Apostila De Ondas Eletrmagnéticas (eletromag 2)

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´ - UFPR UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Departamento de Engenharia El´etrica TE 053 ´ ONDAS ELETROMAGNETICAS Prof. C´ esar Augusto Dartora Sum´ ario Rela¸ c˜ oes Vetoriais 1 1 Introdu¸ c˜ ao 1.1 Um pouco da Hist´oria do Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Limites de Validade do Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Importˆancia e Aplica¸c˜oes do Eletromagnetismo na Ciˆencia e na Engenharia . . . . . . 5 6 9 11 2 Vetores e Fasores 2.1 Defini¸c˜oes, Propriedades e Opera¸c˜oes com Vetores . . . . . . . 2.1.1 Propriedades B´asicas de Escalares . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propriedades B´asicas da Soma de Vetores . . . . . . . . 2.1.3 Produtos Vetoriais e Propriedades . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Vetores Unit´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sistemas de Coordenadas e Transforma¸c˜oes entre Sistemas . . . 2.2.1 Coordenadas Retangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Coordenadas Esf´ericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Transforma¸c˜oes entre Coordenadas . . . . . . . . . . . . 2.3 Calculo Vetorial Diferencial e Integral: Teoremas . . . . . . . . 2.3.1 Diferencia¸c˜ao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Integra¸c˜ao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 O operador Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Derivada Direcional: Gradiente . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Fluxo de um Vetor, Divergˆencia e Teorema de Gauss . . 2.3.6 Circula¸c˜ao de um vetor, Rotacional e Teorema de Stokes 2.3.7 Outras Identidades Importantes . . . . . . . . . . . . . . 2.4 N´ umeros Complexos e Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Ponto Campo, Ponto Fonte e Fun¸c˜ao Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 13 13 15 16 16 17 17 18 22 22 22 23 24 24 26 28 29 30 31 3 Campo Eletromagn´ etico 3.1 Eletrost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 A corrente el´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Magnetost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 36 37 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 4 As 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Equa¸ c˜ oes de Maxwell Lei de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrente de Deslocamento e a Lei de Amp`ere-Maxwell Equa¸c˜oes de Maxwell: forma diferencial e integral . . . Equa¸c˜oes de Maxwell no Regime Harmˆonico . . . . . . Leis de Conserva¸c˜ao e o Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 49 52 53 54 5 Ondas Planas Uniformes 5.1 A Equa¸c˜ao de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 An´alise da Propaga¸c˜ao de Ondas em Meios Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Resumo: Ondas Planas Uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Modelos simples para a condutividade e a permissividade diel´etrica . . . . . . . . . . . 5.4 Ondas planas no Espa¸co Rec´ıproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Condi¸c˜oes de Contorno e Interfaces Planas entre Meios: lei de Snell, refra¸c˜ao e reflex˜ao, ˆangulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 65 69 71 72 6 Potenciais Eletromagn´ eticos 6.1 Os potenciais φ e A e condi¸c˜oes de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Solu¸c˜ao formal de φ e A no espa¸co livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Solu¸c˜ao Formal de φ e A no Calibre de Lorentz pelo M´etodo das Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Potenciais de Li`enard-Wiechert e Radia¸c˜ao de Cargas Aceleradas . . . . . 6.4 O Dipolo El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 82 85 . . . . . . . . . . Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . 74 86 89 93 7 Antenas 102 7.1 Caracter´ısticas B´asicas de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.2 Tipos de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 ´ 7.3 Resumo de Resultados Uteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8 Guias de Ondas 8.1 Equa¸c˜oes de Maxwell em Componentes Transversais e Longitudinais 8.2 Guias de Ondas Met´alicos: propaga¸c˜ao de energia e atenua¸c˜ao . . . 8.2.1 Modos TE em Guia Met´alico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Modos TM em Guia Met´alico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Propaga¸c˜ao da Energia e Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Guia Met´alico Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Demonstra¸c˜ao: Ausˆencia de Modos TEM em um guia oco . . 8.2.6 Guia Met´alico de Se¸c˜ao Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Modo TEM em um guia coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Cavidade Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 8.5 Guias Diel´etricos: a Fibra Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Linhas de Transmiss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆ encias Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 108 111 111 111 112 114 117 118 120 123 124 125 132 Rela¸c˜ oes Vetoriais ´ I - Algebra de Vetores A ± B = (A1 ± B1 )ˆ a1 + (A2 ± B2 )ˆ a2 + (A3 ± B3 )ˆ a3 (1) A · B = |A| |B| cos θ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 (2) A×B=ˆ a1 (A2 B3 − A3 B2 ) + ˆ a2 (A3 B1 − A1 B3 ) + ˆ a3 (A1 B2 − A2 B1 ) (3) |A × B| = |A| |B| sin θ (4) A · (B × C) = C · (A × B) = B · (C × A) (5) A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (6) A × B = −B × A (7) (A × B) · (C × D) = A · [B × (C × D)] = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) (8) (A × B) × (C × D) = [(A × B) · D]C − [(A × B) · C]D (9) II - Opera¸ c˜ oes vetoriais em sistemas coordenados usuais Coordenadas Retangulares (x, y, z): grad Φ = ∇Φ = ˆ ax ∂Φ ∂Φ ∂Φ +ˆ ay +ˆ az ∂x ∂y ∂z ∂Az ∂Ax ∂Ay + + ∂x ∂y ∂z       ∂Ay ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ax ∂Az rot A = ∇ × A = ˆ ax − +ˆ ay − +ˆ az − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y   2 ∂ ∂2 ∂2 ∇2 Φ = + + Φ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 div A = ∇ · A = ∇2 A = ˆ ax ∇2 Ax + ˆ ay ∇2 Ay + ˆ a z ∇ 2 Az (10) (11) (12) (13) (14) Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z): ∇Φ = ˆ aρ ∂Φ 1 ∂Φ ∂Φ +ˆ aϕ +ˆ az ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂Aϕ ∂Az 1 ∂ (ρAρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z       ∂Aϕ ∂Aρ ∂Az 1 ∂Az 1 ∂(ρAϕ ) 1 ∂Aρ ∇×A=ˆ aρ − +ˆ aϕ − +ˆ az − ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∇·A= 1 (15) (16) (17) 2 1 ∂ ∇ Φ= ρ ∂ρ 2  ∂Φ ρ ∂ρ 1 ∂2Φ ∂2Φ + ρ2 ∂ϕ2 ∂z 2  + ∇2 A = ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A (18) (19) Observe que nestas coordenadas ∇2 A 6= ˆ a ρ ∇ 2 Aρ + ˆ a ϕ ∇ 2 Aϕ + ˆ az ∇2 Az . Coordenadas Esf´ ericas (r, θ, ϕ): 1 ∂Φ 1 ∂Φ ∂Φ +ˆ aθ +ˆ aϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ (20) 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Aϕ (r Ar ) + (sin θAθ ) + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ (21) ∇Φ = ˆ ar ∇·A=     ˆ ar ∂ ∂Aθ ˆ aθ 1 ∂Ar ∂ ∇×A= (Aϕ sin θ) − + − (rAϕ ) + r sin θ ∂θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ ∂r   ˆ aϕ ∂ ∂Ar + (rAθ ) − r ∂r ∂θ     1 ∂ 1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ 2 2 ∂Φ ∇ Φ= 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2 (22) (23) ∇2 A = ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A (24) ∇(ΦΨ) = Ψ∇Φ + Φ∇Ψ (25) ∇ · ∇Φ = ∇2 Φ (26) ∇ · (ΦA) = A · ∇Φ + Φ∇ · A (27) ∇2 (ΦΨ) = Ψ∇2 Φ + Φ∇2 Ψ + 2∇Φ · ∇Ψ (28) ∇ · (A × B) = (∇ × A) · B − (∇ × B) · A (29) ∇ × (ΦA) = ∇Φ × A + Φ∇ × A (30) ∇ × (A × B) = A∇ · B − B∇ · A + (B · ∇)A − (A · ∇)B (31) ∇·∇×A=0 (32) ∇ × ∇Φ = 0 (33) ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A (34) III - Identidades Vetoriais Teorema de Gauss Z I ∇ · A dV = V A · dS (35) A · dl (36) S Teorema de Stokes Z I ∇ × A · dS = S Identidades de Green Escalares C 3 Z
∇Φ · ∇Ψ + Ψ∇2 Φ dV = V Z I Ψ∇Φ · dS (37) S
Ψ∇2 Ψ − Φ∇2 Ψ dV = I V (Ψ∇Φ − Φ∇Ψ) · dS (38) S Identidades de Green Vetoriais Z Z ∇ · (A × ∇ × B) dV = [(∇ × A) · (∇ × B) − A · ∇ × ∇ × B] dV = V V I A × (∇ × B) · dS = (39) S Z I (B · ∇ × ∇ × A − A · ∇ × ∇ × B) dV = V [A × (∇ × B) − B × (∇ × A)] · dS (40) Φ dS (41) S Outras Identidades Z I ∇Φ dV = V S Z I ∇ × A dV = V n × A dS dS = ndS (42) S Z I n × ∇Φ dS = S Φ dl (43) C   1 ∇ = −4πδ 3 (R) R 2 (44) onde δ 3 (R) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 ) ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac em 3 dimens˜oes e R = |R| = |r − r0 |   R ∇·R=3 ∇× =0 (45) R R R R ∇0 (R) = − R     1 R 1 R 0 ∇ =− 3 ∇ = 3 R R R R ∇(R) = (46) (47) (48) onde ∇ opera em r e ∇0 em r0 , R = r − r0 . Na nota¸c˜ao utilizada acima, os vetores s˜ao denotados por letras em negrito, enquanto escalares por letras gregas. 4 ´ Constantes Uteis √ Velocidade da luz no v´acuo - c = 1/ ε0 µ0 = 2.998 × 108 m/s. Permissividade diel´etrica do v´acuo - ε0 = 8.854 × 10−12 F/m Permeabilidade magn´etica do v´acuo - µ0 = 4π × 10−7 H/m p Impedˆancia do Espa¸co livre - Z0 = µ0 /ε0 = 376.7 Ω M´odulo da carga do el´etron - e = 1.602 × 10−19 C Constante de Planck - h = 6.626 × 10−34 J.s ~= h 2π = 1.055 × 10−34 J.s Constante de Boltzmann - kB = 1.381 × 10−23 J/K N´ umero de Avogadro - N0 = 6.023 × 1023 /mol Massa de repouso do el´etron - me = 9.11 × 10−31 kg = 0.511 MeV/c2 Massa de repouso do pr´oton - mp = 1.672 × 10−27 kg = 938.3 MeV/c2 Massa de repouso do nˆeutron - mn = 1.675 × 10−27 kg = 939.6 MeV/c2 Magn´eton de Bohr - µB = e~/(2me ) = 9.27 × 1024 A.m2 (ou J/Tesla) Raio de Bohr - a0 = 4πε0 /(me e2 ) = 5.29 × 10−11 m Energia de Bohr - E1 = −me e4 /[(4πε0 )2 2~2 ] = −2.17 × 10−18 J = −13.6 eV Comprimento de onda Compton do El´etron - λC = h/me c = 1.43 × 10−12 m Constante de estrutura fina - α = e2 /(4πε0 ~c) = 1/137 1 eV = 1.602 × 10−19 J ou 1 J= 6.242 × 1018 eV Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao A F´ısica visa entender os fenˆomenos que ocorrem na natureza e a Engenharia visa aplicar os conceitos da F´ısica em situa¸c˜oes pr´aticas com o objetivo de desenvolver e aprimorar sistemas, equipamentos e dispositivos que melhorem e facilitem as condi¸c˜oes de vida da sociedade. Existem 4 intera¸c˜ oes fundamentais conhecidas, descritas brevemente abaixo: ´ uma intera¸c˜ao de longo • Intera¸c˜ao Gravitacional: descreve a for¸ca atrativa entre as massas. E 2 alcance (F ∝ 1/r ), respons´avel por manter os planetas em ´orbitas est´aveis. A gravidade ´e ´ a mais fraca sentida no nosso dia-a-dia pois influencia a trajet´oria de todos os objetos m´oveis. E das for¸cas. • Intera¸c˜ao Eletromagn´etica: descreve a for¸ca entre cargas el´etricas, ´e de longo alcance (F ∝ 1/r2 ). Pode ser atrativa ou repulsiva. A intera¸c˜ao eletromagn´etica ´e a principal respons´avel pelas ´orbitas atˆomicas, pela coes˜ao da mat´eria, liga¸c˜oes moleculares, sistemas de comunica¸c˜ ao. O estudo e compreens˜ao da intera¸c˜ao eletromagn´etica ´e respons´avel pelo avan¸co tecnol´ ogico da sociedade atual: motores e geradores, circuitos eletrˆonicos, sistemas de comunica¸c˜ao, etc. • Intera¸c˜ao Forte: ´e uma for¸ca atrativa de curto alcance (10−14 m) respons´avel pela coes˜ ao dos ´ constituintes do n´ ucleo. E a for¸ca mais forte existente, da´ı o nome, for¸ca forte, e na distˆ ancia da ordem do n´ ucleo, consegue superar a repuls˜ao eletromagn´etica entre pr´otons para manter o n´ ucleo coeso. • Intera¸c˜ao Fraca: n˜ao tem natureza atrativa ou repulsiva, tamb´em ´e de curto alcance (10−14 m) e ´e respons´avel pelo decaimento dos n´ ucleos atˆomicos, bem como de decaimentos de part´ıculas. Exemplo: m´ uon decai em el´etron mais neutrinos. S´o ´e mais forte do que a for¸ca gravitacional. O Eletromagnetismo constitui um dos pilares do conhecimento cient´ıfico e seu estudo ´e fundamental em F´ısica e Engenharia porque providencia um entendimento f´ısico-matem´atico dos fenˆ omenos eletromagn´eticos e propaga¸c˜ao de ondas eletromagn´eticas. Permite entender as limita¸c˜oes da teoria de circuitos ou da ´optica geom´etrica e ´e fundamental no estudo e desenvolvimento de dispositivos e sistemas eletromagn´eticos e eletrˆonicos. Nas Se¸c˜oes que seguem iremos colocar um pouco da hist´ oria do desenvolvimento do Eletromagnetismo, abordar um pouco os limites de validade da teoria, e finalmente, as motiva¸c˜oes pr´aticas para estudar a Teoria Eletromagn´etica. 5 6 1.1 Um pouco da Hist´ oria do Eletromagnetismo As equa¸c˜oes de Maxwell unificam os fenˆomenos el´etricos e magn´eticos e foram desenvolvidas por volta de 1870 por James Clerk Maxwell, que previu com 20 anos de antecedˆencia a existˆencia de ondas eletromagn´eticas (experimento de Hertz em 1888) bem como a explica¸c˜ao dos fenˆomenos ´opticos com base no Eletromagnetismo. Tais equa¸c˜oes s˜ao a primeira teoria unificada que o nosso conhecimento cient´ıfico j´a produziu e ´e o resultado do esfor¸co de muitos cientistas brilhantes ao longo do tempo. Tentaremos dar uma breve descri¸c˜ao cronol´ogica do desenvolvimento da teoria eletromagn´etica, a seguir: Antiguidade 900 a.C. Magnus, um pastor de ovelhas grego caminha sobre um campo de pedras que atraem seu cajado. A regi˜ao chama-se Magn´esia; ∼ 600a.C. Gr´ecia Antiga: os gregos j´a conheciam algumas propriedades el´etricas. O ˆambar quando atritado poderia atrair objetos leves - Tales de Mileto; ∼ 480 a.C. Atomismo: Leucipo de Mileto e Dem´ocrito, de Abdera, elaboraram a hip´otese de a mat´eria ser constitu´ıda por ´atomos; 295 a.C. Eucilhes publica estudos de ´optica; ∼ 121 d.C. Primeiros fenˆomenos magn´eticos foram observados com ´ım˜as permanentes provenientes da regi˜ ao da Magn´esia pelos gregos 800 a.C., Lucretius, etc. Desde 121 d.C. os chineses j´a conheciam propriedades magn´eticas e sabiam que uma barra de ferro poderia ser imantada na presen¸ca de um ´ım˜a natural. Conheciam o efeito b´ ussola. Idade Moderna 1088 : B´ ussola pela primeira vez ´e descrita por Shen Kua Yao (1040); 1269 : Pierre de Maricourt (Petrus Peregrinus) descobre que ´ım˜as naturais esf´ericos (pedra-´ım˜ a) alinham agulhas com linhas de longitude apontando entre dois p´olos sobre a pedra; Sec. XV I Girolamo Cardano (1501-1576) elabora a diferen¸ca entre ˆambar e pedra-´ım˜a; 1600: o inglˆes William Gilbert publica De magnete, sobre eletricidade e magnetismo. O pr´oprio globo terrestre ´e um grande ´ım˜a. Fenˆomenos ligados ao magnetismo: 1. Atra¸c˜ao; 2. Alinhamento com a dire¸c˜ao Norte-Sul; 3. Declina¸c˜ao, ou desvio em rela¸c˜ao ao meridiano; 4. Inclina¸c˜ao (o ˆ angulo em rela¸c˜ao ao plano horizontal); 5. Revolu¸c˜ao ou movimento circular. O primeiro tratado sobre eletricidade: distin¸c˜ao entre os fenˆomenos magn´eticos e os el´etricos: todos os materiais (ˆ ambar) que atraem palha (e outros objetos leves) quando atritados. Fabricou o primeiro eletrosc´ opio. A rota¸c˜ao da Terra est´a relacionada com o magnetismo; S´ec XV II: Galileu Galilei e o nascimento da F´ısica. 1600 − 1700: Robert Boyle, Stephen Gray, Charles Duffay, que estudam a condu¸c˜ao e tipos de cargas el´etricas; ´ 1648: em Optica o holandˆes Villebrordus Snellius descobre a lei da refra¸c˜ao da luz. 7 1665: em 1665 Isaac Newton faz suas primeiras hip´oteses sobre gravita¸c˜ao. Newton prop˜oe a teoria corpuscular da luz. 1676: o dinamarquˆes Olaus R¨omer descobre que a velocidade da luz ´e finita. 1678: Huygens descobre a polariza¸c˜ao da luz. 1687: Newton publica Philosophiae naturalis principia mathematica, em que enuncia a lei da gravita¸c˜ ao universal e resume suas descobertas. 1690: Huygens formula a teoria ondulat´oria da luz. 1745: o alem˜ao Ewald J¨ urgen von Kleist inventa o capacitor el´etrico - garrafa de Leyden. 1750: Benjamin Franklin prop˜oe um modelo: um u ´nico fluido com dois estados de eletrifica¸c˜ao. Conserva¸c˜ao de carga el´etrica total de dois tipos: positivas e negativas; 1750: John Mitchell: A a¸c˜ao de um ´ım˜a sobre outro pode ser deduzida a partir de uma lei de for¸ca que varia com o inverso do quadrado da distˆancia entre os p´olos individuais do ´ım˜a. 1767 Joseph Priestley: “N˜ao h´a carga el´etrica dentro de um corpo met´alico”. 1772: Henry Cavendish: An Attempt to Explain some of the Principal Phenomena of Electricity, by Means of an Elastic Fluid. Experimentos n˜ao-publicados: estudos de capacitˆancia e medidas de correntes el´etricas; 1785: o francˆes Charles Augustin Coulomb enuncia a lei das for¸cas eletrost´aticas e inaugura um novo rumo para a pesquisa em eletricidade e magnetismo: independentemente inventa uma balan¸ca de tors˜ao e mostra a lei do inverso do quadrado da distˆancia para as cargas el´etricas; verifica a lei de Mitchell para ´ım˜as e sugere ser imposs´ıvel separar dois p´olos sem criar mais dois p´ olos em cada parte do ´ım˜a. 1791: Luigi Galvani: Coment´arios sobre a For¸ca El´etrica nos Movimentos Musculares; 1799: Alessandro Volta: Pilha Voltaica; Idade Contemporˆ anea 1799: o alem˜ao Friedrich Herschel descobre a existˆencia dos raios infravermelhos. 1801: o inglˆes Thomas Young descobre as interferˆencias luminosas. O alem˜ao Carl Ritter descobre o raio ultravioleta. 1811: o inglˆes Humphry Davy inventa o arco el´etrico. O francˆes Augustin Fresnel faz pesquisas sobre a difra¸ca˜o da luz. 1819: o francˆes Augustin Fresnel desenvolve a teoria ondulat´oria da luz. 1820: Andr`e Marie Amp`ere (1775-1836):“Duas correntes se atraem quando se movem paralelamente, no mesmo sentido e se repelem quando se movem paralelamente, em sentidos contr´arios”. A deflex˜ ao da agulha de uma b´ ussola causada por uma corrente el´etrica poderia ser usada para medir a 8 intensidade da corrente (princ´ıpio do galvanˆometro). Modelo de ´ım˜as em termos de correntes el´etricas moleculares. Sua formula¸c˜ao inaugura o estudo da eletrodinˆamica independentemente da eletrost´atica; Laplace calcula a for¸ca eletromagn´etica. Os franceses Jean-Baptiste Biot e F´elix Savart encontram uma express˜ao para a intensidade da for¸ca magn´etica produzida por um pequeno segmento de um fio conduzindo uma corrente el´etrica. Hans C. Oersted descreve o desvio produzido pelas correntes el´etricas sobre a agulha da b´ ussola. 1821: Fresnel efetua as primeiras medi¸c˜oes de comprimento de onda el´etrica. 1827: o alem˜ao Georg Ohm formula a lei que relaciona o potencial, a resistˆencia e a corrente el´etrica. 1831: Faraday descobre a indu¸c˜ao eletromagn´etica e concebe o conceito de campo de for¸cas. Henry chega aos mesmos resultados. James Clerck Maxwell afirma o car´ater eletromagn´etico da luz. 1833: o russo Heinrich Lenz determina a lei de sentido das correntes induzidas. 1834: Faraday formula as leis da eletr´olise. Wheatstone descobre o processo para medir a velocidade de uma carga el´etrica num campo condutor. 1839: o francˆes Antoine Becquerel descobre a c´elula fotovoltaica. 1846: o alem˜ao Ernest Weber constr´oi o primeiro eletrodinamˆometro, para medir a for¸ca de atra¸c˜ ao entre cargas el´etricas. 1849: o francˆes Armand Fizeau mede a velocidade da luz. 1851: o alem˜ao Franz Ernst Neumann formula a lei da indu¸c˜ao eletromagn´etica. 1855: o francˆes Leon Foucault descobre as corrente induzidas nos condutores met´alicos. 1865: o escocˆes James Clerk Maxwell exp˜oe a teoria eletromagn´etica da luz. 1873: Maxwell publica o seu Treatise on Eletricity and Magnetism. 1880: James Wimshurt, inglˆes inventa o gerador eletrost´atico. 1881: o inglˆes James Alfred Ewing e o alem˜ao Emil Warburg descobrem a histeresse magn´etica (campo residual de um objeto ferromagn´etico). 1884: o americano Thomas Edison faz a primeira v´alvula eletrˆonica. 1887: o alem˜ao Heirich Rudolf Hertz descobre o efeito fotoel´etrico. Os americanos Albert Michelson e Edward Williams Morley mostram a constˆancia da velocidade da luz. 1888: trabalhando separadamente, Hertz e Oliver Lodge estabelecem que as ondas de r´adio pertencem `a mesma fam´ılia das ondas de luz. 1895: Jean-Baptiste Perrin, francˆes demonstra que os raios cat´odicos transportam eletricidade negativa. O alem˜ao Wilhelm R¨ontgen descobre os raios X. O holandˆes Hendrik A. Lorentz desenvolve um modelo atˆomico que permite explicar a estrutura fina dos espectros atˆomicos, e d´ a contribui¸c˜oes fundamentais para a Eletrodinˆamica dos corpos em movimento (for¸ca de Lorentz). 9 1896: Ernest Rutherford, da Nova Zelˆandia, descobre o processo de detec¸c˜ao magn´etica das ondas eletromagn´eticas. Marconi entre 1896 e 1902 - Inven¸c˜ao da radiotransmiss˜ao. (Brasileiro Padre Landell de Moura tamb´em). 1901: Planck inicia a Mecˆanica Quˆantica com estudos sobre a radia¸c˜ao do corpo negro. O russo Piotr Liebedev prova experimentalmente a press˜ao da luz. 1902: Oliver Heaviside, inglˆes afirma existir uma camada altosf´erica que favorece a refra¸c˜ao das ondas de r´adio. 1904 − 1905 Lorentz, Einstein, Poincar`e e outros desenvolvem a Teoria Especial da Relatividade, que nasce a partir do Eletromagnetismo. Conceito de f´oton ´e introduzido por Einstein, na explica¸c˜ ao para o efeito fotoel´etrico (car´ater corpuscular da radia¸c˜ao). 1911: o americano Robert Millikan mede a carga do el´etron. 1913: o alem˜ao Johannes Stark descobre a a¸c˜ao do campo el´etrico sobre a luz . O dinamarquˆes Niels Bohr formula a teoria da estrutura atˆomica segundo a teoria quˆantica. D´ec.1920 Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Bohr, Paul Dirac, Erwin Schroedinger e outros desenvolvem formalmente a Mecˆanica Quˆantica. 1932: o americano Robert van der Graaeff constr´oi a primeira m´aquina eletrost´atica. ´ uma das teorias mais bem D´ec. 1940 Eletrodinˆamica Quˆantica por Feynmann, Tomonaga e outros. E sucedidas da F´ısica. 1.2 Limites de Validade do Eletromagnetismo Toda teoria da F´ısica constitui um conjunto de leis matem´aticas e postulados com o intuito de descrever o mundo real. Podemos dizer que todas as teorias tem um limite de validade, a partir do qual, ela n˜ao ´e mais v´alida para descrever os fenˆomenos f´ısicos envolvidos. Como um exemplo bem conhecido podemos citar a Mecˆanica Newtoniana: a Mecˆanica Newtoniana ´e v´alida para descrever os fenˆomenos f´ısicos macrosc´opicos e de baixas velocidades. Para altas velocidades temos que apelar para a teoria mais geral da Relatividade, ao passo que o mundo microsc´opico deve ser descrito pela Mecˆ anica Quˆantica, sendo a teoria de Newton obtida das Teorias da Relatividade e Mecˆanica Quˆantica no limite de baixas velocidades (velocidade da luz pode ser considerada como infinita nesse caso c = 3 × 108 m/s → ∞) e de corpos macrosc´opicos (quando podemos considerar efetivamente que a constante de Planck ~ → 0). Portanto ´e natural perguntar quais os limites de validade para a aplica¸c˜ao do Eletromagnetismo cl´assico. A resposta ´e: para todas as situa¸c˜oes pr´aticas do mundo macrosc´opico e mesmo para v´ arias situa¸c˜oes no mundo macrosc´opico, as equa¸c˜oes do Eletromagnetismo s˜ao v´alidas. Elas respeitam a teoria da Relatividade, e de fato a teoria da Relatividade foi derivada do Eletromagnetismo. Mesmo no dom´ınio da Mecˆanica Quˆantica as equa¸c˜oes de Maxwell tem a mesma forma. Apenas a interpreta¸c˜ao dos campos el´etrico e magn´etico, que classicamente s˜ao fun¸c˜oes vetoriais simples, modifica-se, e estes ent˜ao s˜ao concebidos como operadores matem´aticos. Para exemplificar, classicamente Ex ´e a componente x do campo el´etrico, sendo uma fun¸c˜ao escalar do espa¸co e do tempo. Na 10 Mecˆanica Quˆantica Ex ´e a componente x do operador campo el´etrico, que ´e um operador matem´ atico, representado na forma de uma matriz (e n˜ao mais um escalar). Esse operador ´e respons´avel pela cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao de f´otons, que s˜ao as part´ıculas associadas ao campo eletromagn´etico. Vamos colocar alguns limites agora. O Eletromagnetismo cl´assico pressup˜oe a existˆencia de cargas puntuais. Entretanto uma carga puntual tem dimens˜ao nula e energia pr´opria infinita pois sua densidade de carga ´e infinita no ponto. Experimentalmente ´e estabelecido que a lei de Coulomb varia com 1/r2 . Sabemos para uma carga puntual o campo el´etrico em r = 0 vai a infinito, e ent˜ ao n˜ ao poder´ıamos usar o Eletromagnetismo como conhecemos em r = 0 (esse ´e um problema que persiste nas teorias da F´ısica). Apenas para estimativa, a energia de auto-intera¸c˜ao associada a uma carga el´etrica e (igual `a carga do el´etron) ´e dada por: U= 1 e2 4πε0 r0 onde r0 ´e o raio do el´etron (que idealmente ´e r0 = 0 e ent˜ao ter´ıamos energia de auto-intera¸c˜ ao infinita). Se toda essa energia de auto-intera¸c˜ao que ´e de origem eletromagn´etica, puder ser associada `a energia de repouso mc2 , da part´ıcula, temos: mc2 = 1 e2 4πε0 r0 de onde resulta: 1 e2 ≈ 2.8 × 10−15 m 4πε0 mc2 este raio seria o limite de validade, o qu˜ao pr´oximo poder´ıamos chegar de um el´etron para medir o campo, pelas leis cl´assicas. Considera¸c˜oes de origem quˆantica corrigem algumas distor¸c˜oes e imp˜ oe um raio eletrˆonico muito menor que r0 , aqui estimado, portanto podemos ficar tranquilos quanto ` a distˆancia m´ınima de uma carga para o qual vale o Eletromagnetismo. Outro problema ´e saber quando temos que usar uma teoria quˆantica, onde ´e evidente a dualidade onda-part´ıcula para os f´otons. De fato, quase sempre ´e poss´ıvel para as aplica¸c˜oes rotineiras utilizar o Eletromagnetismo cl´assico. Sempre ´e poss´ıvel utiliz´a-lo quando o n´ umero de f´otons ´e muito grande em um dado volume considerado. A energia de um u ´nico f´oton ´e dada por: r0 = Ef = ~ω = hf A potˆencia irradiada por uma fonte isotr´opica ´e P0 tal que o fluxo de potˆencia (potˆencia por unidade de ´area) ´e dado por: P0 S= 4πr2 O fluxo de potˆencia em um volume V = Adl, que atravessa uma superf´ıcie de ´area A em um tempo ∆t = dl/c ´e dado por: S ET = V c Para essa quantidade de energia no volume V um n´ umero N de f´otons ´e dado por: N= P0 V ET = Ef 4πc~ωr2 Se o volume ´e da ordem de V = λ3 , onde λ = c/f = 2πc/ω ´e o comprimento de ondas temos: N= 2π 2 c2 P0 ~ω 4 r2 11 Para uma esta¸c˜ao de FM operando em f = 100 MHz e irradiando 1 kW de potˆencia, a 1 km de distˆancia, o n´ umero de f´otons N no volume V = λ3 ´e da ordem de 101 4, e ´e perfeitamente aceit´ avel omitir o car´ater discreto da radia¸c˜ao. Os efeitos quˆanticos associados ao conceito de f´oton para explicar a radia¸c˜ao eletromagn´etica somente se mostram para um n´ umero muito pequeno de f´otons. Portanto podemos dizer que o Eletromagnetismo cl´assico ´e uma teoria estat´ıstica do comportamento de um grande n´ umero de f´otons e para a maioria das aplica¸c˜oes ´e perfeitamente aceit´avel. 1.3 Importˆ ancia e Aplica¸ c˜ oes do Eletromagnetismo na Ciˆ encia e na Engenharia A sociedade atual ´e em uma “sociedade eletromagn´etica”, pois a maioria dos sistemas e dispositivos utilizados operam com base em fenˆomenos eletromagn´eticos. Apenas para citar alguns exemplos: - os sistemas de potˆencia, respons´aveis pelo fornecimento de energia para ind´ ustrias, residˆencias, etc. S˜ao utilizados motores, geradores e linhas de transmiss˜ao de energia. Tanto motores, aquecedores e outros equipamentos de uso industrial quando pequenos aparelhos dom´esticos (liquidificador, secador de cabelo, televisor, lˆampadas, etc) utilizam energia el´etrica; - equipamentos biom´edicos: sistemas de monitoramento, aparelhos cir´ urgicos e outros, que requerem cuidados especiais, inclusive quanto `as instala¸c˜oes de potˆencia e aterramentos; - sistemas de uso militar: radares de microondas para detec¸c˜ao de alvos, rastreamento e monitoramento, armas de pulsos eletromagn´eticos, navega¸c˜ao a´erea e mar´ıtima, e outros; - comunica¸c˜oes: todos os tipos, abrangendo um amplo espectro de frequˆencias, desde ondas curtas em RF at´e sistemas ´opticos. Radiodifus˜ao e transmiss˜oes de TV, TV a cabo, telefonia m´ ovel e fixa, Internet, comunica¸c˜oes via sat´elite, etc, praticamente poluindo nosso espa¸co atmosf´erico com sinais eletromagn´eticos; - sistemas de radar e posicionamento civis, de pol´ıcia e para navega¸c˜ao comercial, em aeroportos, etc; - sensoreamento de diversos tipos, utilizando transdutores cujo sinal de sa´ıda ´e sempre um sinal el´etrico (para medir temperatura, movimento, campos, etc); Qualquer corpo ´e constitu´ıdo de ´atomos. Sabemos que um ´atomo ´e constitu´ıdos de cargas el´etricas em movimento (n´ ucleo e el´etrons). Logo a intera¸c˜ao eletromagn´etica ´e fundamental na compreens˜ ao das propriedades f´ısicas e qu´ımicas da mat´eria, desde o ´atomo isolado at´e c´elulas vivas. Como consequˆencia a maior parte da qu´ımica, biologia e f´ısica utiliza propriedades da intera¸c˜ao eletromagn´etica. Al´em disso, o Eletromagnetismo ´e a primeira teoria unificada e bem sucedida de fenˆomenos naturais e forma um dos pilares da F´ısica. A teoria eletromagn´etica serve de paradigma para a constru¸c˜ ao de teorias unificadoras. Cap´ıtulo 2 Vetores e Fasores A ´algebra vetorial constitui o ferramental matem´atico b´asico para a compreens˜ao da teoria eletromagn´etica de forma mais clara e objetiva. Neste cap´ıtulo os principais conceitos e teoremas associados ao c´alculo vetorial e que ser˜ao u ´teis futuramente ser˜ao revisados. 