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Eletromagnetismo volume I
∇.D=ρ ∇×E =0 ∇×H =J ∇.B=0 Prof. Evandro C. Gondim
CAPITULO 1 RECORDAÇÃO DA TEORIA BÁSICA DA ANÁLISE VETORIAL 1.1 - Sistemas de coordenadas. São usados os três sistemas: cartesiano, cilíndrico e esférico sendo que a escolha depende da geometria do campo vetorial. De um sistema para outro não se passam vetores, passa-se apenas coordenadas de pontos. Isto porque a geometria dos campos no caso dos estudos básicos de eletromagnetismo, que é o nosso objetivo, é definida a priori e não mudam. No caso de campos mais complexos como, por exemplo, em torno de antenas, isto não se verifica. 1.2 - Representação de unitários e vetores Para evitar confusão com outras grandezas usa-se as seguintes notações em cada um dos sistemas: cartesiano: A=Axax+Ayay+Azaz cilíndrico: A=Arar+Aøaø+Azaz esférico: A=Arar+Aθaθ +Aøaø obs: usa-se o r em lugar do ρ porque esta letra grega é usada para outras grandezas eletromagnéticas. 1.3 - Os três sistemas e mudanças de coordenadas de um ponto dos sistemas cilíndrico e esférico para o sistema cartesiano. Todos os sistemas se referenciam sempre ao sistema cartesiano e as posições dos eixos são determinadas por um produto vetorial. A seqüência de números que definem um ponto em cada sistema segue a ordem deste produto vetorial 1.3.1 – Sistema de coordenadas cartesianas: produto vetorial que define este sistema: ax×ay=az
logo um ponto neste sistema P (x; y ; z)
O sistema cartesiano já é conhecido e não será recordado. 1.3.2 – Sistema de coordenadas cilíndricas: produto vetorial que define este sistema: ar×aφ=az
z
z
r
logo um ponto neste sistema P (r; φ ; z) a. Por definição r é sempre positivo, ou seja, não existe um valor −r como existe um valor −x, entretanto poderá haver uma direção negativa de r, ou seja, −ar
P(r ; φ ; z)
b. O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°
y φ x 1
Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o cilíndrico e vice-versa:
Cartesiana/cilíndricas
Cilíndricas/cartesianas
r = x2 + y 2
x = r cos (φ )
φ = arctg ( y x )
y = rsen (φ )
z=z
z=z
1.3.3 – Sistema de coordenadas esféricas: produto vetorial que define este sistema
ar×aθ=aφ
logo um ponto neste sistema P (r; θ ; φ)
• Por definição r é sempre positivo e não existe um valor − r como existe um valor − x, entretanto poderá haver uma direção negativa de r, ou seja, −rar.
z
• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°.
θ r
• O sentido de contagem de θ é no sentido do ponteiro dos relógios a partir do eixo z variando de 0 a 180° apenas, para evitar que um ponto possa ser definido por dois conjuntos de coordenadas diferentes. • Para memorizar: o angulo que não e comum aos dois sistemas no caso θ é que fica limitado a apenas 180°.
P(r ; θ ; φ) y
φ x
Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o esférico e vice-versa: Cartesiana/esféricas
Esféricas /cartesianas
r = x2 + y 2 + z 2
x = rsen (θ ) cos (φ )
(
θ = arccos z
x2 + y 2 + z 2
)
y = rsen (θ ) sen (φ )
φ = arctg ( y x )
z = r cos (θ )
1.4 - Campos vetoriais
Temos um campo vetorial quando os módulos das componentes dos vetores nas três direções não são expressas por escalares e sim por funções que assumem valores diferentes para cada ponto no espaço. Em eletromagnetismo temos inúmeros campos vetoriais tais como, por exemplo, um campo elétrico qualquer que poderíamos exprimir por: 2
E=x3ax+(x2+z4)ay+ y7az este mesmo campo poderia variar com o tempo E=[x3ax+(x2+z4)ay+ y7az]senwt 1.5 - Operações básicas com vetores que são muito usadas em Eletromagnetismo.
Muitas leis são formuladas com o uso do produto escalar e do produto vetorial. O produto vetorial em particular evita que se use a antiga regra da mão direita com os três dedos da mão em leis que podem ser expressas por este produto. ⎡ ax ⎢ A × B = ⎢Ax ⎢ Bx ⎣
ay Ay By
az ⎤ ⎥ Az ⎥ B z ⎥⎦
B×A
A
Para achar o sentido desta operação usa-se a regra do parafuso de rosca destrógira ou da mão direita:
B
Além dos produtos escalar e do produto vetorial que são iguais nos três sistemas é muito comum na resolução de problemas nos depararmos com as seguintes operações: 1.5.1 - Dados dois pontos encontrar a distância entre os mesmos e o vetor correspondente. Só pode ser usado para coordenadas cartesianas não valendo para outros sistemas. Em outros sistemas temos que converter os pontos para coordenadas cartesianas. ____________________ Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2): d= √ (x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2
Vetor apontando do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2) R= (x2−x1)ax+(y2−y1)ay+(z2−z1)az final origem 1.5.2 - Unitário aN normal a uma reta e apontando da reta para o ponto e menor distância R.
z aR
Dado uma reta caracterizada por: todo x=x2 e todo y=y2 (reta paralela ao eixo z) e o ponto P(x1,y1,z1)
R= ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
;
aR=
y2 x2
( x1 − x 2 )a x + ( y1 − y 2 )a y ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
1.5.3 - Componente de um vetor B em uma direção especificada. O produto escalar resolve este tipo de problema 3
x
P(x1;y1;z1) R y
por um unitário a qualquer: Ba=(B.a)a
⎡ A ⎤ A A em uma direção especificada por um vetor A: B A = ⎢B. = [B.A ] ⎥ | A |2 ⎣ | A |⎦ | A |
1.5.4 - Referenciar um vetor R à um sistema de coordenadas qualquer R = r – r'
R = r − r’ com r’ sendo um vetor da origem do sistema para a origem r − r' do vetor e seu unitário. a R = | r − r '|
r' r
origem
EXEMPLO: r = 3ax − 2ay + 4az e r' = ax + 3ay + 2az
r
R12 = r – r' = 2ax − 5ay + 2az A distância entre os dois pontos é:
z
P1 (3, − 2, 4)
P2 (1, 3, 2) r'
2 + ( −5 ) + 2 = 2
2
2
O
33
y
x
1.6 - Vetores deslocamento infinitesimal dL. Importante: O vetor dL é sempre positivo ! Sistema cartesiano
dL = dxax + dyay + dzaz
Sistema cilíndrico
dL = dra r+ rdφaφ + dzaz
Sistema esférico
dL = drar + rdθaθ + r senθdφaφ
1.7 - Elementos diferenciais de volume e área (As arestas destas figuras são os componentes em cada direção do vetor deslocamento) COORDENADAS CARTESIANAS
COORDENADAS CILÍNDRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS 4
UNIDADES DIFERENCIAIS DE VOLUME E ÁREA SISTEMA DE COORDENADAS
VOLUME
ÁREA (VER FIGURAS)
CARTESIANO
dv=dxdydz
ds=dxdy ; ds=dydz ; ds=dzdx
CILÍNDRICO
dv=rdrdφdz
ds=rdrdφ ; ds=rdφdz ; ds=drdz
ESFÉRICO
dv=r2senθdrdφdθ
ds=r2senθdθdφ ; ds=rdθdr ; ds=rsenθdrdφ
Observando-se esta tabela vê-se que os volumes são o produto dos módulos das componentes do vetor deslocamento dL e as áreas são a combinação dois a dois destas mesmas componentes. 1.8 - Vetor área
ds=dsaN
onde: ds é o modulo do vetor que pode ser encontrado pelo produto das componentes do vetor deslocamento dL que estão perpendiculares à direção aN que é um vetor unitário normal a área e com sentido determinado em cada lei formulada podendo ser no sentido de uma corrente ou para fora de um volume. EXEMPLOS: Em coordenadas esféricas com aN = aφ e (ver tabela) dL=drar + rdθaθ + r senθdφaφ , o vetor área é: ds = rdrdθ aφ já com aN = ar vem que ds = r2senθdθdφ ar. 1.9 - Vetores genéricos
R = r – r'
Podem ser definidos como vetores apontando da origem (dQ no campo elétrico e IdL no campo magnético) de um campo para sobre uma reta, área ou volume para um determinado ponto no espaço. Pode ser determinado por uma observação direta ou utilizar o vetor referenciado (ver item 1.5.4): 5
r' r origem
EXEMPLOS: A - Em coordenadas cartesianas vetor apontando de qualquer ponto P1(x1; y1; z1), onde tem-se a origem do campo, sobre uma reta no eixo z para um ponto P2(x2; y2; z2 ) z P2 Diretamente com x1, y1, z1 > 0 R12=x2ax+ y2ay−(z −z2)az R12 Origem do campo P1
y
Pode – se calcular também desta forma:
R'12
x R12 = r – r' r = (x2 − 0) ax+ (y2 − 0 ) ay r' = (z1 − z2) az
z
R12 = r – r' = x2 ax+ y2 ay − (z1 − z2) az Para qualquer ponto do eixo z: R12 = x2ax+ y2ay−(z −z2) az que é o mesmo resultado.
Origem do campo P1
P2
R12
r'
r
y
x B - Em coordenadas cartesianas um vetor apontando de um plano z = z1 em torno do eixo z para um ponto deste eixo P(0; 0; z2) z
Diretamente com z2 > z1 para ponto em qualquer quadrante: R12= − xax − yay+ (z2−z1)az
z=z2
R
Plano y
Com z2 < z1 a componente no eixo z tem sentido − az porque (z2−z1) < 0 x
Pode – se calcular também desta forma:
z
R12 = r – r' r' = (x1 − 0) ax+ (y1 − 0) ay r = (z2 − z1) az
R
Plano
r
r'
R12 = r – r' = (z2 − z1) az − x1 ax+ y1 ay R12 = − x2 ax − y2 ay + (z2 −z1) az
z=z2
que é o mesmo resultado.
y
x
C - Em coordenadas cilíndricas o vetor apontando de um anel ou superfície cilíndrica centrada no eixo z no plano z = z1 para um ponto P (0; 0; z2 ): Diretamente R12 = − rar+ (z2 − z1) az onde para um anel de largura infinitesimal o valor de r é definido e para uma superfície ou um anel com largura finita a coordenada r é uma variável entre dois limites ou x 6
z R
r'
rP
ds dL y
R12 = r – r' r' = (r – 0) ar r = (z2 − z1) az R12 = r – r' = (z2 − z1) az − r ar
R12 = − rar+ (z2 − z1) az que é o mesmo resultado
D - Em coordenadas cilíndricas vetor apontando de uma superfície cilíndrica infinita centrada no eixo z para um ponto situado na origem P(0;0;0): R12= − rar − zaz não é coordenada negativa é sentido negativo. 1.10 - Vetor posição r.
z
Define uma posição no espaço
r
E(r)
y
Exemplo: Definir a intensidade do campo elétrico em um ponto. x Onde: E(r) é a intensidade do campo elétrico no ponto definido pelo vetor posição r 1.11 - Integrais contendo uma função vetorial 1.11.1 - Integral de linha de um vetor: Exemplo: Ex = x2+y
Ey=z3
Ez=2+y2
A integral de linha de um vetor é o resultado da integração de cada uma das suas componentes em cada direção.
∫ E.dl = [Exax+Eyay+Ezaz].[axax+ayay+azaz]= ∫ E dx + ∫ E dy + ∫ E dz x
y
z
aNds 1.11.2 - Integral de superfície:
Campo D vetorial qualquer
com aN sempre para fora da superfície. aNds
∫ D.ds = ∫ D.dsa N + ∫ D.dsa N + ∫ D.dsa N topo
base
lado
aNds
7
1.12 – Operações aplicadas sobre campos vetoriais e funções escalares
As derivadas parciais de cada módulo de um vetor utilizadas nas expressões para obtenção da divergência, gradiente e rotacional de campos vetoriais tal com E=x3ax+(x2+z4)ay+ y7az e também derivadas parciais de funções escalares são todas em relação a comprimentos em uma dada direção. Ou seja, procuram computar a variação da função que exprime um componente de um campo vetorial em uma dada direção, ou de uma função escalar no caso do gradiente, para um pequeno deslocamento em uma dada direção.
1.12.1 – Divergência de um campo vetorial
Duas das Equações de Maxwell são formuladas com esta operação vetorial. A divergência é uma operação sobre um vetor que resulta em um escalar. Esta escalar simplesmente indica a variação da grandeza dentro do volume sem indicar direção ou sentido de saídas ou entrada da mesma no volume. A sua aplicação em um campo vetorial qualquer é ilustrada a seguir por dois exemplos práticos: v v
Volume dentro de um cano em que passa água com representação da velocidade de suas partículas por vetores.
v v
Como a água não pode ser comprimida em todo os pontos dentro do cano a velocidade das partículas é a mesma e toda a água que entra sai do cano. Não existe divergência. v v
v v
O volume é um cano com ar sobre pressão e tapado inicialmente com representação da velocidade de suas partículas, após ser destapado, por vetores.
Ao ser destampada uma das extremidades as moléculas do ar terão velocidades diferentes em cada ponto dentro do cano e sai mais partículas de ar do cano do que entram. Existe divergência. A analise destes dois casos nos mostra que: • No primeiro caso as fontes e sumidouros do campo que provocavam o deslocamento das partículas (bomba de água e torneira) estão fora do volume. O campo não sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele. • No segundo caso as fontes do campo que provocavam o deslocamento das partículas (pressão) estavam dentro do volume. O campo sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele. Portanto: ♦ Quando houver fontes ou sumidouros dentro do volume existe divergência. Neste caso o valor da grandeza que entra é diferente da que sai do volume. ♦ Uma divergência: positiva indica que sai mais do que entra dentro do volume (denuncia a existência de fontes do campo dentro do volume) negativa indica que entra mais do que sai de dentro do volume (denuncia a existência de sumidouros do campo dentro do volume).
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Em qualquer livro sobre análise vetorial temos que a divergência de um vetor pode ser expressa por: divD = lim
Δv → 0
∫ D. ds S
Δv
Usando-se o operador Nabla: ⎛ ∂ ⎞ ∂ Dx ∂ Dy ∂ Dz ∂ ∂ ax + ay + a z ⎟ . ( Dxa x + Dy a y + Dz a z ) = ∇.D = ⎜ + + ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝∂x logo divD = ∇.D Em coordenadas cartesianas ∇.D =
Em coordenadas cilíndricas: ∇.D =
Em coordenadas esféricas: ∇.D =
∂D x ∂D y ∂D z + + ∂x ∂y ∂z
1 ∂ ( rD r ) 1 ∂Dφ ∂D z + + r ∂r r ∂φ ∂z
1 ∂ (r2Dr ) 1 ∂ ( Dθ sen θ ) 1 ∂Dφ + + 2 r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ
Nesta últimas expressões pode se ver que são computadas as derivadas lineares (por isto os denominadores são os deslocamentos infinitesimais em cada sistema de coordenadas) e somadas as variações do campo nas três direções. Ou seja caso existam origens ou sumidouros do campo em qualquer direção em torno de um ponto dentro de um volume resulta em ∇.D ≠ 0.
1.12.1.1 - Campo "solenoidal" →
∇.F = 0
Todo campo cuja divergência é nula é um campo solenoidal! Um campo solenoidal não tem fontes nem sumidouro neste caso, sua intensidade não varia entre o ponto de entrada e saida de um volume. Exemplos de campos solenoidais: I. Campo magnético. As linhas de forças se fecham sobre si mesmas e não tem nem fonte nem sumidouros, tudo que entra em um volume sai igualmente, sem acréscimos, deste volume, portanto a sua divergência é nula ∇.H = 0. II. A corrente elétrica contínua dentro de um fio. As cargas circulam o fio em um percurso fechado e todas que entram saem de um volume logo dentro deste volume ∇. J = 0. Já o campo elétrico E tem fontes (cargas positivas) e sumidouros (cargas negativas) logo um volume pode englobá-las e assim sua divergência ∇.E ≠ 0 em um volume englobando estas fontes. 1.12.2 – Gradiente de uma função escalar •
Divergência: operação sobre um vetor resultando em um escalar.
•
Gradiente: operação sobre uma função escalar resultando em um vetor.
9
Seja uma região com taxas de variação de altitude em metros quando caminhamos um quilometro nas direções x = 4m/km e y = 3m/km. Para saber-se a elevação em qualquer ponto podemos exprimi-la em termos de x e y por uma função do tipo P=1000+4x+3y metros. onde: 1000 é a elevação do seção do mapa em relação ao nível do mar 3m/km Y P=1000+4x+3y Gradiente P
∂P a ∂y y X
∂P a ∂x x
4m/km
Defini-se um vetor que se denomina “Gradiente” com componentes nas duas direções tendo como módulo as declividades em cada direção x e y. Como a declividade é a maior taxa de variação da elevação em uma dada direção elas serão ∂P ∂P respectivamente: ax e a e assim ele esta na direção mais íngreme: ∂y y ∂x ∂P ∂P GradienteP= a x + a ∂x ∂y y Duas características são muito importantes no gradiente
• A direção do vetor gradiente faz sempre angulo reto com as curvas isométricas. A inclinação mais íngreme pode ser encontrada descendo a elevação na distância mais curta e isto é conseguido tomando-se uma direção perpendicular às curvas isométricas.
• O modulo do vetor gradiente será proporcional ao espaçamento das linhas de contorno. Quanto menor o espaçamento maior será a declividade e a taxa de variação da função e conseqüentemente o módulo do vetor gradiente. Na região considerada: P=1000+4x+3y metros logo GradienteP = 4ax+3ay Isto indica que a inclinação em qualquer direção é a mesma porque as componentes do gradiente não são função de x e y. Para três dimensões temos:
ou usando-se o operador Nabla
Gradiente P=
∂P ∂P ∂P ax + ay + a ∂x ∂y ∂z z
⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ a x + a y + a z ⎟ P = ∇P = GradienteP ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
Assumindo-se P como uma função que exprima o potencial em uma região, ou seja, P = V:
Em coordenadas cartesianas ∇V =
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∂V ∂V ∂V ax + ay + a ∂x ∂y ∂z z
∇V=
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:
∇V=
∂V 1 ∂V ∂V aø + ar+ az r ∂φ ∂r ∂z
∂V 1 ∂V 1 ∂V aθ + aø ar+ r sen θ ∂φ ∂r r ∂θ
Os denominadores tem a forma do vetor deslocamento dL em cada sistema desde que o gradiente envolve deslocamentos e computo da variação da função em cada direção dos módulos do vetor resultante da operação gradiente.
Analisando tem-se:
⎛ ∂P ∂P ∂P ⎞ ∇P. dL = ⎜ a x + ay + a ⎟ .(dxax+dyay+dzaz) ∂y ∂z z ⎠ ⎝ ∂x ∇P. dL =
∂P ∂P ∂P dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
a igualdade da direita é a derivada total da função que exprime o campo escalar e portanto é a variação da função P para um movimento em uma distância dL logo:
∂P ∂P ∂P dx + dy + dz =dP ∴ ∂x ∂y ∂z
∇P.dL = dP =|∇P||dL|cosφ
♦ φ = 90° ⇒ dP = 0 logo para deslocamentos em qualquer distância não existe variação e só pode ter se dado sobre uma curva de nível ou superfície equipotencial. ♦ φ = 0° temos o valor máximo de dP e Gradiente P esta na mesma direção de dL. Portanto a direção do gradiente é a direção de maior valor de variação da função e portanto Gradiente P é normal a uma superfície equipotencial ou no nosso exemplo uma curva de nível do terreno. Portanto o gradiente tem a direção e módulo da maior taxa de variação positiva de um campo escalar em um ponto. O seu módulo é diretamente proporcional a esta variação e um caminho perpendicular ao sentido do vetor gradiente é uma superfície equipotencial.
Estes mesmos raciocínios valem também para coordenadas cilíndricas e esféricas.
1.12.3 – Rotacional de um campo vetorial • Rotacional: operação sobre um vetor resultando em um vetor. • Divergência: operação sobre um vetor resultando em um escalar. • Gradiente: operação sobre uma função escalar resultando em um vetor.
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dL
MEDIDOR DE ROTACIONAL
Um campo que tem rotacional Rotacional (é um campo solenoidal, portanto com divergência nula) no plano ⊥ ao plano da folha MEDIDOR DE ROTACIONAL
9 "O módulo do vetor proveniente do rotacional de um campo vetorial é proporcional à taxa de mudança da intensidade deste campo em uma direção perpendicular à direção do campo" 9 A direção do rotacional é perpendicular ao plano que contem o campo vetorial sendo ele um campo solenoidal.
