada a partir da carga distribuída e x/2 é a distância desta carga à seção e 13,8 é a reação de apoio RA e x é a distância total desta carga até a seção, portanto: Estas equações valem com X de 0 a 3. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 8 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 2°Corte: Observe então que na figura acima foi feito um corte olhando para a esquerda após a carga distribuída e antes da carga concentrada da viga expondo-se as os esforços de normal, cortante e momento. A distância total deste trecho será chamada de X, portanto a carga concentrada vinda da carga distribuída para este trecho será de q*3 e ela estará a uma distância da seção de [(X-3)+1,5].O valor X-3 deve-se ao fato de que 3 é uma distância conhecida e X é o total deste trecho, logo a distância da seção à carga distribuída é X-3. Para encontrar as equações para cada esforço deste trecho deve-se realizar o somatório para o equilíbrio na seção.  Normal: Será feito um somatório das forças em X, portanto: N=0  Cortante: Será feito um somatório das forças em Y, portanto:  Momento: Será feito um somatório de momento na seção andando para a esquerda : Estas equações valem com X de 3 a 4. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 9 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 3°Corte: Observação: qd - carga concentrada do carregamento distribuído. qc – carga concentrada.  Normal: N=0  Cortante:  Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo) Estas equações valem com X de 4 a 5. Gráficos de Esforços Solicitantes Para encontrar então os diagramas de esforços solicitantes basta plotar agora as equações encontradas ao longo da viga levando em conta que deve-se respeitar os trechos de cada equação. Cada equação só valerá no respectivo trecho calculado. A equação do trecho 1 só valerá de 0 a 3, a equação do trecho 2 só valerá de 3 a 4 e a equação do trecho 3 só valerá de 4 a 5. Quando o valor de momento der NEGATIVO deve-se desenha-lo em cima da viga (tracionando então as fibras de cima da viga), quando o momento der POSITIVO deve-se desenha-lo em baixo da viga (tracionando então as fibras de baixo da viga), esta é a convenção de sinal adotada pelos calculistas. A cortante segue o sentido da reação de apoio que causa cisalhamento na viga, portanto quando a reação for para cima a cortante começará positiva e Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 10 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior será desenhada para cima da viga ou então basta seguir a equação da cortante, quando o sinal for positivo ela deverá ser traçada em cima da viga e quando negativa ela deverá ser traçada em baixo da viga. A normal será positiva quando ela estiver tracionando a seção da viga e será negativa quando ela estiver comprimindo a seção da viga.  Cortante (V-kN)  Momento(M-kN.m) Pelo método das seções a solução da estrutura acaba se tornando de maneira sistêmica uma vez que o aluno só precisa plotar os pontos das equações conforme os trechos para desenhar os esforços solicitantes. Cabe também ao aluno se identificar com as formas e os tipos de cargas e esforços que aparecem nas estruturas a fim de poder confirmar as equações encontradas. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 11 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 2.2 DESLOCAMENTOS E O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU). Também conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga Substituta e Método de Maxwell-Mohr, o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do PTV, sua formulação geral pode ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não-linear. Seja calcular um determinado deslocamento ∆, por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer. Portanto, este método consiste em colocar uma carga unitária onde deseja-se encontrar o deslocamento (o deslocamento será no sentido da carga, seja x, y ou z). Tendo em mãos os esforços solicitantes causados pela carga inicial e devido a carga unitária podemos encontrar o deslocamento integrando um vezes o outro ao longo de toda a viga. Para encontrar o deslocamento deve-se utilizar a seguinte formulação: ∫ ∫ ∫ Temos então a integração dos três esforços para se encontrar o deslocamento. Para vigas e pórticos são utilizadas as parcelas da normal e do momento pois elas que mostram de maneira mais expressiva a quantidade do deslocamento ou giro. A parcela da cortante contribui muito pouco para o deslocamento ou giro, sendo então (para cálculos manuais ou análises onde não é necessária a precisão) normalmente desprezada no cálculo do deslocamento. Lembrando-se que este tipo de cálculo de deslocamentos ou giros leva em conta a teoria linear elástica de Euller/Bernoulli, ou seja os deslocamentos aumentam de maneira linear a medida que a carga for aumentando. Apesar de este ser o método mais simples e utilizado, as estruturas têm um comportamento não-linear com relação aos deslocamentos, em obras de grande porte é possível levar em consideração a não linearidade para cálculo dos deslocamentos, sendo esta uma vantagem com relação ao dimensionamento dos elementos, podendo gerar economia no orçamento da obra. Calcularemos então para a viga abaixo o deslocamento no ponto indicado. