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1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos.
Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar
tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em
termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo
quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os
conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de
partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e
provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo
admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração,
multiplicação e a divisão por número diferente de zero.
1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos
Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real,
entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo
axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de
conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números
naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e
multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos
números naturais demonstrando as propriedades.
- Conjunto dos Números Naturais (N)
Propriedades:
1) 1 ( N.
2) ( n ( N, (( n+1 (N e n+1 é o sucessor de n.
3) ( m, n ( N se m+1 = n+1 ( m = n.
4) Seja S ( N com as propriedades:
a) 1 ( S.
b) ( s ( S ( s+1 ( S.
Logo, S = N (Princípio da Indução)
Assim tem-se:
N = {1,2,3,...}
A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto
significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação.
Exemplo: Sejam a, b ( N
x = a + b e x = a.b
São equações que têm solução em N.
Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.
- Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números
naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado
com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a)
tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de
adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta
razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.
Exemplo:
- Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q é um conjunto numérico formado por números da forma , onde p e
q ( Z e q ( 0. Esses números racionais podem ser escritos na base 10, como
decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos.
Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323...
O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém
no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação
x2 = a
Exemplo:.
Demonstração que :
O quadrado de um número par é par:
2.n onde n é inteiro.
é PAR.
O quadrado de um número ímpar é ímpar:
é ÍMPAR.
Demonstração por contradição:
Suponha que
m, n ( 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares
Se m é par m = 2.k, então:
O que contradiz a hipótese logo .
Exemplos de números não racionais: 2,3791...;;(;e.
- Conjunto dos Números Reais (R)
É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e
irracionais.
- Conjunto dos Números Irracionais (Q')
É o conjunto dos números tais que a equação tem sempre solução
quando a é um número racional positivo. Os números irracionais na notação
decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.
Exemplos: 2,37951..., (, e.
Propriedades dos Números Reais:
1) Lei comutativa da adição
( x, y ( R ( x + y = y + x
2) Lei comutativa da multiplicação
( x, y ( R ( x . y = y . x
3) Lei associativa da adição
( x, y, z ( R ( (x + y) + z = x + (y + z)
4) Lei associativa da multiplicação
( x, y, z ( R ( (x . y) . z = x . (y . z)
5) Lei da existência do elemento neutro da adição
( o 0 ( R / x + 0 = x : ( x ( R
6) Lei da existência do elemento neutro da multiplicação
1 ( R / 1 . x = x : ( x ( R
7) Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição
( x ( R , ( (-x) ( R / x + (-x) = 0
8) Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação
( x ( R , x ( 0, ( x-1 ( R / x . x-1 = 1
9) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição
( x, y, z ( R ( x (y + z) = x.y + x.z
10) Lei do fechamento da adição
( x, y ( R ( x + y ( R
11) Lei do fechamento da multiplicação
( x, y ( R ( x . y ( R
12) Lei do cancelamento em relação a adição
( x, y, z ( R se x + z = y + z ( x = y
13) Lei do cancelamento em relação a multiplicação
( x, y, z ( R e z ( 0 se x . z = y . z ( x = y
14) Lei da tricotomia
( x, y ( R, vale uma e somente uma das afirmações:
x > y ou x < y ou x = y
Obs.: fazendo y = 0, temos:
x > 0 ou x < 0 ou x = 0
15) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição
( x, y, z ( R se x + z > y + z ( x > y
16) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação
( x, y, z ( R e z > 0 se x > y ( x . z > y . z
Obs.: se z < 0 : x > y ( x . z < y . z
17) Lei da transitividade
( x, y, z ( R se x > y e y > z ( x > z
Exercícios:
1) Responda (V) ou (F) e justifique.
a) Se x é um número positivo ( 5x é um número positivo
b) Se x < 3 e y > 3 ( x < y
c) Se x ( y ( -5x ( -5y
d) Se x2 ( 9 ( x ( 3
e) Se x ( 2 e y > x ( y > 0
Respostas:
1. (V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo
(x) sempre terá como resultado um número positivo.]
