Apostila De Isostática Cap. 1

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Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais 1.1 - A importância das estruturas Ao se construir qualquer edificação ou objeto, é preciso garantir a estabilidade do produto durante o processo construtivo e na fase de utilização. Desta forma, torna-se necessário saber quais são os efeitos do peso próprio (uma ponte ou edifício deve ser capaz de suportar o peso dos materiais utilizados na sua construção sem ruir), dos efeitos ambientais (o vento pode ser ainda mais crítico durante a construção; as variações térmicas podem provocar rachaduras críticas), das cargas a serem aplicadas (veículos, pessoas, móveis) e prever as piores situações possíveis de solicitação na estrutura. A estrutura é o conjunto de elementos de sustentação de uma obra ou objeto, que tem a finalidade de garantir a estabilidade global em todas as solicitações. O projeto de uma estrutura envolve sempre as seguintes etapas: - Projeto geométrico da obra – Arquitetura - Definição geométrica da estrutura - Definição de materiais - Identificação de vínculos internos e externos (apoios e ligações entre elementos como vigas e pilares) - Cálculo dos esforços seccionais na estrutura - Verificação da estabilidade dos elementos estruturais (função do material e dos esforços atuantes) Um bom entendimento dos principais conceitos estruturais ajuda os engenheiros e arquitetos a encontrar, desde o projeto geométrico, as soluções estruturais mais vantajosas do ponto de vista econômico e estético. A escolha sábia entre os diferentes tipos de materiais estruturais depende da compreensão adequada do funcionamento de cada elemento estrutural e de como eles se ligam uns aos outros. Somente um bom conhecimento teórico permite projetos mais arrojados, de construção rápida e de utilização adequada de cada material de acordo com suas propriedades estruturais. As estruturas compõem-se de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios. 1.2 - Apoios Os apoios são os vínculos que ligam uma estrutura a elementos externos ao sistema estrutural considerado. A função dos mecanismos de apoio é a de restringir deslocamentos ou rotações nos pontos onde se encontram, despertando com isso reações nas direções dos movimentos impedidos. São classificados de acordo com o número de movimentos impedidos, que é igual ao número de reações que fazem surgir sobre a estrutura,. Desta forma, considerando-se os três eixos triortogonais de referência podem-se ter deslocamentos em 3 direções e rotações em torno dos 3 eixos. Ultima atualização em 29/6/2007 1 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano z y x Os apoios são capazes de restringir de 1 a 6 movimentos, permitindo assim 5 a zero graus de liberdade. Entende-se por Graus de Liberdade as 3 componentes de translação e as 3 componentes de rotação que um elemento estrutural pode sofrer em um espaço tridimensional. Para que se estabeleça o equilíbrio da estrutura quando sob o efeito de cargas solicitantes, esses seis graus de liberdades devem ser restringidos, ou seja, devem-se adicionar ao sistema novas forças que façam com que sejam atendidas as equações universais da estática, garantindo que o somatório de forças e momentos em qualquer direção seja nulo. Sabendo Quadro 1 - Equilíbrio e as equações universais da estática + Para que um corpo submetido à ação de um sistema de forças esteja em equilíbrio, é necessário que essas forças não provoquem nenhuma tendência de translação ou rotação a este corpo, o que só ocorre se tanto a resultante R das forças como o momento resultante m dessas forças em relação a um ponto qualquer forem nulas. As seis equações universais da estática mostradas abaixo, regem o equilíbrio de um sistema de forças no espaço. ⎧n ⎪∑ X i = 0 ⎪ i =1 Onde: ⎪n ⎪∑ Yi = 0 • X i , Yi , Z i são as projeções das forças Fi que ⎪ i =1 compõem o sistema, respectivamente, nas ⎪n = Z 0 direções dos eixos x, y e z. ⎪∑ i ⎪ i =1 ⎨n Mx i , My i , Mz i são as projeções dos momentos • ⎪ Mx = 0 ∑ i ⎪ i =1 das forças Fi em relação a um ponto qualquer do ⎪n espaço, respectivamente, nas direções dos eixos ⎪ My = 0 x, y e z. ∑ i ⎪ i =1 ⎪n • n é o número de forças que compõem o sistema ⎪ Mz = 0 considerado ∑ i ⎪⎩ i =1 2 Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 1.2.1 - Tipos de apoios No caso de estruturas planas carregadas exclusivamente no próprio plano (sistema de forças coplanares), que é o mais freqüente em Análise Estrutural, há apenas três graus de liberdade a restringir: 2 movimentos de translação em duas direções ortogonais no plano da estrutura e 1 rotação em torno do eixo ortogonal ao plano da estrutura. Os apoios para impedir tais movimentos são: a) Apoio do 1o gênero ou charriot: y x Rx ou H Ry ou V Este apoio restringe apenas o movimento em uma direção (vertical