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 12 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Suponha que queremos encontrar o deslocamento vertical no final da carga distribuída, em x = 3m. Devemos então aplicar uma carga unitária onde desejamos encontrar o deslocamento e encontrar os esforços nesta nova estrutura com a carga unitária. Carga Unitária Reação de Apoio Ma=0 (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo) Fy=0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 13 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Diagrama dos esforços solicitantes 1°Corte:  Normal: N=0  Cortante:  Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)  2°Corte:  Normal: N=0  Cortante:  Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 14 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Gráficos  Cortante (V-kN) – Gráfico de cortante para a carga unitária  Momento(M-kN.m) – Gráfico de momento para a carga unitária Para encontrar o deslocamento integramos então as equações de momento, cortante e normal da estrutura com o carregamento inicial contra o carregamento unitário. Chamaremos de M0 o momento no sistema 0 com as cargas iniciais e de M1 para o momento no sistema 1 com a carga unitária. Como já dito a cortante será então desprezada e a normal não existe nessa viga, então a equação para deslocamentos lineares será resumida a: ∫ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 15 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Para facilitar a visualização de quem será integrado contra quem, plote os gráficos do sistema 0 em cima do gráfico do sistema 1. Deve-se integrar as equações que se sobreponham nos seus respectivos trechos, como abaixo : - Momento com a carga inicial - Momento com a carga unitária concentrada ∫ ∫ ∫ Este deslocamento é muito grande para uma viga, ele ficou desta magnitude devido à não consideração do módulo de elasticidade do material e da inerciada seção transversal. Se considerarmos E = 2.5*10^7 kN/m^2 (do concreto) e a Inercia de 0,00635 m^4 este deslocamento passa a ser : Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 16 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior De maneira análoga é possível resolver os mais variados tipos de vigas utilizando então o método das seções, tanto para deslocamentos quanto para giro. Abaixo uma lista de exercícios resolvidos utilizando o método das seções passo a passo. Exercícios Resolvidos : Viga Bi-apoiada Corte : Normal: Cortante: Momento: Gráfico de Cortante (kN): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 17 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Gráfico de Momento (kN.m): Equação do giro: ∫ ∫. / Equação do deslocamento: ∫ ∫. / Condições de contorno: : Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 18 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercícios Resolvidos : Viga Engastada Corte : Normal: Cortante: Momento: Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 19 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Gráfico de Cortante (kN): Gráfico de Momento (kN.m): Equação do giro: ∫ ∫. / Equação do deslocamento: ∫ ∫. / Condições de contorno: : Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 20 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercícios Resolvidos : Viga com carga concentrada  Reações de Apoio:  Equações: ∑ ∑ 1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=5): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 21 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior  Diagramas de esforços solicitantes: Gráfico de Cortante (kN): Gráfico de Momento (kN.m): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 22 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior  Carga Unitária: ∑ ∑ 1º Corte (0<=x<=2):  2º Corte(2<=x<=5): Deslocamento em x=2m: ∫ ∫ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 23 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercícios Resolvidos : Viga com carga triangular  Reações de Apoio:  Equações: ∑ ∑ 1º Corte (0<=x<=4):  Equações e Condições de Contorno: 1º Corte: ∫ ∫ ∫ ∫  Para