2.1 Defini¸ c˜ oes, Propriedades e Opera¸ c˜ oes com Vetores Em teoria eletromagn´etica duas quantidades, escalares e vetores, s˜ao igualmente importantes, e ser˜ ao definidas e descritas a seguir. Campo Escalar Φ: uma quantidade escalar, ou simplesmente, escalar, em nosso caso ´e um ente f´ısico que pode ser representado simplesmente por uma magnitude, n˜ao tendo dire¸c˜ao nem sentido. Exemplos familiares para esta quantidade s˜ao: Temperatura e Press˜ao, Densidade de Massa. Essas quantidades apresentam apenas magnitude, muito embora esta magnitude possa ser uma fun¸c˜ ao do espa¸co e do tempo. Campo Vetorial A: ´e uma grandeza que necessariamente precisa de magnitude, dire¸c˜ao e sentido para ser completamente caracterizada. Em geral representa-se graficamente um vetor por uma seta. Exemplos bem conhecidos s˜ao a velocidade, o vetor posi¸c˜ao, campo el´etrico e magn´etico, gradiente de temperatura. Para ficar clara a diferen¸ca vamos usar a temperatura como exemplo: a temperatura por si s´ o ´e um escalar, caracterizado apenas por um n´ umero em cada ponto do espa¸co e em cada tempo. Entretanto se queremos uma medida da varia¸c˜ao de temperatura de um ponto a outro, temos o gradiente de temperatura, e este ´e um vetor. A temperatura de um ponto ´e um escalar, mas a varia¸c˜ao desse escalar de ponto a ponto assume uma caracter´ıstica de vetor, dado que al´em da magnitude da varia¸c˜ ao, essa varia¸c˜ao pode ser diferente nas diferentes dire¸c˜oes. ´ importante notar que tanto um escalar Φ quanto um vetor A n˜ao devem depender do sistema E de coordenadas escolhido para represent´a-lo. Deve ficar claro que o vetor A ´e independente da representa¸c˜ao mas as suas componentes sim, dependem da representa¸c˜ao, ou coordenadas. Uma vez definido o que s˜ao escalares e vetores, vamos estudar as principais propriedades de escalares e vetores. 12 13 2.1.1 Propriedades B´ asicas de Escalares Algumas propriedades b´asicas de quantidades escalares s˜ao a comutatividade das opera¸c˜oes de soma e produto. Sejam duas quantidades escalares Φ e Ψ: Ψ ± Φ = ±Φ + Ψ (2.1) ΨΦ=ΦΨ ∂Φ ∂Ψ ∂ (Φ Ψ) = Ψ+Φ ∂xi ∂xi ∂xi ∂ ∂ ∂ (Φ + Ψ) = (Φ) + (Ψ) ∂xi ∂xi ∂xi (2.2) (2.3) (2.4) onde xi ´e uma componente do sistema coordenado utilizado (x1 , x2 , x3 ). 2.1.2 Propriedades B´ asicas da Soma de Vetores A opera¸c˜ao mais b´asica que se pode realizar com vetores ´e a soma. A soma de vetores ´e associativa, distributiva e comutativa. Sejam os vetores A, B e C: A+B=B+A (2.5) A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B (2.6) A − B = A + (−B) (2.7) onde o negativo de um vetor ´e um vetor com mesma magnitude e dire¸c˜ao mas no sentido contr´ ario. Figura 2.1: Soma de Vetores Na Figura 2.1.2 mostramos a regra do paralelogramo, um m´etodo gr´afico simples para adicionar vetores, u ´til para visualiza¸c˜ao em alguns problemas. 2.1.3 Produtos Vetoriais e Propriedades Diferentemente dos escalares, onde definimos um u ´nico produto escalar, para os vetores podemos definir dois tipos de produtos: o produto escalar na qual dois vetores s˜ao combinados para resultar em uma quantidade escalar, e um produto vetorial, no qual dois vetores s˜ao combinados por uma 14 multiplica¸c˜ao cujo resultado ´e tamb´em um vetor. As propriedades desses produtos n˜ao s˜ao iguais, quanto `a comutatividade por exemplo. Produto Escalar O produto escalar de dois vetores resulta em uma quantidade escalar. Define-se produto escalar da seguinte maneira: A · B = |A| |B| cos θ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 (2.8) onde θ ´e o ˆangulo formado pelos vetores A e B. Podemos interpretar esse produto como a proje¸c˜ ao do vetor A sobre o vetor B e vice-versa. O produto escalar ´e comutativo, ou seja: A·B=B·A (2.9) Figura 2.2: Produto Escalar de Vetores A Figura 2.1.3 mostra os dois vetores A e B, e o ˆangulo θ formado entre eles. Do produto escalar podemos determinar a magnitude de qualquer vetor real: A · A = |A|2 de onde tiramos portanto que: |A| = √ A·A (2.10) Para um vetor cujos componentes sejam complexos, isto ´e, um vetor complexo A, podemos escrever uma quantidade positiva definida na forma: |A| = √ A∗ · A (2.11) que representa a magnitude desse vetor. Produto Vetorial Define-se o produto vetorial da seguinte maneira: A×B=ˆ a1 (A2 B3 − A3 B2 ) + ˆ a2 (A3 B1 − A1 B3 ) + ˆ a3 (A1 B2 − A2 B1 ) (2.12) |A × B| = |A| |B| sin θ (2.13) onde θ ´e o ˆangulo formado pelos vetores A e B. Este produto pode ser interpretada como o vetor ´ area do paralelogramo que pode ser formado pelos dois vetores, sendo que o vetor resultante ´e ortogonal aos outros dois. 15 Figura 2.3: Produto Vetorial entre dois Vetores O produto vetorial n˜ao ´e comutativo, ou seja, a ordem dos vetores importa na multiplica¸c˜ ao, e temos: A × B = −B × A (2.14) Mostramos esquematicamente na Figura 2.1.3 um m´etodo gr´afico para determinar a dire¸c˜ ao e sentido do vetor resultante, no produto vetorial. O m´etodo ´e o do parafuso, ou da m˜ao direita. O produto vetorial de A com B tem magnitude |A| |B| sin θ, onde θ ´e o ˆangulo formado pelos dois vetores. A dire¸c˜ao do vetor resultante ´e ortogonal a A e B simultaneamente. Para determinar o sentido ´e que usa-se a regra do parafuso. Devemos rodar o vetor A em dire¸c˜ao ao vetor B, e ent˜ ao utilizar a conhecida regra da m˜ao direita ou do parafuso. Cria-se uma parede imagin´aria, na ponta do parafuso e ent˜ao, roda-se o parafuso no mesmo sentido que fizemos com o vetor A. Se o sentido for hor´ario, o parafuso entra na parede hipot´etica e ent˜ao, o sentido ´e para cima, ou para dentro da parede. Em caso contr´ario, trocamos o sinal. 2.1.4 Vetores Unit´ arios Um vetor unit´ario ´e utilizado sempre que queremos caracterizar uma dire¸c˜ao e sentido, apenas. Dessa forma, um vetor unit´ario adquire magnitude unit´aria, tem apenas dire¸c˜ao e sentido. Podemos caracterizar qualquer vetor de magnitude diferente de 1 atrav´es de vetores unit´arios. A defini¸c˜ ao segue abaixo: A (2.15) ˆ aA = |A| onde ˆ aA ´e um vetor de magnitude 1 na dire¸c˜ao e sentido do vetor A. Note que para um outro vetor qualquer paralelo a A mas com magnitude diferente de |A|, o vetor unit´ario resultante ´e o mesmo. Por isso a importˆancia do vetor unit´ario: podemos caracterizar um vetor qualquer por sua magnitude vezes o vetor unit´ario, que cont´em a informa¸c˜ao de dire¸c˜ao e sentido do vetor apenas. No espa¸co tridimensional R3 definem-se trˆes vetores unit´arios (ˆ a1 , ˆ a2 , ˆ a3 ) ortonormais entre si, que formam uma base de vetores unit´arios completa para a caracteriza¸c˜ao de quaisquer outros vetores do espa¸co tridimensional. As propriedades de produto escalar e produto vetorial entre esses vetores ficam 16 definidas abaixo: ˆ ai · ˆ aj = δij (2.16) ˆ ai × ˆ aj = εijk ˆ ak (2.17) onde δij ´e a fun¸c˜ao de Kronecker e εijk ´e o tensor de permuta¸c˜ao:   1 i=j δij = 0 i 6= j εijk    1 ijk = 1, 2, 3 e permut. cicl.  −1 ijk = 2, 1, 3 e permut. cicl. =   0 i = j ou i = k ou j = k (2.18) (2.19) Na forma expl´ıcita temos: 2.2 ˆ a1 · ˆ a1 = ˆ a2 · ˆ a2 = ˆ a3 · ˆ a3 = 1 (2.20) ˆ a1 · ˆ a2 = ˆ a2 · ˆ a3 = ˆ a3 · ˆ a1 = 0 (2.21) ˆ a1 × ˆ a1 = ˆ a2 × ˆ a2 = ˆ a3 × ˆ a3 = 0 (2.22) ˆ a1 × ˆ a2 = ˆ a3 = −ˆ a2 × ˆ a1 (2.23) ˆ a2 × ˆ a3 = ˆ a1 = −ˆ a3 × ˆ a2 (2.24) ˆ a3 × ˆ a1 = ˆ a2 = −ˆ a1 × ˆ a3 (2.25) Sistemas de Coordenadas e Transforma¸ c˜ oes entre Sistemas Existe uma infinidade de sistemas coordenados, dos quais, os mais u ´teis e usuais s˜ao os sistemas cartesiano ou retangular, cil´ındrico circular e esf´erico. Como dito anteriormente, um vetor n˜ao depende do sistema coordenado que est´a sendo utilizado, e por isso, ´e importante levar em conta as simetrias do problema a ser resolvido e optar pelo sistema de coordenadas mais adequado. 2.2.1 Coordenadas Retangulares (x, y, z) Este sistema ´e o mais convencional. Para caracterizar um ponto utilizamos 3 n´ umeros (x, y, z) que representam simplesmente profundidade, largura e altura, em rela¸c˜ao a uma origem (0, 0, 0). Um vetor A qualquer nessas coordenadas ´e representado por: A = Ax ˆ a x + Ay ˆ ay + Az ˆ az sendo (ˆ ax , ˆ ay , ˆ az ) os vetores unit´arios nessa representa¸c˜ao: ˆ ax · ˆ ax = ˆ ay · ˆ ay = ˆ az · ˆ az = 1 ˆ ax · ˆ ay = ˆ ay · ˆ az = ˆ az · ˆ ax = 0 ˆ ax × ˆ ax = ˆ ay × ˆ ay = ˆ az × ˆ az = 0 ˆ ax × ˆ ay = ˆ az = −ˆ ay × ˆ ax ˆ ay × ˆ az = ˆ ax = −ˆ az × ˆ ay ˆ az × ˆ ax = ˆ ay = −ˆ ax × ˆ az (2.26) 17 Elemento diferencial de comprimento, ´ area e volume dl = dx ˆ ax + dy ˆ ay + dz ˆ az (2.27) dS = dy dz ˆ ax + dz dx ˆ ay + dx dy ˆ az (2.28) dV = dx dy dz (2.29) Onde devemos tomar cuidado sempre com o sinal de dS, pois um elemento de ´area aponta sempre para fora da superf´ıcie. Um elemento diferencial de ´area ´e sempre obtido atrav´es de dS = dl1 × dl2 ou seja, o produto vetorial entre dois elementos de comprimento, por isso o vetor ´area ´e sempre perpendicular `a superf´ıcie. J´a um elemento diferencial de volume ´e dado por um produto triplo de vetores. dV = dx dy dz ˆ ax · (ˆ ay × ˆ az ) = dx dy dz 2.2.2 Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z) Este sistema ´e muito u ´til em problemas de simetria cil´ındrica. Para caracterizar um ponto utilizamos 3 n´ umeros (ρ, ϕ, z) que representam simplesmente uma distˆancia radial em rela¸c˜ao ao eixo z, dado por ρ, um ˆangulo azimutal ϕ em rela¸c˜ao ao eixo x e uma altura z. Um vetor A qualquer em coordenadas cil´ındricas ´e representado por: A = Aρ ˆ aρ + Aϕ ˆ aϕ + Az ˆ az (2.30) sendo (ˆ aρ , ˆ aϕ , ˆ az ) os vetores unit´arios nessa representa¸c˜ao: ˆ aρ · ˆ aρ = ˆ aϕ · ˆ aϕ = ˆ az · ˆ az = 1 ˆ aρ · ˆ aϕ = ˆ aϕ · ˆ az = ˆ az · ˆ aρ = 0 ˆ aρ × ˆ aρ = ˆ aϕ × ˆ aϕ = ˆ az × ˆ az = 0 ˆ aρ × ˆ aϕ = ˆ az = −ˆ aϕ × ˆ aρ ˆ aϕ × ˆ az = ˆ aρ = −ˆ az × ˆ aϕ ˆ az × ˆ aρ = ˆ aϕ = −ˆ aρ × ˆ az Elemento diferencial de comprimento, ´ area e volume 2.2.3 dl = dρ ˆ aρ + ρdϕ ˆ aϕ + dz ˆ az (2.31) dS = ρdϕ dz ˆ aρ + dρ dz ˆ aϕ + ρdρ dϕ ˆ az (2.32) dV = ρdρ dϕ dz (2.33) Coordenadas Esf´ ericas (r, θ, ϕ) Este sistema ´e u ´til em problemas de simetria esf´erica. Para caracterizar um ponto utilizamos 3 n´ umeros (r, θ, ϕ) que representam simplesmente uma distˆancia radial em rela¸c˜ao ao ponto (0, 0, 0), e 18 dois ˆangulos θ e ϕ que caracterizam o ponto atrav´es da inclina¸c˜ao de r em rela¸c˜ao aos eixos x e z, respectivamente. Um vetor A qualquer nessas coordenadas ´e representado por: A = Ar ˆ a r + Aθ ˆ aθ + Aϕ ˆ aϕ (2.34) sendo (ˆ ar , ˆ aθ , ˆ aϕ ) os vetores unit´arios nessa representa¸c˜ao: ˆ ar · ˆ ar = ˆ aθ · ˆ aθ = ˆ aϕ · ˆ aϕ = 1 (2.35) ˆ ar · ˆ aθ = ˆ aθ · ˆ aϕ = ˆ aϕ · ˆ ar = 0 (2.36) ˆ ar × ˆ ar = ˆ aθ × ˆ aθ = ˆ aϕ × ˆ aϕ = 0 (2.37) ˆ ar × ˆ aθ = ˆ aϕ = −ˆ aθ × ˆ ar (2.38) ˆ aθ × ˆ aϕ = ˆ ar = −ˆ aϕ × ˆ aθ (2.39) ˆ aϕ × ˆ ar = ˆ aθ = −ˆ ar × ˆ aϕ (2.40) Elemento diferencial de comprimento, ´ area e volume dl = dr ˆ ar + rdθ ˆ aθ + r sin θ dϕ ˆ aϕ (2.41) dS = r sin θ dθ dϕ ˆ ar + r sin θ dr dϕ ˆ aθ + rdr dθ ˆ aϕ (2.42) dV = r2 sin θ dr dθ dϕ (2.43) 2 2.2.4 Transforma¸c˜ oes entre Coordenadas Como dito anteriormente um vetor pode ser representado, equivalentemente, em diferentes sistemas coordenados. O vetor ´e independente da representa¸c˜ao, mas suas componentes dependem dela. Muitas vezes um vetor est´a representado em um sistema de coordenadas e desejamos converter suas com´ o que demonstraremos aqui. Dado um vetor A, a ponentes para outro sistema de coordenadas. E representa¸c˜ao de A em um sistema coordenado ´e obtida pela proje¸c˜ao de A sobre cada um dos vetores unit´arios do sistema adotado, ou seja, A = (A · ˆ a1 ) ˆ a1 + (A · ˆ a2 ) ˆ a2 + (A · ˆ a3 ) ˆ a3 = (A · ˆ ax ) ˆ ax + (A · ˆ ay ) ˆ ay + (A · ˆ az ) ˆ az = (A · ˆ aρ ) ˆ aρ + (A · ˆ aϕ ) ˆ aϕ + (A · ˆ az ) ˆ az = (A · ˆ ar ) ˆ ar + (A · ˆ aθ ) ˆ aθ + (A · ˆ aϕ ) ˆ aϕ (2.44) portanto a componente Ai de um vetor, num sistema coordenado com vetores unit´arios (ˆ a1 , ˆ a2 , ˆ a3 ) ser´a dada por: Ai = A · ˆ ai Transforma¸ c˜ ao entre coordenadas cartesianas e cil´ındricas Para a transforma¸c˜ao de coordenadas (x, y, z) → (ρ, ϕ, z), temos: p ρ = x2 + y 2 y ϕ = arctan x z=z (2.45) (2.46) (2.47) 19 ou (ρ, ϕ, z) → (x, y, z): x = ρ cos ϕ (2.48) y = ρ sin ϕ (2.49) z=z (2.50) Dado um vetor A cuja representa¸c˜ao em coordenadas retangulares ´e conhecida: A = Ax ˆ ax + Ay ˆ ay + Az ˆ az queremos a sua representa¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas. Para tanto devemos projetar o vetor nos vetores unit´arios das coordenadas cil´ındricas: Aρ = A · ˆ aρ = Ax ˆ ax · ˆ aρ + Ay ˆ ay · ˆ a ρ + Az ˆ az · ˆ aρ Aϕ = A · ˆ a ϕ = Ax ˆ ax · ˆ aϕ + Ay ˆ ay · ˆ aϕ + Az ˆ az · ˆ aϕ Az = A · ˆ az = Ax ˆ ax · ˆ az + Ay ˆ ay · ˆ az + Az ˆ az · ˆ az e que podemos escrever em termos de uma equa¸c˜ao matricial:        Aρ ˆ ax · ˆ aρ ˆ ay · ˆ aρ ˆ az · ˆ aρ Ax Ax  Aϕ  =  ˆ ax · ˆ aϕ ˆ ay · ˆ aϕ ˆ az · ˆ a ϕ   Ay  = U  Ay  Az ˆ ax · ˆ az ˆ ay · ˆ az ˆ az · ˆ az Az Az (2.51) onde U ´e a matriz de transforma¸c˜ao   ˆ ax · ˆ aρ ˆ ay · ˆ aρ ˆ az · ˆ aρ ax · ˆ aϕ ˆ ay · ˆ aϕ ˆ az · ˆ aϕ  U = ˆ ˆ ax · ˆ az ˆ ay · ˆ az ˆ az · ˆ az Uma vez conhecida essa transforma¸c˜ao, podemos obter a transforma¸c˜ao inversa, que significa que conhecemos o vetor A em coordenadas cil´ındricas inicialmente e o projetamos na representa¸c˜ao cartesiana. ´ poss´ıvel fazer a an´alise novamente, ou inverter diretamente a matriz U de forma que: E         Aρ Ax Ax Aρ  Aϕ  = U  Ay  ↔  Ay  = U −1  Aϕ  (2.52) Az Az Az Az Vamos agora utilizar um princ´ıpio f´ısico: o vetor A possui a mesma magnitude, n˜ao importa a representa¸c˜ao, ou seja, a matriz de transforma¸c˜ao deve preservar a norma do vetor. Isso s´o pode ser feito atrav´es de uma matriz unit´aria, que ´e aquela, em que a transposta conjugada ´e igual `a inversa da matriz original, ou: U U † = U † U = 1 → U −1 = U † e o sinal † denota transposta conjugada. Como os vetores unit´arios que estamos utilizando sendo simplesmente a transposta.  ˆ ax · ˆ aρ ax · ˆ aϕ U (Ret → Cil) =  ˆ ˆ ax · ˆ az s˜ao todos reais, a transposta conjugada acaba  ˆ ay · ˆ aρ ˆ az · ˆ aρ ˆ ay · ˆ aϕ ˆ az · ˆ aϕ  ˆ ay · ˆ az ˆ az · ˆ az 20   ˆ ax · ˆ aρ ˆ ax · ˆ aϕ ˆ ax · ˆ az ay · ˆ aρ ˆ ay · ˆ aϕ ˆ ay · ˆ az  U (Cil → Ret) = U −1 (Ret → Cil) = U † (Ret → Cil) =  ˆ ˆ az · ˆ aρ ˆ az · ˆ aϕ ˆ az · ˆ az Podemos generalizar o resultado acima, para a transforma¸c˜ao entre dois sistemas de coordenadas S(ˆ a1 , ˆ a2 , ˆ a3 ) e S 0 (ˆ a01 , ˆ a02 , ˆ a03 ):  0   0      A1 A1 A1 A1  A02  = U  A2  ↔  A2  = U †  A02  (2.53) A03 A3 A3 A03 sendo  ˆ a01 · ˆ a1 ˆ a01 · ˆ a2 ˆ a01 · ˆ a3 a02 · ˆ a1 ˆ a02 · ˆ a2 ˆ a02 · ˆ a3  U (S → S 0 ) =  ˆ 0 0 0 ˆ a3 · ˆ a1 ˆ a3 · ˆ a2 ˆ a3 · ˆ a3  (2.54) e U † ´e a matriz transposta de U , que ´e igual a sua inversa. Devemos agora calcular os produtos escalares entre os vetores unit´arios das coordenadas cil´ındricas e cartesianas: ˆ aρ · ˆ ax = cos ϕ ˆ aϕ · ˆ ax = − sin ϕ ˆ az · ˆ ax = 0 ˆ aρ · ˆ ay = sin ϕ ˆ aρ · ˆ az = 0 ˆ aϕ · ˆ ay = cos ϕ ˆ aϕ · ˆ az = 0 ˆ az · ˆ ay = 0 ˆ az · ˆ az = 1 (2.55) e ent˜ao podemos escrever explicitamente a matriz U (Ret → Cil), inversa:  cos ϕ sin ϕ U (Ret → Cil) =  − sin ϕ cos ϕ 0 0  cos ϕ − sin ϕ U (Cil → Ret) =  sin ϕ cos ϕ 0 0 cuja transposta d´a a transforma¸c˜ ao  0 0  1  0 0  1 (2.56) (2.57) Com base nestas matrizes agora ´e f´acil escrever os vetores unit´arios de uma base, em termos da outra: ˆ aρ = cos ϕ ˆ ax + sin ϕ ˆ ay ˆ aϕ = − sin ϕ ˆ ax + cos ϕ ˆ ay ˆ az = ˆ az (2.58) ou ˆ ax = cos ϕ ˆ aρ − sin ϕ ˆ aϕ ˆ ay = sin ϕ ˆ aρ + cos ϕ ˆ aϕ ˆ az = ˆ az (2.59) Como o procedimento foi aqui demonstrado, n˜ao iremos dar detalhes para as pr´oximas rela¸c˜ oes de transforma¸c˜ao, ficando como exerc´ıcio para o aluno interessado e apenas os principais resultados 21 ser˜ao mostrados. Transforma¸ c˜ ao entre coordenadas cartesianas e esf´ ericas Para a transforma¸c˜ao de coordenadas (x, y, z) → (r, θ, ϕ), temos: p r = x2 + y 2 + y 2 z  θ = arccos ry  ϕ = arctan x (2.60) (2.61) (2.62) ou (r, θ, ϕ) → (x, y, z): x = r sin θ cos ϕ (2.63) y = r sin θ sin ϕ (2.64) z = r cos θ (2.65) enquanto para a matriz U temos         Ar Ax Ax Ar  Aθ  = U  Ay  ↔  Ay  = U †  Aθ  Aϕ Az Az Aϕ  sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ U (Ret → Esf) =  cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ  − sin ϕ cos ϕ 0   sin cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ U (Esf → Ret) =  sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ  cos θ − sin θ 0 (2.66)  Transforma¸ c˜ ao entre coordenadas cil´ındricas e esf´ ericas Para a transforma¸c˜ao de coordenadas (ρ, ϕ, z) → (r, θ, ϕ), temos: p r = ρ2 + z 2 z  θ = arccos r ϕ=ϕ (2.67) (2.68) (2.69) (2.70) (2.71) ou (r, θ, ϕ) → (ρ, ϕ, z): ρ = r sin θ (2.72) ϕ=ϕ (2.73) z = r cos θ (2.74) enquanto para a matriz U temos         Ar Aρ Aρ Ar  Aθ  = U  Aϕ  ↔  Aϕ  = U †  Aθ  Aϕ Az Az Aϕ (2.75) 22   sin θ 0 cos θ U (Cil → Esf) =  cos θ 0 − sin θ  0 1 0   sin θ cos θ 0 0 1  U (Cil → Esf) =  0 cos θ − sin θ 0 (2.76) (2.77) Apenas como um u ´ltimo coment´ario, o m´odulo do determinante das matrizes de transforma¸c˜ ao ´e 1, significando que os vetores preservam a norma. 2.3 Calculo Vetorial Diferencial e Integral: Teoremas Os vetores, al´em das opera¸c˜oes de somas e produtos, podem ser integrados, ou diferenciados, conforme ser´a mostrado a seguir. 2.3.1 Diferencia¸c˜ ao de Vetores De maneira simplista, a diferencia¸c˜ao de um vetor ´e definida como: ∂A A(xi + ∆xi ) − A(xi ) = lim ∂xi ∆xi →0 ∆xi (2.78) muito embora uma discuss˜ao sobre as formalidades e dificuldades adicionais com a defini¸c˜ao possam ser encontradas na literatura. Aqui damos algumas propriedades de diferencia¸c˜ao de vetores: ∂Ay ∂A ∂Ax ∂Az = ˆ ax + ˆ ay + ˆ az ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂ ∂A ∂B (A + B) = + ∂xi ∂xi ∂xi ∂ ∂Φ ∂A (ΦA) = A+Φ ∂xi ∂xi ∂xi ∂ ∂A ∂B (A · B) = ·B+ ·A ∂xi ∂xi ∂xi ∂ ∂A ∂B (A × B) = ×B+A× ∂xi ∂xi ∂xi (2.79) (2.80) (2.81) (2.82) (2.83) (2.84) Se decompomos o vetor em sua magnitude e dire¸c˜ao, A = A ˆ aA , temos: ∂ ∂A ∂ˆ aA ∂A = (A ˆ aA ) = ˆ aA + A ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi (2.85) Acima xi pode representar qualquer coordenada cartesiana, ou o tempo. 2.3.2 Integra¸c˜ ao de Vetores ´ usual tamb´em em Eletromagnetismo aparecerem integrais, que s˜ao de caminho, de superf´ıcie (dupla) E ou de volume (tripla). De maneira geral temos: Z Z Z Z Adxi = Ax dxi ˆ ax + Ay dxi ˆ ay + Az dxi ˆ az (2.86) Z Z Z Z AdS = Ax dSˆ ax + Ay dSˆ ay + Az dSˆ az (2.87) 23 onde dS aqui pode denotar uma integral de superf´ıcie ou de volume. Integrais de Caminhos S˜ao representadas por: Z Z A · dl = Z Z Ax dx + C C Ay dy + C Az dz (2.88) C e o resultado destas integrais de vetores ´e sempre um escalar, haja vista o produto escalar. Para um H caminho fechado, que encerre uma determinada superf´ıcie S denotamos a integral acima por C A · dl. Integrais de Superf´ıcie S˜ao integrais duplas, que no caso mostrado abaixo redundar˜ao em um escalar: Z Z Z Z A · dS = Ax dSx + Ay dSy + Az dSz S S S (2.89) S onde uma superf´ıcie orientada, ou vetor ´area, sempre aponta para fora da superf´ıcie em quest˜ ao, por isso, em coordenadas cartesianas temos: dS = dSx ˆ ax + dSy ˆ ay + dSz ˆ az sendo: dSx = dydz , dSy = dxdz , dSz = dxdy Uma integral de superf´ıcie fechada, envolvendo um volume total V ´e denotada por H S A · dS. Integrais de Volume S˜ao integrais triplas, onde o elemento dV ou ainda denotado por d3 x ´e um escalar, diferentemente do elemento diferencial de comprimento e do elemento diferencial de superf´ıcie. A integral de um escalar em um volume resulta em um escalar, enquanto a de um vetor resulta em um vetor, como exemplo vamos ter: Z Z Z Z AdV = Ax dV ˆ ax + Ay dV ˆ ax + Az dV ˆ ax (2.90) V V V Z Z A · BdV = V V Z Ax Bx dV + V Z Ay By dV + V Az Bz dV (2.91) V A seguir alguns teoremas e defini¸c˜oes importantes ser˜ao demonstrados e discutidos. 2.3.3 O operador Nabla Define-se o operador Nabla (∇) como um operador diferencial vetorial, que pode ser representado de forma simples em coordenadas cartesianas, conforme mostrado abaixo: ∇=ˆ ax ∂ ∂ ∂ +ˆ ay +ˆ ay ∂x ∂y ∂y e que ´e u ´til para simplificar a nota¸c˜ao das opera¸c˜oes com vetores. (2.92) 24 2.3.4 Derivada Direcional: Gradiente Quando temos uma fun¸c˜ao escalar Φ qualquer, esta ´e representada apenas por uma magnitude, entretando, muitas vezes ´e importante conhecer n˜ao somente a fun¸c˜ao escalar Φ, mas sim sua varia¸c˜ ao de ponto para ponto. Esta varia¸c˜ao n˜ao ´e idˆentica em todas as dire¸c˜oes e portanto adquire um car´ ater vetorial, j´a que precisa ser caracterizada pela magnitude da varia¸c˜ao, e pela dire¸c˜ao da varia¸c˜ ao. Define-se ent˜ao, para uma dire¸c˜ao n ˆ = nx ˆ ax + n y ˆ ay + n z ˆ az + arbitr´aria, a varia¸c˜ao da fun¸c˜ ao: ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = nx + ny + nz ∂n ∂x ∂y ∂z o que podemos escrever em termos do operador nabla, na forma: ∂Φ = (∇Φ) · n ˆ ∂n (2.93) Nesse sentido definimos o gradiente de uma fun¸c˜ao escalar: ´e a derivada direcional na dire¸c˜ ao de m´axima varia¸c˜ao da fun¸c˜ao Φ. De forma mais simplista, o gradiente ´e uma maneira de quantificar a varia¸c˜ao de Φ no espa¸co dando dire¸c˜ao e sentido para a varia¸c˜ao. 2.3.5 Fluxo de um Vetor, Divergˆ encia e Teorema de Gauss Define-se o fluxo de um vetor atrav´es de uma superf´ıcie S, de ´area total s como a integral abaixo: Z Ψ= A · dS (2.94) S Para dar um exemplo, vamos considerar a vaz˜ao de um l´ıquido, atrav´es de uma superf´ıcie S. A velocidade do l´ıquido sendo v e dependente da posi¸c˜ao na superf´ıcie, nos d´a para a vaz˜ao (em unidades de volume/unidade de tempo) a seguinte express˜ao: Z Q= v · dS S Existe uma outra quantidade importante, quando consideramos uma superf´ıcie fechada, englobando um volume total V , e queremos saber o fluxo total de um vetor Ψtotal , que entra ou sai do volume. Este fluxo ´e obtido pela integra¸c˜ao da superf´ıcie total que engloba o volume, ou seja: I Ψtotal = A · dS (2.95) S Daqui surge o conceito de divergˆencia de um vetor, que representa a quantidade de fluxo que deixa um volume ∆V infinitesimal, por unidade de volume: I 1 A · dS (2.96) div A = lim ∆V →0 ∆V S ´ importante observar que o fluxo total que deixa uma superf´ıcie fechada est´a associada a um volume E finito. Quando definimos a divergˆencia do vetor, que ´e uma medida do fluxo de um vetor, transformamos a medida de fluxo, em uma medida puntual, dado que tratamos de um volume infinitesimal, e por isso a superf´ıcie que o encerra tamb´em ´e infinitesimal. Consideremos agora a integral de fluxo total I ΨT = A · dS, S 25 em um cubo infinitesimal de volume ∆V = ∆x ∆y ∆z. Como haviamos mencionado, o vetor A independe do sistema adotado, e por conveniˆencia, adotamos o sistema cartesiano. Suponha que o centro desse cubo infinitesimal est´a no ponto P = (x0 , y0 , z0 ), e o vetor A(x, y, z) em P seja conhecido. Figura 2.4: Cubo Infinitesimal Vamos integrar sobre todas as faces do cubo envolvendo o volume ∆V para obter o fluxo total: I Z Z A · dS = Ax (x, y, z)dSx − Ax (x, y, z)dSx + S ZL1 ZL2 + Ay (x, y, z)dSy − Ay (x, y, z)dSy + L3Z L4Z + Az (x, y, z)dSz − Az (x, y, z)dSz L5 L6 sendo dSx = dy dz ≈ ∆y ∆z, dSy = dz dx ≈ ∆z ∆x e dSz = dx dy ≈ ∆x ∆y. L1 a L6 s˜ao as faces do cubo, conforme mostrado na Figura 2.3.5. Podemos expandir agora o campo A, em cada uma das faces, em termos de s´eries de Taylor, at´e primeira ordem apenas: ∆x ∂Ax Ax (x, y, z) = Ax (x0 , y0 , z0 ) + 2 ∂x L1 ∂Ax ∆x Ax (x, y, z) = Ax (x0 , y0 , z0 ) − 2 ∂x L2 ∆y ∂Ay Ay (x, y, z) = Ay (x0 , y0 , z0 ) + 2 ∂y L3 ∂Ay ∆y Ay (x, y, z) = Ay (x0 , y0 , z0 ) − 2 ∂y L4 ∂Az ∆z Az (x, y, z) = Az (x0 , y0 , z0 ) + 2 ∂z L5 ∆z ∂Az Az (x, y, z) = Az (x0 , y0 , z0 ) − 2 ∂z L6 + ... + ... + ... + ... + ... + ... 26 Se ∆x , ∆y e ∆z s˜ao infinit´esimos, termos de ordem maior s˜ao insignificantes. Temos ent˜ao, a soma de todas as integrais:     I ∆x ∂Ax ∆x ∂Ax A · dS = Ax (x0 , y0 , z0 ) + ∆y ∆z − Ax (x0 , y0 , z0 ) − ∆y ∆z + 2 ∂x 2 ∂x S     ∆y ∂Ay ∆y ∂Ay + Ay (x0 , y0 , z0 ) + ∆z ∆x − Ay (x0 , y0 , z0 ) − ∆z ∆x + 2 ∂y 2 ∂y     ∆z ∂Az ∆z ∂Az + Az (x0 , y0 , z0 ) + ∆x ∆y − Az (x0 , y0 , z0 ) − ∆x ∆y 2 ∂z 2 ∂z cujo resultado da soma ´e dado por:   I ∂Az ∂Ax ∂Ay A · dS = + + ∆x ∆y ∆z ∂x ∂y ∂z S (2.97) e para esse fluxo em um volume infinitesimal, conforme haviamos definido, temos a divergˆencia:   I 1 1 ∂Ax ∂Ay ∂Az div A = lim A · dS = lim + + ∆x ∆y ∆z ∆V →0 ∆V S ∆V →0 ∆V ∂x ∂y ∂z efetuando o limite, j´a que o termo em ∆V = ∆x ∆y ∆z se simplifica, e utilizando o operador nabla, temos   ∂Ax ∂Ay ∂Az div A = ∇·A = + + (2.98) ∂x ∂y ∂z Agora segue um importante teorema, chamado teorema de Gauss, que ´e muito u ´til em Eletromagnetismo. Hav´ıamos tomado o volume ∆V como infinitesimal, para o cubo centrado em (x0 , y0 , z0 ), mas podemos tomar um volume arbitrariamente grande agora, somando sucessivos volumes infinitesimais, e sucessivas superf´ıcies que contenham esses volumes. De (2.96), podemos escrever, para o i-´esimo infinit´esimo de volume ∆Vi : I ∇ · A∆Vi = A · dS Si Para o volume total particionado na forma ∆V = V /N , queremos integrar o fluxo total, ent˜ao: I A · dS = lim N →∞ S N I X i=0 A · dS = lim N →∞ Si N X ∇ · A∆Vi i=0 o que resulta em: I Z A · dS = ∇ · AdV (Teorema de Gauss) (2.99) S 2.3.6 Circula¸c˜ ao de um vetor, Rotacional e Teorema de Stokes Da mesma forma que definimos o fluxo de um vetor, podemos definir a circula¸c˜ao de um vetor C, que ´e o uma medida de como o vetor se encurva ou rotaciona em uma dada regi˜ao do espa¸co: I C = A · dl (2.100) c que significa que a circula¸c˜ao do vetor A ´e igual `a integral em um caminho fechado C do vetor vezes o elemento diferencial de deslocamento. Se um vetor n˜ao rotaciona em uma regi˜ao evidentemente que a integral de circula¸c˜ao ser´a nula. Esse ´e o caso de um vetor constante em todo o espa¸co. 27 Mas o conceito de circula¸c˜ao pode envolver um caminho arbitrariamente grande. O que queremos ´e um caminho infinitesimal, fechado, de modo a dar para a circula¸c˜ao uma interpreta¸c˜ao ponto a ponto. Um caminho qualquer C sempre encerra uma superf´ıcie S. Se fizermos C infinitesimal temos uma pequena superf´ıcie ∆S encerrada pelo caminho, e ent˜ao podemos definir o rotacional de um vetor, que ´e uma medida da rotacionalidade de um vetor, ponto a ponto: I 1 A · dl ˆ aS (2.101) rot A = lim ∆S→0 ∆S Figura 2.5: Caminho Infinitesimal Vamos fazer um procedimento an´alogo ao que foi feito na dedu¸c˜ao do teorema de Gauss. Consideremos por simplicidade, um caminho infinitesimal, conforme mostrado na Figura 2.3.6, cuja superf´ıcie orientada aponta na dire¸c˜ao ˆ az e tem magnitude ∆S = ∆x ∆y. A integral de circula¸c˜ao total ´e dada por Z I Z C = A · dl = Ax dx − Ax dx + L1Z L3Z + Ay dy − Ay dy (2.102) L2 L4 Vamos expandir os campos Ax e Ay em s´eries de Taylor at´e primeira ordem: ∆y ∂Ax Ax (x, y − ∆y/2, z) = Ax (x, y, z) − + ... 