ou horizontal de acordo com a orientação do desenho do apoio). É preciso ressaltar que a reação vertical pode ser para cima ou para baixo e a reação horizontal no caso a2 pode ser para esquerda ou para a direita. Pode-se considerar este apoio como sendo uma roda em um trilho, pois é permitido o deslocamento paralelo ao trilho e impedido o deslocamento perpendicular. A rotação também e permitida e por isso não há reação de momento. b) Apoio do 2o gênero ou rótula: y x Rx ou H Ry ou V Este apoio restringe deslocamentos verticais ou horizontais. É preciso ressaltar que a reação vertical pode ser para cima ou para baixo e a reação horizontal pode ser para esquerda ou para a direita. Pode-se considerar este apoio como sendo uma rotula presa a um ponto fixo. c) Apoio do 3o gênero ou engaste y x H M V Este apoio restringe deslocamentos e rotações. Desta forma possui reação horizontal, vertical e de momento. Ultima atualização em 29/6/2007 3 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano Sabendo Quadro 2 - Sistema de forças coplanares y ⎧∑ X = 0 ⎪⎪ ⎨∑ Y = 0 ⎪ ⎪⎩∑ Mz = 0 F1 F3 F2 o + F4 x Como, neste caso, não há componentes de forças na direção do eixo ao qual elas são ortogonais (z, no caso da figura) e os momentos de todas as forças em relação a qualquer ponto situado no mesmo plano que as contem será sempre ortogonal a esse plano, as equações de equilíbrio do sistema reduzem-se às três equações mostradas acima. Este tipo de sistema de forças é o que se observa nas estruturas denominadas quadros planos, que são definidos como estruturas planas compostas por barras, sobre as quais atuam, exclusivamente, cargas situadas no plano da estrutura. 1.3 - Isostática , análise estrutural e resistência dos materiais Em alguns currículos acadêmicos a nomenclatura de cada disciplina pode confundir o aluno quanto ao campo de estudo de cada um destes tópicos. As Estruturas Isostáticas, objetos de estudo deste livro, são aquelas onde os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estruturas. A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, avaliando a magnitude dos esforços internos a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus apoios etc.) e engloba as estruturas isostáticas e hiperestáticas. A Resistência dos Materiais propriamente dita permite a quantificação das tensões atuantes nos diferentes pontos e direções da estrutura em função desses esforços internos, bem como a verificação da estabilidade da estrutura, que se faz comparando-se as tensões nela atuantes à capacidade que o material de que foi construída apresenta de resistir a essas tensões, sem que ocorra ruptura ou deformação inaceitável nas peças estruturais. 4 Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano Sabendo Quadro 3 – Estaticidade e Estabilidade + Vimos que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Três casos poderão acontecer: - Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura: neste caso, o número de reações de apoio a determinar (incógnitas) é igual ao número de equações de equilíbrio. Diz-se, então que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. - Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura: neste caso, havendo mais equações de equilíbrio do que incógnitas a determinar, tem-se um sistema de equações impossível. Isso significa que a estrutura será instável, sendo denominada hipostática. Podem ocorrer, neste caso, algumas situações em que o próprio sistema de cargas atuantes consiga atender às equações de equilíbrio, estando impedidos os movimentos que os apoios não são capazes de restringir. Quando isso ocorre, tem-se uma situação de equilíbrio instável, pois qualquer nova carga introduzida pode levar a estrutura à ruína, já que os apoios não serão capazes de impedir os movimentos que essa nova carga produz. Estruturas hipostáticas não são admissíveis em construções. - Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura: neste caso, há menos equações do que incógnitas a determinar, o que conduz a um sistema indeterminado. As equações universais da estática não serão suficientes para que se determinem as reações de apoio, havendo uma infinidade de soluções possíveis para o sistema de equações. Neste caso, são necessárias equações adicionais baseadas na compatibilidade das deformações, que permitam definir qual dessas soluções é a verdadeira, “levantando-se”, assim, a indeterminação do sistema. A estrutura será dita hiperestática e seu equilíbrio será estável. 