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Física III 2007
Objetivos da disciplina Física III:
Levar o aluno a compreender os fenômenos gerados por
cargas estáticas e suas interações. Entender e analisar os efeitos
produzidos pela passagem da corrente elétrica em componentes de circuitos
de corrente contínua. Adquirir conhecimentos sobre os fenômenos
magnéticos gerados pela corrente elétrica e por materiais magnéticos e
suas aplicações em circuitos elétricos.
Programa da disciplina:
1. Carga elétrica: Lei de Coulomb. Campo elétrico. Potencial elétrico.
2. Corrente Elétrica: Resistividade. Resistência. Força eletromotriz.
Potência elétrica. Resistores em série e em paralelo. Circuitos de
corrente contínua. Leis de Kirchhoff.
3. Capacitância: Capacitores. Dielétricos. Capacitores em série e em
paralelo. Circuitos R-C.
4. Magnetismo: Campo magnético. Força magnética. Torque. Movimento de
cargas.
5. Fontes de Campo Magnético: Lei de Biot-Savart. Lei de Ampère.
Aplicações da Lei de Ampère. Fluxo Magnético. Corrente de
deslocamento.
6. Indução Magnética: Lei de Faraday. Lei de Lenz. Força eletromotriz
produzida pelo movimento. Campos elétricos induzidos. Correntes de
Foucault.
7. Indutância: Indutância mútua. Indutores e auto-indutância. Energia do
campo magnético.
8. Materiais Magnéticos: Paramagnetismo. Diamagnetismo. Ferromagnetismo.
Bibliografia mínima:
YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física. São Paulo: Pearson, 2003, v. 3.
KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron
Books, 1999, v. 2.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo: Edgard Blucher,
2002, v. 3
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1996. v. 3.
TIPLER, P.A. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,
1999. v. 2.
HENNIES, C. E.; GUIMARÃES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas
Experimentais em Física. Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2.
A Lei de Coulomb – Força elétrica
Cargas elétricas.
Grécia Antiga, 600 a.C., o âmbar quando atritado com a lã, adquiria a
propriedade de atrair objetos leves.
Cargas semelhantes repelem-se; cargas diferentes atraem-se.
Prótons: carga elétrica positiva; elétrons: carga elétrica negativa.
Corpo elétricamente neutro: a soma algébrica das cargas positivas do
núcleo e das cargas negativas dos elétrons cancelam-se.
Corpo eletrizado: objeto que perdeu ou recebeu elétrons.
Condutores e isolantes. Nos condutores, os elétrons livres, mais
externos, se movem de uma região à outra, o que não ocorre nos
isolantes.
Eletrização por atrito, por contato ou por indução.
Eletrização por indução:
Lei de Coulomb:
A interação elétrica entre duas partículas eletrizadas é descrita em
termos das forças que elas exercem mutuamente. O módulo da força elétrica
que a carga 1 exerce na carga 2, separadas por uma distância r, é dado por:
onde F= força de atração ou repulsão entre as cargas, em newtons (N).
k=8,98755.109 N.m2.C-2 9,0.109 N.m2.C-2 = constante
eletrostática.
q1, q2 = carga elétrica da partícula, em coulomb (C).
r=distância entre as cargas elétricas, em metros (m).
A equação pode ser expressa, também, da seguinte forma:
onde = k = 8,98755.109 N.m2.C-2 9,0.109 N.m2.C-2
(o = 8,854185.10-12 C2.N-1.m-2 = permissividade do espaço livre
(vácuo).
Módulo das cargas elétricas do elétron e do próton=1,602192.10-19 C
1,6.10-19 C.
Coulomb: 1 C é a quantidade de carga que passa pela área da seção
transversal de um fio condutor em 1 segundo, quando circula pelo condutor
uma corrente elétrica de 1 A.
Se várias forças atuam sobre uma carga elétrica, a força resultante sobre
ela é determinada através da soma vetorial de todas as forças:
O Campo Elétrico
Campo, de uma maneira geral, é uma grandeza que pode ser associada à
posição. Exemplo: a temperatura do ar em uma sala tem um valor específico
em cada ponto.
Campos vetoriais: grandezas vetoriais definidas em cada ponto do espaço.
A velocidade do vento na atmosfera terrestre e o campo gravitacional da
Terra são exemplos de campos vetoriais.
Campo elétrico é a região de influência de uma carga elétrica,
manifestada através da força elétrica que atua sobre uma carga de teste
colocada neste campo. Define-se o campo elétrico , no ponto P, como
a força exercida pela carga q sobre a carga de teste q0, dividida
por q0.
O campo elétrico no ponto P:
Módulo do campo elétrico para uma carga puntiforme:
Campo elétrico resultante num ponto P, devido ao campo elétrico de N cargas
geradoras:
A unidade de campo elétrico, no S.I., é o newton por coulomb (N/C).
"Exemplos de Campos Elétricos "
" " "
"E (N/C) "E (N/C) "
"Nos condutores elétricos "10-2 "Num tubo de imagem de TV "105 "
"domésticos " " " "
"Nas ondas de rádio "10-1 "No cilindro carregado de "105 "
" " "uma copiadora " "
"Na baixa atmosfera "102 "Num tubo de raios X "106 "
"Na luz do sol "103 "Rigidez dielétrica do ar "3x106 "
"Próximo a um pente de "103 "No elétron de um átomo de "6x1011"
"plástico carregado " "hidrogênio " "
"Numa nuvem de tempestade "104 "Na superfície de um núcleo "2x1021"
" " "de urânio " "
"Num raio "104 " " "
Linhas de Campo Elétrico
As linhas de campo elétrico constituem um auxílio para visualizar o
campo. A linha de campo é traçada de tal maneira que sua direção e sentido
em qualquer ponto são os mesmos que os do campo elétrico nesse ponto. A
figura a seguir mostra alguns exemplos de linhas de campo.
Exemplos de linhas de campo elétrico. (a) Partícula com carga positiva; (b)
Partícula com carga negativa; (c) Dipolo; (d) Duas partículas com mesma
carga positiva; (e) Duas partículas com cargas +2q e -q; (f) Disco
carregado uniformemente.
Energia Potencial Elétrica
Energia potencial de uma partícula de teste no campo elétrico de uma
carga puntiforme.
O trabalho realizado pela força elétrica para deslocar a carga de teste
qo de a para b, é dado por:
Como o trabalho é uma variação de energia potencial (U) que a carga
de teste possui nos pontos a e b, temos:
Energia potencial de uma carga de teste no campo elétrico de várias
cargas puntiformes:
U = U1 + U2 + U3 + .....+ Ui =
A unidade de trabalho (w) e energia potencial (U), no S.I., é o
joule (J).
Potencial Elétrico
O potencial elétrico V em um ponto P é igual à energia potencial elétrica
U de uma carga de teste no ponto P dividida pela carga de teste qo.
Potencial devido a partículas carregadas.
onde ri é a distância entre a carga i e o ponto P. O potencial
elétrico é dado, no S.I., em J/C que recebe o nome de volt (V).
Diferença de potencial.
Em um campo elétrico constante, a diferença de potencial entre os pontos
a e b é dada por:
Campo elétrico em termos do potencial:
Estas equações mostram que a unidade de campo elétrico também pode
ser o volt/metro (V/m).
Superfícies Equipotenciais
É uma superfície na qual o potencial é constante. A energia potencial de
um corpo eletrizado é a mesma em todos os pontos desta superfície. Com
isto, não há trabalho realizado para mover o corpo eletrizado em tal
superfície. Portanto, a superfície equipotencial, em qualquer ponto, deve
ser perpendicular ao campo elétrico neste ponto.
Figura mostrando as linhas de força do campo elétrico e as
superfícies equipotenciais.
Exemplos:
Lei de Coulomb:
1. Três cargas puntiformes estão sobre o eixo x. A carga q1 = 25 nC está
na origem, a q2 = -10 nC em x = 2 m e a qo = 20 nC em x = 3,5 m.
Determine a força resultante sobre qo exercida por q1 e q2.
2. Uma carga de 5 (C é colocada em x=0, e uma segunda de 7 (C é colocada
em x=100 cm. Em que posição deve se colocar uma terceira carga para
que a força resultante sobre ela, devido às outras duas, seja nula?
Campo Elétrico:
3. Quando uma carga de prova de 5 nC é colocada num certo ponto, sofre
uma força de 2 x 10-4 N na direção X. Qual o campo elétrico neste
ponto ?
4. Uma carga positiva q1 = 8 nC está na origem e uma outra carga positiva
q2 = 12 nC está em x=4 m. (a) Determinar o campo elétrico deste
sistema de cargas em x=7 m; (b) Determinar o ponto, sobre o eixo dos
X, onde o campo elétrico é nulo.
Potencial Elétrico:
Uma partícula cuja carga é q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B,
ao longo de uma linha reta. A distância total é d = 0,5 m. O campo
elétrico é uniforme ao longo desta linha, na direção de A para B, com
módulo E = 200 N/C. Determinar a força sobre q, o trabalho realizado
pelo campo e a diferença de potencial VA - VB.
5. Cargas puntiformes de 12x10-9 C e -12x10-9 C são colocadas a 10 cm de
distância, como indicado na figura. Calcular os potenciais nos pontos
a, b e c.
Corrente elétrica
A força motriz (F = qE) sobre uma partícula carregada (q) faz com que
esta se mova no mesmo sentido da força, com uma velocidade de
arrastamento vd (os choques entre as partículas produzem aquecimento).
Corrente elétrica: carga resultante que flui através da área, por unidade
de tempo.
No S. I., a corrente elétrica é dada em ampére (A = C/s).
Seja:
n = número de partícula por unidade de volume.
vd = velocidade de arrastamento das partículas.
vd dt = dl = distância percorrida pela partícula em um tempo dt.
A vd dt = volume do cilindro.
n A vd dt = número de partículas dentro do cilinndro sombreado.
q = carga de uma partícula.
Então:
dQ = q n A vd dt
Generalizando para várias partículas diferentes, temos:
Densidade de corrente (J): corrente por unidade de área transversal.
Da equação temos:
Resistividade
A densidade de corrente em um condutor depende do campo elétrico e
da natureza do condutor. Em metais, temos:
onde =
resistividade do material ((.m)
Quanto maior a resistividade, maior será a intensidade do campo elétrico
necessária para estabelecer uma dada densidade de corrente
(característica do material).
A resistividade é constante para temperatura constante (Lei de
Ohm). Para condutores metálicos, temos:
onde: = resistividade à temperatura T ((.m).
= resistividade à temperatura To (referência: 0
oC ou 20 oC).
= coeficiente de temperatura da resistividade (oC-
1).
Coeficientes de temperatura da resistividade (() e Resisitividade (() à
temperatura ambiente
Resistência
Consideremos um segmento de um fio condutor dado pela figura abaixo:
A diferença de potencial V, entre as extremidades, é dada por:
= campo elétrico
uniforme ao longo do condutor.
Como , temos que, , então:
como
temos:
Onde para uma amostra particular de um material, é chamada de
resistência R, ou seja,
Então,
(Lei de Ohm)
onde: V = diferença de potencial (V).
R = resistência elétrica do condutor, em ohm (().
i = intensidade da corrente elétrica através do condutor, em
ampére (A).
A resistência elétrica de um condutor é constante para temperatura
constante. Para intervalos pequenos de temperatura, temos:
onde: RT = resistência do condutor à temperatura T (().
Ro = resistência à temperatura To (0 oC ou 20 oC).
= coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1).
Força eletromotriz
Para a fonte (gerador) em circuito aberto abaixo, a diferença de
potencial (ddp) entre as extremidades igual à força eletromotriz:
Vab = (
A força eletromotriz é uma característica da fonte, em muitos casos, uma
constante independente da corrente elétrica.
No circuito fechado, abaixo, temos:
Vab = ( - r.i
A corrente i no circuito é dada por:
VR = Vab
R i = ( - r i
R i + r i = (
i (R + r) = (
Se os terminais da fonte forem curto-circuitados com um condutor de
resistência nula ou desprezível (R =0), a corrente de curto-circuito será
igual a:
e a ddp entre os terminais será:
Vab = ( - r icc
Vab = ( - r = ( - (
Vqb = 0
Gráfico característico de uma fonte (gerador) (Vab = ( -
r i)
Potência Elétrica
A taxa de ganho ou perda de energia é chamada de potência (P), ou seja,
ou P = V
i
A unidade de potência, no S.I., é o joule por segundo (J/s) que é
chamado de watt (W).
