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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS PROGRAMA: 1) Equações Diferenciais de 1a Ordem a) Definição e classificação das equações diferenciais. b) Solução geral e solução particular. c) Equação de Variáveis Separáveis. d) Equação Homogênea. e) Equações Lineares. f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante. g) Aplicações. 2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n a) Classificação. b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2a ordem com coeficientes constantes. c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular. h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea. j) Equação de Euler-Cauchy generalizada. k) Método da Redução de Ordem. l) Aplicações. 3) Sistemas de Equações Diferenciais a) Método da Eliminação. b) Método dos Operadores. c) Método Matricial (autovalores e autovetores). d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos). 4) Transformação de Laplace a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais. b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais. 5) Seqüências e Séries de Números Reais a) Seqüências. b) Séries Numéricas. c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. e) Série de MacLaurin. Série de Taylor. 6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius).
Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William Boyce & Richard Diprima
1
Equações diferenciais de 1a ordem 1.1
Equações diferenciais
Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação diferencial. Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas totais é denominada de equação diferencial ordinária. Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada parcial é denominada de equação diferencial parcial. Exemplos: d 2 y dy a) x ⋅ 2 − =2 dx dx b) x ⋅ dy − y ⋅ dx = 0
ordinárias
c) y′′ + y = e x d) e)
∂ 2z ∂x 2 ∂ 2u ∂x 2
+ +
∂ 2z
= 0 , z = z(x, y )
∂y 2 ∂ 2u ∂y 2
+
∂ 2u ∂z 2
parciais
= 0 , u = u (x, y, z )
Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior” derivada que aparece na equação. Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior ordem envolvida na equação. Exemplos: d 2 y dy a) + +y=0 dx 2 dx b) c)
d) x ⋅ ∂ 2u ∂x 2
− 2t 2 + 2 ⋅ cos(t ) ⋅
3
d2y dx
e)
10
dx dt
dy dx
+x⋅
2
∂ 3u
+
∂ 2u ∂y 2
= y⋅ =0
dt 3
4
2
∂x ⋅ ∂y 2
d 3x
= ex ∂ 2u ∂y 2
3
=0
1.2
Resolução
Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que satisfazem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas curvas integrais. Existem 3 tipos de soluções: 1.2.1 Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração; 1.2.2 Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes; 1.2.3 Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só existe em alguns casos. Exemplos: a) Dada a equação
dy = 2x , determine a solução geral e represente geometridx
camente. (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: i) y = c1 ⋅ sen (x ) + c 2 ⋅ cos(x )
ii)
y = c⋅x2
iii) iv)
y = c1 ⋅ x 2 + c 2 y = a ⋅ cos(x + b ) , onde a e b são constantes
v)
y = c1 ⋅ e 3x + c 2 ⋅ e −2x
Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação diferencial num ponto. Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é chamada problema de valor inicial (PVI). Exemplos: a) Seja a equação diferencial y′′ + y = 0 . Verifique que a função y = c1 ⋅ sen (x ) + c 2 ⋅ cos(x ) é solução da equação diferencial e determine o valor das y(0) = 2 constantes (a solução particular) através do PVI . y′(0 ) = 1 b) Idem para
d2y dx 2
−
y(0 ) = 0 dy − 6y = 0 , y = c1 ⋅ e 3x + c 2 ⋅ e −2x , . dx y′(0 ) = −10