1.4 - Elementos de uma Estrutura As peças que compõem uma estrutura são tridimensionais, podendo apresentar uma das características a seguir: a) duas dimensões muito pequenas em relação à terceira. É o caso das barras ou hastes. Neste caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a maior dimensão é o comprimento da peça, estando as duas outras no plano da chamada seção transversal da peça. O estudo estático das barras faz-se considerando-as unidimensionais, isto é, representadas pelos seus respectivos eixos longitudinais (lugar geométrico dos centros de gravidade de suas sucessivas seções transversais). Uma barra será reta ou curva conforme seu eixo seja reto ou curvo e uma estrutura composta por barras será dita plana ou espacial se os eixos das diversas barras que a compõem, respectivamente, estiverem ou não contidos em um único plano. Ultima atualização em 29/6/2007 5 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano b) Uma dimensão é pequena em relação às outras duas. Este é o caso das placas (superfícies planas) e das cascas (superfícies curvas). c) As três dimensões são da mesma ordem de grandeza. Neste caso, o elemento estrutural é denominado bloco O escopo deste curso está limitado ao estudo de estruturas compostas por barras. 1.5 - Exercícios resolvidos 1) Calcular as reações de apoio para as estruturas abaixo: a) Muitas vezes, ao se deparar com uma situação como essa, o estudante conclui que por não haver forças aplicadas na horizontal ou na vertical as reações de apoio verticais e horizontais são nulas. Será? Engano comum por excesso de simplificação. Segue-se a solução passo a passo: Há duas reações (vertical e horizontal) no primeiro apoio (apoio do 2º gênero) e uma reação vertical no segundo apoio (apoio do 1º gênero). É preciso descobrir as três incógnitas do problema: HA Æ Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para direita (Æ) VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) Trabalhando com uma estrutura plana com forças atuando no plano, pode-se usar apenas as 3 equações da estática (3 equações para 3 incógnitas – estrutura isostática): ⎧n ⎪∑ X i = 0 : H A = 0 ⎪ i =1 ⎪⎪ n ⎨∑ Yi = 0 : V A + V B = 0 ⎪ i =1 ⎪n ⎪∑ Mz i = 0 : ∑ M A = 0 = 8 + 8 + 8 ⋅ VB = 0 → VB = −2kN ⎪⎩ i =1 Deve-se ressaltar que no cálculo do somatório dos momentos em torno do apoio A, foi adotado como positivo o sentido anti-horário de rotação. O aluno pode definir que sentido irá adotar como positivo ou negativo, desde que mantenha a coerência ao longo do exercício. 6 Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano Percebe-se que pelo sinal negativo de VB, a reação no segundo apoio é contrária ao sentido adotado inicialmente, isso é. VB atua, na realidade, de cima para baixo. Portanto, para o somatório das forças verticais ser nulo, VA e VB têm módulos iguais e sentidos contrários. VA=2kN (Ç) VB=2kN (È) Outra forma de resolver o mesmo problema é utilizar o conceito de binário. Adotar um binário de sentido oposto ao momento atuante resultante de 16kNm onde os módulos de VA e VB podem ser definidos simplesmente por [VA]= [VB] = 16/8= 2kN. Recordando 1 - Conceito de binário Um sistema de duas forças paralelas de mesmo módulo e de sentidos opostos, como o mostrado na figura abaixo, tem a propriedade de possuir resultante nula e momento constante em relação a qualquer ponto do espaço. F O M F M’ O momento das duas forças F em relação ao ponto genérico O será dado por: m = OM 'Λ F − OM Λ F = MM 'Λ F O momento do sistema independe, portanto, da posição do ponto O. Diz-se, neste caso, que as duas forças formam um binário, cujo efeito em relação a qualquer ponto do espaço é invariante. Ultima atualização em 29/6/2007 7 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano b) Há uma reação vertical no primeiro apoio (apoio do 1º gênero) e duas reações (vertical e horizontal) no segundo apoio (apoio do 2º gênero). Deve-se descobrir as três incógnitas do problema: VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) HB Æ Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) Trabalhando com uma estrutura plana com forças atuando no plano, pode-se usar apenas as 3 equações da estática (3 equações para 3 incógnitas – estrutura isostática): ⎧n ⎪∑ X i = 0 : H B = 2kN ⎪ i =1 ⎪⎪ n ⎨∑ Yi = 0 : V A + V B = 4kN ⎪ i =1 ⎪n ⎪∑ Mz i = 0 : ∑ M B = 0 = 8 + 2 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 + 4V A = 0 → V A = −1kN ⎪⎩ i =1 Nota: Desta vez, no cálculo do somatório dos momentos em torno do apoio B, foi adotado como positivo o sentido horário de rotação. Isso é para que fique claro que não existe uma convenção de sinais durante a fase de cálculo de reações de apoio, para que não se entendam estes sentidos como positivos ou negativos quando forem estudados os diagramas de esforços. Percebe-se que pelo sinal negativo de VA, a reação no primeiro apoio é contrária ao sentido adotado inicialmente, isso é. VA atua, na realidade, de cima para baixo. VA=1kN (È) VB=4-(-1)=5kN (Ç) 8 Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano c) Há três reações no engaste (força vertical, força horizontal e momento): VA Æ Força vertical no apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) HA Æ Força horizontal no apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) MA Æ Momento no apoio, adotado inicialmente como anti-horário (4) ⎧n ⎪∑ X i = 0 : H A = 4 + 2 = 6kN ⎪ i =1 ⎪⎪ n ⎨∑ Yi = 0 : V A = 2 + 2 = 4kN ⎪ i =1 ⎪n ⎪∑ Mz i = 0 : ∑ M A = 0 = 4 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 − M A = 0 → M A = 32kN ⎪⎩ i =1 Ultima atualização em 29/6/2007 9 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 2) Calcular as reações de apoio para a estrutura tridimensional abaixo, cujas barras formam entre si apenas angulos de 90º.: Trata-se de uma grelha plana, isto é, um caso especial de sistema de forças paralelas no espaço. Desta forma, como o engaste pode conter os deslocamentos e rotações, neste caso ele irá ter duas reações de momento (em torno de x e de y) e uma reação vertical. Estas são as três incógnitas do problema: MAx Æ Momento de reação no engaste em torno do eixo x. MAy Æ Momento de reação no engaste em torno do eixo y. VA Æ Força vertical no engaste, adotada inicialmente para cima (Ç) É fácil descobrir que a reação vertical no engaste precisa ser de 10kN para que o somatório das forças verticais seja nulo, mas como calcular as reações de momento? 10 Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano Sabendo Quadro 4 - Sistema de forças paralelas no espaço z F1 + F2 F3 o ⎧∑ Mx = 0 ⎪⎪ ⎨∑ My = 0 ⎪ ⎪⎩∑ Z = 0 F3 y x F4 F5 Como, neste caso, não há componentes de forças nas direções dos eixos aos quais elas são ortogonais (x e y, no caso da figura) nem componentes de momentos na direção do eixo ao qual as forças são paralelas (z, no caso da figura), as equações de equilíbrio do sistema reduzem-se às três equações mostradas acima. Este tipo de sistema de forças é o que se observa nas estruturas denominadas grelhas planas, que são definidas como estruturas planas compostas por barras, sobre as quais atuam, exclusivamente, cargas perpendiculares ao plano da estrutura. VA = 10kN y x Para o cálculo das reações de momento é preciso recordar a regra da mão direira (ver quadro explicativo a seguir). Adotando como referência o eixo x passando pelo engaste, temos as forças de 2kN e 4kN produzindo momento positivo em torno de x e vamos precisar então de uma reação de momento negativa mo engaste. ∑ Mx = 0 = 2 × 6 + 4 × 6 + 2 × 4 + 2 × 4 + M Ax = 0 → M Ax = − 12 − 24 − 8 − 8 = −52kN E adotando como referência o eixo y passando pelo engaste, temos duas forças de 2kN produzindo momento positivo em torno de y e as forças de 2kN e 4kN produzindo momento negativo em torno de y. ∑ My = 0 = 2 × 3 + 2 × 3 − 4 × 3 − 2 × 3 + M Ultima atualização em 29/6/2007 Ay = 0 → M Ay = − 6 − 6 + 12 + 6 = 6kN 11 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano Recordando 2 - Força, Momento e a regra da mão direita As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas, portanto, por direção, sentido e intensidade. Sua unidade no sistema internacional é o Newton (N). Em Engenharia estrutural, onde as forças são denominadas cargas, é importante também a definição do ponto de aplicação da força sobre a estrutura. Momento é uma grandeza associada ao movimento de rotação que uma força produz em torno de um ponto. O exemplo da figura abaixo pode ilustrar esse conceito: A B C 10 kN 4m 2m Seja a barra da figura suportada em B por um cutelo. É intuitivo perceber que o peso (força) a ser colocado em A para anular a tendência à rotação da barra em torno do cutelo é inferior a 10 kN, por estar o ponto A mais afastado do cutelo que o ponto C. Assim, pode-se afirmar que a grandeza capaz de representar a tendência à rotação em torno de um ponto provocada por uma força é proporcional à intensidade da força e à sua distância ao ponto considerado. Tal grandeza é denominada momento, que pode ser definido como a seguir: Chama-se momento de uma força F em relação a um ponto O ao produto vetorial do vetor OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de ação da força F ) pela força F , como mostrado na figura abaixo. m P O M d F α m = OM Λ F O vetor momento é representado por uma seta dupla, para que não seja confundido com uma força. Sua direção é perpendicular ao plano P, seu sentido é o do dedo polegar, quando se faz os demais dedos da mão direita girarem no sentido da rotação de F em torno do ponto O (regra da mão direita com rotação no sentido dos dedos se fechando); seu módulo é dado por m = OM F sen α = Fd , ou seja, pelo produto do módulo da força F pela menor distância do ponto O à sua linha de ação. A unidade de momento no sistema internacional é N.m (Newton.metro). 12 Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano VA = 10kN MAx=52kN MAy=6kN 1.6 - Exercícios propostos 1) Calcular as reações de apoio para as estruturas abaixo: a) b) c) Ultima atualização em 29/6/2007 13 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 1.7 - Respostas dos exercícios propostos a) b) c) 14