2 ∂y L1 ∆y ∂Ax Ax (x, y + ∆y/2, z) = Ax (x, y, z) + + ... 2 ∂y L1 ∆x ∂Ay Ay (x + ∆x/2, y, z) = Ay (x, y, z) + + ... 2 ∂x L2 ∆x ∂Ay Ay (x − ∆x/2, y, z) = Ay (x, y, z) − + ... 2 ∂x L4 e substituindo, isto na integral de circula¸c˜ao:     I ∆y ∂Ax ∆y ∂Ax C = A · dl = Ax (x, y, z) − − Ax (x, y, z) + ∆x + 2 ∂y 2 ∂y 28     ∆x ∂Ay ∆x ∂Ay Ay (x, y, z) + − Ay (x, y, z) − ∆y = 2 ∂x 2 ∂x     ∂Ay ∂Ay ∂Ax ∂Ax − − = ∆x ∆y == ∆S ∂x ∂y ∂x ∂y (2.103) substituindo este resultado na express˜ao (2.101) temos:   ∂Ay ∂Ax (rot A) · ˆ az = − ∂x ∂y Como especificamos a superf´ıcie para ter direc˜ao z, tivemos este resultado. Utilizando o mesmo procedimento ´e poss´ıvel considerar em um cubo infinitesimal, as outras superf´ıcies orientadas, sendo o resultado:       ∂Ay ∂Ay ∂Az ∂Ax ∂Az ∂Ax rot A = − ˆ ax + − ˆ ay + − ˆ az ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Tamb´em aqui ´e poss´ıvel utilizar o operador nabla, para colocar na forma:       ∂Ay ∂Ay ∂Az ∂Ax ∂Az ∂Ax ∇×A= − ˆ ax + − ˆ ay + − ˆ az ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (2.104) O rotacional ´e dado, em outros sistemas coordenados, no formul´ario. Agora utilizando novamente (2.101) podemos deduzir o teorema de Stokes. Uma vez que a defini¸c˜ ao de rotacional ´e dada, se quisermos, agora a circula¸c˜ao em um caminho arbitrariamente grande, podemos somar sobre caminhos infinitesimais, sendo a superf´ıcie encerrada total S em um caminho qualquer, particionada em N partes infinitesimais, N → ∞. Formalmente temos para uma circula¸c˜ ao infinitesimal: I Ci = rot A · ∆Si ˆ ai = A · dli Li Somando sobre os N infinit´esimos temos, com ∆Si = ∆Si ˆ ai : C = lim N →∞ N X i=0 Ci = lim N →∞ N X rot A ∆Si ˆ ai = lim N →∞ i=0 N I X i=0 A · dli Li de onde resulta o seguinte teorema, t˜ao importante quanto o teorema de Gauss: I Z A · dl = ∇ × A · dS C 2.3.7 (2.105) S Outras Identidades Importantes Algumas identidades importantes em Eletromagnetismo, que ser˜ao muito utilizadas nos cap´ıtulos futuros s˜ao mostradas abaixo, e fica para o leitor a demonstra¸c˜ao, como exerc´ıcio. ∇ × (∇Φ) = 0 (2.106) ∇ · (∇ × A) = 0 (2.107) As duas express˜oes acima afirmam que o rotacional de um campo gerado a partir do gradiente de um escalar ´e nulo, ou seja, o campo ´e irrotacional. A segunda identidade diz que o divergente do rotacional de um vetor ´e sempre nulo. Como o rotacional de um vetor gera um campo rotacional, cujas linhas se fecham, ´e natural que o seu divergente seja nulo. 29 Al´em disso temos a defini¸c˜ao do operador Laplaciano ∇2 , que ´e definido para um escalar como sendo:  2  ∂ ∂2 ∂2 2 ∇ Φ = ∇ · ∇Φ = + + Φ (2.108) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 acima mostramos em coordenadas cartesianas a express˜ao expl´ıcita do operador laplaciano, mas em outras coordenadas ´e dado no formul´ario. Para vetores, em coordenadas cartesianas temos: ∇2 A = ∇2 Ax ˆ ax + ∇2 Ay ˆ ay + ∇2 Az ˆ az (2.109) mas apenas em cartesianas a express˜ao ´e t˜ao simples, pois em outros sistemas a express˜ao deve ser obtida de outra maneira. Temos ent˜ao uma outra identidade, da qual, em qualquer sistema coordenado podemos calcular o laplaciano de um vetor: ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A (2.110) que tamb´em ser´a amplamente utilizada. Outras express˜oes e identidades s˜ao mostradas no formul´ ario, no in´ıcio da apostila. 2.4 N´ umeros Complexos e Fasores Em Eletromagnetismo ´e conveniente trabalhar com n´ umeros complexos e fasores. Dado um n´ umero complexo temos alguns resultados importantes abaixo: Ψ = ΨR + iΨI = |Ψ| exp (iθΨ ) q |Ψ| = Ψ2R + Ψ2I   ΨI θΨ = arctan ΨR ∗ Ψ = ΨR − iΨI = |Ψ| exp (−iθΨ ) √ |Ψ| = Ψ∗ Ψ Ψ + Ψ∗ ΨR = <(Ψ) = 2 Ψ − Ψ∗ ΨI = =(Ψ) = 2i exp(±iθ) = cos θ ± i sin θ (2.111) (2.112) (2.113) (2.114) (2.115) (2.116) (2.117) (2.118) onde acima o sinal * denota conjuga¸c˜ao complexa, Ψ ´e uma quantidade complexa qualquer, ΨR a parte real de Ψ e ΨI a parte imagin´aria. Perceba que |eiθ | = 1. Em regime senoidal ou harmˆonico, analogamente aos Circuitos El´etricos, temos o regime A(x, y, z, t) = A(x, y, z) cos(ωt) ou A(x, y, z, t) = A(x, y, z) sin(ωt), ou combina¸c˜oes dessas possibilidades. Para representar a primeira alternativa podemos fazer: A(x, y, z, t) = < (A(x, y, z) exp(iωt)) (2.119) enquanto para a segunda temos: A(x, y, z, t) = < (−iA(x, y, z) exp(iωt)) (2.120) 30 De uma forma geral, consideramos A(x, y, z) um fasor, ou seja, um vetor com cada componente sendo representada por um n´ umero complexo, sendo o campo vetorial real dado por: A(x, y, z, t) = A(x, y, z) exp(iωt) + A∗ (x, y, z) exp(−iωt) 2 (2.121) com A(x, y, z) = AR (x, y, z) + iAI (x, y, z) Podemos trabalhar portanto, com o fasor A(x, y, z). O produto de dois vetores ser´a dado por: A(x, y, z, t) · A(x, y, z, t) = <[A exp(iωt)] · <[B exp(iωt)] = = A(x, y, z) exp(iωt) + A∗ (x, y, z) exp(−iωt) B(x, y, z) exp(iωt) + B∗ (x, y, z) exp(−iωt) · 2 2 1 A · Bei2ωt + (A · B)∗ e−i2ωt A(x, y, z, t) · B(x, y, z, t) = (A · B∗ + A∗ · B) + 4 4 A express˜ao acima representa o produto de dois vetores que dependem do tempo de forma harmˆ onica, e por isso ´e usual considerar a m´edia sobre um per´ıodo, e nesse caso os termos de varia¸c˜ao r´ apida ±2iωt e desaparecem na m´edia sobre o per´ıodo: 1 hF (t)i = T T Z F (t)dt (2.122) 0 temos ent˜ao: 1 hA(x, y, z, t) · B(x, y, z, t)i = < [A(x, y, z) · B∗ (x, y, z)] 2 O resultado vale para outras quantidades, como o produto vetorial, ou seja: 1 hA(x, y, z, t) × B(x, y, z, t)i = < [A(x, y, z) × B∗ (x, y, z)] 2 2.5 (2.123) (2.124) Transformadas de Fourier Vamos definir aqui o par de transformadas de Fourier que comumente utilizamos: Z ∞ 1 F (ω) = dt exp (−iωt) f (t) 2π −∞ Z ∞ f (t) = dω exp (iωt) F (ω) (2.125) (2.126) −∞ e de forma mais geral ainda, para um vetor A Z Z ∞ 1 3 A(k, ω) = d x dt exp [i(k · x − ωt)] A(x, t) (2π)4 −∞ Z Z ∞ 3 dω exp [−i(k · x − ωt)] A(k, ω) A(x, t) = d k −∞ onde x = (x1 , x2 , x3 ), k = (k1 , k2 , k3 ) e a nota¸c˜ao utilizada ´e: Z Z ∞ Z ∞ Z 3 d x= dx dy −∞ −∞ ∞ −∞ dz (2.127) (2.128) 31 Z Z 3 ∞ Z ∞ dkx d k= −∞ Z ∞ dky −∞ dkz −∞ Para um escalar tamb´em temos a transformada generalizada, basta substituir o vetor pelo escalar nas express˜oes acima. Algumas propriedades importantes de transformadas de Fourier, que tamb´em podem ser encontradas na literatura corrente, s˜ao mostradas abaixo: F (exp(iω0 t)f (t)) = F (ω − ω0 )  f (t − τ )g(τ )dτ = F (ω)G(ω) −∞  n  d f (t) F = (iω)n F (ω) dtn Z F [(f (t) ∗ g(t)] = F (2.129) ∞ (2.130) (2.131) onde F denota transforma¸c˜ao de Fourier da fun¸c˜ao. Importante tamb´em ´e a identidade de Parseval, mostrado abaixo: Z ∞ Z ∞ 2 dt|f (t)| = 2π dω|F (ω)|2 (2.132) −∞ −∞ Tabelas de pares de transformadas podem ser encontradas na literatura corrente. 2.6 Ponto Campo, Ponto Fonte e Fun¸ c˜ ao Delta de Dirac Como u ´ltimo t´opico neste cap´ıtulo, vamos definir como nota¸c˜ao que os pontos de observa¸c˜ao dos efeitos eletromagn´eticos, ou ponto campo, sejam denotados por r (ou x) e os pontos de fonte do campo, por r0 (ou x0 ). Dessa forma: r=xˆ ax + y ˆ ay + z ˆ az 0 0 0 0 (2.133) r =x ˆ ax + y ˆ ay + z ˆ az (2.134) R = r − r0 = (x − x0 )ˆ ax + (y − y 0 )ˆ ay + (z − z 0 )ˆ az p |R| = |r − r0 | = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2   1 2 ∇ = −4πδ 3 (R) R ∇·R=3 ∇×R=0     1 R 1 R 0 ∇ =− 3 ∇ = 3 R R R R (2.135) (2.136) (2.137) (2.138) (2.139) onde ∇ opera em r e ∇0 em r0 e as express˜oes devem ser demonstradas pelo leitor interessado, como exerc´ıcio. Na equa¸c˜ao (2.137) aparece a fun¸c˜ao delta de Dirac generalizada para o espa¸co tridimensional. Para uma fun¸c˜ao delta ou impulso de Dirac unidimensional tem-se as seguintes caracter´ısticas: Z ∞ δ(x)dx = 1 −∞ Z ∞ f (x0 )δ(x0 − x)dx0 = f (x) −∞ Ent˜ao podemos extender o conceito ao espa¸co tridimensional na forma: Z dV δ 3 (r) = 1 Z dV 0 φ(r0 )δ 3 (R) = φ(r) Z dV 0 A(r0 )δ 3 (R) = A(r) (2.140) (2.141) (2.142) 32 sendo dV o elemento diferencial de volume,R = r − r0 e a fun¸c˜ao delta de Dirac δ 3 (R) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 ). As integrais acima devem ser realizadas em todo o espa¸co, de −∞ at´e ∞ nas trˆes vari´aveis cartesianas x0 , y 0 e z 0 . Podemos entender a fun¸c˜ao delta tridimensional como a densidade de uma carga puntual no espa¸co. Perceba que a fun¸c˜ao δ 3 (R) deve valer zero em todo o espa¸co, exceto em R = r − r0 = 0, onde ela vale infinito. Veja que a fun¸c˜ao de densidade espacial de uma carga puntual obedece exatamente essas propriedades, ou seja, a densidade de carga ´e zero em todo o espa¸co, exceto onde a carga est´a colocada. Mas nesse ponto h´a uma carga finita em um volume que tende a zero, dando `a densidade o valor infinito. Cap´ıtulo 3 Campo Eletromagn´ etico Neste cap´ıtulo revisaremos os principais conceitos referentes `a Eletrost´atica e `a Magnetost´atica, bem como estudaremos a Lei de Faraday-Lens para a indu¸c˜ao eletromagn´etica, que conduz naturalmente ao estudo do regime de campos variantes no tempo. 3.1 Eletrost´ atica Como parte integrante da Eletrost´atica devemos destacar alguns pontos importantes: Lei de Coulomb, Lei de Gauss, Potencial El´etrico e a Equa¸c˜ao de Laplace. Lei de Coulomb e Campo El´ etrico O primeiro estudo consistente das for¸cas el´etricas se deu por volta de 1785, por Charles Augustin Coulomb que experimentalmente verificou a lei da for¸ca el´etrica entre duas cargas puntuais, tendo esta lei a mesma forma que a lei de Newton para a gravita¸c˜ao, ou seja: Fe = 1 qq 0 ˆ aR 4πε0 R2 (3.1) onde R = |r − r0 | e ˆ aR = (r − r0 )/|r − r0 | = R/R. Uma vez definida essa lei para a for¸ca, tornou-se conveniente, para casos em que tenhamos distribui¸c˜oes de cargas, criando suas linhas de for¸ca e atuando sobre uma outra carga, esta de teste, o conceito de campo el´etrico E, que na verdade vai muito al´em de mera formalidade matem´ atica e ganhar´a significado f´ısico, transportando energia, conforme veremos no estudo de ondas: Fe q→0 q E = lim (3.2) Dessa forma Fe = qE (3.3) O significado de q → 0 ´e que a carga teste deve ser suficientemente pequena para que a for¸ca que ela faz sobre as outras cargas n˜ao perturbe as outras cargas, destruindo a sua configura¸c˜ao. Para uma u ´nica carga temos 1 q0 E= ˆ aR (3.4) 4πε0 R2 33 34 mas quando tivermos um conjunto de cargas qi distribuidas aleatoriamente, e testamos a o campo com uma carga q temos: N 1 X qi (r − ri ) E= (3.5) 4πε0 |r − ri |3 i=1 Sendo r o ponto onde estamos observando o campo, e ri a posi¸c˜ao da i-´esima carga. Quando a distribui¸c˜ao de cargas tende a um cont´ınuum de cargas, ou seja qi → 0 e N → ∞ em um determinado volume do espa¸co, ´e conveniente converter esta u ´ltima express˜ao em uma integral, na forma: Z 1 (r − ri ) E= dV 0 ρ(r0 ) (3.6) 4πε0 |r − ri |3 onde ρ agora ´e a densidade de cargas, ou seja, a quantidade de cargas dividido pelo volume, ∆q/∆V . Potencial El´ etrico O potencial el´etrico ´e obtido costumeiramente a partir de uma an´alise do trabalho realizado por uma for¸ca em uma carga de teste, sendo o trabalho da for¸ca el´etrica dado por: b Z W =− Fe · dl (3.7) a No caso da For¸ca el´etrica atuando sobre uma carga q em termos do campo el´etrico E temos: Z b W = −q E · dl a de onde define-se Vab W = =− q b Z E · dl = Va − Vb a Vab tem o significado de diferen¸ca de potencial el´etrico ´e a energia potencial el´etrica dividida pela carga, necess´aria para levar a part´ıcula de a para b. No caso da Eletrost´atica ´e f´acil verificar que E = −∇φ satisfaz a condi¸c˜ao acima, onde φ ´e um fun¸c˜ao escalar e φa − φb = Vab Vamos deduzir uma express˜ao para a fun¸c˜ao φ em termos da distribui¸c˜ao de cargas, diretamente a partir da defini¸c˜ao de campo el´etrico, utilizando algumas identidades do c´alculo vetorial. Considerando a seguinte rela¸c˜ao:   1 R ∇ =− 3 R R com R = r − r0 , e o campo el´etrico sendo dado por: Z 1 (r − ri ) E= dV 0 ρ(r0 ) 4πε0 |r − ri |3 podemos escrever: 1 E=− 4πε0 Z   1 dV ρ(r )∇ R 0 0 mas como o operador nabla est´a operando sobre as vari´aveis de campo e a integral ´e nas vari´aveis de fonte, podemos escrever:   Z 1 1 0 0 E=− ∇ dV ρ(r ) 4πε0 R 35 e ent˜ao o campo el´etrico ´e dado pelo gradiente de uma fun¸c˜ao escalar φ que, no caso da eletrost´ atica, ´e o potencial el´etrico. Podemos chamar φ de potencial de Coulomb e temos: E = −∇φ Z 1 ρ(r0 ) φ= dV 0 4πε0 R (3.8) (3.9) Para um campo vetorial obtido a partir de um gradiente, a integral de caminho fechado anula-se, como podemos verifica: I I Z Ee · dl = − ∇φ · dl = − ∇ × ∇φ · dS = 0 S j´a que: ∇ × ∇φ = 0 ent˜ao para o campo eletrost´atico temos: ∇ × Ee = 0 ou I Ee · dl = 0 Lei de Gauss A lei de Gauss ´e uma importante rela¸c˜ao experimental, que pode ser deduzida a partir da express˜ ao do campo el´etrico: Z 1 ρ(r0 ) E=− ∇ dV 0 4πε0 R Tomemos o divergente da express˜ao acima, e temos: Z Z 0 1 1 ρ(r0 ) 0 ρ(r ) 2 ∇·E=− ∇ · ∇ dV =− ∇ dV 0 4πε0 R 4πε0 R ou ainda, podemos operar diretamente em 1/R, j´a que o laplaciano somente atua nas coordenadas de campo:   Z 1 1 0 0 2 ∇·E=− dV ρ(r )∇ 4πε0 R Utilizando mais uma vez as propriedades de c´alculo vetorial temos:   1 2 ∇ = −4πδ(|r − r0 |) R e fazendo uso dela, temos: ∇·E=− 1 4πε0 Z dV 0 ρ(r0 )[−4πδ(|r − r0 |)] E como a integral de uma fun¸c˜ao delta de Dirac multiplicada por outra fun¸c˜ao em todo o espa¸co nos d´a a pr´opria fun¸c˜ao no ponto em que o argumento da delta se anula, temos: ∇·E= ρ(r) ε0 (3.10) Para o caso de meios materiais, podemos mostrar que: ∇·D=ρ (3.11) 36 com D = ε0 E + P, onde P ´e a polariza¸c˜ao diel´etrica do meio. As equa¸c˜oes acima s˜ao a vers˜ ao diferencial da primeira equa¸c˜ao de Maxwell, no v´acuo, e num meio qualquer, respectivamente. Vamos utilizar a express˜ao mais geral, em que aparece D para deduzir a Lei de Gauss. Uma vez que temos (3.11) podemos integrar sobre o volume, para obter um fluxo total: Z Z ΨT = dV ∇ · D = dV ρ V V mas aplicando o teorema de Gauss, deduzido anteriormente temos I Z D · dS = ρdV S 3.2 (3.12) V A corrente el´ etrica Uma corrente el´etrica ´e definida como a quantidade de carga el´etrica ∆Q que atravessa uma superf´ıcie qualquer em um intervalo de tempo ∆t, ou para sermos rigorosos: Z dQ d I= = ρdV [A] (3.13) dt dt V sendo ρ a densidade volum´etrica de carga. Podemos dessa forma definir uma densidade de corrente volum´etrica, dada em A/m2 da seguinte maneira: J= I S (3.14) e para sermos rigorosos, de forma vetorial temos: 1 dQ ˆ aS (3.15) ∆S dt Para uma densidade de cargas ρ cuja velocidade seja v, temos em um volume ∆Svdt uma densidade de corrente igual a J = ρv (3.16) J = lim ∆S→0 Uma corrente el´etrica que atravessa uma superf´ıcie S qualquer pode ent˜ao ser escrita como: Z I= J · dS (3.17) S Sabe-se experimentalmente, que a carga el´etrica total n˜ao pode ser criada nem destru´ıda, ou seja, a carga el´etrica ´e uma grandeza conservada. Sob esse aspecto se considerarmos um volume V , cujos limites de contorno sejam dados por uma superf´ıcie fechada S, sabemos que a quantidade de carga que sai por unidade de tempo, ou decr´escimo da carga no interior do volume, tem que ser igual `a corrente el´etrica que atravessa a superf´ıcie fechada envolvendo o volume V , ou seja: Z I dQ d I=− =− ρdV = J · dS dt dt V S Esta equa¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao da continuidade, ou seja: I Z d J · dS + ρdV = 0 dt V S (3.18) e utilizando o teorema de Gauss, obtemos a equa¸c˜ao de continuidade na sua forma diferencial, que ser´a u ´til mais para frente: ∂ρ ∇·J+ =0 (3.19) ∂t 37 3.3 Magnetost´ atica Vamos agora estudar as principais rela¸c˜oes da magnetost´atica, como a defini¸c˜ao de campo magn´etico, e as principais leis matem´aticas que regem os campos magn´eticos que n˜ao dependem do tempo. O Campo Magn´ etico Foi verificado experimentalmente que na presen¸ca de um campo magn´etico de magnitude B, gerado por um ´ım˜a permanente por exemplo, a for¸ca magn´etica agindo sobre uma carga de teste de carga q e velocidade v ´e: F = qvB sin θ ou seja, v e B devem estar ortogonais entre si para que a for¸ca seja m´axima. Entretanto o sentido da for¸ca deve ser determinado atrav´es da regra da m˜ao direita, ou ainda, fazendo uso do c´alculo vetorial, para colocar numa forma mais rigorosa: F = qv × B (3.20) Se, al´em de um campo magn´etico B, existir um campo el´etrico E, a for¸ca total sobre a carga ser´ aa soma vetorial das for¸cas de natureza el´etrica e magn´etica, conhecida como For¸ca de Lorentz: F = q (E + v × B) (3.21) A equa¸c˜ao (3.20) permite definir o campo magn´etico. Dada uma carga de teste q e velocidade v, sabemos que esta, por estar em movimento tamb´em cria campo magn´etico. De modo a medir um campo magn´etico resultante gerado por uma distribui¸c˜ao de correntes, a carga teste n˜ao pode influir na distribui¸c˜ao de campo, dessa forma: F (3.22) B = lim qv→0 qv Note que tal express˜ao n˜ao ´e completa dado que o campo B tem trˆes componentes e apenas as com´ necess´ ponentes ortogonais `a velocidade s˜ao medidas para uma dada dire¸c˜ao de velocidade. E ario por tanto uma s´erie de medidas, para determinar as 3 componentes. Trabalho Realizado por uma For¸ ca Magn´ etica Z Z W = F · dl = qv × B · dl Z W = qv × B · vdt Z W = qv × v · Bdt = 0 A for¸ca magn´etica n˜ao realiza trabalho diretamente. Campo de uma carga puntual Foi determinado experimentalmente que a for¸ca magn´etica entre duas cargas puntuais ´e dada por: F= aR ) µ0 qq 0 v × (v0 × ˆ 2 4π R (3.23) 38 sendo ˆ aR = R/R e R = r − r0 que pode ser colocado na forma: F = qv × B aR µ0 q 0 v0 × ˆ 4π R2 e portanto o campo gerado por uma carga puntual, omitindo os ´ındice 0 , ´e sempre dado por: B= B= aR µ0 qv × ˆ 2 4π R (3.24) Para uma distribui¸c˜ao de cargas puntuais o campo gerado em um ponto r ´e sempre dado pela soma: N µ0 X vi × (r − ri ) qi (3.25) B= 4π |r − ri |3 i=1 e quando fazemos uma quantidade N → ∞ de cargas mas cada carga qi → ∆qi ∼ 0 sendo J= ∆qi vi = ρ(r0 )v(r0 ), ∆V B= µ0 4π temos uma express˜ao integral: Z dV 0 J(r0 ) × R R3 (3.26) Considerando a seguinte rela¸c˜ao:   1 R ∇ =− 3 R R podemos escrever: µ0 B=− 4π Z   1 dV J(r ) × ∇ R 0 0 ou ainda, utilizando o fato de que       1 1 J(r0 ) 1 0 0 J(r ) × ∇ = −∇ × J(r ) = −∇ × + ∇ × J(r0 ) R R R R e dado que ∇ × J(r0 ) = 0, pois ∇ opera somente em r e J ´e somente fun¸c˜ao de r0 , temos Z J(r0 ) µ0 B= ∇ × dV 0 4π R que pode ser escrito em termos de um potencial vetor magn´etico A: B=∇×A Z µ0 J(r0 ) A= dV 0 4π R (3.27) (3.28) Percebemos das equa¸c˜oes acima que o campo magn´etico ´e um campo rotacional e sendo assim podemos escrever: ∇·B=∇·∇×A=0 e temos a equa¸c˜ao de Maxwell para fontes magn´eticas: ∇·B=0 (3.29) 39 ou, utilizando o teorema de Gauss, temos na forma integral: I B · dS = 0 (3.30) S Linhas de Fluxo e Fluxo Total Magn´ etico Aqui podemos determinar a lei de Gauss Magn´etica. O fluxo magn´etico ´e definido como: Z Φm = B · dS Quanto tomamos o fluxo total que atravessa uma superf´ıcie fechada temos a lei de Gauss magn´etica (an´aloga `a lei de Gauss para o Campo El´etrico) que diz: I B · dS = 0 (3.31) significando que n˜ao h´a cargas magn´eticas. Utilizando o Teorema de Gauss, chega-se `a forma diferencial: ∇·B=0 (3.32) Lei de Biot-Savart e For¸ cas Magn´ eticas entre Correntes Consideremos uma cole¸c˜ao de cargas el´etricas em movimento, ou seja, uma corrente el´etrica. De forma simplista podemos escrever, para uma parcela de carga dq e velocidade v: dq v = dq dl = Idl dt O campo gerado por aquela pequena parcela de carga ser´a: dB = µ0 dqv × ˆ ar 2 4π r ou ainda: µ0 I dl × ˆ ar 2 4π r A express˜ao acima deve ser integrada por toda a extens˜ao que transporta a corrente I: Z I dl × ˆ ar µ0 B= 4π r2 dB = (3.33) A express˜ao acima ´e conhecida como Lei de Biot-Savart. Biot e Savart em 1820, bem como Amp`ere entre 1820 e 1825 estabeleceram as leis b´asicas relacionando o campo magn´etico B `as correntes el´etricas e as leis de for¸cas entre correntes el´etricas. Consideremos um fio infinitamente longo, sendo percorrido por uma corrente I, conforme a figura. O campo ser´a dado por: Z az × ˆ ar µ0 ∞ I dz 0 ˆ B= 2 4π −∞ r e como resultado: B= sendo ρ = p x2 + y 2 µ0 I ˆ aϕ 2πρ 40 Dado o campo de uma distribui¸c˜ao de correntes podemos ent˜ao determinar a for¸ca entre dois condutores transportando correntes. As for¸cas entre condutores foram medidas experimentalmente por Amp`ere. Tem-se: dF = dq v × B ou ainda: dF = I dl × B que podemos escrever como: Z F= I dl × B e substituindo o campo gerado por uma corrente: Z Z µ0 I1 dl1 × (I2 dl2 × ˆ ar ) F= 2 4π r (3.34) (3.35) Considerando dois fios longos, podemos utilizar a express˜ao (3.34) e o campo magn´etico para um fio infinitamente longo, para encontrar que a for¸ca por unidade de comprimento entre dois fios percorridos por correntes I1 e I2 , paralelos ´e: F µ0 I1 I2 = L 2πρ Torque sobre uma espira de corrente: O Dipolo Magn´ etico Observe a figura a seguir: Uma espira de corrente est´a sujeita a um torque provocado pelas for¸cas magn´eticas, dado por: τ = r × Fm = r × (Il × B) τ = r × (Il × B) A express˜ao pode ser escrita ainda na seguinte forma: τ =µ ~ ×B sendo o momento de dipolo magn´etico definido abaixo: µ ~ = Ir × l 41 O produto r × l ´e a ´area da espira, de na dire¸c˜ao do vetor superf´ıcie, ent˜ao podemos escrever: |~ µ| = IA Ao girar a espira o torque produz trabalho. Vejamos: Z Z W = F · dl = F r sin θdθ pois dl = rdθˆ aθ , mas reconhecendo: F r sin θ = τ temos: Z W = Z F · dl = τ dθ Da defini¸c˜ao ~τ = µ ~ × B temos Z θ2 µB sin θdθ = −µB cos θ2 + µB cos θ1 W = θ1 W = −~ µ1 · B + µ ~2 · B e podemos definir ent˜ao a energia potencial devido ao momento do dipolo magn´etico : U = −~ µ·B A dire¸c˜ao de menor energia, que ´e uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio ´e quando o momento mangn´etico fica paralelo ao campo aplicado. A m´axima energia ´e encontrada na condi¸c˜ao anti-paralela. Um exemplo adicional: consideremos um el´etron ´orbita circular no ´atomo de hidrogˆenio. podemos calcular o momento magn´etico dado que a ´area ´e simplesmente πr2 onde r ´e o raio da ´orbita. A corrente de um el´etron ´e a carga eletrˆonica dividido pelo tempo gasto para cumprir uma revolu¸c˜ao, ou seja, o per´ıodo da ´orbita T . Temos ent˜ao: µ= e 2 eωr2 πr = ef πr2 = T 2 42 Adicionalmente, a quantiza¸c˜ao proposta por Bohr diz que: mvr = mωr2 = nh 2π onde n = 1, 2, 3.... Para a primeira ´orbita, n = 1 e temos: ωr2 = h 2πm e o m´odulo do momento magn´etico do el´etron ´e ent˜ao: µB = eh 4πm a quantidade acima ´e conhecida como magn´eton de Bohr. Efeito Hall Considere a figura a seguir: A corrente que passa pelo material Jy sobre a a¸c˜ao do campo magn´etico B aplicado, que consideramos na dire¸c˜ao x. A densidade de corrente pode ser escrita simplesmente como: Jy = nqvy onde n ´e o n´ umero de portadores de carga q. A for¸ca el´etrica sobre a carga q ´e simplesmente: Fz = −qvy Bx que efetivamente representa um campo n˜ao-eletrost´atico: Ez = −vy Bx Esse campo tende a acumular portadores positivos na superf´ıcie inferior do material, enquanto que na parte superior temos um ac´ umulo de cargas negativas. Devido ao ac´ umulo surge um campo 43 eletrost´atico em oposi¸c˜ao a esse campo n˜ao-eletrost´atico, que no equil´ıbrio tem o mesmo m´ odulo. Dessa forma uma diferen¸ca de potencial pode ser medida entre as duas superf´ıcies: V = ±vy Bx d O efeito Hall permite inferir a densidade de portadores de carga, uma vez que podemos conhecer a densidade de corrente Jy e o campo magn´etico aplicado. Define-se o coeficiente Hall da seguinte maneira: 1 Ez =− RH = Jy Bx nq e em termos desse coeficiente temos: VH = ±vy Bx d = ± ou: RH = − Jy IdBx Bx d = ∓RH nq A 1 VH · A = nq I · d · Bx A Lei de Amp` ere Para o que segue considere o campo magn´etico gerado por um fio infinitamente longo, cuja express˜ao j´a foi demonstrada trav´es da lei de Biot: B= µ0 I ˆ aϕ 2πr e queremos realizar a integral de caminho desse campo: I B · dl C Observe a figura Figura 3.1: ∆V = A · ∆l = A · v · ∆t 44 Na figura mostrada o caminho adotado ´e uma circunferˆencia de raio r e portanto dl = rdϕˆ aϕ Tem-se ent˜ao: I Z 2π B · dl = C 0 µ0 I ˆ aϕ · rdϕˆ aϕ = µ0 I 2πr Z 2π dϕ = µ0 I 0 O resultado obtido ´e valido para qualquer caminho de integra¸c˜ao adotado e para qualquer distribui¸c˜ao de correntes, e leva o nome de Lei de Amp`ere: I B · dl = µ0 I (3.36) C Considere a figura: Figura 3.2: dl = rdϕˆ aϕ + drˆ ar Vamos demonstrar a independˆencia da integral com rela¸c˜ao ao caminho. No caso o campo adotado ´e azimutal, e o caminho adotado ´e: dl = rdϕˆ aϕ + drˆ ar e portanto: B · dl = Bϕ rdϕ e o resultado ´e o mesmo que se tiv´essemos escolhido um caminho arbitr´ario. I B · dl = µ0 I (3.37) C A lei ainda pode ser escrita na forma: I Z B · dl = µ0 J · dS = µ0 I C (3.38) S Podemos considerar ainda um meio geral no qual B = µ0 (H + M). Neste caso podemos mostra que: I Z H · dl = J · dS = I (3.39) C S e aplicando o teorema de Stokes aqui temos: I I Z H · dl = ∇ × H · dS = J · dS C C S 45 de onde tiramos a forma diferencial da Lei de Amp`ere: ∇×H=J (3.40) Interpreta¸ c˜ ao da Lei de Amp` ere: A lei de Amp`ere na sua forma integral afirma, que a integral de caminho do campo magn´etico B em um caminho fechado e arbitr´ario C ´e igual a µ0 vezes a corrente total encerrada pelo caminho C. Dessa forma, para um caminho arbitr´ario que n˜ao encerre nenhuma corrente a integral ´e nula, ao passo que uma vez encerrada a totalidade da corrente, a escolha do caminho ´e arbitr´aria. Vamos mais uma vez provar o que foi dito, atrav´es do exemplo do campo de um fio infinito carregando uma corrente I. Observe a figura seguinte: Para o caminho 1: I Z B · dl = C1 0 π µ0 I rA dϕ + 2πrA Z 2π π µ0 I rB dϕ = µ0 I 2πrB Para o caminho 2: Sabemos que o resultado deve ser nulo pois n˜ao h´a corrente envolvida pelo caminho, mas vamos calcular. I Z θ2 Z θ2 µ0 I µ0 I B · dl = rA dϕ + (−rC dϕ) = C2 θ1 2πrA θ1 2πrC I B · dl = 0 C2 Na sua forma diferencial a lei de Amp`ere, que ´e equivalente `a forma integral, afirma que a densidade de correntes J ´e fonte de campo magn´etico na forma de um campo rotacional, cujas linhas se fecham sobre si mesmas. Aplica¸ c˜ oes da Lei de Amp` ere Embora tenha validade geral, a lei de Amp`ere na forma integral tem mais utilidade em casos bastante sim´etricos. Tem o mesmo papel em problemas de determina¸c˜ao de campo magn´etico que a lei de Gauss tem para a eletrost´atica. Alguns princ´ıpios b´asicos para aplicar a lei: 46 Se B ´e tangente `a trajet´oria em todos os pontos da trajet´oria ent˜ao a integral ser´a igual ao m´odulo B multiplicado pela circunferˆencia da trajet´oria; Se B ´e perpendicular `a trajet´oria em parte da trajet´oria, essa parte n˜ao contribui para a integral; H ao englobar nenhuma corrente, mas isso n˜ao quer dizer C B · dl = 0 se o caminho escolhido n˜ que o campo magn´etico B seja nulo na trajet´oria; Devemos escolher a trajet´oria mais sim´etrica poss´ıvel para que a integral possa ser calculada. Campo de um solen´ oide Consideremos um solen´oide longo, com n espiras por unidade de comprimento e carregando uma corrente I, conforme mostrado na figura: Quanto maior o comprimento L do solenoide mais concentradas ficam as linhas de campo em seu interior. Vejam a p´agina: http : //www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/ms 05.html Um solen´ oide infinitamente longo deve concentrar o campo todo no seu interior, sendo uniforme. Aplicando a lei de Amp`ere: B = µ0 nI sendo n o n´ umero de espiras por unidade de comprimento. Campo Magn´ etico em um Tor´ oide Consideremos um tor´oide de raio m´edio r, envolvido por N espiras de corrente. Utilizando o caminho mostrado na figura temos I B · dl = B2πr = µ0 N I de onde tiramos que o campo B ´e azimutal e dado por: B = µ0 I N 2πr se n = N/(2πr) temos o mesmo resultado que o exemplo anterior. 