O trabalho também pode ser expresso da seguinte maneira,
Se a potência for expressa em quilowatt (kW) e o tempo em horas (h), o
trabalho será expresso em quilowatt-hora (kWh).
Como V = R i, a potência dissipada por uma resistência será dada por:
P = V i = R i i P = R i2
ou, fazendo , temos:
P =
Resistores
Resistores são dispositivos que convertem parte da energia elétrica
recebida em energia térmica (efeito joule).
Resistores em série:
- A corrente elétrica i é a mesma em todos os resistores.
- A diferença de potencial V é dada por: V = V1 + V2 + V3
- Como V = R i, temos:
R i = R1 i + R2 i + R3 i R = R1 + R2 + R3 , onde R
= resistor equivalente.
Resistores em paralelo:
- A ddp é a mesma em todos os resistores
- A corrente elétrica total i é dada por: i = i1 + i2 + i3
- Como V = R i, temos: i = V/R, então:
, onde R = resistor
equivalente
- Para dois resistores em paralelo, temos:
, onde R = resistor equivalente
- Para n resistores iguais em paralelo:
, onde R = resistor equivalente
Exemplos
1. Um fio de cobre tem 80 m de comprimento e seção transversal de 0,4 mm2.
A resistividade do cobre é 1,72.10-8 (m. Determine a resistência desse
fio.
2. Deseja-se projetar um aquecedor elétrico que seja capaz de elevar a
temperatura de 100 kg de água de 20oC a 56oC em duas horas. (a) Que
potência deve ter esse aquecedor?; (b) Se o aquecedor for projetado para
ser ligado em 220 V, que valor de resistência deverá ser utilizado?
(considere o calor específico da água = 4,2 J/goC)
3. No circuito a seguir, determine a potência dissipada pelo resistor de 20
(, na Fig.1.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
4. Da Fig.2: (a) Calcular a resistência equivalente no circuito; (b)
Determinar a ddp entre os pontos x e y, se a corrente elétrica no
resistor de 8 ( for 0,5 A.
5. Cada um dos três resistores na Fig.3 tem resistência igual a 2 ( e pode
dissipar um máximo de 18 W, sem ficar excessivamente aquecido. Qual é a
potência máxima que o circuito pode dissipar?
As Leis de Kirchhoff
São aplicadas quando não for possível reduzir um circuito em combinações
simples em série e paralelo.
Definições:
Nó: é o ponto onde três ou mais condutores estão ligados. Exemplos no
circuito acima: Pontos a, b, d, e.
Malha: é qualquer caminho condutor fechado. Exemplos de possíveis
malhas: aceda, defbd, hadbgh, hadefbgh, etc.
Regra das Malhas (Primeira Regra de Kirchhoff): Quando se percorre uma
malha fechada de um circuito, as variações de potencial em cada um dos
elementos do circuito tem uma soma algébrica igual a zero.
Regra dos Nós (Segunda Regra de Kirchhoff): Em qualquer nó do circuito,
onde a corrente se divide, a soma das correntes que chegam para o nó é
igual à soma das correntes que saem do nó.
Procedimento para resolver um problema :
1. Em um circuito, nomear e escolher um sentido para a corrente em cada
um dos ramos (ramo=trecho do circuito entre dois nós).
2. Utilizar a regra dos Nós para minimizar o número de variáveis.
3. Escolher uma malha fechada no circuito e um sentido para percorrê-la
(horário ou anti-horário).
4. Percorrer a malha no sentido escolhido, aplicando a Regra das Malhas.
Contar positivamente a fem de uma fonte quando atravessá-lo no sentido
do (-) para o (+) e negativamente quando do (+) para o (-). No
resistor, a diferença de potencial Ri será negativo se o resistor for
atravessado no mesmo sentido que o suposto para a corrente, e positivo
se no sentido oposto. Igualar a soma à zero.
5. Se necessário, escolher outras malhas para obter uma relação diferente
entre as incógnitas, e continuar até obter um número igual de equações
e incógnitas, ou até que cada elemento do circuito tenha sido incluído
em, pelo menos, uma das malhas escolhidas.
6. Resolver as equações a fim de obter os valores das incógnitas.
Exemplos:
1. Determine a corrente em cada ramo do circuito na figura a seguir.
2. Determine a corrente em cada ramo do circuito e a diferença de potencial
entre os pontos a e c (Vac) na figura a seguir.
CAPACITORES
Capacitores são dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente,
carga elétrica e energia em circuitos. São constituídos por dois
condutores, isolados entre si, mas muito próximos um do outro, que quando
estão carregados, tem cargas elétricas iguais, porém, de sinais opostos.
Utilizados em flash de máquina fotográfica; para amortecer as ondulações
da corrente alternada, quando se converte esta corrente em corrente
contínua; para sintonia de rádio ou televisão, etc.
Símbolos:
Tipos:
Capacitores: de poliéster metalizado, cerâmica, eletrolítico
Capacitor variável
Construção de dois tipos de capacitores: (a) Duas folhas de
dielétrico (isolante) e duas lâminas de metal são comprimidas e
enroladas sob forma de um cilindro; (b) Um capacitor eletrolítico
utiliza um eletrólito (solução condutora) com uma "placa" e uma
lâmina de metal como outra placa. O dielétrico é constituído por uma
camada delgada de óxido na lâmina de metal.
Capacitância (C): é a medida da capacidade de armazenamento de carga para
uma determinada diferença de potencial nos terminais do capacitor.
No S.I., a unidade de capacitância é o farad (F): 1 F = 1 C/V.
Capacitor de placas paralelas: Sejam duas placas planas, paralelas, de
área A cada uma, eletrizadas e separadas por uma distância d.
Da Lei de Gauss, temos que:
Do potencial elétrico, temos: Vab = E d , substituindo a expressão do
campo elétrico nesta equação:
onde: C = capacitância do capacitor.
A = área de cada placa.
d = distância entre as placas.
Dielétricos:
Um material não-condutor, como vidro, papel ou madeira, é um
dielétrico. Quando o espaço entre os dois condutores de um capacitor for
ocupado por dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta por um fator
K, característico do dielétrico, e denominado de constante dielétrica. A
razão deste aumento está na diminuição do campo elétrico, entre as placas
do capacitor, provocado pela presença do dielétrico. Assim, para uma dada
carga elétrica nas placas, a diferença de potencial fica diminuída e a
razão Q/V fica aumentada.
Um dielétrico enfraquece o campo elétrico entre as placas de um
capacitor, pois, na presença de um campo elétrico externo, as moléculas
no dielétrico são polarizadas, resultando numa carga superficial nas
faces do dielétrico, produzindo um campo elétrico adicional na direção
oposta à do campo externo.
Se o campo elétrico entre as placas de um capacitor sem dielétrico
for Eo, o campo com o dielétrico é:
onde K é a constante dielétrica. Num capacitor de placa planas e paralelas,
com uma separação d, a diferença de potencial entre as placas é:
onde V é a diferença de potencial com o dielétrico e Vo = Eo d é a
diferença de potencial sem o dielétrico. A nova capacitância é:
A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas, com um
dielétrico de constante dielétrica K é então:
é a permissividade do dielétrico
(a)
(b) (c)
Figura: (a) Campo elétrico entre as placas de um capacitor sem
dielétrico; (b) Moléculas polarizadas em um material
dielétrico devido a um campo elétrico; (c) Campo elétrico entre as
placas de um capacitor com dielétrico. A carga superficial no
dielétrico enfraquece o campo original entre as placas.
"Tabela - Constantes Dielétricas e Rigidez Dielétrica de diversos materiais "
"Material Constante dielétrica K "
"Rigidez dielétrica (kV/mm) "
"Água (a 20o C) "80 " "
"Ar " 1,00059 " 3 "
"Baquelite " 4,9 "24 "
"Mica " 5,4 " 10-100 "
"Neoprene " 6,9 "12 "
"Óleo de transformador " 2,24 "12 "
"Papel " 3,7 "16 "
"Parafina " 2,1-2,5 "10 "
"Plexiglass " 3,4 "40 "
"Poliestireno " 2,55 "24 "
"Porcelana "7 " 5,7 "
"Vidro Pyrex " 5,6 "14 "
Capacitor cilíndrico: Cabo coaxial
Associação de capacitores em série:
Associação de capacitores em paralelo:
Energia elétrica armazenada em um capacitor
Quando uma bateria carrega um capacitor, realiza trabalho ao transferir
portadores de carga de uma placa para outra, elevando a energia potencial
dos portadores. Essa energia potencial aumentada dos portadores de carga
constitui a energia elétrica armazenada em um capacitor.
Como o potencial elétrico V é dado por: , onde U é a energia
potencial elétrica, temos que a variação de energia potencial de um
sistema quando a carga dq é transferida pela bateria é
dU = V dq
para determinarmos a energia potencial total U armazenada no capacitor ao
carregá-lo de zero até Q, fazemos a seguinte integração:
Utilizando a definição de capacitância, , temos as seguintes
expressões para a energia potencial elétrica de um capacitor carregado:
Exemplos:
1. Constrói-se um capacitor de placas paralelas comprimindo-se fortemente
uma folha de papel de 0,14 mm de espessura entre folhas de alumínio
(constante dielétrica do papel igual a 3,7). As dimensões laterais das
folhas são 15 mm por 480 mm. Determine: (a) a capacitância do capacitor;
(b) a diferença de potencial máxima que pode ser estabelecida através
dele sem ruptura dielétrica. Despreze os efeitos de borda.
2. No circuito, C1=4 µF, C2=6 µF e C3=5 µF e a ddp entre a e b igual a 65
V. (a) Qual é a capacitância equivalente da combinação?; (b) Qual é a
ddp em cada capacitor?; (c) Qual é a carga em cada capacitor?; (d) Qual
é a energia potencial elétrica armazenada em cada capacitor?
Circuitos RC
Carregando um capacitor:
Consideremos um capacitor de capacitância C ligado em série com um
interruptor S, um resistor de resistência R e uma bateria de f.e.m. (.
Inicialmente, o capacitor está sem carga e o interruptor S, aberto, de
modo que não existe corrente. Quando se fecha S, a bateria começa a
transferir carga de uma placa do capacitor para outra, passando a existir
uma corrente no circuito.
Se i é a corrente no circuito e seu sentido é o sentido horário,
então,
onde q é a carga instantânea na placa positiva do capacitor. Isto é, a
corrente no circuito corresponde à taxa na qual a carga é transferida de
uma placa para a outra. Consequentemente, a corrente é igual à taxa na
qual o capacitor é carregado. A soma das diferenças de potencial ao
percorrer a malha no sentido horário (lei de Kirchhoff), começando pelo
ponto a, é
(Vb - Va) + (Vc -Vb) + (Va - Vd) = 0
( - - R i = 0
( - - R = 0
Fazendo: u = ( C - q , temos du = -dq . Substituindo na equação
acima:
Para determinar a constante de integração, fazemos: para t=0, q=0,
substituímos na equação acima e obtemos:
ln (( C) = constante
Com este resultado temos:
Equação para a carga em um capacitor sendo
carregado.
onde = constante de tempo.
A carga em um capacitor em carregamento, em função do tempo, é dado
pelo gráfico a seguir.
Para obtermos a corrente elétrica, deriva-se a equação obtida em
função tempo:
Corrente elétrica no circuito de um
capacitor carregando.
A corrente elétrica no circuito de um capacitor em processo de carga
é dado pelo gráfico a seguir, onde io é a corrente inicial.
Descarregando um capacitor:
Consideremos um capacitor de capacitância C colocado em série com um
interruptor S e um resistor de resistência R. Inicialmente o capacitor
tem carga Qo e o interruptor está aberto, de modo que não existe corrente
no circuito.
No instante em que S é fechado, passa a existir corrente. Se i é a
corrente com sentido anti-horário, então
O sinal negativo deve ser incluído porque a carga diminui com o tempo.