Se uma roda com pás colocadas dentro de um campo vetorial tiver rotação existe rotacional e o seu sentido é aquele indicado pela regra do parafuso de rosca destrógira. No exemplo haverá um rotacional entrando na pagina na parte superior e saindo da mesma na parte inferior. Quanto maior for a taxa de variação do campo na direção perpendicular a do campo mais rápido gira o medidor de rotacional e maior será o módulo do vetor rotacional do campo. Expressões matemáticas para o rotacional. Em qualquer livro sobre operações com vetores encontramos: Sistema cartesiano: ay az | | ax rotH= | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| Hy Hz | | Hx
OPERADOR logo A=∇×H NABLA
∂H y ⎛ ∂H Rotacional em coordenadas cartesianas A =∇×H = ⎜⎜ z − ∂z ⎝ ∂y
⎞ ⎛ ∂H y ∂H x ∂H z ⎞ ⎛ ∂H ⎟⎟ ax+ ⎜ x − − ⎟ ay+ ⎜⎜ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂x
⎞ ⎟⎟ az ⎠
Nesta última expressão pode se ver que para computar cada um dos módulos do vetor rotacional em uma direção são executadas derivadas lineares nas outras duas direções definindo assim as variações em direções perpendiculares. Isto esta de acordo com o conceito físico da operação rotacional.
Em outros sistemas de coordenadas sem definir nabla nestes sistemas temos: Em coordenadas cilíndricas: ⎛ 1 ∂H Z ∂H φ ∇×H= ⎜⎜ − ∂z ⎝ r ∂φ
⎞ ∂H z ⎛ ∂H ⎟⎟ ar+ ⎜ r − ∂r ⎝ ∂z ⎠
Em coordenadas esféricas: 12
⎛ 1 ∂ ( rH φ ) 1 ∂H r ⎞ − ⎟ aø+ ⎜⎜ r ∂φ ⎠ ⎝ r ∂r
⎞ ⎟⎟ az ⎠
∇×H=
1 r sen θ
⎛ ∂H φ sen θ ∂H θ ⎞ 1 ⎛ ∂ ( rH θ ) 1 ∂H r ⎞ 1 ⎛ 1 ∂H r ∂ ( rH φ ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ar+ ⎜⎜ ⎟⎟ aθ+ ⎜ − − − ⎟ aø r ⎝ ∂r r ∂θ ⎠ r ⎝ sen θ ∂φ ∂θ ∂φ ⎠ ∂r ⎠ ⎝
Em qualquer sistema:
( ∇ × A ) .a n =
v∫ A.dL lim ΔSN →0 ΔSN
∇×A
an
dL
ΔSN
onde: "n" indica que o componente do rotacional é normal a superfície envolvida pelo percurso da integral de linha fechada e dL é percorrida na periferia da área. A última expressão indica que ele pode ser definido como uma "circulação por unidade de área" (lembrav∫ D.ds ) se que ∇.D = lim Δv→0 Δv 1.13 – Duas identidades nulas utilizadas em eletromagnetismo: 1.13.1 ∇.∇ × A = 0 O campo resultante da operação de rotacional é solenoidal e portanto tem ∇.F = 0 . Como conseqüência direta disto:
∇.∇ × A = 0
inverso vale: “Se a divergência de um campo é nula ele é o rotacional de um outro campo”. 1.13.2
∇ × ∇V = 0
O rotacional do gradiente é nulo:
∇ × ∇V = 0
⎛ ∂V ∂V ⎜ ∂y porque: ∇ × ∇V = ⎜ ∂ z − ⎜∂y ∂z ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ a x ...= 0 ⎟ ⎟ ⎠
1.14 - Teorema de Helmoltz e tipos de campos vetoriais: O teorema de Helmoltz: "Um campo vetorial fica determinado a menos de uma constante aditiva, se a sua divergência e seu rotacional forem especificados". Assim pode-se dividir um campo F em uma soma de dois vetores: F = Fi + Fs onde Fi não tem rotacional e assim ∇ × Fi = 0 e ∇.Fi = g e Fs é solenoidal e assim ∇.Fs = 0 e ∇ × Fs = G Logo ∇.F = ∇.Fi = g e ∇ × F = ∇ × Fs = G Portanto definindo-se o escalar g e o vetor G define-se um campo qualquer F. Isto será feito ao longo do estudo, tanto para o campo elétrico E como para o campo magnético H. Um campo vetorial F pode ser dos seguintes quatro tipos: 13
1- Campo solenoidal e sem rotacional (“lamelar"): ∇.F = 0 e ∇ × F = 0
Exemplo: Campo elétrico estático em uma região sem cargas ou corrente elétrica em um condutor com corrente contínua. 2 - Campo solenoidal, porém com rotacional: ∇.F = 0 ∇ × F ≠ 0
Exemplo: Campo magnético devido a um condutor conduzindo corrente. 3 - Campo sem rotacional, porém não solenoidal: ∇.F ≠ 0 e ∇ × F = 0
Exemplo: Campo elétrico (ou densidade de fluxo elétrico) estático em uma região com cargas. 4 - Campo com rotacional, porém não solenoidal: ∇.F ≠ 0 e ∇ × F ≠ 0
Exemplo: Campo elétrico em um meio com cargas com um campo magnético variável no tempo.
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CAPITULO 2 CAMPOS ELETROSTÁTICOS − LEI DE COULOMB E LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA DESTES CAMPOS 2.1 - Lei de Coulomb A primeira lei da eletrostática é a Lei de Coulomb que usou uma balança de torção para colocar em bases matemática o fenômeno já conhecido da atração e repulsão de cargas.
"A força entre duas cargas pontuais separadas pelo vácuo ou espaço livre, à uma distância grande comparada com seus tamanhos, é diretamente proporcional à cada carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas". F=
kQ1Q 2 R2
onde: F medida em Newtons é uma força mútua de igual módulo que age ao longo da linha que une as duas cargas sendo: • atrativa quando as cargas tem sinais diferentes e • e repulsiva para cargas de sinais iguais, Q1 e Q2 podem ser positivas ou negativas e são medidas em Coulomb, R é a distância entre as cargas em metros, e k é a constante de proporcionalidade com valor no vácuo de: k=
1 4πε 0
logo F =
Q1Q 2 4πε 0 R 2
ε0 é a permissividade no vácuo com valor: ε0=8,854×10−12 F/m ou ε0 ≈ (1/36π)×10−9 F/m Usando-se vetores e vetores posição para generalizar para quaisquer sistemas de coordenadas temos: Q1
Q2 a12
R12
F2
F2 =
Q 1Q 2 4πε 0 R 12
2
a12
com a carga no centro do sistema de coordenadas esféricas vem |R12| = r e a12 = ar : F2 =
Q1Q 2 ar 4πε 0 r 2
caso isto não ocorra: F1
Q1 r2- r1=R12 Q2 r1
r2
F2
F2 = − F1 =
Q 1Q 2 4πε 0 r2 − r1
2
r2 − r1 r2 − r1
Origem do sistema de coordenadas
Usando-se vetores o sentido da força é dado pelos cálculos, por exemplo: EXEMPLO: E2.1 Hayt
Q1=2mC em P1(−3;7;−4)
e 15
Q2= −5mC em P2(2;4;−1) F2=? e F1=?
R12=[2−(−3)]ax+(4−7)ay+[−1−(−4)]az=5ax−3ay+3az |R12|= 52 + ( −3) 2 + 32 =6,56m F2 =
2 × 10 −3 × −5 × 10 −3 5ax−3ay+3az 4π × 8,854 × 10 −12 × 6,563
F2= −0,3183×103(5ax−3ay+3az)= −1,59ax+0,956ay −0,956az kN F1=1,59ax−0,956ay+0,956az kN 2.2 - Campo elétrico E provocado por uma carga Q
Girando-se uma carga de prova (1 Coulomb) em torno de uma outra com carga Q, as forças sobre ela variam obedecendo a Lei de Coulomb e em cada ponto temos um vetor força cujo módulo obedece a Lei de Coulomb: Q1Q P FP = a 2 1P 4πε 0 R 1P onde: a1P é um unitário que vai da carga na qual age a força para a carga que provoca a força e |R1P| a distância entre elas. FP Q1 a1P = Por unidade de carga temos: Q P 4πε 0 R1P 2 Este campo vetorial é o "campo elétrico" com notação E =
F FP ou seja: E = lim Q → 0 QP Q
FP/QP=Newton/Coulomb=(Newton.metro)/(Coulomb.metro)=Volt/metro O campo elétrico em qualquer ponto no espaço tem o sentido da força que age sobre uma carga positiva situada naquele ponto.
Q
Abandonando-se os índices e generalizando-se temos para uma carga pontual: E =
4πε 0 R 2
aR
onde R - distância entre Q e o ponto onde se calcula E aR - unitário que vai de Q para o ponto onde se calcula E Que em coordenadas esféricas e com a carga na origem resulta em
E=
Q 4πε 0 r 2
ar
2.3 – Lei de Gauss A segunda lei da eletrostática é a Lei de Gauss. Lembra-se que: Em um condutor em condições estáticas todas as cargas livres porventura existentes são expulsas para a superfície. 2.3.1 - Experiência de Faraday
−
A esfera metálica exterior (considerada apenas uma casca esférica), separada em dois semi-hemisférios é previamente descarregada através de conexão momentânea com a terra, e para posicioná-la em torno da esfera metálica interior carregada com + ρS ela é manipulada com luvas isolantes. Entre as duas esferas condutoras existe um isolante. 16
− −
− ++ ++
− −
− −
dielétrico
A casca metálica esférica exterior que estava descarregada fica carregada com uma carga superficial - ρS (módulo igual a da esfera interior e de sinal contrário). Este fenômeno foi denominado por Faraday como "fluxo elétrico de deslocamento" ou "fluxo elétrico" sua notação é ψ ,sua unidade é o Coulomb. Como ele é função da carga Q na esfera interna temos a igualdade: ψ=Q
2.3.2- Densidade de fluxo elétrico D É a relação entre o fluxo elétrico e a área total S da superfície atravessada pelo mesmo:
ψ
D=
S
=
Q S
C/m2
Na experiência de Faraday teríamos em coordenadas esféricas e com as esferas centradas na origem:
D=
Para uma esfera: E =
Q1
4πε 0 r 2
Q Q = ar S 4π r 2
a r portanto D = ε0E
EXEMPLO: E3.1 Hayt carga pontual em (0; 0; 0) com Q=15π nC. Qual o fluxo total em uma esfera de raio 5m e centro em (1; −1; 2). Como a esfera engloba a carga: ψ = Q =15π = 47,12 C 2.3.3 Expressão matemática da Lei de Gauss: “O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é igual a carga envolvida pela mesma” Q = v∫ D.ds S
onde: ds tem sentido para fora do volume que contém Q Q é a carga envolvida que pode ter qualquer configuração ou seja reta, planos etc... Desta forma a aplicação da Lei de Gauss implica em calcular cargas envolvidas e desde que a incógnita que normalmente é o vetor D e este esta dentro de uma integral também implica na determinação de superfícies gaussianas.
2.3.4- Superfícies Gaussianas. Q = ∫ D. ds A expressão matemática da Lei de Gauss é uma equação diferencial de 1ª ordem em que a S
incógnita D esta dentro do sinal de integração (quando estamos usando a Lei de Gauss geralmente deseja-se conhecer D).
17
Uma equação deste tipo pode ser impossível de ser resolvida se a superfície de integração não for bem definida. A idéia é retirar D de dentro do sinal de integração ou anular a integral. Assim: D e ds tem que ser em qualquer ponto da superfície escolhida: ⇒ D ⊥ ds anulando a integral ou ⇒ D ⁄⁄ ds resultando em um escalar. Neste caso D tem que ser constante para ser retirado da integral, restando uma integral de superfície fechada. Não é possível o uso desta Lei para encontrar a densidade de fluxo de duas cargas pontuais porque neste caso não existe uma superfície Gaussiana.
Exemplo de aplicação da Lei de Gauss a uma carga pontual obtendo-se a superfície gaussiana: Em coordenadas cilíndricas a superfície Gaussiana é uma esfera centrada na origem e a integração é sobre a superfície de uma esfera. Q = ∫ D. ds = ∫ S
2π
0
π
∫ Da . r r
0
2
sen θdθdφa r = 4πr 2 D r
D=
Q ar 4πr 2
(não precisa integrar volumes ou superfícies conhecidos) 2.4 - Carga em qualquer ponto do espaço e qualquer sistema de coordenadas:
E(r ) =
r − r' Q = r − r' 3 ' ' r −r 4πε 0 r − r
Q 4πε 0 r − r
' 2
r − r' r − r'
Q r-r
’
e tem-se também: Q r − r' Q D(r ) = = r − r' ' 2 r − r' ' 3 4π r − r 4π r − r
E(r)
r’ r
Origem do sistema de coordenadas
2.5 - Princípio da superposição O campo elétrico não e um fenômeno com saturação, ele é adicionado infinitamente em um ponto. Como conseqüência o campo elétrico e a densidade de fluxo de várias cargas é dado pela soma dos campos de cada uma das cargas que compõe o sistema. Usando-se o vetor posição: n
E(r ) = ∑
m =1
Qm 4πε 0 r − rm '
3
r − rm
r − r1'
Q1
'
r − r1'
r-r1’
E(r)
Q2 n
D(r ) = ∑
m =1
r1’
Qm 4π r − rm
'
r − rm ' 3
r2’
r
Origem do sistema de coordenadas
2.6 - Campos de uma distribuição volumétrica contínua de cargas.
18
r-r2’
Considerando-se as cargas elétricas em um volume e atribuindo-se às mesmas uma densidade volumétrica de cargas sem pesquisar as diferenças entre cada carga em um pequeno volume Δv temos: ΔQ Δv → 0 Δv onde ρ é a densidade volumétrica com unidade C/m3 ΔQ=ρΔv e assim ρ: ρ = lim
em um volume infinitesimal teremos uma carga pontual de:
dQ=ρdv
Q = ∫ dQ = ∫ ρ dv
em um volume finito teremos uma carga total de:
V
V
Se as cargas estiverem dispostas em uma reta ou em uma superfície vem: ΔQ ΔQ C/m e ρ S = lim C/m2 Δ→ s ΔL Δ→ s Δs
ρ L = lim
dQ=ρLdL e dQ=ρSds Q = ∫ dQ = ∫ ρ L dL e Q = ∫ dQ = ∫ ρ S ds L
L
S
S
Uma carga pontual dQ provoca um campo elétrico e uma densidade de fluxo: dQ
dE(r ) =
4πε 0 r − r
' 3
r − r'
dQ
dD(r ) =
4π r − r
' 3
r − r'
E como dQ=ρdv usando-se o princípio da superposição podemos somar as contribuições de todas as cargas em um volume. Com um número infinito de cargas e fazendo o volume tender a zero temos a igualdade: E(r ) = ∫
ρ( r ')dv '
V
4πε 0 r − r
' 3
r −r
ρ( r ') dv'
D(r ) = ∫
'
4π r − r
V
' 3
r − r'
onde: ρ(r')dv' é um volume incremental dv' contendo "n" cargas em um ponto definido pelo vetor posição r' Tem–se também com as cargas dispostas em linha ou em uma superfície:
ρ( r ') dL'
E(r ) = ∫
L
D(r ) = ∫
L
4πε 0 r − r
' 3
ρ( r ') dL' 4π r − r
' 3
r −r
r −r
'
E(r ) = ∫
e
'
S
e
ρ( r ')ds ' 4πε 0 r − r
D(r ) = ∫
S
' 3
ρ( r ') ds ' 4π r − r
' 3
r − r'
r − r'
Onde: o vetor r − r' é um vetor apontando de cada uma das cargas do sistema de cargas para o ponto onde se deseja calcular. Ver capitulo 1 item 1.9. 19
EXEMPLOS de determinação de cargas E2.5 Hayt a) ρ=10ze−0,1xsen(πy) em um volume 2 ≥ x ≥ −1 ; 1 ≥ y ≥0 ; 3,6 ≥ z ≥ 3 1 2
−0 ,1 x
sen(πy)dxdydz = Q = ∫
Q=∫
3, 6
Q=∫
3, 6 1
3, 6
3
3
∫ ∫ 10ze 0 −1
3
∫ −28,644z sen(πy)dydz = ∫ 0
2
3
−1
28,644
π
−0 ,1 x ∫ −100z sen(πy)e
3, 6 1 0
dydz
z2 cos(πy) 0 dz = 18,236 2
3, 6
1
= 36,2 C 3
π
b) ρ=4xyz em um volume 2 ≥ r ≥ 0 ;
≥φ ≥0 ; 3 ≥ z ≥0 2 x=rcosφ ; y=rsenφ ----> ρ =4zr2cosφsenφ 3 π2
2
0
0
Q=∫
∫ ∫ 0
Q=∫
4zr 2 cos φ sen φrdrdφdz
3
0
π
∫ ∫ 2
0
0
π
Q=∫
3
0
∫
π
2
0
z cos φ sen φr r
4 2 0
dφdz = 16∫
3
0
2
4zr 3 cos φ sen φdrdφdz
3
zsen 2φ 2 8z 2 dz = 2 2 0
= 36 C 0
superfície r = 4,5 e − 3,5 < z < 3,5 ; ψ = ?
E3.3 Hayt
z
a) linha de cargas no eixo x com ρL= 2cos(0,1x) C/m
4,5 4,5
4,5
Ψ = Q= ∫ ρ L dl = ∫ 2cos(0,1x)dx= L
-4,5
2 = 17, 4 C sen(0,1x) 0,1 −4,5
c) plano em z=0 com ρS = 0,1r2 C/m2 Ψ = Q = ∫ ρ S ds = ∫ S
4,5
0
∫
2π
0
3,5 y y
4 ,5
2π
0
−0
0,1r 2 rdφdr = ∫ 0,1r 3φ
3,5
4,5
dr = ∫ 2π 0,1r 3dr = 64,41 C 0
2.7 - Campo em torno de uma linha infinita de cargas uniformemente distribuídas 2.7.1 - Utilizando-se a Lei de Coulomb Um feixe de elétrons de um tubo de televisão é o que se constitui algo mais próximo de uma linha de cargas desde que fosse possível parar as cargas no tempo. Coloca-se esta linha infinita de cargas sobre o eixo z Usando-se o princípio da superposição divide-se a reta em cargas incrementais: dQ = ρLdz (C/m×m = C) Cada carga provoca em um ponto P próximo à reta um campo E cuja intensidade diminui quando se afasta da reta (Lei de Coulomb). O vetor E tem direção situada sobre o plano que contém a reta e o ponto. 20
Descrevendo-se um círculo em torno da reta a intensidade de E não varia, logo, as superfícies equipotenciais são cilindros e a direção de E é normal à superfície destes cilindros. No sistema cilíndrico, colocando-se a reta de cargas sobre o eixo z, as distâncias entre estas superfícies equipotenciais até a reta serão medidas pela coordenada r deste sistema. Só existem duas componentes de E que estão nas direções z e r. Por simetria a componente na direção z se anula, logo só existem componentes variando na direção do eixo r. dQ
dE =
4πε 0 R
2
aR =
R = r 2 + z2
ρ L dz aR 2 4πε 0 R
; aR =
R=rar−zaz
;
z
;
aR
nula por simetria
ra r − za z r +z 2
R
dQ=ρLdz
2
E=∫
−∞
E=
ρ L rdz 4πε 0 r + z 2
ar 2
2
=∫
−∞
r2 + z2
ρ L rdz
∞
R1
4πε 0 (r + z 2
)
3 2 2
Ez
aR1
x
ρ r 1 ar = L 4πε 0 r 2
P(r1;φ1;z1) y E
y
substituindo-se e integrando-se apenas na direção ar temos: ∞
Ez= 0 (simetria)
∞
z r2 + z2
ar −∞
ρ Lr ⎛ 1 1 ρL ⎞ ar ⎜ 2 − 2 ( −1)⎟ a r e finalmente vem E = ⎠ 4πε 0 ⎝ r r 2πε 0 r
Supondo-se que não houvesse sido observada a simetria do campo na direção z, o resultado seria o mesmo (apenas teria mais cálculos)!
Calculando-se no sentido de integração desprezado pela simetria (na direção az): E=∫
∞
−∞
− ρ L zdz
4πε 0 (r + z 2
Generalizando-se: E=
)
3 2 2
ρL aR 2πε 0 R
− ρL az = 4πε 0
e
D=
∞
1
az = 0
r2 + z2
−∞
ρL aR 2π R
onde: R é a menor distância entre a reta e o ponto em que desejamos calcular E aR é um unitário a partir da reta apontando para o ponto com suporte em R 2.7.2 Utilizando-se a Lei de Gauss
Em coordenadas cilíndricas. E e portanto também D só varia com r, logo a Gaussiana tem que ser um cilindro. z ds
Q = ∫ D. ds = D r ∫ ds = 2πrLD r Coulombs S
D=
S
ds
Densidade linear de carga
ρ L ρ Q a r = L a r = L a r C/m2 2π rL 2π rL 2π r
Dr
ds
EXEMPLOS: 21
E2.6 Hayt- a) densidade de carga linear de 25nC/m ; todo x= −3 e todo z=4 E=? (na origem) ρL z P(-3 ; y ; 4) E= aR 2πε 0 R aR R=[0−(−3)] ax+(0−4) az = 3ax−4az R −9 25 × 10 y E= 3ax−4az=54ax−72az 1 −9 2 2 x 2π 10 3 + 4 36π
(
)
c) mesmos dados porém E no ponto (4;60°;2) x= rcosφ=4cos60°=2 y= rsenφ=4sen60°=2 3 R=[2−(−3)]ax+(2−4)az=5ax−2az E=
25 × 10 −9 2π
(
1 10 −9 52 + ( −2) 2 36π
)
5ax − 2az=77,58ax−31,03az
2.8 - Campo de uma superfície plana infinita de cargas uniformemente distribuídas 2.8.1 – Utilizando-se a Lei de Coulomb.