47 Equa¸ c˜ oes de Maxwell para a Eletrost´ atica e a Magnetost´ atica At´e este ponto obtivemos as equa¸c˜oes de Maxwell v´alidas em regime est´atico, que foram obtidas atrav´es de experimentos, para o regime est´atico (que n˜ao varia no tempo): ∇·D=ρ (3.41) ∇·B=0 (3.42) ∇×E=0 (3.43) ∇×H=J (3.44) No pr´oximo cap´ıtulo veremos que estas equa¸c˜oes est˜ao incompletas quando os campos e suas fontes variam no tempo. Cap´ıtulo 4 As Equa¸c˜ oes de Maxwell As equa¸c˜oes de Maxwell v´alidas em regime est´atico obtidas experimentalmente s˜ao escritas na forma diferencial abaixo: ∇·D=ρ (4.1) ∇·B=0 (4.2) ∇×E=0 (4.3) ∇×H=J (4.4) onde ´e f´acil verificar que os campos E e B podem ser encarados como entidades independentes entre si, tendo em comum apenas o fato de que fundamentalmente s˜ao cargas el´etricas que lhes d˜ao origem, cargas est´aticas no caso de E, e cargas em movimento uniforme (ou em outras palavras, correntes el´etricas) no caso de B. Entretanto, quando as densidades de carga ρ e corrente J, bem como os campos variam no tempo verificou-se experimentalmente que mudan¸cas nas equa¸c˜oes acima fazemse necess´arias, e mostrando que o acoplamento m´ utuo entre os campos aparece naturalmente. A seguir vamos apresentar tais modifica¸c˜oes para incorporar varia¸c˜oes temporais dos campos. Estas modifica¸c˜oes s˜ao a chave para a compreens˜ao das ondas eletromagn´eticas. 4.1 Lei de Faraday-Lenz Sempre em busca de uma simetria na natureza, e sabendo-se que uma corrente el´etrica ´e capaz de produzir campo magn´etico, ou seja, fenˆomenos magn´eticos estavam intrinsecamente ligados `a propriedade carga el´etrica em movimento ou corrente el´etrica, por volta de 1820 os cientistas perguntavam-se: ´e poss´ıvel o campo magn´etico gerar fenˆomenos el´etricos? J´a que uma corrente el´etrica gera campo magn´etico, ser´a poss´ıvel a rec´ıproca, um campo magn´etico gerar uma corrente? A resposta para essa pergunta foi respondida quase simultaneamente por Michael Faraday e Joseph Henry por volta de 1831, mas n˜ao exatamente como era esperado. Na verdade um campo magn´etico por si, constante no tempo era incapaz de gerar uma corrente em um circuito vizinho, mas Faraday percebeu, que modificar o estado do campo magn´etico, ou seja, variando o campo magn´etico no tempo, aparecia uma for¸ca eletromotriz, ou potencial el´etrico, induzido em um circuito el´etrico vizinho. Ou ainda: se existe um circuito el´etrico cuja corrente ´e medida por um galvanˆometro, na presen¸ca de um ´ıma em repouso, nada acontecia no circuito, mas quando o ´ıma permanente, fonte de campo magn´etico era aproximado ou afastado do circuito, fazendo variar o fluxo magn´etico (quanto mais pr´oximo o ´ıma mais forte o 48 49 campo e o afastando-o ou aproximando-o do circuito faz o fluxo magn´etico variar no tempo), Faraday percebeu que a agulha do galvanˆometro era defletida, ou seja, uma pequena corrente era induzida no circuito. O sentido dessa corrente foi determinado por Lenz, da´ı o nome Lei de Faraday-Lenz. Matematicamente essa lei ´e expressa na forma: I dΦm (4.5) f.e.m. = E · dl = − dt ou seja, em um circuito fechado, surgir´a uma for¸ca eletromotriz induzida, ou diferen¸ca de potencial no caminho, que ´e igual `a taxa de varia¸c˜ao temporal do fluxo magn´etico Φm . O sinal indica que a for¸ca eletromotriz tem sentido contr´ario ao da varia¸c˜ao, na tentativa de, ao produzir corrente, contrabalan¸car a varia¸c˜ao do fluxo e manter o fluxo constante. O campo el´etrico E que surge devido `a indu¸c˜ ao pela varia¸c˜ao do fluxo magn´etico n˜ao pode ser escrito na forma de um gradiente de potencial, como era o caso do campo eletrost´atico Ee . Esse novo campo, que surge devido `a varia¸c˜ao do campo magn´etico ´e um campo rotacional e n˜ao conservativo. Lembre-se que o campo obtido por um gradiente de um escalar tem integral de circula¸c˜ao total nula, ou seja, o campo ´e irrotacional, ou ainda o campo ´e um campo divergente: I I Ee · dl = ∇φ · dl = 0 H Este novo campo apresenta E·dl 6= 0, e por isso n˜ao pode ser um campo gerado a partir do gradiente ´ o campo el´etrico induzido. Logo iremos mostrar que este campo tem uma do potencial escalar φ. E caracter´ıstica de rotacional. Podemos escrever, explicitamente em termos do campo magn´etico, agora: I Z d B · dS (4.6) E · dl = − dt S e sem perder a generalidade, podemos escrever ainda que: I Z ∂B E · dl = − · dS S ∂t (4.7) Agora aplicamos o teorema de Stokes, j´a deduzido anteriormente: I Z Z ∂B ∇ × E · dS = − E · dl = · dS S S ∂t ou seja: ∂B (4.8) ∂t Para o regime variante no tempo j´a se mostrou que a eq. (4.3) deve ser modificada de acordo com a lei de Faraday. Iremos mostrar agora que a equa¸c˜ao de Maxwell (4.4) tamb´em n˜ao est´a correta, sendo v´alida somente para a magnetost´atica. ∇×E=− 4.2 Corrente de Deslocamento e a Lei de Amp` ere-Maxwell O passo fundamental para uma simetriza¸c˜ao das equa¸c˜oes de Maxwell, unificando o campo el´etrico e magn´etico em um campo eletromagn´etico, foi dado por James Clerk Maxwell, que percebeu que a lei de Amp`ere cont´em um erro. Consideremos a equa¸c˜ao da lei de Amp`ere: ∇×H=J 50 e tomemos o divergente dessa equa¸c˜ao: ∇·∇×H=∇·J O divergente do rotacional de um vetor ´e sempre nulo, de tal forma que isso implica que: ∇·J=0 mas isso somente ´e v´alido no caso em que ∂ρ/∂t = 0, ou seja, quando n˜ao h´a varia¸c˜ao no tempo. Caso assumimos que mesmo no regime de varia¸c˜ao temporal ∇ · J = 0 a conserva¸c˜ao da carga el´etrica ser´ a violada, e isso n˜ao ocorre experimentalmente, pois sabemos que ∇·J+ ∂ρ =0 ∂t De modo a tornar a equa¸c˜ao de Amp`ere verdadeira, Maxwell adicionou o termo qu falta, que nada mais ´e do que completar a equa¸c˜ao de continuidade: ∇·∇×H=∇·J+ ∂ρ =0 ∂t mas ρ = ∇ · D, e ent˜ao: ∂ ∇·D=0 ∂t A derivada temporal e a divergˆencia comutam, e podem ser trocadas de ordem, de tal modo que:   ∂D ∂D ∇·∇×H=∇·J+∇· = ∇· J + =0 ∂t ∂t ∇·∇×H=∇·J+ E agora finalmente, ficamos com a lei de Amp`ere modificada para incluir um termo de corrente ∂D/∂t, que ´e chamado de corrente de deslocamento, e n˜ao ´e uma corrente de condu¸c˜ao, e sim uma corrente que s´o depende da varia¸c˜ao temporal do campo el´etrico no espa¸co. Podemos escrever: ∇×H=J+ ∂D ∂t (4.9) Agora n˜ao somente uma corrente de condu¸c˜ao J d´a origem a um campo magn´etico, mas tamb´em a varia¸c˜ao do vetor el´etrico D tamb´em. A seguir damos mais uma explica¸c˜ao para o termo de deslocamento, em termos de uma constru¸c˜ao intuitiva, proposta por Maxwell. Uma explica¸ c˜ ao simplificada para a corrente de deslocamento A lei de Amp`ere na forma como est´a aplica-se somente ao caso de campos est´aticos, que n˜ ao variam no tempo. James Clerck Maxwell mostrou que havia a necessidade de incluir mais um termo na equa¸c˜ao de Amp`ere de modo a cumprir a conserva¸c˜ao da carga. Consideremos para o que segue o transit´orio do carregamento de um capacitor de placas paralelas. Veja a figura: A capacitˆancia nesse caso vale: A C = 0 d e para qualquer capacitor tem-se a rela¸c˜ao: Q=C ·V 51 tomando a derivada temporal da equa¸c˜ao anterior, obteremos a corrente que flui no capacitor: dQ dV =C dt dt A corrente necess´aria para transportar a carga at´e o capacitor, enquanto este est´a carregando ´e uma corrente de condu¸c˜ao, passando por condutores met´alicos, e chamemos de Ic . Entretanto essa corrente chega ao capacitor e n˜ao h´a corrente de condu¸c˜ao para al´em da placa. Portanto a soma das correntes daquele n´o n˜ao se anula, contrariando a conserva¸c˜ao da carga. A´ı ´e que entra o conceito de corrente de deslocamento, de modo a conservar a carga. Entre as placas do capacitor flui uma corrente, chamada corrente de deslocamento, e deve ser igual `a corrente necess´ aria para carregar o capacitor. Essa corrente ´e dada por: I= ID = dQ dV A dE =C = 0 d dt dt d dt   dE ID = 0 A dt e podemos definir uma densidade de corrente de deslocamento: JD = 0 dE dt de tal forma que possamos escrever: ID = 0 d dt Z E · dS (4.10) S e a lei de Amp`ere mais geral fica escrita: I B · dl = µ0 (IC + ID ) C I Z B · dl = µ0 C J · dS + µ0 0 S d dt Z E · dS S Aplicando-se o teorema de Stokes obtemos, para o caso do v´acuo, a equa¸c˜ao idˆentica `a (4.9): ∇ × B = µ0 J + µ0 ε0 ∂E ∂t (4.11) 52 4.3 Equa¸ c˜ oes de Maxwell: forma diferencial e integral Agora que a equa¸c˜ao de Amp`ere foi corrigida, em regime variante no tempo temos um conjunto de equa¸c˜oes unificadas para o Eletromagnetismo, conhecido como Equa¸c˜oes de Maxwell. Muito embora cada uma das equa¸c˜oes deve-se ao trabalho de muitos f´ısicos e cientistas, foi Maxwell quem deu o passo decisivo na unifica¸c˜ao, formulando rigorosamente o conjunto completo, corrigindo a equa¸c˜ ao de Amp`ere e fazendo a conex˜ao entre ´optica e fenˆomenos eletromagn´eticos, inferindo corretamente a existˆencia das ondas eletromagn´eticas. Na sua express˜ao diferencial temos: ∇·D=ρ (4.12) ∇·B=0 (4.13) ∂B ∂t ∂D ∇×H=J+ ∂t ∇×E=− (4.14) (4.15) juntamente com as rela¸c˜oes constitutivas: D = ε0 E + P (4.16) B = µ0 (H + M) (4.17) Nas equa¸c˜oes acima: D → vetor densidade de fluxo el´etrico [C/m2 ]; E → vetor campo el´etrico [V/m]; B → vetor densidade de fluxo magn´etico [T ou Wb/m2 ]; H → vetor campo magn´etico [A/m]; P → vetor polariza¸c˜ao diel´etrica[C/m2 ]; M → vetor magnetiza¸c˜ao do meio[A/m]; ρ → densidade de carga el´etrica [C/m3 ]; J → vetor densidade de corrente el´etrica [A/m2 ]; onde as unidades do SI s˜ao mostradas, ou na forma integral, obtidas a partir dos teoremas de Gauss e Stokes aplicados `as equa¸c˜oes acima: I Z D · dS = ρ dV (4.18) S V I B · dS = 0 (4.19) S Z I d E · dl = − B · dS (4.20) dt S C I Z Z d D · dS (4.21) H · dl = J · dS + dt S C S 53 Tomando a divergˆencia de (4.15) e utilizando (4.12) chega-se `a Equa¸c˜ao da Continuidade da carga el´etrica: ∂ρ ∇·J+ =0 (4.22) ∂t Em meios lineares e isotr´opicos, a polariza¸c˜ao e a magnetiza¸c˜ao podem ser escritas como: Z ∞ P = ε0 χe (t − τ )E(τ )dτ (4.23) −∞ Z ∞ M= χm (t − τ )H(τ )dτ (4.24) −∞ onde χe e χm s˜ao ditas susceptibilidades diel´etrica e magn´etica do meio, respectivamente. As express˜oes mostradas s˜ao para campos de varia¸c˜ao geral no tempo, em meios lineares, em que a polariza¸c˜ao P ou a magnetiza¸c˜ao M dependem diretamente do campo el´etrico E ou magn´etico H aplicado. Para o v´acuo e meios lineares, isotr´ opicos e homogˆeneos podemos escrever, de outra forma: D = εE B = µH e ent˜ao ρ ε ∇·H=0 ∇·E= ∂H ∂t ∂E ∇×H=J+ε ∂t ∇ × E = −µ 4.4 (4.25) (4.26) (4.27) (4.28) Equa¸ c˜ oes de Maxwell no Regime Harmˆ onico Considerando-se o regime harmˆonico, com varia¸c˜ao do tipo a sin ωt+b cos ωt, onde a e b s˜ao constantes reais, podemos, analogamente aos circuitos el´etricos, escrever um campo vetorial qualquer na forma:   A(x, y, z, t) = < A(x, y, z)eiωt onde A(x, y, z) ´e uma grandeza complexa, ou um fasor. Todas as opera¸c˜oes podem ser realizadas sobre a quantidade complexa, e ent˜ao, tomar a parte real do resultado, dada a linearidade das opera¸c˜ oes com que trabalharemos. Nesse caso fazemos: E(x, y, z, t) = E(x, y, z)eiωt B(x, y, z, t) = B(x, y, z)eiωt Tomar o regime harmˆonico ´e o equivalente `a tomar a transformada de Fourier das equa¸c˜oes de Maxwell em rela¸c˜ao ao tempo, para ir para o dom´ınio da frequˆencia. Para meios lineares e isotr´opicos as rela¸c˜ oes entre B e H, D e E podem ser escritas na forma simplificada: D = ε(ω)E (4.29) B = µ(ω)H (4.30) 54 onde ε = ε0 [1+χe (ω)] ´e a permissividade diel´etrica e e µ = µ0 [1+χm (ω)] ´e a permeabilidade magn´etica do meio. Para meios homogˆeneos ε e µ n˜ao dependem da posi¸c˜ao, e fazendo essas considera¸c˜ oes podemos escrever as equa¸c˜oes de Maxwell no regime harmˆonico: ρ ε ∇·H=0 (4.32) ∇ × E = −iωµH (4.33) ∇ × H = J + iωεE (4.34) ∇·E= (4.31) o que nos permite utilizar apenas os campos E e H. Qualquer campo com dependˆencia temporal mais complicada pode ser decomposto em componentes de Fourier, para cada componente estudamos as equa¸c˜oes de Maxwell no regime harmˆonico, e depois o resultado ´e a soma de todas as componentes. 4.5 Leis de Conserva¸ c˜ ao e o Vetor de Poynting Vamos agora deduzir um importante teorema, que mostra que o campo eletromagn´etico ´e capaz de transportar energia, e portanto produzir press˜ao e transportar momento linear e momento angular, ou seja, o campo eletromagn´etico ´e um ente f´ısico real, com energia, momento linear e angular, e n˜ ao meramente um artif´ıcio matem´atico utilizado para estudar problemas eletromagn´eticos. A for¸ca total exercida sobre uma part´ıcula ´e dada pela for¸ca de Lorentz: F = q(E + v × B) (4.35) que, para uma distribui¸c˜ao de cargas podemos escrever: Z F = (ρE + J × B)dV (4.36) O trabalho realizado no sistema de part´ıculas ´e simplesmente dado por: Z Z Z W = F · dl = (ρE + J × B) · dl dV (4.37) Ainda ´e conveniente definir uma densidade de trabalho realizado, e neste caso temos simplesmente: Z dW = (ρE + J × B) · dl (4.38) dV Sabemos que a for¸ca magn´etica n˜ao realiza trabalho, e por isso podemos escrever: Z Z Z dW = ρE · dl = ρv · Edt = dtJ · E dV (4.39) ou para a densidade de potˆencia (potˆencia ´e P = dW/dt): dP =J·E dV Fazendo uso das equa¸c˜oes de Maxwell temos: J=∇×H− ∂D ∂t (4.40) 55 e substituimos ent˜ao: dP = dV  ∂D ∇×H− ∂t  ·E (4.41) ´ conveniente ainda incluir um termo ∇ × E + ∂B/∂t = 0, que ´e um termo nulo, das equa¸c˜ E oes de Maxwell, mas que ser´a u ´til para o que segue, ent˜ao fazemos:     ∂D ∂B dP = ∇×H− ·E− ∇×E+ ·H (4.42) dV ∂t ∂t Expandindo temos ent˜ao: dP = (∇ × H · E − ∇ × E · H) − dV   ∂D ∂B ·E+ ·H ∂t ∂t (4.43) Utilizemos agora a seguinte propriedade vetorial: ∇ · (E × H) = ∇ × E · H − ∇ × H · E e ainda, se D = εE e B = µH: ∂D ∂B 1∂ ·E+ ·H= (D · E + B · H) ∂t ∂t 2 ∂t para finalmente obter: dP ∂ = −∇ · (E × H) − dV ∂t  1 2 1 εE + εB2 2 2µ  =J·E (4.44) A equa¸c˜ao acima pode ser reescrita agora, na sua forma final e mais elegante: ∇·S+ ∂u = −J · E ∂t (4.45) onde S=E×H   1 1 2 2 u= εE + B 2 µ (4.46) (4.47) Esta ´e a forma pontual da equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da energia. O vetor S ´e conhecido como vetor de Poynting, devido ao f´ısico que o descobriu. O vetor de Poynting tem unidades de potˆencia por unidade de ´area, ou seja, corresponde a uma densidade de fluxo de energia (W/m2 ou J/(s.m2 ), no SI). J´ a u ´e uma densidade de energia eletromagn´etica, e o termo J · E ´e o termo dissipativo, ou seja, a perda de energia eletromagn´etica das part´ıculas cuja densidade de corrente ´e J, para o campo. Ent˜ao podemos colocar o significado da equa¸c˜ao puntual: A divergˆencia do vetor de Poynting S significa que h´ a uma energia eletromagn´etica saindo ou entrando no ponto, deve ser igual ao negativo da densidade de energia eletromagn´etica armazenada no ponto adicionado ao termo de perda de energia das part´ıculas para o campo. Podemos colocar a equa¸c˜ao na sua forma integral, para obtermos: I Z Z d u dV = − J · E dV (4.48) S · da + dt V a V 56 onde da ´e o diferencial de superf´ıcie, a ´e a superf´ıcie que encerra o volume total V . Trocamos a nota¸c˜ ao de superf´ıcie para n˜ao confundir com o vetor de Poynting. Nessa forma podemos dizer que um fluxo de energia eletromagn´etica, atravessa os contornos de um volume V pela superf´ıcie de contorno a, na forma do vetor de Poynting, se diminui no interior do volume V a energia total eletromagn´etica R u dV e se as part´ıculas, representadas por J cedem energia ao campo. Em outras palavras o fluxo de energia eletromagn´etica para fora de uma superf´ıcie a fechada, deve ser igual `a diminui¸c˜ao da energia eletromagn´etica armazenada no interior do volume adicionada a uma taxa dissipativa de trabalho dos campos sobre as part´ıculas. Em regime harmˆonico interessa-nos a m´edia sobre um per´ıodo de oscila¸c˜ao, ou valor RMS do vetor de Poynting S e que pode ser escrita na forma abaixo, 1 Smed = < [E × H∗ ] , 2 de acordo com os resultados mostrados no Cap´ıtulo 2, para a ´algebra de Vetores e Fasores. (4.49) Cap´ıtulo 5 Ondas Planas Uniformes Agora que j´a temos familiaridade com as equa¸c˜oes de Maxwell na sua forma diferencial, para o regime dependente do tempo, vamos estudar uma das suas previs˜oes mais espetaculares, as ondas eletromagn´eticas. Para isso precisamos resolver as equa¸c˜oes de Maxwell. As equa¸c˜oes de Maxwell s˜ao um conjunto de 4 equa¸c˜oes diferenciais vetoriais que quando espandidas resultam em 8 equa¸c˜ oes diferenciais, o que ´e bastante complexo de se resolver. Em meios lineares h´a apenas 6 vari´ aveis de campo independentes pois das 8 equa¸c˜oes de Maxwell, 2 acabam sendo redundantes. Ao inv´es de atacar as equa¸c˜oes de Maxwell na forma como est˜ao, ´e poss´ıvel fazer algumas manipula¸c˜oes, tais que o resultado ´e uma equa¸c˜ao para o campo el´etrico E, ou magn´etico H, conhecida como equa¸c˜ao de ondas, ou equa¸c˜ao de Helmholtz, no regime harmˆonico. Essa equa¸c˜ao ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial que pode ser mais facilmente resolvida do que as equa¸c˜oes de Maxwell na sua forma convencional. 5.1 A Equa¸ c˜ ao de Ondas Utilizemos as equa¸c˜oes de Maxwell na forma abaixo supondo meio homogˆeneo, linear e isotr´ opico: ρ ε (5.1) ∇·H=0 (5.2) ∇·E= ∂H ∂t ∂E ∇×H=J+ε ∂t Tomando simultaneamente o rotacional em (5.3) e (5.4) temos: ∇ × E = −µ ∇ × ∇ × E = −µ∇ × (5.3) (5.4) ∂H ∂t ∇ × ∇ × H = ∇ × J + ε∇ × (5.5) ∂E ∂t (5.6) ∂ ∂ As derivadas temporais e o rotacional s˜ao comut´aveis, da´ı que ∇ × ∂t = ∂t ∇×, e podemos reescrever as equa¸c˜oes acima utilizando ainda a identidade vetorial (34), que diz ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A, para obter: ∂ ∇(∇ · E) − ∇2 E = −µ (∇ × H) (5.7) ∂t 57 58 ∂ (∇ × E) (5.8) ∂t Neste ponto, fa¸camos uso das equa¸c˜oes de Maxwell na forma (4.31)-(4.34), e substituindo nas equa¸c˜ oes (5.7) e (5.8):   ρ ∂ ∂E 2 ∇ − ∇ E = −µ J+ε (5.9) ε ∂t ∂t   ∂ ∂H −∇2 H = ∇ × J + ε −µ (5.10) ∂t ∂t ∇(∇ · H) − ∇2 H = ∇ × J + ε Separando agora as fontes dos campos, ficamos com:   ρ ∂2 ∂J ∇2 − µε 2 E = ∇ +µ ∂t ε ∂t   ∂2 2 ∇ − µε 2 H = −∇ × J ∂t (5.11) (5.12) O operador de ondas muitas vezes ´e representado pelo s´ımbolo   ∂2 2  = ∇ − µε 2 ∂t e ´e dito operador de D’Alembert, ou D’Alembertiano. Nas equa¸c˜oes (5.11) e (5.12) vemos que o campo el´etrico E tem sua fonte nas densidades de cargas ρ e corrente J, enquanto o campo magn´etico H apenas na densidade de corrente J. As cargas e correntes podem ser intr´ınsecas ao meio, ou tamb´em induzidas pelos campos que incidem no meio. Vamos considerar o caso mais simples, dado pela Lei de Ohm vetorial, na qual o campo el´etrico produz uma densidade de correntes na forma: J = σE (5.13) onde σ ´e a condutividade do material. Consideremos ent˜ao ρ = 0 e a densidade de correntes dada por (5.13) para obter:   ∂E ∂2 2 (5.14) ∇ − µε 2 E = µσ ∂t ∂t   ∂2 ∂H 2 ∇ − µε 2 H = µσ (5.15) ∂t ∂t Tais equa¸c˜oes representam a propaga¸c˜ao de campos eletromagn´eticos em meios nos quais a corrente ´e excitada pelo pr´oprio campo. Neste sentido o termo `a direita nas equa¸c˜oes representa as perdas da onda para o material. Obviamente, no v´acuo ou meios diel´etricos ideais n˜ao h´a perdas (σ = 0) e temos as equa¸c˜oes:   ∂2 2 ∇ − µε 2 E = 0 (5.16) ∂t   ∂2 2 ∇ − µε 2 H = 0 (5.17) ∂t Todas as equa¸c˜oes acima referem-se a campos com varia¸c˜oes quaisquer no tempo. Estamos interessados entretanto nas varia¸c˜oes harmˆonicas, ou seja, campos do tipo E = E(x, y, z, ω)eiωt (5.18) 59 De forma mais rigorosa, podemos definir as transformadas de Fourier para o tempo: Z ∞ 1 F (ω) = f (t)e−iωt dt 2π −∞ Z ∞ f (t) = F (ω)eiωt dω −∞ Vamos escrever os campos na seguinte forma: Z ∞ E(x, y, z, t) = F (ω)E(x, y, z, ω)eiωt dω (5.19) −∞ Z ∞ F (ω)H(x, y, z, ω)eiωt dω H(x, y, z, t) = (5.20) −∞ O conte´ udo espectral de uma onda ´e dado por F (ω), mas devemos lembrar que E(x, y, z, ω) e H(x, y, z, ω) tamb´em dependem da frequˆencia, via Equa¸c˜ao de Helmholtz, como ser´a mostrado a seguir. Por conveniˆencia iremos omitir o fato. Para obter a equa¸c˜ao de Helmholtz (onda no dom´ınio da frequˆencia) podemos utilizar tanto a defini¸c˜ao (5.18) nas equa¸c˜oes de onda quanto as defini¸c˜oes da transformada de Fourier. Um campo geral no dom´ınio do tempo ser´a simplesmente a soma de todas as contribui¸c˜ oes de frequˆencia. Para lembrar das propriedades de transformadas de Fourier, temos as simples substitui¸c˜ oes ∂ → iω ∂t ∂2 → −ω 2 ∂t2 e utilizando as propriedades e substituindo os campos na forma (5.19) e (5.20) em (5.14) e (5.15) temos:
∇2 + ω 2 µε E(x, y, z) = iωµσE(x, y, z) (5.21)
∇2 + ω 2 µε H(x, y, z) = iωµσH(x, y, z) (5.22) ´ poss´ıvel escrever ainda em forma mais compacta as equa¸c˜oes de Helmholtz, definindo uma E permissividade diel´etrica complexa, na forma  σ  εc = ε 1 − i (5.23) ωε de tal forma que (5.21) e (5.22) possam ser escritas na forma abaixo:
∇2 + ω 2 µεc E(x, y, z) = 0 (5.24)
∇2 + ω 2 µεc H(x, y, z) = 0 (5.25) Apenas para advertir: os parˆametros µ e εc variam com a frequˆencia. Partiremos agora para a determina¸c˜ao de solu¸c˜oes de ondas eletromagn´eticas planas, muito u ´teis na an´alise de problemas, muito embora sejam solu¸c˜oes ideais e de energia infinita. As solu¸c˜ oes de ondas planas representam bem as ondas distantes de um emissor esf´erico por exemplo. Quest˜ao: Qual ´e o procedimento para a determina¸c˜ao dos campos? Obtemos um dos campos (el´etrico ou magn´etico) no dom´ınio da frequˆencia atrav´es da equa¸c˜ao de Helmholtz. Como os campos n˜ao s˜ao independentes entre si o outro ´e determinado atrav´es da equa¸c˜oes de Maxwell primitivas. E ainda se o campo for arbitr´ario no tempo, fazemos a transforma¸c˜ao de Fourier dos campos em 60 regime harmˆonico para a obten¸c˜ao no dom´ınio do tempo. Vamos adotar o c´alculo de E via equa¸c˜ ao de Helmholtz, e determinar H atrav´es da equa¸c˜ao de Maxwell: ∇ × E = −µ ∂H ∂t e no dom´ınio da frequˆencia ficamos com: H=i ∇×E ωµ (5.26) sendo E determinado atrav´es da equa¸c˜ao (5.24). Outra quest˜ao importante ´e a transferˆencia da energia eletromagn´etica de um ponto a outro atrav´es da onda. A densidade de potˆencia eletromagn´etica ´e dada pelo vetor de Poynting, que no caso do regime harmˆonico nos fornece o valor m´edio: 1 Smed = Re {E × H∗ } 2 (5.27) Tendo essas equa¸c˜oes em m˜aos, vamos analisar as solu¸c˜oes de ondas planas. A proposta de solu¸c˜ ao ´e da forma abaixo: E(x, y, z) = E0 e−ik·x (5.28) onde E0 ´e um vetor constante e k=ˆ ax kx + ˆ ay ky + ˆ az kz , x = xˆ ax + yˆ ay + zˆ az , k · x = kx x + ky y + kz z O Laplaciano em coordenadas cartesianas ´e dado por: ∇2 A = ˆ ax ∇2 Ax + ˆ ay ∇2 Ay + ˆ az ∇2 Az e 2 ∇ Φ=  ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2  Φ onde A = ˆ a x Ax + ˆ a y Ay + ˆ az Az e Φ representa um escalar (Ax , Ay e Az s˜ao escalares). As quantidades que calcularemos agora ser˜ao importantes no que segue:   ∂ ∂ ∂ −ik·x ∇(e )= ˆ ax +ˆ ay +ˆ az e−ik·x = ∂x ∂y ∂z   ∂ ∂ ∂ = ˆ ax +ˆ ay +ˆ az e−i(kx x+ky y+kz z) = e−ikx x ∂x ∂y ∂z e−i(kx x+ky y+kz z) = e−ikx x e−iky y e−ikz z tem-se ent˜ao: −ik·x ∇(e ∇(e−ik·x ) = ˆ ax =ˆ ax   ∂ ∂ ∂ )= ˆ ax +ˆ ay +ˆ az e−ikx x e−iky y e−ikz z = ∂x ∂y ∂z ∂(e−ikx x e−iky y e−ikz z ) ∂(e−ikx x e−iky y e−ikz z ) ∂(e−ikx x e−iky y e−ikz z ) +ˆ ay +ˆ az = ∂x ∂y ∂z ∂e−iky y −ikx x −ikz z ∂e−ikz z −ikx x −iky y ∂e−ikx x −iky y −ikz z e e +ˆ ay e e +ˆ az e e = ∂x ∂y ∂z 61 = −ikx ˆ ax e−ikx x e−iky y e−ikz z − iky ˆ ay e−ikx x e−iky y e−ikz z − ikz ˆ az e−ikx x e−iky y e−ikz z Colocando em evidˆencia as exponenciais, temos: ∇(e−ik·x ) = −i(kx ˆ ax + ky ˆ ay + kz ˆ az )e−ikx x e−iky y e−ikz z , para finalmente escrever: ∇(e−ik·x ) = −ike−ik·x (5.29) Quanto ao Laplaciano 2 −ik·x ∇ (e  )= ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2  e−ik·x Efetuando a derivada segunda em x: ∂ 2 −ik·x ∂ e = 2 ∂x ∂x  ∂e−ik·x ∂x  = −kx2 e−ik·x da mesma forma para y e z de tal forma que obteremos: ∇2 (e−ik·x ) = −k 2 e−ik·x (5.30) onde k 2 = k · k = kx2 + ky2 + kz2 . Agora vamos analisar a solu¸c˜ao proposta, para ver se esta satizfaz a equa¸c˜ao de Helmholtz: E(x, y, z) = E0 e−ik·x
∇2 + ω 2 µεc E(x, y, z) = 0 = ∇2 (E0 e−ik·x ) + ω 2 µεc E0 e−ik·x = como E0 = E0x ˆ ax + E0y ˆ ay + E0z ˆ az ´e um vetor constante, n˜ao dependendo de x, y, z, podemos tir´ a-lo fora do laplaciano e ficamos com:  
∇2 + ω 2 µεc E(x, y, z) = E0 ∇2 (e−ik·x ) + ω 2 µεc e−ik·x mas o laplaciano da exponencial est´a dado em (5.30) e ent˜ao podemos utilizar o resultado:  
∇2 + ω 2 µεc E(x, y, z) = E0 −k 2 e−ik·x + ω 2 µεc e−ik·x =
= E0 e−ik·x −k 2 + ω 2 µεc = 0 Para a identidade ser satisfeita s˜ao duas possibilidades: 1) E0 = 0, e esta ´e a solu¸c˜ao trivial da equa¸c˜ ao de Helmholtz, o que n˜ao desejamos; 2) a quantidade entre parenteses deve ser nula, ou seja: −k 2 + ω 2 µεc = 0 e esta condi¸c˜ao deve ser satisfeita para que (5.28) seja solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Helmholtz na frequˆencia ω, dessa forma, a onda deve respeitar a seguinte rela¸c˜ao de dispers˜ao (assim conhecida): k 2 = ω 2 µεc ou √ k = ω µεc (5.31) 62 Mostramos que a solu¸c˜ao proposta ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Helmholtz, k ´e dito vetor de ondas e pode ser escrito na forma: k = kˆ n (5.32) onde n ˆ ´e um vetor unit´ario que aponta na dire¸c˜ao de k. Agora que temos o campo el´etrico vamos calcular o campo magn´etico pela equa¸c˜ao de Maxwell (5.26): ∇×E ∇ × (E0 e−ik·x ) H=i =i ωµ ωµ mas novamente, E0 ´e um vetor constante, e ent˜ao as derivadas no rotacional n˜ao atuam sobre ele. Podemos utilizar uma identidade vetorial: ∇ × (ΦA) = ∇Φ × A + Φ∇ × A onde fazemos Φ = e−ik·x e A = E0 , mas como o vetor ´e constante ficamos com: ∇ × (E0 e−ik·x ) = ∇(e−ik·x ) × E0 + e−ik·x ∇ × E0 = ∇(e−ik·x ) × E0 . O gradiente da exponencial j´a foi calculado, sendo dado por (5.29) e tem-se: ∇ × (E0 e−ik·x ) = −ike−ik·x × E0 = −ik × (E0 e−ik·x ) = −ik × E agora fazemos a substitui¸c˜ao para calcular o campo magn´etico: H=i ∇×E ∇ × (E0 e−ik·x ) −ik × E =i =i = ωµ ωµ ωµ = k×E , ωµ e colocando o vetor de onda na nota¸c˜ao m´odulo e vetor unit´ario temos: H= k n ˆ×E ωµ Daqui surge a defini¸c˜ao de impedˆancia do meio, substituindo k por (5.31): √ ω µεc 1 k = = Z ωµ ωµ e simplificando tem-se: r Z= Escrevemos ent˜ao: H= µ εc 1 n ˆ×E Z Vamos calcular agora o vetor de Poynting: Smed    1 1 1 ∗ ∗ = Re {E × H } = Re E × n ˆ×E 2 2 Z∗ Utilizando o triplo produto vetorial: A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (5.33) (5.34) 63 temos E × (ˆ n × E∗ ) = (E · E∗ )ˆ n − (E · n ˆ )E∗ vamos verificar agora pela equa¸c˜ao de Maxwell ∇ · E = 0 que E · n ˆ = 0: ∇ · E = 0 = ∇ · (E0 e−ik·x ) = ∇(e−ik·x ) · E0 + e−ik·x ∇ · E0 novamente E0 ´e constante, e a sua divergencia ´e nula, portanto temos, utilizando o resultado para o gradiente, o seguinte resultado: ∇ · E = 0 = ∇(e−ik·x ) · E0 = −ik · E0 e−ik·x = −ikˆ n·E=0 de onde a u ´nica solu¸c˜ao poss´ıvel ´e: n ˆ·E=0 Podemos facilmente mostrar tamb´em que: n ˆ·H=0 e ent˜ao voltanto ao vetor de Poynting, com os resultados anteriormente obtidos, temos: E × (ˆ n × E∗ ) = (E · E∗ )ˆ n e finalmente: Smed 1 = Re 2  1 Z∗  (E · E∗ )ˆ n (5.35) Vamos agora sumarizar os resultados e tirar as conclus˜oes pertinentes: - Dada a equa¸c˜ao de Helmholtz para o campo el´etrico (assumimos a varia¸c˜ao eiωt e esta ´e impl´ıcita):