2. (V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e
sendo y > 3, y é qualquer número maior que 3. Assim x < y.
3. (V) Podemos simplificar a equação: -5x ( -5y em x ( y.
4. (F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ( 9
x2 = 9 x = ( 3 x ( 3 x ( -3
5. (V) x ( 2 y > x y > 2
1) x
2) Representação Geométrica dos Números Reais
Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o
conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica
determinado por um único número real e todo número real está associado a
um único ponto da reta
negativos 0 positivos
3) Espaço Real Unidimensional
Definições
1) Conjunto linear
Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou
de seus pontos representativos.
2) Intervalos
São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes
casos: (sejam a e b números reais tais que a < b)
a) Intervalo fechado de extremos a e b. [
[ ] {x
( R / a ( x ( b}
a
b [a, b]
b) Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ]
[ ] {x
( R / a < x < b}
a b (a, b)
ou ]a, b[
c) Intervalos reais semi-abertos:
c.1) à esquerda
( ] {x
( R / a < x ( b}
a
b (a, b] ou ]a, b]
c.2) à direita
[ ) {x
( R / a ( x < b}
a b [a, b)
ou [a, b[
d) Intervalos reais ilimitados
d.1) (-(, b] ( {x ( R / x ( b}
]
b
d.2) (-(, b) ( {x ( R / x < b}
)
b
d.3) [a, () ( {x ( R / x ( a}
[
a
d.4) (a, () ( {x ( R / x > a}
(
a
Intervalo degenerado
a {x ( R / x
= a} = [a, a]
3) Supremo (limite superior)
Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente
se (() são verificadas as seguintes condições:
L ( x, ( x ( A
Dado L1 < L, então (() ( x ( A / L1 < x < L.
4) Ínfimo (limite inferior)
Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ( são
verificadas as seguintes condições:
l ( x, ( x ( A
Dado l1 > l ( ( x ( A / l < x < l1.
5) Máximo de um conjunto
Um número real L é máximo de um conjunto linear A ( são
verificadas as seguintes condições:
L é supremo de A
L ( A.
6) Mínimo de um conjunto
Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ( são
verificadas as seguintes condições:
l é ínfimo de A
l ( A.
Exercício:
A = (2, 5]
B = { x ( R / x > 2}
C = { x ( R / x ( 3}
Determinar:
Superior (A) : 5 Superior (B) : ( Superior (C) :
3
Ínfimo (A) : 2 Ínfimo (B) : 2 Ínfimo (C) : (
Máximo (A) : 5 Máximo (B) : ( Máximo (C) : 3
Mínimo (A) : ( Mínimo (B) : ( Mínimo (C) : (
7) Distância em R (unidimensional)
Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e
b respectivamente e a < b. A distância de P até Q indicada por d (P,
Q) é dada por "b – a"
P Q
a "b – a" b
"b – a" =
d (P, Q) = "b – a" ou
d (P, Q) =
8) Vizinhança em R (unidimensional)
Denomina-se vizinhança unidimensional de um ponto P0 (X0) e de
raio ( (delta) ( ( R a todo conjunto de pontos P (x) ( R / d (P, P0) <
(.
V (P0, () = {x ( R / 0 ( d (P, P0) < (}, onde x é a abscissa do
ponto P
P0
( )
x0-( X0 x0+( 0 (
"x – x0" < (
(
9) Vizinhança perfurada em R
Denomina-se vizinhança perfurada unidimensional de um ponto P0
(X0) e de raio ( ( R a todo o conjunto de pontos P (x) ( R / 0 < d (P,
P0) < (
(P0, () = {x ( R / 0 < d (P, P0) < (}
(P0, () = 0 < "x - x0" < (
10) Ponto de acumulação
Um ponto P0 (X0) é A se e somente se ( V (P0) existir pelo menos
um ponto P ( R / P ( A e P ( V (P0).
a P0 b
( ( ) ( " ) ( ] )
OBS.: Um ponto de acumulação pode não pertencer a um conjunto
(sendo o supremo do conjunto ou ínfimo).