c) Idem para y′′ + 4y = 0 , y = c1 ⋅ cos(2x ) + c 2 ⋅ sen (2x ) ,
1.3
( 4 ) = −3 . y′(π 4 ) = −5 yπ
Exercícios
1) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: a) x 2 + y 2 = c 2 R: x ⋅ dx + y ⋅ dy = 0 dy b) y = c ⋅ e x R: −y=0 dx c) x 3 = c ⋅ x 2 − y 2 , x 2 ≠ y 2 e x ≠ 0 R: 2xy ⋅ dy + x 2 − 3y 2 ⋅ dx = 0
(
(
)
2
d) y = c1 ⋅ cos(2x ) + c 2 ⋅ sen (2x )
R:
e) y = (c1 + c 2 x ) ⋅ e x + c 3
R:
f) y = c1 ⋅ e 2x + c 2 ⋅ e − x
R:
g) ln
x = 1 + ay ; a ≡ c te , x, y ≠ 0 y
d y dx 2 d3 y 3
dx d2y
)
+ 4y = 0
− 2⋅
d2 y dx
2
+
dy =0 dx
dy − 2y = 0 dx 2 dx x R: y ⋅ dx − x ⋅ ln ⋅ dy = 0 y −
2) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação: a) y′ + 2y = 0 ; y = c ⋅ e -2x b) y′′′ = 0 ; y = ax 2 + bx + c c) y′′ + y = 0 ; y = a ⋅ cos(x ) + b ⋅ sen (x ) d) y′′ − y = x ; y = c1 ⋅ e x + c 2 ⋅ e − x − x e) y′ = 2x ; y = x 2 + c 2y f) y′ = ; y = c ⋅ x2 x g) y′ + 2xy = 0 ; y = c ⋅ e - x x h) y′ = − ; x 2 + y 2 = c y
2
i) y′ − y = e 2x ; y = c ⋅ e x + e 2x y1 = c ⋅ x − c 2 j) (y′ )2 − xy′ + y = 0 ; x2 y2 = 4 k) y′′ + y = 0 ; y = cos(x )
y1 = sen (x ) l) y′ = cos(x ) ; y 2 = sen (x ) + 3 4 y 3 = sen (x ) − 5 y1 = e x m) y′ − y = 0 ; y 2 = 2 ⋅ e x 6 y3 = − ⋅ e x 5 y1 = x 2
n) x 2 ⋅ y′′ − 4x ⋅ y′ + 6y = 0 ; y 2 = x 3 y 3 = c1 ⋅ x 2 + c 2 ⋅ x 3 3) Em cada caso, determinar y = f (x ) ⋅ dx e a constante de integração c, de modo que y satisfaça a condição dada: a) f (x ) = x 2 ; y(2) = 0 b) f (x ) = cos 2 (x ) ; y(π ) =
π 2
c) f (x ) = cos(2x ) ; y(0 ) = 1 d) f (x ) = x ⋅ e - x
2
(
)
1 3 x −8 3 1 1 R: y = x + sen (2x ) 2 4 sen (2x ) R: y = +1 2 2 1 R: y = − e − x + 1 2
R: y =
; y(0 ) = 0
4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular satisfaça a condição dada: R: y = 3 ⋅ e − x a) y′ + y = 0 ; y = c ⋅ e − x ; y(0) = 3 b) y′ + y = 5 ; y = c ⋅ e − x + 5 ; y(1) = 6 2
c) y′ + 2xy = 0 ; y = c ⋅ e − x ; y(0) = −2 dy 2y d) = ; y = c ⋅ x 2 ; y(1) = 3 dx x y(1) = −8 d 2 y dy e) x 2 − = 0 ; y = c1 ⋅ x 2 + c 2 ; dx y′(1) = 4 dx f)
d2y dx
2
+ y = 0 ; y = a ⋅ cos(x + b ) ;
( ) ( )
y 3π = a 2 2 3 π ′ y 2 = 3
R: y = e1− x + 5 R: y = −2 ⋅ e − x
2
R: y = 3 ⋅ x 2 R: y = 2x 2 − 10 R: y = 2 ⋅ cos x +
π 6
5) Suponha que r1 e r2 são duas raízes reais e distintas da equação ar 2 + (b − a )r + c = 0 . Verifique se a função y = d1x r1 + d 2 x r2 , onde d1 e d2 são
constantes arbitrárias, ax 2 y′′ + bxy′ + cy = 0
1.4
uma
solução
da
equação
diferencial
Equações de 1a ordem e 1o grau
São equações do tipo Se f (x, y ) = −
1.5
é
dy = f (x, y ) . dx
M (x, y ) , com N(x, y ) ≠ 0 , podemos escrever: N (x, y ) dy M (x, y ) Mdx + Ndy = 0 =− dx N (x, y )
Equações de Variáveis Separáveis
Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo Mdx + Ndy = 0 , onde M e N podem ser: 1.5.1 funções de uma variável ou 1.5.2 produtos com fatores de uma só variável 1.5.3 constantes.
ou
São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar.
Exemplos: a) y 2 − 1 dx − (2y + xy )dy = 0
( ) c) (x − 1)⋅ 2
b) ydx − xdy = 0 dy d) = 3x − 1 dx
1 − y 2 ⋅dx − x 2 ⋅ dy = 0
e) tg(x ) ⋅ sec(y ) ⋅ dx − tg(y ) ⋅ sec(x ) ⋅ dy = 0
1.6
Exercícios
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) (x − 1)dy − ydx = 0 R: y = k (x − 1) dy 1 + y2 b) = dx 1 + x 2 xy dy c) + y ⋅ cos(x ) = 0 dx
(
)
d) sec 2 (x ) ⋅ tg(y ) dx + sec 2 (y ) ⋅ tg(x ) dy = 0 dy dy e) a ⋅ x + 2y = xy dx dx
kx 2
R: y = 2
x 2 +1 k R: y = sen(x ) e
−1
R: tg(y ) = k ⋅ cotg(x )
(
R: y = ln kx
2a
⋅ ya
)
( ) ( ) R: ln g) (x 2 + a 2 )(y 2 + b 2 )dx + (x 2 − a 2 )(y 2 − b 2 )dy = 0
x 1 1 1 − + 2 =k 2 y 2 x y
f) 1 + x 2 y 3dx + 1 − y 2 x 3dy = 0
x −a R: x + ln x+a 1 dy h) − tg(y ) = 0 x dx
(
a
+ y − 2b ⋅ arctg
y =c b
R: x ⋅ cos( y ) = k
(
)
)
1 =c y
2