Colocando-se o plano em zy e trabalhando-se com coordenadas cartesianas pelo princípio da superposição podemos dividi-lo em "n" retas infinitas com cargas uniformemente distribuídas para as quais já calculamos o campo E: dE =
ρL aR 2πε 0 R
R= R = x +y 2
;
z
ρL=ρSdy ; R=xax − yay
y 2
aR =
xa x − ya y x 2 + y2
nula por simetria
ρL=ρSdy
x
R=xax-yay
substituindo-se e integrando-se: ∞ ρS ∞ ρS ρ ⎛ π ⎛ π ⎞⎞ ρ x y E= E= arctg a x = S ⎜ − ⎜− ⎟⎟ax = S a x dya x 2 2 ∫ −∞ x +y x −∞ 2πε 0 2πε 0 2πε 0 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎠ 2ε 0 E=
ρS ax 2ε 0
e, portanto não varia com nenhuma coordenada sendo independente destas e também independente da distância do ponto considerado até a folha infinita.
Se o ponto escolhido fosse negativo o resultado seria obtido com R= − xax−yay teríamos E = − Este resultado também pode ser verificado pela colocação de uma carga de prova no ponto.
22
ρS ax 2ε 0
Generalizando-se vem: E =
ρS an 2ε 0
onde an é um unitário normal á superfície e voltado para o ponto onde desejamos calcular E. O cálculo do unitário an pode ser feito de duas formas: a) Se a superfície é um plano (como no caso) tomam-se três pontos do plano e traçam-se dois vetores. Fazendo-se o produto vetorial entre eles e tomando-se o unitário obtém-se an b) Calcula-se o unitário do vetor gradiente da superfície qualquer que neste caso não precisa ser plana. 2.8.2 – Utilizando-se a Lei de Gauss.
As superfícies gaussianas são planos infinitos paralelos ao plano: A densidade de fluxo por cada uma das superfícies da gaussiana paralelas ao plano zy é D(− ax) Dax
Q = ρs ds = D.ds + ( − D ) . ( −ds ) = Da x .dsa x + D ( −a x ) .ds ( −a x ) = 2Dds
D=
ρs 2
ax
ou E =
ρS a n (mesmo resultado). 2ε 0
x − ds
ds
2.9 - Campos em torno de folhas infinitas carregadas uniformemente com cargas opostas.
Colocando-se agora uma segunda folha com cargas negativas a uma distância "a" medida sobre o eixo dos x (um capacitor de placas paralelas) temos neste caso an=ax ou an= − ax dependendo do ponto e assim:
z
+ρS
a
y
Fora dos planos: x>a Ε = E+ + E− = D=0
x<0 Ε = E+ + E− = D=0
ρS −ρ a x + S a x =0 logo também 2ε 0 2ε 0
x
-ρS
ρS −ρ ( −a x ) + S ( −a x ) = 0 logo também 2ε 0 2ε 0
e entre os planos ou seja 0
b a carga envolvida é igual a zero logo D = 0 e E = 0 nesta região e deste modo o campo elétrico fica todo confinado dentro do cabo. Este exercício resolvido pela Lei de Coulomb Gauss seria mais complexo. O cilindro interno pode ser dividido em retas infinitas (principio da superposição), mas o cálculo do campo gerado por cada uma destas retas em cada ponto do cilindro externo envolve uma geometria complicada na sua obtenção.
EXEMPLO com aplicação da Lei de Coulomb: 2.25 Hayt Tem-se uma superfície quadrada no plano z=0 ; 1 ≥ x≥ −1 ; 1 ≥ y ≥ −1 com densidade superficial de cargas ρs = |x|nC/m2. Qual o valor de E no ponto (0; 0; 1)? Usa-se o princípio da superposição e divide-se o plano em "n" cargas dQ=ρSdydx e verifica-se a simetria: só existem componentes do campo E na direção z porque as demais direções se anulam: z
P(0;0;1) dE =
dQ aZ 4πε 0 R 2
ρS
-1;-1;0
dQ=ρSdydx.
-1;1;0
y
1;-1;0
1;1;0 x nulas por simetria
nulas por simetria
R= − xax − yay + az
;
R= R = x 2 + y 2 + z 2
;
a R = a12 =
− xa x − ya y + za z
x 2 + y2 + z2 como z=1 e com limites da integral de 0 a 1 para evitar um resultado nulo porque esta se integrando |x| vem:
24
Ez =
2 × 2 × 10 −9 4 × π × 8,854 × 10 −12
0 0
∫
usando-se (do formulário):
1
1
y2 +1
0
−
(x
+ y 2 + 1)2
3
2
xdx
(ax
∫ E z = 35,95∫
xdxdy
1 1
∫∫
2
+ b)
3 2
dx ax 2 ± b
1 y2 + 2
=
=
−1
com a=1 e b=y2+1 e
a ax + b 2
1 ln[ x a + ( ax 2 ± b )] a
) (
(
dy=35,95 ln y + y 2 + 1 − ln y + y 2 + 2
)
1 0
EZ = 35,95(0,881−1,005+0,347) = 8,01az V/m Observações sobre este exercício: 1 - Se as cargas fossem concentradas na origem teríamos devido a simetria:
2 × 10−9 Qt = 4 ×10 ∫ ∫ xdxdy = 2 × 10 ; E= aZ = = 17,795 az V/m 0 0 4πε 0 R 2 4π × 8,854 ×10−12 ×12 Que é uma solução errada e nem sequer aproximada! 1 1
−9
Q
−9
2 - A Lei de Gauss não pode ser aplicada neste exercício devido à impossibilidade de se definir uma superfície gaussiana. Por exemplo, no ponto (1, 1, 1) existem as três componentes do campo definidas por R= − (x+1)ax − (y+1)ay + az e não há simetria. 2.11 - Aplicação da divergência no eletromagnetismo - 1ª equação de Maxwell.
Seja um volume diferencial e aplicando-se a Lei de Gauss conhecendo-se o seu valor no centro do volume e como a superfície é pequena podemos considerar D aproximadamente constante na superfície deste.
∫ D.ds = D
x,frente
frente
a x .ΔS frente a x
ΔyΔz
D0=Dx0ax+Dy0ay+Dz0az (valor conhecido no centro)
z
Δv
Δz
D x,frente a x = D x0 +
D x,frente = D x0 +
⎡
∫ D. ds = ⎢⎣D
atraz
x0
Δx ×(taxa de variação de Dx com x) 2
Δx ⎛ ∂D x ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x ⎠ −
∴
⎡
∫ D. ds = ⎢⎣D
x0
+
frente
Δx ⎛ ∂D x ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ − ΔyΔz 2 ⎝ ∂x ⎠ ⎥⎦
∴
Δy Δx y x
Δx ⎛ ∂D x ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ΔyΔz 2 ⎝ ∂x ⎠ ⎥⎦
⎛ ∂D x ⎞ ⎟ ΔxΔyΔz ∂x ⎠
∫ D. ds + ∫ D. ds = ⎜⎝
atraz
frente
de modo semelhante teríamos para todas as outras faces e o resultado final é:
25
∂D y ∂D z ⎞ ∂D y ∂D z ⎞ ⎛ ∂D ⎛ ∂D Q = ∫ D. ds = ⎜ x + + ΔxΔyΔz = ⎜ x + + ⎟ ⎟ Δv S ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x Q = Δv
v∫
S
D.ds
Δv
∇.D = ρ =
=
∂ Dx ∂ Dy ∂ Dz + + = ∇.D ou no limite com Δv →0: ∂x ∂y ∂z
∂ Dx ∂ Dy ∂ Dz + + ∂x ∂y ∂z
portanto nos três sistemas de coordenadas:
1ª Equação de Maxwell que é a forma pontual da Lei de Gauss:
∇. D = ρ
Ou seja, a variação do vetor D entre a entrada e saida de um volume é proporcional ás cargas dentro do volume que são a sua fonte. 2.12 - Teorema da divergência
Relaciona uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume. Muito importante em diversas demonstrações. Q = ∫ D. ds ; Q = ∫ ρdv ; ∇. D = ρ ∴ S
V
∫ D.ds = ∫ S
V
ρdv = ∫ ∇. Ddv logo: V
v∫
S
D.ds = ∫ ∇.Ddv=Q V
Fisicamente podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as conseqüências do que ocorre na superfície de um volume sem se importar como o fenômeno esta se desenvolvendo dentro dele. O que diverge em uma célula converge na adjacente
Só contribui para o total o que diverge pela superfície do volume
Com auxilio deste Teorema obtém-se a partir da forma pontual ∇. D = ρ a Lei de Gauss: Integrando ambos os lados dentro de um volume:
∫
V
∇.Ddv= v∫ D.ds = v∫ ρ dv = Q ou S
V
v∫
S
D.ds = Q
O Teorema da divergência proporciona duas formas de se encontrar a carga Q envolvida!
EXEMPLO: E3.9 Hayt G = 2r2(cos5φar − sen5φaφ + az) ou G = 2r2cos5φar − 2r2sen5φaφ + 2r2az 26
z
ds=rdrdφaz
2r2 az φ
2
ds=drdzaφ
ds=drdz(−aφ)
−2r2sen5φ aφ
r
2r cos5φ ar
Na região r ≤ 5 ; 0 ≤ φ ≤ 0,1π ; 0 ≤ z ≤ 10. Efetuar ambos os lados do teorema da divergência. ∇.G =
1 ∂ (rG r ) 1 ∂ Gφ ∂ G z + + r ∂r r ∂φ ∂z
∇.G =
1 ∂ (r × 2r 2 cos 5φ ) 1 ∂ (−2r 2 sen 5φ ) ∂ (2r 2 ) + + r r ∂r ∂φ ∂z
∇.G =
3 × 2r 2 cos 5φ 5 × 2r 2 cos 5φ ) − = −4r cos 5φ r r
∫
V
10
∇. Gdv = ∫
0
ds=rdφdzar ds=rdrdφ(−az)
0 ,1π
5
0 ,1π
5
0
0
0
0
∫ ∫ −4r cos 5φrdrdφdz = ∫ ∫
5
−40 r cos 5φdrdφ = ∫ −8 r sen 5φ 2
0
2
0,1π 0
−8r 2 dr = 3
5
=− 0
1000 3
∫ G.ds = ∫ face com φ = 0,1π + ∫ face com r = 5 ; apenas porque: S
•
topo e base com áreas iguais e ds opostos e o valor da componente de G na direção sobre as faces igual desde que Gz = f(r) apenas.
•
Na face em que φ = 0 temos G.ds= (2r2cos(0)ar − 2r2sen(0)aφ + 2r2az).drdzaφ = 0
∫ G.ds = ∫ S
5 10
∫
0 0
10 0 ,1π
− 2r 2 sen(0,5π )dzdr + ∫
0
∫
0
2 × 52 cos(5φ )5dφdz = −
27
1000 3
CAPITULO 3 TRABALHO, POTÊNCIAL, ENERGIA E DIPLOLO DO CAMPO ELÉTRICO E GRADIENTE 3.1 –Trabalho utilizado no movimento de uma carga pontual em um campo elétrico E
y
onde: + Q carga a ser deslocada de x2 para x1
FE
Fapl é a força aplicada no percurso para vencer o campo elétrico (agente externo)
aL x1
FEL é a força produzida pelo campo elétrico na direção do movimento
+Q
Fapl x2 FEL
x
FE=+QE ∴ FEL= FE.aL = +QE.aL ∴ Fapl= − QE.aL O trabalho a ser produzido é: dW = FapldL= − QE.aLdL = − QE.dL ∴ W = − Q ∫
fim
E. dL
inicio
Joules
que é uma integral de linha com dL é sempre positivo ! o sentido da integração determina o sinal:
como dW = − QE.dL fica implícito nesta fórmula, devido à operação vetorial envolvida (produto escalar entre o vetor campo elétrico e vetor deslocamento), que o trabalho só se verifica para a componente de E no sentido do deslocamento dL. Tem-se também que:
• W positivo o agente externo produz o trabalho • W negativo o campo produz o trabalho (o campo elétrico perdeu energia) O caminho dL não é especificado: qualquer caminho conduz aos mesmos resultados desde que quando se perde energia em um determinado percurso ganha-se energia ao se retornar.
No caso tem-se: W = − Q ∫
fim
x1
E. dL = − Q ∫ (E x a x + E y a y + E z a z ). dxa x = − QE x ( x1 − x 2 )
inicio
x2
com x1 < x2 tem-se x1− x2= − L ∴ W = − QE x ( x1 − x 2 ) = QE x L A fonte externa neste caso tem que produzir trabalho, e este resultado foi conseguido pelos limites de integração estabelecidos. O trabalho para deslocar uma carga em um campo elétrico independe do percurso. Isto é visto atrvés de um exemplo: O campo elétrico na região é E=2xax−4yay.Qual o trabalho necessário para deslocar uma carga de 2 C do ponto A(2 ;0 ; 0) para B(0; 2; 0) a) ao longo de um trajeto passando pela origem. entre (2;0;0) e (0;0;0): dW = − QE.dL ∴ dW= −2 (2xax−4yay).dxax = −4xdx entre (0;0;0) e (0;2;0): dW= −2 (2xax−4yay).dyay = 8ydy 28
0
2
2
0
W = ∫ −4xdx + ∫ 8 ydy = 24 Joules
b) Por uma reta ligando os dois pontos Para integrar sobre a reta tem-se que obter a equação da reta entre dois pontos. Isto é dado pela interseção de dois planos que contenham os pontos A(2 ;0 ; 0) e B(0; 2; 0): y − yb x − xb y−2 x−0 = = ∴ ya − y b x a − x b 0−2 2−0
∴ x + y = 2 e dx + dy = 0 ∴ dy = − dx
dW = − 2(2xax−4yay).(dxax + dyay + dzaz) = −4xdx + 8ydy = −4xdx + 8(2 − x)( − dx) = (4x − 16)dx 0
W = ∫ ( 4x -16)dx = 24 Joules 2
Logo o trabalho para deslocar uma carga entre dois pontos independe do caminho uitlizado.
Entretanto baseando-se no exercício acima calcule para o campo E = 5xyax V/m. o trabalho para deslocar uma carga de 0,4 C ao longo dos caminhos: (0 , 0, 0) → (1, 0 , 0) → (1, 2 , 0). Resp: 0 (a) (b) (b) (0 , 0, 0) → (0, 2 , 0) → (1, 2 , 0) Resp: - 2 Joules
e analise as respostas! 3.2 - Campos conservativos e 2ª equação de Maxwell.
Seja um campo em torno de uma reta infinita e com carregamento uniforme.Pela geometria do campo usa-se coordenadas cilíndricas.
z
x
dL= drar+ r1dφaφ+ dzaz y r2
r'1
E
r'2
a) Transportando uma carga Q em um caminho circular, de raio r1, com centro na reta infinita e contido no plano perpendicular a mesma (plano xy) W = −Q ∫
fim
E. dL = − Q ∫
inicio
2π
0
ρL a r . r1dφaφ = 0 Joules, 2πε 0 r1
o campo nem ganha nem perde energia. b) Transportando a carga Q do ponto r1 → r2 W = − Q ∫
r2
r1
ρL Qρ L ⎛ r2 ⎞ a r .dra r = − ln ⎜ ⎟ Joules, 2πε 0 r 2πε 0 ⎝ r1 ⎠
o campo perde energia. c) Transportando a carga Q do ponto r2 → r1 W = − Q ∫
r1
r2
ρL Qρ L ⎛ r1 ⎞ Qρ L ⎛ r2 ⎞ a r .dra r = − ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟ 2πε 0 r 2πε 0 ⎝ r2 ⎠ 2πε 0 ⎝ r1 ⎠
Joules, o campo ganha energia. d) Transportando a carga Q no caminho retangular passando pelos pontos r1 → r2 → r'2 → r'1 → r1
29
Entre os pontos r2 → r'2 e r'1 → r1 a direção dL = dzaz é perpendicular ao campo E logo W = 0 Qρ L ⎛ r2 ⎞ Qρ L ⎛ r2' ⎞ Entre os pontos r1 → r2 e r'2 → r'1 W = − ln ⎜ ⎟ + ln ⎜ ⎟ = 0 Joules, portanto: Wtotal = 0 2πε 0 ⎝ r1 ⎠ 2πε 0 ⎝ r1' ⎠
o campo nem ganha nem perde energia. Verifica-se que desde que se realize um caminho fechado, ou seja, uma volta completa dentro do campo, por qualquer que seja o caminho adotado o resultado é o mesmo e nulo; o campo nem ganha nem perde energia. Nestes casos diz-se que o campo é “um campo conservativo” e uma integral de linha de percurso fechado ∫ A.dL nestes campos resulta sempre em zero. Os campos conservativos produzem força, mas não produzem trabalho. A gravidade terrestre é um exemplo importante de um campo conservativo que não produz trabalho embora produza força.
O campo elétrico gerado por cargas é conservativo. O campo elétrico gerado por campos alternados (do tipo “fem”) não é conservativo assim v∫ E.dL ≠ 0 e portanto produz trabalho (Lei de Faraday).
Desde que ( ∇ × E ) .a n =
v∫ E.dL = 0 Para campos invariáveis no tempo: lim ΔSN →0 ΔSN ∇ × E = 0 Esta é a 2ª Equação de Maxwell.
3.3 - Diferença de potencial e potencial “Diferença de potencial V é o trabalho realizado por uma fonte externa ao mover uma carga unitária positiva de um ponto a outro em um campo elétrico”: VAB =
fim A W Newton × m Joule = − ∫ E. dL = − ∫ E. dL volt = = =Volt inicio B Q Coulomb Coulomb
A = ponto final de potencial mais elevado, sendo o ponto onde esta a carga. B = ponto de referência inicial de potencial menos elevado, sendo considerado geralmente como o infinito. Com V = 0 no infinito e colocando-se B também no infinito tem-se um potencial absoluto, caso não seja especificado B desta forma deve-se indicar onde esta a referência para os potenciais. Esta referência pode ser o chassi de um computador no caso de cabos coaxiais o condutor de fora é a referência zero porque esta geralmente aterrado.
