Apostila De Calculo

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Agnaldo Souza Pereira Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de Oliveira CálculoII 4.º Período Manaus 2007 FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Pereira, Agnaldo Souza. P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor, Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. (Licenciatura em Matemática. 4. Período) 92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3 SUMÁRIO UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 PERFIL DOS AUTORES Agnaldo Souza Pereira Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Jefferson Pereira de Oliveira Licenciado em Matemática – UCSal Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF UNIDADE I Funções de várias variáveis Cálculo II – Funções de várias variáveis Além das contribuições em ciências exatas, D’Alembert também participou, com Denis Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma das maiores obras do Iluminismo. UM BREVE HISTÓRICO Ao contrário do que faria supor sua infância humilde, D’Alembert freqüentava lugares e festas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou. Quando D’Alembert se tornou famoso por suas realizações intelectuais, sua mãe biológica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do artesão e de sua mulher. Você é, no máximo, minha madrasta.” Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um célebre cientista e renomado homem de cultura. Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo da marquesa Claudine Guerin de Tencin, escritora, e do cavaleiro Louis-Camus Destouches, oficial do exército francês. Logo após o nascimento, foi abandonado por sua mãe nas escadarias da Capela de Saint Jean Le Rond, de onde foi levado para um orfanato, à espera de adoção. O bebê recebeu o nome do santo protetor da capela, e foi adotado por um humilde artesão e sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a educação por meio de uma pensão. Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos 21 anos de idade. Mais tarde, passa a interessar-se por Medicina e Matemática, sendo que seu primeiro trabalho matemático é publicado em 1739, no qual ele apresenta correções de erros que encontrou em um dos livros usado em sua formação. Aos 24 anos de idade, D’Alembert já era célebre por seu trabalho em Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu Tratado de Dinâmica, com importantes contribuições à ciência da mecânica. William Rowan Hamilton nasceu em Dublin, em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram deixando o pequeno órfão aos cuidados de um tio, que o educou dentro de uma severa linha de comportamento, dando-lhe uma educação abrangente, com forte ênfase em línguas estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos de idade, lia e recitava Homero em grego; aos 8 anos, já falava fluentemente o italiano e o francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a língua árabe. Seu interesse pela matemática surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer um jovem norte-americano chamado Zertah Colburn, que possuía fantástica habilidade para realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity College, em 1824, tendo sido o primeiro colocado entre 100 candidatos no concurso de admissão. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire- Deixou também contribuições para a teoria das equações diferenciais, em que se destaca o método de solução de D’Alembert para resolver equações diferenciais não-homogêneas por meio de uma equação auxiliar. 9 UEA – Licenciatura em Matemática tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e criou sua própria formulação da mecânica, conhecida hoje como mecânica hamiltoniana, que é tremendamente importante em todos os campos da física moderna, notadamente na física quântica. Sua vida particular não foi das mais tranqüilas; ele teve sérios problemas com o alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, convence-se de que a única solução seria nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida alcoólica. TEMA 01 INTRODUÇÃO O conceito de função de várias variáveis está intimamente ligado aos fenômenos mais complexos no campo da matemática aplicada à física e à engenharia. Se um meteorologista, por exemplo, tiver de determinar o comportamento futuro da temperatura de uma região, ele precisará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e umidade do ar. Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de beber apenas água durante festas e solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, afundando-se ainda mais no vício. Apesar da desordem em que estava mergulhada sua vida privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua autoria o termo gradiente para designar o vetor que aponta na direção de maior variação de uma função escalar. Hamilton também realizou pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os animais e que foi chamado “o novo Newton” morreu em 1865, deixando uma obra inacabada, que foi publicada por seu filho no ano seguinte. Podemos ver, claramente, que a temperatura do ar depende de várias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variáveis se altera, ela também se altera, ou seja, ela é uma função que depende de várias outras variáveis. Ainda como exemplo, podemos enxergar o preço de um produto com sendo dependente do preço da matéria-prima, do preço de mãode-obra e do custo do transporte, pois se esses elementos variam, o preço final do produto variará também. Matematicamente, uma função de N variáveis é representada como sendo uma função f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1 até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de funções de várias variáveis, começando com o caso mais simples, a função de duas variáveis. Exemplo 1 Volume de um cilindro Figura 1 – O volume de um cilindro é função de duas variáveis, r e h. O volume de um cilindro, de altura h e raio de base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o valor do volume muda se mudarmos um dos valores de r e h, fica clara a dependência do 10 Cálculo II – Funções de várias variáveis volume com as variáveis r e h. Podemos, então, classificar VCIL como uma função de duas variáveis. O volume do paralelepípedo de largura x, profundidade y e altura z é dado por V = xyz Em razão disso, podemos simbolizar o volume de um cilindro como: Assim como nos exemplos anteriores, podemos ver que a mudança do conjunto de valores (x,y,z) tem como conseqüência a mudança do valor do volume do paralelepípedo, uma vez que ele é função das dimensões deste sólido. Ou seja: VCIL = VCIL(r,h) Exemplo 2 Área de um retângulo V=V(x,y,z) Exemplo 4: Potencial elétrico de uma carga elétrica puntiforme Figura 2 – A área de um retângulo Considere uma carga elétrica puntiforme Q, posicionada na origem de um sistema de três eixos coordenados. A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto do espaço dependerá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar essa situação. é função de duas variáveis, a e b. Outro exemplo de função de duas variáveis que podemos buscar nos domínios da geometria é a área de um retângulo de lados a e b. sabendo que a área da superfície retangular é dada por: S = ab, em que a e b são as varáveis, pois podem assumir valores arbitrários, determinando um único valor de S para cada par de valores (a,b). Podemos escrever s como uma função de duas variáveis: S = S(a,b). Figura 4 – Potencial elétrico gerado em Continuando nossa seqüência de exemplos, vamos analisar alguns casos de função de três variáveis. Elas são essenciais em problemas que descrevem fenômenos tridimensionais, como o volume de um paralelepípedo, o escoamento de um gás ou a distribuição de temperaturas em uma sala. todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q. Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que localizam o ponto P no espaço. Exemplo 3 Para resumir as idéias expostas, vamos conceituar as funções de duas e três variáveis. Volume de um paralelepípedo Função de duas variáveis Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um conjunto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. Figura 3 – O volume de um paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z. 11 UEA – Licenciatura em Matemática Função de três variáveis b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 = 0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09 oC. Uma função de três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um conjunto D um único valor real designado por z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 = 0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC. d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( ( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( 0,25oC. Essas definições são facilmente extensíveis ao caso de várias variáveis: , )2+ )= Função de várias variáveis Uma função de várias variáveis é uma regra que associa a cada N–upla ordenada (x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O conjunto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. 1. A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano –xy, de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma bóia está na água no ponto (4,9), determine a distância entre ela e o fundo do lago. Exemplo 5 O potencial elétrico U no ponto P(x,y,z) é dado por 2. Um objeto está em um sistema coordenado retangular tal que a temperatura T no ponto P(x,y,z) seja dada por T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determine a diferença de temperatura entre os pontos A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC . , ache o valor do potencial elétrico no ponto P(1,5,4). Solução: Para achar o valor da função U(x,y,z) em P(1,5,4), basta substituir os valores das coordenadas do ponto P, na equação da função, e achar U(1,5,4). Exemplo 6 Uma chapa de metal plana está em um plano–xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T = 0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x e y em centímetros. Ache o valor da temperatura no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D( , ). Solução: Como no problema anterior, basta substituir os valores das coordenadas de cada ponto na equação da função T(x,y), e achar os valores correspondentes. a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 = 0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC. 12 Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 02 DOMÍNIO E IMAGEM Mais sobre domínio e imagem das funções de várias variáveis Sabemos que o domínio de uma função é o conjunto numérico no qual a função toma valores para a variável independente, e que a imagem de uma função é o conjunto numérico dos valores assumidos pela função. No caso da função de uma variável, temos a variável independente x, cujos valores permitidos pertencem a um dado conjunto numérico (domínio), e a variável dependente y(x), que expressa os valores numéricos assumidos pela função, valores esses, que pertencem a um segundo conjunto numérico (imagem). Figura 6 – Domínio e imagem de uma função de duas variáveis. Podemos ver, no diagrama, a função fazendo a correspondência entre elementos do domínio e elementos pertencentes ao conjunto imagem. É importante notar que os elementos do domínio são pares ordenados de valores; isso faz que funções de duas variáveis sejam aplicadas a problemas envolvendo grandezas que variam sobre superfícies. Ainda podemos observar que o conjunto de todos os pontos do domínio, que é um conjunto de vários pares ordenados, é uma figura plana, contida no plano xy (o domínio é uma subdivisão do plano xy). O conjunto imagem, por sua vez, também é uma superfície formada de todos os pontos de coordenadas (x,y,z) relacionados pela função, como pode ser visto na figura 7, abaixo. O diagrama abaixo representa o conceito de função por um diagrama como uma correspondência entre dois conjuntos numéricos. Figura 5 – Diagrama representando o conceito de função: é uma correspondência entre conjuntos numéricos. Ao analisarmos