i) 4xy 2dx + x 2 + 1 dy = 0
R: ln x 2 + 1 −
j) xy ⋅ dx − 3(y − 2) ⋅ dy = 0
R: 6y − x 2 = ln (ky )12
2
2
k) xdx + ye − x dy = 0 l) (2 + y )dx − (3 − x )dy = 0
R: e x + y 2 = k R: (2 + y )(3 − x ) = k
m) xy ⋅ dx − 1 + x 2 ⋅ dy = 0
R: y 2 = k 1 + x 2
(
)
dy e −2y = 2 dx x + 4 o) cos 2 (y ) ⋅ sen (x )dx + sen (y ) ⋅ cos(x )dy = 0 n)
(
)
x +k 2
R: e 2y = arctg
R: ln (sec(x )) + sec(y ) = k
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
(
)
a) y − y 2 dx − dy = 0 ; y(0) = 2
1 1 1− e−x 2 2 R: y = 2e x − 1 R: y =
b) e x dx − ydy = 0 ; y(0 ) = 1 ydx − x dy = 0 ; y(1) = 4
c)
R: y =
d) y dx + (x − 1)dy = 0 ; y(0) = 1 2
(
)
( )
e) dx + x 3 − x dy = 0 ; y(2 ) = ln 3
(
) (
)
f) 1 − y 2 dx + 1 − x 2 dy = 0 ; y(2) = 2
(
)
(
)2
x +1
R: 1 − x = e
1− y y
R: y = ln
3x
2 x 2 −1 y −1 x +1 = R: y + 1 9(x − 1) y +1 = 3⋅ e y −1
1− x 2
g) 1 − y 2 dx + x 3dy = 0 ; y(1) = 2
R:
h) 1 − y 2 dx + 1 − x 2 dy = 0 ; y(1) = 1
R: arccos(x ) + arccos(y ) = 0
i) 1 + y 2 dx + 1 + x 2 dy = 0 ; y(1) = 1
R: arctg(y ) =
(
) (
(
)
)
j) (x + 3)ydx + 6x − x 2 dy = 0 ; y(7 ) = 1
R: y 2 =
x2
π 2
− arctg(x )
7(x − 6 )3 x
k) xe y dx − 2(x + 1)2 ydy = 0 ; y(0 ) = 0 1 R: − 2e − y (y + 1) = ln (x + 1) + −3 x +1 l) y ⋅ ln (x )dx − (x + 1)2 dy = 0 ; y(1) = 1
(
m) e x dx − 1 + e R: y = e x
) dy = 0 ; y(0) = 0 1 − ln (e + 1) − + ln (4 ) e +1
R: y =
2x 1 x x +1
⋅ (x + 1)
−x 2
x
2
x
( )
n) (cotg(x ) + tg(x ))ydx − (ln (tg(x )))dy = 0 ; y π = ln (3) 3 2 R: y = ln (tg(x ))
( )
o) sen (2x )dx + cos(3y )dy = 0 ; y π = π 2 3 −x p) xdx + ye dy = 0 ; y(0 ) = 1 dr q) = r ; r (0) = 2 dθ dy 2x r) = ; y(0 ) = −2 dx y + x 2 y s)
t)
(
dy = xy 3 1 + x 2 dx
) 12 ; y(0) = 1 −
dy 2x = ; y(2 ) = 0 dx 1 + 2y
(
)
u) xe x dx + y 5 − 1 dy = 0 ; y(0 ) = 0 2
R: 2sen (3y ) = 3cos(2x ) + 3 R: y 2 = 2e x (1 − x ) − 1
R: r = 2eθ
[ (
R: y 2 = ln e 2 1 + x 2 R: y 2 =
(
1
3 − 2 1+ x2
)]
2
)
2
1
R: y(1 + y ) = x 2 − 4 2
(
)
R: 3e x + y y 5 − 6 = 3
dy y − 4x = não é separável, mas se a variável y for dx x − y y substituída por uma nova variável v, definida por v = , então a equação se x torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica. R: (y + 2x )3 (y − 2x ) = k
3) Observe que a equação
1.7
Equações Homogêneas
Definição 8: Diz-se que uma função f (x, y, z ) é homogênea se, substituindo-se
x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade f (kx, ky, kz ) = k m ⋅ f (x, y, z ) , onde m é dito grau de homogeneidade. Exemplos: f) f (x, y ) = x 2 − 2xy + y 2
g) f (x, y, z ) = 5 x 3 + xy 2 + y 3 − xyz − z 3 x 2 − xy + y 2
h) f (x, y ) =
x + xy + y 2
2
+ sen
y x
Definição 9: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser transformadas, em Mdx + Ndy = 0 , onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Exemplos: a) x 2 − y 2 ⋅ dx − 2xy ⋅ dy = 0
( c) (x
2
−y
2
) )⋅ dx − (x + 4y )⋅ dy = 0
b) (2x − y ) ⋅ dx − (x + 4y ) ⋅ dy = 0
Seja Mdx + Ndy = 0 uma equação homogênea. dy M Então, Mdx = − Ndy =− . dx N Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade M numa função do tipo m. Daí, se dividirmos M e N por xm, transformaremos − N y F . x dy y Daí, =F . (I) dx x y Se fizermos = t ou y = tx e derivarmos em relação a x, teremos a equação x dy dt =t+x . (II) dx dx dt dx dt = Substituindo (II) em (I), t + x = F(t) , que é uma equação dx F(t) − t x de variáveis separáveis.
Exemplos: a) 2x 2 ⋅ dy + y 2 − 2xy − x 2 ⋅ dx = 0
( ) c) (x 2 − 3y 2 ) ⋅ dx + 2xy ⋅ dy = 0
1.8
(
)
b) xy 2 ⋅ dy − x 3 + y 3 ⋅ dx = 0
Exercícios
2) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) x 2 − y 2 dx − 2xydy = 0 R: x 3 − 3xy 2 = k
(
(
)
)
y2 2
b) x 2 + y 2 dx − xydy = 0
R: kx = e 2x
c) (x − y )dx − (x + y )dy = 0