Se VAB > 0 será realizado trabalho pela fonte externa para deslocar uma carga de B até A. No exemplo da linha de cargas o ponto r2 > r1 e o campo decresce com r, assim a diferença de potencial entre r2 e r1 é: r1 ρ ⎛r ⎞ ρ L V12 = − ∫ a r .dra r = L ln ⎜ 2 ⎟ r2 2πε r 2πε 0 ⎝ r1 ⎠ 0 Se o potencial de um ponto é VA e de outro é VB e ambos tem obrigatoriamente a mesma referência zero: VAB=VA-VB 30
3.4 – Aplicação do princípio da superposição para calcular o potencial em torno de um sistema de cargas. Potencial em torno de uma carga pontual. O potencial também segue o “princípio da superposição” portanto uma estrutura mais complicada pode ser decomposta em uma série de cargas pontuais e calcula-se V em um ponto (a exemplo do que foi feito com E) pela soma de V neste ponto provocado por cada carga individual. Assim torna-se importante calcular-se o potencial em torno de uma carga. Colocando-se a carga na origem de um sistema de coordenada esférica calcula-se a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B. Como independe do percurso faz-se ele o mais genérico possível: A
VAB = − ∫ E. dL = − ∫ B
A
B
Q 4πε 0 r
2
(
Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ rA rB ⎠
)
a r . dra r + rdθa θ + r senθdφa φ =
Deslocando-se o ponto B para o infinito ( potencial absoluto) tem-se potencial absoluto de uma carga pontual: Q Q ⎛ 1 1⎞ Q V( r ) = generalizando-se V= ⎜ − ⎟= 4πε 0 ⎝ rA ∞ ⎠ 4πε 0 r 4πε 0 r − r ' Em um sistema de n cargas pontuais que podem ser representadas por um elemento contínuo de carga volumétrica de dimensões infinitesimais pelo princípio da superposição. Como já foi feito para o campo elétrico de densidade de fluxo elétrico (ver capitulo 2): Q1=ρ1(r’)dv
V(r ) =
1 4πε 0
n
∑
m =1
Qm r − rm '
r − r1' r-r1’
r − r1'
Q2=ρ2(r’)dv
V( r)=?
r1’
r2
’
onde Qm=ρm(r)dv com m=1 até n
r
r-r2’
Origem do sistema
Passando-se o somatório para uma integral:
V(r ) =
1 4πε 0
∫
ρ( r ') dv'
V
r − r'
Se as cargas estiverem dispostas em uma reta ou um plano: V(r ) =
1 4πε 0
∫
L
ρ L ( r ') dL'
;
r − r'
V(r ) =
1 4πε 0
∫
S
ρ S ( r ') ds' r − r'
Onde: o vetor r − r' é um vetor apontando de cada uma das cargas do sistema de cargas para o ponto onde se deseja calcular. Ver capitulo 1 item 1.9. EXEMPLOS: E 4.5 Q=1,6×10−9 C; V=? em r = 0,7 m (pt. A)
VAB =
31
Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ rA rB ⎠
VA =
a) referência no infinito
1,6 × 10-9 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ =20,5 V (potencial absoluto) 4πε 0 ⎝ 0,7 ⎠
1,6 × 10-9 ⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ ⎟ =20,5 − 28,7= −8,22 V (referido a um zero que não esta no 4πε 0 ⎝ 0,7 0,5 ⎠ infinito logo não é um potencial absoluto).
b) 0 em r = 0,5 m ∴ VA =
1,6 × 10-9 4πε 0 VA=6,17+5=11,7 V (potencial absoluto)
c) VB = 5 V em r =10 m ∴ VAB =
1⎞ ⎛ 1 − ⎟ = 6,17 V o potencial absoluto em r =10 é 5V logo: ⎜ ⎝ 0,7 10 ⎠
R= − rar+zaz= − rar+ 10az (ver também capitulo 1 item 1.9)
E4.6 P(0; 0; 10) V=?
a) anel com largura infinitesimal com r=4 em z=0 e ρL= 5×10-9 C/m:
ρ L ( r ') dL'
V( r ) = ∫
4πε 0 r − r '
L
2π
5 × 10-9 × 4dφ '
0
4πε 0 4 2 + 10 2
=∫
z
R
= 104,9 V
ds=rdφdr
P
dL=rdφ y
x
b) Disco 4 ≥ r ≥ 0 em z=0 e ρS= 2×10-9 C:
ρ S ( r ') ds '
V( r ) = ∫
S
4πε 0 r − r '
=∫
4
0
2π
2 × 10 −9 rdrdφ '
0
4πε 0 r 2 + 10 2
∫
=
1000 4 rdr ' 1000 = ∫ 8,854 0 r 2 + 10 2 8,854
r 2 + 10 2
4
= 86,97 V
0
c) Anel 4 ≥ r ≥ 2 em z=0 e ρS= 3×10-9 C: V( r ) = ∫
4
2
2π
3 × 10 −9 rdrdφ '
0
4πε 0 r 2 + 10 2
∫
=
3000 2 × 8,854
r 2 + 10 2
4
= 97 V
2
3.5 - Aplicação do Gradiente ao campo elétrico A
No campo elétrico tem-se: VAB = − ∫ E. dL e para um elemento muito pequeno de comprimento em que E B
seja essencialmente constante vem: ∇ V= − E.ΔL=|E||ΔL|cosφ
no limite:
dV = − E cos φ dL
φ=180° temos o máximo da função, e isto é conseguido quando os deslocamentos dL são opostos a direção de E φ=90° resulta V=0 e como nem E nem ΔL são iguais a zero conclui-se que os vetores são perpendiculares e que o deslocamento se deu em uma equipotêncial. Como o campo vetorial que exprime no espaço as variações de E tem sentido contrário a máxima taxa de variação espacial da função que exprime V sendo normal às superfícies equipotenciais conclui-se que:
32
E= − ∇ V Esta última relação é uma das relações fundamentais no estudo de campos elétricos estacionários. Algumas vezes, o campo E é definido como um campo que satisfaz a esta relação. EXEMPLOS:
z ∇V
Campo elétrico de uma reta infinita carregada Colocando-se a origem no infinito e considerando um valor de potencial nulo no infinito temos os potenciais absolutos em torno da reta com r2 > r1: V12 = − ∫
r1
r2
ρ L ln r 2πε 0
E
y x
⎛ ρ ln r ρ L ln ∞ ⎞ ρL ρ ρ ln r ρ ln r dr = − L (ln r1 − ln r2 ) = − ⎜ L − +0=− L ⎟=− L 2πε 0 r 2πε 0 2πε 0 ⎠ 2πε 0 2πε 0 ⎝ 2πε 0
Potenciais se afastando da reta
V=−
Superfícies eqüipotenciais
⎛ ρ L ln r ⎞ ⎟ ⎝ 2πε 0 ⎠ ρL ρL ar ; ∇V = ar = − a r ; E= − ∇ V ; E = 2πε 0 r ∂r 2πε 0 r
∂⎜−
V=f(r) logo as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos com a reta. E4.8 do Hayt V=50x2yz+20y2 V=? no vácuo. a) no Pt (1; 2; 3) V=50×12×2×3 + 20×22 = 380 V
ΔVP=(1;2;3) = 600ax+230 ay+100 az Z
b) EP = ? ⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ c) E= − ΔV= − ⎜ ax + ay + a ⎟ ∂y ∂z z ⎠ ⎝ ∂x d) E = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az
6 4 10 6 3 10 6 2 10
EP(1,2,3)= −600ax−230ay−100az c) ρP=?
10 0
X 0
E = −100xyz ax−(50x z+40y) ay−50x y az ∇.ε0E =
30 20
6 1 10
∇.D=∇.ε0E = ρ 2
Y
2
10
20
30
∂ε 0 E x ∂ε 0 E y ∂ε 0 E z Z=3 + + ∴ ρP = −100ε0zy − 40ε0= − 5,66 nC/m3 ∂y ∂z ∂x
3.6 - O dipolo elétrico
São duas cargas pontuais, iguais, sinais contrários e separadas por uma distância "d" muito pequena. O estudo desta configuração de cargas se deve, a necessidade de ter elementos para estudar os materiais dielétricos no capitulo 4. Nesta aplicação a distância "d" é medida dentro de uma molécula. Em coordenadas esféricas e com o dipolo na origem temos V em um ponto P com R1 e R2>>>>>>> d. 33
Q ⎛ 1 1 ⎞ Q R 2 − R1 VP = − ⎜ ⎟= 4πε 0 ⎝ R 1 R 2 ⎠ 4πε 0 R 1 R 2
R1 θ ar r
+Q
d
V=? em P
R2
−Q
dcosθ
considerando-se a diferença entre R2 − R1=dcosθ e desprezando-se a diferença entre R1 e R2 e r VP =
∇ V=
∂V 1 ∂V 1 ∂V aθ + aø ; ar+ r sen θ ∂φ ∂r r ∂θ
Qdcosθ 4πε 0 r 2
E= − ∇ V
⎛ Qdcosθ Qdsenθ ⎞ Qd (2cosθa r + senθaθ ) E = −⎜⎜ − ar − aθ ⎟⎟ = 3 3 3 4πε 0 r ⎝ 2πε 0 r ⎠ 4πε 0 r
Definindo-se um vetor d dirigido de −Q para +Q e também um “momento de dipolo” p = Qd C.m como d.ar=dcosθ (dipolo na origem): VP =
Generalizando-se
V( r ) =
(
p. r − r '
1 4πε 0 r − r '
Qdcosθ Qd. a r p. a r = = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r 2
2
r − r'
)=
(
p. r − r '
)
4πε 0 r − r '
Centro do dipolo
+Q d
3
r-r
’
V( r)
−Q r’
r − r' r − r'
r Origem do sistema de coordenadas
EXEMPLO:
E4.9 p = 400πε0(0,6ax− 0,75ay+0,8az) C.m em um dipolo centrado na origem. V=? em PA(0; 0; 5) z
r − r’ = 5az − 0
P (0, 0, 5)
V( r ) =
400πε 0 ( 0,6a z − 0,75a y + 0,8a z ). (5a z ) 4πε 0 53
+Q
= 3,2 V
y x
3.7 - Energia total no campo eletrostático, em uma região. 3.7.1 - Energia em um sistema de cargas pontuais 34
−Q
O trabalho realizado por uma fonte externa para trazer uma carga de um ponto distante até um ponto mais próximo de uma outra carga fica acumulado na forma de energia potencial que seria liberada no caso de desligamento da fonte externa. Portanto a energia potencial de um sistemas de cargas será a soma dos trabalhos realizados pela fonte externa para posicionar cargas. Em um universo vazio e sem cargas para trazer a primeira carga não trabalha contra nenhum campo, portanto não é realizado trabalho pela fonte externa. ponto
O trabalho para trazer a segunda carga e colocá-la no ponto é: W2=Q2V21
Carga que provoca o potencial
Para uma terceira carga a energia acumulada é: WE= W1+ W2 +W3=0 + Q2V21 + Q3V31+ Q3V32 Para obter simplificações computa-se o trabalho para trazer as cargas em ordem inversa e pelo principio da superposição podemos somar estas duas ultimas expressões: WE= W3+ W2 +W1=0 + Q2V23 + Q1V13+ Q1V12 2WE= Q2V21 + Q3V31 + Q3V32 + Q2V23 + Q1V13 + Q1V12 = Q1 (V12 + V13) + Q2 (V21 +V23 ) + Q3 (V31 + V32) Na região além de Q1 só tem-se Q2 e Q3 assim no pt.1: V1
V2
V3
como o trabalho foi computado duas vezes o seu valor é dividido pela metade: WE=
1 (Q1V1 + Q2V2+ Q3V3) 2 WE =
Para “n” cargas a energia total dentro do volume é: E a densidade de energia:
1 n ∑ Q m Vm Joules 2 m =1
WE J = 3 volume m
3.7.2 - Energia em um sistema contínuo de cargas
Em uma região com distribuição contínua de cargas: dQm=ρdvm e o somatório se transforma em uma integral: 1 WE = ∫ Vρdv Joules 2 V fazendo-se uso da identidade vetorial : ∇.(VD) ≡V(∇.D)+D.(∇V) e ∇.D = ρ WE =
1 1 1 Vρdv = ∫ V(∇. D)dv = ∫ [∇. ( VD) − D. ∇V]dv ∫ 2 V 2 V 2 V
• A primeira integral pelo teorema da divergência resulta: 35
∫ ∇. (VD)dv = ∫ VD. ds V
S
E= −∇V
• A segunda integral resulta: −
1 1 1 1 D. ∇Vdv = ∫ D. Edv = ∫ ε 0 E. Edv = ∫ ε 0 E 2 dv ∫ 2 V 2 V 2 V 2 V logo: WE =
1 1 VD. ds + ∫ ε 0 E 2 dv ∫ S 2 2 V
Em torno de uma carga pontual, em um volume esférico de superfície com raio b vem: 1 WE = 2
2π π
Q
Q 2 1 ∫0 ∫0 4πε 0 r × 4πr 2 r sen θdθdφ + 2
WE =
2π π a
∫ ∫ ∫ε 0 0 b
Q2 0
4 π ε r 2
2
2 4 0
r 2senθdrdθdφ
Q2 ⎛ 1 1 ⎞ Q2 − = ⎜ ⎟ 4πε 0 b 4πε 0 ⎝ a b ⎠ 4πε 0 a
Q2
+
area
volume
Para qualquer valor de b o resultado é o mesmo. A integral de área diminui na mesma proporção que a de volume aumenta. Com b→ ∞ a integral de área é nula e dispensa o seu cálculo logo:
WE =
1 1 D. Edv = ∫ ε 0 E 2 dv Joules ∫ 2 V 2 V
Esta expressão indica que só existe energia na região onde existir campo elétrico.
EXEMPLOS: 1-Calcular a energia acumulada por metro de um cabo coaxial: WE = E=
1 ε 0 E 2 dv ; dv = rdrdφdz; ∫ V 2
ρ Sa a (a < r < b) e E = 0 (b < r ), assim só existe energia na região entre a e b. ε 0r r
WE =
πa 2 ρ S2 b 1 1 2π b ε 0 a 2 ρ S2 rdrd φ dz = ln 2 ∫0 ∫0 ∫a ε 02 r 2 ε0 a
Joules/m
2-Quanto vale a energia acumulada em um sistema de duas cargas pontuais Q1=3nC e Q2= − 3nC separadas por 0,2 metros. 2WE= Q1
Q2
4πε 0 d
+ Q2
Q1
4πε 0 d
∴
(
)
2
3 × 10-9 Q 1Q 2 WE= = = −405 nano Joules 4πε 0 d 4πε 0 0,2
Porque negativa?
E4.11 coordenadas esféricas 10 ≥ r V=100r2 WE = ?. Supõe-se que V = 0 para r > 10 calculando-se E= − ∇V= ∂(− 100r2)/∂r = − 200r 2π π 10 ε 4 × 109 2π 1 π 2 − cos θ o dφ = 44,51 mJ WE = ∫ ∫ ∫ ( −200 r ) ε 0 r 2senθdrdθdφ ∴ WE = 0 ∫ 0 2×5 2 000
36
CAPITULO 4 CARGAS ELÉTRICAS EM MOVIMENTO EM CAMPOS ELETROSTÁTICOS, CONDUTORES, SEMICONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 4.1 - Corrente elétrica Cargas elétricas passando por um ponto ou superfície constituem uma corrente elétrica. A corrente elétrica não constitui um campo vetorial, e isto porque não seria possível representar uma corrente por um vetor dentro de um condutor de seção reta variável tal como, por exemplo, uma esfera, visto que ela teria uma direção diferente em cada seção da esfera. Quando a razão das cargas que passam por uma determinada superfície for 1 Coulomb/segundo teremos um Ampère. 1 Ampère=1 Coulomb/1 segundo Nos metais as cargas são os elétrons que tem cargas negativas (nos condutores líquidos as cargas são conduzidas por íons ). Entretanto mais uma vez vamos utilizar cargas positivas para uma definição dentro do eletromagnetismo e como resultado disto a corrente terá o sentido contrário ao movimento dos elétrons em um condutor. I=dQ/dt Assim o campo elétrico e a corrente têm o mesmo sentido em um condutor fluindo, portanto dos pontos de maiores potenciais para os de menores potenciais. EeI -
elétron
4.2 - Corrente de condução e corrente de convecção. • Corrente de condução é o movimento dos elétrons dentro de um fio metálico que é feita de átomo a átomo • Corrente de convecção é um movimento de elétrons transportados de um ponto para outro como por exemplo dentro de um tubo de raios catódicos de um monitor de computador em que os mesmos bombardeiam uma película de substâncias fosforescentes com um feixe de elétrons. • Na corrente de condução o limite é o condutor. • Na corrente de convecção o limite é o espaço de movimento das cargas • Na corrente de convecção o movimento das cargas tem o mesmo sentido dos elétrons. Algumas definições que veremos não se aplicam a ambos os tipos de correntes. 4.3- Densidade de corrente J e relação desta com ρ Considere uma densidade de cargas ρ (C/m3) (N cargas volumétricas q) que se movem com velocidade e direção vρ e atravessam o elemento de superfície Δs conforme figura ao lado. A carga total ΔQ que se deslocam em sentido perpendicular à superfície Δs em um tempo Δt estão contidas em um volume Δ V Δ t ,a definido por: ρ=Nq n
ΔV
2
Δ t ,a n
3
= Δ t v ρ i Δ s a n = Δ t v ρ i Δ s (s × m/s × m = m ) , logo
ΔS
an
ΔQ = ρ ΔV Δt ,a = ρΔtv ρ iΔs (C/m3 × s × m/s × m2 = C) n
37
ou:
ΔI=
ΔQ = ρ v ρ iΔs (1) Δt
ΔS
vρ
Definindo-se agora um vetor densidade de corrente J iΔs = ΔI vem que: ♦
I ) substituindo em (1): J iΔs = ρ v ρ iΔs ou
J = ρv
que é o relacionamento pontual entre J e ρ e onde v é a componente do vetor velocidade de deslocamento das cargas no sentido perpendicular à superfície conforme figura ao lado.
v
Logo J = f (densidade volumétrica de cargas e velocidade de deslocamento) assim como a quantidade de veículos que passam em um túnel depende da proximidade entre eles e de suas velocidades. Isto se aplica a qualquer tipo de corrente.
v
♦ II ) A corrente I total que flui por uma superfície aberta S é: I = ∫ J.ds onde: ds é o vetor área. S
Se S for a superfície de um volume, pelo teorema da divergência I =
∫
S
J.ds = ∫ ∇.Jdv
Portanto tal como na Lei de Gauss pode-se calcular a corrente de duas formas desde a corrente flua através de uma superfície fechada, ou seja, uma superfície de um volume que envolva as fontes da corrente! Para um volume dentro de um fio ∇.J = 0 e isto não é possível. 4.4 - Equação da continuidade - continuidade da corrente.
O princípio da conservação de cargas estabelece que as cargas não podem ser destruídas nem criadas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser criadas nas mesmas quantidades. Assim em uma região confinada dentro de uma superfície fechada: I = ∫ J.ds S
onde I é a corrente que atravessa a superfície fechada saindo dela a carga dentro dela decresce na razão negativa de − dQi/dt onde Qi a carga inicial, assim: I = ∫ J.ds = − dQi/dt S
que é a forma integral da equação da continuidade.
Se as cargas fossem elétrons (negativas) teríamos uma taxa positiva ou seja acréscimo de cargas dentro da superfície fechada. Forma pontual desta equação usando o teorema da divergência: d I = ∫ J.ds = I = ∫ ∇.Jdv ; Qi= ∫ ρdv temos ∫ ∇.Jdv = − ∫ ρ dv S V dt V com o volume constante a derivada transforma-se em parcial e podemos levar ela para dentro da integral:
∂ρ dv integrando-se em um volume: V ∂t
∫ ∇.Jdv = − ∫
∇.J = −
∂ρ ∂t
que é a forma pontual
Usando-se a interpretação física do resultado de uma operação de divergência que é o quanto de uma grandeza esta “deixando” ou “entrando” em um volume vemos que existem sumidouros dentro do volume pois a divergência é negativa com corrente variando no tempo. Este sumidouro é a corrente para fora do volume que é alimentada pelas cargas. Para uma corrente invariável no tempo (corrente contínua) como já visto ∇.J = 0 e a corrente é solenoidal. 38
Neste caso dentro de uma superfície fechada
∫
S
J.ds = 0
(tudo que entra sai, ou seja, toda a carga que entra no volume sai do volume) Esta última expressão pode ser reescrita da forma :
∑I
j
=0
que é a conhecida Lei de Kirchhoff.
j
EXEMPLO: E5.2 Haytt a) I=? I = ∫ J.ds = ∫
π
0
S
∫
2π
0
superfície esférica centrada na origem com r=1mm com J=10r−1,5ar Não precisa integrar porque é a superfície de uma esfera
10 r
−1, 5
a r . r sen θ dθdφa r =10r−1,5 4πr2=40π r =40π 0,001 =3,97 A 2
c) Qual a taxa de variação de ρ? ∇. J = −
∂ρ ∂t
1 ∂ r 210r −1,5 = 5r −2,5 r2 ∂r ∇.J ≠ 0 portanto esta corrente não se fecha sobre si mesma (não é solenoidal) tal como em um circuito elétrico e poderia se usar que I = ∫ J.ds = ∫ ∇.Jdv ∇.J =
S
∂ρ ∂ρ − = 5r −2,5 com r=1mm = −1,58 × 108 C/m3 ∂t ∂t
V
d) com que taxa esta variando a carga no interior da esfera de r=1mm? Como existe corrente através da superfície de 3,97 Amp a carga esta diminuindo − 3,97 C/s. 4.5- Condutores metálicos Direção do crescimento dos níveis de energia átomo
Banda de condução Zona proibida Banda de valência
Nos átomos as órbitas dos elétrons se situam de acordo com níveis de energia sendo que os elétrons dos níveis de energia mais altos estão na "banda de valência". Estes elétrons da banda de valência são os elétrons de condução ou livres que podem se liberar do átomo em determinadas circunstâncias.