o diagrama, vemos que a relação representada entre o conjunto A e o conjunto B associa a cada elemento de A um elemento de B. A correspondência entre os elementos associados é representada pelas setas que partem do conjunto A (que é o domínio da função) e chegam ao conjunto B (imagem da função). Vamos, agora, ampliar esses conceitos para as funções de duas variáveis. Figura 7 – Domínio e gráfico de uma função de duas variáveis. Exemplo 7 1. Determine o domínio da função O domínio de uma função de duas variáveis é um conjunto formado por todos os pares de valores (x,y) em que a função toma valores. Vejamos o diagrama seguinte, semelhante ao que foi feito para a função de uma única variável: . Para achar o domínio, devemos achar o conjunto de pares (x,y) para os quais é possível realizar a operação indicada. No presente caso, a operação é . Essa operação é 13 UEA – Licenciatura em Matemática uma radiciação, e só tem sentido no conjunto dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim, todos os pares de valores (x,y), que obedecem à desigualdade acima, pertencem ao domínio daquela função: 16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16, portanto, x2 + y2 ≤ 16 . Figura 9 – Domínio da função Essa é uma equação que representa os pontos de um círculo de raio 4, centrado na origem. z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) Exemplo 9 3. Determine o domínio da função Nesse caso, encontramos duas condições a serem atendidas: 1.a O denominador deve ser sempre diferente de zero. 2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre maior que zero. Figura 8 – Domínio da função Para atender à 1.a condição, impomos a restrição x – 1 = 0 x = 1. Em seguida, para atender à 2.a condição, impomos a restrição x + y + 1> 0. Exemplo 8 y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos concluir que os pontos para a função 2. Determine o domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). está definida são aque- Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida no item anterior, o domínio da função é o conjunto dos pares (x,y) que possibilitam o cálculo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos reais. les que possuem abscissa diferente de zero e estão acima da reta y = –x – 1. Os pontos pertencentes a essa região estão representados no gráfico da figura 10. As linhas tracejadas são aquelas que não possuem pontos do domínio: a reta vertical x =1 e a reta inclinada y = –x –1. Como sabemos que só existem logaritmos para números maiores que zero, podemos dizer que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é formado por todos os pares (x,y) que obedecem a 1–x2–y2 > 0 . Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1. O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o conjunto de todos os pares de valores (x,y) contidos no interior de um círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo-se os pontos da circunferência (pois na circunferência temos x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está na figura 9, a seguir. Figura 10 – Domínio da função 14 Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 03 1. Determine e faça o esboço do domínio das funções abaixo: GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) b) Assim como no caso das funções de uma va- c) z(x,y) = 4x + y riável, em que um gráfico no plano –xy apre- d) senta, visualmente, a relação entre os valores 2 do par ordenado, também no caso das fun- e) ções de duas variáveis podemos expressar f) graficamente a relação entre o par ordenado g) z(x,y) = xln(y2 – x) de duas variáveis será uma superfície em R3. h) Noutras palavras, podemos dizer que assim (x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função como o gráfico de uma função de uma única i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z) variável é uma curva de equação f(x), o gráfico j) de uma função de duas variáveis será uma superfície S com equação z(x,y). Podemos ver l) a superfície S acima ou abaixo do domínio D da função. É importante notar que a superfície m) que representa o domínio da função, pode ser vista como uma projeção do gráfico de z(x,y) sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos um meio rápido e eficiente para estudar o comportamento de uma função e avaliar suas características. Vamos, agora, ver alguns exemplos de gráficos de funções de duas variáveis, (i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 15 (v) z(x,y) = e–x2 + ey2 (ii) z(x,y) = x – 3x2 (vi) (iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2 (vii) (iv) z(x,y) = ln (x2 + y2) (viii) z(x,y) = (x2 + y2)2 16 Cálculo II – Funções de várias variáveis ser descritos sobre o plano do papel por meio de um conjunto de curvas, em que cada curva corresponde a um corte do morro ou da montanha a uma dada altura, que fica registrada sobre a curva de nível correspondente. Na cartografia, então, os pontos de uma curva de nível é a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma altura, ou seja: h = constante. Dessa forma, podemos encarar as curvas de nível como tendo sido obtidas cortando-se o morro ou a montanha em fatias paralelas a um plano horizontal. Veja a figura abaixo: (ix) (x) O aspecto visual desses gráficos não esconde o fato de que é bem difícil traçá-los manualmente. Esses exemplos foram traçados com o auxílio de um programa de computador. Com os programas computacionais, podemos enxergar o comportamento do gráfico em qualquer região do domínio da função, mas nesses exemplos é preferível ver o comportamento em pontos próximos à origem, pois em várias aplicações torna-se importante saber o comportamento da função para valores pequenos das variáveis. De forma geral, é importante notar que, onde as curvas de nível estiverem mais próximas umas das outras, a superfície será mais inclinada, e onde as curvas forem mais espaçadas, a superfície será mais plana. Saindo um pouco da cartografia, podemos dizer que, de forma mais geral, uma curva de nível é obtida pela junção dos pontos correspondentes a um valor constante de uma dada grandeza. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f(x,y) = k, onde k é uma constante. Apesar do exposto acima sobre a dificuldade de traçado desses gráficos sem o auxílio computacional, já era possível traçá-los manualmente com o auxílio das curvas de nível, formadas pelas interseções do gráfico de uma função de duas variáveis com um plano horizontal. As curvas de nível são um recurso que foi tomado emprestado da cartografia; por meio delas, um morro ou uma montanha pode As figuras seguintes comparam os gráficos e as curvas de nível de algumas funções. 17 UEA – Licenciatura em Matemática Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = x2 – 3y2 Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 18 Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 04 1. Estabeleça a correspondência correta entre as equações e as curvas de nível de cada função dada por z = f(x,y). LIMITES E CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Assim como nas funções de uma única variável, os conceitos de limite e continuidade de uma função de várias variáveis estão intimamente ligados. Na teoria das funções de uma única variável, dizemos que a função é contínua num dado valor xo se no limite em que x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores que xo, ou por valores de x menores que xo. Se a função tender para valores diferentes conforme x se aproxime de xo pela direita ou pela esquerda, a função é dita descontínua. Vejamos os gráficos abaixo: a) f(x,y) = x2 – y2 b) c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2 d) f(x,y) = x2 + y2 1. 2. 3. Figura 17 – Continuidade de uma função de uma variável. 4. A definição de continuidade da função de uma variável diz que, se o limite de f(x), quando x tende a xo por valores maiores que xo, coincide com o limite de f(x) quando x tende a xo por valores maiores que xo, então f(x) é dita contínua em x = xo. Resumindo, uma função é considerada contínua quando os limites laterais são iguais, o que significa que a imagem f(x) de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os limites laterais são iguais também significa que o limite da função está bem definido em x = xo, ou seja, o limite existe em x = xo. 2. Uma chapa plana de metal está situada em um plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C) no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância da origem. a) Descreva as isotérmicas. b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C, ache a equação da isotérmica para uma temperatura de 200C. 3. Deve-se construir uma usina de incineração de lixo para atender a duas cidades. Cada cidade gostaria de maximizar sua distância à usina, mas, por motivos econômicos, a soma da distância de cada cidade à usina não pode exceder M quilômetros. Mostre que as curvas de nível para localização da usina são elipses. Por outro lado, a definição de função descontínua diz que a função possui uma descontinuidade em x = xo, se os limites laterais não são coincidentes. Dizer que os limites laterais não são coincidentes significa que se x tende a xo por valores maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e quando x tende a xo por valores menores que 19 UEA – Licenciatura em Matemática xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites laterais são diferentes, não se pode afirmar que a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo, tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situação, dizemos que o limite não está definido em x = xo, ou seja, não existe o limite da função em Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) pertencente ao domínio da função e contido em uma vizinhança circular centrada em Po aproximar-se de Po ao longo de qualquer caminho contido no círculo, também sua imagem, percorrerá pontos da superfície-imagem até alcançar o ponto B, imagem de Po. x = xo. Veja a figura 18 abaixo: Noutras palavras, se um ponto P, nas vizinhanças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um caminho totalmente contido sobre a superfície do gráfico da função, qualquer que seja o caminho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po) é o limite da função quando P tende a Po. Isso equivale a dizer que existe o limite da função em P = Po, pois para qualquer caminho que se use para chegar até Po, alcançaremos o mesmo valor final para f(P). Figura 18 – Descontinuidade de (f(P) = f(Po)). Simbolicamente: uma função de uma variável. A figura 18 acima ilustra os conceitos formulados sobre a descontinuidade de uma função de uma única variável. Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y) e Po=Po(xo,yo): Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferença de comportamento dos limites da função quando x tende a xo pela direita (por valores maiores que xo) e pela esquerda (por valores menores que xo). Assim como no caso da função de uma única variável, a existência do limite garante a continuidade de f(x,y) na região considerada. Por outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P= Po depender do caminho seguido para se atingir o ponto Po, o limite da função não estará definido em Po e, da mesma forma que para uma única variável, diremos que a f(x,y) é descontínua no ponto P = Po. Ou seja: se acharmos pelo menos dois caminhos diferentes, ao longo dos quais f(P) atinge limites diferentes, quando P se aproxima do mesmo ponto Po, então o limite não está definido em P = Po. Dizemos, então, que não existe o limite de f(P) em P = Po, e que Po é um ponto de descontinuidade da função. A noção de continuidade é essencial para o cálculo de funções de várias variáveis, pois, assim como no universo das funções de uma única variável, permite definir a existência das derivadas no contexto das funções de várias variáveis. A figura 20, a seguir, ilustra a idéia de descontinuidade de função de duas variáveis. A extensão dessas idéias para o campo das funções de duas variáveis é imediata. Consideremos a figura 19 abaixo: Figura 19 – Continuidade de uma função de duas variáveis. 