Partindo do ponto a, somamos as diferenças de potencial (lei de Kirchhoff)
percorrendo a mallha em sentido anti-horário e obtemos:
Substituindo a expressão da corrente na equação acima, temos
Para determinarmos a constante de integração, fazemos: para t = 0, q = Qo.
Substituindo na equação acima, temos:
constante = ln Qo
Com isto, temos:
Equação da carga em um capacitor sendo
descarregado.
O gráfico a seguir mostra a carga em função do tempo em um capacitor
em regime de descarga.
Durante a descarga de um capacitor, a corrente elétrica no circuito é
dada por:
Como = diferença de potencial inicial, temos:
Corrente elétrica em um circuito com um
capacitor
sendo descarregado.
Exemplos:
1. Uma bateria de 6 V, de resistência interna desprezível, é usada para
carregar um capacitor de 2 µF através de um resistor de 100 (.
Determinar: (a) a corrente inicial; (b) a carga final no capacitor;
(c) o tempo necessário para a carga atingir 90% do seu valor final.
2. Um capacitor de 4 µF está carregado a 24 V e é ligado a um resistor de
200 (. Determinar: (a) a carga inicial no capacitor; (b) a corrente
inicial no resistor de 200 (; (c) a constante de tempo; (d) a carga no
capacitor depois de 4 ms.
Campo Magnético
Magnetismo:
Não se sabe quando foi observada, pela primeira vez, a existência do
magnetismo. Há mais de 2000 anos, porém, os gregos sabiam que um certo
tipo de pedra, a magnetita (Fe3O4), atraía pedaços de ferro. A
utilização de um magneto, como ponteiro de uma bússola, na navegação
data de cerca de 1000 anos de nossa era, embora os chineses possam ter
tido conhecimento do efeito alinhador norte-sul de um magneto muito
tempo antes.
Foi observado que os magnetos ou ímãs possuíam dois pólos, o pólo
norte e o pólo sul, onde a força exercida pelo ímã era a mais intensa.
Também se observou que os pólos de mesmo nome de dois ímãs se repeliam
mutuamente, e que pólos de nomes opostos se atraíam mutuamente.
O ímã possui estas propriedades magnéticas devido ao alinhamento de
correntes circulares no interior do material, devido ao movimento dos
elétrons nos átomos e ao spin do elétron.
O campo magnético ()
Carga em repouso:
1. Uma carga cria um campo elétrico E no espaço que o circunda.
2. O campo elétrico E exerce uma força F = qE na carga q, colocada no
campo.
Carga em movimento:
1. Uma carga em movimento ou uma corrente elétrica cria um campo
magnético no espaço que a circunda.
2. O campo magnético exerce uma força sobre uma carga em movimento ou
corrente, no campo.
Campo magnético B em um ponto P é o campo vetorial que exerce uma
força F sobre uma partícula carregada em movimento.
A força magnética possui as seguintes características:
1. A força é proporcional à carga q. A força sobre uma carga negativa tem
sentido oposto à da força sobre uma carga positiva que tenha a mesma
velocidade.
2. A força é proporcional ao módulo da velocidade v.
3. A força é perpendicular ao campo magnético B e à velocidade v.
4. A força é proporcional a sen(, onde ( é o ângulo entre a velocidade v e
o campo magnético B. Se v e B forem paralelos ou opostos (( = 0 ou ( =
180o), a força é nula.
Estas características podem ser resumidas da seguinte maneira: quando
uma carga q se move com velocidade v num campo magnético B, a força
magnética F sobre a carga é,
O módulo da força magnética, para qualquer sinal da carga, é dado
por:
F = q v B sen(
Figura - Direção e sentido da força magnética para: (a) carga
positiva; (b) carga negativa.
Como a força exercida por um campo magnético sobre uma partícula
carregada em movimento é sempre perpendicular à velocidade, o trabalho
realizado por esta força é nulo.
A unidade de campo magnético no S.I. é chamada de tesla (T):
1 T = 1
No sistema CGS, a unidade de campo magnético é o gauss (G):
1 T = 104 G
O tesla é uma unidade muito grande. Por exemplo, o módulo do campo
magnético da Terra em pontos próximos à superfície varia, mas é cerca de
3.10-5 T, ou 0,3 G. Os maiores valores de campos magnéticos até agora
produzidos em laboratório são da ordem de 30 T.
a) (b)
Figura - Linhas do campo magnético: (a) na Terra; (b) no
ímã.
Força sobre um condutor de corrente elétrica.
No trecho l do condutor, a velocidade v é dada por:
Como , temos:
A força magnética é dada por:
(Força magnética sobre um condutor de corrente dentro de um campo
magnético)
Torque sobre espiras conduzindo corrente elétrica
Assim como um campo magnético exerce uma força sobre um fio portador de
corrente, ele pode produzir também um torque, isto é, uma força magnética
pode produzir um movimento rotacional da espira. De particular interesse
é o torque sobre um fio em forma de anel que pivota sobre um eixo e
transporta uma corrente. O movimento rotacional causado por tal torque é
a base de um motor elétrico.
Consideremos o anel retangular de corrente mostrado em duas posições na
figura seguinte. O anel transporta a corrente i e está em um campo
magnético uniforme B. As dimensões retangulares do anel são l e w, de
modo que a área do plano do anel é S = l w. É conveniente usar o vetor de
área S para especificar a orientação do anel (figura b). A direção de S é
perpendicular ao plano do anel. Para determinar o sentido, dobre os dedos
de sua mão direita para acompanhar o sentido da corrente ao longo do
circuito. O polegar distendido dá a direção da área.
O módulo da força magnética sobre cada segmento retilíneo do anel
pode ser determinado com base na equação
F = i l B sen(
Como a corrente elétrica i é perpendicular ao campo B, ( é igual a
90o e sen( = 1. Com isto, a força F1 sobre o elemento superior na figura
(a) é dirigida para cima e tem módulo
F1 = i l B
A força F2 sobre o elemento inferior tem o mesmo módulo, mas sentido
oposto, assim como as forças F3 e F4 são iguais em módulo, mas com sentidos
opostos.
Se o anel pivota em torno do eixo OO', na figura (a), as forças F3 e
F4, que atuam paralelamente ao eixo, não produzem nenhum torque em relação
à este eixo. O torque ( produzido por uma força F, em relação a um eixo de
rotação é dado por
( = F r
onde r é a distância entre o ponto de aplicação da força F e o eixo de
rotação do anel, medido perpendicularmente em relação à força F, como
mostra a figura a seguir. A distância r é dada por:
Assim, o torque produzido pela força F1 é
Este torque tem sentido horário. A força F2 também produz um torque
com o mesmo sentido em relação a esse eixo e seu módulo é o mesmo
produzido por F1, ou seja, (2 = (1. Portanto, o torque magnético resultante
no anel tem módulo
( = (1 + (2 = w i l B sen( = i S B sen(
onde S = w l = área do anel.
Em notação vetorial, temos
(Torque magnético sobre uma espira conduzindo corrente
elétrica)
Se considerarmos uma bobina com N espiras, conforme a figura a
seguir,
o torque resultante sobre esta bobina conduzindo corrente elétrica será
(Torque magnético sobre uma bobina, com N espiras, conduzindo corrente
elétrica)
Exemplos:
1. Um próton tem velocidade vetorial de módulo 4,4.106 m/s a um ângulo de
62o com um campo magnético de módulo 18 mT. Determine: (a) o módulo e a
direção da força magnética sobre o próton (carga do próton=1,6.10-19 C);
(b) Se a força magnética for a única força, qual a aceleração do próton?
(massa do próton=1,7.10-27 kg); (c) Qual a variação da energia cinética
do próton?
2. Uma bobina circular, com 2 cm de raio, tem 10 voltas de um fio condutor
e conduz uma corrente de 3 A. O eixo da espira faz um ângulo de 30o com
um campo magnético de 8000 G. Determine o torque sobre esta bobina.
3. Um motor elétrico simples tem uma bobina circular de 100 espiras de raio
15 mm, que transporta uma corrente de 65 mA em um campo magnético
uniforme de módulo 23 mT (ver figura anterior). Em dado instante, a
bobina é orientada de modo que a direção da área faça um ângulo de 25o
com o campo. A bobina pivota em torno de um eixo pelo seu centro,
perpendicular a S e a B. (a) Determine o módulo e a direção do torque
magnético sobre a bobina; (b) Qual será o resultado se a corrente for
invertida? (c) Para qual orientação o módulo do torque é máximo e qual é
esse máximo?
Momento de Dipolo Magnético
Se uma bobina portadora de corrente elétrica é orientada em um campo
magnético uniforme de modo que S e B sejam paralelos (( = 0o), então, o
torque magnético é zero. Na ausência de torques devido a outras forças, a
bobina está em equilíbrio rotacional com essa orientação. Todavia, para
qualquer outra orientação (exceto ( = 180o), há um torque magnético que
tende alinhar a bobina de forma que S e B sejam novamente paralelos. Na
figura (a) a seguir, a bobina está suspensa por uma fibra vertical em um
campo magnético horizontal. A bobina tende a girar para o alinhamento com
o campo (S paralelo a B) em consequência do torque magnético. Esse mesmo
tipo de comportamento é apresentado por um ímã em barra em um campo
magnético uniforme (figura b).
Figura - (a) Uma bobina portadora de corrente elétrica em um campo
magnético; (b) Um ímã em barra em um
campo magnético.
O torque em uma bobina portadora de corrente, com N espiras, é dado
pela equação:
Esta equação pode ser expressa como
onde
é o momento de dipolo magnético de uma bobina de área de base S, com N
espiras e percorrida por uma corrente i. A unidade do momento de dipolo
magnético, no S.I., é ampére x metro ao quadrado (A.m2).
A orientação de equilíbrio, ou seja, o momento de dipolo magnético
m alinhado com o campo magnético B, corresponde a uma posição de valor
mínimo da energia potencial. A energia potencial para um dipolo magnético
em um campo magnético é dada pela equação
onde ( é o ângulo entre m e B. A energia potencial é mínima quando m e B
estão alinhados (( = 0o).
Movimento de cargas em campos eletromagnéticos
Para entender a operação de muitos dispositivos e instrumentos modernos,
devemos considerar o movimento de elétrons, prótons e outros íons em
campos elétricos e magnéticos (eletromagnéticos). As forças
eletromagnéticas dominam o movimento de partículas carregadas no nível
atômico. Se existem um campo elétrico E e um campo magnético B em uma
região, então a força combinada F sobre uma partícula com carga q e
velocidade vetorial v é dada por
Consideremos primeiro o movimento de uma partícula carregada em um
campo magnético uniforme sem campo elétrico presente, conforme a figura a
seguir.
A força magnética sobre a partícula positiva é perpendicular ao vetor
velocidade. Se a força magnética for a única força atuando sobre a
partícula, então, a aceleração produzida provoca apenas mudança na direção
do deslocamento. A partícula se move em uma trajetória circular de raio r
com velocidade constante v, e a aceleração é a aceleração centrípeta (ac =
v2/r). A força centrípeta é igual à força magnética, ou seja,
como v e B são perpendiculares, ( = 90o e sen( = 1, então,
Um seletor de velocidade.
Consideremos agora uma configuração de campos elétrico e magnético que
serve como seletor de velocidade para partículas carregadas. Suponha
que, em uma região do espaço, existam campos elétrico e magnético
uniformes, e que esses campos sejam perpendiculares, conforme mostra a
figura a seguir.
A força sobre uma partícula carregada que se move nesta região é dada
pela equação
Para esta partícula carregada positivamente, existe uma determinada
velocidade para a qual a força resultante é zero, ou seja, a força elétrica
para cima equilibra a força magnética para baixo. As cargas que se movem
com esta determinada velocidade passarão através desta região sem se
desviarem. Como a força magnética depende da velocidade da partícula, mas a
força elétrica não depende, a força resultante já não será zero para uma
velocidade diferente. Para uma carga com maior velocidade, a força
magnética terá módulo maior do que o da força elétrica. Estas partículas
carregadas positivamente e com maior velocidade serão defletidas para
baixo. Da mesma forma, partículas carregadas positivamente e mais lentas
serão defletidas para cima.