11) Valor absoluto ou módulo de um número real
Denomina-se módulo ou valor absoluto de um número x ( R, o
número definido por
"x" = x se x ( 0 ( "x" = 0 ( x = 0
"x" = -x se x < 0
Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é
ele mesmo caso esse número seja positivo e será o oposto dele caso ele
seja negativo.
Geometricamente o módulo de um número real x ("x") representa a
distância que um ponto P (x) se encontra da origem.
0 x
" "
"x" P
-3 0 5
" " "
Q P
"-3" "5"
Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica,
então a distância de P até Q poderá ser calculada por: d (P, Q) = "b –
a"
"b – a" =
d (P, Q) =
Propriedades decorrentes da definição:
1) "x" ( 0 e "x" = 0 ( x = 0
2) "x"2 = x2
3) "x" =
4) "x . y" = "x" . "y"
5) se y ( 0
6) "x + y" ( "x" + "y" ( desigualdade triangular
7) "x" = "y" ( x = ( y
Seja a ( 0 "x" = a ( x = ( a
8) "x" ( a ( -a ( x ( a
9) "x" ( a ( x ( -a ou x ( a
Demonstrações das propriedades acima
P1) "x" ( 0 e "x" = 0 ( x = 0 x ( R
Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.
Se x > 0: "x" = x mas x > 0 ( "x" > 0
Se x < 0: "x" = -x mas x < 0 ( -x > 0 ( "x" > 0
Se x = 0: "x" = 0
P2) "x"2 = x2
Se x > 0: "x" = x ( "x"2 = x2
Se x < 0: "x" = -x ( "x"2 = (-x)2 = x2
Se x = 0: "x" = x ( "x"2 = x2
P3) "x" =
indica a raiz quadrada positiva de um número a ( 0.
( pela propriedade 2
P4) "x . y" = "x" . "y"
"x . y"2 = (x . y)2
"x . y" =
"x . y" =
"x . y" =
"x . y" = "x" . "y"
P5)
P6) "x + y" ( "x" + "y"
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = "x"2 + 2xy + "y"2
Obs.: x ( "x"
2xy ( "2xy"
2xy ( 2 "x" "y"
(x + y)2 ( "x"2 + 2 "x" "y" + "y"2
"x + y"2 ( ( "x" + "y" )2
"x + y" ( "x" + "y"
P7) "x" = "y" ( x = ( y
"x"2 = "y"2
x2 = y2
x = ( y
P8) "x" ( a
x ( 0 ( "x" = x ( x ( a 0 [
] a
x < 0 ( "x" = -x ( -x ( a ( x ( -a -a [
-a [ ] a
-a ( x ( a
P9) "x" ( a ( x ( a ou x ( -a
x ( 0 ( "x" = x
x ( a a [
x < 0 ( "x" = -x
-x ( a ( x ( -a ] –a
]–a a[
x ( a ou x ( -a
Exemplos:
Resolver as equações e inequações:
a) "x – 3" = 2
"x" = a ( x = ( a
"x – 3" = 2 ( "x – 3" = -2
x – 3 = 2 x – 3 = -2
x = 5 x = 1
Resposta: x = 5 ou x = 1.
b) "x – 5" = "3x – 1"
"x" = "y" ( x = ( y
x – 5 = 3x - 1 ( x – 5 = -3x +
1
2x = -4 4x = 6
x = -2 x =
Resposta: x = -2 ou x =.
c) "4x – 6" ( 3
"x" ( a ( -a ( x ( a
-3 ( 4x - 6 ( 3
Resposta: .
d) "3x + 5" > 2
"x" > a ( x > a ou x < -a
3x + 5 > 2 ( 3x + 5 < -2
x > -1 x <
Resposta: x > -1 ou x <.