20 Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 05 DERIVADAS PARCIAIS As definições dadas até aqui não são exclusivas das funções de duas variáveis, são comuns a todas as funções de várias variáveis. O fato de usarmos as funções de duas variáveis deve-se à facilidade de visualização que elas apresentam, pois podemos ver seus gráficos como superfícies em um espaço tridimensional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma função de 20 variáveis, por exemplo! Figura 20 - Descontinuidade da Um caso simples de função de mais de duas variáveis é o custo de um produto que envolva mais de dois ingredientes em sua fabricação, cada um com seu preço, o que se refletirá no preço de custo do produto. função de duas variáveis. Por exemplo: o custo final kf de um bolo de chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar, leite e fermento, dependerá dos preços desses ingredientes e pode ser escrito na forma funcional 1. Ache o limite a) b) kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6 c) em que A,B,C,D,E e F são constantes que representam as quantidades utilizadas de cada ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam os preços de cada ingrediente. d) Assim, fica claro que o custo final é uma função de seis variáveis, e) kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6). 2. Mostre que o limite não existe. Não podemos desenhar um gráfico dessa função, cujo domínio é hexadimensional, para podermos enxergar, de uma única vez, o comportamento dessa função. Analisemos o comportamento da função custo total quando o preço de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar, varia, enquanto os demais preços permanecem constantes. a) b) c) d) É razoável supor que o custo total variará com a mesma rapidez com que varia o preço do açúcar. Se, agora, o único preço variável for o do fermento, enquanto todos os demais preços estiverem estacionados, novamente podemos e) 21 UEA – Licenciatura em Matemática No exemplo anterior, a variação no custo de nosso bolo de chocolate, devido à variação no preço do açúcar, é dada por dizem que o custo total variará com a mesma taxa de variação do fermento, pois ele estará sendo o único responsável pela variação do custo final do bolo. ; Se em outra situação, os preços do açúcar e do fermento estiverem variando, e os preços dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa de variação do custo total será a soma da taxa de variação do preço do açúcar com a taxa de variação do preço do fermento, ingredientes responsáveis pela variação do custo final do produto. A taxa de variação de uma função de N variáveis, em relação a uma de suas varáveis xj em particular, é chamada derivada parcial da função em relação a xj, e é definida pela razão incremental: e a variação no custo do bolo, devido às variações combinadas dos preços do açúcar e do fermento, é dada por . Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Quando precisamos subir uma elevação, como um pequeno morro, sempre procuramos subir pelo lado menos íngreme, para poupar esforço. O formato geométrico da elevação é tal que o dispêndio de energia depende da encosta que escolhermos para subir. Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior, fazendo que cada metro percorrido na horizontal resulte numa grande elevação vertical, tornando a subida é mais abrupta. A figura 21 mostra um gráfico da função O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se derron), que significa D-redondo, em francês. No caso do bolo do exemplo anterior, a derivada parcial do custo final (kf) da iguaria em relação ao preço do açúcar (x4) e do fermento (x6) são definidas, respectivamente, como: , representando um morro. Podemos observar que, se subirmos o morro ao longo do eixo y, faremos um esforço maior, pois ao longo desse caminho, a elevação é mais pronunciada, mais íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x, o esforço será menor. Com esse exemplo, vemos que a taxa de variação de uma função de duas variáveis pode depender do caminho. Nesse caso, a taxa de variação da altura em relação à distância horizontal depende do caminho escolhido. Notemos que a definição de derivada parcial é similar à definição da derivada da função de uma única variável, envolvendo o limite da função em um dado ponto. Para que a derivada da função de N variáveis possa existir no ponto considerado, é necessário que exista o limite da função naquele ponto, ou seja, é preciso que a função seja contínua no ponto. O incremento diferencial (df) no valor da função de N variáveis, devido ao incremento no valor de apenas uma de suas variáveis, é dado por . De forma mais geral, o incremento diferencial (df) no valor da função de N variáveis, devido a incrementos em todas as suas variáveis, é dado por 22 Cálculo II – Funções de várias variáveis 1. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se y fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a x. 2. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se x fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a y. 3. No caso de N variáveis, para determinar , devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN) Figura 21 – Crescimento diferenciado da função. como se todas as variáveis diferentes de xj, fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN) em relação a xj. em cada direção. A distância entre as curvas de nível mostra que o crescimento desta função é mais veloz ao longo do eixo y, do que ao longo do eixo x. Exemplo 10 1. Ache as derivadas parciais de A análise das curvas de nível do morro também mostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y estão mais próximas umas das outras do que as atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a elevação é mais íngreme ao longo do eixo–y do que ao longo do eixo–x. f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy). Solução: Em relação a x, encaramos y como uma constante: Vemos, novamente, que a taxa de variação da altura em relação a x depende da direção que se segue até o alto do morro. De fato, se seguirmos um terceiro caminho, oblíquo, indicado pela seta pontilhada, a inclinação terá outro comportamento, diferente daqueles sobre x e y. . Em relação a y, encaramos x como uma constante Resumindo o que acabamos de discutir, se chamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) a inclinação da função z(x,y) em cada ponto dependerá da direção de deslocamento sobre o plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x, a tangente do ângulo de inclinação será dada por . Exemplo 11 Ache as derivadas parciais . Solução: Em relação a x, encaramos y como uma constante : e para um percurso ao longo do eixo–y, será dada por Em relação a y, encaramos x como uma constante: Como se Calculam as Derivadas Parciais de uma Função? Até aqui, estivemos preocupados com a construção conceitual das derivadas parciais; passemos, agora, a ver como se determina a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis. A regra é simples: 3) Ache as derivadas parciais de Solução: 23 UEA – Licenciatura em Matemática Em relação a cada variável, encaramos todas as demais como constantes, e efetuamos a derivação em relação à variável considerada: Regra da Cadeia Freqüentemente, nos problemas aplicados às ciências naturais, surge a dependência das variáveis, e da própria função, em relação ao tempo. Assim, em vez de acompanharmos apenas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos também acompanhar sua variação em relação ao tempo, ainda que esta dependência não esteja explícita na fórmula da função. Se o tempo não aparecer explicitamente na expressão matemática da função, mas soubermos como uma (ou mais) das variáveis se comporta em relação a ele, podemos determinar a variação temporal da função como um todo por meio da regra da cadeia: 1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f. a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1 Exemplo: b) f(x,y) = (x3 – y2)5 Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm, c) d) e) f(x,y) = xey + ysen(x) f) f(x,y) = ey + ln(xy) , e a regra da cadeia para achar a taxa à g) qual a corrente I (em ampères) varia. 2 SOLUÇÃO: 2 h) f(x,y,z) = 3x z + xy i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t) l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y Substituindo valores: m) V=80, 2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV = nKT, em que n é o número de moléculas do gás, V é o volume, T é a temperatura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que: 3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx) 24 , R= 40, e , obtemos: Cálculo II – Funções de várias variáveis TEMA 06 1. Verifique que DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y Analogamente ao que ocorre no caso de uma única variável, também para várias variáveis é possível determinar derivadas de ordem superior à primeira. b) c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x) O cálculo é realizado da mesma forma como é realizado na derivada ordinária: encarando todas as variáveis como constantes, menos a variável em relação à qual se está derivando. O símbolo para a derivada parcial de ordem m é d) e) 2. Uma função de x e y é dita harmônica se em todo o domínio de f. Prove Assim: que a função dada é harmônica. a) é a derivada parcial de segunda ordem b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x) de f em relação a x; 2 é a derivada parcial de terceira ordem 3. Se w(x,y) = e–c t sen(cx), mostre que para todo número real c. de f em relação a y; 4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda é a derivada parcial de quarta ordem de f em relação a w; a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx) e da mesma forma para outras ordens. b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at) É necessário salientar que, nas aplicações da matemática às ciências naturais, as derivadas mais importantes são as de segunda ordem, que dão origem à maior parte das equações diferenciais da física, da química, e da engenharia. 5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração C(x,y) em do po- luente em um ponto a x quilômetros da chaminé e à altura de y metros pode ser representada por Existe também o caso em que a função é derivada sucessivamente em relação a variáveis diferentes, a chamada derivada cruzada: Como as variáveis são inde- em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão de poluente. Suponha que pendentes entre si, podemos ver que: . 25 UEA – Licenciatura em Matemática Calcule e interprete e no ponto (2,5). 5. Mostre que qualquer função dada por satisfaz a equação de Laplace em três dimensões . 6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino de x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximado pela fórmula V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete a) b) 7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula , onde I é a corrente, V é a voltagem, R a resistência, L a indutância e uma constante positiva. Calcule e interprete e . 26 UNIDADE II Derivada direcional Cálculo II – Derivada direcional Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y, podemos escrever um vetor deslocamento TEMA 01 → y dy = dy^ Para o caso em que o movimento é oblíquo e recebe contribuições tanto do deslocamento ao longo de x quanto de y, podemos escrever um vetor deslocamento VETOR GRADIENTE E DERIVADAS DIRECIONAIS → x + dy^ y dr = dx^ Retomemos o exemplo da inclinação do morro Podemos resumir os três casos em uma só notação se enxergarmos dz como resultado de um produto escalar entre os deslocamentos e um novo vetor, de forma que dado pela equação na figura 22 abaixo. para deslocamentos sobre o eixo x. para deslocamentos sobre o eixo y. Figura 22 – Crescimento diferenciado para deslocamentos oblíquos. da função em cada direção. → O vetor ∇ z definido pelas igualdades acima é escrito como Vemos, nas curvas de nível, que é mais fácil subir ao longo do eixo x que ao longo eixo y. Podemos dizer que quando subimos ao longo do eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada dx percorrido é e chama-se gradiente da função z(x,y). A projeção do gradiente em uma direção cujo unitário^ u faz um ângulo com a direção do gradiente, fornece-nos a derivada da função na direção de^ u, a chamada derivada direcional, Du, como mostra a figura 23 a seguir : e se subirmos ao longo do eixo y, teremos acréscimos na subida dados por: Para uma direção oblíqua, em que não estaremos ao longo de nenhum dos eixos, teremos contribuições das duas variáveis: → → → Duf = ∇ f .