Acima da banda de valência existe uma zona em que a energia é proibida. A largura desta banda ou a sua não existência determina o comportamento de um material ∗ se a banda proibida não existir, o material é um condutor; ∗ se ela for bastante larga o material é um isolante e ∗ se ela tiver um valor intermediário tem-se um material semicondutor Acima desta faixa temos a "banda de condução". Sob ação de um campo elétrico externo os elétrons da banda de valência podem atravessar a faixa proibida e atingindo a banda de condução onde fica frouxamente ligado ao átomo passando migrar de um átomo para o outro constituindo uma corrente elétrica: • No caso de condutores isto ocorre sob ação de um campo elétrico de pouca intensidade e nos bons condutores (cobre, alumínio, prata, etc.) ele é da ordem de menos de que 1μV 39
• No caso dos dielétricos (mica, asbestos, derivados do petróleo, etc) este campo deve ser bastante intenso para que os elétrons atravessem a banda proibida podendo ocorrer até a ruptura do dielétrico. Neste caso o dielétrico deixa de ser perfeito desde que a condição para isto é que ρ = 0 dentro destes. • No caso intermediário dos semicondutores (silício, germanio, etc), submetido a um campo elétrico da ordem de poucos Volts eles se tornam condutores. A variação do valor de E faz estes materiais conduzir ou não uma corrente. Tem-se uma chave "ligada" e "desligada" que a base de um sistema binário. Do acima exposto podemos tirar duas conclusões bastante utilizadas nas deduções que se seguem: ♦ Dentro de um condutor E=0 em condições estáticas, caso contrário não haveria a condição estática todas as cargas livres ficam na superfície na forma de ρs. ♦ Dentro de um dielétrico não pode haver cargas livres provocadas por campos elétricos, apenas poderiam existir se provocadas por trabalho mecânico tal como atrito. 4.5.1 -Velocidade de deriva e mobilidade do elétron. J=ρv e dentro de um condutor v tem uma notação vd e se denomina “velocidade de deriva” O campo elétrico atua sobre o elétron livre que esta na camada de condução a uma força F=QE como no caso Q é um elétron F= − eE onde "e" é a carga do elétron = − 1,609×10−19 C. O elétron acelerado por F não tem energia suficiente para penetrar dentro de uma molécula da estrutura cristalina e se choca com estas conforme trajetória da seta na figura. Impelido pela força F ele sempre progride na direção contrária ao campo Moléculas E aplicado. Pode-se assim calcular uma velocidade vd em função do seu progresso em um dado tempo e tabelar esta em diversos materiais. Assim foi criada a grandeza μe que é a “mobilidade do elétron” (positiva por definição) relacionando vd e E portanto com unidade metro2/Volts.segundo, para tornar a ralação dimensional: vd= − μeE (sinal negativo devido ao sentido de deslocamento do elétron) Com o aumento da temperatura a estrutura cristalina vibra sob ação da energia térmica causando mais choques do elétron e menor vd, logo μe varia em função desta. Com T = 300 K alguns valores típicos são: Al → μe = 0,0012 m2/V.s ; Cu → μe = 0,00428 m2/V.s ; Ag → μe = 0,0056 m2/V.s Para um condutor:
J = ρevd = − ρeμeE
onde: ρe é a densidade de carga elétrons, que é negativa e assim J e E apresentam orientações iguais. Mais adiante no estudo do campo magnético é mostrado como se calcula vd e μe de forma indireta em um condutor com o auxilio do efeito Hall. EXEMPLO: 1 - Seja um fio de cobre com área de 1,5 mm2 e extensão 1000m submetido a uma ddp entre os dois terminais de 0,22 V. Qual o valor de vd? Esta é uma corrente de condução logo: 0, 22 E= = 0,00022 V/m e |vd| = 0,00428×0,00022 = 9,416 × 10− 7 m/s = 0,00339 m/h ≈ 29,28 m/ano. 1000
40
A corrente estabelecida no fio pode ser calculada. No cobre na presença de um campo elétrico onde em média, existe um elétron na camada de condução por átomo resultando em ≈ 8,47× 1028 elétrons/m3 tendo cada um carga de − 1,6 × 10−19 C logo: ρe = 8,47× 1028 × (− 1,6 × 10−19) ≈ − 13,55 × 109 C/ m3 J = ρevd = − 13,55 × 109 × − 9,416 × 10− 7 ≈ 12,758 × 103 A/m2 e I = JS = 12,758 × 103 × 1,5 × 10− 3 ≈ 19,14 A. Entretanto dentro do condutor WE =
1 ε 0 E 2 dv = 1,5 × 10− 3 ε0 (0,00022)2 = 3,21 × 10− 22 Joules/m. 2 ∫V
A grande quantidade de elétrons explica a corrente ao longo de todo o fio. Entretanto a We calculada é insuficiente para acionar instantaneamente uma carga ao se ligar um interruptor. Este acionamento imediato é explicado porque ao se ligar uma fonte os campos se estabelecem por fora do condutor, quase na velocidade da luz, e em toda a extensão deste. O campo E penetra no condutor e exerce uma força sobre os elétrons livres fazendo-os mover ao mesmo tempo ao longo do fio. Este estabelecimento de um campo por fora do condutor é uma propagação que conduz a energia. − ∫ E.dL V e na denominada Teoria dos circuitos com: R = ab = b I J.ds ∫ a
4.5.2 - Resistência
S
• J e E são uniformes no interior de um condutor com corrente não variável no tempo. • E é constante ao longo de um condutor com mesma direção de dL e ds e com b>a: a
a
a
− ∫ E.dL − ∫ EdL − E ∫ dL EL V b esta expressão resulta em: R= ab = b = b = = I JS J.ds Jds J ds ∫ ∫ ∫ S
S
R=
EL JS
S
4.5.3 – Condutividade σ A resistência de um condutor depende do tipo do material, forma e tamanho. Defini-se então uma grandeza que varie só com a substância. Esta grandeza é a condutividade σ (sigma). A unidade é Siemens/m ou S/m que substitui o mho/m que é ohm ao inverso por isto o símbolo também é o omega ao inverso Ω. O relacionamento entre J e E passa a ser dado por: J = σE
(que é denominada "forma pontual da Lei de Ohm")
Consegue-se com base na σ uma forma mais simples de cálculo da resistência válida apenas nas condições especificadas no item 4.5.2 e desde que σ seja constante ao longo do condutor. R=
L σS
Valores típicos de σ (S/m): Al → 3,82×107 ; Cu → 5,80×107 ; Ag → 6,17×107 L 1000 = = 0, 01149Ω σ S 5,8 ×107 × 1,5 ×10−3 I = 0,22/0,01149 ≈ 19,14 A
Utilizando-se R para calcular a corrente do exemplo anterior: R =
Este valor é igual ao já obtido comprovando a premissa anterior de que no cobre na presença de um campo E existe em média um elétron por átomo na camada de condução. E também como J = − ρeμeE ; J = σE:
σ = − ρeμe 41
No caso do cobre σ = − ρeμe = − 13,55 × 109 × 0,00428 ≈ 5,8 × 107 S/m. Obtém-se agora, a partir da forma pontual da Lei de Ohm J = σE, a Lei de Ohm utilizada na Teoria dos circuitos. Em um condutor de comprimento L com V12 aplicado em seus terminais, nas condições acima especificadas para E , J e σ (constantes dentro do condutor). I V ⎛ L ⎞ =σ 12 e portanto V12 = ⎜ ⎟ I = RI que é a Lei de Ohm utilizada na Teoria dos circuitos. S L ⎝ σS ⎠
J = σE →
O valor inverso da condutividade é a resistividade com unidade ohm/m que não é utilizada em estudos de eletromagnetismo e por isto não se atribui sequer um símbolo.
Com temperatura mais elevada: μe diminui
; σ → diminui
; vd → diminui
; J → diminui
Nos semicondutores como veremos! σ → aumenta
EXEMPLO: Calcular a resistência de prata (σ = 6,17 × 107 S/m) para uma densidade de corrente na direção indicada (coordenadas esféricas): Como a mesma corrente I atravessa as duas superfícies vem: J=
I = S
I 0,05
0,0873
0
0
∫ ∫
rdφ dz
=
const I assim: = r ∗ 0, 05 ∗ 0, 0873 r
− ∫ E.dL a
J=
const const ar e E = a e R= σr r r
b
∫ J.ds S
Integrando no sentido de deslocamento dos eletrons
const −∫ a r .dra r ln15 3,0 σ r R = 0,05 0,0873 = = 10,1μΩ const 0, 05*0, 0873* σ a r .rdφ dza r ∫0 ∫0 r 0,2
4.5.4 - Condições de contorno condutor × vácuo em condições estáticas. Devem-se verificar quais são as alterações nos campos nos dois lados de uma interface e estas verificações são denominadas em eletromagnetismo de “condições de fronteira” ou “condições de contorno”. Em condições estáticas em um condutor com já vimos: • E=0 no interior do condutor. • Qualquer carga que exista dentro do condutor é forçada pela atração ou repulsão com os elétrons para a superfície, sendo retida pela estrutura cristalina do mesmo, constituindo uma ρS.
Legenda: n = normal e t = tangencial.
Vácuo Dn
D Dt
Condutor E=0
Δs ++++++++++
a
Δw
b Δh
Δh ++++++++++ d Δw c
E
En
Fronteira Infinita
Et
Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície
Decompondo-se o campo externo em duas componentes onde os índices indicam as direções: 42
Componentes tangenciais No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem:
b
c
d
a
a
b
c
d
∫ E.dL =0= ∫ + ∫ + ∫ + ∫
Dentro do condutor E=0 portanto resta apenas o trecho do percurso fora do condutor: Et Δw −En,em b(Δh/2) + En,em a(Δh/2)=0 ⇒ Δh→0 e Δw pequeno e finito ⇒ ΔVa,b=0 desprezando-se as diferenças de potencial devido a presença de cargas na superfície Et ΔW=0, como ΔW≠0 logo Et=0 e também Dt=0 Componentes normais Aplicando-se no pequeno cilindro a Lei de Gauss:
Q = ∫ D.ds = ∫ S
topo
+∫
base
+∫
lado
⇒ Et=0 logo a integração no lado é igual a zero ⇒ E=0 dentro do condutor (condições estáticas) logo a integração na base é também igual a zero ⇒ No topo com Dn constante Δsρs=DnΔs portanto Dn = ρs e En= Dn/ε0 Resumindo: Et=0
En= Dn/ε0
Dt=0
Dn=ρs
Logo: Em condições estáticas uma superfície condutora é uma equipotencial pois Et=0 Generalizando-se a última expressão:
D=aNρs
vácuo condutor
aN
EXEMPLO: E5.5 do Haytt P(−2 ; 4 ; 1) superfície condutor×vácuo com E=400ax −290ay+310az V/m a) |EN| em P=? D=aNρs logo |EN| = |E| = 583 V/m b) ρs em P=? |D|=ρs |D|=|E|ε0= 583×8,854×10−12 = 5,16 nC/m2
4.5.4a - Método das imagens A condição de fronteira entre condutor × vácuo em que se tem que as componentes tangenciais são nulas permite se adotar um método para solução de problemas no campo eletrostático. A presença de uma carga positiva próxima à um plano condutor induz no mesmo uma distribuição de cargas − ρs (negativa).
43
y
E = Ez (−az)
E = Ez (−az) x
Q ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ ∴ Vp = 0 (R1 = R2) ⎜⎜ − 4πε 0 ⎝ R 1 R 2 ⎟⎠ Se for substituída (como mostra a figura da direita) a densidade de carga superficial − ρs por uma carga – Q com posição simétrica a da carga Q em relação ao plano e suprimido o plano condutor, não serão alterados os potenciais na região acima do plano. Esta carga adicionada é denominada de “carga imagem”. (Pelas condições de fronteira condutor × vácuo (conforme visto), desde que Et=0, este plano equipotencial eqüidistante das duas cargas opostas – Q e + Q é idêntico ao plano metálico).
Neste plano VP =
Pelo principio da superposição pode-se calcular o campo elétrico em um ponto sobre o plano eqüidistante deste sistema equivalente de cargas simétricas que corresponde ao campo elétrico que existia no plano condutor que foi suprimido.Pelas condições de fronteira já vistas tem-se que ρs = Enε0, e assim pode-se determinar também a densidade de cargas no plano. O que se aplica a uma carga também se aplica a uma distribuição de cargas qualquer mais complexa tal como uma linha de cargas. EXEMPLO: E5.6 – Q = 18mC esta sobre o eixo z distando 0,4 m do plano xy (coordenadas cartesianas) . Determine a distribuição de cargas ρs no ponto P(0,3 ; 0,4 ; 0). Se existe ρs este ponto, pertencente ao plano xy, esta sobre um plano condutor. Portanto adiciona-se uma carga imagem Q = – 18mC no ponto simétrico ao ponto onde esta a carga Q (0 ; 0 ; 0,4) em torno do plano xy ou seja no ponto (0 ; 0 ; − 0,4) suprimindo-se o plano condutor sem alterar os potenciais na região. Q −Q Q z E = E+ + E− = a + a = R+ − R− ) 2 R+ 2 R− 3 ( 4πε 0 R 4πε 0 R 4πε R +Q (0 ; 0 ; 0,4)
R + = (0,3 ; 0,4 ; −0,4) ; R − = (0,3 ; 0,4 ; 0,4) ;
(0,3 ; 0,4 ; 0)
R = 0,32 + 0,4 2 + 0,4 2 = 0,64
E=
y
x
−Q
(0 ; 0 ; − 0,4)
18 × 10 −6 [(0,3; 0,4; −0,4) − (0,3; 0,4; 0,4)] = 617135,30 × − 0,8 az ∴ 4 × π × 8,854 × 10 −12 × 0,64 3
E = − 4,94 × 105 az V/m e assim ρs = |Enε0| = −4,94×8,854×10-12 = −4,371×10-6 C/m2 4.6- Semicondutores Assim como nos condutores, estes materiais também seguem a lei pontual de Ohm J=σE. 44
Nestes materiais dois tipos de portadores de cargas estão presentes: • elétrons • lacunas As "lacunas" são estados de energia na banda de valência que se localizam nas posições vagas deixadas pelos elétrons que atingiram a banda de condução após atravessar a banda proibida (que neste caso é apenas um pouco maior que nos condutores). As lacunas se movem também de átomo para átomo na rede cristalina e por são estados de energia com o aumento da temperatura sua mobilidade μh é afetada de forma diferente da mobilidade dos elétrons livres, que são partículas. As lacunas podem ser tratadas como tendo: • • • •
uma carga positiva "e" de igual módulo da carga do elétron uma mobilidade μh ≠ μe uma densidade volumétrica ρh ≈ ρe (eles se originam das "vagas" deixadas por estes) movimento em direção oposta a do elétron por ter cargas de sinal oposto
Os elétrons e as lacunas contribuem para a corrente total logo: σ = − ρeμe+ρhμh Os valores de μh aumentam muito mais com a temperatura do que μe diminui com esta. Esta uma característica importante destes materiais, que os fazem ter um comportamento oposto ao dos condutores no que se refere a condutividade porque com aumento da temperatura μh>>>>μe e assim σ cresce. Por exemplo: Germanio na temperatura de 27° C temos: |ρe|=|ρh|=4,0 C/m3 (igual), μe=0,36 m2/volts.s, μh=0,17 m2/volts.s σ27 = − (− 4)0,36+4(0,17)=2,12 S/metro • com temperatura de 87°C ⇒ σ87=10σ27 • com temperatura de −18° C ⇒ σ−18=
σ 27 10
Para componentes eletrônicos esta realimentação do fenômeno pode ser fatal: mais temperatura →mais corrente → mais temperatura → mais corrente... até queimar o componente. Uma solução adotada no projeto de CPU mais modernas consiste em baixar a tensão de alimentação de 5 V na linha 486 para 3,5 V na linha dos Pentium, 3,3 V na linha Pentium MMX e 1,6V para a linha Pentium 4. Outra solução é aumentar o tamanho das CPU’s. 4.7 - Dielétricos As características principais destes materiais são: • Pouca ou nenhuma condutividade: ∗ nos casos reais é baixa (banda proibida é larga logo existem poucos elétrons livres) e denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico real”. ∗ Se σ=0, ρ=0, ρS=0 e se também for constituído de material isotrópico (as propriedades são independentes da direção pois a estrutura molecular esta orientada aleatoriamente) denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico perfeito”. • Capacidade de armazenar energia elétrica e isto pode ser entendido através de seu modelo matemático que é o dipolo que já foi estudado anteriormente. 45
Na natureza, a maioria das moléculas são eletricamente neutras isto é seus centros de cargas negativas (dos elétrons) e centros de cargas positivas (o núcleo) coincidem. Pela ação de um campo E externo os centros de cargas dos materiais denominados dielétricos se Núvem de Centro (-) E deslocado deslocam: o núcleo é repulsado e a nuvem de elétrons constituindo elétrons é atraída e assim se cria um dipolo e eles se um dipolo + alinham entre si. A energia potencial fica armazenada como uma mola por causa deste deslocamento das posições das cargas positivas e negativas que é proporcional ao campo aplicado. Entretanto se o campo E aplicado for muito forte ele puxa alguns elétrons para fora da órbita provocando a ionização da molécula (produz um "cátion" que é uma molécula eletricamente positiva devido à perda de um ou mais elétrons). O material se torna condutor; uma corrente muito grande se estabelece nele: os elétrons são atraídos pelo pólo positivo e os cátions pelo pólo negativo e assim acelerados colidem com a estrutura cristalina do material provocando danos irreparáveis a este. Quando ocorre este fenômeno é dito houve perda da "rigidez dielétrica" ou que o campo E quebrou a "rigidez dielétrica" do material. No item 4.7.1 detalha-se este fenômeno. Alguns dielétricos já têm dipolos sem a presença de campos elétricos. Um exemplo disto é a água. Os dois átomos de oxigênio não ocupam posições opostas com o átomo de hidrogênio criando um desequilíbrio dos centros de carga da molécula. As cargas que surgem devido à criação dos dipolos são denominadas de cargas ligadas ou cargas de polarização. Como já visto o momento de dipolo é p = Qd C.m
d
+
-
Para um volume Δv com "n" dipolos temos a soma vetorial pi: nΔv
ptotal= ∑ p i C.m i =1
por unidade de volume no limite temos a “polarização” P: nΔv
P = lim Δ1v ∑ p i Δv → 0
C.m/m3=C/m2
P mesma unidade de D !!!
i =1
tomando-se o valor médio p de pi:
np
P = lim Δv Δv → 0
C/m2
4.7.1 - Rigidez dielétrica O máximo valor do campo elétrico a que um material pode ser submetido sem que ocorra a perda da rigidez dielétrica é denominado de "rigidez dielétrica". Por exemplo, no ar o é valor de 3 × 106 V/m no poliestireno 20 × 106 V/m e no papel 15 × 106 V/m. O valor do campo elétrico E na superfície de um objeto é proporcional a sua curvatura, portanto é nas pontas que o campo E é mais intenso podendo ocorrer uma perda da rigidez dielétrica do material que cerca uma ponta ou aresta. Isto pode ser demonstrado pelo seguinte cálculo. Considere a figura ao lado em que se ve duas esferas ligadas por um fio condutor colocando-as no mesmo potencial e bastante afastadas para que se possam considerar as cargas uniformemente distribuídas nos condutores esféricos. Como as esferas estão no mesmo potencial: 46
Q1
Q1 b1 = (1) 4πε 0b1 4πε 0b2 Q2 b2 A relação entre os campos elétricos na superfície de cada uma das esferas é: V1 = V2 =
Q2
=
ou
2
2
⎛b ⎞ Q ⎛b ⎞ b E E E1n = e E2 n = logo 1n = ⎜ 2 ⎟ 1 com a expressão (1) vem: 1n = ⎜ 2 ⎟ 1 ou 2 2 4πε 0b1 4πε 0b2 E2 n ⎝ b1 ⎠ Q2 E2 n ⎝ b1 ⎠ b2 E1n b2 = E2 n b1
Q1
Q2
Logo o campo elétrico na superfície é inversamente proporcional aos raios das esferas e quanto menor a curvatura da esfera maior será E na sua superfície. No ar quando o valor do campo E for maior que 3 × 106 V/m haverá a ionização deste e se tem o efeito corona produzindo perdas de energia e ruído. 4.7.2 - Densidade de fluxo elétrico D incluindo-se os materiais dielétricos.