x = 0 → d = 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 24 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior  Para x = 4 → d = 0  Diagramas de esforços solicitantes: Gráfico de Cortante (kN): Gráfico de Momento (kN.m): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 25 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercícios Resolvidos : Viga com duas cargas concentradas (flexão pura) 1º Corte : Normal: Cortante: Momento: 2º Corte : Normal: Cortante: Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 26 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Momento: 3º Corte : Normal: Cortante: Momento: Gráfico de Cortante (kN): Gráfico de Momento (kN.m): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 27 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Colocando carga unitária para encontrar deslocamento em x = 2: 1º Corte : Normal: Cortante: Momento: Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 28 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 2º Corte : Normal: Cortante: Momento: ∫ ∫ ∫ ∫ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 29 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercícios Resolvidos : Viga com duas cargas variadas Reação de Apoio ∑ ∑ ∑ Esforços Solicitantes X de 0 a 3 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 30 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior X de 3 a 4 X de 4 a 5 Diagramas V(kN) M(kN.m) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 31 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercícios Resolvidos : Viga engastada com duas cargas variadas Reação de Apoio ∑ ∑ ∑ Esforços Solicitantes X de 0 a 2 X de 2 à 4 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 32 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior X de 4 à 7 Diagramas V(kN) M(kN.m) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 33 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 8 – A resolução de pórticos pelo método das seções é feita de maneira similar ao das vigas, porém, agora deve-se analisar barra por barra, os limites de integração começam do zero toda vez que se trocar a barra a ser integrada. Os cortes são feitos de maneira similar, entre cada tipo de carga e apoio, e entre as cargas distribuídas.  Reações de Apoio:  Equações: ∑ ∑ ∑ Primeiro cortamos antes da carga concentrada, depois cortamos depois da mesma. Após isso cortamos entre a carga distribuída e por fim cortamos a ultima barra vertical da direita. 1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=4): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 34 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 3º Corte (0<=x<=5): 4º Corte(0<=x<=4): Agora devemos apenas plotar as equações ao longo das barras, encontrando então o diagrama de esforços solicitantes: Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 35 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior  Carga Unitária: ∑ ∑ 1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=4): 3º Corte (0<=x<=5): 4º Corte(0<=x<=4): Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 36 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior  Deslocamento em x=2,5m Nos pórticos deve-se integrar sempre barra por barra, quando se termina de integrar uma barra os limites de integração voltam a ser zero, como é possível observar nas equações abaixo: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ∫ ) ∫ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior ∫ Página 37 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 3. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS As estruturas hiperestáticas são aquelas que tem uma quantidade de vínculos maior do que o necessário para manter a estrutura em equilíbrio. Na prática normalmente as estruturas hiperestáticas são as que devem ser calculadas, como vigas contínuas, engastes entre vigas e pilares, entre outras. 3.1 O MÉTODO DAS FORÇAS – UTILIZANDO EQUAÇÕES O método das forças é indicado quando se faz necessário o cálculo manual das estruturas hiperestáticas (quando não é possível o auxílio de um computador), sendo então este o primeiro método a ser ensinado nesta apostila. De maneira simplificada ele consiste em remover os vínculos que estão causando a hiperestaticidade da estrutura, aplicando em contrapartida uma carga unitária no sistema agora isostático. Encontrando o deslocamento para este sistema isostático ( com o vinculo excedente removido ) e também o deslocamento ocorrido devido a uma carga unitária, é possível encontrar o chamado sistema de compatibilidade de deslocamentos, do qual tiramos as reações dos vínculos primeiramente removidos. Seja a viga hiperestática abaixo : 1. O