Se as forças estão equilibradas, então,
como ( = 90o, sen( = 1,
em módulo,
O Efeito Hall
Consideremos uma seção de um condutor de corrente elétrica em um campo
magnético uniforme, conforme a figura a seguir.
Supondo que cargas positivas estejam se movendo no condutor, elas
sofrem a ação da força magnética para cima, fazendo com que estas cargas
sejam deslocadas para a parte superior do condutor. Esta separação de
cargas produz um campo elétrico no condutor (figura b). No caso
estacionário, o campo elétrico E, chamado campo de Hall, exerce uma força
elétrica FE sobre as cargas em movimento, a qual tende a equilibrar a força
magnética F. Esses campos elétrico e magnético cruzados atuam como
seletores de velocidade para a velocidade de arraste vd.
Exemplos:
1. Um próton de massa 1,67.10-27 kg e carga q =e= 1,6.10-19 C, move-se num
círculo de 21 cm de raio, perpendicular a um campo magnético B = 4000 G.
Determine a velocidade do próton.
2. O vetor velocidade de um elétron faz um ângulo de 66,5o com a direção do
campo magnético. Sabendo que o módulo da velocidade é 2,81.106 m/s e o do
campo magnético é 4,55.10-4 T, determine o raio da sua trajetória
helicoidal. (massa do elétron = 9,11.10-31 kg)
Fontes de campo magnético
Campo magnético gerado por cargas puntiformes em movimento.
Quando uma carga q se move com velocidade v, gera, no espaço, um campo
magnético B dado por:
onde µo é a permeabilidade magnética do vácuo e µo = 4(.10-7 T.m/A = 4(.10-
7 N/A2
Lei de Biot-Savart
Campo magnético gerado por um elemento de corrente elétrica:
O sentido do campo magnético é dado pela regra da mão direita, com o
polegar no sentido da corrente elétrica e os dedos segurando o fio
indicam o sentido do campo.
Campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um fio longo e
retilíneo:
onde R é a distância perpendicular do fio ao ponto P.
Campo Magnético no centro de uma espira circular de raio R:
Campo magnético, no eixo de uma espira, a uma distância x do seu centro:
Bobina ou Solenóide: Ambos são agrupamentos de espiras, mas na prática, há
algumas pequenas diferenças. Bobina tem um significado genérico. Qualquer
enrolamento, não importa o formato, é uma bobina. Solenóide tem um
significado mais restrito. Em geral, esta denominação é usada para
conjuntos de espiras circulares enroladas uniformemente em espiral.
Campo Magnético no centro de uma bobina plana com N espiras:
Campo magnético no centro de um solenóide comprido:
Força entre dois condutores paralelos:
Figura - Linhas do campo magnético para dois condutores paralelos
(a) com correntes no mesmo sentido; (b) com corrente em
sentidos opostos.
Figura - Forças atuando sobre dois condutores paralelos (a) com correntes
no mesmo sentido; (b) com corrente em sentidos opostos.
Exemplos:
1. A figura representa uma montagem experimental denominada galvanômetro de
tangente. Uma bobina plana com N espiras de raio R, disposta
verticalmente, está ligada a um circuito constituído por fonte de tensão
contínua, uma chave e um amperímetro. No centro da bobina há uma pequena
plataforma onde se coloca uma bússola. Com o circuito desligado, alinha-
se o plano da bobina ao campo magnético terrestre (a agulha da bússola
deve ficar contida no plano da bobina, apontando para o norte
geográfico). Em seguida, fecha-se o circuito. Observa-se que a agulha da
bússola gira até encontrar nova posição de equilíbrio. O ângulo ( formado
pela agulha da bússola com a direção leste-oeste permite medir o módulo
do vetor campo magnético terrestre local.
Suponha que, em determinado local, uma bobina de N = 10 espiras de 5
cm de raio, para uma corrente 0,20 A, medida no amperímetro, faça a
agulha da bússola desviar-se marcando um ângulo de 60o. Qual o módulo do
vetor campo magnético terrestre nesse local? (µo = permeabilidade
magnética do ar = 4(.10-7 T.m/A; tg 60o = 1,73)
2. O campo magnético a uma distância de 2,3 cm do eixo de um fio retilíneo
longo é de 13 mT. Qual a corrente no fio ?
3. No circuito, a força eletromotriz da fonte é 1,5 V e a sua resistência
interna é 0,30 (. A resistência do circuito é desprezível. (a) Qual a
direção e sentido das forças de interação entre os dois ramos mais longos
do circuito? (b) Qual o módulo de cada uma dessas forças? (µo =
permeabilidade magnética do ar = 4(.10-7 T.m/A
4. Um solenóide, de comprimento 50 cm e raio 1,5 cm, contém 2000 espiras e
é percorrido por uma corrente de 3 A. Determine o campo magnético no
centro do solenóide.
Lei de Ampère
Um condutor conduzindo corrente elétrica, cujo sentido é saindo do
plano da folha, gera um campo magnético conforme mostra a figura a
seguir.
Para obtermos a representação matemática da lei de Ampère, fazemos a
integração do produto escalar entre o vetor campo magnético B e o
deslocamento infinitesimal dl ao longo do círculo de raio R. O campo B e dl
são paralelos, então, o ângulo entre eles é ( = 0o. O campo magnético B
possui o mesmo módulo em todos os pontos a uma distância R do condutor.
Então,
O campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um fio longo e
retilíneo é dado pela equação
Então, obtemos,
Se vários condutores conduzindo corrente contribuem para a geração do
campo magnético,
então, temos,
( lei de Ampère)
Aplicações da lei de Ampère
Campo magnético dentro do solenóide:
O campo magnético dentro de um solenóide pode ser determinado
aplicando-se a lei de Ampère ao trajeto fechado mostrado na figura a
seguir.
A integral ao longo do trajeto fechado é a soma das integrais ao longo
de cada um dos quatro segmentos retilíneos:
onde L é o comprimento do segmento ab. Para um solenóide com n espiras por
unidade de comprimento, o número de espiras dentro do trajeto fechado é nL.
Como cada uma dessas espiras transporta a corrente i, a corrente resultante
unindo este trajeto fechado é
Então, de acordo com a lei de Ampère, temos
ou
(campo magnético no interior de
um solenóide)
Campo magnético no interior de um solenóide toroidal:
Solenóide toroidal é um solenóide encurvado em forma de anel, como
mostra a figura a seguir.
Pela simetria, as linhas do campo magnético B formam círculos
concêntricos dentro do toróide. Aplicando a lei de Ampère, sobre a curva
amperiana de raio r, temos,
a < r < b (campo
magnético no interior do solenóide toroidal)
Fluxo magnético
Uma superfície pode ser dividida em elementos infinitesimais de área.
A direção de um elemento de área dS em um ponto na superfície é
perpendicular à mesma naquele ponto. Na figura a seguir, o fluxo
magnético para o elemento de área dS é
O fluxo magnético total para uma superfície é obtido integrando-se as
contribuições de cada elemento de área dS.
No S.I., a unidade de fluxo magnético é o weber (Wb): 1 Wb = 1 T.m2.
Lei de Gauss para campos magnéticos.
Consideremos uma superfície fechada qualquer e o fluxo magnético para
a mesma:
Cada linha do campo magnético que atravessa uma superfície fechada,
em um ponto, também atravessa, saindo, em algum outro ponto, conforme pode
ser observado na figura a seguir. O número resultante de linhas que
atravessam a superfície fechada é, portanto, zero.
A lei de Gauss para o campo magnético pode ser enunciada como:
"O fluxo magnético para qualquer superfície fechada é zero".
Na forma matemática, temos:
(lei de Gauss
para campos magnéticos)
Exemplos:
1. Um solenóide toroidal, tendo seção transversal circular de raio 2cm e um
raio interno de 15 cm, possui 500 espiras e transporta uma corrente de
0,80 A. Qual o campo magnético em um ponto localizado em r = 18 cm?
2. Determine o fluxo magnético para uma seção transversal circular de um
solenóide de raio 7,5 mm, tendo o número de espiras por unidade de
comprimento igual a 2.103 espiras/metro e a corrente de 320 mA.
Corrente de Deslocamento
A lei de Ampère, vista anteriormente, não está completa. Agora, à
medida que aprendermos como modificá-la para abranger situações mais
gerais, notaremos a introdução de alguns aspectos fundamentais do
comportamento de um campo magnético e de um campo elétrico.
Vamos considerar o processo de carga de um capacitor, na figura a
seguir. Fios conduzem a corrente iC para dentro de uma das placas e para
fora da outra; a carga Q se eleva e o campo elétrico E entre as placas
aumenta. Usamos a notação iC para designar a corrente de condução,
diferenciando-a de outro tipo de corrente, que definiremos a seguir,
chamada de corrente de deslocamento e que será designada por iD. Usaremos
letras minúsculas i e v para designar, respectivamente, uma corrente
variável e uma diferença de potencial que varia com o tempo.
Vamos aplicar a lei de Ampère para o percurso indicado pela
circunferência na figura. A integral ao longo desse percurso é igual
a µoIinte. Para a área circular plana limitada pela circunferência, Iinte é
apenas igual à corrente iC do fio do lado esquerdo. A superfície bojuda que
envolve a placa esquerda do capacitor também possui a mesma circunferência
de contorno da área plana, contudo, a corrente que atravessa a superfície
bojuda é zero. Portanto, concluímos que a integral é simultaneamente
igual a µo iC e igual zero. Isso é uma contradição clara.
Porém, algo diferente está ocorrendo sobre a superfície bojuda. À
medida que o capacitor é carregado, tanto o campo elétrico E quanto o fluxo
elétrico através da superfície estão aumentando. Podemos calcular a
taxa desse aumento por meio da carga e da corrente. A carga instantânea é
dada por q = C v, onde C é a capacitância e v é a diferença de potencial
instantânea. Para um capacitor de placas paralelas, , onde A é a área
da placa do capacitor e d é a distância entre as placas. A diferença de
potencial entre as placas é v=Ed, onde E é o módulo do campo elétrico entre
as placas. Desprezamos os efeitos de borda e consideramos E uniforme entre
as placas. Quando existe um material de permissividade entre as
placas, substituímos por ; usaremos na discussão
que faremos a seguir.
Figura – Capacitor de placas paralelas sendo carregado. A corrente de
condução que entra na superfície plana é igual a iC, porém, não
existe nenhuma corrente de condução saindo através da superfície
bojuda que envolve a placa esquerda do capacitor. Essas duas
superfícies possuem um contorno circular comum, portanto, essa
diferença de valores para Iinte leva a uma aparente contradição
quando aplicamos a lei de Ampère.
Substituindo as expressões anteriores de C e v na relação q=Cv, é
possível escrever a carga do capacitor na forma
onde é o fluxo elétrico através da superfície.
À medida que o capacitor está sendo carregado, a taxa de variação da
carga q é a corrente . Derivando a equação anterior em relação ao
tempo, obtemos
Agora, definimos uma pseudocorrente iD na região entre as placas, à
partir da equação
(corrente de deslocamento)
Ou seja, imaginamos que o fluxo que está variando através da
superfície bojuda na figura anterior é semelhante, na lei de Ampère, a uma
corrente de condução através da superfície. Incluímos essa corrente
fictícia adicional com a corrente de condução real iC na lei de Ampère:
(lei de Ampère generalizada)
A lei de Ampère na forma generalizada é válida qualquer que seja a
superfície usada na figura anterior. Para a superfície plana, iD é igual a
zero, e para a superfície bojuda, iC é igual a zero, e o valor de iD para a
superfície bojuda é igual ao valor de iC para a superfície plana.
Essa corrente fictícia foi introduzida por Maxwell, que a chamou de
corrente de deslocamento. Existe uma correspondente densidade de corrente
de deslocamento dada por jD=iD/A. Para verificar se esta corrente tem algum
significado real, vamos descrever uma experiência fundamental que ajudará a
esclarecer essa dúvida.