∇2 + ω 2 µεc E(x, y, z) = 0 e a equa¸c˜ao de Maxwell para determinar o campo magn´etico: H=i ∇×E ; ωµ - Temos por solu¸c˜ao: E(x, y, z) = E0 e−ik·x e 1 n ˆ×E Z r µ ; Z= εc H= k √ ; k = ω µεc k   1 1 (E · E∗ )ˆ n Smed = Re 2 Z∗ n ˆ= n ˆ·E=0 e n ˆ·H=0 (5.36) (5.37) (5.38) (5.39) - De (5.36), como o campo magn´etico ´e obtido atrav´es de um produto vetorial entre n ˆ e E, sabemos que H ´e ortogonal aos outros dois; - De (5.38) conclu´ımos que a energia eletromagn´etica se propaga na dire¸c˜ao de k, haja vista que a dire¸c˜ao do Poynting ´e n ˆ . A intensidade da densidade de potˆencia ´e proportional ao m´ odulo do campo ao quadrado. 64 - De (5.39) concluimos que para uma onda plana a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da energia n ˆ ´e ortogonal tanto a E quanto a H. Portanto n ˆ , E e H formam uma tr´ıade de vetores ortogonais entre si. Como a perturba¸c˜ao E e H ´e ortogonal `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao a onda ´e dita transversa (caracter´ıstica das ondas planas muito importante); Para o que segue, vamos supor uma onda plana eletromagn´etica no v´acuo. Seja a dire¸c˜ ao de propaga¸c˜ao z, ent˜ao n ˆ=ˆ az . Temos ent˜ao: ω √ k = kˆ az = ω µ0 ε0 ˆ az = ˆ az c A solu¸c˜ao para o campo el´etrico na frequˆencia ω ´e: E(x, y, z, t) = E0 e−ikz eiωt mas qual ´e a dire¸c˜ao de E0 ?? Dada a ortogonalidade entre a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao e o campo, s´ o poder´a ser x ou y pois vemos que E0 = E0 ˆ ax ou E0 = E0 ˆ ay cumpre a condi¸c˜ao (5.39). Vamos escolher E0 = E0 ˆ ax de modo que: E(x, y, z, t) = E0 ei(ωt−kz) ˆ ax e o campo magn´etico sendo dado por: H(x, y, z, t) = 1 E0 ei(ωt−kz) ˆ ay Z0 Z0 ´e a impedˆancia do v´acuo, e vale Z0 = 120π Ω = 377Ω. O vetor de Poynting, na dire¸c˜ao da energia, vale: 1 Smed = |E0 |2 ˆ az 2Z0 Vamos mostrar agora que a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda ´e realmente z. A fase da onda ´e dada por: ϕ(t, z) = ωt − kz Se queremos nos posicionar em determinado valor de z, a fase varia com o tempo, e o que vemos ´e um campo variante senoidalmente naquela posi¸c˜ao. Agora, se tirarmos uma fotografia espacial da onda em um dado t, vemos que a onda varia senoidalmente no espa¸cotempo., pois a fase para t constante ´e vari´avel com z. Tomando a parte real de ei(ωt−kz) temos cos(ωt − kz), e a´ı ilustramos bem o que estamos dizendo. Em t = 0 a onda ´e da forma cos(kz) em todo o espa¸co, mas em z = z0 temos uma varia¸c˜ao cosenoidal no tempo, naquele ponto, cos(ωt − kz0 ), onde kz0 ´e apenas uma defasagem em rela¸c˜ao a z = 0. Agora, se quisermos acompanhar uma fase constante da onda (um pico por exemplo), ou seja, ϕ(t, z) = cte, deveremos nos mover ao longo do eixo z enquanto o tempo passa, pois `a medida que o tempo passa a fase cresce com t, mas decresce com z. Se conseguimos contrabalan¸car as duas varia¸c˜oes, temos a fase constante. Para fase constante no tempo queremos que, ao verificarmos a fase, esta n˜ao varie: dϕ(z, t)|cte dz =0=ω−k dt dt ou em outras palavras, para acompanharmos um ponto de fase constante, devemos nos mover ao longo de z conforme o tempo passa, e a velocidade com que devemos andar ´e dada por: ω dz = dt k 65 Esta velocidade ´e conhecida como velocidade de fase, pois ´e a velocidade com que a fase da onda varia no espa¸co. H´a ainda a velocidade de grupo que n˜ao conv´em abordar neste momento. Para o v´ acuo temos: ω ω dz = = = c, dt k ω/c ou seja, a velocidade de propaga¸c˜ao de uma onda plana, no v´acuo, ´e c = 3 · 108 m/s. H´a ainda algumas rela¸c˜oes, que n˜ao iremos discutir, mas podem ser encontradas em livros de Eletromagnetismo, e s˜ ao dadas abaixo: 2π 2π e ω= = 2πf (5.40) Re(k) = λ T onde λ ´e dito comprimento de onda e f ´e a frequˆencia temporal. 5.2 An´ alise da Propaga¸ c˜ ao de Ondas em Meios Materiais Vamos assumir ondas propagantes na dire¸c˜ao positiva de z (ou negativa, quando necess´ario), e temos para propaga¸c˜ao positiva (a varia¸c˜ao temporal ser´a sempre omitida pois estamos em regime harmˆ onico iωt e ): E = E0 e−ikz ˆ ax (5.41) 1 E0 e−ikz ˆ ay Z   1 1 = Re E02 e−2αz ˆ az 2 Z∗ H= Smed (5.42) (5.43) onde α = Re{k} ´e a constante de perdas do meio. Para propaga¸c˜ao na dire¸c˜ao negativa temos: E = E0 eikz ˆ ax Smed (5.44) 1 H = − E0 eikz ˆ ay Z   1 1 = − Re E02 e2αz ˆ az 2 Z∗ (5.45) (5.46) Precisamos agora avaliar k e Z, dado que estes s˜ao n´ umeros complexos. √ k = ω µεc = β − iα e queremos determinar β e α: √ k = ω µεc = β − iα = ω r  σ  µε 1 − i ωε Colocando na forma polar a parte complexa, e fazendo os c´alculos necess´arios, chegamos a: k = β − iα sr r  σ 2 µε α=ω 1+ −1 2 ωε sr r  σ 2 µε β=ω 1+ +1 2 ωε (5.47) (5.48) (5.49) 66 O parˆametro α ´e dito constante de perdas do material, e β ´e a constante de propaga¸c˜ao. Para a impedˆancia do meio temos: r µ
Z= σ ε 1 − i ωε e ap´os as manipula¸c˜oes matem´aticas, podemos escrever: Z = r + ix sendo r=  2ε 1 + x= sr µ s σ2 ω 2 ε2  sr µ s  2ε 1 + 1+ σ2 ω 2 ε2  1+ (5.50)  σ 2 +1 ωε (5.51)  σ 2 −1 ωε (5.52) Meios Sem Perdas (σ = 0) No caso de materiais diel´etricos e magn´eticos sem perdas, ou seja, ideais, temos as seguintes express˜ oes para as constantes de propaga¸c˜ao, perdas e impedˆancia: √ α = 0 ; β = ω µε √ k = β = ω µε r µ Z= ε (5.53) (5.54) (5.55) Temos ent˜ao, os campos propagantes na dire¸c˜ao z positiva: E = E0 e−iβz ˆ ax r ε E0 e−iβz ˆ ay H= µ r 1 ε 2 E ˆ az Smed = 2 µ 0 (5.56) (5.57) (5.58) e em diel´etricos ideais, µ = µ0 , ε = εr ε0 . Mostramos nas Figuras (8.2) e (8.3) o campo el´etrico de uma onda plana no v´acuo, c = 3 · 108 m/s e de comprimento de onda λ = 0.1 m (na faixa de microondas f = 3 GHz). Meios Diel´ etricos Reais com Pequenas Perdas(σ << 1) No caso de materiais isolantes reais, sempre h´a uma pequena condutividade, e por menor que seja, leva a perdas, mas podemos aproximar as express˜oes gerais de constante de propaga¸c˜ao e perdas √ levando em conta o fato de σ/ωε << 1, de forma que podemos expandir 1 + x2 ≈ 1 + x2 /2, nas express˜oes para α, β e Z, para obter: r 1 µ √ (5.59) k = β − iα ≈ ω µε − i σ 2 ε r  σ  µ Z≈ 1+i (5.60) ε 2ωε 67 Figura 5.1: Campo El´etrico de uma Onda Plana no V´acuo, mostrado em todo o espa¸co z e t Figura 5.2: Campo El´etrico de uma Onda Plana no V´acuo, mostrado em: a) z = 0 e para todo t; b) em t = 0 para todo z. onde desprezamos os termos em σ 2 das express˜oes finais. A onda propagada nesse meio tem, no sentido positivo de z, as seguintes express˜oes: r   1 µ E = E0 exp − σ z e−iβz ˆ ax (5.61) 2 ε r   r  ε σ  1 µ H= 1−i E0 exp − σ z e−iβz ˆ ay (5.62) µ 2ωε 2 ε 68 Smed 1 ≈ 2 r  r  ε 2 µ E0 exp −σ z ˆ az µ ε (5.63) Aqui podemos verificar que o campo magn´etico fica defasado ligeiramente do campo el´etrico, mas n˜ao h´a uma influˆencia significativa na densidade de potˆencia, a n˜ao ser pelas perdas. A distˆ ancia necess´aria para a intensidade de campo cair a 1/e do valor em z = 0 dever´a ser: r 2 ε δ= σ µ Para o vidro, podemos aproximar εr = 4 e µr ≈ 1. A condutividade do vidro ´e σ = 10−12 Ω−1 m−1 de forma que a penetra¸c˜ao da onda no meio ´e da ordem de δ= 1 √ 2 4m −12 10 377 δ = 10.6 · 109 m ∼ 107 km ou seja, a distˆancia percorrida pela onda ´e muito grande em diel´etricos de poucas perdas, o que significa que diel´etricos n˜ao s˜ao bons isolantes para ondas eletromagn´eticas. A an´alise acima ´e bastante simplista j´a que desconsideramos as dependˆencias de ε com a frequˆencia e temperatura. Meio Condutor (σ muito grande) O meio condutor ideal possui condutividade infinita. Vamos nos concentrar nos casos em que σ ´e muito grande. Dessa forma temos: r ωµσ α=β= 2 e podemos escrever: r k = β − iα ≈ r Z= ωµσ (1 − i) 2 ωµ (1 + i) 2σ (5.64) (5.65) Aqui o campo magn´etico fica em defasagem evidente (−45o ) em rela¸c˜ao ao campo el´etrico e temos:  r   r  ωµσ ωµσ E = E0 exp − z exp −i z ˆ ax 2 2  r   r  r σ ωµσ ωµσ H= (1 − i)E0 exp − z exp −i z ˆ ay 2ωµ 2 2  r  r 1 σ ωµσ 2 Smed ≈ E0 exp −2 z ˆ az 2ωµ 2 2 (5.66) (5.67) (5.68) Observamos que o campo magn´etico assume valores bastante altos, dado que ´e multiplicado por e a penetra¸c˜ao de campo, agora definindo quando o campo cai a 1/e, ser´a dado por: r 2 δ= ωµσ √ σ, Esta ´e a penetra¸c˜ao m´axima de uma onda em um condutor, onde o campo cai do valor para um valor de 30% do campo inicial. Aqui est´a o conhecido efeito Skin dos condutores, quando a corrente el´etrica 69 acaba ficando somente na superf´ıcie do condutor a altas frequˆencias. Para exemplificar, vamos supor f = 1 MHz, µ = µ0 e a condutividade do alum´ınio σ ≈ 3.54 · 107 Ω−1 m−1 : δ ≈ 8.5 · 10−5 m = 85 µm ou seja, um campo eletromagn´etico incidindo numa chapa de aluminio de 1 mm n˜ao passaria para o outro lado, o que sugere que os condutores s˜ao bons isolantes para ondas eletromagn´eticas. Meios com Perdas e Condutividade da ordem σ ∼ 1 Aqui as express˜oes gerais devem ser utilizadas, j´a que aproxima¸c˜oes para α e β n˜ao s˜ao poss´ıveis. Os campos propagantes na dire¸c˜ao z positiva s˜ao da forma geral: E = E0 e−αz e−iβz ˆ ax 1 E0 e−αz e−iβz ˆ ay Z   1 1 = Re E02 e−2αz ˆ az 2 Z∗ H= Smed (5.69) (5.70) (5.71) Nas figuras 5.3,5.4 e 5.5 s˜ao mostrados os gr´aficos para o caso em que σ = 0.1Ω−1 m−1 na frequˆencia de 3GHz e as constantes α, β e Z foram calculadas de forma exata, considerando-se µ = µ0 e ε = ε0 atrav´es de (5.48), (5.49) e (5.50). Figura 5.3: Campo El´etrico de uma Onda Plana em meio com perdas σ = 0.1Ω−1 m−1 , mostrado em todo o espa¸co z e t 5.2.1 Resumo: Ondas Planas Uniformes Equa¸c˜oes de Maxwell para ondas planas uniformes n ˆ·E=0 (5.72) n ˆ·H=0 1 H= n ˆ×E Z E=Z H×n ˆ (5.73) (5.74) (5.75) 70 Figura 5.4: Campos El´etrico e Campo Magn´etico de uma Onda Plana em meio com perdas σ ∼ 1. a) e b) mostram E e H em z = 0 e para todo t, respectivamente; c) e d) mostram E e H em t = 0 para todo z, respectivamente. Os campos decaem enquanto se propagam em z Figura 5.5: Vetor de Poynting em fun¸c˜ao de z. Observa-se que a energia da onda ´e perdida enquando se propaga no meio. Vetor de Poynting Smed 1 = Re 2  1 Z∗  1 |E|2 n ˆ = Re (Z) |H|2 n ˆ 2 Equa¸c˜ao de ondas ou e Helmholtz (∇2 + ω 2 µεC )E = 0 (5.76) 71 (∇2 + ω 2 µεC )H = 0 √ k = ω µεC = β − iα Z = ωµ/k = p µ/εC onde a solu¸c˜ao geral da Equa¸c˜ao de Helmholtz para o campo el´etrico ´e: E = E0 e−αˆn·x ei(ωt−βˆn·x) (5.77) e E0 ´e um vetor complexo constante. Para uma onda eletromagn´etica em um meio qualquer: k = β − iα sr r  σ 2 µε 1+ −1 α=ω 2 ωε sr r  σ 2 µε β=ω 1+ +1 2 ωε (5.78) (5.79) (5.80) Meio com poucas perdas: r 1 µ k = β − iα ≈ ω µε − i σ 2 ε r  µr σ  Z ≈ Z0 1+i εr 2ωε √ (5.81) (5.82) Rela¸c˜oes importantes: c = λf ω = 2πf <{k} = β = 5.3 2π λ Modelos simples para a condutividade e a permissividade diel´ etrica Devemos ter em mente que a condutividade, permissividade diel´etrica e permeabilidade magn´etica s˜ao dependentes da frequˆencia. Existem muitos modelos para descrevˆe-los. A palavra final est´ a na compreens˜ao da Mecˆanica Quˆantica, mas um modelo simples como o de Drude pode nos dar uma id´eia. Para a condutividade temos a lei de Ohm vetorial: J = σE mas em um g´as de el´etrons quase-livres podemos supor que a densidade de corrente ´e dada por: J = nev onde n ´e a densidade de el´etrons por unidade de volume, e ´e a carga e v a velocidade m´edia dos el´etrons. Desse modo temos como determinar a condutividade: σ= J v = ne E E Assumindo um campo el´etrico variante no tempo, temos a equa¸c˜ao de movimento dos el´etrons: dv e + νv = E dt m 72 onde desprezamos a for¸ca que o campo magn´etico realiza na carga, j´a que em regime de baixas velocidades (que ´e o caso, em geral) temos E >> v × B. A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao diferencial acima, para a velocidade ´e simples e para uma fonte de campo E = E0 eiωt , podemos supor v = v0 eiωt para obter: e E0 v0 = m(ν + iω) S´o para lembrar, ν representa a frequˆencia de colis˜oes e por isso perdas no movimento dos el´etrons. Para ω = 0 temos a condutividade DC do material. e por ela ´e poss´ıvel medir esse valor de ν. A condutividade do material ´e portanto: ne2 σ= m(ν + iω) Daqui j´a temos a id´eia de que a condutividade depende da frequˆencia. O mesmo vale para a permissividade diel´etrica, mas a´ı o el´etron est´a preso a um ´atomo ou mol´ecula 2 . A equa¸ por uma constante de mola k = mωse c˜ao diferencial representando o movimento ´e ent˜ ao: m d2 ξ~ dξ~ 2 ~ = eE − mωse ξ − mν 2 dt dt ξ~ ´e a separa¸c˜ao entre o el´etron e o n´ ucleo ao qual est´a ligado. Definimos o momento de dipolo el´etrico na forma: p~ = eξ~ A polariza¸c˜ao total ´e dada pela soma de polariza¸c˜oes elementares, e podemos escrever , se a densidade de dipolos el´etricos elementares for n: P = n~ p = ε0 χE de onde definimos ent˜ao a susceptibilidade diel´etria do meio: χ= ne ξ~ ε0 E Da equa¸c˜ao diferencial para ξ~ em regime harmˆonico tiramos: ξ~ = 2 (ωse e/mE − ω 2 ) + iων e temos ε = ε0 (1 + χ) de onde finalmente vem:  ε = ε0 ne2 /(mε0 ) 1+ 2 (ωse − ω 2 ) + iων  no caso mais simples. Modelos iguais ou parecidos poder˜ao ser utilizados no futuro. 5.4 Ondas planas no Espa¸ co Rec´ıproco Aqui temos um cap´ıtulo a parte, que pode ser considerado avan¸cado para alguns mas utiliza o conceito de transformada de Fourier generalizada, e ´e equivalente ao regime harmˆonico dos campos. Dadas as 73 equa¸c˜oes de Maxwell em meio homogˆeneo, linear e isotr´opico: ∇ · E = ρ/ε ∇·H=0 ∂H ∇ × E = −µ ∂t ∂E ∇×H=J+ε ∂t (5.83) e as transformadas de Fourier generalizadas: Z Z ∞ 1 3 A(k, ω) = d x dt exp [i(k · x − ωt)] A(x, t) (2π)4 −∞ Z Z ∞ dω exp [−i(k · x − ωt)] A(k, ω) A(x, t) = d3 k −∞ das propriedades de transformadas sabemos que:  n  d f (t) F = (iω)n F (ω) dtn para uma vari´avel t. Ent˜ao vamos transformar em Fourier as equa¸c˜oes de Maxwell: Z Z ∞ 1 3 d x dt exp [i(k · x − ωt)] (∇ · E = ρ/ε) (2π)4 −∞ Z Z ∞ 1 3 d x dt exp [i(k · x − ωt)] ∇ · H = 0 (2π)4 −∞   Z Z ∞ 1 ∂H 3 d x dt exp [i(k · x − ωt)] ∇ × E = −µ (2π)4 ∂t −∞   Z Z ∞ 1 ∂E 3 d x dt exp [i(k · x − ωt)] ∇ × H = J + ε (2π)4 ∂t −∞ (5.84) de onde tiramos que: k · E(k, ω) = iρ(k, ω)/ε (5.85) k · H(k, ω) = 0 (5.86) k × E(k, ω) = ωµH(k, ω) (5.87) k × H(k, ω) = iJ(k, ω) − ωεE(k, ω) (5.88) ou no v´acuo, onde ρ e J s˜ao nulos, temos simplesmente: n ˆ · E(k, ω) = 0 n ˆ · H(k, ω) = 0 n ˆ × E(k, ω) = Z0 H(k, ω) 1 n ˆ × H(k, ω) = − E(k, ω) Z0 (5.89) p sendo Z0 = µ0 /ε0 e k/k = n ˆ . O espa¸co rec´ıproco ´e dito o espa¸co de k e ω enquanto o espa¸co real ´e o espa¸co x e t. 74 5.5 Condi¸ c˜ oes de Contorno e Interfaces Planas entre Meios: lei de Snell, refra¸ c˜ ao e reflex˜ ao, ˆ angulo de Brewster A incidˆencia das ondas eletromagn´eticas em interfaces entre meios distintos ´e um problema de suma importˆancia j´a que a idealiza¸c˜ao de meios infinitos n˜ao se realiza na pr´atica e temos a presen¸ca de v´arios meios, com a onda se propagando de um meio para outro. O problema da incidˆencia em interfaces nada mais ´e do que solucionar as equa¸c˜oes de Maxwell com condi¸c˜oes de contorno apropriadas. As condi¸c˜oes de contorno gerais em interfaces s˜ao as seguintes: n ˆ 1 · (D1 − D2 ) = ρS (5.90) n ˆ 1 · (B1 − B2 ) = 0 (5.91) n ˆ 1 × E1 = n ˆ 1 × E2 (5.92) n ˆ 1 × H1 − n ˆ 1 × H2 = JS (5.93) enquanto para meios sem cargas e correntes superficiais ρS e JS temos: n ˆ 1 · D1 = n ˆ 1 · D2 (5.94) n ˆ 1 · (B1 − B2 ) = 0 (5.95) n ˆ 1 × E1 = n ˆ 1 × E2 (5.96) n ˆ 1 × H1 = n ˆ 1 × H2 (5.97) o que reflete apenas a continuidade das componentes normais de D e B e tangenciais de E e H nas interfaces. O problema mais simples que podemos pensar ´e uma interface plana conforme mostra a figura 5.6. Figura 5.6: Interface plana em z = 0. onde µ e ε podem ser complexos. Incidˆencia Normal 75 No caso em que θi = 0, de incidˆencia normal, uma onda plana incidente tem ambos os campos E e H totalmente tangenciais `a interface e esse caso ´e o mais simples. Quando tratamos um meio em que a onda incide com um ˆangulo θi 6= 0 haver´a componente de E ou de H que ser´a perpendicular ` a interface. Figura 5.7: Interface plana em z = 0. Incidˆencia normal. Vamos analizar primeiramente a incidˆencia normal (θi = 0), ilustrado na Figura 5.7, e podemos escrever os campos na forma abaixo: Ei = E0 exp [i(ωt − k1 z)] ˆ ax E0 exp [i(ωt − k1 z)] ˆ ay Hi = Z1 Er = rE0 exp [i(ωt + k1 z)] ˆ ax E0 Hr = −r exp [i(ωt + k1 z)] ˆ ay Z1 Et = tE0 exp [i(ωt − k2 z)] ˆ ax E0 Ht = t exp [i(ωt − k2 z)] ˆ ay Z2 (5.98) (5.99) (5.100) (5.101) (5.102) (5.103) Observemos que a frequˆencia ω n˜ao deve mudar ao passarmos de um lado a outro da interface, e q √ k1 = ω µ1 ε1 , Z1 = µε11 (5.104) q √ k2 = ω µ2 ε2 , , Z2 = µε22 (5.105) Podemos escrever para o meio 1 e 2 os campos totais: h i E1 = Ei + Er = E0 e−ik1 z + reik1 z eiωt ˆ ax h i H1 = Hi + Hr = E0 e−ik1 z − reik1 z eiωt ˆ ay E2 = Et = tE0 exp [i(ωt − k2 z)] ˆ ax E0 H2 = Ht = t exp [i(ωt − k2 z)] ˆ ay Z2 (5.106) (5.107) (5.108) (5.109) 76 Para a interface colocada no plano z = 0, devemos impor a continuidade aos campos, que s˜ ao puramente tangenciais, ent˜ao: E1x (z = 0) = E2x (z = 0) H1x (z = 0) = H2x (z = 0) cujo resultado ´e o sistema de equa¸c˜oes abaixo: 1+r =t 1 1 (1 − r) = t Z1 Z2 de onde tiramos: Z2 − Z1 Z2 + Z1 2Z2 t= Z2 + Z1 r= (5.110) (5.111) Em geral, para meios ´opticos ou n˜ao magn´eticos, podemos escrever o ´ındice de refra¸c˜ao na forma √ εc = n e ent˜ao ´e f´acil mostrar que; n1 − n2 n1 + n2 2n1 t= n1 + n2 r= (5.112) (5.113) Os parˆametros r e t s˜ao as amplitudes de reflex˜ao e transmiss˜ao dos campos, no entanto, ´e conveniente tratar da potˆencia refletida e transmitida. Do vetor de Poynting sabemos que a potˆencia ´e proporcional ao quadrado dos campos e por isso podemos escrever: |Er |2 n1 − n2 2 Z2 − Z1 2 R= = = (5.114) |Ei |2 n1 + n2 Z2 + Z1 onde o coeficiente R ´e a raz˜ao entre a potˆencia refletida e a incidente e ´e dito refletividade. A densidade de potˆencia transmitida deve ser escrita na forma: St = 1 2 |t| |E0 |2 Z2 ao passo que o Poynting incidente ´e dado por: Si = 1 |E0 |2 Z2 e por isso definimos o coeficiente de transmissividade dado por: T = St Z1 2 = |t| Si Z2 (5.115) e ´e f´acil mostrar que: R+T =1 o que reflete apenas a conserva¸c˜ao da potˆencia na interface. Campo E paralelo ao plano de incidˆencia (5.116) 77 Figura 5.8: Interface plana em z = 0. E paralelo ao plano (x, z). Para este caso o campo el´etrico encontra-se no plano (x, z), conforme mostrado na Figura 5.8. e portanto possui uma componente que ´e perpendicular `a interface. Podemos escrever para os vetores unit´ arios de incidˆencia, reflex˜ao e transmiss˜ao, as seguintes express˜oes: n ˆ i = sin θi ˆ ax + cos θi ˆ az (5.117) n ˆ r = sin θr ˆ ax − cos θr ˆ az (5.118) n ˆ t = sin θt ˆ ax + cos θt ˆ az (5.119) Como os campos E e H s˜ao ortogonais a n e das equa¸c˜oes de Maxwell temos: n ˆ·E=0 1 n ˆ×E=H Z podemos escrever para os campos Ei = E0 (cos θi ˆ ax − sin θi ˆ az ) e−ik1 (sin θi x+cos θi z) E0 Hi = ˆ ay e−ik1 (sin θi x+cos θi z) Z1 Er = r E0 (− cos θr ˆ ax − sin θr ˆ az ) e−ik1 (sin θr x−cos θr z) E0 ˆ ay e−ik1 (sin θr x−cos θr z) Hr = r Z1 Et = t E0 (cos θt ˆ ax − sin θt ˆ az ) e−ik2 (sin θt x+cos θt z) E0 Ht = t ˆ ay e−ik2 (sin θt x+cos θt z) Z2 Os campos devem ter continuidade na interface, em z = 0 e portanto temos: Eix (z = 0) + Erx (z = 0) = Etx (z = 0) (5.120) (5.121) (5.122) (5.123) (5.124) (5.125) 78 Hiy (z = 0) + Hry (z = 0) = Hty (z = 0) o que resulta nas seguintes equa¸c˜oes: cos θi e−ik1 sin θi x − re−ik1 sin θr x = t cos θt e−ik2 sin θt 1 −ik2 sin θt x 1 −ik1 sin θi x (e + re−ik1 sin θr x ) = te Z1 Z2 Na forma como est´a, h´a duas maneiras de solucionar as equa¸c˜oes acima. A primeira ´e manter as exponenciais, e fazer r e t dependentes de x. Esta alternativa ´e inconceb´ıvel fisicamente dado que a interface ´e homogˆenea e idˆentica em todos os pontos, e dessa maneira n˜ao haveria raz˜ao para que a amplitude de reflex˜ao e transmiss˜ao dependesse de x, ou seja, estamos dizendo que todos os pontos s˜ ao equivalentes. De maneira a eliminar a varia¸c˜ao em x, para termos uma solu¸c˜ao fisicamente aceit´ avel somente nos resta eliminar as exponenciais, e isso somente pode ser feito se os argumentos de todas elas forem idˆenticos, ou seja: k1 sin θi = k1 sin θr = k2 sin θt (5.126) e esta ´e a forma geral da Lei de Snell, que ainda pode ser escrita como: sin θi = sin θr ↔ θi = θr (5.127) o que significa dizer que o ˆangulo de reflex˜ao ´e exatamente igual ao ˆangulo de incidˆencia, conforme j´a era sabido da ´optica geom´etrica, empiricamente, e aqui aparece naturalmente como resultado das equa¸c˜oes de Maxwell e condi¸c˜oes de contorno. Para a rela¸c˜ao entre o ˆangulo de incidˆencia e de transmiss˜ao (ou refra¸c˜ao), temos: k1 sin θi = k2 sin θt (5.128) ou em termos de ´ındices de refra¸c˜ao n = k/k0 onde k ´e a constante de propaga¸c˜ao em um meio qualquer, dada por √ k = ω µε e k0 ´e a constante no v´acuo: √ k0 = ω µ0 ε0 teremos: n1 sin θi = n2 sin θt (5.129) que ´e a lei de Snell relacionando o ˆangulo de refra¸c˜ao e de incidˆencia, com os ´ındices de refra¸c˜ ao dos meios, e que foi deduzida empiricamente. A constante de propaga¸c˜ao em um dado meio, pode, portanto ser escrita como: k = k0 n (5.130) sendo n= √ µR εR (5.131) e µR e εR s˜ao a permeabilidade magn´etica e a permissividade diel´etrica relativa do meio em quest˜ ao. Torna-se claro aqui, que todas as leis da ´optica geom´etrica aparecem naturalmente na teoria de Maxwell, e al´em disso o ´ındice de refra¸c˜ao ´e totalmente caracterizado conhecendo-se os parˆametros eletromagn´eticos do meio. 79 Para r e t o conjunto de equa¸c˜oes, utilizando-se a lei de Snell, agora reduz-se a: cos θi (1 − r) = t cos θt 1 1 (1 + r) = t Z1 Z2 e resolvendo para r e t temos, no caso de E no plano (x, z), dito plano de incidˆencia, e somente H totalmente tangencial `a interface, o seguinte resultado: r  2 Z1 cos θi − Z2 1 − kk12 sin θi r r= (5.132)   Z1 cos θi + Z2 t= 1− 2Z2 cos θi r  Z1 cos θi + Z2 1− k1 k2 k1 k2 2 sin θi sin θi 2 (5.133) Estas express˜oes s˜ao v´alidas para o campo el´etrico no plano formado por ki = k1 n ˆ i e kt = k2 n ˆ t , que em nossa defini¸c˜ao ´e o plano (x, z). Para o caso em que o campo el´etrico ´e totalmente tangencial ` a interface, ou seja, ´e perpendicular ao plano (x, z) a situa¸c˜ao se mofifica, conforme veremos a seguir. Campo H paralelo ao plano de incidˆencia Agora ´e o campo magn´etico que n˜ao ´e totalmente tangencial `a interface, e temos a situa¸c˜ ao mostrada na Figura 5.9. Figura 5.9: Interface plana em z = 0. E perpendicular ao plano (x, z). Podemos escrever para os campos: Ei = −E0 ˆ ay e−ik1 (sin θi x+cos θi z) Hi = E0 (cos θi ˆ ax − sin θi ˆ az ) e−ik1 (sin θi x+cos θi z) Z1 Er = −r E0 ˆ ay e−ik1 (sin θr x−cos θr z) (5.134) (5.135) (5.136) 80 E0 (− cos θr ˆ ax − sin θr ˆ az ) e−ik1 (sin θr x−cos θr z) Z1 Et = −t E0 ˆ ay e−ik2 (sin θt x+cos θt z) E0 Ht = t (cos θt ˆ ax − sin θt ˆ az ) e−ik2 (sin θt x+cos θt z) Z2 Hr = r (5.137) (5.138) (5.139) Dadas as simetrias entre E e H, a situa¸c˜ao do campo H com componente perpendicular `a interface correpsonde a fazer as modifica¸c˜oes: E → H e H → −E, µ → ε e ε → µ. Fica para o leitor demonstrar que: r 2  Z2 cos θi − Z1 1 − kk12 sin θi r r= (5.140)   Z2 cos θi + Z1 1− 2Z2 cos θi r  t= Z2 cos θi + Z1 1− k1 k2 k1 k2 2 sin θi sin θi 2 (5.141) Para encontrar os resultados acima, novamente ´e uma condi¸c˜ao f´ısica que as leis de Snell, (5.126)(5.129) sejam satisfeitas. Note que o car´ater vetorial das ondas mostra-se claramente aqui, dado que dependendo da orienta¸c˜ao vetorial dos campos, E com componente perpendicular ou H com componente perpendicular `a interface, modifica os coeficientes de transmiss˜ao e reflex˜ao, r e t. Essas caracter´ısticas permitem medidas de ´ındice de refra¸c˜ao em fun¸c˜ao da frequˆencia, al´em disso, dado o car´ater vetorial das ondas permite-se atrav´es do emprego do fenˆomeno da reflex˜ao e refra¸c˜ao, a polariza¸c˜ao de ondas. Para isso vamos definir o ˆangulo de Brewster. ˆ Angulo de Brewster θB Existe um ˆangulo de incidˆencia para o qual a onda eletromagn´etica ´e totalmente transmitida, ou seja, r = 0, que ´e conhecido como ˆangulo de Brewster, e que s´o ´e poss´ıvel para o caso da polariza¸c˜ ao paralela. Fazendo r = 0 no caso da polariza¸c˜ao paralela obtemos   n2 tan θB = (5.142) n1 onde n1 e n2 s˜ao os ´ındices de refra¸c˜ao dos meios 1 e 2, respectivamente. Nesse caso ao incidir uma onda com mistura de polariza¸c˜oes, aquela que tiver polariza¸c˜ao com campo E paralelo ao plano de incidˆencia ser´a totalmente transmitida, restando uma onda refletida totalmente polarizada. Pode-se tentar achar um ˆangulo de Brewster no caso em que H ´e paralelo ao plano de incidˆencia, mas ´e f´acil mostrar que esse ˆangulo n˜ao existe. N˜ao existe nenhum ˆangulo de incidˆencia para o qual a onda com polariza¸c˜ao em que E ´e totalmente tangencial a interface seja totalmente transmitida. Nas f´ormulas obtidas podemos colocar tudo em fun¸c˜ao dos ´ındices de refra¸c˜ao dos meios: k1 = k0 n1 k2 = k0 n2 Z0 Z0 Z2 = n1 n2 Apenas para ilustrar, na Figura 5.10, mostramos a refletividade R = |r|2 para ambos os casos, E paralelo e perpendicular ao plano (x, z) em fun¸c˜ao do ˆangulo de incidˆencia θi , adotando n1 = 1 e n2 = 3. O ˆangulo de Brewster ´e de aproximadamente 71.5o . Z1 = 81 Figura 5.10: Refletividade em fun¸c˜ao do ˆangulo de incidˆencia, e ˆangulo de Brewster. Cap´ıtulo 6 Potenciais Eletromagn´ eticos A determina¸c˜ao dos campos E e B a partir de potenciais aparece pela primeira vez no estudo da eletrost´atica e da magnetost´atica, sendo os campos calculados atrav´es das rela¸c˜oes abaixo: E = −∇φ B=∇×A onde 1 4πε Z d3 x0 ρ(x0 ) , |x − x0 | µ A(x) = 4π Z d3 x0 J(x0 ) , |x − x0 | φ(x) = e em regime est´atico as quantidades E e B podem ser determinados independentemente. Mostraremos aqui como calcular os campos E e B no regime variante no tempo. Em particular o campo E n˜ ao pode ser dado apenas pelo gradiente de uma fun¸c˜ao escalar, haja vista a lei de Faraday, que nos diz que a integral de caminho fechado de E ´e igual ao negativo da taxa de varia¸c˜ao do fluxo magn´etico. Sabemos que um campo vetorial obtido atrav´es do gradiente de um potencial escalar tem sempre a integral de caminho fechado nula e por este motivo o campo el´etrico gerado a partir da varia¸c˜ ao do fluxo magn´etico no tempo n˜ao pode ter natureza eletrost´atica (n˜ao pode ser calculado simplesmente atrav´es do gradiente de uma fun¸c˜ao escalar). Existem v´arias maneiras de introduzir os potenciais φ e A e alguns autores abordam tal assunto a partir de explica¸c˜oes f´ısicas um tanto intuitivas, baseadas em equa¸c˜ao de continuidade da carga. Ao inv´es disso mostraremos que estes tratam-se de meros artif´ıcios matem´aticos para calcular os campos, e o potencial φ somente pode ser associado `a uma diferen¸ca de energia potencial no caso da eletrost´ atica. 6.1 Os potenciais φ e A e condi¸ c˜ oes de calibre Sejam dadas as equa¸c˜oes de Maxwell em regime variante no tempo para o v´acuo: ρ ε (6.1) ∇·B=0 (6.2) ∇·E= ∇×E=− 82 ∂B ∂t (6.3) 83 ∇ × B = µ0 J + 1 ∂E c2 ∂t (6.4) onde c2 = 1/(µ0 ε0 ) ´e a velocidade da luz no v´acuo. Nesse caso precisamos trabalhar apenas com E e B. Observando a equa¸c˜ao (6.2) e a identidade vetorial abaixo: ∇·∇×A=0 podemos obter o campo magn´etico B a partir da rela¸c˜ao abaixo: B=∇×A e dessa forma a equa¸c˜ao em divergente para B fica automaticamente satisfeita. A outra equa¸c˜ao sem fontes ´e (6.3). Substituindo B por ∇ × A temos: ∇×E=− ∂ ∂A ∇ × A = −∇ × ∂t ∂t Podemos escrever essa equa¸c˜ao subtraindo de E o termo eletrost´atico j´a que ∇ × Ee = −∇ × ∇φ = 0, conforme j´a sabiamos e por isso: ∇ × E = −∇ × ∇φ − ∇ × ∂A ∂t e retirando o rotacional da equa¸c˜ao temos: E = −∇φ − ∂A ∂t Podemos finalmente escrever ent˜ao os campos E e B na forma dos potenciais: E = −∇φ − ∂A ∂t B=∇×A (6.5) (6.6) onde φ e A s˜ao ditos potencial escalar el´etrico e potencial vetor magn´etico, respectivamente. Entretanto existem infinitos potenciais φ e A, interconectados por uma fun¸c˜ao que chamamos de fun¸c˜ ao de calibre, que d˜ao os mesmos valores de campo. φ e A n˜ao tem significa¸c˜ao f´ısica portanto. Como E e B s˜ao dados por derivadas dos potenciais, existem fun¸c˜oes cujas derivadas se cancelam no c´alculo do campo. Por isso ´e conveniente adotar uma equa¸c˜ao auxiliar para fixar os potenciais. Vamos utilizar as equa¸c˜oes de Maxwell com fontes agora, para obter as equa¸c˜oes de φ e A em termos de ρ e J: Substituindo (6.5) e (6.6) em (6.1) e (6.4) temos:     1 ∂2 ρ ∂ 1 ∂φ 2 ∇ − 2 2 φ=− − ∇·A+ 2 (6.7) c ∂t ε0 ∂t c ∂t     1 ∂2 1 ∂φ 2 ∇ − 2 2 A = −µ0 J + ∇ ∇ · A + 2 (6.8) c ∂t c ∂t Vamos mostrar agora que φ e A s˜ao multiplamente definidos, ou, em outras palavras, existem in´ umeros potenciais distintos que levam ao mesmo resultado para os campos, que ´e o que importa fisicamente. Consideremos B=∇×A 84 e fa¸camos agora a seguinte transforma¸c˜ao: A0 = A + ∇Λ onde Λ ´e uma fun¸c˜ao escalar qualquer, dependente de x e t. Calculando o campo B0 resultante de A0 temos: B0 = ∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × ∇Λ = B ou seja B0 = B, mesmo os potenciais sendo diferentes dado que B ´e calculado a partir do rotacional de A e por isso acrescentando o gradiente de qualquer fun¸c˜ao escalar em A o campo ser´a o mesmo. Para que o campo E seja o mesmo, j´a que trata-se da mesma situa¸c˜ao f´ısica, temos: E = −∇φ − ∂ ∂A = −∇φ − (A0 − ∇Λ) ∂t ∂t e reagrupando os termos, podemos redefinir o potencial φ φ0 = φ − ∂Λ ∂t ou seja, para dois conjuntos (φ, A) e (φ0 , A0 ) relacionados por ∂Λ ∂t A0 = A + ∇Λ φ0 = φ − onde Λ(x, t) ´e uma fun¸c˜ao escalar, os campos calculados E e B resultam os mesmos. Mostramos ´ portanto que existem uma infinidade de potenciais φ, A que levam aos mesmos campos E, B. E conveniente ent˜ao impor uma condi¸c˜ao adicional para fixar (φ, A). Essa escolha ´e chamada calibre dos potenciais. Existem dois calibres amplamente utilizados. Um deles ´e ∇ · A = 0 e este ´e conhecido como calibre de Coulomb ou de Radia¸c˜ao. Utilizaremos aqui calibre conhecido como calibre de Lorentz, na qual a condi¸c˜ao a ser satisfeita ´e: 1 ∂φ ∇·A+ 2 =0 (6.9) c ∂t de modo que os potenciais satisfa¸cam as equa¸c˜oes de ondas com fontes na forma abaixo:   1 ∂2 ρ ∇2 − 2 2 φ = − (6.10) c ∂t ε0   1 ∂2 2 ∇ − 2 2 A = −µ0 J (6.11) c ∂t O calibre de Lorentz/Lorenz tem a caracter´ıstica de ser invariante da Relatividade, ou seja, ele ´e compat´ıvel com a relatividade especial, o que significa dizer que se o calibre de Lorentz ´e cumprido em um dado sistema de referˆencia, ent˜ao em qualquer outro sistema referencial a condi¸c˜ao ser´a tamb´em v´alida. Em regime harmˆonico temos varia¸c˜oes do tipo eiωt e facilmente vemos que:
ρ ∇2 + k 2 φ = − ε
∇2 + k 2 A = −µJ √ onde k = ω µε. (6.12) (6.13) 85 6.2 Solu¸ c˜ ao formal de φ e A no espa¸ co livre A solu¸c˜ao formal das equa¸c˜oes (6.12) e (6.13) no v´acuo s˜ao dadas simplesmente por: eiωt φ(x, t) = 4πε0 Z µ0 eiωt A(x, t) = 4π ρ(x0 ) V0 Z V0 e−ikR 0 dV R J(x0 ) (6.14) e−ikR 0 dV R (6.15) sendo: R = |x − x0 | = p (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 e a integral ´e efetuada sobre a regi˜ao da fonte, de volume V 0 . O ponto de observa¸c˜ao tem coordenadas x = (x, y, z). A demonstra¸c˜ao dessa solu¸c˜ao formal pode ser dada com base no m´etodo das fun¸c˜oes de Green, que envolve um bom conhecimento de an´alise matem´atica. Vamos aqui nos restringir a demonstrar que as solu¸c˜oes acima apresentadas satisfazem a equa¸c˜ao de ondas. No caso apenas para a fun¸c˜ ao escalar φ dado que o procedimento ´e idˆentico para A. Substituindo a solu¸c˜ao de φ na equa¸c˜ ao de ondas, (6.13), temos: 2 ∇ +k 2

ρ(x)eiωt eiωt φ=− == ∇2 + k 2 ε 4πε0 Z V0 ρ(x0 ) e−ikR 0 dV R A integral ´e realizada nas vari´aveis com ´ındice 0 e o operador de ondas opera sobre as coordenadas de observa¸c˜ao. Por isso temos:  
−ikR 1 2 2 e 2 ∇ +k =∇ = −4πδ 3 (R) R R e substituindo na express˜ao vemos que a equa¸c˜ao se cumpre. Mas, como podemos proceder para calcular os campos? A resposta a esta pergunta est´ a dada abaixo: 1) Podemos calcular tanto φ quanto A, conhecendo a distribui¸c˜ao de cargas e correntes na fonte. Conhecidos os potenciais, obtemos os campos por: E = −∇φ − iωA B=∇×A 2) Em geral conhecemos a distribui¸c˜ ao de correntes, ent˜ao calculamos A atrav´es de (6.15), obtemos o campo magn´etico atrav´es de (6.6) e inferimos o campo el´etrico das equa¸c˜oes de Maxwell, em regime harmˆonico: B=∇×A ∇×B E = −i (6.16) ωµε 86 6.2.1 Solu¸c˜ ao Formal de φ e A no Calibre de Lorentz pelo M´ etodo das Fun¸c˜ oes de Green Vamos aqui demonstrar formalmente a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes (??) e (6.11) para os potenciais novamente mostradas abaixo:   ρ 1 ∂2 2 ∇ − 2 2 φ=− c ∂t ε0   1 ∂2 ∇2 − 2 2 A = −µ0 J c ∂t Como cada componente de A e tamb´em φ obedece a uma equa¸c˜ao de ondas escalar vamos escrever uma equa¸c˜ao escalar para Ψ(x, t) com fonte f (x, t), conforme mostrado:   1 ∂2 2 ∇ − 2 2 Ψ(x, t) = −f (x, t) c ∂t Recordando as propriedades de fun¸c˜oes delta de Dirac: Z ∞ δ(x − x0 )f (x) = f (x0 ) −∞ e generalizando para as quatro dimens˜oes (x, t) podemos escrever: Z f (x, t) = d4 xf (x0 , t0 )δ 4 (x − x0 ) onde a nota¸c˜ao ´e Z 4 Z d x= Z dx Z dy Z dz dt δ 4 (x − x0 ) = δ 3 (x − x0 )δ(t − t0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 )δ(t − t0 ) e os limites de integra¸c˜ao sempre indo de −∞ a +∞. Podemos escrever a equa¸c˜ao de ondas na forma:   Z 1 ∂2 2 ∇ − 2 2 Ψ(x, t) = − d4 xf (x0 , t0 )δ 4 (x − x0 ) c ∂t e nesse caso, a fonte tem coordenadas (x0 , t0 ), ao passo que a solu¸c˜ao deve ser em (x, t). Vamos escrever a solu¸c˜ao na forma: Z Ψ(x, t) = d4 xf (x0 , t0 )G(x − x0 , t − t0 ) e nesse caso, a equa¸c˜ao resultante ser´a:   1 ∂2 2 ∇ − 2 2 G(x − x0 , t − t0 ) = −δ 3 (x − x0 )δ(t − t0 ) c ∂t (6.17) A fun¸c˜ao G(x−x0 , t−t0 ) ´e chamada fun¸c˜ ao de Green para o problema, e pode ser considerada a resposta do meio em quest˜ao para uma fonte impulsiva no espa¸co e no tempo. Dessa forma a convolu¸c˜ ao da fun¸c˜ao de Green no espa¸co e no tempo com qualquer fonte d´a a solu¸c˜ao para a fun¸c˜ao de ondas Ψ do problema. Temos agora a tarefa de encontrar essa solu¸c˜ao G para o espa¸co livre, que ´e o que nos interessa. Tomemos a transformada de Fourier da eq. (6.17), e como resultado temos:   ω2 1 2 k − 2 G(k, ω) = (6.18) c 16π 4 87 de onde tiramos: G(k, ω) = 1 1 4 16π k2 − (6.19) ω2 c2 Agora somente nos resta fazer a anti-transforma¸c˜ao de Fourier, onde temos: Z Z ∞ 3 G(x, t) = d k dω exp [−i(k · x − ωt)] G(k, ω) (6.20) −∞ sendo aqui x, t entendido como x − x0 , t − t0 . Inserindo a solu¸c˜ao encontrada temos: Z Z ∞ 1 1 3 G(x, t) = d k dω exp [−i(k · x − ωt)] 2 4 16π k2 − ω2 −∞ (6.21) c ou ainda: 1 G(x, t) = 16π 4 Z 3 Z ∞ dω exp [−i(k · x − ωt)] d k −∞ 1 (k − ω/c)(k + ω/c) (6.22) Devemos inserir um termo complexo infinitesimal ζ nos p´olos da equa¸c˜ao acima, de forma a convergir a integral: Z Z ∞ 1 1 3 G(x, t) = lim d k dω exp [−i(k · x − ωt)] (6.23) 4 16π ζ→0 (k − ω/c − iζ)(k + ω/c + iζ) −∞ Para a solu¸c˜ao convergente propagante no tempo, podemos utilizar o m´etodo de Cauchy para integra¸c˜ao, que nos mostra que para uma fun¸c˜ao complexa F (Z), a integral em um caminho fechado no sentido anti-hor´ario no plano complexo Z ´e dada simplesmente por: I X X F (Z)dZ = 2πi F (Z) = 2πi (Z − Zm )F (Z) Res m Z=Zm onde Zm s˜ao os p´olos de F (Z) envolvidos pelo caminho de integra¸c˜ao. Para o caminho inverso (hor´ ario) apenas inverte-se o sinal do resultado. Considerando-se um plano complexo para ω para a integral (6.23), podemos realizar um caminho fechado que vai de −∞ a +∞ no eixo real de ω e fechar o caminho pela parte imagin´aria, enla¸cando os p´olos: ω = ±ck − iζ. Reescrevendo (6.23) na forma Z Z ∞ 1 c2 3 G(x, t) = − lim d k dω exp [−i(k · x − ωt)] 16π 4 ζ→0 (ω − ck + iζ)(ω + ck + iζ) −∞ (6.24) temos como resultado a chamada fun¸c˜ao retardada de Green (onde a causa precede o efeito): Z ic 1 GR (x, t) = d3 k {exp [−i(k · x − ckt)] − exp [−i(k · x + ckt)]} (6.25) 3 16π k e considerando a integra¸c˜ao em d3 k no sistema esf´erico, ou seja, d3 k = k 2 sin θdkdθdϕ temos: ic GR (x, t) = 16π 3 Z 1 k 2 sin θ dk dθ dϕ {exp [−i(kr cos θ − ckt)] − exp [−i(kr cos θ + ckt)]} . (6.26) k 88 Integrando inicialmente em ϕ temos: Z ic GR (x, t) = 2 k sin θ dk dθ {exp [−i(kr cos θ + ckt)] − exp [−i(kr cos θ − ckt)]} 8π (6.27) Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis cos θ = u, du = − sin θdθ e invertendo os limites de integra¸c˜ao temos: Z Z 1 ic GR (x, t) = 2 k dk du {exp [−i(kru + ckt)] − exp [−i(kru − ckt)]} (6.28) 8π −1 A integra¸c˜ao completa resulta em:    1 |x − x0 | 0 GR (x, t) = δ t − t− 4π|x − x0 | c (6.29) Como as fontes f para φ e A s˜ao ρ/ε0 e µ0 J, respectivamente, podemos escrever finalmente:    Z Z 1 |x − x0 | 3 0 0 0 φ= d x dt δ t − t− ρ(x0 , t0 ) 4πε0 |x − x0 | c    Z Z µ0 |x − x0 | 0 J = d3 x0 dt0 δ t − t − J(x0 , t0 ) 4π|x − x0 | c e integrando em rela¸c˜ao a t0 temos Z 1 ρ(x0 , t0 = t − |x − x0 |/c) d3 x0 φ(x, t) = 4πε0 |x − x0 | Z µ0 J(x0 , t0 = t − |x − x0 |/c) A(x, t) = d3 x0 4π |x − x0 | Uma nota¸c˜ao mais conhecida ´e fazendo d3 x0 = dV 0 e R = |x − x0 | e a´ı ficamos com Z 1 ρ(x0 , t0 = t − R/c) 0 φ(x, t) = dV 4πε0 R Z µ0 J(x0 , t0 = t − R/c) 0 A(x, t) = dV 4π R (6.30) (6.31) (6.32) (6.33) A solu¸c˜ao para o regime harmˆonico consiste em considerar fontes do tipo: ρ(x, t) = ρ(x)eiωt J(x, t) = J(x)eiωt e substituindo na express˜ao acima temos: φ(x, t) = eiωt 4πε0 Z µ0 eiωt A(x, t) = 4π sendo k = ω/c. Z ρ(x0 )e−ikR 0 dV R J(x0 )e−ikR 0 dV R (6.34) (6.35) 89 6.3 Potenciais de Li` enard-Wiechert e Radia¸ c˜ ao de Cargas Aceleradas Uma solu¸c˜ao importante para os potenciais φ e A ´e considerar cargas puntuais em movimento, j´ a que qualquer campo eletromagn´etico pode ser considerado como a composi¸c˜ao de muitas cargas puntuais que somam seus efeitos. Para uma carga puntual cuja posi¸c˜ao seja x0 (t) e velocidade v(t) a densidade de carga e corrente deve ser escrita na forma: ρ(x, t) = qδ 3 (x − x0 (t)) (6.36) J(x, t) = qv(t)δ 3 (x − x0 (t)) (6.37) e ent˜ao os potenciais ser˜ao dados por: Z 3 0 q δ (x − x0 (t − R/c)) 0 φ(x, t) = dV 4πε0 R Z µ0 q v(t − R/c)δ 3 (x0 − x0 (t − R/c)) 0 A(x, t) = dV 4π R (6.38) (6.39) Aparentemente ´e f´acil a integra¸c˜ao das fun¸c˜oes delta de Dirac, entretanto o argumento x0 encontra-se ´ necess´ario portanto fazer uma modifica¸c˜ao de vari´aveis, tal que a delta possa dentro de R tamb´em. E ser integrada facilmente. Nesse processo a Jacobiana da transforma¸c˜ao deve ser inclu´ıda na integral. Fazendo ent˜ao: u = x0 − x0 (t − R/c)) tem-se para a Matriz Jacobiana   J = e tem-se ent˜ao ∂u1 ∂x0 ∂u2 ∂x0 ∂u3 ∂x0 ∂u1 ∂y 0 ∂u2 ∂y 0 ∂u3 ∂y 0 ∂u1 ∂z 0 ∂u2 ∂z 0 ∂u3 ∂z 0    Z 3 q δ (u) 0 φ(x, t) = dV 4πε0 |x − x0 (t − R/c)| |J| Z 3 µ0 qv(t − R/c) δ (u) 0 A(x, t) = dV 4π|x − x0 (t − R/c)| |J| (6.40) (6.41) com |J| o determinante da matriz jacobiana. Temos como resultado final para estas integrais, o que ´e chamado de Potenciais de Li`enard-Wiechert: φ(x, t) = q 4πε0 κ|x − x0 (t − R/c)| (6.42) µ0 qv(t − R/c) 4πκ|x − x0 (t − R/c)| (6.43) A(x, t) = sendo v c Vamos analisar o caso mais simples, em que a velocidade da part´ıcula ´e em geral muito menor do que c. Isto ´e v´alido para grande parte dos sistemas radiantes de interesse. Nesse caso podemos fazer os potenciais similares aos do caso quase est´atico onde κ → 1, e temos: ˆ· κ=1−R φ(x, t) = q 4πε0 |x − x0 (t − R/c)| (6.44) 90 A(x, t) = µ0 qv(t − R/c) 4π|x − x0 (t − R/c)| (6.45) Para calcular os campos temos: ∂A ∂t B=∇×A E = −∇φ − Mas estamos interessados no campo irradiado, ou seja, aquele cuja energia ´e perdida pela part´ıcula. Nesse caso o vetor de Poynting deve ter dependˆencia 1/r2 , caso contr´ario n˜ao h´a energia irradiada: I Z πZ π P = E × H · da = lim r2 E × H · ˆ ar sin θ dθ dϕ r→∞ 0 0 O termo do gradiente do potencial escalar somente gera termos em 1/r2 ou superior, nesse caso n˜ ao contribui para a radia¸c˜ao de energia. Temos as seguintes rela¸c˜oes para os campos irradiados: Erad = − Hrad = ∂A ∂t 1 ˆ ar × Erad cµ0 Considerando-se a solu¸c˜ao para o potencial A em regime n˜ao relativ´ıstico, ou seja, de baixas velocidades, temos para os campos: E=− µ0 q v˙ q v˙ =− 4πR 4πc2 ε0 R qˆ ar × v˙ H=− 4πcR (6.46) (6.47) e para a potˆencia irradiada por unidade de ˆanulo s´olido temos: dP q 2 v˙ 2 = r2 ˆ ar · E × H = sin2 θ dΩ (4π)2 c3 ε0 onde θ ´e o ˆangulo formado entre a acelera¸c˜ao da particula v˙ e a distˆancia entre ela e o ponto de observa¸c˜ao R. Para a potˆencia total irradiada temos: q2 2 P = 4πε0 3c  2 v˙ c (6.48) Podemos perceber daqui, que somente cargas aceleradas, ou seja, tendo v˙ 6= 0, ´e que irradiam ondas eletromagn´eticas. Agora vamos analisar o caso geral, considerando-se os potenciais φ e A de Li`enard-Wiechert. Para tanto vamos definir as seguintes quantidades: ~=v β c 1 γ2 = 1 − β2 R x − x0 (t − R/c) n ˆ= = R |x − x0 (t − R/c)| ~·n κ=1−β ˆ (6.49) (6.50) (6.51) (6.52) 91 Os potenciais de Li`enard-Wiechert s˜ao reescritos abaixo:   q 1 φ= 4πε0 κR ret q 1 h v i A= 4πε0 c2 κR ret (6.53) (6.54) onde o sub-´ındice ret denota que as quantidades entre colchetes devem ser calculadas no tempo retardado, ou seja, no tempo t0 = t − R/c da part´ıcula. A tarefa de encontrar os campos E e B ´e aparentemente muito simples, mas n˜ao ´e. De fato os argumentos da velocidade e posi¸c˜ao da part´ıcula cont´em t e R, dado que t0 = t − R/c. Vejamos ent˜ao: E = −∇φ − ∂A ∂t 1 B = ∇ × A = [ˆ n × E]ret c Precisamos calcular apenas o campo el´etrico E e temos ent˜ao:     q 1 1 ∂ h v i E=− ∇ + 4πε0 κR ret c2 ∂t κR ret Temos que avaliar corretamente o gradiente e a derivada temporal da express˜ao acima:     1 ∂ 1 1 ∇ = ∇[κR]ret = − 2 2 ∇[κR]ret κR ret ∂κR κR κ R   ∂ h v i ∂ h v i ∂t0 v˙ ∂t0 v ∂(κR) ∂t0 = 0 = − 2 2 ∂t κR ret ∂t κR ret ∂t κR ret ∂t κ R ∂t0 ∂t ´ o que Observando as express˜oes acima, devemos determinar ∇(κR), ∂(κR)/∂t0 , ∂tp rime/∂t, etc. E iremos fazer agora. ~ ~ · R) = ∇(R) − ∇(β ~ · R) = ∇R − β ~ − ∂(β · R) ∇(t0 ) ∇(κR) = ∇(R − β ∂t0 e lembrando que t0 = t − R/c, ∇t0 = −∇R/c, temos: ~ · R) 1 ∂(β ∇R c ∂t0 ! ~ · R) 1 ∂(β ~ 1+ ∇R − β c ∂t0 ~+ ∇(κR) = ∇R − β ∇(κR) = ~ · R) ∂(β v˙ = · R − cβ 2 0 ∂t c pois ∂R/∂t0 = −v. Outro resultado importante ´e mostrado abaixo: ∂R ~·n = −β ˆ ∂t0 Vamos agora avaliar ∇R e ∂tp rime/∂t: ∇R = ∇|x − x0 (t0 )| = ∂R ∂R ∂R ˆ ax + ˆ ay + ˆ az ∂x ∂y ∂z 92 ∇R = ∇x R + ∇R = R ~ +β·n ˆ ∇R R de onde tiramos: ∇R = e ∂R 0 ∇t ∂t0 R κR ∂t0 1 ∂R 1 ∂R ∂t0 =1− =1− ∂t c ∂t c ∂t0 ∂t de onde ´e f´acil mostrar que: ∂t0 1 = ∂t κ Substituindo estes resultados nas express˜oes anteriores temos:    v˙ R 2 ~ ∇(κR) = 1−β + 2 ·R −β c κR ret    ∂ h v i v˙ v v˙ 2 ~ = 2 − 3 2 cβ − cβ · n ˆ− ·R ∂t κR ret κ R κ R c ret ~·n Utilizando ainda κ − 1 = −β ˆ e 1 − β 2 = 1/γ 2 temos:    1 v˙ R ~ ∇(κR) = + ·R −β γ 2 c2 κR ret    ∂ h v i v v˙ v˙ 2 = 2 − 3 2 cβ + c(κ − 1) − · R ∂t κR ret κ R κ R c ret Substituindo estas duas u ´ltimas na express˜ao para os campos, e fazendo alguns arranjos, temos como resultado final: (  ) ~ ˙ q n ˆ−β 1 v ~ × E= + n ˆ × (ˆ n − β) (6.55) ~·n ~·n 4πε0 γ 2 (1 − β c ˆ )3 R2 c(1 − β ˆ )3 R ret 1 B = [ˆ n × E]ret c (6.56) ´ f´acil ver que h´a um termo que depende somente de velociA demonstra¸c˜ao fica como exerc´ıcio. E dade e o outro depende linearmente da acelera¸c˜ao. O termo dependente apenas em velocidade tem dependˆencia com 1/R2 e d´a a intera¸c˜ao coulombiana, e por este motivo n˜ao contribui para o campo irradiado, como pode ser visto da an´alise do vetor de Poynting. J´a o termo em acelera¸c˜ao tem de~ ≈n pendˆencia 1/R, contribuindo para a radia¸c˜ao. Para baixas velocidades, podemos fazer n ˆ−β ˆ e ~·n κ = (1 − β ˆ ) ≈ 1 e para o campo de acelera¸c˜ao (ou radia¸c˜ao) temos: Erad = q 1 ˙ n ˆ × [ˆ n × v] 4πε0 c2 R (6.57) ou ainda expandindo o produto vetorial, temos: Erad = 1 q ˙ n − v] ˙ [(ˆ n · v)ˆ 2 4πε0 c R (6.58) 1 q v˙ × n ˆ 3 4πε0 c R (6.59) Brad = 93 e para a potˆencia, obtemos o resultado anterior, sen˜ao vejamos: dP 1 = R2 SR = R2 (E × B) · n ˆ dΩ µ0 Assumindo desde j´a que E ´e ortogonal `a dire¸c˜ao n ˆ temos: dP 1 R2 |E|2 = R 2 SR = R 2 (E × (ˆ n × E)) · n ˆ= dΩ µ0 c cµ0 e dessa forma ´e f´acil mostrar que obt´em-se a express˜ao (6.48), quando a f´ormula acima ´e integrada em todo o ˆangulo s´olido. Al´em do que, da express˜ao dP q 2 v˙ 2 = sin2 θ dΩ (4π)2 c3 ε0 (6.60) vemos que a potˆencia irradiada ´e m´axima na dire¸c˜ao ortogonal `a dire¸c˜ao de acelera¸c˜ao. 6.4 O Dipolo El´ etrico Queremos analisar como ´e o campo produzido por uma antena conhecida como antena dipolo curto. Esta antena ´e muito empregada principalmente em sistemas de recep¸c˜ao. Embora a transmiss˜ ao utilize dipolos maiores ou arranjos de antenas, algumas conclus˜oes s˜ao ainda v´alidas. Um dipolo curto ´e ilustrado na figura (6.1). Como os extremos s˜ao abertos, a corrente el´etrica neles deve ser nula de Figura 6.1: Dipolo Curto de comprimento total d. tal modo que a distribui¸c˜ao de corrente no dipolo ´e aproximadamente: I(z 0 ) = I0 (1 − 2z 0 /d) para z > 0 I0 (1 + 2z 0 /d) para z > 0 sendo o vetor densidade de corrente da forma: J(x0 ) = I(z 0 )δ(x0 )δ(y 0 )ˆ ax (6.61) 94 onde δ(.) s˜ao as fun¸c˜oes delta de Dirac. O potencial vetor A ´e dado simplesmente por: A= µ0 eiωt 4π Z d/2 I(z 0 ) −d/2 e−ikR 0 dz ˆ az R (6.62) p onde R = x2 + y 2 + (z − z 0 )2 . Se estamos interessados em regi˜oes onde podemos assumir que p R = r = x2 + y 2 + z 2 , isto ´e, que na regi˜ao onde estamos olhando o campo produzido pela fonte, a fonte ´e vista como uma fonte muito pequena, quase puntual, podemos simplificar o problema da integra¸c˜ao. A solu¸c˜ao obtida ´e valida para regi˜oes r >> d, onde d ´e a dimens˜ao da fonte de corrente, ´ importante notar que esta aproxima¸c˜ao ´e muito boa, principalmente no nosso caso, o dipolo curto. E a m´edias e longas distˆancias da fonte. Temos: µ0 ei(ωt−kr) A= 4πr Z d/2 I(z 0 )dz 0 ˆ az (6.63) −d/2 Resolvendo a integral, que agora ´e muito simples Z d/2 I(z 0 )dz 0 = −d/2 I0 d , 2 ficamos com: µ0 I0 d i(ωt−kr) e ˆ az 8πr Vamos passar o potencial vetor para coordenadas esf´ericas, de modo que: A= A= µ0 I0 d i(ωt−kr) e [(ˆ az · ˆ ar )ˆ ar + (ˆ az · ˆ aθ )ˆ aθ + (ˆ az · ˆ aϕ )ˆ aϕ ] 8πr (6.64) (6.65) Do c´alculo vetorial: ˆ az · ˆ ar = cos θ ˆ az · ˆ aθ = − sin θ ˆ az · ˆ aϕ = 0 e temos o potencial em coordenadas esf´ericas (mais conveniente para tratar a radia¸c˜ao de uma antena): A= µ0 I0 d i(ωt−kr) e [cos θˆ ar − sin θˆ aθ ] 8πr Calculando o campo magn´etico:   1 ∂ ∂Aθ B=∇×A= (Aϕ sin θ) − ˆ ar + r sin θ ∂θ ∂ϕ     ∂ 1 ∂ ∂Ar 1 1 ∂Ar + − (rAϕ ) ˆ aθ + (rAθ ) − ˆ aϕ r sin θ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂θ Temos: µ0 I0 d i(ωt−kr) e cos θ 8πr µ0 I0 d i(ωt−kr) Aθ = − e sin θ 8πr Aϕ = 0 Ar = (6.66) 95 portanto Aϕ = 0 e todas as derivadas em rela¸c˜ao a ϕ tamb´em s˜ao nulas (observe que nesse caso A n˜ ao varia com ϕ). Observando isso e levando em conta no rotacional, ficamos com um campo magn´etico na dire¸c˜ao ϕ dado por:   1 ∂ ∂Ar B= (rAθ ) − ˆ aϕ (6.67) r ∂r ∂θ Agora calculando as derivadas: ikµ0 I0 d i(ωt−kr) sin θ ∂ (rAθ ) = e ∂r 8π µ0 I0 d i(ωt−kr) ∂Ar =− e sin θ ∂θ 8πr e substituindo em (6.67) nos d´a: µ0 I0 d B= 8πr  1 ik + r  ei(ωt−kr) sin θˆ aϕ (6.68) Calculando o campo el´etrico, tamb´em devemos avaliar um rotacional, de modo que E = −i ∇×B ωµ0 ε  ∂ ∂Bθ (Bϕ sin θ) − ˆ ar + ∂θ ∂ϕ     1 1 ∂Br ∂ 1 ∂ ∂Br + − (rBϕ ) ˆ aθ + (rBθ ) − ˆ aϕ r sin θ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂θ 1 ∇×B= r sin θ  Nesse caso s´o temos componente do campo B na dire¸c˜ao ϕ simplificando o rotacional para: ∇×B= Temos ent˜ao: 1 E= iωµ0 ε 1 ∂ 1 ∂ (Bϕ sin θ)ˆ ar − − (rBϕ )ˆ aθ r sin θ ∂θ r ∂r  1 ∂ 1 ∂ (Bϕ sin θ)ˆ ar − − (rBϕ )ˆ aθ r sin θ ∂θ r ∂r  Calculando as derivadas: ∂ µ0 I0 d 1 (Bϕ sin θ) = (ik + )(2 cos θ sin θ)ei(ωt−kr) ∂θ 8πr r     ∂ µ0 I0 d 1 1 (rBϕ ) = −ik ik + − 2 sin θei(ωt−kr) ∂r 8πr r r substituindo o resultado acima, e fazendo uso das rela¸c˜oes entre k, η, µ, ε, chegamos ao campo:  r  2 µ0 I0 d i(ωt−kr) h 2 E = e cos θ + ˆ ar + (6.69) 8π r2 ε iωεr3 r  i  iωµ0 1 µ0 1 + sin θ + 2 + ˆ aθ r r ε iωεr3 Vemos que o campo el´etrico possui componentes Er e Eθ , mas somente Eθ possui dependˆencia do tipo 1/r, e este ser´a o que ir´a contribuir para o campo distante, conforme veremos adiante. Para sumarizar, vamos reescrever o campo el´etromagn´etico calculado abaixo:   µ0 I0 d 1 i(ωt−kr) B= ik + e sin θˆ aϕ 8πr r 96 r   r     I0 d i(ωt−kr) 2 µ0 2 iωµ0 1 µ0 1 E= e cos θ + ˆ ar + sin θ + 2 + ˆ aθ 8π r2 ε iωεr3 r r ε iωεr3 Observando para as solu¸c˜oes acima, vemos que h´a termos variando com 1/r, 1/r2 e 1/r3 . Cada uma dessas componentes tem um predom´ınio em uma regi˜ao do espa¸co de forma que podemos separar a solu¸c˜ao em regi˜oes de campo, cada qual dominada por um dos termos acima mencionados. A primeira observa¸c˜ao a ser feita ´e que nossa solu¸c˜ao ´e v´alida para r > d, onde d ´e a dimens˜ao da fonte. Dito isto vamos analisar o campo el´etrico Eθ , que possui as trˆes dependˆencias: I0 d ωµ0 sin θ 8π r r I0 d 1 µ0 2 sin θ Eθ (1/r ) = ε 8π r2 Eθ (1/r) = Eθ (1/r3 ) = I0 d 1 sin θ 8π ωεr3 e o termo de fase ei(ωt−kr) foi omitido. Temos as seguintes rela¸c˜oes entre as componentes: Eθ (1/r2 ) 1 = Eθ (1/r) kr (6.70) Eθ (1/r3 ) 1 = Eθ (1/r) (kr)2 (6.71) Eθ (1/r2 ) 1 = Eθ (1/r3 ) kr (6.72) Das rela¸c˜oes acima podemos definir trˆes regi˜oes: ´ dita regi˜ao de campo pr´oximo. Para este Regi˜ao 1 Campo Pr´oximo - A regi˜ao mais pr´oxima da fonte. E caso, o termo 1/r3 ´e dominante. Para que isso aconte¸ca devemos ter 1/(kr) >> 1 de tal forma que a condi¸c˜ao obtida, fazendo uso de k = 2π/λ, onde λ ´e o comprimento de onda, ´e: r << λ 2π ou seja, a regi˜ao de campo pr´oximo ´e aquela em que o ponto de observa¸c˜ao est´a a uma distˆ ancia da fonte que ´e muito menor que o comprimento de onda. Neste caso a solu¸c˜ao dos campos ´e aquela obtida atrav´es da eletrost´atica e magnetost´atica. No nosso caso, os campos s˜ao aqueles gerados por um dipolo el´etrico(ver livro do eletromagnetismo, que o campo est´atico de um dipolo el´etrico varia com 1/r3 ). Os termos em 1/r2 s˜ao menores tamb´em do que os termo em 1/r3 . O campo magn´etico nessa regi˜ao tem um efeito muito menor. Podemos dizer que a contribui¸c˜ ao fundamental ´e dos campos el´etricos com dependˆencia em 1/r3 . Outro ponto importante ´e que n˜ao h´a uma rela¸c˜ao fixa entre campo el´etrico e magn´etico nessa regi˜ao. ´ uma regi˜ao intermedi´aria de distˆancias, tamb´em dita zona de indu¸c˜ Regi˜ao 2 Zona Intermedi´aria - E ao. Vale a rela¸c˜ao 1/(kr) ≈ 1, ou seja as distˆancias s˜ao da ordem do comprimento de onda λ. r∼ λ 2π Nessa regi˜ao todas as componentes de campo tem uma contribui¸c˜ao n˜ao neglig´ıvel para o campo total. 97 Regi˜ao 3 Campo Distante - A situa¸c˜ao se inverte em rela¸c˜ao ao campo pr´oximo. Como veremos aqui sim ´ a regi˜ao dominada h´a uma rela¸c˜ao constante entre o campo el´etrico e o campo magn´etico. E pelos campos de radia¸c˜ao, conforme veremos. As distˆancias s˜ao maiores que o comprimento de onda, e o termo de campos dominante ´e aquele que varia com 1/r. Temos: r >> λ 2π Seguiremos a an´alise para as duas regi˜oes de maior interesse: o campo pr´oximo e o campo distante. Na regi˜ao intermedi´aria, conforme dito, todas as componentes de campo devem ser levadas em conta, em p´e de igualdade. Regi˜ ao de Campo Pr´ oximo Conforme haviamos falado, o termo dominante ´e aquele que envolve a dependˆencia 1/r3 . Na verdade o campo gerado na regi˜ao pr´oxima ´e predominantemente el´etrico, sendo aquele gerado por um dipolo el´etrico: I0 d E≈ ei(ωt−kr) [2 cos θˆ ar + sin θˆ aθ ] 8π(iωε)r3 µ0 I0 d i(ωt−kr) e sin θˆ aϕ 8πr2 sendo o campo magn´etico menor em importˆancia do que o campo el´etrico, e pode ser tranquilamente negligenciado. Verifique em livros de Teoria Eletromagn´etica, que definindo o momento de dipolo el´etrico na forma I0 d p= 2iω Por este motivo esta antena ´e dita de dipolo. Como ela tem extremos em aberto, as cargas oscilam entre os dois extremos, formando um dipolo variante no tempo. O momento do dipolo formado ´e o que foi escrito acima. Calculando o Vetor de Poynting para os Campos Pr´oximos, temos: B≈ 1 Srms = < {E × H∗ } 2 E ap´os a substitui¸c˜ao dos campos, vemos que n˜ao h´a parte real, somente reativa, por isso os termos de campo pr´oximo d˜ao contribui¸c˜ao nula para a irradia¸c˜ao de energia eletromagn´etica. Algu´em poderia pensar em tomar o termo em 1/r2 do campo el´etrico, a´ı resultando um vetor de Poynting n˜ao nulo. Mas o fato ´e que o fluxo de divergˆencia do Poynting ´e nulo para termos que tem dependˆencia em r na forma 1/rn e n > 2. No caso dos campos pr´oximos sem levar em conta termos de 1/r2 no campo el´etrico a dependˆencia em r ´e 1/r5 (levando 1/r2 d´a dependˆencia 1/r4 ). Quando fazemos a integral do fluxo temos a potˆencia irradiada: I Srms · n ˆ dS P = S N˜ao confundir dS que ´e superf´ıcie com Srms , que ´e o vetor de Poynting. O vetor n ˆ aponta na dire¸c˜ ao da superf´ıcie. Se quisermos integrar em uma esfera de raio arbitr´ario, para ver qual o fluxo est´ a saindo desta esfera, temos: Z Z π P = 2π dϕ Srms · ˆ ar r2 sin θ dθ 0 0 98 e para o termo em 1/r5 tem-se: 1 r3 Fazendo r → ∞, ou seja, a superf´ıcie ´e fechada, arbitr´aria, mas de raio infinito, temos o valor nulo para a potˆencia. A potˆencia irradiada ´e aquela que vai para infinito, e nesse caso, a potˆencia que vai para infinito ´e zero, portanto, os campos pr´oximos, como dito anteriormente n˜ao contribuem para a energia irradiada. P ∝ 2π Campo Distante Aqui iremos mostrar que os campos ditos campos na regi˜ao distante s˜ao os que contribuem para a energia irradiada. Levando em conta nos campos somente os termos em 1/r temos:   I0 d iωµ0 E= ei(ωt−kr) sin θˆ aθ (6.73) 8π r   µ0 I0 d ik B= ei(ωt−kr) sin θˆ aϕ (6.74) 8π r Somente observando os campos dados por (7.11) e (6.74) podemos concluir de antem˜ao que s˜ao ortogonais entre si e apresentam uma rela¸c˜ao de propor¸c˜ao constante, sendo o campo el´etrico na dire¸c˜ ao θ e o campo magn´etico na dire¸c˜ao ϕ. Podemos observar que a rela¸c˜ao entre as amplitudes de ambos ´e:   I0 d iωµ0 sin θ 8π r Eθ ω = µ0 I0 d ik