primeiro passo é verificar o grau de hiperestacidade da estrutura. No caso de vigas e pórticos simples, o grau de hiperestaticidade é facilmente encontrado. Basta contar o número de vínculos da estrutura, no caso da viga acima temos dois vínculos no apoio fixo da esquerda e mais dois vínculos nos dois apoios móveis da direita. Portanto temos 4 vínculos nesta estrutura, em todas as estruturas teremos 3 equações de equilíbrio, isto é, somatório de momento igual a zero, somatório de forças em y igual a zero e somatório de forças em x igual a zero. O grau de hiperestaticidade é calculado com g = V-3, substituindo então a quantidade de vínculos nesta equação temos g = 4-3, portanto g = 1. Então o grau de hiperestaticidade desta estrutura é um. Isto significa para o método das forças que devemos remover 1 vinculo á escolha para transformarmos esta estrutura em isostática. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 38 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior O segundo passo é escolher o vinculo a ser removido, no caso deste exercício removeremos o apoio central, criando-se o sistema 0, ou seja o sistema principal com a carga real. Iremos então resolver este sistema encontrando suas equações de momento e cortante. CASO O ⅀ ⅀ Fazemos então um corte no meio da carga distribuída, encontrando a seguinte seção : Para ⅀ ⅀ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 39 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior O terceiro passo é colocar uma carga unitária no lugar onde foi removido o vínculo, encontrando então o sistema 1. Deve-se então resolver este sistema 1, encontrando as equações de momento e cortante. CASO 1 ⅀ ⅀ Para ⅀ ⅀ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 40 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Para ⅀ ⅀ Encontradas as equações de momento para o sistema 0 e também para o sistema 1 é necessário encontrar os coeficientes do sistema de compatibilidade de deslocamentos. Estes coeficientes são os deslocamentos do sistema 0 e sistema 1 no ponto onde foi removido o vinculo. Então o Delta 10 são as integrais de momento do sistema 0 contra o sistema 1, e o Delta 11 são as integrais do sistema 1 contra o sistema 1 ( ele mesmo ). ∫ ∫ ∫ ∫ Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 41 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Substituindo então estes valores no sistema de compatibilidade de deslocamentos temos : O valor encontrado de -7,5 kN é o valor da reação de apoio do vinculo inicialmente removido. O sinal negativo da resposta indica que a reação de apoio tem direção inversa à carga unitária adotada. Ou seja, como a carga unitária foi adotada para baixo e a resposta deu negativa, logo temos que a direção da reação de apoio é para cima. Para encontrar os diagramas finais para esta estrutura basta agora aplicar o método das seções em cada trecho e plotar as equações ao longo do eixo da viga: ⅀ ⅀ 6 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 42 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Para ⅀ ⅀ Para ⅀ ⅀ Basta agora somente a plotagem das equações ao longo da viga passando pelos trechos calculados. O método das forças mostra-se uma alternativa eficaz para resolução de estruturas de maneira manual. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 43 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior V(kN) M(kN*m) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 44 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Basta agora somente a plotagem das equações ao longo da viga passando pelos trechos calculados. O método das forças mostra-se uma alternativa eficaz para resolução de estruturas de maneira manual. Caso 0 : Trecho a N=0 V= -2x+4,833 M= -x²+4,833x Trecho b N=0 V= -1,167 M= 1,167x+9 Trecho c N=0 V= -3,167 M= 3,167x+19 Caso 1 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 45 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Trecho a V= 0,5 M= 0,5x N= 0 EI * N= 0 ∫ ∫ ∫ EI * Trecho b V= -0,5 M= -0,5x+3 = 21,2038333 ∫ ∫ R1= Trecho a (Final) N=0 V=-2x+2,477 M=-x²+2,477x = 4,5000 R1= R1 = -4,712 Trecho b (Final) N=0 V= 1,19 M= 1,19x-5,139 Trecho c (Final) N=0 V= -0,81 M= -0,81x+4,861 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 46 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 3) Caso 0 N=0 Trecho a V= -2x+10 M= -x²+10x-28 N=0 Trecho b V= 2 M= 2x-12 Caso 1 N= 0 Trecho a V= 1 M= x-4 N= 0 Trecho a V= 0 M= 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 47 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior EI * ∫ EI * ∫ 138,6667 21,3333 R1= N= 0 R1= Trecho a (Final) V= -2x+3,5 M=-x²+3,5x-2 R1 = -6,50000 Kn Trecho b (Final) N= 0 V= 2 M= 2x-12 