Considere a área plana circular entre as placas do capacitor, como na
figura a seguir. Se a corrente de deslocamento realmente desempenha o papel
indicado na lei de Ampère, então deveria haver um campo magnético na região
entre as placas durante o processo de carregar o capacitor. Podemos usar a
lei de Ampère generalizada para fazer uma previsão de qual deveria ser esse
campo magnético.
Figura – Um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma corrente
de condução iC possui uma corrente de deslocamento igual a iC entre
as placas, com uma densidade de corrente de deslocamento jD. Isso
pode ser visto como uma fonte de campo magnético entre as placas.
Para sermos mais específicos, vamos considerar placas circulares de
raio R. Para determinarmos o campo magnético em um ponto na região entre as
placas a uma distância r do eixo, aplicamos a lei de Ampère a uma
circunferência de raio r passando pelo ponto, sendo rR), B seria o
mesmo que o obtido por um fio contínuo sem a presença das placas do
capacitor.
Quando medimos o campo magnético nessa região, verificamos que ele de
fato existe e se comporta exatamente como previsto pela equação anterior.
Isso confirma diretamente o papel desempenhado pela corrente de
deslocamento como uma fonte do campo magnético. Assim mostrou-se que o
conceito de corrente de deslocamento, longe de ser apenas um artifício, é
um fato fundamental da natureza. A corrente de deslocamento foi o elo que
faltava na teoria do eletromagnetismo para que Maxwell e outros pudessem
entender as ondas eletromagnéticas.
Dois comentários finais: primeiro, a forma generalizada da lei de
Ampère, penúltima equação, permanece válida no interior de um material
magnético, desde que a magnetização seja proporcional ao campo magnético
externo e que µo seja substituído por µ. Segundo, a lei de Ampère é válida
mesmo no espaço vazio onde não pode existir nenhuma corrente de condução.
Esse fato possui implicações profundas: ele significa, entre outras coisas,
que, quando os campos E e B variam com o tempo, eles devem ser relacionados
entre si. Em particular, um campo elétrico variável em uma região do espaço
induz um campo magnético nas regiões vizinhas mesmo quando não existe
nenhuma matéria nem nenhuma corrente de condução presente. Veremos, em
tópicos seguintes, que um campo magnético variável é uma fonte de campo
elétrico. Essas relações, inicialmente escritas de maneira completa por
Maxwell forneceram a chave para o entendimento da radiação eletromagnética
e da luz como um exemplo particular dessa radiação.
Indução Magnética
Quando o fluxo magnético varia através de uma bobina, ocorre a
indução de uma fem e de uma corrente no circuito no qual a bobina está
instalada. Este fenômeno é chamado de indução magnética. Em uma usina
geradora de energia elétrica, o movimento de um ímã em relação a uma bobina
produz um fluxo magnético que varia através das bobinas e, portanto, surge
uma fem. Outros componentes essenciais de sistemas elétricos também
dependem desta indução; por exemplo, um transformador funciona em virtude
da ação de uma fem induzida.
Na figura a seguir estão ilustrados exemplos de geração de fem devido
à indução magnética.
Figura – (a) Um ímã se aproximando de uma bobina conectada a um
galvanômetro induz uma corrente na bobina. Quando o ímã se afasta da
bobina, a corrente induzida possui sentido contrário ao anterior.
Quando a bobina permanece em repouso, não existe nenhuma corrente
induzida. (b) Uma segunda bobina conduzindo uma corrente contínua se
aproximando da primeira bobina conectada ao galvanômetro induz uma
corrente na primeira bobina. Quando a segunda bobina se afasta da
primeira, a corrente induzida possui sentido contrário ao anterior.
Quando as bobinas permanecem em repouso, não existe nenhuma corrente
induzida. (c) Quando a chave é aberta ou fechada, surge uma corrente
variável na bobina interna que induz uma corrente na bobina externa
ligada ao galvanômetro.
Lei de Faraday
Em algumas de suas investigações sobre correntes induzidas
magneticamente, Faraday utilizou um arranjo semelhante ao mostrado na
figura a seguir. Uma corrente na bobina à esquerda produz um campo
magnético concentrado no anel de ferro. A bobina à direita é ligada a um
galvanômetro G que indica a presença de corrente induzida no circuito. Não
há corrente induzida para um campo magnético estacionário. Mas uma corrente
induzida aparece momentaneamente no circuito à direita quando o interruptor
S é fechado no circuito à esquerda. Quando o interruptor é aberto, aparece
momentaneamente uma corrente induzida com o sentido oposto. Assim, a
corrente induzida só pode existir quando o campo magnético, devido à
corrente no circuito à esquerda, está variando.
Figura - Duas bobinas enroladas em torno de um anel de ferro. O
galvanômetro G sofre uma deflexão momentânea quando o interruptor é
aberto ou fechado.
A necessidade da variação é demonstrada também no arranjo mostrado na
figura a seguir. Se o ímã está em repouso em relação à bobina, então não
existe corrente induzida. Mas, se o ímã é aproximado da bobina, então induz-
se uma corrente com sentido indicado no item a da figura. Se o ímã for
afastado da bobina, induz-se uma corrente no sentido oposto (item b). Note
que, em ambos os casos, o campo magnético está variando na vizinhança da
bobina. Aparece também uma corrente induzida na bobina, se esta é
movimentada em relação ao ímã.
" " "
" " "
Figura – (a) Uma corrente é induzida na bobina quando o ímã se aproxima
dela. (b) A corrente induzida tem o sentido oposto quando o ímã se
afasta da bobina.
A presença de tais correntes em um circuito implica na existência de
uma fem induzida . Isto é, deve-se fornecer energia aos portadores de
carga que constituem a corrente, e a fem é a energia, por unidade de carga,
fornecida a um portador de carga que atravessa o circuito. Essa fem
induzida se faz presente quando o campo magnético está variando, conforme
descrito acima.
A análise quantitativa entre o campo magnético variável e a fem
induzida é realizada em termos do fluxo magnético para uma superfície.
Para simplificar, consideremos um anel fino de fio condutor e uma
superfície matemática, aberta delimitada pelo anel, como mostrado na figura
a seguir.
Figura – Um anel condutor forma a fronteira de uma superfície. O fluxo
magnético através da superfície é .
O fluxo magnético para uma superfície delimitada pelo anel é dado pela
integral de superfície
onde é o fluxo através do elemento de superfície dS.
Enunciado da lei de Faraday:
"Quando o fluxo magnético através de uma superfície delimitada por um
anel condutor varia com o tempo, induz-se uma fem no anel."
Matematicamente, a lei de Faraday é escrita na forma
A fem depende da taxa de variação do fluxo magnético. O sinal
negativo é devido ao sentido da fem induzida no circuito (ver a lei de Lenz
a seguir). Pela lei de Faraday, obtemos a relação entre weber (Wb), que é a
unidade de fluxo magnético, e o volt (V), unidade de fem: 1
V=1 Wb/s.
Consideremos a fem induzida em uma bobina compactamente enrolada.
Cada volta (espira) em tal bobina se comporta aproximadamente como um anel
isolado; podemos, assim, aplicar a lei de Faraday para determinar a fem
induzida em cada espira. Então, a fem é induzida em cada espira, e a
fem total induzida em uma bobina de N espiras é dada por
onde é o fluxo magnético através de uma espira da bobina.
Lei de Lenz
A lei de Lenz é um método alternativo para determinar o sentido da fem
ou da corrente induzida. A lei de Lenz não constitui um princípio
independente, pois pode ser deduzida a partir da lei de Faraday. Ela sempre
conduz ao mesmo resultado obtido quando usamos as regras de sinais
introduzidas em conexão com a lei de Faraday, contudo, ela é mais fácil de
aplicar. A lei de Lens também nos ajuda a adquirir conhecimentos intuitivos
dos diversos efeitos de indução e do papel desempenhado pela conservação da
energia.
O enunciado da lei de Lenz afirma que:
"O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se
opõe à causa que produz esse efeito".
A "causa" pode ser um fluxo que varia através de um circuito em
repouso produzido pela variação de um campo magnético, um fluxo magnético
variável gerado pelo movimento relativo de condutores que compõem o
circuito ou qualquer outra combinação que produza variação de fluxo. Quando
o fluxo magnético varia através de um circuito em repouso, a própria
corrente induzida produz um campo magnético. No interior da área delimitada
pelo circuito, esse campo é oposto ao campo original quando o campo
original está crescendo, porém, possui o mesmo sentido do campo original
quando ele está diminuindo. Ou seja, a corrente induzida se opõe à variação
do fluxo magnético através do circuito (e não ao próprio fluxo). Isto pode
ser ilustrado pela figura a seguir.
Figura – A corrente induzida produzida pela variação de B possui sentido
horário, se observada de cima para baixo. O campo magnético adicional
Binduzido criado por ela é orientado de cima para baixo, opondo-se à
variação do campo B de baixo para cima.
Visto que uma corrente induzida sempre se opõe a qualquer variação de
fluxo magnético através de um circuito, então como pode ocorrer alguma
variação do fluxo? A resposta é que a lei de Lenz fornece apenas o sentido
da corrente induzida; o módulo da corrente induzida depende da resistência
do circuito. Quanto maior a resistência do circuito, menor é a corrente
induzida que se opõe a qualquer variação de fluxo e mais facilmente a
variação de fluxo magnético pode ocorrer. Se a espira da figura a seguir
fosse de um material de altíssima resistência (um isolante), não existiria
quase nenhuma corrente induzida em resposta à variação do fluxo através da
espira.
Reciprocamente, quanto menor a resistência do circuito, maior é a
corrente induzida e mais difícil se torna a variação do fluxo magnético
através do circuito. Supondo que a espira da figura a seguir seja feita com
um bom condutor, surge uma corrente induzida toda vez que ocorre um
movimento relativo entre o ímã e a espira. Quando o movimento relativo
termina, a corrente induzida diminui rapidamente até zero em virtude da
resistência da espira.
Figura – Sentidos das correntes induzidas quando um ímã desloca-se ao longo
do eixo de uma espira condutora. Quando o ímã está em repouso, não
existe nenhuma corrente induzida.
Força Eletromotriz produzida pelo movimento
Em situações em que ocorre o movimento de um condutor em um campo
magnético, podemos compreender melhor a fem examinando as forças magnéticas
que atuam sobre as cargas do condutor. O item a da figura a seguir mostra
uma haste em um campo magnético B uniforme e dirigido para dentro da
página. Se deslocarmos a haste para a direita com uma velocidade constante
v, uma partícula com carga q no interior da haste sofre a ação de uma força
magnética dada por , cujo módulo é F = q v B. Se a carga for positiva,
o sentido da força é de baixo para cima, ou seja, de b para a.
Essa força magnética produz movimento de cargas na haste, criando um
excesso de cargas positivas na extremidade superior a e de cargas
negativas na extremidade inferior b. Isso faz surgir um campo elétrico E
no interior da haste no sentido de a para b (contrário ao da força
magnética). As cargas continuam a se acumular nas extremidades da haste
até que a força elétrica orientada de cima para baixo (de módulo igual a
qE) seja exatamente igual à força magnética de baixo para cima (de módulo
igual a qvB). Então, qE=qvB e as cargas permanecem em equilíbrio.
O módulo da diferença de potencial Vab = Va – Vb é igual ao módulo do
campo elétrico E multiplicado pelo comprimento L da haste. Então,
q E = q v B
E = v B
assim Vab = E L = v B L
onde o ponto a possui um potencial maior do que o ponto b.
Suponha agora que a haste esteja deslizando sobre um condutor em
forma de U, formando um circuito fechado (item b da figura a seguir). Sobre
as cargas nos condutores em repouso em forma de U não existe nenhuma força
magnética, porém as cargas nas vizinhanças de a e de b se redistribuem ao
longo dos condutores em repouso, criando um campo elétrico no interior
deles. Esse campo produz uma corrente no sentido indicado. A haste
deslizante torna-se uma fonte de força eletromotriz; no interior dela as
cargas se movem do potencial mais baixo para o potencial mais elevado e no
restante do circuito as cargas se deslocam do potencial mais elevado para o
potencial mais baixo. Essa força eletromotriz produzida pelo movimento será
designada por e chamada de força eletromotriz do movimento. De acordo
com a equação anterior, temos:
(fem do movimento; comprimento e velocidade
perpendicular a B uniforme)
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
Figura – Uma haste condutora se movendo em um campo magnético uniforme. (a)
A haste, a velocidade e o campo são mutuamente perpendiculares. (b)
Sentido da corrente induzida no circuito.