P(r; θ; φ)
E (UNIFORME)
PONTO QUALQUER FORA DO VOLUME ONDE CALCULA-SE V +
+
+
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
DIELÉTRICO REAL (COM CARGAS LIVRES)
+
-
+
VOLUME DENTRO DO DIELÉTRICO CARGAS LIGADAS QUE ATRAVESSAM A SUPERFICIE DO VOLUME É
-
Em coordenadas esféricas, os potenciais V produzidos por cada uma das cargas ligadas no ponto P situado a uma distância r (coordenada esféricas), com r de um valor tal que o ponto se situe fora do volume, é dado por: p. a r dVP = onde p=Qd C.m 4πε 0 r 2 npi
P = lim Δv Δv →0
logo:
VP = ∫
V
P.a r dv 4πε 0 r 2
mas
( )
1 −a ⎛1⎞ ∂ r ∇⎜ ⎟ = ar = 2 r r ∂r ⎝r⎠
e como na
expressão ar é voltado da fonte (centro do dipolo) para o ponto onde se calcula o potencial V, portanto com sentido contrário ao vetor Gradiente , inverte-se o sinal e portanto o sentido do vetor e a expressão fica:
VP = ∫
V
( r )dv
P.∇ 1
4πε 0
e com ∇.(NA)≡A.∇N+N(∇.A) onde N=1/r e A =P vem: ⎛1⎞ ⎛ P ⎞ ( ∇.P ) P.∇ ⎜ ⎟ = ∇. ⎜ ⎟ − r ⎝r⎠ ⎝r⎠
47
substituindo-se,
VP =
( ∇.P )dv ⎞ 1 ⎛ ⎛P⎞ ⎜ ∫V ∇. ⎜ ⎟dv − ∫V ⎟ 4πε 0 ⎝ r ⎝r⎠ ⎠ Teorema da divergência
VP =
⎛ ( −∇. P ) ⎞ ⎞ 1 ⎛ ⎛ P⎞ ⎛ P⎞ ⎛ P⎞ ∇. ⎜ ⎟ dv = ∫ ⎜ ⎟ .ds logo VP = ⎜ ∫ ⎜ ⎟ .ds + ∫ ⎜ ⎟ dv⎟ V S⎝ r ⎠ V⎝ ⎝ r⎠ r ⎠ ⎠ 4πε 0 ⎝ S ⎝ r ⎠
∫
(1)
O potencial no ponto P devido a ρ de cargas livres dentro do volume, dividindo-se ρ em ρS e ρV é: Q ∫ ρdv = 1 ⎛⎜ ⎛⎜ ρ S ⎞⎟ds + ⎛⎜ ρ ⎞⎟dv⎞⎟ VP = = V (2) ∫V ⎝ r ⎠ ⎠ 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 ⎝ ∫S ⎝ r ⎠ Comparando-se (1) e (2) vemos que quando temos polarização é formada no volume uma densidade volumétricas de cargas ligadas ρP ρP= −∇.P C/m3 e QP= ∫ ( −∇.P )dv = ∫ ρ p dv C V
v
e sobre a superficie do volume é formada uma densidade superficial de cargas ligadas ρPS: ρPS=|P| C/m2
e
QPS= ∫ P.ds = ∫ ρ s ds C S
S
Dentro do volume temos então uma densidade volumétrica de cargas total ρT
Div. é uma operação que envolve apenas as cargas dentro de um volume
ρT=ρ+ρP=ρ −∇.P C/m3 Por outro lado quando foi definida a 1ª equação de Maxwell:
∇.D=∇.Eε0=ρ
(cargas livres)
Redefinindo a 1ª equação de Maxwell em função desta densidade de cargas totais dentro do volume: ∇.Eε0=ρT=(ρ −∇.P) ∴ ∇.(ε0E+P)=ρ (cargas livres) fica mais conveniente manter a 1ª equação de Maxwell conforme já formulada e exprimir o vetor D por: D=ε0E+P onde: D é a densidade de fluxo em quaisquer dielétricos. E é o campo provocado no ponto P pelas cargas livres dentro do volume mais o campo externo que é provocado por cargas livres. Portanto ε0E é a densidade de fluxo provocado por estas cargas livres. P é a densidade de fluxo provocada pelas cargas ligadas (C/m2). Quando não houver polarização teremos de novo D=ε0E 4.7.2 - Relação entre P, E e D A susceptibilidade elétrica χe (chi) é uma relação adimensional entre P e E: em um dielétrico D≠ε0E porque D=ε0E+P logo não vale P=χeD!! 48
P=χeε0E
Para simplificar as fórmulas tornando-as mais parecidas com as anteriores define-se também uma “permissividade relativa εR” (adimensional): χe = εR − 1 D= ε0E+P = ε0E+χeε0E = ε0E+(εR−1)ε0E = εR ε0E
D=εR ε0E
adota-se uma “permissividade” ε: ε=εRε0 F/m, e assim em dielétricos:
D=εE
Usando-se a permissividade relativa que é tabelada em qualquer manual não precisamos fazer considerações sobre dipolos, momentos de dipolos, polarização e susceptibilidade. 1 Quanto maior o valor de εR mais o dielétrico tem capacidade de acumular energia WE = ∫ D. Edv 2 pois para um mesmo E, o módulo de D é maior e portanto melhor é o dielétrico. Para o ar atmosférico a εR=1,0006 logo ε=8,854×10−12 F/m para fins práticos. EXEMPLO: E5.8 HAYTT
P=? no interior de um dielétrico?
a) D =1,5 μC/m2 e E=15 kV/m D=ε0E+P 1,5×10−6=ε015000+P
P=1,328 μC/m2
b) D=2,8 μC/m2 ; χe=1,7 χe =εR−1 ∴ εR=2,7 ε=εRε0=2,7ε0=23,90×10−12 F/m 2,8 × 10 −6 D=εE ∴ E = = 0,117×106 −12 23,9 × 10 D=ε0E+P 2,8×10−6=0,117×106ε0+P ∴ P=1,764 μC/m2 c) 1020 moléculas/m3 cada com p=1,5×10−26 C.m e E=105 V/m (então é bastante forte para polarizar) P=1020×1,5×10−26=1,5×10−6 C/m2 d) E=50 kV/m e εR=4,4 D=εRε0E ; D=50×103×4,4×8,854×10−12=1,947×10−6 C/m2 D=ε0E+P ∴ 1,947×10−6=8,854×10−12×50×103+P ∴ P=1,504 μC/m2 4.7.3 - Condições de contorno para dielétricos perfeitos 4.7.3.1 - Contorno de dois dielétricos perfeitos diferentes
ε1 ε2
D
Dn Dt
Δs
a
Δw
Δh Δw
b Δh
E
En Et
Fronteira Infinita dentro de dielétricos perfeitos
ρS=0 (não existem cargas livres dentro de um dielétrico perfeito em condições estáticas)
componentes tangenciais: No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem:
Et1Δw−Et2Δw − En,em bΔh + En,em aΔh=0 sem cargas na superfície Va,b=0 e portanto: Et1Δw−Et2Δw=0 ou: 49
b
c
d
a
a
b
c
d
∫ E.dL =0= ∫ + ∫ + ∫ + ∫
Et1=Et2 A densidade de fluxo elétrico entretanto varia: D t1 D = E t1 = E t2 = t2
ε1
não varia D t1 ε 1 = D t2 ε 2
ou
ε2
componentes normais: Q = ∫ D.ds = ∫
Considerando-se o cilindro com lados infinitesimais:
S
topo
+∫
base
+∫
lado
Nos lados D t .ds se anula em cada metade devido a direção de ds No topo e na base: Dn1Δs − Dn2Δs=ΔQ=ρSΔs ∴ Dn1 − Dn2=ρS mas ρS=0 em um dielétrico perfeito assim:
Dn1=Dn2
A densidade de fluxo elétrico é portanto contínua na direção normal. ε1En1=ε2En2
O mesmo não acontece com E que desta vez é descontinuo: Resumindo: Et1=Et2
D t1 ε 1 = D t2 ε 2
ε1En1=ε2En2
Dn1=Dn2
No caso de D ou E fazerem um ângulo com a superfície da fronteira podemos decompor o vetor em suas componentes normais e tangenciais conforme figura obtendo-se: D 1
Dn1
(1) Dn1=D1senß1=D2senß2=Dn2
D2 β2 Dt2
D t1 D1 cos β 1 ε 1 = = D t2 D 2 cos β 2 ε 2 (2) D1cosß1=
β1 Dt1 Dn2
ε1 ε D2cosß2 dividindo-se (1) por (2) vem: tgß1= 2 tgß2 ε2 ε1
4.7.3.2 - Contorno entre um dielétrico perfeito e um condutor Dielétrico Dn
Δs
D
++++++++++
Dt
a Δh
Δw
b Δh
Condutor E=0
En
++++++++++
Δw
E
Fronteira Infinita
Et
Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície
Tem portanto a mesma configuração de cargas na fronteira que a fronteira entre um condutor×vácuo, assim a demonstração é a mesma e os resultados também exceto que Dn esta dentro de um dielétrico perfeito. Resumindo:
Et=0
En=
Dn
ε
Dt=0
Dn=ρs
Generalizando-se a última expressão para este contorno: D=aNρs EXEMPLO E5.9 do Haytt
z<0 ⇒ εR1=2,5 ; z>0 ⇒ εR2=4 com 50
dielétrico á condutor
aN
E1= −30ax+50ay+70az V/m
a) En1=?
En1=Ez1az=70az V/m
b) Et1=?
E1−Ez1az=(−30 ; 50 ; 0) V/m
c) |Et1|=?
|Et1|=(−302+ 502)1/2=58,3 V/m
d) |E1|=?=91,1 V e) β1=?
E1cosβ1=Et1 ∴ β1=cos−1(|Et1|/|E1|)=50,21º
E5.10 a) Dn2=? Dn2= Dn1=ε1E n1=ε0 εRE n1=8,854×10−12×2,5×70 =1,549 nC/m2 b) Dt2=?
Lembrando que E t2=E t1 tem-se Dt2=ε2E t2=ε2E t1= 8,854×10−12×4×58,3=2,064 nC/m2
c) D2=?
D2=ε2E t1+ε1E n1=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) nC/m2
d) P2=?
P2=D2 − ε0E 2=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − ε0(D 2/ε0εR)=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − (D 2/εR)
P2= (−0,797 ; 1,328 ; 1,162) nC/m3 e) β2=?
D2cosβ2=Dt2
∴ |(−1,062 ; 1,771 ; 1,549)| ×10−9 cosβ2=2,064×10−9 ∴ β2=37,059º
4.8 - Capacitâncias e capacitores
Condutor −Q1
-
D
+
+ + + +Q2 +
E
Condutor Dielétrico perfeito
V0
Neste sistema da figura: • As cargas estão todas na superfície do condutor porque as condições são estáticas. • Pela condição de fronteira só existe En e cada condutor é uma superfície equipotencial (Et=0) Se transferirmos uma carga +dQ (positiva) do condutor carregado negativamente para o outro condutor carregado positivamente: ⇒ realiza-se trabalho contra o campo elétrico aumentando o potencial na região com carga +Q2. ⇒ pela Lei de Gauss, a densidade de fluxo elétrico aumentaria na superfície carregada positivamente em conseqüência o campo elétrico. ⇒ a ddp entre as duas superfícies condutoras aumenta na mesma proporção da carga transportada logo existe a relação constante: C=
Q ∫ D.ds = ∫S ε E.ds 1C/Volt = Farads. = S+ V0 − E.dL − + E.dL ∫ ∫ −
−
e como 51
+
a
V − ∫ E.dL − ∫− E.dL = tem-se que R= = b I ∫ J.ds ∫ σ E.ds S
RC =
S
ε σ
4.8.1 - Energia em um Capacitor A energia necessária para carregar um capacitor até uma tensão V que equivale à energia para transferir de uma placa para outra uma carga Q. Pelo principio da conservação da energia esta energia fica acumulada no capacitor. Em termos de infinitésimos temos dW=Vdq ; V=
Q C
logo dW=
Q dq C
Se o processo começar com uma carga zero e continuar até que uma carga Q seja fornecida o trabalho total que corresponde à energia acumulada no capacitor será WE: 1 Q Q2 WE = ∫ Qdq = Joules C 0 2C
CV 2 QV que eqüivale a: WE = = Joules 2 2
4.8.2 - Cálculo de um capacitor de duas placas paralelas condutoras e um dielétrico perfeito entre elas utilizando-se condições de fronteira e a definição de capacitância z z=d -ρS En
∫ D.ds = ∫ C= − ∫ E.dL − ∫ S + −
Condição de fronteira
z=0
+ρS
y
ρ S a z .dsa z ρSS ε S Q 2 ρ 2S S 2 Sdρ S2 Farads ; WE = = = Joules = = 0 ρ 2εS ρS d d 2C 2ε S a z .dza z d ε d ε S
Condição de fronteira
4.8.3 – Cálculo de outras capacitâncias 4.8.3.1 - Capacitores com placas condutoras paralelas e múltiplas dielétricos. a – fronteira paralela às placas. S
V0 = V1+ V2 = E1 d1 + E2 d2 multiplicando ambos os lados por ε2 d1 d2
ε2V0= E1 ε2 d1+ E2 ε2 d2,
ε1 ε2
Na fronteira entre dielétrico × dielétrico E1 ε1= E2 ε2 e substituindo isto no segundo termo do lado direito da expressão vem: ε2V0 = E1 ε2 d1+ E1 ε1 d2 ou E1 =
V0 d ε d1 + 2 1 ε2 52
Na fronteira condutor x dielétrico ρs1 = D1 = ε1 E1 =
1 Q ρ SS 1 ou = = = 1 1 d1 d2 V0 V0 + + ε1 S ε 2 S C1 C 2
C=
V0 ε1 V0 = assim: d 2 ε1 d1 d 2 d1 + + ε2 ε1 ε 2
1 1 1 = + C C1 C 2
Portanto, mesmo não existindo uma placa condutora entre os dielétricos, o sistema funciona como capacitores em série. b – fronteira perpendicular as placas. na fronteira condutor x dielétrico ρs1 = D1=E1 ε1 e ρs2 = D2 = E2 ε2 ; E1 = E 2 = ρ s1 = C=
ε1V0 ε V e ρ s2 = 2 0 d d
V0 d
S2 S1
d
Q ρ S1S 2 + ρ S2 S 2 ε 1S1 + ε 2 S 2 = = = C1+C2 V0 V0 d
ε2
ε1
C= C1+C2
4.8.3.2 - Cabo coaxial com comprimento L: Entre as placas E =
ρL ar 2πrε
z
Para se levar uma carga positiva da placa negativa (raio b) para a positiva (raio a) o trabalho por unidade de carga (diferença de potencial) é: W ρ − ρL = − ∫ E ⋅ dL = − ∫ L a r ⋅ dra r = Q 2πrε 2επ b b a
Vab =
Q=ρLL e C =
a
a
∫ b
Q 2περ L L 2πεL = = V0 ρ L ln b ln b a a
Portanto a energia acumulada é:
WE =
b a
L
dr ρ b = L ln r 2πε a
C=
2πεL ln b a
QV ρ L2 L b ln = 2 4πε a
4.8.3.3 - Duas calotas esféricas concêntricas de raios “a” com cargas positivas e “b” com cargas negativas (b > a) com o espaço entre elas preenchido por um dielétrico. a
a
a
− Q dr − Q 1 Q W Q a r ⋅ dra r = = − ∫ E ⋅ dL = − ∫ = − = ∫ 2 2 4πε b r 4πε r b 4πε Q b b 4πεr a
Vab =
Q 4πε ⎛1 1⎞ = ⎜ + ⎟ logo C = Va,b 1 − 1 ⎝a b⎠ a b
4.8.3.4 - Uma esfera de raio “a” coberta com um dielétrico com espessura de “a” até “r1” 53
a < r < r1
⇒
E=
Q ar ; 4πεr 2
r > r1
E=
⇒
Q ar 4πε 0 r 2
r1 Q Q Q ⎡⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎤ Va = − ∫ dr − ∫ dr = ⎢⎜ − ⎟ + ⎥ 2 2 4πε r 4πε 0 r 4π ⎣⎝ a r1 ⎠ ε r1ε 0 ⎦ r1 ∞ a
C=
4π ⎛1 1 ⎞1 1 ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎝ a r1 ⎠ ε r1ε 0
4.8.3.5 - Capacitância entre uma reta de cargas e um cilindro com centros distanciados de “d” Neste caso as cargas ficam distribuídas de forma desigual na superfície do cilindro. Deve-se substituir o cilindro por uma reta de cargas equivalente sem modificar os potenciais criados pelos campos. Em torno de uma reta de cargas situada sobre o eixo z e em coordenadas cilíndricas a diferença de potencial entre dois pontos r e r0 com r < r0 é dada por (conforme já visto): V12 =
ρ L r0 ln r 2πε
As cargas na superfície de um cilindro condutor (superfície equipotencial pelas condições de fronteira) na presença de uma reta de cargas com carregamento + ρL pode pelo método das imagens ser substituída por uma reta de carga com carregamento − ρL ∠OMPi = ∠OPM Ângulo comum
Reta de carga imagem que substitui a carga do cilindro
M 1
r
a ri
O Pi di
− ρL
ρL
P
Cilindro equipotencial (superfície condutora)
d Em um ponto M qualquer da superfície do cilindro o potencial V, nestas condições, pode ser calculado por: V12 =
r ρ L r0 ρ L r0 ρ ln − ln = L ln i 2πε r 2πε ri 2πε r linha
É necessário que se tenha a relação
constante
imagem
ri = C (constante) para que uma superfície eqüipotencial gerada pela r _____
reta e sua imagem coincida com a superfície do cilindro OM = a. Isto obriga que as duas retas de cargas sejam localizadas de tal forma que os triângulos OMPi e OPM da figura acima sejam similares. Na figura o ângulo ∠MOPi é um ângulo comum a estes dois triângulos. Basta, portanto que se tenha ∠OMPi = ∠OPM para que os triângulos OMPi e OPM sejam similares. A localização da reta de cargas imagem com carregamento − ρL deve ser de tal forma que isto ocorra e então tem-se:
54
_____
Pi M _____
_____
=
PM
OPi
_____
_____
=
OM
OM _____
OP
ou
ri d i a = = = Constante r a d
a2 define a localização da reta imagem a qual, juntamente com a reta de e portanto a relação d i = d cargas originalmente existente, produz uma equipotencial cilíndrica na posição onde existe o cilindro condutor com V em função da distancia entre centros "d" e o raio "a" do cilindro determinado por: ρ a V = L ln 2πε d
4.8.3.6 - Capacitância entre dois cilindros (ou condutores de diâmetros não desprezíveis e relativamente próximos) com raio "a" e centros distanciados de "D" Aplicando-se o que foi obtido no caso anterior de forma simétrica vem:
1 a
ρL
d
- ρL
2 di
di
V1 =
− ρL a ln 2πε d
e
V2 =
ρL a ln 2πε d
a
D
Q = ρLL , para L = 1 m (capacitância por unidade de comprimento) e V1 – V2 a ddp entre os fios: C=
πε πε ρL =− 0 = 0 a d V1 − V2 ln ln d a
a/d < 0
(
)
(
1 1 a2 logo d2 –Dd+a2 = 0 portanto d = D + D 2 − 4a 2 ou d = D − D 2 − 4a 2 d = D − di = D − 2 d 2
)
como a <<<<< D descarta-se a segunda solução que resulta em d ≅ 0 e vem: C=
πε 0 2 ⎞ ⎛D ⎛D⎞ ln⎜ + ⎜ ⎟ − 1 ⎟ ⎟ ⎜ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠ ⎝
F/m
Esta última relação resolve o problema conhecendo-se "a" e "D" ou seja, diâmetros dos condutores e sua distância entre centros, entretanto podem-se simplificar os cálculos:
(
)
como para x > 1 tem-se ln x + x 2 − 1 = cosh −1x vem que:
Para o caso em que se tem a <<<<<<<<< d:
C=
πε 0 ⎛D⎞ cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠
F/m
−1
D ⎛D⎞ e → ∞ e cosh⎜ ⎟ = 2a ⎝ 2a ⎠ 55
D 2a
+e 2
−
D 2a
=∞
→ 0 com
D →∞ 2a
⎛D⎞ ⎛D⎞ logo cosh −1 ⎜ ⎟ ≅ ln⎜ ⎟ e para este caso: ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
C=
πε 0 ⎛D⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠
F/m
4.8.3.7 - Capacitância entre um fio com raio “a” e distanciado de “D/2” de um plano condutor Pelo método das imagens (devido à presença de um plano condutor) segue que a ddp V0 = V1 – V2 é a metade do caso anterior e portanto a capacitância é: C=
2πε 0 Q 2Q e portanto duas vezes maior que no caso de dois fios logo: C = = V0 V0 ⎛D⎞ ln⎜ ⎟ 2 ⎝ 2a ⎠
EXEMPLOS: E5.13 Hayt Na figura: 2
a) E = ? em cada região |D| = ρS ∴ D = 240 nC/m 240 240 = 6780 V/m e E2 = = 4520 V/m E1 = 4ε 0 6ε 0
ρS = 240 nC/m2 S = 12 cm2 d1 = 2 mm d2 = 3 mm
ε1 = 6 ε2 = 4
b) V = ? V1 = E1d1= 3 × 10-3 × 6780 = 20,3 V ; V2 = E2d2= 2 × 10-3 × 4520 = 9,03 V 5.40 Hayt
C = ? em um sistema tendo uma esfera condutora r = 5 cm , Q = 1μC , rodeada por uma casca 0,1 dielétrica 10 ≥ r ≥ 5 cm com ε R = e coberta por uma casca condutora. r ∫ D.ds = Q logo: Q= D.ds ∴ Dr = Q = Q ∴ Er = Q C = S+ ∫ 0, 4π r 0, 4ε 0π r 4π r 2 0,1 − ∫ E.dL V0 r − 10−6 V0 = − 0, 4πε 0
0,05
∫
0,1
dr 10−6 0,05 =− ln r 0,1 = 62300 V 0, 4πε 0 r
Q 10 −6 C= = = 16,1 pF V0 62300
Note os limites de integração, início: na placa carregada negativamente fim: na placa carregada positivamente
56
CAPITULO 5 EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON 5.1 - Equação de Poisson
∇.D=ρ ; D=εE ; E= −∇V ⇒ ∇.D=∇.εE= − ∇.(ε∇V)=ρ ∇. ∇V = −
ρ que é a equação de Poisson. ε
A equação de Poisson só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Expandindo a expressão da esquerda em coordenadas cartesianas: ∂D ∂D y ∂Dz ∂V ∂V ∂V ∇.D= x + + ; ∇V= ax+ ay+ az ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ ⎜ ⎟ ∂y ⎠ ∂x ⎠ ∂z ⎠ ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + ⎝ ∇.∇V = ⎝ = + + + ⎝ ∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Nabla dois ou Laplaciano ∇2 ∇2V= −
ρ ε
com ε = constante (região homogênea)
5.2 - Equação de Laplace
Em uma região sem cargas (ρ=0), porém sem que isto implique não existir cargas grupadas de quaisquer formas nas fronteiras, como fontes de campos no interior da região. ∇2V=0
cilíndricas: esféricas:
que é a equação de Laplace.
∂V 1 ∂ [r ( ∂r )] 1 ∂ 2V ∂ 2V + 2 + r r ∂φ 2 ∂z 2 ∂r 2 ∂V ∂ [sen θ (∂V ∂θ )] 1 ∂ [r ( ∂r )] 1 1 ∂ 2V 2 ∇ V= 2 + 2 + 2 r r sen θ r sen 2 θ ∂φ 2 ∂r ∂θ ∇2V=
A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. A equação de Laplace fornece um meio de se obter a função potencial dentro de um volume limitado por superfície condutoras. A função potencial neste caso fica sujeita às condições de contorno estabelecidas e a solução desta equação depende destes valores nas fronteiras. “Aplicando-se a equação de Laplace em uma região em que não existe cargas para qualquer configuração de eletrodos ou condutores possíveis nas fronteiras o campo produzido deverá ser tal que ∇2V=0”
A equação de Laplace é um método de solução de problemas eletrostáticos com a configuração mostrada esquematicamente a seguir:
57
Cargas nas fronteiras gerando V dentro da região
Região fechada +
V=?