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 48 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 4) Trecho a N=-8 V= 0 M= -16 N=0 Trecho b V= -2x+8 M= -x²+8x-16 N=0 Trecho c V= 0 M= 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 49 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior N= 1 Trecho a V= 0 M= 4 EI * ∫ EI * ∫ Trecho b V= -1 M= -x+4 N=0 ∫ ∫ ∫ ∫ R1= Trecho a(Final) N=-4,229 V= 0 M= -0,914 N=-1 R1= Trecho c V= 0 M= 0 = -352 ∫ = 93,33333 R1 = 3,771 Trecho b(Final) N=0 V= -2x+4,229 M= -x²+4,229x-0,914 Trecho c(Final) N=-3,711 V= 0 M= 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 50 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 5) Trecho a N= -5 V= -2 M= -2x N=-2 Trecho b V= -2x+5 M= -x²+5x-8 N=-3 Trecho c V= 2 M= 2x-4 Trecho d N=-3 V= 0 M= -2x-16+20-4+2x = 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 51 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior N= 0 EI * Trecho a V= 1 M= x ∫ Trecho b V= 0 M= 4 ∫ ∫ EI * N=1 N=0 Trecho c V= -1 M= -x+4 ∫ = -117,3333 ∫ ∫ ∫ R1= Trecho a(Final) N=-5 V= -0,94 M= -0,94x ∫ R1= Trecho b(Final) N=-0,94 V=-2x+5 M=-x²+5x-3,76 = 110,6667 R1 = 1,060 Trecho c(Final) N=-3 V= 0,94 M= 0,94x+0,24 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Trecho d(Final) N=-3 V= -1,06 M= -1,06x+4,24 Página 52 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 6) Trecho a N= -2 V= -2 M= -2x N=-2 Trecho b V= 2 M= 2x-8 N=-2 Trecho c V= 0 M= -4 Trecho d N= 0 V= 2 M= 2x-4 Trecho e N= 0 V= 0 M=-4-4-2x+2x+8 = 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 53 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior N= 0 EI * Trecho a V= 1 M= x ∫ ∫ EI * N=1 Trecho b V= 0 M= 4 ∫ N=0 ∫ Trecho c V= -1 M= -x+4 ∫ = -144 ∫ ∫ ∫ R1= Trecho a(Final) N= -2 V= -0,699 M= -0,699x Trecho b(Final) N=-0,699 V=2 M= 2x-2,796 ∫ R1= Trecho c(Final) N= -0,699 V=0 M=1,205 = 110,6667 R1 = 1,301 Trecho d(Final) N=0 V=0,699 M=0,699x+1,205 Trecho e(Final) 1,301 M=1,301x+5,204 N=0 V=- Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 54 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 7) Caso 0 Trecho a N=0 V= -2x+10 M= -x²+10x-26 Trecho b N=0 V= 2 M= 2x-10 Trecho c N=0 V= 0 M= -2x+10-8x+16+10x-26=0 Caso 1 N= 0 Trecho a V= 1 M= x-4 N= 0 Trecho a V= 0 M= 0 Caso 2 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 55 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Trecho a N=0 V=1 M=x-6 EI * ∫ EI * ∫ = 122,6667 = 21,3333 ∫ EI * EI * ∫ EI * ∫ = 37,3333 ∫ =215 = 72 * +* Trecho a(Final) N=0 V=-2x+4,287 M=-x²+4,287x-3,05 = ... R1=5,662 Trecho b(Final) N=0 V=1,95 M=1,95x-9,698 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior R2=0,050 Trecho c(Final) N=0 V=-0,05 M=-0,05x+0,3 Página 56 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 8) Caso 0 Trecho a N=0 V=-2x+12 M=-x²+12x-36 Caso 1 N= 0 Trecho a V= 1 M= x-4 Trecho a N= 0 V= 0 M= 0 Caso 2 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 57 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Trecho a N=0 V=1 M=x-6 EI * ∫ EI * ∫ = 181,3333 = 21,3333 ∫ EI * EI * ∫ EI * ∫ * = 37,3333 = 324 = 72 +* N=0 Trecho a(Final) V=-2x+4,25 M= -x²+4,25x-3 = ... R1= 6,75 N=0 R2= 1,00 Trecho b(Final) V= -2x+11 M=-x²+11x-30 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 58 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 9) Trecho a N=-8 V= 0 M= -16 N=0 Trecho b V= -2x+8 M= -x²+8x-16 N=0 Trecho c V= 0 M= 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 59 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior N= 1 Trecho a V= 0 M= 4 Trecho a N= 0 V= -1 M= -x N=0 Trecho b V= -1 M= -x+4 Trecho b N=-1 V= 0 M= -4 N=-1 Trecho c V= 0 M= 0 Trecho c N=0 V= 1 M= x-4 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 60 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 9) Continuação N= 0 Trecho a V=0 M= 1 EI * ∫ EI * ∫ EI * ∫ EI * ∫ EI * ∫ ∫ = 93,3333 ∫ = -64 ∫ ∫ ∫ = 24 = 213,3333 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 110,6667 = -32 ∫ ∫ Trecho c V= 0 M= 1 -352 ∫ EI * EI * N=0 ∫ ∫ ∫ ∫ Trecho b V= 0 M= 1 ∫ EI * EI * N=0 = -85,3333 = 12 * N= -4 = ... Trecho a(Final) V=-0561 M=-0561x+0,607 Trecho b(Final) N=-0,561 V=-2x+4 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 61 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 3.2 O MÉTODO DAS FORÇAS – UTILIZANDO TABELA O método das forças é indicado quando se faz necessário o cálculo manual das estruturas hiperestáticas (quando não é possível o auxílio de um computador), sendo então este o primeiro método a ser ensinado nesta apostila. Agora, os mesmos exemplos resolvidos utilizando as equações para cada tipo de esforço serão resolvidos agora utilizando a tabela de integrais. Isto significa que o aluno não precisa calcular as integrais das equações, basta olhar a tabela com a figura desejada e verificar o resultado. O ponto fraco é que o aluno fica incapaz de resolver as estruturas sem utilizar a tabela. Cabe ao aluno ou professor ensinar o método que for mais interessante no momento em questão, em geral para faculdades com ponto forte em cálculo utilizase integrar as equações, para faculdades com tendências à construção pode-se ensinar a calcular utilizando a tabela. Nada impede que se aprenda a calcular utilizando os dois métodos. A tabela de integrações é dada na próxima página, esta tabela foi obtida do departamento de estruturas da UFG (Universidade Federal de Goiás). Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 62 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 63 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 1 Inicialmente fazemos a verificação do grau do hiperestaticidade (h) da estrutura: Sendo c = 1 chapa vem Bn = 3c, logo Bn = 3 A somatória dos vínculos dos apoios (Be) é (2+1+1) 4, então: Be- Bn = h 4-3=1(grau1) Então se altera a estrutura de forma que h seja 0, neste exercício o apoio móvel colocado no meio da viga foi removido. A condição para realização do calculo é retirar os vínculos ate que a estrutura seja isostática e acrescentar forças unitários onde os vínculos foram retirados, ou seja, onde foi retirado o apoio móvel foi acrescentada uma força unitária no eixo Y. Reações de Apoio (caso 0) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 64 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Obs.: entende-se por caso 0 aquele que os apoios agora estão dispostos de modo a tornar a estrutura isostática e o cálculo é feito com a carga real Fx= 0 Ha=0 kN M(a)= 0 (Rb*6) – [(4*6)*3]=0 Rb = 12 kN Fy= 0 Ra+Rb – (4*6)= 0 kN Ra+ 12 – (4*6)= 0 kN Ra = 12 kN Reações de Apoio (caso 1) Obs.: entende-se por caso 1 aquele que os apoios agora estão dispostos de modo a tornar a estrutura isostática e o cálculo é feito com a carga real Fx= 0 Ha=0 kN M(a)= 0 (Rb*6) – (1*3) =0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 65 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Rb = 0,5 kN Fy= 0 Ra+Rb – 1 = 0 kN Ra+ 0,5 – 1 = 0 kN Ra = 0,5 kN Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M – kN.m), respectivamente): Caso 0 Sabendo que onde a V=0 o M=max, calcula-se a área formada pela cortante e obtém-se o momento. No caso acima, por semelhança de triangulo encontra-se o local onde V=0 : (12) esta para (x) assim como (12) esta para (6-x), por tanto x=3 se a base do triangulo é 3, vem: [(3*12)/2] o momento máximo será 18. Sabendo que a carga é constante, a V será linear e logo o momento será uma curva de segundo grau. Caso 1 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 66 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Sabendo que onde a V=0 o M=max, calcula-se a área formada pela cortante e obtém-se o momento. No caso acima, sabe-se que a carga unitária que gera a V=0 esta a 3m do ponto A, se a base do retangulo é 3, vem: (3*0,5) o momento maximo será 1,5. Sabendo que a carga é concentrada, a V será constante e logo o momento será linear. Combinações: Usando a tabela em anexo, deve combinar as figuras formadas pelos gráficos dos momentos dos casos 0 e 1, atentando sempre para o sinal da integral, ou seja, quando as áreas estiverem em sentidos opostos no gráfico (por exemplo: o momento no caso 0 traciona as fibras superiores e no caso 1 traciona as inferiores) a integral deverá ser negativa. Combina-se primeiro o gráfico da sit. 0 com sit. 1 e sit.1 com sit. 1. (no caso de h=1) + 10= 2* ( 10= 2* ( 10= ) ) 67,5 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 67 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 11 = ( ) 11= ( ) 11= 4,5 Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 67,5 + X1*4,5 = 0 X1 = 15 kN Reações de Apoio: Combinando os valores da sit 0 com sit 1 é possível chegar ao esforço real da estrutura no seu estado hiperestático. E0 + X1*E1 = 0 Ra = 12 + (15)*0,5 = 4,5 kN \Rb = 12 + (15)*0,5 = 4,5 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 68 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 2 Ficando: Reações de Apoio (sit 0) Fx= 0 Ha=0 kN M(a)= 0 (Rb*3) – [(4*3)*1,5]=0 Rb = 6 kN Fy= 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 69 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Ra+Rb – (4*3) = 0 kN Ra+ 6 – (4*3) = 0 kN Ra = 6 kN M(b)= 0 (Rc*3) – (4*2)=0 Rb = 2,6667 kN Fy= 0 Rc+Rb – 4 = 0 kN Rb+ 2,6667 – 4 = 0 kN Ra = 1,33333 kN Rb total = 1,33333 + 6 Rb total = 7,33333 kN Reações de Apoio (sit 1) Fx= 0 Ha=0 kN M(b)= 0 (Ra*3) + 1=0 Ra = -1/3 kN M(c)= 0 [(-1/3)*6] + 1 – 1 (Rb *3) = 0 