2) Sistema de Coordenadas Cartesianas
1) Par Ordenado
É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem
dos elementos deve ser respeitada.
(x, y) = (y, x) ( x = y
(x1, y1) = (x2, y2) ( x1 = x2 e y1 = y2
No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento,
primeira projeção ou abscissa; o elemento y é chamado segundo elemento,
segunda projeção ou ordenada.
2) Produto Cartesiano
Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se
produto cartesiano de A por B e se indica por A x B. O conjunto de todos
os pares ordenados (x, y)/ x ( A e y ( B.
A x B = {(x, y) / x ( A e y ( B}
3) Plano Cartesiano
Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de
números reais representado pelo seguinte conjunto: R x R = R2.
No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como
pontos e o elemento x é chamado abscissa e o elemento y ordenada do
ponto.
4) Representação do Plano Cartesiano
Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um
plano e os infinitos pares ordenados, desta maneira podemos representar
estes pontos através de duas retas perpendiculares.
y (eixo das ordenadas)
P (x, y)
0 x
(eixo das abscissas)
5) Distância Bidimensional (R2)
y
y2 Q (x2,
y2)
"y2 – y1" d
y1
P (x1, y1)
x1 x2 x
"x2 – x1"
[d(P, Q)] = "x2 – x1"2 + "y2 – y1"2
[d(P, Q)]2 = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2
6) Vizinhança Bidimensional (R2)
Denomina-se vizinhança bidimensional de um ponto P0 (x0,y0) e raio ( >
0 ao conjunto de todos os pontos P (x, y) / 0 ( d (P, P0) < (.
y
y0
x0 x
7) Vizinhança Perfurada em R2
Denomina-se vizinhança perfurada bidimensional de um ponto P0 (x0, y0)
e raio ( > 0 o conjunto de todos os pontos P (x, y) ( R2 / 0 < d (P, P0)
< (.
8) Ponto de Acumulação em R2
Dizemos que sem um ponto P0 (x0, y0) é ponto de um conjunto A ( R2
se para toda a V2 (P0) existir pelo menos um ponto P (x, y) ( R2 / P (x,
y) ( A e P (x, y) ( V(P0).
3) Relações Binárias e Funções Reais
1) Relações Binárias
Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A
em B a qualquer subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto
cartesiano A x B.
2) Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações
a) Domínio de relações:
Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica
por DS o conjunto linear:
DS =
b) Contradomínio:
Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica
por CdS é o conjunto B.
CdS = B
c) Imagem:
Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o
conjunto linear:
ImS =
d) Gráfico:
Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto:
GS =
e) Gráficos das principais relações:
1)
y = x ( é função
y ( x ( não é função
2)
a ( coeficiente angular
b ( coeficiente linear
a = tan (
Se:
a > 0 ( tan ( > 0 (
( ( < 90o : agudo
a < 0 ( tan ( < 0 (
( ( > 90o : obtuso
3)
Se:
a > 0 (
a < 0 ( "1"
y = 0
ax2 + bx + c = 0
"3"
( > 0 ( 2 raízes "1"
( < 0 ( não existe (
( = 0 ( 1 única raiz "3"
( x = 4y2 – 9 ( também é uma parábola
a > 0 (
a < 0 (
4)
Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre
x e y é de subtração)
Equação geral da circunferência
Exemplos:
Dados , determine:
1) Gráfico de R1(R2
2) Domínio de R1(R2
3) Imagem de R1(R2
1)
(
Para y = 0
2) Pontos de interseção ( Sistema
D = {x ( R / -3 ( x ( 3}
3) {y ( R} = Im
Im = {y ( R / 0 ( x ( 5}
3) Função Real de Variável Real
Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo
x pertencente a A corresponder um único y ( B, então esta relação
denomina-se função.