Chamando de R a resistência total dos condutores em forma de U com a
haste, a corrente induzida no circuito é dada por vBL=Ri.
Podemos generalizar o conceito de fem do movimento para um condutor
que possui qualquer forma e que se desloca em qualquer campo magnético,
uniforme ou não (supondo que o campo magnético em cada ponto não varie com
o tempo). Para um elemento do condutor, a contribuição d( da fem é
dada pelo módulo dl multiplicado pelo componente de (a força
magnética por unidade de carga) paralela a , ou seja,
para qualquer espira condutora fechada, a fem é dada por
Campos Elétricos Induzidos
Quando um condutor se move em um campo magnético, podemos entender a
fem induzida com base nas forças magnéticas que atuam sobre o condutor.
Contudo, também existe uma fem quando ocorre um fluxo magnético variável
através de um condutor em repouso. Qual é a força que atua sobre as cargas
ao longo do circuito nesse tipo de situação?
Como exemplo, considere a situação ilustrada na figura a seguir. Um
solenóide longo e fino com seção transversal de área S com n espiras por
unidade de comprimento é circundado em seu centro por uma espira condutora
circular. O galvanômetro G mede a corrente na espira. A corrente i no
enrolamento do solenóide produz um campo magnético B ao longo do eixo do
solenóide. Desprezando o campo magnético fora do solenóide, o fluxo
magnético através da espira é dado por
Quando a corrente i do solenóide varia com o tempo, o fluxo magnético
também varia, e, de acordo com a lei de Faraday, a fem induzida na
espira é dada por
Se R for a resistência total da espira e i' a corrente induzida na
espira, temos i' = (/R.
Porém, qual é a força que atua sobre as cargas obrigando-as a se
mover ao longo do circuito? Não pode ser uma força magnética porque a
espira não está em movimento e nem mesmo está dentro de um campo magnético.
Podemos concluir, então, que se trata de um campo elétrico induzido no
condutor, produzido pela variação do fluxo magnético. Isto pode parecer
estranho, pois estamos acostumados a pensar em campos elétricos produzidos
por cargas elétricas e agora observamos que um campo magnético variável
pode ser fonte de campo elétrico. A integral de linha de E ao longo de um
percurso fechado fornece a fem induzida:
De acordo com a lei de Faraday, a fem ( é dada pela taxa de variação
do fluxo magnético, com o sinal negativo, através de uma espira. Logo, para
esse caso podemos escrever a lei de Faraday na seguinte forma
Figura – (a) As espiras de um solenóide longo conduzindo uma corrente i
que cresce com uma taxa di/dt. O fluxo magnético no solenóide cresce
com uma taxa e esse fluxo variável passa através da espira.
Uma fem é induzida na espira, produzindo uma corrente induzida
i', medida pelo galvanômetro G. (b) Vista frontal da montagem.
Correntes de Foucault (correntes de vórtice ou correntes parasitas)
Suponhamos que um campo magnético variável seja perpendicular a uma
face de um condutor extenso, tal como uma placa condutora. O campo elétrico
induzido ocasiona correntes circulatórias chamadas correntes de vórtice na
placa. Tais correntes de vórtice surgem também quando um condutor se move
através de uma região de campo magnético. Essas correntes dissipam energia
por efeito Joule (a uma taxa P=Ri2). Um material condutor pode ser aquecido
pelas correntes de vórtice induzidas pela variação do campo magnético na
substância; esse processo é chamado aquecimento por indução.
Em outros casos, a dissipação de energia que acompanha as correntes
de vórtice pode ser indesejável. Para reduzir essas correntes no núcleo de
ferro de um transformador, o núcleo é laminado, isto é, lâminas finas de
ferro condutor são separadas por camadas isolantes. Tais camadas isolantes
aumentam efetivamente a resistência do trajeto para cargas circulantes, de
modo que as correntes de vórtice ficam confinadas às lâminas. Então, não
existem grandes circuitos para as correntes de vórtice e a perda de
potência se reduz grandemente, pois não podemos esquecer que essas
correntes de vórtice produzem campo magnético em oposição ao campo
magnético original.
Exemplos
1. O módulo do campo magnético entre os pólos de um eletroímã aumenta com
uma taxa de 0,020 T/s. A área de uma espira condutora imersa no campo é
igual a 120 cm2 e a resistência total do circuito, incluindo o
galvanômetro, é igual a 5 Ω. O vetor área da espira é paralelo ao campo
magnético. Calcule a fem induzida e a corrente induzida no circuito.
2. Utilizando a lei de Lenz, determine o sentido da corrente induzida em
uma espira supondo que exista um campo magnético perpendicular à
superfície da espira e que seu módulo está aumentando.
3. Um solenóide longo enrolado com 500 espiras por metro é percorrido por
uma corrente que aumenta a uma taxa de 100 A/s. A área da seção
transversal do solenóide é de 4 cm2. (a) Determine o módulo
da fem induzida em uma espira enrolada em torno do solenóide.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico induzido na espira, sabendo-se que
seu raio é igual a 2 cm.
Indutância
Indutância Mútua
Na interação magnética entre dois fios que conduzem correntes
estacionárias, a corrente de um dos fios produz um campo magnético que
exerce uma força sobre a corrente do outro fio. Contudo, quando existe uma
corrente variável em um dos circuitos, ocorre uma interação adicional entre
os dois circuitos. Considere duas bobinas vizinhas, como ilustrado na
figura a seguir. Uma corrente circulando na bobina 1 produz um campo
magnético B e, portanto, um fluxo magnético através da bobina 2. Quando a
corrente na bobina 1 varia, o fluxo magnético através da bobina 2 também
varia; de acordo com a lei de Faraday, isso produz uma fem na bobina 2.
Sendo assim, a variação da corrente em um dos circuitos produz uma corrente
induzida no outro circuito.
Figura – Uma corrente i1 na bobina 1 produz um fluxo magnético através da
bobina 2. Quando i1 varia, uma fem é induzida na bobina 2; esse
efeito pode ser descrito em termos de uma indutância mútua.
Na figura, uma corrente i1 na bobina 1 induz um campo magnético
(indicado pelas linhas de campo) e algumas das linhas de campo passam
através da bobina 2. Designamos por (B2 o fluxo magnético através de cada
espira da bobina 2 produzido pela corrente i1 na bobina 1. O campo
magnético é proporcional a i1, de modo que (B2 também é proporcional a i1.
Quando i1 varia, (B2 varia; esse fluxo magnético variável induz uma fem (2
na bobina 2 dada por
Poderíamos representar a proporcionalidade entre (B2 e i1 na forma
(B2=constante x i1, contudo é mais conveniente incluir o número de espiras
N na relação. Introduzindo uma constante de proporcionalidade M21 chamada
de indutância mútua das duas bobinas, temos
onde (B2 é o fluxo magnético através de uma única espira da bobina 2.
Portanto,
e podemos escrever
ou seja, a variação da corrente i1 na bobina 1 induz uma fem na bobina 2
diretamente proporcional à taxa de variação da corrente i1.
A indutância mútua pode, então, ser escrita na forma
Podemos repetir o raciocínio anterior para o caso oposto no qual uma
corrente variável i2 no bobina 2 produz um fluxo magnético variável (B1 e
induz uma fem (1 na bobina 1. Poderíamos pensar que a constante
correspondente M12 fosse diferente de M21 porque em geral as duas bobinas
não são idênticas e os fluxos magnéticos através delas são diferentes.
Contudo, verificamos que M12 é sempre igual a M21, mesmo quando as duas
bobinas não são simétricas. Chamaremos esse valor comum simplesmente de
indutância mútua, designada pelo símbolo M sem nenhum índice inferior; essa
grandeza caracteriza completamente a fem induzida pela interação entre duas
bobinas. Portanto, temos
(fem mutuamente induzida)
onde a indutância mútua M é
(indutância mútua)
Os sinais negativos na penúltima equação são decorrentes da lei de
Lenz, ou seja, a variação da corrente na bobina 1 produz uma variação do
fluxo magnético na bobina 2, induzindo uma fem na bobina 2 que se opõe à
variação desse fluxo.
No S.I., a indutância mútua é dada em henry (H).
1 H = 1 Wb/A = 1 V.s/A = 1 (.s = 1 J/A2
A indutância mútua pode provocar perturbações em circuitos elétricos,
visto que a variação da corrente em um circuito é capaz de gerar uma fem
indesejável em outro circuito. Para amenizar esse efeito, os sistemas
compostos por muitos circuitos devem ser projetados minimizando-se os
valores de M; por exemplo, duas bobinas devem ser montadas com distâncias
grandes entre elas ou em planos perpendiculares entre si.
Felizmente, a indutância mútua também possui muitas aplicações úteis.
Um transformador, empregado em circuitos de corrente alternada para
aumentar ou diminuir a tensão, é fundamentalmente um dispositivo semelhante
ao arranjo de duas bobinas. Uma corrente alternada em uma bobina do
transformador produz uma fem alternada na outra bobina; o valor de M, que
depende da geometria das bobinas, determina a amplitude da fem induzida na
outra bobina e, portanto, a amplitude da tensão na saída do transformador.
Indutores e Auto-Indutância
Na discussão sobre a indutância mútua, foram considerados dois
circuitos separados e independentes; uma corrente em um dos circuitos cria
um campo magnético que produz um fluxo magnético sobre o outro circuito.
Quando a corrente no primeiro circuito varia, o fluxo através do segundo
circuito varia, induzindo uma fem.
Um efeito importante relacionado com isto ocorre até mesmo quando
consideramos um único circuito isolado. Quando existe uma corrente em um
circuito, ela produz um campo magnético que gera um fluxo magnético através
do próprio circuito; quando a corrente varia, esse fluxo também varia.
Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente variável possui uma
fem induzida nele mesmo pela variação de seu próprio fluxo magnético. Tal
fem denomina-se fem auto-induzida. De acordo com a lei de Lenz, uma fem
auto-induzida sempre se opõe à variação da corrente que produz a fem e,
portanto, tende a tornar mais difícil qualquer variação da corrente. Por
esta razão, a fem auto-induzida é muito importante quando existe uma
corrente variável.
Uma fem auto-induzida pode ocorrer em qualquer circuito, visto que
sempre existirá algum fluxo magnético através de espiras fechadas em um
circuito que conduz uma corrente. Porém, o efeito é bastante ampliado
quando o circuito contém uma bobina com N espiras (figura a seguir).
Figura – A corrente do circuito produz um campo magnético na bobina e,
portanto, um fluxo magnético através da bobina. Quando a corrente do
circuito varia, o fluxo também varia, produzindo uma fem auto-
induzida no circuito.
Em virtude da corrente i, existe um fluxo magnético médio (B através
de cada espira da bobina. Por analogia com a última equação, define-se a
auto-indutância L do circuito da seguinte maneira
(auto-indutância)
A auto-indutância pode ser chamada simplesmente de indutância. As
unidades de auto-indutância são as mesmas que as unidades de indutância
mútua; ou seja, a unidade no S.I. para a auto-indutância é o henry (H).
Quando a corrente i no circuito varia, (B também varia, as taxas de
variação são relacionadas por
De acordo com a lei de Faraday para uma bobina com N espiras, a fem
auto-induzida é dada por , portanto concluímos que
(fem auto-induzida)
O sinal negativo na equação anterior decorre da lei de Lenz; ele
mostra que a fem auto-induzida em um circuito se opõe a qualquer variação
de corrente que ocorra no circuito.
O dispositivo de um circuito projetado para possuir um valor
particular de auto-indutância denomina-se indutor. O símbolo usado para
representar um indutor em um circuito é:
Assim como os resistores e os capacitores, os indutores são elementos
indispensáveis na moderna tecnologia eletrônica. A função de um indutor é
criar uma corrente que se oponha à variação da corrente no circuito. Um
indutor colocado em um circuito de corrente contínua ajuda a manter a
corrente constante, apesar de eventuais flutuações da fem aplicada; em um
circuito de corrente alternada, o indutor pode ser usado para suprimir
variações da corrente que sejam mais rápidas do que as desejadas.