R: x 2 − 2xy − y 2 = k
(
)
d) x 2 + y 2 dx + (2x + y )ydy = 0
R: x 3 + 3xy 2 + y 3 = k
e) (x + y )dx + (y − x )dy = 0
R: ln k x 2 + y 2 = 2 ⋅ arctg
(
[(
)
)]
f) x (x + 2 y )dx + x 2 + y 2 dy = 0
R: x 3 + 3x 2 y + y 3 = k
g) xdy − ydx = x 2 + y 2 dx ; x > 0
R:
(
x 2 + y 2 + y = kx 2 y R: ln (x − y ) + = k x
)
h) x 2 − xy + y 2 dx − xydy = 0 y
dy y i) = ex + dx x
j) x ⋅ sen
R: ln (kx ) = tg
y + x + y dx − xdy = 0 x
)
k) ydx + 2 ⋅ xy − x dy = 0 ; x > 0
(
) (
R:
x x x dx + y ⋅ sen − x ⋅ cos y y y
n) (x − 2y )dy + ydx = 0
y y − sec x x
x + ln (y ) = k y
(
)
)
R: x 2 + y 2 ⋅ (x + y )2 = k
l) 4x 2 + 3xy + y 2 dx + 4y 2 + 3xy + x 2 dy = 0 m) y ⋅ cos
k x
R: y = − x ⋅ ln ln
(
y x
dy = 0
3
R: y = k ⋅ cossec
R: y ⋅ (y − x ) = k
x y
2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: a) (2x − y )dx − (x + 4y )dy = 0 ; x = 1 ; y = 2 R: x 2 − xy − 2y 2 + 9 = 0 3 b) x 2 − 3y 2 dx + 2xydy = 0 ; x = 2 ; y = 1 R: y 2 − x 2 = − x 3 8
(
)
dy x 2 + xy c) dx = x 2 y(1) = 1
dy d) dx = y(1) =
y − x ⋅ cos 2
π
x
R: x =
y x R: tg
y−x e x
y = 1 − ln (x ) x
4
dy 4y 3 + 3xy 2 e) dx = x3 y(3) = 1
R: (y + x )(4y − x )4 =
4 5
3
⋅ (xy )5
3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares, x = r ⋅ cos(θ ) e y = r ⋅ sen (θ ) , transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações: x 2 + y2 a) x 2 + y 2 dx − xydy = 0 R: ln (kx ) = 2x 2
(
)
b)
1.9
dy y x y = ⋅ ln + dx x y x
R: x ⋅ ln
x =k y
Equações Diferenciais Exatas
Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma Mdx + Ndy = 0 é diferencial exata se existe U (x, y ) tal que: dU = Mdx + Ndy = 0 (como dU = 0 então U (x, y ) = c ) Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. Mdx + Ndy = 0 é ∂M ∂N = diferencial exata se, e somente se, . ∂y ∂x Demonstração: ( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que Mdx + Ndy = 0 é diferencial exata. Então, ∃U(x, y ) tal que U (x, y ) = c e dU = Mdx + Ndy = 0 . Pela definição de diferencial total, ∂U ∂U dU = dx + dy ∂x ∂y ∂U ∂U Mdx + Ndy = dx + dy ∂x ∂y ∂U ∂U M= e N= ∂x ∂y ∂M ∂N ∂2U ∂ 2U e . = = ∂ y ∂y∂x ∂x ∂x∂y Pelo teorema de Schwartz, Daí,
∂ 2U ∂2U = . ∂x∂y ∂y∂x
∂M ∂N = . ∂y ∂x
(⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que Seja Mdx + Ndy = 0 . Pelo teorema de Schwartz,
∂ ∂U ∂ ∂U . = ∂y ∂x ∂x ∂y
∂U ∂U e N= . ∂x ∂y ∂U ∂U dy . Mdx = dx e Ndy = ∂x ∂y
Daí, M =
∂M ∂N = . ∂y ∂x
∂U ∂U dx + dy = dU = 0 . ∂x ∂y Logo, Mdx + Ndy = 0 é diferencial exata. Mdx + Ndy =
(
)
Exemplo: Verificar se a equação x 2 − y 2 dx − 2xydy = 0 é diferencial exata. Resolução: Sabemos que tal que dU = Mdx + Ndy .
∂M ∂N = e queremos determinar a função U (x, y ) ∂y ∂x
Seja w = Mdx a integral parcial de Mdx , isto é, a integral obtida quando se considera y constante (M = M(x, y )) . ∂w Mostraremos que N − é função apenas de y: ∂y ∂ ∂w ∂N ∂ ∂ (w ) = N− = − ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y =
(
)
(
)
∂N ∂ ∂ − Mdx = ∂x ∂x ∂y
∂N ∂ ∂ − Mdx = ∂x ∂y ∂x ∂N ∂ = − (M ) = ∂x ∂y ∂N ∂M = − = 0. ∂x ∂y ∂w Se tomarmos U = w + N − dy , teremos: ∂y =
∂w ∂w ∂w dx + dy + N − dy = ∂x ∂y ∂y ∂ ∂w ∂w = Mdx dx + dy + Ndy − dy = ∂x ∂y ∂y = Mdx + Ndy .
dU =
(
)
Logo, U (x, y ) = w + U (x, y ) = Mdx +
N−
(
N−
)
∂ Mdx dy = c é a solução geral da equação. ∂y
Exemplos: i) e y dx + xe y − 2y dy = 0
(
(
)
)
j) x + y dx + (2xy + cos( y )) dy = 0 3
2
∂w dy = c , ou ainda: ∂y
(
)
c) x 2 − y 2 dx − 2xy dy = 0
1.10 Fator Integrante
Quando a equação M(x, y )dx + N (x, y )dy = 0 não é diferencial exata, isto é, ∂M ∂N ≠ , pode-se transformá-la em uma diferencial exata multiplicando-se um ∂y ∂x λ (x, y ) , denominado fator integrante. Exemplo: y(1 + xy )dx − xdy = 0 ; λ =
1 y2
.