= Bϕ k sin θ 8π r Eθ 1 =√ =c Bϕ µ0 ε (6.75) onde c ´e a velocidade da luz no meio com permissividade ε. Estamos tratando meios n˜ao magn´eticos, mas para que sejam, somente substibuimos µ0 por µ. A rela¸c˜ao entre Eθ e Hϕ ´e a impedˆ ancia do meio, e podemos concluir da propria rela¸c˜ao (6.75): r Eθ Eθ µ0 µ0 = µ0 =√ = µ0 c = =η (6.76) Hϕ Bϕ µ0 ε ε Sabemos ent˜ao que Eθ e Bϕ mant´em uma rela¸c˜ao constante na regi˜ao de campo distante. Vamos mostrar agora, que esses campos s˜ao irradiados. Calculemos primeiramente o vetor de Poynting: Srms 1 1 Srms = < {E × H∗ } = < {E × B∗ } 2 2µ0        1 I0 d iωµ0 µ0 I0 d −ik i(ωt−kr) −i(ωt−kr) = < e sin θˆ aθ × e sin θˆ aϕ 2µ0 8π r 8π r      I0 d  ωµ0  µ0 I0 d k 1 Srms = < sin θ sin θ ˆ aθ × ˆ aϕ 2µ0 8π r 8π r   1 I02 d2 kωµ0 Srms = sin2 θˆ ar 2 (8π)2 r2 Agora fazemos uso de k = 2π/λ e ω = ck = 2πc/λ ent˜ao temos kωµ0 = (2π)2 cµ0 /λ2 , e ainda µ0 c = η, desse modo (2π)2 kωµ0 = η λ2 99 e o resultado final para o Vetor de Poynting, que representa a densidade de potˆencia que atravessa uma superf´ıcie:   ηI02 d 2 1 Srms = sin2 θˆ ar (6.77) 32 λ r2 Queremos saber agora qual a potˆencia irradiada, para isso temos que integrar o vetor de Poynting: I Srms · n ˆ dS P = S   ηI02 d 2 1 P = dθ dϕ sin2 θˆ ar · ˆ ar r2 sin θ 2 32 λ r 0 0   Z 2πηI02 d 2 π 1 dθ 2 sin2 θr2 sin θ = P = 32 λ r 0   Z 2πηI02 d 2 π P = dθ sin3 θ = 32 λ 0 Z π Z 2π Agora temos, de tabela de Integrais: Z π sin3 θdθ = 0 e obtemos o resultado final: πηI02 P = 12 4 3  2 d λ (6.78) Vemos que mesmo fazendo r → ∞, a potˆencia n˜ao ´e anulada, ou seja, esta potˆencia deixou a fonte emissora, foi irradiada. Uma vez tendo sido irradiada, essa energia ´e perdida pela fonte, e convertida em ondas eletromagn´eticas que se propagam ao infinito, a menos que seja absorvida por outras cargas, meios materiais, etc. Uma vez irradiada tem independˆencia da fonte. Se a fonte for desligada os campos pr´oximos deixam de existir, mas a energia que foi irradiada pela fonte antes do desligamento segue viajando, j´a que a integral do fluxo do vetor de Poynting n˜ao se anula. Os campos irradiados influenciam a grandes distˆancias. S˜ao estes os desejados em sistemas de comunica¸c˜oes, mas s˜ao campos desse tipo que geram interferˆencias a longas distˆancias. Podemos definir ainda uma resistˆencia de irradia¸c˜ao, j´a que a fonte perde energia na forma de ondas que se desprendem da fonte, e v˜ao ao infinito na forma: 1 P = RI02 2 ou R= 2P I02 e daqui tiramos, no caso do dipolo curto: πη R= 6  2 d λ (6.79)  2 d Ω λ (6.80) Se usarmos η = 120π Ω temos: R = 20π 2 100 Lembrando ainda que d ´e o tamanho total do dipolo. Se o dipolo tem tamanho igual a d´ecima parte do comprimento de ondas, obtemos: π2 Ω R= 5 o que significa dizer que a resistˆencia de perdas por irradia¸c˜ao ´e de aproximadamente 2Ω. Em geral essas perdas podem ser desprezadas em circuitos el´etricos onde o tamanho do circuito ´e muito pequeno comparado ao comprimento de onda do sinal eletromagn´etico que percorre o circuito. Mas existem antenas com grandes resistˆencias de radia¸c˜ao. O dipolo de meia onda chega a mais de 50Ω. (Vale lembrar que existe ainda uma parte reativa e diz-se ent˜ao impedˆancia da antena, mas tal discuss˜ ao foge ao escopo da disciplina). Uma vez que o campo ´e irradiado, este se propaga pelo espa¸co at´e ser recebido por antenas receptoras para ser processado. Entretanto, em alguns casos ´e indesej´avel que a resistˆencia de irradia¸c˜ ao chegue a um circuito. De forma bastante simplista, podemos pensar que a tens˜ao induzida em um circuito cuja parte atingida pela onda tenha comprimento l devido `a onda ser´a da forma: Z V = E · dl Regime Quase Est´ atico Em regime quase est´atico, temos o que chamamos anteriormente de campo pr´oximo. A energia eletromagn´etica n˜ao ´e irradiada, ou seja, cessada a fonte, cessa o efeito. Normalmente temos equipamentos que funcionam a uma frequencia muito baixa(60 Hz) e nesse caso o comprimento de ondas ´e muito grande(5000 km no caso de 60 Hz). Desse modo, ´e pertinente desprezar alguns efeitos. Em outras palavras, no c´alculo do potencial escalar e vetor a exponencial e−ikr pode ser feita igual `a unidade j´a que se trabalhamos na regi˜ao de campo pr´oximo r ´e pequeno e k = 2π/λ tamb´em ´e pequeno, pois λ ´e um valor muito grande em baixas frequˆencias. desse modo kr ≈ 0 e exp(−ikr) ≈ 1. Levamos em conta ent˜ao a varia¸c˜ao temporal eiωt , entretanto, na regi˜ao de campo pr´oximo (muitas vezes dita ´ regi˜ao de Fresnel, em ´optica) as varia¸c˜oes espaciais devido ao car´ater ondulat´orio s˜ao omitidas. E como se as varia¸c˜oes temporais na fonte fossem transmitidas instantaneamente ao ponto de medida. Vejamos ent˜ao: os campos se propagam a uma velocidade c no v´acuo. Para baixas frequˆencias, o periodo da onda ´e muito grande, e temos f = 1/T . Quando analisamos um circuito, ou v´arios, em que a frequˆencia ´e dita baixa, o comprimento do circuito ou do sistema em an´alise ´e pequeno em compara¸c˜ao ao comprimento de ondas. Para o caso de 60Hz, queremos analisar a tens˜ao em todos os pontos em uma cidade de raio 50km. A onda leva um tempo t = 50km/c = 166 µs enquanto o per´ıodo da onda ´e de 1/60s, ou seja, 16, 6 ms. A rela¸c˜ao entre o tempo necess´ario para uma fase da onda percorrer todo o circuito e para a fase da onda mudar de 2π em um ponto do circuito ´e 166µs = 0.01 16, 6ms ou seja, a onda leva 100 vezes mais tempo para mudar totalmente a fase em um ponto, do que uma fase percorrer o raio de 50 km. Nesse caso podemos desprezar a mudan¸ca de fase espacial e ´e como, se ´ uma aproxima¸c˜ao muito boa, que leva todos os pontos do circuito tivesse a mesma fase no tempo. E `a teoria circuital. Voltando ao caso dos potenciais, para exemplificar k = 2π/5000(km)−1 e num raio de 50km temos kr = 2π/100. Dessa forma ei2π/100 = 0.998 + i0.0627 ≈ 1. Vamos ent˜ao considerar a aproxima¸c˜ao de campos pr´oximos, para frequˆencias baixas, ou em outras palavras, kr ≈ 0 e ´e como se a propaga¸c˜ao fosse instantˆanea: 101 eiωt φ(x, y, z, t) = 4πε0 A(x, y, z, t) = Z µ0 eiωt 4π 1 ρ(x0 ) dV 0 R V0 Z 1 J(x0 ) dV 0 R 0 V Os campos obtidos E e B s˜ao dados pelas equa¸c˜oes mostradas anteriormente, e temos:   Z Z ρ(x0 ) 0 µ0 J(x0 ) 0 1 dV ˆ aR − iω dV ) eiωt E= 4πε0 V 0 R2 4π V 0 R Z J(x0 ) × ˆ aR 0 iωt µ0 dV e B= 4π V 0 R2 (6.81) (6.82) (6.83) (6.84) E em regime harmˆonico precisamos apenas conhecer a corrente pois sabemos que a densidade de cargas ρ e a densidade de correntes J se relacionam pela equa¸c˜ao da continuidade, escrita abaixo na forma do regime harmˆonico: i∇0 · J(x0 ) ρ(x0 ) = ω Da aproxima¸c˜ao acima, ou utilizando as equa¸c˜oes de Maxwell na forma integral, em situa¸c˜ oes de simetria favor´avel, podemos obter os campos em diversas situa¸c˜oes. Uma situa¸c˜ao importante ´e um fio longo carregando uma corrente que varia no tempo de forma harmˆonica. Este caso retrata uma linha de transmiss˜ao de energia que ´e capaz de produzir campos intensos. Considerando-se que estamos na regi˜ao de campo pr´oximo, o campo magn´etico gerado por uma linha de transmiss˜ao ´e: B= µ0 I iωt e ˆ aϕ 2πr (6.85) onde r ´e a distˆancia em coordenadas cil´ındricas. O efeito do plano de terra n˜ao est´a sendo considerado aqui. Podemos verificar que nessa situa¸c˜ao o campo el´etrico ´e nulo, ou pelo menos, desprez´ıvel. Verifique pelo rotacional do campo magn´etico obtido ´e zero (f´ormula em coordenadas cil´ındricas, pois a express˜ao acima ´e em coordenadas cil´ındricas). Podemos colocar ainda a corrente em fun¸c˜ ao da potˆencia transmitida pela linha e da tens˜ao da linha, ou seja, a corrente de pico ´e 2P/V onde P ´e o valor m´edio da potˆencia, e V tamb´em ´e a tens˜ao de pico, e temos: √ µ0 2Prms iωt B= e ˆ aϕ (6.86) 2πr Vrms Conv´em observar que entre duas ou mais linhas de transmiss˜ao podemos definir indutˆancia m´ utua, capacitˆancia efetiva entre linhas, de tal modo que uma linha de transmiss˜ao interfere na outra. Desse modo devemos ter em mente que uma linha de transmiss˜ao deve manter uma certa distˆancia da outra, bem como de outros equipamentos, para minimizar efeitos de interferˆencia. Existem crit´erios para que tal seja concretizado, e esses crit´erios formam as normas que os Engenheiros devem seguir para projetar linhas. Mesmo em instala¸c˜oes residenciais deve-se ter o cuidado de projetar adequadamente o cabeamento telefˆonico, de dados e el´etrico, para minimizar as interferˆencias. Cap´ıtulo 7 Antenas Na sociedade atual, amplamente baseada na utiliza¸c˜ao da energia eletromagn´etica em dispositivos e sistemas, a transmiss˜ao e transporte de energia e informa¸c˜ao de um ponto para outro ´e fundamental. H´a duas formas de transmiss˜ao de energia eletromagn´etica: 1) Sistemas Guiados: utilizados em um amplo espectro de frequˆencia, desde as baixas frequˆencias em linhas de AT (60 Hz) para transmitir potˆencia at´e altas como ´e o caso de TV a cabo, e fibras ´opticas em comunica¸c˜oes ´opticas; 2) Sistemas N˜ao-Guiados Wireless: Telefonia e comunica¸c˜oes m´oveis, radiodifus˜ao (broadcasting), comunica¸c˜oes por sat´elite. A energia ´e irradiada em um ponto e propaga-se pelo meio at´e encontrar o ponto de destino. As duas formas de transmiss˜ao s˜ao muito utilizadas apresentando vantagens e desvantagens. Para os sistemas guiados temos como vantagens o guiamento e confinamento da energia evitando efeitos ´ um sistema mais confi´avel e menos suscept´ıvel difrativos, al´em de ser imune `as interferˆencias do meio. E a erro. Pode apresentar em certos casos uma atenua¸c˜ao menor do que a transmiss˜ao via ar (fibra ´ optica aqui ´e um exemplo). O guiamento por linhas de transmiss˜ao, como ´e o caso da potˆencia em 50/60Hz, se faz necess´ario, dado que em baixas frequˆencias um sistema wireless ´e muito ineficiente. Como desvantagens dos sistemas guiados temos o custo de implementa¸c˜ao de guias de ondas e linhas e tamb´em o fato de serem impratic´aveis em alguns casos, como ´e o caso da comunica¸c˜ao por sat´elite. J´a os sistemas n˜ao guiados, utilizando irradia¸c˜ao atrav´es do meio, sendo a antena o elemento respons´avel pela irradia¸c˜ao e recep¸c˜ao da energia apresentam como problemas os efeitos difrativos e s˜ao mais imunes a interferˆencias do meio. Entretanto existem in´ umeras aplica¸c˜oes que requerem a comunica¸c˜ao sem fio, como ´e o caso da telefonia m´ovel, sensoreamento remoto, sistemas de radar, radio e TV em broadcasting, etc. Para o projeto em qualquer sistema o Engenheiro deve pesar: Confiabilidade, Custo de Implementa¸c˜ao e Manuten¸c˜ao e Viabilidade de um sistema. 7.1 Caracter´ısticas B´ asicas de Antenas Defini¸c˜ ao de Antena ´ E o elemento ou regi˜ao do espa¸co capaz de irradiar potˆencia eletromagn´etica para o espa¸co externo de modo eficiente, ou capturar a energia do espa¸co livre que adentra a regi˜ao, e entreg´a-la ao circuito de demodula¸c˜ao. 102 103 Os conceitos b´asicos relacionados coma Antena s˜ao campos eletromagn´eticos e potˆencia irradiada, diagrama de radia¸c˜ao e polariza¸c˜ao de antena, diretividade, eficiˆencia e ganho, impedˆancia de antena. A an´alise completa de uma antena passa pela solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Maxwell com fontes ρ e J conhecidas na regi˜ao de antena. Importante para o Engenheiro ´e converter os dados desta an´ alise em um conjunto de parˆametros facilmente utiliz´aveis em projeto. - Parˆametros de caracter´ıstica Espacial: Diagrama de radia¸c˜ao Diretividade e Ganho Polariza¸c˜ao da antena. - Antena como Carga: Eficiˆencia de Radia¸c˜ao Impedˆancia de Antena Ganho O ganho ´e uma combina¸c˜ao de parˆametro espacial diretividade e a eficiˆencia que ajudam a caracterizar a antena como carga. Vetor de Poynting e Potˆencia Irradiada Assumindo conhecidos os campos E e H das equa¸c˜oes de Maxwell consideramos para os campos irradiados apenas aqueles termos que apresentam a dependˆencia 1/r para a potˆencia irradiada. O vetor de Poynting no regime harmˆonico ´e dado por: 1 S = < {E × H∗ } 2 (7.1) A potˆencia total irradiada, ´e a potˆencia que deixa a regi˜ao da fonte, e pode ser obtida integrando-se sobre uma superf´ıcie esf´erica fechada, fazendo r → ∞: I P = S · da mas temos da = ˆ ar r2 sin θdθdϕ = ˆ ar r2 dΩ ou seja dΩ = sin θdθdϕ ´e um infinit´esimo de ˆangulo s´olido, e ´e dado como um diferencial de super´ıcie esf´erica, dividido por ´ f´acil mostrar que r2 . E Z Z π Z 2π dΩ = sin θdθdϕ = 4π Ω 0 0 Temos ent˜ao a express˜ao desejada: Z P = r2 Sr dΩ Ω Potˆ encia Irradiada por Unidade de ˆ angulo S´ olido (7.2) 104 Considerando: da = r2 dΩ Medimos a potˆencia dP em cada ponto, capturada por uma sonda de ´area da para obter: dP = Sr da = Sr r2 dΩ de onde tiramos: dP = r2 Sr (θ, ϕ) (7.3) dΩ da express˜ao acima ´e evidente que a potˆencia total irradiada ´e a integral sobre todo o ˆangulo s´olido, da potˆencia irradiada por unidade de ˆangulo s´olido: Z Z dP dΩ = r2 Sr (θ, ϕ) sin θdθdϕ P = dΩ Ω Ω Irradiador Isotr´ opico Irradia igualmente em todas as dire¸c˜oes, ou seja, a densidade de potˆencia irradiada n˜ao muda em nenhuma dire¸c˜ao e o padr˜ao irradiado ´e esfericamente sim´etrico. Para uma potˆencia total irradiada P0 , a densidade de potˆencia irradiada, ou vetor de Poynting, para o irradiador isotr´opico: Sr = P0 dP P0 ↔ = 2 4πr dΩ 4π (7.4) Diagrama de Radia¸ c˜ ao ou Padr˜ ao de Radia¸ c˜ ao ´ E conveniente definir a antena isotr´opica como referˆencia, e nesse caso temos: F (θ, ϕ) = Padrao Irradiado Real Padrao de Irradiador Isotropico ou: F (θ, ϕ) = 1 4π ou ainda: F (θ, ϕ) = R π R 2π 0 0 R dP dΩ
dP Ω dΩ dΩ 4πr2 Sr r2 Sr sin θdθdϕ (7.5) (7.6) Diretividade Define-se a diretividade de uma antena como: D = max[F (θ, ϕ)] (7.7) ´ a raz˜ao entre a potˆencia irradiada pela antena onde Sr ´e m´aximo, vezes a ´area de uma esfera, E como se fosse uma antena isotr´opica, dividido pela potˆencia total irradiada realmente. Eficiˆ encia de Radia¸ c˜ ao Define-se como: Pr er = (7.8) Pin onde Pr ´e a potˆencia irradiada para o meio, e Pin a potˆencia fornecida `a antena. Ganho de Antena Define-se como ganho a seguinte rela¸c˜ao: G= Sr (max) Sr (isotr) 105 o resultado ´e : G = er D (7.9) Se P0 ´e a potˆencia entregue `a uma antena qualquer, para ter a mesma densidade de potˆencia no ponto da m´axima densidade de potˆencia de uma antena qualquer, deve-se entregar `a antena isotr´opica uma potˆencia P = GP0 . Impedˆ ancia de Entrada Definimos a impedˆancia de entrada de uma antena como: Zin = Rrad + ROhm + iX (7.10) onde Rrad s˜ao as perdas por irradia¸c˜ao (´e o que se deseja numa antena), ROhm s˜ao as perdas ˆ ohmicas, por condu¸c˜ao e X representa uma reatˆancia indicando que parte dos campos gerados ficam armazenados na regi˜ao que envolve a antena, ou seja, energia armazenada em campos el´etrico e magn´etico. Z 2 2Pr r2 Sr dΩ Rrad = 2 = 2 I0 I0 Ω R 2 J · EdV ROhm = I02 7.2 Tipos de Antenas Os v´arios tipos de antenas s˜ao descritos abaixo, brevemente: Antenas eletricamente pequenas (d << λ): dipolo el´etrico e dipolo magn´etico (loop). S˜ao usadas em antenas para recep¸c˜ao em AM, pequenos transmissores de todos os tipos. Apresentam baixa diretividade, resistˆencia de radia¸c˜ao e alta reatˆancia, e por isso n˜ao s˜ao eficientes; Antenas Ressonantes d ∼ λ/2: opera em estreita faixa de frequˆencias, apresenta ganho moderado e impedˆancia real na faixa de ressonˆancia. S˜ao utilizadas onde precisa-se de banda estreita ou n˜ao ´e necess´ario grande largura de banda: Patch antennas, Yagi e dipolos de meia onda s˜ ao exemplos; Antenas de banda larga: utilizadas onde a banda de transmiss˜ao e recep¸c˜ao ´e larga, tem ganho constante na faixa passante. Exemplos: espirais e log-peri´odicas; Antenas de Abertura: tem lagura de banda moderada, alto ganho e diretividade. S˜ao utilizadas em frequˆencias de microondas e acima. Exemplos: cornetas e refletores. Utilizadas em radares e muitas outras aplica¸c˜oes. 7.3 ´ Resumo de Resultados Uteis Para Antenas em Regime Harmˆonico considerando-se o Campo Distante tem-se: Erad = −iω(A − Ar ˆ ar ) Hrad = 1 ˆ ar × Erad Z (7.11) (7.12) 106 ω2 |(A − Ar ˆ ar )|2 ˆ ar 2Z Z dP = r2 Srad ; Prad = r2 Srad dΩ dΩ Srad = (7.13) (7.14) onde dΩ = sin θ dθ dϕ ´e um elemento infinitesimal de ˆangulo s´olido. A resistˆencia de radia¸c˜ ao ´e definida abaixo 2Prad Rrad = Ohms (7.15) I02 e para antenas do tipo filamentares (fios condutores) tem-se para as perdas: r d ωµ0 Rohm = Ohms 6πD 2σ sendo d o tamanho da antena (circunferencia para o dipolo magn´etico) e D o diˆametro do condutor. Pode-se definir o padr˜ao de radia¸c˜ao da seguinte maneira: F (θ, ϕ) = 4π R dP /dΩ (dP /dΩ)dΩ e D = max[F (θ, ϕ)]. Define-se eficiˆencia de radia¸c˜ao abaixo: er = Prad Rrad = Pin Rrad + Rohm onde Prad ´e a potˆencia radiada e Pin ´e a potˆencia total de entrada na antena. O ganho de antena ´e ent˜ao: G = er D Cap´ıtulo 8 Guias de Ondas Ondas eletromagn´eticas na presen¸ca de contornos met´alicos formam um aspecto pr´atico de muita importˆancia para a transmiss˜ao da energia eletromagn´etica, atrav´es de estruturas que denominamos guias de onda. Estruturas diel´etricas com ´ındice de refra¸c˜ao que varia no espa¸co, como ´e o caso das fibras ´opticas tamb´em s˜ao capazes de produzir guiamento e tem importˆancia fundamental para os atuais sistemas de comunica¸c˜oes. Podemos definir uma onda guiada da seguinte maneira: - A onda eletromagn´etica possui uma dire¸c˜ao preferencial de propaga¸c˜ao a qual denominamos z. Para a an´alise matem´atica ´e conveniente, portanto utilizar um sistema cil´ındrico, para citar exemplos, o cartesiano, o circular, o el´ıptico-cil´ındrico, etc. No sistema cartesiano temos cilindros cuja se¸c˜ao transversal ´e um retˆangulo ao passo que no sistema circular o corte transversal produz circulos; - O guiamento da onda ´e feito por uma estrutura, seja um cilindro met´alico oco, ou uma fibra ´optica, capaz de confinar a energia da onda a uma certa regi˜ao do espa¸co, utilizando-se das propriedades de interface e condi¸c˜oes de contorno entre meios distintos; - Uma onda guiada pode ter suas componentes de campo decompostas em compontentes transversais e longitudinais `a dire¸c˜ao z; - Ondas no espa¸co livre s˜ao do tipo Transversal EletroMagn´etica (TEM), e tanto o campo el´etrico quanto o magn´etico s˜ao ortogonais `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao. No caso das ondas guiadas, podemos classific´a-las em Ondas Transversais El´etricas (TE), onde somente o campo el´etrico ´e transversal `a dire¸c˜ao z, ou Ondas Transversais Magn´eticas (TM), onde somente o campo magn´etico ´e transversal `a dire¸c˜ao z. Guias ocos n˜ao s˜ao capazes de propagar ondas TEM. Apenas os guias coaxiais e as linhas de transmiss˜ao propagam modos TEM; - S˜ao caracter´ısticas de guias de onda o surgimento de modos de propaga¸c˜ao(que nada mais s˜ ao do que as formas de distribui¸c˜ao transversal do campo no interior do guia, cada modo propagandose com uma velocidade espec´ıfica) e o aparecimento de frequˆencias de corte para cada modo, abaixo da qual a onda ´e apenas evanescente no interior do guia. Guias coaxiais n˜ao apresentam frequˆencia de corte devido aos modos TEM. Nos deparamos ent˜ao com o seguinte problema: resolver as equa¸c˜oes de Maxwell na presen¸ca de condi¸c˜oes de contorno, que podem ser de Dirichlet ou Neumann conforme ser´a visto mais adiante. 107 108 8.1 Equa¸ c˜ oes de Maxwell em Componentes Transversais e Longitudinais Vamos proceder aqui com a decomposi¸c˜ao das equa¸c˜oes de Maxwell em componentes transversal e longitudinal. S˜ao escritas abaixo na forma convencional: ∇·D=ρ (8.1) ∇·B=0 (8.2) ∂B ∂t ∂D ∇×H=J+ ∂t ∇×E=− (8.3) (8.4) Supondo o regime harmˆonico, com a dependˆencia eiωt e sem fonte de carga ρ, J = σE, meio isotr´opico seguindo as rela¸c˜oes constitutivas D = εE (8.5) B = µH (8.6) ∇·E=0 (8.7) ∇·H=0 (8.8) ∇ × E = −iωµH (8.9) ∇ × H = iωεE (8.10) podemos escrever: onde ε ´e a permissividade diel´etrica complexa. Fa¸camos a decomposi¸c˜ao dos operadores e dos campos em suas componentes transversais e longitudinais a z, de forma que: ∂ ∇ = ∇⊥ + ˆ az ∂z E = E⊥ + Ez ˆ az H = H⊥ + H z ˆ az As equa¸c˜oes de Maxwell em divergˆencia assumem a seguinte forma: ∇⊥ · E⊥ = − ∂Ez ∂z (8.11) ∇⊥ · H⊥ = − ∂Hz ∂z (8.12) Para o caso em que a dependˆencia dos campos seja e−ikz z podemos ainda escrever: ∇⊥ · E⊥ = ikz Ez (8.13) ∇⊥ · H⊥ = ikz Hz (8.14) 109 Agora decompondo as equa¸c˜oes em rotacional:   ∂ ∇ × E = ∇⊥ + ˆ az × (E⊥ + Ez ˆ az ) = −iωµ (H⊥ + Hz ˆ az ) ∂z Expandindo em termos adequadamente, tem-se ∇ × E = ∇⊥ × E⊥ + ∇⊥ Ez × ˆ az + ˆ az × ∂E⊥ = −iωµ (H⊥ + Hz ˆ az ) ∂z A equa¸c˜ao para o campo magn´etico ´e idˆentica, e utilizando as simetrias das equa¸c˜oes de Maxwell µ → ε, E → H, H → −E, temos: ∇ × H = ∇⊥ × H⊥ + ∇⊥ Hz × ˆ az + ˆ az × ∂H⊥ = iωε (E⊥ + Ez ˆ az ) ∂z As equa¸c˜oes acima desacoplam as partes transversais e longitudinais das equa¸c˜oes de Maxwell, j´ a que o produto vetorial entre vetores transversais ´e longitudinal e o produto entre um transveral e um longitudinal ´e sempre um vetor transversal. Vamos fazer uso ainda da dependˆencia e−ikz z para todas as componentes de campo, e ent˜ao substituiremos ∂ → −ikz . ∂z Dessa forma ficamos com: ∇⊥ × E⊥ = −iωµHz ˆ az (8.15) ∇⊥ × H⊥ = iωεEz ˆ az (8.16) ∇ ⊥ Ez × ˆ az − ikz ˆ az × E⊥ = −iωµH⊥ (8.17) ∇ ⊥ Hz × ˆ az − ikz ˆ az × H⊥ = iωεE⊥ (8.18) Lembramos ainda que da equa¸c˜ao de Helmholtz temos k 2 = ω 2 µε. Agora queremos colocar os campos E⊥ e H⊥ apenas em fun¸c˜ao das componentes longitudinais, o que ´e facilmente conseguido combinando as equa¸c˜oes (8.17) e (8.18): H⊥ = i (∇⊥ Ez × ˆ az − ikz ˆ az × E⊥ ) ωµ −i (∇⊥ Hz × ˆ az − ikz ˆ az × H⊥ ) ωε e ent˜ao substituindo (8.19) em (8.20) encontramos:   −ikz ωµ E⊥ = 2 ∇ ⊥ Hz × ˆ az + ∇⊥ Ez k − kz2 kz   −ikz ωε ∇ H − ∇ H⊥ = 2 E × ˆ a z ⊥ z ⊥ z k − kz2 kz E⊥ = (8.19) (8.20) (8.21) (8.22) As express˜oes acima s˜ao gerais, mas devemos tomar o cuidado quando Ez = 0 e Hz = 0 simultaneamente, j´a que temos os campos transversais indeterminados quando k = kz . Estes s˜ao os campos TEM, e respeitam as equa¸c˜oes: ∇⊥ × E⊥ = 0 (8.23) ∇⊥ × H⊥ = 0 (8.24) 110 kz ˆ az × E⊥ = ωµH⊥ (8.25) kz ˆ az × H⊥ = −ωεE⊥ (8.26) e das duas u ´ltimas fica f´acil mostrar que (produto vetorial de uma das duas com kz ˆ az ): kz2 = ω 2 µε = k 2 Lembre-se: somente v´alido para modos TEM, em caso de guias coaxiais ou espa¸co livre. J´a que os campos transversais s˜ao obtidos somente em fun¸c˜ao dos campos longitudinais precisamos de equa¸c˜oes para os campos longitudinais. Considerando-se as equa¸c˜oes (8.15)-(8.18) tomemos o rotacional transverso das u ´ltimas duas: ∇⊥ × (∇⊥ Ez × ˆ az ) − ikz ∇⊥ × (ˆ az × E⊥ ) = −iωµ∇⊥ × H⊥ (8.27) ∇⊥ × (∇⊥ Hz × ˆ az ) − ikz ∇⊥ × (ˆ az × H⊥ ) = iωε∇⊥ × E⊥ (8.28) Utilizando a propriedade vetorial: A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C temos para a primeira equa¸c˜ao: ∇⊥ × (∇⊥ Ez × ˆ az ) = (∇⊥ · ˆ az )∇⊥ Ez − (∇⊥ · ∇⊥ Ez )ˆ az ∇⊥ × (ˆ az × E⊥ ) = (∇⊥ · E⊥ )ˆ az − (∇⊥ · ˆ az )E⊥ e analogamente para a segunda. O termo ∇⊥ ·ˆ az ´e nulo dada a ortogonalidade dos vetores. ∇⊥ ·∇⊥ Ez = 2 ∇⊥ Ez ´e o laplaciano transversal e das equa¸c˜oes de Maxwell, temos ∇⊥ · E⊥ = ikz Ez de modo que as duas equa¸c˜oes (8.27) e (8.28) tomam a forma:
2 Ez = 0 ∇2⊥ + k⊥ (8.29)
2 Hz = 0 ∇2⊥ + k⊥ (8.30) 2 = k2 − k2 . sendo k⊥ z O nosso problema ent˜ao ´e resolver uma equa¸c˜ao de Helmholtz bidimensional para Ez ou Hz . Vamos reescrever a express˜ao acima na forma abaixo:
2 Ψ=0 ∇2⊥ + k⊥ (8.31) sendo que Ψ ser´a o campo Ez para ondas TM e ser´a o campo Hz para ondas TE, sujeitas `as condi¸c˜ oes de contorno apropriadas. 111 8.2 8.2.1 Guias de Ondas Met´ alicos: propaga¸ c˜ ao de energia e atenua¸ c˜ ao Modos TE em Guia Met´ alico Em um guia met´alico, os modos TE caracterizam-se pelo fato de o campo el´etrico ser perpendicular `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao ao passo que o campo magn´etico possui componente longitudinal. Podemos escrever ent˜ao:
2 ∇2⊥ + k⊥ Ψ=0 (8.32) E⊥ = −iωµ ∇⊥ Ψ × ˆ az k 2 − kz2 −ikz ∇⊥ Ψ − kz2 H⊥ = k2 (8.33) (8.34) O campo el´etrico ´e nesse caso sempre perpendicular `as superf´ıcies condutoras que delimitam a guia de onda, entretanto, para cumprir com as condi¸c˜oes de contorno, o campo magn´etico perpendicular a um condutor perfeito deve ser nulo na superf´ıcie condutora e por isso, o problema ´e sujeito `as condi¸c˜ oes de contorno de Neumann, ou seja: ∂Ψ (8.35) =0 ∂n S significando que a derivada de Ψ em rela¸c˜ao `a normal na superf´ıcie condutora deve ser nula, e assim o campo magn´etico perpendicular se anula nas interfaces. Outra defini¸c˜ao importante ´e impedˆ ancia da onda. O leitor pode facilmente verificar que η = E⊥ /H⊥ : r k µ η= (8.36) kz ε 8.2.2 Modos TM em Guia Met´ alico Este caso pode ser obtido por considera¸c˜oes de simetria das equa¸c˜oes de Maxwell. A onda TM tem campo magn´etico perpendicular `a z, entretanto uma componente de campo el´etrico longitudinal deve existir para dar suporte `a onda. Nesse caso:
2 ∇2⊥ + k⊥ Ψ=0 −ikz ∇⊥ Ψ − kz2 (8.38) iωε ∇⊥ Ψ × ˆ az − kz2 (8.39) E⊥ = H⊥ = (8.37) k2 k2 E como Ψ = Ez e nos contornos met´alicos o campo el´etrico tangencial deve se anular, ent˜ ao, a condi¸c˜ao de Dirichlet garante o cumprimento das condi¸c˜oes de contorno, ou seja: Ψ = 0 (8.40) S e a impedˆancia da onda ´e, para o caso TM: kz η= k r µ ε Note que a impedˆancia dos modos TE e TM s˜ao diferentes. (8.41) 112 8.2.3 Propaga¸c˜ ao da Energia e Perdas Vamos mostrar agora que h´a um vetor de Poynting n˜ao nulo na dire¸c˜ao z. Utilizando a defini¸c˜ ao convencional de vetor de Poynting, temos: 1 S = < {E × H∗ } 2 (8.42) mas queremos a componente de densidade de potˆencia que se propaga ao longo de z, e portanto vamos fazer: 1 Sz = ˆ az · S = < {E⊥ × H∗⊥ } (8.43) 2 Obviamente h´a componente de Poynting na dire¸c˜ao transversal, mas esta ´e uma energia reativa, que fica armazenada na se¸c˜ao transversal do guia, e n˜ao nos interessa. Calculando a densidade de potˆencia que se propaga ao longo de z para os modos, temos como resultado: Modos TE Sz = 1 ωµkz |∇⊥ Ψ|2 2 (k 2 − kz2 )2 (8.44) Sz = 1 ωεkz |∇⊥ Ψ|2 2 (k 2 − kz2 )2 (8.45) Modos TM Note que o que muda de um para o outro ´e a substitui¸c˜ao de µ por ε, sem esquecer ´e claro que as fun¸c˜oes Ψ s˜ao diferentes nos dois casos. Calculemos agora a potˆencia transmitida: Z P = Sz da 1 ωΓkz P = 2 (k 2 − kz2 )2 Z |∇⊥ Ψ|2 da onde a integral ´e realizada sobre a superf´ıcie transversal do guia e Γ vale µ(ε) para o modo TE(TM). Aplicando o teorema de Green para o caso bidimensional podemos escrever: Z Z Z I 2 ∗ ∗ ∂Ψ |∇⊥ Ψ| da = ∇⊥ Ψ · ∇⊥ Ψda = Ψ dl − Ψ∗ ∇2⊥ Ψda ∂n C lembremos agora que a integral no contorno c ´e sempre zero devido ao fato de que Ψ = 0 ou ∂Ψ/∂n = 0 na superf´ıcie condutora, e temos ainda: 2 ∇2⊥ Ψ = −k⊥ Ψ = −(k 2 − kz2 )Ψ de forma que temos: Z P(T E) 1 ωµkz = 2 (k 2 − kz2 ) Z P(T M ) 1 ωεkz = 2 (k 2 − kz2 ) |Ψ|2 da (8.46) |Ψ|2 da (8.47) 113 Considerando-se o guia um condutor perfeito, a onda n˜ao penetra no metal e a absor¸c˜ao ´e nula, portanto, n˜ao h´a perdas. Entretanto na pr´atica a superf´ıcie condutora n˜ao ´e perfeita, tem condutividade finita e a onda penetra parcialmente produzindo perdas por efeito Joule. Podemos estimar as perdas da seguinte maneira: P = P0 e−2αz (8.48) onde α ´e a constante de perdas, e deve ser fun¸c˜ao da condutividade do material. Temos, diferenciando a express˜ao acima em rela¸c˜ao a z, a seguinte express˜ao para α: α=− 1 dP 2P dz (8.49) ´ poss´ıvel mostrar Mas a perda de potˆencia ´e devida ao efeito dos campos penetrando o condutor. E que: I dP 1 − = |n × H|2 dl dz 2σδ onde δ ´e a profundidade de penetra¸c˜ao da onda: r δ= 2 µωσ Observamos que as perdas dependem do modo de propaga¸c˜ao e do material do qual ´e feito o guia. Dedu¸c˜ao das taxa de perdas: A densidade de corrente nas paredes condutoras ´e dada pela lei de Ohm vetorial J = σE e as perdas s˜ao por unidade de ´area, considerando-se que a corrente penetre uma dimens˜ao δ no condutor, s˜ao: dPperdas δ σ = − J · E∗ = − |E|2 da 2 2 A superf´ıcie envolvida ´e da = dldz ent˜ao, em rela¸c˜ao a z temos que integrar em rela¸c˜ao a dl, ou seja: Z dPperdas dPperdas = dl dz da Z dPperdas σδ − = |E|2 dl dz 2 Colocando em termos da corrente superficial temos: dPperdas δ − = dz 2σ Z |J|2 dl Por considera¸c˜oes de contorno a densidade de corrente el´etrica no interior de um condutor vale: 1 Jsup ≈ n × H δ e pode-se escrever ent˜ao: dP 1 − = dz 2σδ I |n × H|2 dl 114 Figura 8.1: Guia Retangular Met´alico de dimens˜oes a e b 8.2.4 Guia Met´ alico Retangular Um guia met´alico retangular ´e mostrado na Figura 1.1. As paredes do guia s˜ao condutores perfeitos (σ → ∞) e est˜ao definidas por: y=0 0≤x≤a y=b 0≤x≤a x=0 0≤y≤b x=a 0≤y≤b A solu¸c˜ao dos modos TE (TM) passa pela equa¸c˜ao diferencial de Ψ com condi¸c˜oes de contorno de Neumann(Dirichlet). Vamos solucionar de forma geral a equa¸c˜ao transversal para Ψ em coordenadas retangulares:
2 ∇2⊥ + k⊥ Ψ=0 ou ainda:   ∂2 ∂2 2 + + k⊥ Ψ = 0 ∂x2 ∂y 2 A solu¸c˜ao geral para Ψ ´e da forma: Ψ = f (x)g(y)ei(ωt−kz z) Aplicando essa solu¸c˜ao temos: 2 k⊥ = k 2 − kz2 = kx2 + ky2 sendo que temos duas equa¸c˜oes diferenciais independentes para f e g, na forma abaixo: d2 f (x) = −kx2 f (x) dx2 115 d2 f (y) = −ky2 g(y) dy 2 Estas duas equa¸c˜oes diferenciais tem solu¸c˜oes bem conhecidas, sendo a combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes trigonom´etricas, de modo que uma solu¸c˜ao geral ´e escrita na forma abaixo: Ψ = f (x)g(y)ei(ωt−kz z) (8.50) f (x) = A cos(kx x) + B sin(kx x) (8.51) g(y) = A cos(ky y) + B sin(ky y) (8.52) sendo Agora vamos determinar os coeficientes transversais kx e ky para os modos TE e TM. Modos TE Nesse caso, s˜ao requeridas condi¸c˜oes de contorno de Neumann, pois Ψ = Hz e o campo magn´etico perpendicular ao condutor deve se anular. Portanto (∂Ψ/∂n)|S = 0, ou seja, a derivada normal se anula nas paredes do condutor: ∂Ψ =0 ∂y y=0 ∂Ψ =0 ∂y y=b ∂Ψ =0 ∂x x=0 ∂Ψ =0 ∂x x=a daqui tiramos: B=0 D=0 mπ kx = m = 0, 1, 2... a nπ ky = n = 0, 1, 2... a lembrando que se m = n = 0 a solu¸c˜ao ´e trivial, e portanto apenas um dos dois pode ser zero, o outro sendo diferente de zero. A solu¸c˜ao nesse caso ´e:  mπ   nπ  ΨT E = Hz = H0 cos x cos y (8.53) a b A rela¸c˜ao de dispers˜ao nesse caso vale: kz2 2 =k − 2 k⊥ 2 =k − kx2 − ky2 = ω µε − π s kzmn = 2  ω 2 µε − π2 2 m2 n2 − 2 a2 b  m2 n 2 − 2 a2 b   (8.54) 116 Observando a express˜ao para kz vemos que existe uma frequˆencia m´ınima, abaixo da qual a onda ´e evanescente pois kz torna-se imagin´ario e a propaga¸c˜ao tem a caracter´ıstica e−|kz |z . Por isso o ponto cr´ıtico ´e kz = 0 e nesse ponto temos a frequˆencia de corte do modo T Em,n : r π m2 n2 c − 2 (8.55) ωmn =√ µε a2 b Se consideramos a > b a menor frequˆencia de corte ser´a com m = 1 e n = 0, e ´e a menor frequˆencia poss´ıvel mesmo considerando os modos TM, como veremos: π c ω10 = √ a µε (8.56) Para a = 0.05 m, a frequˆencia de corte ´e f = 3 GHz. Modos TM Nesse caso Ψ = Ez , e Hz = 0. Temos as condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet, o que implica em Ψ|S = 0, ou seja: Ψ =0 y=0 Ψ =0 x=0 Ψ =0 y=b Ψ x=a =0 e a solu¸c˜ao final ´e:  mπ   nπ  x sin y (8.57) a b sendo m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3.... Notemos que nem m, nem n podem ser nulos, sen˜ao temos a solu¸c˜ ao trivial. Portanto o modo TM de ordem mais baixa ´e com m = 1 e n = 1. A rela¸c˜ao de dispers˜ ao ´e a mesma dos modos TE, ou seja: ΨT M = Ez = E0 sin s kzmn = c ωmn  ω 2 µε − π 2 π =√ µε r m2 n2 − 2 a2 b m2 n2 − 2 a2 b entretanto, a frequencia mais baixa permitida no modo TM ´e: r π 1 1 c ω10 =√ + 2 2 b µε a  (8.58) (8.59) (8.60) e este valor ´e certamente maior do que a primeira frequˆencia de corte dos modos TE. Para a = b = 0.05m temos f = 4.23 GHz no modo TM11 . A figura 1.2 mostra as curvas modais para um guia retangular de dimens˜oes a = 5 cm, b = 2.5 cm. O plot ´e feito normalizado, ou seja, ω versus ckz /ω. 117 Figura 8.2: Modos para o Guia Retangular Met´alico de dimens˜oes a e b 8.2.5 Demonstra¸c˜ ao: Ausˆ encia de Modos TEM em um guia oco Dissemos inicialmente que para suportar um modo TEM um guia deve ser composto por no m´ınimo dois condutores. Vamos demonstrar aqui essa impossibilidade para os guias ocos, ou seja que s˜ ao compostos apenas por um contorno met´alico. Para o modo TEM os campos longitudinais devem ser nulos, ou seja, Ez = 0 e Hz = 0. Nesse caso os campos devem ser totalmente transversais `a dire¸c˜ ao z. Vamos supor agora o mesmo guia retangular da se¸c˜ao anterior, e que tenhamos o campo el´etrico na dire¸c˜ao x, Ex . Esse campo el´etrico ´e tangencial `as paredes y = 0 e y = b e por isso deve se anular nessas paredes, ou seja: Ex =0 y=0 Ex y=b =0 Para que essa solu¸c˜ao seja poss´ıvel, o campo el´etrico deve ser uma fun¸c˜ao de y pelo menos. Observando a equa¸c˜ao de Maxwell ∇ × E = −iωµH, temos, em coordenadas cartesianas:   ∂Ey ∂Ex i Hz = − ωµ ∂x ∂y mas como Ex ´e fun¸c˜ao de y, vemos a impossibilidade da onda ser TEM e cumprir com as condi¸c˜ oes de contorno impostas pelas equa¸c˜oes de Maxwell. 118 O mesmo vale se tiv´essemos escolhido Hx , pois a´ı ´e o campo magn´etico perpendicular `as superf´ıcies met´alicas que deve se anular nas superf´ıcies, e a´ı o campo deve ser uma fun¸c˜ao de x. Pelas equa¸c˜ oes de Maxwell demonstra-se novamente que ´e necess´ario a existˆencia de um campo Ez para cumprir com as condi¸c˜oes de contorno. Portanto n˜ao s˜ao poss´ıveis modos TEM em um guia met´alico oco, constitu´ıdo apenas de paredes condutoras. 8.2.6 Guia Met´ alico de Se¸c˜ ao Circular Considere agora um guia met´alico de se¸c˜ao reta circular, sendo um tubo met´alico oco de raio a. Os mesmos procedimentos utilizados para resolver o problema do guia retangular aplicam-se aqui. Temos apenas uma pequena diferen¸ca, que ´e a modifica¸c˜ao do laplaciano transversal para as coordenadas cil´ındricas circulares, devido `a simetria circular do problema, ou seja, a equa¸c˜ao
2 ∇2⊥ + k⊥ Ψ=0 deve ser escrita na forma:  1 ∂ ρ ∂ρ  ∂ ρ ∂ρ   1 ∂2 2 + 2 + k⊥ Ψ(ρ, ϕ, z, t) = 0 ρ ∂ϕ2 (8.61) sendo, pelo m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis: Ψ(ρ, ϕ, z, t) = f (ρ)g(ϕ)ei(ωt−kz z) Se supormos g(ϕ) = eimϕ , com m um n´ umero real e inteiro, temos uma equa¸c˜ao para f (ρ) que ´e a seguinte:     1 d df (ρ) m2 2 ρ + k⊥ − 2 f (ρ) = 0 (8.62) ρ dρ dρ ρ e a equa¸c˜ao acima ´e a conhecida equa¸c˜ ao diferencial de Bessel, cuja solu¸c˜ao s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel, na forma: f (ρ) = AJm (k⊥ ρ) + BKm (k⊥ ρ) onde Jm ´e a fun¸c˜ao de primeira classe e Km ´e a fun¸c˜ao modificada de primeira classe de Bessel. Na verdade h´a um conjunto de solu¸c˜oes que satisfazem a equa¸c˜ao de Bessel, sendo elas as fun¸c˜ oes de Hankel, Bessel, Neumann e existem rela¸c˜oes matem´aticas relacionando umas `as outras. Como queremos solucionar o guia met´alico de se¸c˜ao circular oco, a fun¸c˜ao deve ser bem comportada para ρ = 0 e a fun¸c˜ao de Bessel que cumpre tal requisito ´e a fun¸c˜ao de primeira classe, ent˜ao a solu¸c˜ ao para o guia oco dever´a ser: Ψ = AJm (k⊥ ρ)eimϕ ei(ωt−kz z) (8.63) Modos TE Nesse caso Ψ = Hz e devemos cumprir as condi¸c˜oes de contorno de Neumann, ou seja, ∂Ψ =0 ∂n S o que significa fazer em ρ = a, superf´ıcie condutora, a derivada da fun¸c˜ao Bessel de ordem m nula: dJm (k⊥ ρ) ρ=a = 0 dρ 119 ou de forma simplificada a condi¸c˜ao ´e: 0 Jm (k⊥ a) = 0 Seja a vari´avel x = k⊥ a ent˜ao 0 (x) = 0 Jm tem n solu¸c˜oes. As ra´ızes da equa¸c˜ao acima s˜ao x0mn , ou seja, x0mn ´e a n-´esima raiz da equa¸c˜ ao 0 Jm (x) = 0. Dessa forma: x0 k⊥ = mn a A rela¸c˜ao entre kz e ω nesse caso ´e: s kzmn  ω 2 µε = − x0mn a 2 (8.64) Tabelas de valores para x0mn s˜ao dispon´ıveis em livros de f´ormulas e fun¸c˜oes matem´aticas especiais. 0 (x) = 0: Abaixo alguns valores para ra´ızes de Jm m=0: x00n = 3.832 , 7.016 , 10.173... m=1: x01n = 1.841 , 5.331 , 8.536... m=2: x02n = 3.054 , 6.706 , 9.970... m=3: x03n = 4.201 , 8.015 , 11.336... Modos TM Nesse caso Ψ = Ez e devemos cumprir as condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet, ou seja, Ψ = 0 S o que significa fazer em ρ = a, superf´ıcie condutora, a fun¸c˜ao Bessel de ordem m nula: Jm (k⊥ ρ) ρ=a = 0 ou de forma simplificada a condi¸c˜ao ´e: Jm (k⊥ a) = 0 Seja a vari´avel x = k⊥ a ent˜ao Jm (x) = 0 tem n solu¸c˜oes. As ra´ızes da equa¸c˜ao acima s˜ao xmn , ou seja, xmn ´e a n-´esima raiz da equa¸c˜ ao Jm (x) = 0. Dessa forma: xmn k⊥ = a A rela¸c˜ao entre kz e ω nesse caso ´e: r kzmn = ω 2 µε − x mn 2 a Abaixo alguns valores para ra´ızes de Jm (x) = 0 m=0: x0n = 2.405 , 5.520 , 8.654... (8.65) 120 m=1: x1n = 3.832 , 7.016 , 10.173... m=2: x2n = 5.136 , 8.417 , 11.620... Note que os modos TE0n e TM1n tem os mesmos valores para a constante de propaga¸c˜ao kz . J´ a o modo fundamental, que ´e o primeiro modo de propaga¸c˜ao ´e o modo TE1 1 e o segundo modo ´e o TM0 1. Para esses dois modos temos: s   1.841 2 T E,11 2 kz = ω µε − a s kzT M,01 = 8.3  ω 2 µε − 2.405 a 2 Modo TEM em um guia coaxial Os guias coaxiais, assim como linhas de transmiss˜ao constituidas por dois condutores s˜ao capazes de suportar modos TEM. Uma caracter´ıstica fundamental que difere os modos TEM dos modos TE e TM ´e que um modo TEM n˜ao possui frequˆencia de corte. Um guia coaxial ´e mostrado na figura 8.3. Figura 8.3: Guia Coaxial Met´alico de raio do condutor interno a e externo b O condutor interno tem raio a enquanto que o externo tem raio b, tendo condutividade σ e profundidade de penetra¸c˜ao δ. O diel´etrico entre os dois condutores ´e assumido como sendo sem perdas com constantes µ e ε. Queremos apenas o modo TEM, mas o guia suporta modos TE e TM. Das equa¸c˜oes de Maxwell: ∇ × E = −iωµH ∇ × H = iωεE 121 e pela simetria do problema, sabemos que o campo el´etrico ´e radial e o campo magn´etico deve ser azimutal. Queremos Ez = 0 e Hz = 0. Observando a equa¸c˜ao para o rotacional em coordenadas cil´ındricas temos: ∂Eρ = −iωµHϕ ∂z ∂Hϕ = iωεEρ ∂z e ainda as equa¸c˜oes adicionais, 1 ∂ (ρHϕ ) = 0 ρ ∂ρ pois n˜ao queremos campo el´etrico e magn´etico na dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao. Desta u ´ltima sabemos que Hϕ ∝ 1/ρ, para que a componente z do campo El´etrico seja nula. Da mesma forma Eρ ∝ 1/ρ. Das equa¸c˜oes ∂Eρ = −iωµHϕ ∂z ∂Hϕ = iωεEρ ∂z podemos obter as equa¸c˜oes do movimento harmˆonico: ∂ 2 Eρ = −ω 2 µεEρ ∂z 2 ∂ 2 Hϕ = −ω 2 µεHϕ ∂z 2 e combinando as solu¸c˜oes, e conhecendo o campo magn´etico em ρ = a, que seja a amplitude m´ axima Hϕ (ρ = a) = H0 temos: r Eρ = Hϕ = µ H0 a i(ωt−kz z) e ε ρ (8.66) H0 a i(ωt−kz z) e ρ (8.67) √ sendo kz = ω µε. A energia ´e transportada na dire¸c˜ao z de onde tiramos a densidade de potˆencia (Poynting): r 1 µ 2 a2 Sz = H (8.68) 2 ε 0 ρ2 A potˆencia transportada ´e a integral da densidade em rela¸c˜ao `a se¸c˜ao transversal ou seja: Z P = Sz ρdρdϕ e resolvendo vem: r P =π µ 2 2 H a ln ε 0 As perdas s˜ao dadas por: P = P0 e−2αz como anteriormente. Calculando α temos: α=− 1 dP 2P dz   b a (8.69) 122 e ainda calculando as perdas, devemos levar em conta as duas superf´ıcies condutoras, ou seja: I I  dP 1 2 2 − = |Hϕ | ρdϕ + |Hϕ | ρdϕ dz 2σδ ρ=a ρ=b   dP 1 1 1 − = 2πa2 H02 + dz 2σδ a b Substituindo este resultado na express˜ao para alpha, temos:
1 2πa2 H02 a1 + 1b 1 2σδ −dP/dz q = α= 2P 2 π µ H 2 a2 ln b
ε 0 a e simplificando vem:   r 1 ε 1 1 1 + (8.70) 2σδ µ ln (b/a) a b Quando trabalhamos com parˆametros de linhas de transmiss˜ao, precisamos da impedˆancia caracter´ıstica da linha, que pode ser calculada na forma: R E · dl V Z0 = =H I H · dl α= Nesse caso: Rb Eρ dρ V Z0 = = Ra I Hϕ ρdϕ ρ=a R b q µ H0 a i(ωt−k z) z dρ ε ρ e a V Z0 = =R H0 a i(ωt−kz z) I e ρdϕ ρ ρ=a A corrente ser´a u ´til para o c´alculo de resistˆencia e portanto: Z H0 a i(ωt−kz z) I= e ρdϕ = 2πH0 aei(ωt−kz z) ρ ρ=a Resolvendo as integrais acima, os termos de fase se cancelam e temos: r   1 µ b Z0 = ln 2π ε a (8.71) J´a a resistˆencia s´erie por unidade de comprimento ´e simplesmente definida como: dP 1 = RI 2 dz 2
1 1 2 2 1 2dP/dz 2σδ 2πa H0 a + b R= =2 (2πH0 a)2 I2 de onde tiramos:   1 1 1 R= + (8.72) 2πσδ a b Pode-se demonstrar tamb´em que a indutˆancia por unidade de comprimento, considerando-se a indutˆancia interna do condutor vale:     b µ µc δ 1 1 L= ln + + (8.73) 2π a 4π a b onde µc ´e a permeabilidade do condutor. O resultado ´e obtido da rela¸c˜ao: L= onde φm ´e o fluxo magn´etico. dφm /dz I 123 8.4 Cavidade Ressonante Vamos considerar agora uma cavidade ressonante circular. Uma cavidade ´e uma guia de onda com as extremidades fechadas por condutores, ou seja, se no guia de onda n˜ao h´a condi¸c˜oes de contorno na dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao z, agora na cavidade estamos impondo condi¸c˜oes de contorno em z. Consideremos uma cavidade de raio a e comprimento L. A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de ondas agora requer ondas refletidas, ou seja, como o guia ´e circular, temos: Ψ = Jm (k⊥ ρ)(A0 eikz z + B 0 e−ikz z )ei(ωt) e nesse guia teremos os modos TE e TM da mesma maneira. Vamos analisar: Modos TE Nesse caso Ψ = Hz e dΨ/dn = 0 nas interfaces, ou seja, al´em da condi¸c˜ao: dJm (k⊥ ρ) ρ=a = 0 dρ temos agora E⊥ = 0 nas interfaces z = 0 e z = d ou Hz = 0 nesses pontos: Ψ =0 z=0 Ψ z=L =0 Podemos escrever a solu¸c˜ao na forma: Ψ = Jm (x0mn ρ/a)[A cos(kz z) + B sin(kz z)]ei(ωt) e a derivada em rela¸c˜ao a z imp˜oe: A=0 kz L = pπ p = 0, 1, 2, ... Portanto a solu¸c˜ao final ´e:  pπ  z ei(ωt) (8.74) L com m = 0, 1, 2..., n = 1, 2... e p = 1, 2.... Agora, o conjunto de frequˆencias poss´ıveis na cavidade ´e discreto, pois h´a condi¸c˜oes de contorno em todas as dire¸c˜oes, ou seja: s   0 π 2  a 2 2 x mn TE 1+ p (8.75) ωm,n,p = √ x0mn L a µε Ψ = AJm (x0mn ρ/a) sin Modos TM Nesse caso Ψ = Ez e Ψ = 0 nas interfaces, ou seja, al´em da condi¸c˜ao: Jm (k⊥ ρ) ρ=a = 0 temos agora E⊥ = 0 em z = 0 e z = L, ou seja: dΨ =0 dz z=0 dΨ =0 dz z=L 124 Podemos escrever a solu¸c˜ao na forma: Ψ = Jm (xmn ρ/a)[A cos(kz z) + B sin(kz z)]ei(ωt) e a derivada em rela¸c˜ao a z imp˜oe: B=0 kz L = pπ p = 1, 2, ... Portanto a solu¸c˜ao final ´e:  pπ  z ei(ωt) (8.76) L com m = 0, 1, 2..., n = 1, 2... e p = 0, 1, 2.... Agora, o conjunto de frequˆencias poss´ıveis na cavidade ´e discreto, pois h´a condi¸c˜oes de contorno em todas as dire¸c˜oes, ou seja: s   x π 2  a 2 2 mn TM ωm,n,p = √ 1+ p (8.77) a µε xmn L Ψ = AJm (xmn ρ/a) cos Agora temos podemos determinar o modo fundamental. Para o modo TE1,1,1 temos: r  a 2 1.841 TE 1 + 2.912 ω1,1,1 = √ L a µε (8.78) enquanto para o modo TM0,1,0 temos 2.405 TM ω0,1,0 = √ a µε (8.79) Observe acima, que o modo fundamental e tamb´em a frequˆencia pode ser sintonizada atrav´es da rela¸c˜ao a/L, o que faz das cavidades um importante dispositivo de altas frequˆencias. Os dois modos, TE1,1,1 e TM0,1,0 tem a mesma frequˆencia se a equa¸c˜ao abaixo ´e cumprida: r  a 2 1.841mn 2.405 1 + 2.912 = √ √ a µε L a µε ou seja: a 1 ≈ L 2 Nesse caso se L > 2a, o modo TE ´e o fundamental e se L < 2a o modo TM ´e o fundamental. O modo TE tem boa aplica¸c˜ao pois podemos sintonizar a frequˆencia fundamental modificando a rela¸c˜ ao a/L, isto ´e f´acil de fazer movimentando uma das faces do cilindro. Uma cavidade ressonante apresenta tamb´em perdas devido `a condutividade finita das paredes met´alicas. Desse modo a frequˆencia de ressonˆancia deve ser entendida como uma frequˆencia central e uma banda de frequˆencias pr´oximas `a ressonˆancia calculada no caso sem perdas. 8.5 ´ Guias Diel´ etricos: a Fibra Optica Atualmente os sistemas de comunica¸c˜ ao utilizam, pelo menos em parte do sistema, a transmiss˜ ao da informa¸c˜ao em frequˆencias ´opticas. Um dos sistemas de comunica¸c˜ao mais primitivos ´e aquele utilizando a propaga¸c˜ao da luz: far´ois para navega¸c˜ao, sem´aforos, etc. Entretanto a propaga¸c˜ ao no ar produz atenua¸c˜ao por absor¸c˜ao, e o que ´e pior, os efeitos de difra¸c˜ao (a onda se espalha, diminuindo 125 a concentra¸c˜ao de energia) s˜ao muito pronunciados, e se a distˆancia entre transmissor e receptor for muito grande, torna-se invi´avel a propaga¸c˜ao de ondas em frequˆencias ´opticas por meio livre. Por isso, com o avan¸co tecnol´ogico criaram-se as guias de ondas no espectro ´optico que s˜ao as chamadas fibras ´opticas. Muito embora a an´alise ´e semelhante ao caso dos guias met´alicos, a complexidade das solu¸c˜ oes aumenta muito, mas as conclus˜oes gerais, a respeito de existˆencia de modos continuam v´alidas. Um modo de entender as fibras ´e utilizando a ´optica geom´etrica, o que facilita bastante, e nesse caso a propaga¸c˜ao pode ser entendida como a reflex˜ao na interface entre dois meios distintos, produzindo o efeito de reflex˜ao total, quando o ˆangulo de incidˆencia for maior do que o ˆangulo cr´ıtico. 8.6 Linhas de Transmiss˜ ao Linhas de transmiss˜ao s˜ao casos especiais de guias de onda utilizados para transportar a energia eletromagn´etica de um ponto a outro sem que ocorram perdas por irradia¸c˜ao e minimizando efeitos difrativos. S˜ao utilizadas em amplo espectro de frequˆencia, desde a transmiss˜ao de potˆencia em 60 Hz at´e a faixa das Microondas. As linhas de transmiss˜ao s˜ao constitu´ıdas de dois ou mais condutores paralelos de maneira a suportar modos transversais eletromagn´eticos (TEM). Usualmente chamamos de guias de ondas os condutores ocos que n˜ao suportam modos TEM, somente TE e TM. Em um guia ou linha de transmiss˜ao deseja-se a propaga¸c˜ao de um u ´nico modo (para evitar efeitos dispersivos), em uma larga faixa de frequˆencias, com baixa atenua¸c˜ao do sinal. Alguns tipos de linhas s˜ao: condutores paralelos filamentares, guias coaxiais, guias planares em microfitas, e s˜ao ilustrados abaixo. A propaga¸c˜ao dos modos TEM nas linhas de transmiss˜ao ocorre sem uma frequˆencia de corte, diferentemente dos guias ocos que tem sempre frequˆencia de corte. O guia em microfita ´e muito utilizado em microondas na fabrica¸c˜ao de circuitos de microondas, pois dado o diel´etrico ε, podese reduzir as dimens˜oes do circuito. Na an´alise que se segue utilizaremos as equa¸c˜oes de Maxwell, conforme mostradas abaixo: ∇·E=0 ∇·H=0 ∂H ∇ × E = −µ ∂t ∂E ∇×H=ε ∂t (8.80) Os modos TEM, que se propagam na dire¸c˜ao z n˜ao possem campos na dire¸c˜ao de propaga¸c˜ ao, ou seja, Ez = 0 e Hz = 0, por isso decompondo as equa¸c˜oes de Maxwell em componentes longitudinais e transversais conforme j´a feito anteriormente, temos as seguintes express˜oes: ∇⊥ × E⊥ = 0 (8.81) ∇⊥ × H⊥ = 0 (8.82) Podemos fazer nesse caso uma separa¸c˜ao de vari´aveis: ~ E⊥ (x, y, z, t) = V (z, t)E(x, y) ~ H⊥ (x, y, z, t) = I(z, t)H(x, y) (8.83) (8.84) 126 onde V e I podem ser interpretadas como amplitudes de ondas de tens˜ao e corrente, respectivamente, e ~ E(x, y) = −∇⊥ ΦE (x, y) ~ H(x, y) = −∇⊥ ΦH (x, y) ~⊥ e H ~ ⊥ dever˜ao ser propriComo veremos para dar a significa¸c˜ao correta para V e I, os campos E amente normalizados. Utilizando os campos (8.83) e (8.84) nas equa¸c˜oes de Maxwell em rotacional, podemos obter as duas equa¸c˜oes (8.81) e (8.82) e al´em destas temos ainda: ∂V ~ ⊥ = −µ ∂I H ~⊥ ˆ az × E ∂z ∂t ∂I ~ ⊥ = ε ∂V E ~⊥ ˆ az × H ∂z ∂t (8.85) (8.86) ~∗ e H ~ ∗ temos: Multiplicando as equa¸c˜oes acima vetorialmente por E ⊥ ⊥ ∂V ~ ∗ ~ ⊥ ] = −µ ∂I E ~∗ × H ~⊥ az × E E⊥ × [ˆ ∂z ∂t ⊥ ∂I ~ ∗ ~ ⊥ ] = ε ∂V H ~∗ ×E ~⊥ H⊥ × [ˆ az × H ∂z ∂t ⊥ (8.87) (8.88) e de uma identidade vetorial temos ~ ∗ × [ˆ ~ ⊥ ] = (E ~∗ · E ~ ⊥ )ˆ ~ ∗ )E ~⊥ E az × E az − (ˆ az · E ⊥ ⊥ ⊥ ~ ∗ × [ˆ ~ ⊥ ] = (H ~∗ ·H ~ ⊥ )ˆ ~ ∗ )H ~⊥ H az × H az − (ˆ az · H ⊥ ⊥ ⊥ ~∗ = 0 e ˆ ~ ∗ = 0 e por isso ficamos com: mas sabemos que ˆ az · E az · H ⊥ ⊥ ∂V ~ ∗ ~ ∂I ~ ∗ ~⊥ (E⊥ · E⊥ )ˆ az = −µ E ×H ∂z ∂t ⊥ ∂I ~ ∗ ~ ∂V ~ ∗ ~⊥ (H · H⊥ )ˆ az = ε H ×E ∂z ⊥ ∂t ⊥ Integrando ambas as equa¸c˜oes acima em rela¸c˜ao `a a´rea transversal dS = dSˆ az temos: Z Z ∂V ~∗ · E ~ ⊥ )dS = −µ ∂I ~∗ × H ~ ⊥ · dS (E E ⊥ ⊥ ∂z ∂t Z Z ∂I ~∗ ·H ~ ⊥ )dS = ε ∂V ~∗ ×E ~ ⊥ · dS (H H ⊥ ⊥ ∂z ∂t (8.89) (8.90) (8.91) (8.92) ou ainda: R ∗ ~ ×H ~ ⊥ · dS ∂I E ∂V = −µ R ⊥ ~∗ · E ~ ⊥ )dS ∂t ∂z (E ⊥ R ~⊥ × H ~ ∗ · dS ∂V E ∂I ⊥ = −ε R ~∗ ·H ~ ⊥ )dS ∂t ∂z (H ⊥ Impondo as seguintes condi¸c˜oes para o vetor de Poynting: 1 1 ~⊥ × H ~ ∗ ) = 1 V ∗ I<(E ~∗ × H ~ ⊥) Srms = <(E × H) = V I ∗ <(E ⊥ ⊥ 2 2 2 (8.93) (8.94) 127 e a potˆencia deve ser dada por: 1 P = V I∗ = 2 Z S · dA A temos as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao: Z Z ~ ⊥) · ˆ ~⊥ × H ~∗)·ˆ ~∗ × H (E a dS = (E az dS = 1 z ⊥ ⊥ (8.95) S S enquanto as energias armazenadas por unidade de comprimento, el´etrica e magn´etica respectivamente s˜ao dadas por: Z 1 1 (8.96) < We >= ε |E|2 dS = C|V |2 4 4 Z 1 1 |B|2 dS = L|I|2 (8.97) < Wm >= 4µ 4 onde L e C s˜ao definidas como indutˆancia e capacitˆancia por unidade de comprimento, mas ~⊥ · E ~∗ ) |E|2 = |V |2 (E ⊥ ~⊥ · H ~∗) |B|2 = µ2 |I|2 (H ⊥ e juntando `as rela¸c˜oes anteriores teremos: Z ~⊥ · E ~ ∗ )dS C = ε (E ⊥ Z ~⊥ · H ~ ∗ )dS L = µ (H ⊥ (8.98) (8.99) e por isso podemos escrever: µε ∂I ∂V =− ∂z C ∂t ∂I µε ∂V =− ∂z L ∂t (8.100) (8.101) As equa¸c˜oes requerem que: c2 = 1 1 = µε LC (8.102) ou seja LC = µε de onde tiramos ent˜ao: ∂V ∂I = −L ∂z ∂t ∂I ∂V = −C ∂z ∂t (8.103) (8.104) As perdas na linha foram omitidas (ρ e J foram colocados como zero no in´ıcio) mas podem ser prontamente colocados: ∂V ∂I = −RI − L ∂z ∂t ∂I ∂V = −GV − C ∂z ∂t (8.105) (8.106) 128 onde G e R s˜ao condutˆancia e resistˆancia por unidade de comprimento respectivamente. Fazendo a passagem para o regime harmˆonico, que equivale a transformar em Fourier em rela¸c˜ao a t a equa¸c˜ ao acima, nos d´a: ∂V = −(R + iωL)I ∂z ∂I = −(G + iωC)V ∂z (8.107) (8.108) Tomando a segunda derivada em rela¸c˜ao a z no sistema acima, nos d´a, para a tens˜ao V : ∂ 2 V (z) = (G + iωC)(R + iωL)V (z) ∂z 2 V (z, t) = V (z)eiωt (8.109) (8.110) Supondo V ∝ e−iβz temos: p β± = ± (ωL − iR)(ωC − iG) (8.111) O fator β ´e a constante de propaga¸c˜ao de onda e ± denota onda propagante e contra-propagante, na dire¸c˜ao z, ent˜ao podemos escrever de forma geral: V (z) = V + e−iβz + V − eiβz e a corrente ´e dada por: I(z) = − I(z) = 1 ∂V R + iωL ∂z iβ (V + e−iβz − V − eiβz ) R + iωL de onde tiramos a impedˆancia de onda Z = V + /I + : ωL − iR Z= = β r ωL − iR ωC − iG (8.112) Podemos escrever ent˜ao de forma geral:   V (z, t) = V + exp (−iβz) + V − exp (iβz) exp (iωt)  1  + V exp (−iβz) − V − exp (iβz) exp (iωt) I(z, t) = Z p β = (ωL − iR)(ωC − iG) r ωL − iR Z= ωC − iG (8.113) (8.114) (8.115) (8.116) e para o caso em que as perdas podem ser desprezadas, R = 0 e G = 0, temos: √ β = ω LC r L Z= C Podemos calcular L e C para os v´arios tipos de linhas de transmiss˜ao facilmente, atrav´es das express˜oes j´a definidas anteriormente, para L e C. Os parˆametros distribuidos R, G, L, C determinam o comportamento da propaga¸c˜ao de ondas em uma linha de transmiss˜ao, que nada mais ´e do que uma 129 guia de ondas onde V representa o campo el´etrico e I o campo magn´etico, sob o ponto de vista da teoria de circuitos. A an´alise da configura¸c˜ao transversal dos campos aparece no c´alculo de R, G, L, C mas muitas vezes torna-se mais f´acil a determina¸c˜ao experimental desses parˆametro em n´ıvel DC, uma vez que em muitas situa¸c˜oes n˜ao h´a varia¸c˜oes dr´asticas dos parˆametros com a frequˆencia. Para o caso de dois condutores filamentares paralelos, temos campos do tipo µ0 I 2πρ ρl Eρ = 2πε0 ρ Bϕ = ´ f´acil mostrar ent˜ao que: onde ρl ´e a densidade linear de cargas e ´e fun¸c˜ao do potencial. E   µ0 a+d L= ln π a πε
C= ln a+d a r   1 µ0 a+d Z= ln π ε a (8.117) (8.118) (8.119) onde a ´e o raio dos condutores e d a separa¸c˜ao entre a superf´ıcie deles. Para um guia planar em microfitas temos: µ0 d W εW C= r d µ0 d Z= ε W L= (8.120) (8.121) (8.122) onde d ´e a espessura da camada diel´etrica, e W ´e a largura do condutor acima do plano de terra. Conv´em destacar que a linha em microfita permite o casamento de impedˆancias e modifica¸c˜ oes das caracter´ısticas de propaga¸c˜ao variando simplesmente a raz˜ao d/W . Seguindo devemos fazer algumas defini¸c˜oes importantes. Impedˆ ancia de Entrada Zin (z) = V (z, t) V + exp (−iβz) + V − exp (iβz) = Z0 + I(z, t) V exp (−iβz) − V − exp (iβz) (8.123) onde Z0 ´e a impedˆancia caracter´ıstica da linha. Vemos aqui que a impedˆancia de entrada depende da posi¸c˜ao em que ´e medida. Coeficiente de Reflex˜ ao Consiste em medir a raz˜ao de onda propagante em +z e a onda refletida, em um ponto da linha, definida como: V − (0)eiβz Γ(z) = + = Γ0 e2iβz (8.124) V (0)e−iβz O coeficiente de reflex˜ao tamb´em depende do ponto em que ´e medido. Podemos escrever V e I em termos de Γ, conforme segue: V (z) = V + e−iβz [1 + Γ(z)] 1 + −iβz I(z) = V e [1 − Γ(z)] Z0 (8.125) (8.126) 130 e tamb´em Zin (z) = Z0 1 + Γ(z) 1 − Γ(z) (8.127) Devemos saber agora quem ´e Γ0 e para tanto, precisamos conhecer o fator Γ(l), onde l ´e um ponto de descontinuidade da linha. Se em z = l temos uma carga ZL , sabemos que nele temos: Γ(l) = ZL − Z0 ZL + Z0 (8.128) onde Z0 ´e a impedˆancia da linha. Agora temos: Γ(l) = Γ0 e2iβl = de onde tiramos: Γ0 = ZL − Z0 ZL + Z0 ZL − Z0 −2iβl e ZL + Z0 (8.129) ZL − Z0 2iβ(z−l) e ZL + Z0 (8.130) e podemos escrever ent˜ao: Γ(z) = sendo ent˜ao o coeficiente de reflex˜ao medido uma fun¸c˜ao da posi¸c˜ao ao longo da linha. Rela¸ c˜ ao de Onda Estacion´ aria SWR ´ E uma medida de refletividade em um ponto da linha e define-se em um ponto qualquer como: SWR = |Vmax | 1 + |Γ| = |Vmin | 1 − |Γ| (8.131) este parˆametro ´e facilmente mensur´avel por sondagem ao longo da linha. Agora para colocar Zin em termos somente de β, l, z, ZL e Z0 podemos utilizar a defini¸c˜ ao de Γ(z) em Zin (z) para obter: ZL + iZ0 tan[β(l − z)] Zin = Z0 (8.132) Z0 + iZL tan[β(l − z) e ainda para z = 0 temos: Zin = Z0 ZL + iZ0 tan[βl] Z0 + iZL tan[βl (8.133) onde l ´e agora o comprimento da linha de transmiss˜ao do ponto de medida at´e a carga ZL . Temos alguns casos especiais. Casos de Linhas Especiais Linha de l = λ/2 com β = 2π/λ: Nesse caso Zin = ZL e por isso a linha de meio comprimento de onda ´e dita repetidora de impedˆancia. Linha de l = λ/4 Nesse caso temos tan(βl) = tan(π/2) = ∞ e por isso: Zin = Z02 ZL Se ZL → ∞ ent˜ao Zin → 0 e se ZL → 0 ent˜ao Zin → ∞, por isso a linha de λ/4 ´e dita transformadora de impedˆancia, converte aberto em curto circuito e curto em aberto. 131 Linhas Curto Circuito ZL = 0 Para este caso temos: Z = iZ0 tan(βl) Linhas Abertas ZL = ∞ Para este caso temos: Z = −iZ0 cot(βl) e por isso com linhas em curto ou aberto, variando l podemos obter qualquer reatˆancia ou susceptˆancia que desejarmos. Carta de Smith Como um u ´ltimo t´opico, para tratamento de linhas de transmiss˜ao em microondas existe uma ferramenta de c´alculos pr´atica, conhecida como Carta de Smith, que permite, a partir da impedˆ ancia ´ de carga conhecer facilmente a impedˆancia de entrada. E um m´etodo gr´afico bastante utilizado. Primeiramente normalizamos a impedˆancia: 1+Γ Z = Z0 1−Γ Fazendo Z Z0 = r + ix e Γ = u + iv temos r + ix = 1 + u + iv 1 − u − iv Igualando as partes real e imagin´aria temos: 1 − u2 − v 2 1 − u2 + v 2 2v x= 1 − u2 + v 2 r= (8.134) (8.135) Resolve-se esta equa¸c˜ao no plano u − v, dados os valores de r e x. Obt´em-se portanto um mapeamento de r e x no plano u − v, que podemos transformar de um ponto da linha para outro. O plano u − v ´e um conjunto infinito de circunferˆencias que se interceptam, os centros e raios dessas circunferˆencias s˜ao definidos por r e x. Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Matthew N.O. Sadiku, Elements of Electromagnetics, Oxford University Press; [2] William H. Hayt, Eletromagnetismo, McGraw-Hill; [3] Carl H. Durney and C.C. Johnson, Introduction to Modern Electromagnetics, McGraw-Hill; [4] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy, Fundamentos da Teoria Eletromagn´etica, Ed. Campus. [5] Carlos Peres Quevedo, Eletromagnetismo, Makron Books; [6] W.L. Stutzman, G.A. Thiele, Antenna Theory and Design, John Wiley, 2nd Ed; [7] Outros Livros de Teoria Eletromagn´etica, An´alise de Fourier, Antenas; 132