Para entendermos o comportamento de circuitos contendo indutores,
precisamos desenvolver um princípio geral semelhante à lei das malhas de
Kirchhoff. Para aplicar essa lei, percorremos o circuito calculando
sucessivamente a diferença de potencial através de cada elemento do
circuito. A soma algébrica de todas as diferenças de potencial através do
circuito fechado deve ser igual a zero, porque o campo elétrico produzido
pelas cargas distribuídas ao longo do circuito é conservativo e é chamado
de Ec.
Mas, se existe um indutor no circuito, a situação muda. O campo
elétrico induzido magneticamente nas bobinas do indutor não é conservativo;
designamos esse campo por En. Vamos supor que a bobina possua uma
resistência desprezível. Então, basta um campo elétrico muito pequeno para
que a carga desloque-se através da bobina, daí o campo elétrico total Ec +
En nas espiras da bobina deve ser igual a zero, embora nenhum dos dois
campos seja individualmente igual a zero. Como Ec não é zero, sabemos que,
para produzir esse campo, deve existir um acúmulo de cargas nas
extremidades do indutor e sobre as superfícies de seus condutores.
Considere o circuito da figura a seguir onde a fonte de tensão é
variável, o que permite a variação da corrente i no circuito.
Figura – Um circuito contendo uma fonte de tensão e um indutor. A
fonte é variável, de modo que a corrente i e sua taxa de
variação di/dt podem variar.
De acordo com a lei de Faraday, a integral de linha de En em torno do
circuito é a taxa da variação do fluxo, com sinal negativo, que passa
através do circuito, que por sua vez é dada pela última equação (fem auto-
induzida). Combinando estas duas relações, obtemos
em que realizamos a integral no sentido horário. Porém, En só é diferente
de zero dentro do indutor. Portanto, a integral de linha de En em torno do
circuito todo pode ser substituída por uma integral somente de a até b
através do indutor, ou seja,
A seguir, como Ec + En = 0 em cada ponto do interior das bobinas do
indutor, podemos escrever o resultado anterior na forma
Porém, a integral anterior é precisamente o potencial Vab do ponto b
em relação ao ponto a, de modo que obtemos finalmente
Concluímos que existe uma genuína diferença de potencial entre os
terminais do indutor associada com as forças eletrostáticas conservativas,
apesar de o campo elétrico associado com a indução magnética não ser
conservativo. Assim, justificamos o uso da equação anterior na lei das
malhas de Kirchhoff para a análise de circuitos.
Note que a fem auto-induzida não se opõe à própria corrente i; em vez
disso, ela se opões a qualquer variação da corrente (di/dt). Portanto, o
comportamento de um indutor em um circuito é completamente diferente do
comportamento de um resistor. Na figura a seguir, comparamos o
comportamento de um indutor com o do resistor e resumimos as relações dos
sinais.
Figura – (a) Quando uma corrente i flui de a para b através de um resistor,
o potencial sempre diminui de a para b quando i é positivo e Vab =
Va – Vb = R i. (b) Quando a corrente flui de a para b através de um
indutor, o potencial cai de a para b quando di/dt é positivo
(corrente crescente) e cresce de a para b quando di/dt é negativo
(corrente decrescente). Para cada caso, Vab=Va–Vb=Ldi/dt. Quando i é
constante, Vab=0.
Energia do Campo Magnético
Para fazer uma carga elétrica circular em um circuito é necessário
fornecer uma certa quantidade de energia, e um indutor que conduz uma
corrente possui uma energia nele armazenada. Na penúltima figura, uma
corrente i crescendo no indutor induz uma fem ( entre os terminais e uma
correspondente diferença de potencial Vab nos terminais da fonte, e o ponto
a possui um potencial mais elevado do que o ponto b. Portanto, a fonte deve
fornecer energia para o indutor, e a potência instantânea P (taxa de
transferência de energia para o indutor) é dada por P=Vabi.
Podemos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma
corrente final i em um indutor com indutância L supondo que a corrente
inicial seja igual a zero. Admitindo que a resistência do indutor seja
igual a zero, nenhuma corrente é dissipada no interior do indutor. Supondo
que a corrente em determinado instante seja i e sua taxa de variação igual
a di/dt, a corrente está aumentando, de modo que di/dt>0. A tensão entre os
terminais a e b do indutor nesse instante é Vab=Ldi/dt e a taxa P com a
qual a energia está sendo fornecida ao indutor (igual à potência
instantânea fornecida pela fonte externa) é dada por
A energia dU fornecida ao indutor durante um intervalo de tempo dt é
dada por dU=Pdt, portanto
A energia total U fornecida enquanto a corrente está aumentando de
zero até um valor final i é dada por
(energia armazenada em um indutor)
Depois que a corrente atinge o seu valor estacionário final i,
obtemos di/dt=0 e nenhuma energia adicional é fornecida ao indutor.
Poderíamos fazer uma analogia e imaginar a energia U como uma espécie de
energia cinética associada com a corrente. Quando não existe nenhuma
corrente, a energia é igual a zero e quando existe uma corrente, a energia
é igual a ½(Li2).
Quando a corrente diminui de i até zero, o indutor atua como uma
fonte que fornece a energia total ½(Li2) para o circuito externo. Se
interrompermos repentinamente o circuito, abrindo uma chave ou puxando
rapidamente o plugue da tomada, a corrente diminui rapidamente, a fem
induzida é muito grande e a energia pode ser descarregada através de um
arco voltaico entre os contatos da chave.
É importante não confundir o comportamento de indutores e de
resistores. A energia é sempre fornecida ao resistor, quer a corrente seja
estacionária ou variável com o tempo; essa energia é sempre dissipada sob a
forma de calor. Em contraste, a energia flui para o interior de um indutor
ideal, sem resistência interna, somente quando a corrente no indutor
cresce. Essa energia não é dissipada; ela fica armazenada no indutor e é
liberada quando a corrente diminui. Quando a corrente permanece
estacionária através de um indutor, não existe nenhuma energia que entra no
indutor ou sai dele.
A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo
magnético no interior da bobina, assim como no caso da energia elétrica
armazenada no interior de um capacitor. Vamos considerar um caso simples: o
solenóide toroidal ideal. Esse sistema possui a vantagem que seu campo
magnético fica confinado completamente no interior de seu núcleo. Vamos
supor que a área S de sua seção transversal seja suficientemente pequena
para que possamos considerar o campo magnético constante ao longo dessa
área. O volume V de um solenóide toroidal é aproximadamente igual ao
comprimento da circunferência 2(r multiplicado pela área S: V=2(rS. A auto-
indutância de um solenóide toroidal com o vácuo no interior das suas
espiras é
A energia U armazenada no solenóide toroidal quando passa uma
corrente i através dele é dada por
O campo magnético e, portanto, essa energia estão em um volume V=2(rS
no interior das espiras. A energia por unidade de volume, ou densidade de
energia magnética, é dada por u=U/V.
Podemos expressar esse resultado em termos do módulo B do campo
magnético dentro do solenóide toroidal,
e, portanto,
Quando substituímos esse resultado na expressão de u obtida antes,
finalmente encontramos a expressão da densidade de energia magnética no
vácuo:
(densidade de energia magnética
no vácuo)
Exemplos
1. Uma bobina de Tesla, que consiste em um solenóide longo de comprimento l
= 0,50 m e uma seção transversal de área S=10 cm2 possui N1=1000 espiras
enroladas de modo compacto. Uma bobina, com N2=10 espiras, é enrolada em
seu centro. Determine a indutância mútua.
2. Um solenóide toroidal possui seção transversal com área 5 cm2, um raio
0,10 m e contém 200 espiras compactadas. Determine sua auto-indutância L.
Suponha que B seja uniforme através da seção transversal.
3. Determine a energia armazenada em uma bobina de 23 mH transportando uma
corrente de 2,5 A. Em quantas vezes a corrente deve ser aumentada para
que a energia armazenada seja duplicada?
Materiais Magnéticos
Atualmente, os materiais magnéticos desempenham papel muito importante
nas aplicações tecnológicas do magnetismo. Nas aplicações tradicionais,
como em motores, geradores, transformadores, etc, eles são utilizados em
duas categorias: os ímãs permanentes são aqueles que têm a propriedade de
criar um campo magnético constante; os materiais doces, ou permeáveis, são
aqueles que produzem um campo proporcional à corrente num fio nele
enrolado, muito maior ao que seria criado apenas pela corrente. A terceira
aplicação tradicional dos materiais magnéticos, que adquiriu grande
importância nas últimas décadas, é a gravação magnética. Esta aplicação é
baseada na propriedade que tem a corrente numa bobina, na cabeça de
gravação, em alterar o estado de magnetização de um meio magnético próximo.
Isto possibilita armazenar no meio a informação contida num sinal elétrico.
A recuperação, ou a leitura, da informação gravada, é feita,
tradicionalmente, através da indução de uma corrente elétrica pelo meio
magnético em movimento na bobina da cabeça de leitura. A gravação magnética
é a melhor tecnologia da eletrônica para armazenamento não-volátil de
informação que permite re-gravação. Ela é essencial para o funcionamento
dos gravadores de som e de vídeo, de inúmeros equipamentos acionados por
cartões magnéticos, e tornou-se muito importante nos computadores.
As propriedades magnéticas das substâncias se devem a uma propriedade
intrínseca dos elétrons, seu spin (palavra em inglês que significa girar em
torno de si mesmo). O spin é uma propriedade quântica do elétron, mas pode
ser interpretado, classicamente, como se o elétron estivesse em permanente
rotação em torno de um eixo, como o planeta Terra faz numa escala muita
maior. Como o elétron tem carga, ao spin está associado um momento
magnético, o qual se comporta como uma minúscula agulha magnética, tendendo
a se alinhar na direção do campo magnético a que está submetido. Nos átomos
mais comuns o spin total é nulo, pois os elétrons ocupam os orbitais
satisfazendo o princípio de Linus Pauling, ora com o spin num sentido, ora
no outro. Entretanto, para certos elementos da tabela periódica, o spin
total é diferente de zero, fazendo com que o átomo tenha um momento
magnético permanente. Este é o caso dos elementos do grupo de transição do
ferro, como níquel, manganês, ferro e cobalto, e vários elementos de terras
raras, como európio, gadolínio, etc. Os materiais formados por esses
elementos ou suas ligas têm propriedades que possibilitam suas aplicações
tecnológicas.
Magnetização
A magnetização é definida como o momento de dipolo magnético por
unidade de volume no meio material:
A magnetização descreve o estado magnético de um meio ou de um
material. Por exemplo, se M=0 em todo o ponto de um meio, então, nenhum
ponto desse meio tem momento de dipolo magnético. Por outro lado, em um
pedaço de aço magnetizado, o módulo da magnetização é grande em toda a
amostra. Constata-se que ela varia, por exemplo, se é imposto um campo
magnético externo ou se a temperatura varia. Vários materiais reagem de
diferentes maneiras a alterações em sua vizinhança. A maioria dos materiais
se enquadra em uma das três categorias de comportamento magnético:
diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.
Paramagnetismo
Em um átomo, muitos momentos magnéticos orbitais e de spin se somam
produzindo uma resultante igual a zero. Contudo, em alguns materiais, o
átomo possui um momento magnético resultante da ordem de m. Quando esse
tipo de material é colocado em um campo magnético, o campo exerce um torque
sobre cada momento magnético. Estes torques tendem a alinhar os momentos
magnéticos com o campo, que é a posição correspondente a uma energia
potencial mínima. Nessa posição, o sentido de cada espira de corrente é tal
que ela fornece um campo que se soma com o campo magnético externo.
Dizemos que é paramagnético todo material que possui um comportamento
análogo ao que acabamos de descrever. O resultado é que o campo magnético
no interior do material fica levemente ampliado, em relação ao valor que
existiria se ele fosse substituído pelo vácuo, por um fator adimensional
Km, conhecido como permeabilidade relativa do material (). A maioria
dos materiais são fracamente atraídas por campos magnéticos devido ao
efeito paramagnético. Esses efeitos são muito pequenos e não são percebidos
em nossa experiência doméstica.