Pesquisa do Fator Integrante: Seja λ (x, y ) fator integrante de Mdx + Ndy = 0 . ∂ (λ M ) ∂ (λ N ) = Daí, (1) ∂y ∂x ∂λ ∂M ∂λ ∂N ⋅M +λ ⋅ = ⋅N+λ⋅ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂λ ∂λ ∂N ∂M − N⋅ =λ⋅ − (2) ∂y ∂x ∂x ∂y Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1a ordem em λ e, portanto, sua solução não poderia ser efetuada por enquanto. Assim, ela se simplifica supondo-se λ função apenas de x ou de y. ∂λ = 0. Suponhamos λ = λ (x ) . Então, ∂y Daí e de (2), temos: ∂λ ∂N ∂M (: λ N ) − N⋅ =λ⋅ − ∂x ∂x ∂y M⋅
−
1 ∂λ 1 ∂N ∂M ⋅ = ⋅ − λ ∂x N ∂x ∂y
1 ∂λ 1 ∂M ∂N ⋅ = ⋅ − λ ∂x N ∂y ∂x Como
(3)
1 ∂M ∂N 1 ∂λ − ⋅ é função apenas de x, seja R (x ) = ⋅ N ∂y ∂x λ ∂x R (x ) =
1 ∂λ ⋅ λ ∂x
R (x )dx =
R (x )dx =
(4)
1 ∂λ ⋅ dx λ ∂x u =λ ∂λ du = dx ∂x
1 du = ln (u ) = ln (λ ) u
λ =e
R ( x )dx
ou
λ=e
1 ∂M ∂N ⋅ − N ∂y ∂x
dx
Analogamente, se λ = λ ( y ) ,
λ=e
R ( y )dy
1 ∂N ∂M ⋅ − M ∂x ∂y
λ=e
ou
dy
Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste fator. Exemplos: a) y 2dx + (xy + 1)dy = 0
b) xdy − ydx = x 2 e x dx
1.11 Exercícios
3) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) (2x − y + 1)dx − (x + 3y − 2 )dy = 0 R: 2x 2 − 2xy + 2x − 3y 2 + 4y = k b) y ⋅ cos(xy ) +
y 1 dx + x ⋅ cos(xy ) + 2 x + dy = 0 y x
R: sen (xy ) + 2y x + ln (y ) = C c)
2x y
(
dx + 3
y 2 − 3x 2 y
4
dy = 0
) (
R:
x2 y
)
3
−
1 =C y
d) 3x + 6xy dx + 6x y + 4y dy = 0 R: x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 = C xdy + ydx 2 2 2 e) xdx + ydy = 2 R: x + y − 4xy = k x + y2 f) (1 + y ⋅ sen (x ))dx + (1 − cos(x ))dy = 0 R: x − y ⋅ cos(x ) + y = C g) (sec(t ) ⋅ tg(t ) − w )dt + (sec(w ) ⋅ tg(w ) − t + 2 )dw = 0 R: sec(t ) − wt + sec(w ) + 2w = k dy h) 2t ⋅ sen (y ) + y 3 ⋅ e t + t 2 ⋅ cos(y ) + 3y 2 ⋅ e t =0 dt R: t 2 ⋅ sen ( y ) + y 3 ⋅ e t = C dy i) y ⋅ sec 2 (t ) + sec(t ) ⋅ tg(t ) + (2y + tg(t )) = 0 R: y 2 + y ⋅ tg(t ) + sec(t ) = C dt dx dy xdy + = j) R: x + x 2 + y 2 = k x 2 + y 2 y y ⋅ x 2 + y2 2
2
2
3
(
k)
dy x + xy 2 =− dx y + x2y
(
)
)
R: x 2 + x 2 y 2 + y 2 = k
l) (x − 2y )dx − 2xdy = 0
R: x ⋅ (x − 4y ) = C
n) sec 2 (x ) ⋅ tg(y ) dx + sec 2 (y ) ⋅ tg(x ) dy = 0
R: tg(x ) ⋅ tg(y ) = C
m) (x − y ⋅ cos(x ))dx − sen (x )dy = 0
R: x 2 − 2y ⋅ sen (x ) = k
o) y − x ⋅ x 2 + y 2 dx + x − y ⋅ x 2 + y 2 dy = 0
(
(
R: 3xy − x 2 + y 2
)
3
2
)
=K
p) 3x 2 + 2x + y ⋅ cos(xy ) dx + (sen (y ) + x ⋅ cos(xy ))dy = 0
R: x + x + sen (xy ) − cos(y ) = c q) cosh(2x ) ⋅ cosh (2y ) dx + senh (2x ) ⋅ senh (2y ) dy = 0 R: senh (2x ) ⋅ cosh(2y ) = C 3
r) 2xye x
2
2
2
+ y 2 e xy + 2x dx + x 2 e x
y
R: e x
2
y
2
y
2
+ 2xye xy + 2y dy = 0
2
+ e xy + x 2 + y 2 = C
s) e y − cossec(y )cossec 2 (x ) dx + 2xye y − cossec(y )cotg(y ) ⋅ cotg(x ) dy = 0 2
2
R: xe y + cossec(y ) ⋅ cotg(x ) = C 2
t) y 2 −
y 1 + 2x dx + + 2xy + 2y dy = 0 x ⋅ (x + y ) x+y x+y =K x
R: xy 2 + x 2 + y 2 + ln
4) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações:
(
)
1 x 1 ey R: λ = ⋅ e y R: λ =
a) x 3 y − x 2 dx + xdy = 0
(
)
b) ydx + ye y x − y 2 dy = 0 c) (y ⋅ cos(x ) − tg(x ))dx − sen (x )dy = 0
(
x3 ⋅e 3
)
d) x 3 − 2xy dx + x 2 dy = 0
R: λ = cossec 2 (x ) 1 R: λ = 4 x
5) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: x 2 + y2 R: =C a) x 2 − y 2 dx + 2xydy = 0 x b) y 2 dy + ydx = xdy R: y 2 + x = Cy y c) dx + y3 − ln (x ) dy = 0 R: ln x 2 + y 3 = ky x d) x 2 + x − y 2 dx − xydy = 0 R: x 2 3x 2 + 4x − 6y 2 = C
(
)
(
)
( ) e) (3x y + 2xy + y )dx + (x 2
3
dy = e 2x + y − 1 dx x g) dx + − sen (y ) dy = 0 y
f)
2
)
+ y dy = 0 2
( ) ( R: ye (y 3x
)
2
+ 3x
2
)= C
R: y − e 2x = k ⋅ e x + 1 R: xy + y ⋅ cos(y ) − sen (y ) = k
( ) i) e dx + (e cotg(y ) + 2y ⋅ cossec(y ))dy = 0 j) (y + x ln (x ))dx − xdy = 0 k) 2xydx + (2y − 3x )dy = 0 l) (y + 2y )dx + (xy + 2y − 4x )dy = 0 h) ydx + 2xy − e −2y dy = 0 x
x
4
2
2
4
3
m) 2y 3 + 3xe x
3
(
4
dx + 3xy 2dy = 0
( ))
n) e y + xe y + tg e x dx + xe y dy = 0
R: xe 2y − ln ( y ) = c
R: e x sen (y ) + y 2 = K
(
( ))
R: 9y + x 4 1 − ln x 3 = Cx R: x 2 − 2y 2 = Ky 3 R: y 3 (x + y ) + 2x = cy 2 3
R: x 2 y 3 + e x = K
( ( ))