Notação:
F: A ( B
y = F (x)
Domínio:
Se F: A ( B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ( A
deve figurar em um único par ordenado (x, y) de F.
DF = A
Contradomínio:
Se F: A ( B, o contradomínio de F é o conjunto B.
CF = B
Imagem:
A imagem de F é o conjunto dos y ( B que estão relacionados por F,
isto é, o conjunto dos y ( B que são obtidos a partir de x pela lei F, já
que y = F (x).
ImF ( B
Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de
Variáveis Reais
Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de
correspondência y = f (x), estamos admitindo que o domínio ou campo de
existência da função é o conjunto de todo x ( R que seja possível
determinar y ( R e y = F (x).
Exemplos:
1) Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:
a)
-( 1 +(
Ponto de
acumulação
b)
c)
4
x-4 - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
-3
x+3 - - - - - + + + + + + + + + + + + +
+ - +
-3 4
d)
0
2x - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
-3 3
x2-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + +
- + - +
-3 0 3
e)
0
2x
-3 3
x2-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + +
- + - +
-3 0 3
f)
1 2
x2-3x+2 + + + + + + + - - - - - - - + + + +
-1
x+1 - - - - + + + + + + + + + + + + + +
- + - +
-1 1 2
g)
-2
2
1 2
1 2
4) Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
a) Função Injetora:
Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ( B
são imagens de um único x ( A.
b) Função Sobrejetora:
Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F
for igual ao contradomínio de F, isto é, todo y ( B deve ser imagem
de pelo menos um x ( A.
c) Função Bijetora:
Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e
sobrejetora.
5) Classificação das Funções
As funções são classificadas em dois grandes grupos:
I) Funções Algébricas Elementares
a) Funções Algébricas Racionais
a.1) Inteiras
a.2) Fracionárias
b) Funções Algébricas Irracionais
II) Funções Transcendentais
a) Trigonométricas
b) Exponenciais
c) Logarítmicas
I) Funções Algébricas Elementares
São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares
(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). E são
classificadas como segue:
a) Funções Algébricas Racionais:
As funções algébricas racionais são aquelas em que as
variáveis não se encontram abaixo de radicais ou não estão
elevadas a expoentes fracionários e se classificam em:
a.1) Racionais Inteiras:
São aquelas em que suas variáveis não se encontram
em denominador ou não estão elevadas a expoentes
negativos. São as funções conhecidas como POLINOMIAIS.
Ex.: f(x) = a0.xn+a1.xn-1+...+an
a.2) Racionais Fracionárias:
São funções da forma , onde f(x) e g(x) são
funções racionais inteiras. Ex.:
b) Funções Algébricas Irracionais:
São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais
ou elevadas a expoentes fracionários positivos ou negativos.
II) Funções Transcendentais:
São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da
trigonometria, da exponenciação e da logaritmização.
Exemplos:
Classificar as seguintes funções:
1) (função algébrica elementar racional
2) (função algébrica irracional
3) (função algébrica elementar racional inteira
4) (função algébrica racional fracionária
5) (função transcendental
6) ( função transcendental
7) ( função algébrica racional inteira
8) ( função algébrica irracional
Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as
funções transcendentais podem ser classificadas em:
a) Funções Explícitas:
São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da
outra, isto é, isola-se uma variável em função da outra. ( y = f(x)
)
Ex.: y = x2+3x
b) Funções Implícitas:
São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em
relação a outra. (F(x, y)=0)
Ex.: y2+2.x5.y3+x2.seny=0
6) Composição de Funções
Se f e g são funções tais que pelo menos um elemento pertencente a
imagem de g pertencer ao domínio de f, então a composição de f por g,
indicada por fog é definida por:
fog = f ( g (x) )
Exemplo:
1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x e g (x) = x + 4
( fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) = 34 . 3x
( gof = g ( f (x) ) = 3x + 4
7) Função Inversa
Duas funções f e g são inversas se e somente se:
a) A imagem de g está contida no domínio de f;
b) Para todo x ( ao domínio de f, fog = x;
c) A imagem de f deve estar contida no domínio de g;
d) Para todo x do domínio de f, gof = x.