Ra = 2/3 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 70 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Fy= 0 - Ra -Rc +Rb = 0 kN - Rc + (2/3) – (1/3) = 0 kN Ra = -1/3 kN Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M – kN.m), respectivamente): Sit. 0 Sit. 1 Combinações: + 10 = -( ) + [- + ] Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 71 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior + (10= ) -( ) + [- ]+ (- ) 10= -6,2778 + 11= 2* ( 11= 2* ( 11= ) ) 2 Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 -6,2778 + X1*2 = 0 X1 = 3,1389 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Ra = 6 + (3,1389*-0,3333) = 4,9537 kN Rb = 7,3333 + (3,1389*0,6667) = 9,4259 kN Rc = 2,6667 + (3,1389*-0,3333) = 1,6204 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 72 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 3 Ficando Reações de Apoio (sit 0) Fx= 0 Ha=0 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 73 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior M(a)= 0 (Rb*4) – [(4*4)*2] * (4*6)=0 Rb = 14 kN Fy= 0 Ra+Rb – (4*4) - 4 = 0 kN Ra+ 6 – 20 = 0 kN Ra = 6 kN Reações de Apoio (sit 1) Fx= 0 Ha=0 kN M(b)= 0 (Ra*4) - 1=0 Ra = -1/4 kN Fy= 0 Ra +Rb = 0 kN Rb – (1/4) = 0 kN Ra = 1/4 kN Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M – kN.m), respectivamente): Sit. 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 74 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Sit. 1 Combinações: + 10 = -( 10= -( 10= - 5,7777 )+ ( )+( ) ) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 75 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 11= ( ) 11= ( 11= 1,3333 ) Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 - 5,7777 + X1* 1,3333 = 0 X1 = 4,3333 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Ra = 6 + (4,3333 0,25) = 7,08 kN Fy= 0 7,08 +Rb – (4*4) - 4 = 0 kN Rb = 11,92 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 76 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 4 Ficando: Reações de Apoio (sit 0) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 77 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Fx= 0 Ha=0 kN M(a)= 0 Ma – [(4*4)*2] =0 Ma = 32 kN.m Fy= 0 Ra - (4*4) = 0 kN Ra = 16 kN Reações de Apoio (sit 1) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 78 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Fx= 0 Ha=0 kN M(b)= 0 Ma – (1*4)=0 Ma = 4 kN.m Fy= 0 Ra +1 = 0 kN Ra = -1 kN Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M – kN.m), respectivamente): Sit. 0 Sit. 1 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 79 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Combinações: + 10 = (- 10= (- 10= - 640 )+ (- ) )+( ) + 11= ( )+( 11= (- 11= 85,3333 )( ) ) Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 - 640 + X1* 85,3333 = 0 X1 = 7,5 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 80 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Ra = 16 + (7,5*-1) = 8,5 kN Rb = (4*4) -Ra = 7,5 kN Ma= (7,5*4) - (16*2)= 2kN.m Exercício 5 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 81 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Ficando: Reações de Apoio (sit 0) Fx= 0 Ha=4 kN M(a)= 0 (Rb *4) – [(4*4)*2] – (4*2) =0 Rb = 6 kN.m Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 82 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Fy= 0 Ra + Rb – 16 = 0kN Ra = 10 kN Reações de Apoio (sit 1) Fx= 0 Ha= 1 kN Fy= 0 Ra + Rb = 0 kN Ra = 0 kN Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M – kN.m), respectivamente): Sit. 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 83 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Sit. 1 Combinações: + 10 =( ( + ) + [( + [ 10= ( + )+ )] + [( )] )] ( ) + [( )] + [( )] + [ 10= )+ )] 218,6667 + + Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 84 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 11= ( ) +( 11= ( 11= 106,6667 ) +( )+( )+ ( ) ) Na matriz: 10 + X1 * 11 = 0 - 218,6667 + X1* 106,6667 = 0 X1 = -2,04999 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Ra = 10 + (-2,04999 *0) = 10 kN Rb = 6 + (-2,04999 * 0) = 6 kN Ha= 4 – (-2,04999 * 1)= 1,95 kN Hb= 4 – Ha = 2,05 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 85 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 6 Ficando: Reações de Apoio (sit 0) Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 86 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Fx= 0 Ha=4 kN M(a)= 0 (Rb *4) + (4*2) – (4*2) =0 Rb = 6 kN.m Fy= 0 Ra + Rb – 4 = 0kN Ra = 4 kN Reações de Apoio (sit 1) Fx= 0 Ha= 1 kN M(a)= 0 (Rb *4) - (4*1) =0 Rb = 1 kN.m Fy= 0 Ra - Rb = 0 kN Ra = 1 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 87 