R: xe x + y + ln sec e x = C
6) Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações: 1 1 a) x 2 y 3dx + x 1 + y 2 dy = 0 ; λ (x, y ) = 3 R: x 2 − 2 + ln y 2 = C y xy
(
b)
( )
)
sen (y ) cos(y ) + 2e − x cos(x ) dy = 0 ; λ (x, y ) = ye x − 2e − x sen (x ) dx + y y R: e x sen (y ) + 2 y ⋅ cos(x ) = k
7) Achar a solução particular para x = 0 na equação: 2x ⋅ cos(y ) − e x dx − x 2sen ( y )dy = 0
(
)
R: e x − x 2cos( y ) = 1
8) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI): dy a) 2ty + 3t y = 0 ; y(1) = 1 dt dy b) 3t 2 + 4ty + 2y + 2t 2 = 0 ; y(0) = 1 dt dy 2x − 3y + 5 = ; y(1) = 1 c) dx 3x − 4y + 2 3
2 2
(
d)
)
dy ye xy + 4y 3 = − xy ; y(0 ) = 2 dx xe + 12xy 2 − 2y
dy 3x 2 ln (x ) + x 2 − y e) = ; y(1) = 5 dx x
R: y = t
−
2 3
R: t 3 + 2t 2 y + y 2 = 1 R: x 2 − 3xy + 5x + 2y 2 − 2y = 3 R: y 2 − e xy − 4xy 3 = 3 R: xy − x 3 ⋅ ln (x ) = 5
7) Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a equação resultante: dy a) x + ye 2xy + axe 2xy =0 R: x 2 + e 2xy = k dx 1 1 ax + 1 dy b) 2 + 2 + 3 =0 R: 2x 2 − 2y 2 − x = cxy 2 x y y dx
(
c) e ax + y + 3x 2 y 2 + 2x 3 y + e ax + y
(
)
dy )dx =0
R: e x + y + x 3 y 2 = C
d) xy 2 + ax 2 y dx + (x + y )x 2 dy = 0
R: x 2 y ⋅ (y + 2 x ) = K
1.12 Equações Lineares
Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma
dy + Py = Q , onde P e dx
Q são funções de x ou constantes. Pdx
Observe que, neste tipo de equação, e é fator integrante. dy De fato, + Py = Q (Py − Q )dx + dy = 0 dx e
Pdx
(Py − Q )dx + e Pdx dy = 0 , onde λ M = e Pdx (Py − Q ) e λ N = e ∂ (λ M ) ∂ (λ N ) Pdx Pdx = P ⋅e e = P ⋅e
∂y ∂x Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata. Vamos achar, então, sua solução: ∂ Pdx Pdx Pdx e ⋅ (Py − Q ) dx + e − e ⋅ (Py − Q ) dx dy = C ∂y e
Pdx
⋅ (Py − Q ) dx = y ⋅ = y⋅e
∂ ∂y
Pdx
e
P ⋅e Pdx
⋅ (Py − Q ) dx = e
Pdx
−
Pdx
dx −
e
Pdx
⋅ Q dx
e
Pdx
y⋅e
−
e
Pdx
=
y=e
− Pdx
Pdx
e
⋅
⋅ Q dx + Pdx
e
e
Pdx
Pdx
−e
Pdx
dy = C
⋅ Q dx + C
que é a solução geral de uma equação linear de 1a ordem e 1o grau. Exemplos: dy k) x + 2y = x 4 dx dy l) − y = ex dx
(1)
(2) (3)
⋅ Q dx + C
Pdx
.
⋅ Q dx =
De (1), (2) e (3), temos: y⋅e
Pdx
c)
dy y − =x−2 dx x
1.13 Exercícios
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a)
dy − y ⋅ tg(x ) = sen (x ) dx
sen 2 (x ) +C 2
R: y = sec(x ) ⋅
b) (x + sen (y ) − 1)dy − cos( y )dx = 0 R: x = [sec(y ) + tg(y )]⋅ [2sec(y ) − 2tg(y ) + y + C] dy c) 1 + x 2 + y = arctg(x ) R: y = arctg(x ) − 1 + k ⋅ e −arctg (x ) dx dy y cotg(x ) 1 d) + − =0 R: y = ⋅ [ln (sen (x )) + C] dx x x x 1 1 dy e) = y ⋅ tg(x ) + cos(x ) R: y = sec(x ) ⋅ x + sen (2x ) + C dx 2 4 dy f) x − y = x 2 R: y = Cx + x 2 dx dy 2y x4 g) + = x3 R: y = + Cx − 2 dx x 6 1 h) y 2dx − (2xy + 3)dy = 0 R: x = Cy 2 − y dy i) +y=x R: y = x − 1 + k ⋅ e − x dx dy sen (x ) − cos(x ) j) + y = sen (x ) R: y = + k ⋅ e− x dx 2 1 dy 1 − 4x 4x 8 + 4y = k) R: y = e ⋅ ln 3 + 2e +C dx 3 + 2e 4x dx − x ⋅ ln ( y ) = y y R: x = y y ⋅ 1 + k ⋅ e − y l) dy dy 1 m) x 2 + 1 + 2xy = x 2 ⋅ e x R: y = 2 ⋅ e x ⋅ x 2 − 2x + 2 + C dx x +1
(
)
(
(
(
)
[ (
)
n) dx + 2xdy = e −2y ⋅ sec 2 (y ) ⋅ dy dx 6y y2 + 2 ⋅x = 4 dy y + 1 y2 +1 dy 2 p) − ⋅ y = x 2 ⋅ arctg(x ) dx x o)
)
(
)
q) x ⋅ ln (x ) ⋅ dy + (y − 2 ⋅ ln (x ))dx = 0
) ]
R: x = e −2y ⋅ [tg(y ) + C ] R: x =
1
(y + 1) 2
3
⋅ [y − arctg(y ) + C]
R: y = x 2 ⋅ x ⋅ arctg(x ) − ln 1 + x 2 + C R: y = ln (x ) +
C ln (x )
dx + x ⋅ cos(y ) = sen (2y ) R: x = 2 ⋅ (sen (y ) − 1) + C ⋅ e − sen ( y ) dy dy sen (x ) − (1 − y ) ⋅ cos(x ) = s) dx sen (x ) R: y = sen (x ) ⋅ [ln (cossec(x ) − cotg(x )) + cossec(x ) + C ] r)
dr + 3r ⋅ cotg(θ ) = −5 ⋅ sen (2θ ) R: r = −2 ⋅ sen 2 (θ ) + k ⋅ cossec 3 (θ ) dθ u) x ⋅ cos(x ) ⋅ dy + [y ⋅ (x ⋅ sen (x ) + cos(x )) − 1]⋅ dx = 0 1 R: y = ⋅ [sen (x ) + k ⋅ cos(x )] x
t)
(
)
dy v) x ⋅ x − 1 +y= dx 2
x2
R: y =
x2 −1
dy + y ⋅ sec 2 (x ) = tg(x ) ⋅ sec 2 (x ) dx dy x) x ⋅ ln (x ) ⋅ + y = ln (ln (x )) dx dr y) + 2r ⋅ cos(2θ ) = sen (4θ ) dθ
x x 2 −1
⋅ ln
x −1 +C x +1
R: y = tg(x ) − 1 + C ⋅ e − tg ( x )
w)
R: y = ln (ln (x )) +
k −1 ln (x )
R: r = sen (2θ ) + k ⋅ e −sen (2θ ) − 1