ρ=0
+ + + +
V conhecido em fronteiras equipotenciais (superfícies condutoras)
5.3 - Soluções da equação de Laplace
Como a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. O método mais simples de resolver esta equação é o da integração direta mais só serve se a variação for com apenas uma das coordenadas, ou seja variações unidimensionais. Para variações com duas ou três coordenadas o método é a solução produto que necessita, dependendo do sistema de coordenadas adotado, utilizar ferramentas matemáticas avançadas tais como funções de Bessel e Fourrier, harmônicos esféricos e cilíndricos e decomposição por séries infinitas. 5.4 - Solução por integração direta.
Nos três sistemas de coordenadas esta solução se resumem em cinco casos porque: ♦ no sistema de coordenadas cartesianas só existe um caso: tanto faz a variação com x,y ou z porque existe simetria. ♦ no sistema de coordenadas cilíndricas só existem dois casos: a variação com z é igual à variação com z em coordenadas cartesianas. ♦ no sistema de coordenadas esféricas também só existem dois casos: a variação com φ é igual à variação com φ em coordenadas cilíndricas. As cinco soluções da equação de Laplace por integração direta. 5.4.1 – No sistema de coordenadas cartesianas
∂ 2V Com V=f(x) unicamente vem: ∇ V = 2 = 0 que passa para uma derivada total: ∂x 2
d 2V d ⎛ dV ⎞ dV = 0 ou = A ∴ dV=Adx e V=Ax+B ⎜ ⎟ = 0 integrando-se duas vezes vem: 2 dx ⎝ dx ⎠ dx dx Generalizando-se: V=Ak+B onde: k=x,y ou z A e B são as constantes de integração Para se levantar as constantes de integração precisamos das condições de contorno. EXEMPLO: V=f(x) segue que: ⇒ com x constante V também é constante o que determina uma superfície equipotencial que equivale em condições estáticas uma superfície condutora. ⇒ a superfície em que x é constante é um plano infinito perpendicular ao eixo x. 58
⇒ dois planos como este podem ser considerados fronteiras de uma região sem cargas (podendo existir cargas nestas fronteiras gerando os potenciais dentro da região). ⇒ fixando-se os valores de potencial nas fronteiras com auxílio da Equação de Laplace pode-se determinar a variação de potencial no volume limitado pelas fronteiras. Isto é o que existe em um capacitor de placas paralelas nos quais todas as cargas estão na superfície dos condutores e não existe cargas entre as placas. Fixando-se valores nas fronteiras: V1 V=V1 em x=x1 V=V2 em x=x2 V2 x1 substituindo-se em V=Ax+B tem-se um sistema de equações do primeiro grau: x2 ⎪V1=Ax1+B ⎨V2=Ax2+B resolvendo-se o sistema levanta-se as constantes de integração A e B: V ( x - x 2 ) − V2 ( x - x1 ) V − V2 V x − V1x 2 ; B= 2 1 e V = Ax + B = 1 A= 1 x1 − x 2 x1 − x 2 x1 − x 2 Fixando-se os valores de V1 e V2 na fronteira, calcula-se a função potencial no interior de um volume. EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas: fazendo-se: V2=0 em x=0 (referência dos potenciais ) V1=V0 em x=n ⎪V1=Ax1+B ⎨V2=Ax2+B
⎪0=A(0)+B ⎨V0=An+B
∴ B=0 ∴ A=(V0 − 0)/n
V1=0 z V2=V0 x=n
aN
y −ρS
aN
x Vx +ρS logo em V=Ax+B temos V = 0 n onde: V a função que indica a variação do potencial entre as placas do capacitor com referência na placa situada em x=0. V0 é a ddp entre as placas ⎛ V x⎞ d⎜ 0 ⎟ ⎝ n ⎠ εV D=εE= − ε∇V ; D = εE = −ε ax = − 0 ax dx n Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=DnaN e Dn=ρs onde: aN é um unitário que aponta do condutor para o dielétrico.
Na placa situada em x=n temos: εV εV εV0 εV Dn= − 0 aN= − 0 (−ax)= ax logo ρS= 0 significando que em x=n temos cargas positivas n n n n εV0 εV S εV S εS ds = 0 logo C= 0 = A cargas na placa com cargas positivas é: Q = ∫ s n nV0 n n εS ou C= com “d” a distância entre as placas. d Teorema da unicidade “Se uma resposta satisfaz uma condição de contorno também satisfaz a equação de Laplace ou seja: qualquer outro método aplicado diferente da equação de Laplace dará o mesmo resultado para os valores da função V na região”. 59
O cálculo de um capacitor de duas placas paralelas condutoras e um dielétrico perfeito entre elas utilizando-se condições de fronteira e a definição de capacitância (e portanto a Lei de Gauss e potencial entre dois pontos) feito no item 4.8.2 chegou aos mesmos resultados que foram obtidos com a equação de Laplace, provando assim este Teorema 5.4.2 – No sistema de coordenadas cilíndricas 5.4.2.1-Variando V somente em função da coordenada r
V=f(r) com r constante temos V constante, logo isto gera superfícies equipotenciais cilíndricas concêntricas com o eixo z ou seja cabos coaxiais ou capacitores coaxiais. Podemos escrever com derivadas totais: 1 d[r( dV dr )] =0 r dr como r esta no denominador r≠0 e permite que se multiplique ambos os lados por r. d[r( dV dr )] = 0 integramos r( dV dr ) = A ou dV=A(dr/r) portanto V=Alnr+B dr
EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um cabo coaxial: Coloca-se o potencial zero de referência na capa externa do cabo ou no cilindro de raio maior igual a "b" e admite-se que ρ=0 no dielétrico entre os cabos (dielétrico perfeito). V=V0 em r=a V=0 em r=b com b>a Substituindo-se em V=Alnr+B temos: ⎪0=Alnb+B ∴ B= − Alnb ⎨V0=Alna+B ∴ V0=Alna −Alnb=Aln(a/b) V=V0 z ou logo: V0 V ln b A= B = − Alnb = − 0 a ln a b ln a b agora podemos escrever :
V=0
b
ln b r V0 ln r V0 ln b V0 V= − = (ln r - ln b) = V0 b ln a b ln a ln a b ln a b
D
d (ln u ) dx
=
1 du u dx
b⎞ ⎛ ⎜ ln ⎟ d ⎜ V0 r ⎟ ⎜ ln b ⎟ r ⎠ ⎝ εV0 V0 d ln b dV a D=εE= −ε∇V D = −ε ar = − ar = ε ar = ar dr dr dr rln b a ln b a O sentido de D determina cargas positivas em r=a Na fronteira condutor×dielétrico temos:
(
D=Dnan e Dn=ρs Q a,comp L = ∫ ρds =
εV0
∫ aln b
= a
εV0 2πaL aln b
a
=
εV0 2πL ln b
C=
a
60
2πεL ln b a
)
5.4.2.2-Variando V somente em função da coordenada φ
V=f(φ) as superfícies equipotenciais para cada valor de φ serão planos radiais em torno do eixo z 1 d 2V =0 E r 2 dφ 2 V=V0 em φ=β como r esta no denominador tem valor diferente de zero. Neste caso isto também significa que os planos não se tocam. ρS 2 dV =0 Multiplicando-se por r2 ambos os lados β dφ 2 V=0 em φ=0 Integrando-se duas vezes dV=Adφ e finalmente: V=Aφ+B EXEMPLO: Calcular a capacitância deste sistema (que seria mais difícil pelos métodos anteriores) Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre os planos: V=V0 em φ=ß V=0 em φ=0 Levantando-se os valores das constantes de integração: V V=Aφ+B ; B=0 ; V0=Aβ+B logo: A= 0
β
V=
V0φ
Volts, que é a variação da função V entre os planos.
β
1 dV V aø= − ε 0 aø pelo sentido de D temos cargas positivas em φ = β r dφ rβ Na fronteira condutor×dielétrico temos: |Dn|=ρs r2 z1 ε V εV z r εz r 0 Q φ =β = ∫ ∫ dzdr= 0 1 ln 2 C ≅ 1 ln 2 F/m r1 0 β r β r1 r1 β
D=εE= − ε∇V
D= −ε
r1 para evitar curto-circuito e r2 e z1 para evitar capacitância infinita 5.4.3- No sistema de coordenadas esféricas. 5.4.3.1-Variando V somente em função da coordenada r.
V=(r) resulta que as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas com a origem. 2 dV V=V0 1 d[r ( dr )] = 0 r2 dr V=0 r≠0 multiplicando-se ambos os lados por r2 vem: a A 2 dV r dr = A ; V= − r + B b
(
)
D
EXEMPLO: Calcular a capacitância entre duas esferas concêntricas Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre as esferas: V=V0 em r=a b>a V=0 em r=b Levantando-se os valores das constantes de integração: A A 0=− +B V0 = − + B b a
61
V0
A B= b V= −
A=
A +B r
V0
1 −1 b a
V = V0
V0 1 −1 b a b B= = 1 1 b b− a 1 −1 r b
1 −1 a b que é a variação da função V entre os planos. ⎛ d ⎜ V0 ⎜ ⎝ dV D = εE= −ε∇V= −ε D = −ε dr ar
(
) d ( 1 r − 1 b) =
1 −1 ⎞ r b⎟ 1 −1 ⎟ a b⎠ a r dr
εV0 εV0 ar portanto cargas positivas em r=a 2 1 −1 1 −1 dr r a b a b Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=DnaN e Dn=ρs D=−
Q r = a = ∫ D n ds =Dn4πa2=4πa2 com b→∞
(
(
)
εV0
a 1a − 1 b 2
=
) (
4πεV0 1 −1 a b
)
C=
(
4πε 1 −1 a b
)
Farads
C=4πεa Farads esfera de raio “a” solta no espaço
5.4.3.2- Variando V somente em função da coordenada θ
V=f(θ) como V varia apenas com θ as superfícies equipotenciais são cones concêntricos com o eixo z e com vértice na origem. d[senθ ( dV dθ )] 1 =0 r 2 sen θ dθ Com r≠0, θ≠0 e θ≠π vem multiplicando-se ambos os lados por r2senθ Adθ senθ dV dθ = A ; V = ∫ + B que de uma tabela de integrais: senθ V=A ln[tg(θ/2)]+B
(
)
Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre os cones: V=V0 em θ=θ1 V=0 em θ=θ2 Levantando-se os valores das constantes de integração: V0=A ln[tg(θ1/2)]+B e 0=A ln[tg(θ2/2)]+B -ρs +ρs r2 V0 θ1 E B= −A ln[tg(θ2/2)] e A = θ θ 1 2 ln tg 2 − ln tg 2 θ2 V=0 substituindo-se na expressão de Laplace : V=V 0
θ ln tg θ 2 − ln tg 2 2 V = V0 θ θ ln tg 1 − ln tg 2
r1≠0
2 2 que é a variação da função V entre os cones .
62
EXEMPLO: com θ2=90° calcular a capacitância com θ2=90° temos um plano em z=0, com θ1<90° vem : ln tg θ 2 εV0 ε dV D=εE= −ε∇V= − aθ aθ V = V0 D=− θ θ d r θ 1 1 ln tg 2 r sen θ ln tg 2 no intervalo 0º<θ1<90° ⇒ ln tg
θ1
2 <0 logo as cargas positivas estão em θ=θ1
Temos que restringir r para que a capacitância não seja infinita. Q = ∫ ρ S ds = −
C=−
εV0 θ ln tg 1
2πε (r2 − r1 )
θ ln tg 1
r2
2π
r1
0
∫ ∫ 2
1 rsenθ 1dφdr rsenθ1
Farads
Q=−
εV0 2π (r2 − r1 ) θ ln tg 1 2
que é positiva no intervalo 0º<θ1<90°
2
EXEMPLOS: 1) E7.3 Haytt Módulo de E no ponto P(1; 2; 3) a) cabo coaxial V=100V em r=1m e V=20 V em r=3m ⎧20=Aln3+B ⎨100=Aln1+B → B=100 ; −80=A(ln3 − ln1) →A= −80/ln3 = − 72,81 dV V = −72,81ln r + 100 ; r = 12 + 2 2 = 5 ; E= −∇V ; E=− ar dr 72,81 E= a r = 32,56a r V/m 5
V=Alnr+B
b) dois planos condutores radiais, V=20 V em φ=80º ,V=100 em φ=20º 20=A80º+B onde o angulo foi mantido inicialmente em graus e só depois convertido em radianos 100=A20º+B (para ter um valor mais exato). − 80=A60º 80 240 π A= − = − 76,39 B=100+ × = 126,66 π 9 π 3 1 dV 76,39 76,39 V= − 76,39φ + 126,66 E= −∇V E= − aø= − aø ∴ E = − aø = −34,2 aø V/m r dφ r 5 c) Duas esferas concêntricas V=100V em r=1m e V=10 V em r=4m r = 12 + 2 2 + 32 = 14 ; V= −
10= −
A +B r
A A 3A + B e −A+B=100 ∴ −90= − + A = 4 4 4
E = −∇V= −
120 dV a r = 2 ar r dr
∴ A= −120 e B= −20 logo V=(120/r) −20
| E|=120/14=8,57 V/m 63
2º Exemplo: calcule a distribuição de cargas em um plano condutor θ=90º com V2=0 V e com um cone em θ=10º com V1=100V ⎛ 10 0 ⎞ ⎛θ ⎞ V=A ln[tg ⎜ ⎟ ]+B → 100=A ln[tg ⎜ ⎟ ]+B ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ r2
⎛ 900 ⎞ 100 0=A ln[tg ⎜ ⎟ ]+B → B=0 e A= ln tg50 ⎝ 2 ⎠ ln tg θ
E
θ=10º
V1=100 V
1 dV E= −∇V= − aθ r dθ
2 = −41, 05ln tg θ V = 100 2 ln tg 50
+ρs
V2=0 -ρs
r1≠0
1 com d (ln u ) dx = du dx e d ( tgu ) dx = sec 2 u du dx u 2θ 1 1 sec 2 E = 41, 05 aθ r tg θ 2 2 sec 2 θ 2 =
1
E=
cos θ 2 2
41, 05
θ θ⎞ ⎛ r ⎜ 2sen cos ⎟ 2 2⎠ ⎝
logo as cargas no plano são negativas
=
41, 05 aθ r sen θ
−ρS= −|D|= −ε0E= −
3° Exemplo: Calcular a resistência e a capacitância do objeto mostrado na figura ao lado.
41,05ε 0 r y
a) Cálculo da resistência ("resistência de fuga")
Dielétrico real (σ ≠ 0) homogêneo Plástico
V=Aφ+B 0 = A (0)+B ∴ B = 0 V0 = A (π/2) +B ∴ A = 2V0/π e
V=
2V0
π
φ
Placa metálica V = V0 ; φ = π/2 Placa metálica V=0;φ=0
2σ V0 ∂V J = σE = − σ∇V logo J = −σ aφ = − a πr φ rdφ
Integrando-se sobre a superfície na qual φ = π/2 na qual ds = dzdr (−a)φ (corrente do ponto de maior potencial para o ponto de menor potencial) I = ∫ J.ds = ∫ S
b
a
∫
h
0
−
2σ V0 2σ V0 b dr 2σ hV0 ⎛ b ⎞ V = aφ .dzdr ( −aφ ) = h∫ ln ⎜ ⎟ e assim R= 0 = a r I πr πr π ⎝a⎠
π ⎛b⎞ 2σ h ln ⎜ ⎟ ⎝a⎠
b) Cálculo da capacitância 2ε V0 1 dV D=εE= − ε∇V D= −ε aø= − aø pelo sentido de D temos cargas positivas em φ = π/2 r dφ πr 64
Na fronteira condutor×dielétrico temos: |Dn|=ρs Q φ =β = ∫
b
a
∫
h
0
2ε V0 2ε V0 h b drdz= ln a πr π
Constatando se a relação RC =
C≅
ε foi verificada: σ
2ε h
π
R=
ln
b F/m a
ε ε π = = σ C σ 2ε h ln b ⎛b⎞ 2σ h ln ⎜ ⎟ π a ⎝a⎠
Portanto o mesmo resultado obtido acima para a resistência do objeto! 5.5 - Solução da Equação de Poisson por integração direta.
Esta equação é utilizada em regiões onde existem cargas volumétricas e só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Circuitos integrados, junções de semicondutores utilizam esta equação como uma solução satisfatória. As superfícies equipotenciais (ou condutoras) são as mesmas já determinadas para a equação de Laplace e precisamos de valores da função V nestas fronteiras para determinar o valor das constantes de integração A e B. O valor de ρ na região pode ser função até das três coordenadas do sistema. Restringindo-se a variação a uma das três coordenadas pode se solucionar a equação diferencial por integração direta. Entretanto ela só poderá ser constante ou variar com a mesma coordenada permitindo que a variação de V de fato no mesmo sentido da restrição. Só será abordada a solução com integração direta. EXEMPLOS (com densidade de cargas constantes): 1) Resolver a Equação de Poisson com ρ e ε constantes: a) No sistema de coordenadas cartesianas com V=f(x) unicamente: ρ x dV d 2V ρ ρ ⎛ dV ⎞ =− x ; d⎜ =− x +A ⎟ = − x dx ; 2 ε dx ε dx ε ⎝ dx ⎠ dV = −
ρ x xdx + Adx ε
V=−
ρ x x2 + Ax + B 2ε
b) No sistema de coordenadas cilíndricas b1) V=f(r) somente
ρr ρ r2 1 d[r( dV dr )] ρ ⎛ dV ⎞ ⎛ dV ⎞ = − r ; d⎜ r ⎟ = − r dr ; r ⎜ ⎟ = − r + A ⎝ dr ⎠ ⎝ dr ⎠ ε 2ε r dr ε ρ r2 ⎛ ρ r A⎞ dV = ⎜ − r + ⎟ dr V = − r + Alnr + B ⎝ 2ε r⎠ 4ε b2) V=f(Ø) somente
ρφ 1 d 2V =− 2 2 r dφ ε
ρφ r 2 ⎛ dV ⎞ d⎜ ⎟ = − dφ ε ⎝ dφ ⎠
65
dV = −
ρ φ r 2φ dφ + Adφ ε
ρ φ r 2φ 2 V=− + Aφ + B 2ε c) No sistema de coordenadas esféricas c1) V=f(r) somente:
r 2 ( dV dr ) = −
2 1 d[r ( dV dr )] ρ =− r 2 ε r dr
ρ r r3 +A 3ε
d[r 2 ( dV dr )] = −
⎛ ρ r3 A ⎞ dV = ⎜ − r 2 + 2 ⎟ dr r ⎠ ⎝ 3εr
V=−
ρr r2 dr ε
ρr r2 A − +B r 6ε
c2) V=f(θ) somente: d[senθ ( dV dθ )] ρ 1 =− θ 2 r sen θ dθ ε
; d[senθ ( dV
dθ )] = −
ρ θ r 2 sen θ dθ ε
⎛ ρ r 2 cos θ A ⎞ dV = ⎜ θ + ⎟ dθ senθ ⎠ ⎝ εsenθ ⎛ ρ r 2 cotgθ ⎞ dV = ⎜ θ + Acosec⎟ dθ ε ⎝ ⎠
;
V=
ρθ r 2 ln sen θ + A ln tg θ 2 + B ε
EXEMPLO: 2)Schaum 8.34 - Em coordenadas cilíndricas ρ=111/r pC/m3, V=0 V em r=1 m e V=50 V em r=3,0 m, devido a esta configuração de cargas encontre a expressão para E. dV ρ 1 d[r( dr )] =− r r dr ε
111 × 10-12 r dV 111 × 10-12 r ⎛ dV ⎞ ; d⎜ r dr ; r =− +A ⎟=− ⎝ dr ⎠ rε dr ε
⎛ 111 × 10 −12 A ⎞ dV = ⎜ − + ⎟ dr r⎠ ε ⎝
V=−
111 × 10 −12 r
ε
+ Alnr + B
considerando-se os potenciais na fronteira (entre os condutores do cabo coaxial existe o ar εR=1). 0=−
111 111 × 3 +Aln1+B e 50= − +Aln3+B tem-se B=12,5 (ln1=0) e A=68,27 8,854 8,854
logo V= −12,5r+68,27lnr+12,5
e E= −∇V= −
68,27 ⎞ 68,27 ⎞ dV ⎛ ⎛ ar= − ⎜ −12,5 + ⎟ ar= ⎜12,5 − ⎟ ar V/m ⎝ ⎝ r ⎠ r ⎠ dr
66
CAPITULO 6 CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO − LEI DE BIOT-SAVART E LEI DE AMPÈRE, ROTACIONAL DESTE CAMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
Neste Capítulo iniciamos o estudo da magnetostática que é o estudo dos campos magnéticos gerados por cargas estáticas. As fontes dos campos magnéticos estáticos são imãs permanentes e correntes contínuas, entretanto só nos interessa as correntes contínuas que é o caso que tem maior aplicação na Engenharia. As duas leis destes campos são: ◊ Lei de Biot-Savart → aplicações semelhantes à Lei de Coulomb. ◊ Lei de Ampère → aplicações semelhantes à Lei de Gauss. O campo magnético estacionário segue o “principio da superposição”. 6.1 - Lei de Biot-Savart
É uma lei “não experimental” ou seja como ela é definida por elementos incrementais não pode ser testada experimentalmente. Condutor filamentar é "o caso limite de um condutor cilíndrico quando seu raio tende a zero”. Se no elemento diferencial de comprimento dL de um condutor filamentar estiver circulando uma corrente I, utilizando-se o vetor deslocamento diferencial tem-se IdL
que é o elemento diferencial de corrente de um condutor filamentar. IdL é o elemento diferencial usado nas integrações da mesma forma como no campo elétrico se realiza as integrações usando-se as cargas pontuais dQ. Quando tem-se um IdL em um ponto 1 do espaço haverá em um ponto 2 um vetor intensidade diferencial de campo magnético dH com relação entre IdL e dH definida por: dH 2 =
I1dL × a R12 4π R12
2
A/m
IdL
aR12
Pt2 dH2
R12 I
onde: aR12 é um unitário com sentido do elemento diferencial de corrente para o ponto em que se deseja calcular H. R12 é a distância entre o elemento diferencial de corrente e o ponto em que se deseja calcular H Lei de Coulomb dE 2 =
Forma integral:
dQ 4πε 0 R 12
H=∫
2
IdL × a R12 4π R 12
2
a R12
A/m
a continuidade de corrente impõe esta integral fechada porém a Lei vale para um trecho do percurso!