^ u =|∇ f||^ u|cos(θ) = |∇ f| cos(θ) → Podemos notar da igualdade Duf = |∇ f|cos(θ) que o maior valor da derivada direcional ocorre quando θ = 0, ou seja, a maior derivada direcional é o próprio gradiente, o que nos revela uma importantíssima propriedade do gradiente: Note que para o movimento exclusivo sobre o eixo x, podemos escrever um vetor deslocamento → x dx = dx^ 29 UEA – Licenciatura em Matemática O gradiente aponta na direção de maior variação da função. a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de ^ x+^ y. Embora tenhamos apresentado o gradiente em um exemplo bidimensional, ele é tridimensional em sua forma mais geral: b) Em que direção T aumente mais rapidamente em P? c) Em que direção a taxa de variação é zero? 3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por V= x2 + 4y2 +9z2 Devemos também assinalar que o gradiente está definido para uma função f escalar; não existe gradiente de vetor, embora em várias aplicações seja importante saber o gradiente do módulo de um vetor. a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na direção de P para a origem. b) Ache a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P. Duas das aplicações mais importantes do gradiente na física estão na mecânica e no eletromagnetismo. Na mecânica, podemos definir a → força conservativa, F como simétrica ao gradiente da energia potencial mecânica W: → c) Qual a taxa máxima de variação em P? 4. A temperatura T(x,y,z) é dada por T = 4x2 – y2 +16z2. a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na direção de 2^ x + 6^ y – 3^ z.. → F = –∇ W No eletromagnetismo, de forma similar, define→ se o campo elétrico E gerado por um potencial elétrico φ: → b) Em que direção T aumenta mais rapidamente em P? c) Qual é esta taxa máxima de variação? → E = –∇ φ d) Em que direção T decresce mais rapidamente em P? e) Qual é esta taxa de variação? 1. Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; b) f(x,y) = x2ln(y); P(5,1), ^ u = –^ x + 4^ y c) f(x,y,z) = z2exy; P(–1,2,3), ^ u = 3^ x +^ y – 5^ z d) ; 2. Uma chapa de metal está situada no plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF. 30 Cálculo II – Derivada direcional O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no planoxy. A curva C pode ser escrita em termo de componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um parâmetro, como o tempo em problemas de mecânica, mas que, em geral, pode ser um ângulo ou outra grandeza conveniente. TEMA 02 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Muitas vezes, em problemas de aplicações, devemos achar os extremos de uma função de várias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos, como exemplo, o problema de acharmos o maior volume de uma caixa retangular sem tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total seja de 12m2. Podemos ver que a função a ser maximizada é o volume → x + y^ y = h(t)^ x + m(t)^ y o vetor Seja r (t) = x^ posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura 24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo), em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a → x + yo^ y = h(to)^ x + t = to, isto é, r (to) = xo^ ^ m(to) y. Definindo F de uma variável t por F(t) =f(h(t),m(t)), vemos que, quando t varia, obtemos valores f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, estamos considerando apenas os valores de f(x,y) que estão sobre pontos da curva C. Como f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) = f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to) = 0. Se encaramos F como uma função composta, então, pela regra da cadeia, V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área total seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12. Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma curva de nível para a função superfície da caixa, pois representa todos os pontos de coordenadas (x,y,z) para os quais o valor da função é constante e igual a 12. O método dos multiplicadores de Lagrange fornece-nos uma ferramenta eficiente para resolver problemas dessa natureza, com base no conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de gradiente de uma função. Comecemos com as funções de duas variáveis: em termos gerais, o vínculo aplicado à função, cujos extremos procuramos, restringe os valores das coordenadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de nível correspondente ao vínculo, ou seja, só nos interessaremos pelos valores da função que corresponderem a pontos que estiverem sobre a curva de nível que traduz o vínculo. Vejamos a figura Fazendo t = to, temos: → Isso mostra que o vetor ∇ f(xo,yo) é perpen→ dicular ao vetor r’(to) tangente a C. → Entretanto ∇ g(xo,yo) também é perpendicular a r’(to) porque C é uma curva de nível para g. → → Como ∇ f(xo,yo) e ∇ g(xo,yo) são perpendiculares ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto → → é, ∇ f(xo,yo) = λ∇ g(xo,yo) para algum λ. O número λ é chamado multiplicador de Lagrange. Voltemos, agora, ao problema da caixa com que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectivamente, da caixa em metros. → Exemplo 1 Achar a caixa sem tampa de maior volume com superfície total de 12m2. Solução: Figura 24 – Curva de nível C, Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12. representando g(x,y) =k, e a representação em → → termos do parâmetro t, mostrando que ∇f = λ∇g 31 UEA – Licenciatura em Matemática Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro→ curamos os valores de x, y, z e tais que ∇ V = → λ∇ g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condições, geramos as equações: , , e x2+y2 = 1 Elas resultam em: (8) 2x = 2x e 2xz+2yz+xy = 12, (9) 4y = 2y ou seja: (10) x2+y2 = 1 (1) yz = (2z+y) A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0, então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação (10) fornece x = ±1. Portanto os valores extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1), (0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses quatro pontos, temos: (2) xz = (2z+x) (3) xy = (2x+2y) (4) 2xz+2yz+xy =12 Para resolver esse sistema de equações, vamos lançar mão de alguns truques: observe que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) por z, os lados esquerdos dessas equações ficam iguais. Assim temos que: f (0,1) = 2 f(0,–1) = –2 f(1,0) = 1 (5) xyz = (2xz+xy) f(–1,0) = 1 (6) xyz = (2yz+xy) Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é f(±1,0) = 1. (7) xyz = (2xz+2yz) Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz = xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy = 2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos: 2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portanto y = 2z. Se substituirmos 1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada: x = y =2z em (4), teremos: 4z2+4z2+4z2 = 12 sabendo que x, y, e z são todos positivos, temos que z =1, x = 2 e y = 2. a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1 Exemplo 2 c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6 Determine os valores extremos da função f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25 e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1 Solução: f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35 b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100 Devemos achar os valores extremos de f (x,y) sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1. Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re→ → solvemos as equações ∇ f = λ∇ g, g(x,y) = 1, que podem ser escritas como: 2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada de 2m3 de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00, 32 Cálculo II – Derivada direcional respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo. 3. Deve-se construir um depósito com tampa, em forma de cilindro circular reto e com área de superfície fixa. Mostre que o volume é máximo quando h = 2R. 4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo com área máxima, com perímetro constante p, é um quadrado. 5. Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma de suas doze arestas seja um constante c. 6. Determine as dimensões da uma caixa retangular de maior volume se sua superfície total é dada como 64m2. 33 UNIDADE III Integrais de linha Cálculo II – Integrais de linha INTRODUÇÃO A integral de linha é uma generalização natural da integral definida TEMA 01 , em que o intervalo CAMINHOS E CURVAS [a, b] é substituído por uma curva, e a função integranda é um campo escalar ou um campo vetorial definido e limitado nessa curva. Seja g uma função vectorial que toma valores em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À medida que a variável independente t percorre I, os correspondentes valores da função g(t) percorrem um conjunto de pontos de IRn, que constitui o contradomínio da função. Se a função tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visualizar, geometricamente, esse contradomínio. As integrais de linha são de uma importância fundamental em inúmeras aplicações, nomeadamente, em ligação com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluidos, etc. No que se segue, começaremos por apresentar os conceitos de curva e de comprimento de uma curva; em seguida, daremos a definição de integral de linha. Depois de enunciarmos as propriedades fundamentais da integral de linha, veremos a sua aplicação ao cálculo do trabalho realizado por uma força. Exemplo 1 Seja g : IR → IR2 a função definida por: g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1) O contradomínio de g é a reta que passa pelo ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1). Se a função g é contínua em I, o contradomínio de g chama-se uma curva, mais concretamente, a curva descrita por g. Exemplo 2 A função f : IR → IR3 definida por: f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR. Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é, o seu contradomínio. 37 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 3 g (I) é a curva representada por g, e que g é uma representação paramétrica da curva C; como os pontos da curva são da forma g (t), com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designada por parâmetro da representação paramétrica considerada. Se g é um caminho definido num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do caminho g. é O traço da curva o segmento de reta de extremidade inicial (–1,0,2) e final (7,6,4). Exemplo 4 O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser representado, parametricamente, por , ou seja, é o traço da curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2). As propriedades da função g podem ser utilizadas para investigar as propriedades geométricas do seu gráfico. Em particular, a derivada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada com o conceito de tangência, tal como no caso das funções reais de variável real. Veja-se qual Exemplo 5 o comportamento do quociente A curva quando h → 0. Esse quociente é o produto do Tem por traço a cúbica vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal, o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor . Como já foi visto no Cálculo Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de quando h → 0, tem-se lim h→0 Observe que, elimidando-se o parâmetro t, obtemos , logo (x,y) pertence ao traço de γ se, e só se, g (t + h) − g (t ) = g ' (t ) h ,e, se g’(t) = 0, o vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente, como o vetor tangente à curva g no ponto g(t). . Definição 1 Chama-se caminho em IRn qualquer função contínua definida num intervalo (limitado ou não) de números reais I e com valores em IRn. O contradomínio de um caminho chama-se curva ou arco. Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C = 38 Cálculo II – Integrais de linha Definição 2 Exemplo 7 Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo caminho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t) existe e é diferente do vetor nulo, a reta que passa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t) designa-se por reta tangente a C no ponto g(t). A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.o quadrante, com o segmento de reta C2, que une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva seccionalmente de classe C1. Com efeito, trata-se de uma curva que não é de classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1, 1)), mas é a união de duas curvas de classe C1. Definição 3 Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um conjunto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 se existe um caminho de classe C1 que representa, parametricamente, C. Exemplo 6 O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3), define uma curva de classe C1 pois g’(t) = (1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1]. Lembrando Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar f é uma função de classe Cr num conjunto aberto S quando admite derivadas parciais contínuas até a ordem r em todos os pontos de S. No caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se que f é de classe Cr em S se existir uma função g de classe Cr num aberto que contenha S, tal que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) , diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr em I, qualquer que seja i=1,..., n. Definição 4 Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccionalmente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder ser decomposto num número finito de subintervalos em cada um dos quais o caminho é de classe C1. Uma curva diz-se seccionalmente de classe C1 se existir um caminho seccionalmente de classe C1 que a parametrize. Definição 5 Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que g é um caminho fechado se I é um intervalo fechado e limitado de extremos a e b e g(a) = g(b). Diz-se que o caminho não-fechado g é um caminho simples quando g é injetiva (isto é, g não assume o mesmo valor em quaisquer dois pontos distintos de I). O caminho fechado g diz-se um caminho simples se g for injetiva no interior de I. Um conjunto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou uma curva simples se existe, respectivamente, um caminho fechado ou um caminho simples que o representa parametricamente. Conclui-se que um caminho seccionalmente de classe C1 não pode deixar de ser contínuo. Exemplo 4 A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o quadrante, com o segmento de reta C2, que une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva seccionalmente de classe C1. 39 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 8 A função g : [0, 8π] → IR3 definida por g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que representa um arco de hélice cilíndrica. Entre as diferentes representações paramétricas de uma curva, interessa identificar aquelas que correspondem apenas a uma mudança de escala do parâmetro. Definição 6 Exemplo 9 Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos em IRn. Uma circunferência centrada na origem e de raio 2 tem por equação cartesiana a expressão x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação paramétrica dessa circunferência pode ser dada pela função f:[0, 2π] → IR2, com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemplo de um caminho simples e fechado. Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se existe uma função bijetiva e continuamente diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos com exceção dum número finito de pontos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os caminhos têm sentidos opostos; no primeiro caso, diz–se que a função φ preserva o sentido; no segundo caso, que inverte o sentido. Exemplo 11 Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com definidos no exemplo 10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) = 2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente diferenciável e tem derivada não nula em todo o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro lado, Exemplo 10 A curva representada na figura abaixo pode ser definida, parametricamente, pelo caminho α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras representações paramétricas da mesma curva são, por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com , com Pode-se, então, concluir que α e β são caminhos equivalentes com o mesmo sentido. λ(t) = (tgt,tg t). 3 40 Cálculo II – Integrais de linha TEMA 02 1. Determine as representações paramétricas das seguintes curvas de IR2 e indique quais são simples, fechadas ou seccionalmente de classe C1: COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS Como aplicação da integral definida em IR, já foi visto que o comprimento do gráfico C de uma função y = f(x), definida no intervalo [a, b], a) y = x , x∈[–1,1] 2 b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0) c) x2 + y2 = 2 pode obter-se pela fórmula d) 4x2 + y2 = 1 desde que f tenha derivada contínua em [a, b]. O objetivo desta seção é formalizar a noção de comprimento de uma curva. Esse conceito pode ser facilmente introduzido a partir da noção de comprimento de uma linha poligonal, definida como a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que a constituem. 2. Determine as representações paramétricas das seguintes curvas de IR3 : a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0) até (1,1,1). b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0) até (1, 1, 2). Como a figura abaixo sugere, um valor aproximado do comprimento da curva aí representada pode ser obtido marcando-se na curva um certo número de pontos e calculando-se o comprimento da linha poligonal cujos extremos são precisamente esses pontos. c) A curva definida pelas condições x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1. A intuição leva a supor que, se for inscrita na curva uma nova linha poligonal, pela adição de mais vértices, ter-se-á uma melhor aproximação do comprimento da curva. Por outro lado, também é claro que o comprimento de qualquer linha poligonal inscrita não deverá exceder o da curva, visto que uma linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos! É, pois, natural, definir o comprimento de uma curva como o supremo do conjunto dos comprimentos de todas as linhas poligonais inscritas na curva. Definição 7 Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se 41 UEA – Licenciatura em Matemática linha poligonal inscrita no caminho g a uma união de segmentos de reta cujos extremos são pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com t0τ0, tem-se Seja φ : I → J uma função bijetiva e continuamente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos, com exceção dum número finito de pontos t ∈I e α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Notese que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t) ≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t) = 0. Então, tendo em conta o teorema da mudança de variável na integral definida, deduzse sucessivamente, donde (2) caso τ < τ0, tem-se e as desigualdades 2 mantêm-se válidas. Por outro lado, uma vez que a norma é uma função contínua, tem-se (3) adicionalmente é válida a igualdade (4) Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua e φ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤ φ (b). pois, pelo teorema da média, Observação 1 s(t) diz-se a função comprimento de arco. O diferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt. Consequentemente, o enquadramento (2) e as igualdades (3) e (4) implicam que Observação 2 No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–se e, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b], conclui-se que s é uma função derivável do parâmetro t que verifica e . Observação 3 (5) No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 com s’(t) = ||g’(t)||, ∀t∈[a,b]. g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-se Assim, para a ≤ t ≤ b, e e, em particular, o comprimento de toda a curva é dado por Então, o comprimento s do caminho g é dado por 43 UEA – Licenciatura em Matemática função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sen t, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ). . Nesse caso, é fácil verificar que as extremidades da curva correspondem aos valores 0 e π do parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ). Observação 4 No caso de uma curva em IR2 ser dada explicitamente por uma função real de variável real y=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se a curva por meio das equações Por outro lado, f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et) e, portanto, . Nesse caso, admitindo que f tem derivada contínua em [a, b], tem-se . O comprimento pedido é então: , donde o comprimento s da curva é dado por , que é precisamente o resultado apresentado no início desta seção. Exemplo 12 Calcular o comprimento do arco da catenária definido parametricamente pela função g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t). Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento do arco da catenária será Hélice helicoidal. 1. Determinar o comprimento dos seguintes arcos de curvas: a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2] b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦ c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π] d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, e) Exemplo 13 Determinar o comprimento do arco da hélice helicoidal definido parametricamente pela 44 ⎦ Cálculo II – Integrais de linha TEMA 03 DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA Para tornar mais clara a definição de integral de linha, tenha-se em atenção o que segue. Seja C uma curva do plano unindo dois pontos A e B, definida parametricamente por um caminho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe Interpretação Geométrica da Integral de linha. C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1, . . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a Admitindo-se que a integral de linha uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < .. existe, vejamos como o seu cálculo se pode fazer, recorrendo a uma integral definida no intervalo [a, b]. . < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi = g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2, la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0, Uma vez que função comprimento de arco s(t) é contínua e derivável em [a, b], o teorema de Lagrange implica que ∀(x, y)∈D. (6) contendo a curva C, e suponhamos que aque- Considere-se, agora, a soma Σ n i=1 ϕ(Qi)Δsi em ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algum ξi∈]ti–1 , ti[. que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto Considerando a soma arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma de (6) que “faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e (7) altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σ ϕ(Qi)Δsi n i=1 conclui-se , constitui uma proximação da área da superfície cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao sendo de notar que o 2.o membro dessa igualdade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’ no intervalo [a,b] relativamente à decomposição considerada. eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil aceitar que, no caso de existir e ser finito o limite de Σi=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi n Como essa função é contínua, pode-se garantir a existência da sua integral de Riemann no intervalo [a, b], tendo-se, portanto, |ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a área de S. Ora, caso não dependa da decomposição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse limite é precisamente a integral de linha de ϕ sobre a curva C relativamente ao comprimento de arco s. Essa integral é designada, habitual- atendendo a (5). Passando ao limite ambos os membros de (7), deduz-se que mente, por integral de linha de 1.a espécie e representa-se por , isto é, . Como o limite do 1.o membro não pode deixar 45 UEA – Licenciatura em Matemática de ser As integrais de linha relativos ao comprimento , conclui-se que para calcular essa de arco surgem, muitas vezes, ligadas a proúltima integral bastará calcular a integral definida blemas relacionados com a distribuição de uma grandeza escalar (massa, carga elétrica, etc) ao longo de uma curva. Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a integral de linha Supondo, por exemplo, que um filamento com a configuração de uma curva em IR3 tem den- pode ser interpretada geo- sidade de massa por unidade de comprimento metricamente como a área de uma superfície. Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qualquer campo escalar definido em IRn e C uma qualquer linha do mesmo espaço, a integral de linha de 1.a espécie define-se como segue: dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z), que é a massa por unidade de comprimento no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do filamento é definida por Definição 8 Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domínio contém uma curva C representada parametricamente por um caminho g : [a, b] → IRn, seccionalmente de classe C1. A integral, O centro de massa do filamento é definido como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são determinadas pelo sistema de equações: , dado por diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativo ao comprimento de arco s definido pelo caminho g. Exemplo 14 Exemplo 15 Calcular a área da superfície lateral do sólido limitado superiormente pelo plano de equação z = 1–x–y e inferiormente pelo círculo Calcular o centro de gravidade do arco de semicircunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0} do plano z = 0. supondo que em todos os pontos de C a densidade de massa por unidade de comprimento Solução: é constante (ver figura a seguir). A curva que no plano XOY limita a superfície é a circunferência Solução: . Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas- Designando essa curva por C e representandoa parametricamente pelas equações sa por unidade de comprimento em cada ponto (x,y) do arco de semicircunferência C. Considerando a parametrização de C, , tem-se que a área pe- g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a massa de C é dada por dida é igual a 46 Cálculo II – Integrais de linha ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1, g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma No caso bidimensional, a curva C é habitualmente descrita por um par de equações paramétricas do tipo , Centro de gravidade de semicircunferência. Então, as coordenadas do centro de gravidade são dadas por: Isto é, e a integral de linha escreve-se na forma No caso tridimensional, a curva C é habitualmente descrita por três equações paramétricas do tipo . A definição de integral de linha que agora se apresenta é relativa a campos vetoriais e introduz a habitualmente designada integral de linha de 2.a espécie. , e a integral de linha Definição 9 escreve-se na forma Seja C uma curva representada parametricamente por um caminho g : [a, b] → IRn, seccionalmente de classe C1, e f um campo vetorial definido em C, que toma valores em IRn. Chama-se integral de linha de f ao longo do caminho g à integral Exemplo 16 (8) Seja f o campo vetorial definido por para todos os pares sempre que a integral da direita exista. (Na igualdade anterior, “.” representa a operação de produto interno.) (x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0. Observação 5 Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode B A ser expressa por ∫ f.dg; quando essa notação é usada, há de se ter em conta que a integral depende não só dos seus extremos, mas também do caminho que os liga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é costume representar a integral de linha de f ao longo de g pelo símbolo . Quando f e g são expressos pelas suas com47 UEA – Licenciatura em Matemática Calcular a integral de linha de f de (0,0) até (1,1), ao longo de cada um dos seguintes caminhos: vetorial, e ϕ o campo escalar definido por ϕ[g(t)] = f[g(t)].T(t), isto é, pelo produto interno de um campo vetorial f definido em C com 1. o segmento de reta de equações paramétricas x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1; o vetor unitário tangente . Então, 2. o caminho com equações paramétricas x = t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1. Solução: No caso da alínea (a), tem-se g’(t) = (1,1) e . Então, o produto interno f[g(t)].g’(t) é igual a Interpretemos fisicamente , donde : se f caracteri- zar o escoamento de um fluido (ou seja, se f for um campo de velocidades), f. T traduzirá a componente tangencial desse escoamento em cada ponto da linha C, constituindo uma medida do escoamento do fluido na direção de T, em cada ponto da referida linha; assim, se C for uma curva fechada, a integral de linha ∫Cf.dg = ∫Cf . Tds representará uma medida do escoamento do fluido ao longo da linha C, medida essa que se designa por circulação. No caso da alínea (b), tem-se g’(t) = (2t, 3t2), e A integral pedida será, portanto, Esse exemplo mostra que a integral, desde um ponto até outro, pode depender do caminho que liga os dois pontos. Repare, no entanto, que se efetuar o cálculo do segundo integral, utilizando a mesma curva, mas com uma outra representação paramétrica, por exemplo, 1. Calcule ∫Cf(x,y)ds, ∫Cf(x,y)dx e ∫Cf(x,y)dy em que: , com 0 = t = 1, tem-se a) e C é a curva parametrizada , e a integral é igual a por como anteriormente. Esse fato ilustra a , com t∈[0,4] b) f(x,y) = x3 + y e C é a curva y = x3, com 0 < x < 1. 2. Calcule as áreas das superfícies cilíndricas situadas entre as curvas do plano XOY e as superfícies indicadas: independência do valor da integral de linha relativamente à representação paramétrica utilizada para descrever a curva. Recordemos que tal propriedade já tinha sido observada quando se definiu a noção de comprimento de arco. Seja C uma curva de classe C parametrizada por g:[a,b] → IRn tal que g’(t) ≠ 0, para qualquer t∈[a,b] (uma curva nessas condições diz-se regular). Mostra-se seguidamente que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva regular não é mais do que a integral de linha de um certo campo escalar relativo ao comprimento de arco. Seja, então, f um campo 1 a) Curva y = x2, x∈[0,2] e superfície . b) Curva . e superfície c) Curva x2 + y2 = ax(a > 0) e superfície z = x – z. 3. Considere um fio com a forma da hélice de equações 48 Cálculo II – Integrais de linha Calcule a massa do fio, sabendo que em cada ponto (x,y,z) a densidade linear do fio é dada por . 4. Calcule a massa do segmento de curva y = ln x que une os pontos (1,0) e (e,1) se a densidade linear em cada ponto for igual ao quadrado da abscissa do ponto. 5. Calcule ∫C4(xy2)dx – 3x4dy, em que C é a linha poligonal que une os pontos (0,1),(–2,1) e (–2,0). 6. Calcule , em que C é a circunferência x2 + y2 = 4, orientada no sentido positivo. 49 UNIDADE IV Integrais múltiplas Cálculo II – Integrais múltiplas sor assistente. Em 1859, morreu Dirichlet, e Riemann foi nomeado professor titular para substituí-lo. UM BREVE HISTÓRICO O período de 1851 a 1859, do ponto de vista econômico, foi o mais difícil da vida de Riemann, mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos. RIEMANN Riemann era um matemático de múltiplos interesses e mente fértil, contribuindo não só para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos números como também para o da análise matemática. Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma função por meio da definição do que atualmente chamamos Integral de Riemann. Nasceu no dia 17 de setembro de 1826, em Breselenz, Alemanha. Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instrução, estudando em Berlim e Göttingen, mas em condições muito modestas por causa de sua saúde frágil e de sua timidez. Durante uma conferência-teste, generalizou todas as geometrias, euclidianas e não-euclidianas, estabelecendo a Geometria Riemanniana, que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein. Em 1859, publicou seu único trabalho em Teoria dos Números: um artigo dedicado ao Teorema dos Números Primos, no qual, partindo de uma identidade notável descoberta por Euler, chegou a uma função que ficou conhecida como Função Zeta de Riemann. Nesse artigo, provou várias propriedades importantes dessa função, e enunciou várias outras sem prová-las. Durante um século, depois de sua morte, muitos matemáticos tentaram prová-las e acabaram criando novos ramos da análise matemática. Aos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio do pai, para a Universidade de Göttingen, estudar teologia com o objetivo de tornar-se clérigo. Mais tarde, pediu permissão ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemática, transferindo-se, um ano depois, para a Universidade de Berlim, onde atraiu o interesse de e Jacobi. Em 1849, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor em 1851. Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funções complexas. Nessa tese, encontram-se as chamadas equações diferenciais de CauchyRiemann – conhecidas, porém, antes do tempo de Riemann – que garantem a analiticidade de uma função de variável complexa e o produtivo conceito de superfície de Riemann, que introduziu considerações topológicas na análise. Riemann morreu de tuberculose, no dia 20 de Julho de 1866, em Selasca, na Itália, durante a última de suas várias viagens para fugir do clima frio e úmido do norte da Alemanha. Três anos mais tarde, foi nomeado Privatdozent, cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadêmica. Com a morte de Gauss em 1855, Dirichlet foi chamado a Göttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann, primeiro com um pequeno salário, e depois com uma promoção a profes53 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 01 INTRODUÇÃO As integrais múltiplas ou integrais de funções de várias variáveis são uma extensão natural do conceito de integral de funções de uma variável. As integrais múltiplas contribuíram bastante para o engrandecimento do cálculo e sua possível atuação em diversas ciências. O cálculo, por meio das Integrais Múltiplas, tem diversas aplicações. Entre as diversas aplicações das Integrais Múltiplas, temos: o cálculo de volume de sólidos, o cálculo do centro de massa e momento de inércia de um corpo, etc. INTEGRAIS DUPLAS Seja f(x, y) uma função definida num domínio D do plano. Vamos supor que D seja limitado, de sorte que ele estará todo contido num retângulo R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, Como ilustra a Fig. 6.1., vamos dividir os lados horizontais desse retângulo em m subintervalos iguais de comprimentos . De igual modo, dividimos os lados verticais em n subintervalos iguais, de comprimentos . Sejam: x0 = a < x1 < x2 < ........ < xm = b e y0 = c < y1 < y2 < ........ < yn = d os pontos dessas divisões. Traçando, por esses pontos, retas paralelas aos eixos de coordenadas, o retângulo R fica dividido em sub-retângulos Rij, i = 1,..., m e j = 1, ..., n, cada um deles com área ΔxΔy. Agora, tomamos em cada sub-retângulo Rij um ponto Pij = (ξi,ηj), como ilustra a Fig. 5.1 e formamos uma soma, chamada de soma de Riemann: em que tomamos f(ξi,ηj) como zero quando o ponto Pij estiver fora do domínio D. Quando Δx e Δy tendem a zero, ou m e n tendem a infinito, pode acontecer que essa soma tenha um limite determinado. Isso ocorrendo, esse limite é chamado a integral de f sobre o domínio D, que se indica pelo símbolo: ∫∫Df(x,y)dxdy Portanto, por definição, ∫∫Df(x,y)dxdy = (1) 54 Cálculo II – Integrais múltiplas lelepípedos cujas bases são os sub-retângulos Rij e cujas alturas correspondentes são os valores f(ξi,ηj). Quando Δx → 0 e Δy → 0, essa soma vai-se aproximando mais e mais do que podemos chamar o volume do sólido delimitado pelo domínio D, pelo gráfico de f e pelas retas que passam pela fronteira de D e são paralelas ao eixo Oz. Podemos, pois, definir o volume desse sólido como a integral em (1). Fig. 6.1 A existência desse limite depende do comportamento da função f e das propriedades do domínio D. Vamos supor que a fronteira de D seja constituída de um número finito de arcos do tipo: x = x(t), y = y(t) α ≤ t ≤ β, em que x(t) e y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas num intervalo fechado [α,β], satisfazendo a condição x’2 + y’–2 ≠ 0. Um tal arco é dito regular e uma fronteira constituída de um número finito de arcos regulares é chamada fronteira regular. Quando a função f é contínua num domínio compacto (fechado e limitado), com fronteira regular, a integral dupla e (1) existe. Esse resultado é suficiente para os propósitos do nosso curso. Fig. 6.2 Quando f for positiva em alguns pontos e negativa em outros, a integral em (1) consistirá de duas partes: uma parcela positiva, igual ao volume do sólido correspondente ao subconjunto de D onde f é positiva, e uma parcela negativa, igual, em valor absoluto, ao volume do sólido correspondente ao subconjunto de D onde f é negativa. Observe-se que, se um sub-retângulo Rij contiver pontos de D e pontos fora de D, ele contribuirá ou não à soma (1) conforme Pij seja escolhido em D ou fora, respectivamente. A área de uma figura plana D, com fronteira regular, é definida como sendo a integral da função f(x, y) = 1 em D, isto é, Essa escolha não afeta o valor da integral, que é o limite da soma quando os lados dos subretângulos Rij tendem a zero. Esse fato decorre da hipótese que fazemos de que a fronteira regular tem “área nula”, portanto em nada contribui à integral. Existem fronteiras não regulares e bastante complexas para terem “área positiva” ou “medida positiva”, como se diz. A= ∫∫Ddxdy Essa definição é perfeitamente natural, já que as somas de Riemann em (1), com f(x, y) = 1, são áreas de polígonos que vão “aproximando” mais e mais a figura D, à medida que Δx e Δy tendem a zero (Figs. 6.3). Para interpretar geometricamente o significado da integral dupla, vamos supor, por um momento, que a função f seja positiva. Então, o gráfico de z = f(x, y) é uma superfície que está acima do plano Oxy, como ilustra a Fig. 6.2. Podemos compreender que a soma de Riemann em (1) é a soma dos volumes dos para55 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 INTEGRAIS REPETIDAS Veremos que o cálculo das integrais duplas reduz-se ao cálculo de integrais simples, graças a um teorema que se demonstra nos cursos de análise. Vamos considerar uma versão simplificada desse teorema, suficiente para os propósitos de nosso curso. Figs 6.3 Como aplicação imediata da definição de área, podemos verificar que a área A da figura delimitada pelo gráfico de uma função f(x) ≥ 0, o eixo Ox e as retas x = a e x = b (Fig. 6.4) é dada por Vamos supor que o domínio d da função f consista dos pontos (x, y), com a ≤ x ≤ b e y1(x) ≤ y ≤ y2(x), onde y = y1(x) e y = y2(x) sejam funções contínuas no intervalo [a, b], como ilustra a fig. 6.5. Pode-se demonstrar, então, que a integral dupla de f sobre d é o resultado de duas integrações sucessivas: b A = ∫ af(x)dx De fato, de acordo com a definição acima e (2) abaixo, A= (2) ∫∫Ddxdy = Fig. 6.4 Fig. 6.5 Podemos escrever a integral repetida do segundo membro de (2) na forma ou ainda Quando f é positiva, a integração em y, que aparece no segundo membro de (2), representa a área A(x) de uma seção do sólido delimitado pelo domínio D, pela superfície z = f(x, y) e pelas retas paralelas a Oz que passam pela fronteira de D. O produto A(x)dx representa o 56 Cálculo II – Integrais múltiplas volume de uma “fatia” desse sólido, como ilustra a Fig. 6.6. Quando integramos x, obtemos o volume total do sólido. Integrando primeiro em y, de y = 0 a , obtemos: ∫∫D cos(y y= )dxdy Em seguida integramos em x, de x = 0 a x = : = =1– = Outro modo de calcular a integral consiste em integrar primeiro em x e depois em y, como ilustra a Fig. 6.7 b Fig. 6.6 O resultado expresso em (2) pode ser formulado trocando-se os papéis das variáveis x e y. Para isso, devemos supor que D possa ser descrito como o conjunto dos pontos (x, y) com c ≤ y ≤ d e x1(y) ≤ x2(y), onde x = x1(y) e x = x2(y) sejam funções contínuas no intervalo [c, d]. Então, a integral dupla da função f é o resultado de se integrar primeiro em x e depois em y: Fig.6.7 b (3) ∫∫D Observe-se que para a validade, tanto de (2) como de (3), devemos supor que f seja função contínua no domínio D e que este inclui sua fronteira, sendo, então, um conjunto compacto. )dxdy= Esse procedimento não é bom porque esta última integral em x é bem mais complicada de se calcular (integral por partes). Exemplo 1 Calcular a integral Exemplo 2 Calcular a integral da função f(x, y) = x no domínio D formado pelas retas y = 0, x + y = 2 e a parábola x = y2 (Fig.6.8). , onde D é o domínio delimitado pelas retas y = 0, x = y= cos(y e pela curva Nesse caso, é conveniente integrar primeiro em relação a x: (Fig. 6.7a) = = = Fig. 6.7 a 57 UEA – Licenciatura em Matemática = . É claro que continuando essas integrações vamos encontrar, sucessivamente, ,.............., , Fn(x) é o resultado de integrar f(t)n + 1 vezes entre 0 e x. Como vimos, nos exemplos anteriores, a escolha da ordem de integração no cálculo de uma integral dupla é ditada pela conveniência em cada caso. Fig.6.8 Observação: Poderíamos começar integrando primeiro em y, mas é um modo mais difícil. É mais interessante descobrir o modo mais fácil de resolver a integral dupla, ou começando por x ou por y, depende de cada caso. 1. Em cada um dos exercícios, de a a g, são dados um domínio D e uma função f. Calcule a integral dupla de f sobre D em cada caso. Exemplo 3 Integrar uma função f(t), entre t = 0 e t = x, n vezes é mostrar que o resultado pode ser expresso com uma única integração. Vamos escrever F0(x)= F2(x) = Fn(x) = x ∫ 0f(t)dt1, F1(x) x ∫ 0F1(t)dt, ........., a) D é o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e f(x,y) = x2 + y2 b) D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} e f(x, y) = x2y x ∫ 0F0(t)dt1, = c) D é o quadrado de vértices (±1,0) e (0,±1), e f(x, y) = x.ey x ∫ 0Fn – 1(t)dt d) D é o domínio delimitado pelas retas x = y, x = –1 e y = 1, e f(x, y) = x.y Note-se que x s F1(x) = ∫ 0 ds ∫ 0 f(t)dt = ∫∫Df(t)dtds, onde D é o triângulo, no plano t, s, delimitado pelas retas t = s, t = 0 e s = x. e) D é o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 e f(x, y) = x f) D é o domínio delimitado pela parábola y = x2, pelo eixo Ox e pela reta x =1 e f(x, y) = x.ey Integrando primeiro em s, depois em t, obtemos: x x x F1(x) = ∫ 0 f(t)dt ∫ 1 ds = ∫ 0 f(t)(x – 1)dt, usando esse resultado, podemos calcular F2(x) de maneira análoga: g. D é o domínio delimitado pela parábola y = x2, o eixo Oy e a reta y = e f(x, y) = 2. Calcule a integral dupla ∫R∫(2x – 3y)dA se R é a região que consiste de todos os pontos (x, y), tais que –1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3 . Com esse resultado, podemos calcular F3(x) pelo mesmo método de trocar a ordem das integrações: 3. Encontre o volume do sólido limitado pela su58 Cálculo II – Integrais múltiplas perfície f(x, y) = 4 – x=3 os planos TEMA 03 e y = 2 e os três planos coordenados. INTEGRAIS TRIPLAS 4. Encontre, por integração dupla, a área da região no plano xy, limitado pelas curvas y = x2 e y = 4x – x2. 5. Determine o valor da integral dupla A extensão da integral dupla à integral tripla é análoga à extensão da integral simples à integral dupla. O tipo mais simples de região em R3 é um paralelepípedo retangular, limitado pelos seis planos: x = a1 x = a2 y = b1 y = b2 z = c1 z = c2 com a1< a2 , b1< b2 e c1< c2. . 6. Encontre o valor da integral ∫R∫sen xdA, R é a região limitada pelas retas y = 2x, y = , e x = π. 7. Encontre o volume do sólido abaixo do plano z = 4x , e acima da circunferência x2 + y2 = 16 no plano xy. Seja f uma função de três variáveis e suponhamos que f seja contínua em tal região D. Uma partição dessa região é formada dividindo D em sub-regiões retangulares traçando planos paralelos aos planos coordenados. Denotemos tal partição por Δ e suponhamos que n seja o número de sub-regiões. Seja ΔiV a medida do volume da i-ésima sub-região. Escolhemos um ponto arbitrário (ξi,γi,μi) na i-ésima subregião. Formamos a soma: Propriedades da Integral Dupla Vamos relacionar aqui várias propriedades das integrais duplas, que são comuns às integrais simples. A linearidade da integral expressa-se por meio das seguintes equações: 1. ∫∫Dc.f(x,y)dxdy = c∫∫Df(x,y)dxdy, 2. ∫∫D[f(x,y) + g(x,y)]dxdy = (1) ∫∫Df(x,y)dxdy + ∫∫Dg(x,y)dxdy, A norma ||Δ|| da partição é o comprimento da maior diagonal das sub-regiões. As somas da forma (1) terão um limite quando a norma da partição tender a zero, para qualquer escolha dos pontos (ξi,γi,μi), se f for contínua em D. Denominamos esse limite de integral tripla de f em D e escrevemos: onde c é constante, f e g são funções contínuas num domínio compacto D com fronteira regular. Se D = D1∪D2, onde D1 e D2 são domínios disjuntos ou só têm em comum um número finito de arcos regulares, então 3. ∫∫D1∪D2f(x,y)dxdy = = ∫∫D1f(x,y)dxdy + ∫∫D2f(x,y)dxdy Assim, a integral tripla é igual a uma integral iterada-tripla. Quando D é o paralelepípedo retangular descrito anteriormente e f é contínua em D, temos Exemplo 1 Calcule a integral tripla 59 UEA – Licenciatura em Matemática Construímos planos paralelos aos planos coordenados, formando um conjunto de paralelepípedos retangulares que cobrem completamente D. Os paralelepípedos que estão totalmente dentro de D ou na fronteira de D formam uma partição Δ de D. Escolhemos um sistema de numeração de tal forma que sejam numerados de 1 a n. A norma ||Δ|| dessa partição de D é o comprimento da maior diagonal de qualquer paralelepípedo que pertence à partição. Seja ΔiV a medida do volume do i-ésimo paralelepípedo. Seja f uma função de três variáveis, que é contínua em D e seja (ξi, γi, μi) um ponto arbitrário no i-ésimo paralelepípedo. Formando a soma se D é o paralelepípedo retangular limitado pelos planos x = π, y = z= , e os planos coordenados. Solução: = = = = (2) = Se as somas da forma (2) têm um limite quando ||Δ|| tende a zero, e se esse limite é independente da escolha dos planos que formam a partição e as escolhas dos pontos arbitrários (ξi, γi, μi) em cada paralelepípedo, então esse limite é chamado a integral tripla de f em D, e escrevemos: = = = Agora, discutiremos como definir a integral tri- (3) Em cálculo avançado, podemos demonstrar que uma condição suficiente para que o limite em (3) exista é que f seja contínua em D. Além disso, sob a condição imposta sobre funções φ1, φ2, F1, F2 de que sejam suaves, também podemos dizer que a integral tripla pode ser calculada por meio da integral iterada pla de uma função contínua de três variáveis numa região em R3, diferente de um paralelepípedo retangular. Seja D a região tridimensional fechada, limitada pelos planos x= a e x = b, pelos cilindros y = φ1(x) e y = φ2(x) e pelas superfícies z = F1(x,y) e z = F2(x,y), onde as funções φ1, φ2, F1, F2 são curvas (têm derivadas ou derivadas parciais contínuas). Veja Fig. 7.0. Assim como a integral dupla pode ser interpretada como a medida da área de uma região plana quando f(x, y) =1 em R1, a integral tripla pode ser interpretada como a medida do volume de uma região tridimensional. Se f(x, y, z) = 1 em D , então a Eq. (3) transforma-se em e a integral tripla é a medida do volume da região D. Exemplo 2 Encontre o volume do sólido limitado pelo cilin- Fig.7.0 60 Cálculo II – Integrais múltiplas dro x2 + y2 = 25, o plano x + y + z = 8 e o plano xy. Solução: Os limites de z para a integral iterada são de 0 a 8 – x – y (o valor de z no plano). Os limites de y são obtidos da fronteira da região no plano xy, que é a circunferência x2 + y2 = 25. Então, os limites de y são de – . Os limites de x são de –5 a 5. Se V unidades cúbicas é o volume procurado, temos: , portanto a massa é V= = 1. Calcule a integral iterada: = a) = b) 2. Calcule a integral tripla de se D é a re- gião limitada pelo tetraedro formado pelo plano 12x + 20y + 15z = 60 e os planos coordenados. = 200π, portanto o volume é 200π unidades cúbicas. 