2) Achar a solução particular para y = 0 e x = 0 na equação: dy − y ⋅ tg(x ) = sec(x ) R: y = x ⋅ sec(x ) dx 3) Achar a solução particular para y = b e x = a na equação: dy 1 x ⋅ + y − ex = 0 R: y = ⋅ e x + ab − e a dx x
(
)
1.14 Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis
Equações da forma
dy a x + b1y + c1 =F 1 dx a 2x + b 2y + c2
constantes e o determinante
a1
b1
a2
b2
(1)
, onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são
= 0 , podem ser redutíveis a variáveis separá-
veis. Se o determinante acima é zero, então a1b 2 − a 2 b1 = 0 . a 2 b2 c = = m , onde m ≠ 2 (caso fosse igual seria possíDaí, a1b 2 = a 2 b1 a 1 b1 c1 vel uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o processo em descrição). a = m ⋅ a1 (2) Desta forma, 2 . b 2 = m ⋅ b1 Levando (2) em (1), temos: dy a1x + b1 y + c1 dy a1x + b1y + c1 (3) =F =F dx ma 1x + mb1 y + c 2 dx m(a1x + b1y ) + c 2
Seja t = a1x + b1y
b1y = t − a1x
(4)
dy 1 dt = − a1 (5) dx b1 dx Levando (5) e (4) em (3), temos: 1 dt t + c1 − a1 = F = G(t) b1 dx mt + c 2
y=
1 ( t − a 1x ) b1
1 dt − a 1 = G(t) b1 dx
dt = dx , que é uma equação de variáveis b1 ⋅ G(t) + a 1
dt = b1 ⋅ G(t) + a1 dx separáveis.
Exemplos: m) (2x − y + 4 )dy + (4x − 2y + 5 )dx = 0
c)
n) (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
dy 2x − y + 1 = dx 6x − 3y − 1
1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas
Equações da forma
dy a x + b1y + c1 =F 1 dx a 2x + b 2y + c2
constantes e o determinante
a1
b1
a2
b2
(1)
, onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são
≠ 0 , podem ser reduzidas à forma das homogê-
neas. Considerando o sistema
a1x + b1y + c1 = 0 a 2 x + b2 y + c2 = 0
(2)
, com solução genérica x = α
e y=β . x = u + α ∴ du = dx (geomey = v + β ∴ dv = dy tricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto (α , β ) que é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, uma vez que o determinante considerado é diferente de zero). dv a (u + α ) + b1 (v + β ) + c1 a u + a 1α + b1v + b1β + c1 =F 1 =F 1 = du a 2 (u + α ) + b 2 (v + β ) + c 2 a 2 u + a 2α + b 2 v + b 2 β + c 2 Reintroduzindo x e y na equação (1) como
a1u + b1v + (a1α + b1β + c1 ) (vemos, em (2), que α e β são soluções a 2 u + b 2 v + (a 2α + b 2 β + c 2 ) do sistema) =F
dv a u + b1v =F 1 du a 2u + b2v
que é uma equação homogênea.
Exemplos: a) (x + 2y − 4 )dx − (2x + y − 5)dy = 0 b) (x + y − 2 )dx + (x − y + 4)dy = 0
1.16 Exercícios
Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) (2x + 3y − 1)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0 R: 3x + 3y + ln (− 2x − 3y + 7 )9 = k dy − 3x − 3y + 1 = b) R: 3x + y + ln (− x − y + 1)2 = k dx x + y +1 dy x + 2y + 1 = c) R: 8 y − 4 x + ln (4 x + 8y + 5) = k dx 2x + 4 y + 3 d) (3x − y + 2)dx + (9x − 3y + 1)dy = 0 R: 2x + 6 y + ln (6 x − 2 y + 1) = k dy 2x − 3y − 1 = e) R: 2x 2 − 6xy − y 2 − 2x + 4y = k dx 3x + y − 2 f) (3y + x )dx + (x + 5y − 8)dy = 0 5(y − 4 ) R: ln 5(y − 4)2 + 4(x + 12)(y − 4 ) + (x + 12 )2 − 2arctg +2 =k x + 12
[
g) (2x − y + 4 )dy + (x − 2 y + 5)dx = 0 h) (x − 4y − 3)dx − (x − 6y − 5)dy = 0
]
R: C(x + y − 1)3 = y − x − 3
R: C(2y − x + 1)2 = 3y − x + 2
1.17 Aplicações
Problemas, fenômenos, processos etc. que dependem (são funções) de uma variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja modelar. A modelagem – representação matemática de um enunciado em palavras – de um fenômeno, processo etc. é facilitada se forem levadas em consideração as seguintes sugestões: a – no enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a por uma função ( f ) da variável independente ( x ) b – Represente uma “taxa de variação” pela derivada da função em relação à variável independente df ( x ) dx
c – Represente a frase “proporcional a ...” por “ = k g( x ) ” onde g( x ) pode ser a própria f(x) ou o x ou uma outra função ( g ) de f e/ou de x , conforme especificado no enunciado. d – A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, dependendo se f(x) cresce ou decresce – de acordo com o enunciado.
Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valôres da constante k e da constante arbitrária (proveniente da solução da equação diferencial) serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema
-
1.18 Exemplos
1. A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo. Seja
t
- tempo ( variável independente)
f(t)
- valor do investimento no instante t (variável dependente)
df ( t ) dt
- taxa de crescimento do investimento com o tempo
= k f ( t ) - representando o “proporcional ao investimento” Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: df ( t ) = k f ( t ) onde k > 0 por ser a taxa de investimento crescente (pelo dt
enunciado do problema)
2. Experiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno. Seja
t f(t)
- tempo ( variável independente) - quantidade (massa) de substância presente no instante t
df ( t ) dt
- taxa de variação da quantidade de substância
= k f ( t ) - representando o “proporcional à quntidade de substância”
Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema:
df ( t ) = k f ( t ) onde k < 0 por haver decaimento (pelo enunciado do problema) dt
3. Qual a equação diferencial que vai permitir determinar a velocidade inicial mínima de um corpo o qual é disparado na direção radial da terra e que é suposto escapar desta. Despresar a resistência do ar e a atração gravitacional de outros corpos celestes.
t
Seja
- tempo ( variável independente)
v ( t ) - velocidade do corpo no instante t Aqui o problema é mais complexo por não enunciar a proporcionalidade. Mas, sabemos da Física Classica (Lei de Newton) que a aceleração radial a uma distância r do centro da terra ( a(r) ) é inversamente proporcional ao quadrado da distância ( r ) do corpo ao centro da terra.
Assim, temos a r =k
1 r2
onde k < 0 por ser a aceleração dirigida para o centro da terra.
A constante k é facilmente determinada lembrando que a R = − g = − 9,81 m
Assim, −g=k
1 R2
k = − g R2
donde
s
2
onde R é o raio da terra ( R = 6, 38 . 10 6 m )
Por outro lado, sabemos que a( r ) =
dv dr onde v t = - taxa de variação da distância radial com o tempo. dt dt
Logo, juntando tudo e notando que desejamos a variação de v com r ( e não com t ) ar =
=k
dv dr dv = v= dr dt dr
1 1 = − g R2 2 2 r r
Assim , finalmente, a equação procurada será
dv 1 v = − g R2 2 dr r
4 – Sabendo que o volume de uma gota, suposta esférica , decresce por evaporação a uma taxa proporcional à área de sua superfície, determine a equação do raio da gota em função do tempo Seja
t
- tempo ( variável independente)
V ( t ) - volume da gota no instante t S( t ) - superfície da gota no instante t
Então do enunciado temos dV = k S onde k < 0 pois V decresce com o tempo dt 4 V = π r3 e S = 4 π r2 3 onde r ( t ) = raio da gota no instante t
Como a gota é esférica,
Substituindo V e S na equação diferencial teremos d 4 3 π r = k 4π r2 dt 3
,k<0
Derivando 4 dr π 3 r2 = k 4 π r2 3 dt
Simplificando, temos finalmente dr =k , k < 0 dt
Integrando, temos a equação que exprime o raio da gota em função do tempo r t = k t + r0
onde r0 = raio da gota no instante t = 0 ( constante de integração)
-
1.19 Exercícios
1- No Exemplo n° 1 sabe-se que um investimento de R$ 100 rendeu R$ 44 após 6 anos. Determine qual foi o rendimento deste investimento nos 3 primeiros anos. Resposta: R$ 20 2- No Exemplo n° 3 determine: a) a distância radial do centro da terra na qual o corpo pára e começa a retornar à terra em queda livre sabendo que a velocidade inicial no lançamento foi de 3600 km/h b) a velocidade inicial mínima necessária para o corpo escapar da gravitação terrestre e nunca mais retornar. Resposta: a) 6431 km; b) 4027 km/h 3- No Exemplo n° 4 determine o tempo necessário para a gota evaporar por completo, sabendo que a gota inicialmente tinha 1 mm de diâmetro e que o tempo em que uma outra gota de 0,5 mm diâmetro evaporou foi de 10 minutos Resposta: 20 minutos 4- a) Determine a equação diferencial cujas curvas integrais são círculos de raio e cujos centros estejam sobre o eixo das ordenadas. b) Quais são as duas soluções singulares da equação diferencial determinada no item (a)
Resposta: a)
dy dx
2
=
x2 ; b) Retas x = ± 10 10 2 −x 2
5- Um tanque vertical tem uma pequena fenda no fundo. Supondo que água escape do tanque a uma taxa proporcional à pressão da água sobre o fundo e sabendo que 5 % de água escapou no primeiro dia, determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque chegue á metade. Resposta: 13,5 horas 6- De acordo com a Lei de Newton, a taxa a que uma substância se resfria é proporcional à diferença das temperaturas da substância e do ar. Se a temperatura do ar é de 20°C e a substância se resfria de 100°C para 60°C em 30 minutos, quando a temperatura da substância atingirá 40°C ? Resposta: 60,2 minutos