Diamagnetismo
O diamagnetismo é um tipo de magnetismo característico de
materiais que se alinham em um campo magnético não uniforme, e que
parcialmente expelem de seu interior o campo magnético, no qual eles estão
localizadas. Através de estudos, Faraday concluiu que alguns elementos e
quase todos os compostos exibem esse magnetismo "negativo". De fato, todas
as substâncias são diamagnéticas: o forte campo magnético externo pode
acelerar ou desacelerar os elétrons dos átomos, como uma maneira de se opor
à ação do campo externo em acordo com a Lei de Lenz. O diamagnetismo de
alguns materiais, no entanto, é mascarado por uma fraca atração magnética
(paramagnetismo) ou uma forte atração (ferromagnetismo). O diamagnetismo é
observado em substâncias com estrutura eletrônica simétrica (como por
exemplo os cristais iônicos ou gases nobres) e sem momento magnético
permanente. Você nunca percebeu nem perceberá que o cobre é repelido pelo
ímã. O efeito é muito pequeno. O diamagnetismo não é afetado por mudanças
na temperatura.
Ferromagnetismo
O Ferromagnetismo é caracterizado por uma magnetização espontânea do
material a temperaturas abaixo de uma certa temperatura crítica. O ferro, o
cobalto e o níquel são exemplos de materiais ferromagnéticos. Este efeito é
observado mesmo na ausência de um campo magnético aplicado ao material em
questão. Esta situação sugere que os spins dos átomos (ou moléculas) que
constituem o material tenham uma forte tendência a se alinhar uns aos
outros, dando origem a um momento magnético espontâneo. A situação está
ilustrada esquematicamente na figura abaixo, no caso de uma pequena rede bi-
dimensional.
As setas na figura representam o spin do átomo (ou molécula).
Esta orientação espontânea tende a desaparecer gradualmente à medida
que o sistema é aquecido. Neste caso, os spins tendem a um estado de
desordem. A temperatura crítica Tc para a qual a magnetização espontânea
desaparece, isto é, ocorre a transição entre "ordem" e "desordem", é
chamada Temperatura de Curie.
A permeabilidade relativa Km do material ferromagnético é muito maior
do que 1, em geral da ordem de 1000 até 100.000.
À medida que o campo magnético aumenta, por fim atinge-se um ponto
para o qual quase todos os momentos magnéticos do material ferromagnético
estão alinhados com o campo magnético externo. Essa condição é chamada de
magnetização de saturação; depois de atingido esse ponto, um aumento
posterior do campo magnético externo não produz nenhum aumento da
magnetização.
Para muitos materiais ferromagnéticos, a relação entre a magnetização
e o campo magnético externo quando o campo magnético aumenta é diferente da
relação obtida quando ele diminui. A figura a seguir mostra este tipo de
comportamento para tal material. Quando o material é magnetizado até
atingir a saturação e a seguir o campo magnético é reduzido até zero,
alguma magnetização persiste. Esse comportamento é característico de um
ímã, que mantém a maior parte de sua magnetização de saturação quando o
campo magnético é removido. Para reduzir a magnetização até zero, é
necessário aplicar um campo magnético em sentido contrário.
Esse tipo de comportamento denomina-se histerese e as curvas
indicadas na figura a seguir são chamadas de ciclos de histerese. A
magnetização e a desmagnetização de um material que possui histerese produz
dissipação de energia e a temperatura do material aumenta durante o
processo.
Figura – Ciclos de histerese. Os materiais (a) e (b) permanecem fortemente
magnetizados quando Bo se reduz a zero. Visto que o material (a)
dificilmente se desmagnetiza, ele seria bom para a fabricação de um
ímã permanente. Como o material (b) se magnetiza e desmagnetiza com
mais facilidade, ele seria indicado como material para a memória de
um computador. O material do tipo (c) seria útil para ser empregado
no núcleo de transformadores e de outros dispositivos que usam
correntes alternadas para os quais uma histerese zero seria ideal.
Os materiais ferromagnéticos são largamente empregados em eletroímã,
transformadores, motores e geradores, nos quais é desejável a obtenção do
mais elevado campo magnético possível para uma dada corrente. Como a
histerese produz dissipação de energia, os materiais usados nessas
aplicações devem possuir um ciclo de histerese o mais estreito possível.
Geralmente, se utiliza o ferro doce; ele possui elevada permeabilidade com
uma pequena histerese, com um alto valor de magnetização na ausência de
campo externo e um campo inverso elevado para produzir sua desmagnetização.
Vários tipos de aço e muitas ligas, tal como a Alnico, são geralmente
usadas para a fabricação de ímãs. O campo remanescente nesses materiais,
depois que são magnetizados até as vizinhanças da saturação, é normalmente
da ordem de 1 T, o que corresponde a uma magnetização remanescente
aproximadamente igual a 800.000 A/m.
Em geral, podemos classificar os materiais ferromagnéticos em dois
grupos: materiais ferromagnéticos duros (ímãs) e materiais ferromagnéticos
moles ou doces. Uma das propriedades que é utilizada para separar os dois
tipos de ferromagnetismo é a coercividade, ou seja, o campo necessário para
levar a magnetização do material a zero. Embora não exista uma linha
divisória definida de maneira clara, assume-se que materiais
ferromagnéticos que possuem uma coercividade alta sejam duros, e aqueles
que possuem coercividade baixa sejam classificados de moles ou doces. Em
geral, um material com uma coercividade maior que 104 A/m é duro, e um
outro que tenha coercividade menor que 500 A/m é doce.
Intensidade Magnética H
Em toda análise realizada até aqui, foi considerado que o campo
magnético B era devido a correntes macroscópicas em enrolamentos de um
solenóide ou toróide, por exemplo. Desprezamos o efeito de materiais
vizinhos ao obtermos expressões para o campo magnético. O campo magnético
em um meio material pode apresentar dois tipos de contribuição. Uma delas é
a contribuição devido às correntes macroscópicas em solenóides ou toróides.
Em alguns casos consideramos essa contribuição do campo como um campo
aplicado. A outra contribuição para B provém do meio material. Descrevemos
o efeito em termos da magnetização M no material. A corrente um uma bobina,
em geral, pode ser ajustada, mas a magnetização em um material não só
depende de B, como contribui para B. Assim, nem sempre é fácil determinar
ou controlar B, particularmente para materiais ferromagnéticos. Em um
material ferromagnético, M e B dependem do tratamento prévio da amostra.
Para determinar B e M, em geral convém introduzir outro campo. Esse
campo vetorial é representado pelo símbolo H e é chamado de intensidade
magnética. Define-se pela expressão ou, de maneira equivalente,
onde H e M têm as mesmas dimensões; no S.I., a unidade de H é ampère por
metro (A/m).
De acordo com esta equação, H e M (quando multiplicado por ) são
as duas contribuições para B. Consideremos essas contribuições para o caso
simples do meio interior de um solenóide longo, compactamente enrolado,
conduzindo uma corrente i. Admitimos que não só os efeitos nos extremos
como a magnetização do enrolamento do solenóide possam ser desprezados.
Suponhamos primeiro que o núcleo de um solenóide seja o vácuo. Como a
magnetização M=0 para o vácuo, a equação anterior mostra que , ou
, neste caso. Tanto o campo magnético B como a intensidade magnética H
são uniformes dentro do solenóide e possuem a direção do seu eixo. Pela
equação , onde n é o número de espiras por unidade de comprimento,
temos o módulo da intensidade magnética que é . Concluímos que H no
interior do solenóide é devido à corrente no enrolamento. Note que H pode
ser ajustada experimentalmente fazendo-se variar a corrente no solenóide.
Suponhamos agora que o espaço no interior do solenóide esteja
preenchido com algum material e que a corrente i no solenóide seja ajustada
para ter o mesmo valor que antes. Para essa geometria, H no material é a
mesma para o vácuo. Isto é, a intensidade magnética H no interior de um
solenóide ideal é determinada apenas pela corrente no solenóide. O campo
magnético B no material, entretanto, é diferente do caso do vácuo em razão
da contribuição da magnetização M.
Como a intensidade magnética H pode ser determinada a partir da
corrente i no solenóide, pode-se calcular o campo magnético , desde
que se conheça M. Em um material diamagnético ou paramagnético linear
típico, M e B são proporcionais. Então, H e B também são proporcionais em
tais substâncias. A relação linear entre H e B é
onde é a permeabilidade magnética do material. Para o vácuo, M=0, de
modo que e .
Considerando a lei de Ampére sem a corrente de deslocamento e a
intensidade magnética H, obtemos uma outra maneira de expressar a integral,
Material diamagnético: é ligeiramente menor que . O
bismuto, uma das substâncias mais diamagnéticas, tem uma permeabilidade
magnética . Para a maioria das aplicações práticas, podem-se desprezar
os efeitos diamagnéticos.
Material paramagnético: para muitas substâncias paramagnéticas em uma
ampla faixa de temperatura, é ligeiramente maior do que . Por
exemplo, para a platina a 293 K. Como sob tais condições, podem-
se desprezar os efeitos paramagnéticos na determinação de B, isto é, .
Já em outras circunstâncias, especialmente a baixas temperaturas, os
efeitos paramagnéticos são importantes.
Material ferromagnético: em um material ferromagnético, não há
linearidade entre M, H e B. Embora possamos relacionar H e B, o valor de
não é característico do material, mas depende do tratamento prévio da
amostra.
Equações de Maxwell
Todas as equações envolvendo campos elétrico e magnético e suas
respectivas fontes são reunidas, constituindo um conjunto de quatro
equações, conhecidas como equações de Maxwell. Ele não formulou essas
equações, porém as reuniu e explicou o significado delas, particularmente
ao prever a existência de ondas eletromagnéticas.
Duas das equações de Maxwell envolvem integrais de E e de B sobre uma
superfície fechada. A primeira é simplesmente a lei de Gauss para o campo
elétrico, que afirma que a integral de superfície de sobre qualquer
superfície fechada é igual a vezes a carga total Qinte existente no
interior da superfície fechada considerada:
(lei de Gauss para
)
A segunda é a relação análoga para o campo magnético, que afirma que
a integral de superfície de sobre qualquer superfície fechada é igual
a zero:
(lei de Gauss
para )
O enunciado anterior equivale a dizer, entre outras coisas, que não
existem monopolos magnéticos (polos magnéticos isolados) que funcionem como
fontes de campos magnéticos.
A terceira equação é a lei de Ampère incluindo a corrente de
deslocamento. Ela afirma que existem duas fontes de campos magnéticos, a
corrente de condução ic e a corrente de deslocamento , onde é o
fluxo elétrico:
(lei de Ampère)
A quarta equação é a lei de Faraday. Ela afirma que um fluxo
magnético variável ou um campo magnético variável induz um campo elétrico:
(lei de Faraday)
Quando existe um fluxo magnético variável, a integral de linha da
equação anterior não é igual a zero, o que mostra que o campo E produzido
por um fluxo magnético variável não é conservativo.
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a) Corrente elétrica em um fio com portadores de carga positivos.
b) Corrente em um fio com portadores de carga negativo. O sentido da
corrente é para a direita em ambos os casos.
0,1 a 92 K
w = trabalho = variação de energia potencial da carga circulante.
Capacitância de um cabo coaxial de comprimento L, com condutor interno
de raio Ra e condutor externo de raio Rb.
Carga total na associação: Q = Q1 = Q2
(capacitor equivalente série)
Carga total na associação: Q = Q1 + Q2
Q = C1 V + C2 V = (C1 + C2) V
Ceq = C1 + C2 + ...
(capacitor equivalente paralelo)
Em notação vetorial:
O módulo de dB é:
Na forma integral:
Bobina Plana: todas as espiras são, praticamente, concêntricas e tem, em
média, o mesmo raio R da espira. O comprimento L da bobina é pequena em
relação ao raio.
onde N = número de espiras;
L = comprimento do solenóide;
= número de espiras por unidade de comprimento.
O fio 1 produz um campo magnético dado por: .
O fio 2 encontra-se imerso no campo magnético B1. Um comprimento L deste
fio fica sujeito a uma força lateral igual a