6.2 - Densidade superficial de corrente K 67
Com J uniforme em um condutor tem-se uma densidade superficial de corrente K K=Jda (A/m2)×m = I I J = TOTAL = TOTAL ISUPERFICIAL = |J|da×b S ab
z
J
x
ISUPERFICIAL = |K|×b da
onde: b é o percurso atravessado pela corrente
K=Jda I
a
y
b
Se a corrente não for uniforme: I SUPERFICIAL = ∫ K db
Um elemento diferencial de corrente IdL pode ser expresso conforme uma das igualdades abaixo desde que a corrente seja uniforme no condutor, como ocorre em um condutor filamentar. I×dL =|K|×db×dL = K×ds = J×da×ds= J×dv A.m (A/m2).m3 A.m (A/m).m2 IdL =Kds = Jdv
A.m
Na Lei de Biot-Savart resulta:
H=∫
IdL × a R12 4π R 12
H=∫
2
S
Kds × a R12 4π R 12
H=∫
2
Jdv × a R12
V
4π R 12
2
6.3 - Regra da mão direita e linhas de fluxo do campo magnético. As linhas de fluxo do campo magnético coincidem com as equipotenciais do campo elétrico e desta forma as linhas de fluxo dos dois campos são perpendiculares entre si. A direção das linhas de fluxo do campo elétrico são das cargas positivas para as negativas enquanto as do campo magnético não tem inicio nem fim se fechando sobre si mesmas: "o campo magnético não tem fontes nem sumidouros" um campo deste tipo é denominado solenoidal e a sua divergência é nula. Usa-se a regra da mão direita para acharmos o sentido das linhas de fluxo do campo magnético: "com o polegar voltado no sentido da corrente encontramos o sentido de H pela direção dos outros dedos"
6.4 - Aplicação da Lei de Biot-Savart para o filamento infinitamente longo I
(ver também capitulo 1 item 1.9)
z
Com coordenadas cilíndricas e colocando-se o filamento no eixo z vem:
aR R
IdL=Idzaz dH 2 =
I1dL × a R12 4π R12
2
R=rar−zaz
R = r 2 + z2
a R12 =
68
φ
ra r − za z r 2 + z2
x
P(r1;φ1;z1) y
I1dza z × ra r − za z
dH 2 =
(
4π r 2 + z 2
Ir H2 = 1 4π
∫
(r
2
=
2
dza φ
∞
−∞
)
3
+ z2
)
3
2
I1 rdza φ
(
)
4π r 2 + z 2
3
2
Ir z = 1 4π r 2 r 2 + z 2
∞
H2 =
aφ −∞
I aφ 2πr
Mesmo direção que se encontraria com a regra da mão direita.
H=
Generalizando-se:
I 2π R
ρL a 2π R
que equivale no campo elétrico E =
aH
12
onde: R é a menor distância entre o ponto em que se deseja H e o filamento. aH=aL×aR12 sendo que aL é um unitário no sentido da corrente e aR12 é um unitário com suporte na distância R, voltado do filamento para o ponto 2 onde desejamos calcular H. EXEMPLOS: a) Aplicando-se na demonstração acima teríamos: aH=az×ar=aø e R = r logo H 2 =
I aφ 2πr
b) Calcule H na origem com um filamento infinito de corrente de 13ax Amp. em y=4 e z=−2 H=
I aH 2πR
aH=aL×aR12=ax×
(0 − 4)a Y + [ 0 − (−2) ] a Z 4 +2 2
2
=
−2a Y − 4a Z 20
z aR12 y (0; 4; −2) 13ax
13 −2a Y − 4a Z H= = −0,21a Y − 0,42a Z 2π 20 20
d) E8.2b (Haytt): 3 > z > − 3 e todo x=2 e todo y= −4 com I=0,4 direção az , H=? em P(0 ; 1 ; 0) (ver também capitulo 1 item 1.9) x
H=∫
IdL × a R12 4π R 12
Simétrico em relação a origem
2
0,4dza z × −2a x + 5a y − za z
(
4π 2 + 5 + z
H2 = ∫
3
−3
2
2
− a x − 0,4a y
(
y
R 12 = −2a x + 5a y − za z
IdL=0,4dzaz dH 2 =
(2; -4; z) 0,4az (0; 1; 0) R12
2π 29 + z
2
)
3
2
dz =
)
3
=
2
− a x − 0,4a y
(
2π 29 + z
2 × ( − a x − 0,4a y )
2
2π
∫
3
0
2
)
3
dz 2
0,0168
dz
( 29 + z ) 2
H 2 = −5,34a x − 2,13a y mA/m 69
3
= 2
− a x − 0,4a y
z
π
29 z 2 + 29
3
0
6.5 - Lei de Ampère. Lei de Ampère → aplicações semelhantes à Lei de Gauss. Inclusive defini-se uma Ampèriana que neste caso é um percurso. Lei de Ampère → corrente envolvida Lei de Gauss → carga envolvida Em torno de um fio que passa corrente na direção az em coordenadas cilíndricas com o fio no eixo z: I H= aφ 2πr Calculando-se uma integral de linha no sentido da regra da mão direita (positivo de φ) em um percurso fechado circundando completamente o fio integrando-se no sentido da regra da mão direita:
∫ H. dL = ∫
2π
0
assim
I 2πr
a φ . dra r + rdφa φ + dza z =
∫ H.dL = I
∫
I
2π
0
2πr
rdφ =I (corrente positiva)
que é a expressão matemática da Lei de Ampère
A integração com o sentido da regra da mão direita resultou em uma corrente positiva logo a corrente é considerada positiva quando esta de acordo com esta regra. Lei de Gauss se refere à carga total envolvida a Lei de Ampère se refere à corrente total envolvida Neste caso a corrente envolvida é zero:
−I
+I dL
6.5.1 - Percursos Ampérianos Embora na Lei de Ampère o percurso possa ser qualquer um, pelos mesmos motivos que surgem na aplicação da Lei de Gauss ou seja evitar-se uma variável dentro de uma integral em uma equação, devemos usar um percurso de tal forma que: • •
A direção de H deve ser ⊥ ou // ao percurso. Isto força que a integração seja nula ou de um escalar. H deve ser constante quando // ao percurso assim sai da integral e ela se reduz a uma integral de percurso.
6.2 - Exercícios clássicos de aplicação da Lei de Ampère 6.2.1 - Filamento infinitamente longo onde flui uma corrente. Neste caso o percurso que satisfaz as regras acima seria um circulo de raio R em um plano perpendicular ao fio. Colocando-se o fio no eixo z: R = r 2π
2π
0
0
∫ H. dL = ∫ Hφ a φ . rdφa φ = H φ r ∫ dφ = Hφ 2πr = I
∴
6.5.2.2 - Cabo coaxial
70
Hφ =
I 2πR
O sentido da corrente do condutor central como sendo positiva I e do condutor externo como negativa − I e ambas uniformemente distribuídas. Com o condutor centrado no eixo z pode-se trabalhar em coordenadas cilíndricas. Considerando-se os condutores como compostos por inúmeros filamentos cada um dos filamentos só gera campos na direção aφ H2
+I
z
Hr2
Hφ Hr1
2
a
1
H1
Filamentos simétricos opostos Na figura o eixo z esta saindo do papel e temos desenhadas as linhas de fluxo magnético em torno dos dois filamentos opostos e sobre um ponto em cima do eixo "r" usando-se a regra da mão direita temos os vetores resultantes. Ve-se que: • as componentes na direção do eixo r se anulam • as na direção ø se somam • como nenhum filamento produz componentes na direção z pois esta é a direção da corrente só resta Hø. • pela simetria vemos que mantendo-se r constante Hø não se altera ou seja Hø=f(r) apenas. −I
b H
I. Com a b a corrente enlaçada é zero e H=0 O cabo coaxial blinda completamente o campo magnético no seu interior e já provamos anteriormente que ele blinda também o campo elétrico. O cabo coaxial não interfere pois com os circuitos adjacentes.
IV. Supondo-se agora uma espessura para o condutor externo variando entre b 0 ⇒
z<0 ⇒ Hx= − Ky/2
Hx=Ky/2
Generalizando-se para qualquer outra posição da folha e sistemas de coordenadas vem:
H=(1/2)K×an onde an é um vetor unitário normal à superfície e apontando para a região do espaço em que desejamos calcular H Aplicando-se na demonstração acima teríamos para z > 0: H=(1/2)Kay×az=(1/2)Kax Planos infinitos em paralelo com correntes opostas: Colocando-se uma outra superfície paralela em z=h com corrente na direção oposta a da primeira superfície considerada temos entre as superfícies com 0 h (fora do intervalo entre os dois planos) 72
H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×az+1/2 K−ay×az= 0 para z < 0 (fora do intervalo entre os dois planos) H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×−az+1/2 K−ay×−az= 0 Generalizando-se H=0 para z> h ou z<0 6.5.2.4 - Solenóide Podemos considerá-lo como uma única volta de uma película que conduz densidade de corrente superficial Ka. Colocando-se o solenóide centrado no eixo z e com Ka na direção aφ HZ
Z
Kaaφ Ka H=Kaaz
Películas de corrente infinitas
constante a
a
z r
a+Δr
a+Δr
r
a Tangenciando cada aresta do cilindro de comprimento infinito que compõe o solenóide, pode-se admitir a existência de películas de corrente infinitas com corrente de direções opostas e assim: No interior do solenóide com ra:
H=K×an=Kaaφ × (−ar)=Kaaz H=0
No caso de um solenóide finito de comprimento "d" e formado com "N" espiras bem juntas onde flui uma corrente I. Considerando-se o solenóide com uma única volta de uma película com módulo da densidade de corrente superficial Ka e com N filamentos cada um com uma corrente I temos: NI=Kad ∴ Ka=
NI logo: d
H=
NI az d
Esta aproximação e cada vez melhor quando tomamos pontos bem dentro do solenóide, afastado da superfície do mesmo não menos que duas vezes a separação entre espiras. 6.5.2.5 – Toróide
Ka
Podemos imaginar um toróide com N espiras com corrente I aproximadamente (porque, como veremos, H não é mais constante dentro da seção) como um solenóide dobrado sobre si mesmo em circulo em torno do eixo z. Assim dentro da seção do toróide: NI=Kab onde b é o percurso atravessado pela densidade superficial de corrente K no caso b=2πr NI Nestas condições NI=Ka2πr e Ka= 2πr Para um direção de K expressa por K=Kaaz em r=r0 − a 73
(z = 0 e r = b)
r0 Hφ b
a Eixo z
Com “a" o raio da seção do toróide e r0 é o raio médio do toróide medido do centro do mesmo até o centro de sua seção apontando deste ponto para dentro do solenóide na direção an = +ar vem: H=K×an=Kaaz×(+ar)=Kaaφ=
NI aφ 2πr
no ponto b = r = r0 − a calcula-se NI ⇒ Ka=
H=Kaaφ=
NI aφ 2πr
NI ∴ NI = K a 2π ( r0 − a ) 2πr
Hφ
r0
NI K 2π ( r0 − a) aφ = a aφ substituindo-se H= 2πr 2πr H=
K a ( r0 − a) aφ r
r
b+2a+Δr
Fora do toróide:
b
b
r
b+2a+Δr
H×r
Pelas mesmas razões já vistas para o solenóide H=0 6.6.1 - Aplicação do rotacional ao eletromagnetismo, 3ª Equação de Maxwell. Seja um pequeno percurso fechado de lados dx e dy em coordenadas cartesianas e vamos aplicar nele a lei de Ampère e sabemos que no centro do mesmo temos uma intensidade de campo magnético conhecida e de valor: z
H0=Hx0ax+Hy0ay+Hz0az
4 Δy
1
3
Sentido da integração
Δx 2
y
x Integra-se na direção 1-2-3-4-1
(H.dL)1-2=Hy,1-2Δy
A variação de Hy com a distância Δx/2 do centro ao ponto médio do lado 1-2, é + Hy,1−2=Hy0+
∂H y Δx ∂x 2
∴
∂H y Δx ⎞ ⎛ (H.dL)1−2= ⎜ H y0 + ⎟ Δy ∂x 2 ⎠ ⎝
∂H y Δx ∂x 2
A variação de Hy com a distância Δx/2 do centro ao ponto médio do lado 3-4, é −
Hy,3−4=Hy0 −
∂H y Δx ∂x 2
∴
∂H y Δx ⎞ ⎛ (H.dL)3−4=Hy,3−4(−Δy)= − ⎜ H y0 − ⎟ Δy ∂x 2 ⎠ ⎝
∂H y ∂H y Δx ⎞ ∂H y Δx ⎞ ⎛ ⎛ (H.dL)1−2+(H.dL)3−4= ⎜ H y0 + ΔxΔy ⎟ Δy − ⎜ H y0 − ⎟ Δy = ∂x ∂x 2 ⎠ ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎝ 74
∂H y Δx ∂x 2
e assim sucessivamente nos lados restantes e somando-se tudo: ⎛ ∂H y ∂H x ⎜⎜ = − H . d L ∫ ∂y ⎝ ∂x
ou no limite: lim
Δx,Δy→0
onde: lim
⎞ ⎟⎟ ΔxΔy = I = JzΔxΔy ⎠
∫ H.dL = ∂H ΔxΔy
∂x
y
−
∂H x = Jz ∂y
∫ H.dL é o rotacional para uma circulação no plano “xy”
ΔxΔy As mesmas operações para percursos semelhantes nos outros dois planos “zy” e “xz” resultam: ∫ H.dL = ∂H z − ∂H y = Jx ∫ H.dL = ∂H x − ∂H z = Jy lim e lim Δy,Δz →0 ΔzΔy Δx,Δz →0 ΔzΔx ∂y ∂z ∂z ∂x Δx,Δy→0
Somando-se estas três ultimas expressões vetoriais vem: ⎛ ∂H z ∂H y ⎜⎜ − ∂z ⎝ ∂y
⎛ ∂H y ∂H x ⎞ ∂H z ⎞ ⎛ ∂H ⎟⎟ ax+ ⎜ x − − ⎟ ay+ ⎜⎜ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂x
∇×H =J
⎞ ⎟⎟ az=J=∇×H ⎠
3ª Equação de Maxwell que é a forma pontual da Lei de Ampère.
Esta equação de Maxwell indica que existem variações do campo H no sentido perpendicular à corrente que o produziu. Estas variações são proporcionais às densidades correntes no ponto. Já no campo elétrico onde a equação de Maxwell obtida com o rotacional é ∇× E = 0, o campo não varia no sentido perpendicular. No sentido perpendicular a E têm-se as equipotenciais deste campo e nelas o campo é invariável. 6.7 - Densidade de fluxo magnético B É relacionado com a intensidade de fluxo magnético pela permeabilidade no vácuo. A unidade que utiliza-se é o Weber/m2. A unidade oficial é a Tesla, a unidade Gauss é antiga. B=µoH Wb/m2 ou Teslas µo=4π×10−7 Henrys/m 6.8 - 4ª Equação de Maxwell e Lei de Gauss do Campo magnético. O campo magnético é solenoidal porque não existem fontes nem sumidouros do campo magnético (as linhas de fluxo deste campo se fecham sobre si mesmas) e assim toda o valor de B que entra sai de dentro de um volume logo: ∇.B=0 e assim vem:
∫ B. ds = 0 s
que é a Lei de Gauss do campo Magnético 75
6.9 - Fluxo magnético Φ(fi maiusculo) É o fluxo que atravessa uma área especificada. A unidade é o Weber. Φ= ∫ B.ds Wb S
Estas grandezas possuem analogia com grandezas do campo elétrico: B=µoH ⇒ D=ε0E ; Φ= ∫ B.ds ⇒ ψ= ∫ D.ds S
S
6.10 - As quatro equações de Maxwell nos campos estáticos FORMA PONTUAL (VÁLIDA EM UM PONTO)
FORMA INTEGRAL (VÁLIDA EM UMA REGIÃO)
∇.D=ρ
∫ D.ds = ∫ ρdv ∫ E.dL = 0 ∫ H.dL = I ∫ B.ds = 0 V
S
∇×E =0 ∇×H =J ∇.B=0
S
Com estas equações e o auxilio de B=µoH ; D=ε0E ; E= −∇V ; Teorema da divergência e Teorema de Stokes pode-se deduzir qualquer uma das fórmulas até agora vistas. 6.11 - Teorema de Stokes Dividindo-se uma superfície qualquer em superfícies incrementais e aplicando-se a definição de rotacional temos: ∫ H.dL = (∇ × H ).a = ∇ × H ∇×H lim n ΔSN →0 ΔS N dL
an
dL
∫
H.dL= ∫ (∇ × H ) .ds S
ΔSN
Na figura cada lado de uma área ΔS é coberto duas vezes com direções opostas existindo portanto cancelamentos e isto só não ocorre nos lados externos da área ou seja no seu perímetro, logo:
que é o Teorema de Stokes
onde: dL tem que ser percorrido no perímetro da abertura na superfície e assim ela tem que ser uma superfície aberta caso contrário dL=0 e a expressão se anula. 76
APLICAÇÕES: 1 - Obter a Lei de Ampère a partir da 3ª equação de Maxwell. ∇×H=J multiplicando-se escalarmente ambos os lados por ds vem: ∇×H.ds = J.ds integrando-se e aplicando-se Stokes: ∫ ∇ × H. ds = ∫ J.ds = ∫ H.dL = I S
S
2 - A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula ∇.∇×A=0. Supondo-se que o resultado não é zero e sim um escalar T que seria o resultado da operação: ∇.∇×A=T A divergência é uma operação através de um volume com superfície fechada. Através de um volume fechado: ∫ ∇. ∇ × Adv = ∫ Tdv V
V
usando-se sucessivamente o teorema da divergência (a superfície é fechada) e de Stokes temos:
∫ ∇. ∇ × Adv = ∫ ∇ × Ads = ∫ A. dL = ∫ Tdv S
V
V
Como a superfície é fechada temos dL=0 (é determinado no perímetro), assim a integral é nula em conseqüência ∫ Tdv = 0 e como dv ≠ 0 vem que T=0 e portanto: ∇.∇×A = 0 V
EXEMPLOS: E8.4 HAYTT: Calcular a integral de linha no sentido anti-horário H=4sen0,4πzay−(x2+2)2az. Percurso quadrado centro P(1 ; −3 ; 2), lados = 0,6 unidades, no plano x=1, Z arestas // eixos coordenados,. 4 1
3 2
Y
0,6 (1 ; -3 ; 2) X
4sen[0,4π(2 − 0,3)]×0,6 − (12+2)2×0,6 − 4sen[0,4π(2 + 0,3)]×0,6 + (12+2)2×0,6=1,4295 2−3 (az) 3−4 (− ay) 4−1 (−az) 1−2 (ay) b)calcule o quociente da divisão da integral pela área envolvida pelo percurso:
1,4295/0,6×0,6=3,9709
c)Determine (∇×H)x (na direção x) em P(1 ; − 3 ; 2) ; H=4sen0,4πzay−(x2+2)2az (∇×H)x =
d( 4 sen( 0,4πz)) 4 cos( 0,4πz) d( 0,4πz) ∂H z ∂H y − ax = − =− = −0,4π 4 cos( 0,4πz) = 4,066 ∂z ∂y dz dz dz
2= Com lados de 0,1 unidades obtém-se: 4,06388 os resultados se aproximam sendo que a igualdade só seria ∫ H.dL = (∇ × H ).a = ∇ × H obtida quando S---->0 desde que por definição lim n ΔSN →0 ΔS N E8.6 Haytt : A=2r2(z+1)sen2φ aφ com percurso r=2 ;
π
4
<φ <
π
2
; 1