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M – kN.m), respectivamente): Sit. 0 Sit. 1 Combinações: + 10 + = ( ) + [( ) + [ )] Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 88 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 10= 10= ( ) + [( )+[ )] 272 + 11= ( 11= ( 11= 106,6667 + ) +( ) +( )+( )+ ( ) ) Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 272 + X1* 106,6667 = 0 X1 = -2,549999 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Rb = 0 + (-2,549999 * 1) = 0 kN Ha= 4 – (-2,549999 * 1)= 1,45 kN Fazendo Fx= 0 e Fy = 0 Ra = 4 kN e Hb= 2,55 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 89 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 7 Ficando: Reações de Apoio (sit 0) Fx= 0 Ha=0 kN M(a)= 0 -(Rb *6) + (4*5) – (16*2) =0 Rb = 8,666667 kN.m Fy= 0 Ra + Rb – 4 - 16 = 0kN Ra = 11,333333 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 90 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Reações de Apoio (sit 1) Fx= 0 Ha= 0 kN M(a)= 0 - (Rb *6) -(4*1) - 1 =0 Rb = 0,8333 kN.m Fy= 0 Ra - 0,8333 + 1= 0 kN Ra = - 0,16666 kN Sit. 0 Para encontrar o valor máximo do momento faz-se semelhança de triangulo, obtem-se o x onde V=0, calcula-se a área. No caso acima, por semelhança de triangulo encontra-se o local onde V=0 (11,3) esta para (x) assim como (4,7) esta para (4-x), por tanto x=2,833333 se a base do triangulo é 2,8333333, vem: [(11,3*2,8333333)/2] o momento maximo será 16,1 (arredondado) Sit. 1 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 91 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Combinações: + 10 ( + )+ + = + [- )+[ + + { )+ )]} + ( ) 10=+[- )+[ +{ )+ 10= )]} + ( ) -83,553578 + 11= { )+ 11= { )+ 11= 11,55373 )]}+ ( ) )]}+ ( ) Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 -83,553578 + X1* 11,55373= 0 X1 = 7,36733 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 92 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Ra = 11,3333 + (13,5 * -0,16666) = 10,10 kN Rb = 8,666667 + (13,5 * 0,83333) = 14,806 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 93 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Exercício 8 Ficando: Reações de Apoio (sit 0) Fx= 0 Ha=0 kN M(a)= 0 kN.m Ma – (4*6*3)= 0 Ma= 24 kN.m Fy= 0 Ra – (4*6) = 0 kN Ra = 24 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 94 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Reações de Apoio (sit 1) Fx= 0 Ha= 0 kN M(a)= 0 - Ma -(1*4) – (1*6) =0 Ma = 10 kN.m Fy= 0 Ra + 1+ 1= 0 kN Ra = 2 kN Sit. 0 Sit. 1 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 95 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Combinações: ( + )+ 10 = 10= 10= 541,3333 + 11= , 11= , 11= 168 Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 541,333333+ X1*168 = 0 X1 = -3,2222 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Ra = 24 + (-3,2222*2) = 17,5555 kN, vem: Fx= 0 Ha=0 kN Fy= 0 Ra + Rb + Rc – (4*6) = 0 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 96 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior M()= 0 Exercício 9 Ficando: Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 97 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Reações de Apoio (sit 0) Fx= 0 Ha= kN M(a)= 0 kN.m Ma – (4*4*2)= 0 Ma= 32 kN.m Fy= 0 Ra – (4*4) = 0 kN Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 98 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Ra = 16 kN Reações de Apoio (sit 1) Considerando sit 1: Fx= 0 Ha= - 1 kN M(a)= 0 Ma – (1*4) – 1= 0 Ma= 5 kN.m Fy= 0 Ra + 1 = 0 kN Ra = -1 kN Sit. 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 99 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Sit. 1 Combinações: + 10 = - 10= - 10= -1237,3333 + + Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 100 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 11= , - 11= , - , - , 11= , , - 444 Na matriz: 10 + X1* 11 = 0 -1237,3333+ X1*444 = 0 X1 = 2,78678 kN Reações de Apoio E0 + X1*E1 = 0 Ra = 16 + (2,78678* -1) = 13,2132 kN, vem: Fx= 0 Ha + Hb + (4*4)=0 kN Fy= 0 Ra + Rb – (4*6) = 0 kN M()= 0 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 101 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Campos. Rio de Janeiro, 2010. MARTHA, Luiz Fernando. FTOOL–Um programa gráfico-interativo para ensino de comportamento de estruturas. Versão educacional, v. 2, p. 33, 2002. LAIER, JOSE ELIAS; BARREIRO, J. C. Complementos de resistência dos materiais. Sao Carlos: EESC/USP, 2a. ed., L&B [2003], v. 26, n. 02, 1983. BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russell. Resistência dos materiais. McGraw-Hill, 1982. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 102 Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 103 7 View publication stats