Nestas condições f é dita invertível.
Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja
bijetora.
Notação:
Se y = f (x) é invertível, a inversa de f é indicada por x = f -1
(y) ou x = g (y).
Gráfico:
O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y =
x.
TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO
1) Isola-se x na equação original .
2) Troca-se x por y para respeitar a convenção de representação de
função no plano cartesiano que usualmente a variável
independente é x e a variável dependente é y.
Exemplos:
Determinar as inversas das seguintes funções:
1) f (x) = x + 4
y = x + 4
x = y – 4
y = x – 4 ( Função inversa
2)
( Função inversa
3)
( Função inversa
4)
( Função inversa
5)
( Função inversa
8) Funções Pares e Funções Ímpares
Função Par:
Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é par,
se e somente se para todo x ( D, -x ( D e f (-x) = f (x) .
Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eixo
dos y.
Função Ímpar:
Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é
ímpar, se e somente se para todo x ( D, -x ( D e f (-x) = - f (x) .
Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação
a origem
Exemplos:
Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
4) Limite e Continuidade de Funções
1) Noção Intuitiva
Seja
Se
"x "f(x)" "x "f(x)"
"1 "3 " "3 "5 "
"1,5 "3,5 " "2,5 "4,5 "
"1,9 "3,9 " "2,1 "4,1 "
"1,99"3,99" "2,01"4,01"
Note que para todo x ( V (2, ()( f(x) ( V (4, () podemos dizer que o
limite de f(x) quando x tende para 2 é igual a 4 e podemos escrever:
De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto
de acumulação.
2) Definição Formal de Limite
Sendo f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação
dizemos que f (x) tem limite L quando x tende para a, e se indica por:
se e somente se para todo ( > 0, ( ( > 0 / "f (x) – L" < (
sempre que 0 < "x – a" < (
Exemplos:
Usando a definição de limite, mostre que:
1)
2)
( Se f (x) = x ( y = x (Função Identidade)
P1
" x-a " < ( ( " x-a " < (
( = (
( Se f (x) = k ( y = k
P2
3) Propriedades Operatórias do Limite
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
Exemplo:
1)
4) Limites Unilaterais
Limite à direita:
Seja f uma função definida em um intervalo (a, c)
e L um número real, a afirmação , significa que para todo
( > 0, ( ( > 0 / "f (x) – L" < ( sempre que 0 < x – a < ( ( a < x
< a + ( (
Limite à esquerda:
Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real,
a afirmação , significa que para todo ( > 0, ( ( > 0 / "f (x) –
L" < ( sempre que -( < x – a < 0 ( a-( < x < a
5) Teorema
1)
Exemplos:
1)
2)
6) Continuidade das Funções
Condições:
1) ( f (a)
2) (
3)
Exemplos:
1) Verificar se é contínua para x = 1 :
i)
ii)
iii)
Resposta: É contínua
2) Verificar se é contínua para x = 3 :
i)
ii) indeterminação
iii)
Resposta: Não é contínua
-----------------------
assíntota
y
x
-2
-3
2
3
-2
2
b
a<0
a>0
(
x
y
(
45o
y
x
(
P0
II
I
III
IV
2
x
y
-1
1
x
y
-3
4
x
-3 0
3
y
0
x
3
y
x
-x
f(x)
f(-x)
2
4
( )
a -( a a +(
L+(
L-(
4
( )
( )
1
( )
a c
a a+(
( )
a-( a
( )
x
y
a
x
y
a
x
y
a
c
b = f (a)
x
y
a
-----------------------
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