3. Calcule a integral tripla de se D é a região limitada pelo tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0) e (1, 0, 1). Exemplo 3 Encontre a massa do sólido acima do plano xy limitado pelo cone 9x2 + z2 = y2 e o plano y = 9 se a medida da densidade do volume em qualquer ponto(x, y, z) no sólido é proporcional à medida da distância do ponto ao plano xy. 4. Calcule a integral tripla de (xz + 3z)dV se D é a região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e os planos x + y =3, e z = 0 e y = 0 acima do plano xy. 5. Calcule as integrais repetidas abaixo: Solução: Seja M quilogramas a massa do sólido e seja a distância medida em metros. Então, a densidade do volume em qualquer ponto (x, y, z) no sólido é kz kg/m3, em que k é uma constante. Assim, se (ξi, γi, μi) é qualquer ponto no iésimo paralelepípedo retangular da partição, temos: a) b) c) Calcule a integral de f sobre o domínio D em cada um dos Exercícios de 6 a 8. Sempre que possível, esboce o domínio D. 61 UEA – Licenciatura em Matemática 6. f (x, y, z) = x.y2z3, D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 TEMA 04 7. f (x , y, z) = x + y + z e D é o tetraedro delimitado pelos planos de coordenadas e pelo plano x + y + z + 1 = 0. MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS DUPLAS 8. f (x, y, z) = (x + y + z + 2)–3 e D é o tetraedro delimitado pelos planos de coordenadas e pelo plano x – y + z = 1. Seja f uma função contínua num domínio compacto D, com fronteira regular. Vamos supor que D seja dividido em n subdomínios D1, D2,........,Dn. Por meio de um número finito de arcos regulares, como ilustra a Fig. 1. Em cada um dos subdomínios Di, escolhemos um ponto arbitrário Pi e formamos a soma Nos Exercícios 9 e 10, calcule, por integração tripla, o volume do sólido dado. 9. Sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0, z = x e pela superfície cilíndrica z = 1 – y2. 10. Sólido delimitado pelos planos z = 0, z = 5 + x + y e pelas superfícies cilíny2 = 1. dricas y2 = x e 11. Usando integração tripla, encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado inferiormente pelo plano xy, acima pelo plano z = y e lateralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x = 1. 12. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos cilindros x2 + y2 = 4 e x2+ 2z = 4 e pelos três planos coordenados. Onde A(Di) representa a área do subdomínio Di. Em seguida, consideramos toda uma seqüência de divisões do domínio D, a cada uma das quais associamos uma soma Sn da maneira descrita acima. Seja dn o maior dos diâmetros dos subdomínios D1, D2,........,Dn da divisão que fornece a soma Sn. Vamos supor que à medida que n cresce, tendendo a infinito, o diâmetro máximo dn tende a zero. Então, a soma Sn tende à integral de f sobre D. Não nos vamos ocupar da demonstração desse resultado: vamos apenas usá-lo em várias aplicações. 13. Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide elíptico 3x2 + y2 = z e abaixo do cilindro x2+ z = 4. 14. Encontre o volume do sólido limitado pelo elipsóide . 15. Determine a massa do sólido limitado pelos cilindros x = z2 e y = x2 , e os planos x = 1, y = 0 e z = 0. A densidade de volume varia com o produto das distâncias aos três planos coordenados e é medida em kg/m2. 16. Calcule a massa do sólido limitado pela superfície z = x.y e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 0. A densidade de volume em qualquer . ponto é ρkg/m3 e • Coordenadas Polares Como primeira aplicação do resultado anterior, vamos considerar a integração de uma função f em coordenadas polares r e θ. Vamos supor f já expressa como função de r e θ, num domínio D, dado na forma 17. Determine, por integração tripla, o volume do sólido formado pela intersecção da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 6 com o parabolóide z ≥ x2 + y2. r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β 62 Cálculo II – Integrais múltiplas Supomos ainda que essas funções sejam contínuas, com derivadas contínuas e jacobiano diferente de zero em D’: Nesse caso, é conveniente dividir o domínio D em subdomínios Di pelos círculos R = const. e as retas θ = const. Dessa maneira, a área de Dié aproximadamente dada por A(Di) ≅ Δ ∼ r(rΔθ) Já que Δr e r Δθ são os lados AB e AC de D (Fig. 2). Com esse valor de A(Di), a soma Sn em Fig.1 Vamos imaginar, no cálculo integral (1), que o domínio D seja dividido em subdomínios pelas curvas u = const. E v = const.. Um subconjunto Di dessa divisão será delimitado pelas curvas u = u0 , u = u0 + Δu, v = v0 e v = v0 + Δv. Vamos fazer um cálculo aproximado de sua área, considerando valores pequenos de Δu e Δv. é aproximadamente igual a Quando passamos ao limite, com n → ∞, essa soma deve convergir para a integral repetida Sejam (a) P = P(u, v) = (x(x, v), y(u, v)) e P0 = (x0, y0) = (x(u0, v0), y(u0, v0)) Isso, de fato, ocorre, e essa integral é igual à integral dupla de f sobre D: Aproximaremos a área de Di pela do paralelo- . gramo, cujos lados são os vetores Uma demonstração rigorosa desse resultado é feita nos cursos de Análise e está fora dos objetivos do nosso curso. . Note-se que esses vetores são tangentes, no ponto P0, às curvas v = v0 e u = u0, respectivamente. Essa área é o módulo do produto vetorial desses vetores: Exemplo 1 Vamos calcular a integral de f(x, y) = no círculo x2 + y2 ≤ R2. Seria muito trabalhoso efetuar essa integração em coordenadas cartesianas. No entanto o cálculo é imediato em coordenadas polares, pois r = , logo: (2) Isso sugere que a integral dupla em (1) seja dada pela integral dupla de f|j| sobre D’, isto é, = ∫∫Df(x,y)dxdy = ∫∫Df[x(u,v), y(u,v)]|j|dudv = • Mudança Geral de Variáveis Vamos considerar, agora, o problema geral de mudança de variáveis numa integral dupla, ∫∫Df(x,y)dxdy (4) (1) Esse resultado também é verdadeiro e pode ser demonstrado com auxílio do teorema da Média( veja exercício adiante). O sinal do jacobiano, por sua vez, está ligado às orientações dos domínios D e D’: se J>0, então quando um ponto P percorre a fronteira de D no sentido Vamos supor que o domínio D do plano x, y seja transformado num domínio D’ do plano u, v por uma aplicação biunívoca dada pelas equações de transformação x = x(u, v) (3) De fato, essa fórmula é correta. Não vamos demonstrá-la aqui, mas apenas nos contentar com o argumento heurístico que demos acima. Esse argumento sugere ainda que o módulo do jacobiano é o limite das áreas de Di e do subdomínio correspondente D’i do plano u, v, quando Δu e Δv tendem a zero: = = e y = y(u, v) 63 UEA – Licenciatura em Matemática anti-horário, sua imagem Q percorre a fronteira de D’ no mesmo sentido anti-horário; mas se j<0, então enquanto P percorre o contorno de D no sentido anti-horário, Q estará descrevendo a fronteira de D’ no sentido horário. TEMA 05 A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA Veremos, agora, diversas aplicações práticas com integrais duplas e triplas. Aplicações que revolucionaram em muito o cálculo e outras ciências como a engenharia, a arquitetura, a física, etc. Exemplo 2 Note-se que, na integral (a), o fator r que aparece no integrando é precisamente o jacobiano da transformação x = r.cosθ, y = r.senθ: • Centro de Massa e Momento de Inércia Usamos integrais simples para encontrar o centro de massa de uma lâmina homogênea. Ao usarmos integrais simples, podemos considerar apenas lâminas de densidade de área constante (exceto em casos especiais). Mas, com integrais duplas, podemos encontrar o centro de massa de uma lâmina homogênea ou não homogênea. Esse resultado está de acordo com a fórmula geral (3). Exemplo 3 Para calcular a integral , Suponhamos uma lâmina com a forma de uma região fechada R no plano xy. Seja ρ(x,y) a medida da densidade de área da lâmina em um ponto qualquer (x, y) de R, onde ρ é contínua em R. Seja Δ uma partição de R em n retângulos. Se (ξi,γi) é um ponto qualquer no iésimo retângulo que tem uma área de medida ΔiA, então uma aproximação da medida da massa do i-ésimo retângulo é dada por ρ(ξi,γi) ΔiA, e a medida da massa total da lâmina é aproximada por: D = {(x, y): Primeiro, fazemos a mudança de coordenadas x = au, y = bv. Em conseqüência, I = a.b∫∫u2 + v2 ≤ 1(u2 + v2)dudv Em seguida, introduzimos coordenadas polares: u = r.cosθ, v = r.senθ, logo ρ(ξi,γi)ΔiA Tomando o limite da soma acima quando a norma de Δ aproxima-se de zero, expressamos a medida M da massa da lâmina por Nos exercícios de 1 a 5, use coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. 1. ∫∫x2 + y2 < R2 dxdy 2. ∫∫x2 + y2 < R2 e–x –y dxdy 3. ∫∫Dxydxdy, D: 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 4. ∫∫Dxydxdy, D: a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, x ≥ 0, y ≥ 0 5. ∫∫Dxydxdy, D: 2 M= (1) A medida do momento de massa do i-ésimo retângulo em relação ao eixo x é aproximada por γiρ(ξi,γi)ΔiA. Então, a soma das medidas dos momentos de massa dos n-retângulos em relação ao eixo x será aproximada pela soma de n tais termos. A medida Mx do momento de massa em relação ao eixo x da lâmina inteira é dada por 2 (2) 64 Cálculo II – Integrais múltiplas Analogamente, a medida My de seu momento de massa em relação ao eixo y é dada por (3) Para encontrar o centro de massa, observemos que, devido à simetria, esse deve estar na reta y = x. Portanto, se encontramos –x, teremos também –y. Usando a fórmula (3), temos O centro de massa da lâmina é denotado pelo –– ponto (x , y) e e . Exemplo 1 Uma lâmina na forma de um triângulo isósceles tem uma densidade de área que varia com o quadrado da distância do vértice do ângulo reto. Se a massa é medida em kg e a distância em metros, encontre a massa e o centro de massa da lâmina. = k∫R∫ x . (x2 + y2)dA – = Como M x = My, temos M x M= obtemos de massa está no ponto Solução: . Portanto o centro . O momento de inércia de uma partícula, cuja massa é mkg, em relação a um eixo, define-se como mr2kg – m2, em que r m é a distância perpendicular da partícula ao eixo. Escolhemos os eixos coordenados de tal forma que o vértice do ângulo reto na origem e os lados de comprimento a metros do triângulo estejam ao longo dos eixos coordenados (veja Fig. anterior). Seja ρ(x,y) o número de kg/m2 da densidade da lâmina no ponto (x, y). Então, ρ(x,y) = k.(x2 + y2), onde k é uma constante. Portanto, se M kg é a massa da lâmina, da fórmula (1) temos: =k ; e como Se temos um sistema de n partículas, o momento de inércia do sistema define-se como a soma dos momentos de inércia de todas as partículas. Isto é, se a i-ésima partícula tem uma massa de mikg e está a uma distância de γi m do eixo, então I kg-m2 é o momento de inércia do sistema, onde (4) ∫∫R(x2 + y2)dA Estendendo esse conceito de momento de inércia a uma distribuição contínua de massa em um plano, tal como barras ou lâminas, por processos semelhantes aos usados anteriormente, temos a definição abaixo. = Suponhamos uma dada distribuição contínua 65 UEA – Licenciatura em Matemática de massa que ocupou uma região R no plano xy, e consideremos que a medida da densidade de área dessa distribuição no ponto (x, y) seja ρ(x,y)kg–m2 onde ρ é contínua em R. Então, o momento de inércia Ix kg-m2 em relação ao eixo x dessa distribuição de massa é determinado por: = O momento de inércia, é, então, kg–m2 (5) Consideremos que a massa total M kg de uma lâmina esteja concentrada em um ponto; isto é, suponhamos que uma partícula nesse ponto tenha a mesma massa M kg que a lâmina. Então, se essa partícula está a uma distância r m do eixo dado L, o momento de inércia em relação a L dessa partícula é Mr2kg-m2. O número r é a medida do raio de giração da lâmina dada em relação a L. Temos a definição: Analogamente, a medida Iy do momento de inércia em relação ao eixo y é dada por: (6) E a medida I0 do momento de inércia em relação à origem ou ao eixo z, é dada por: Se I é o momento de inércia em relação a um eixo L de uma distribuição de massa em um plano, e M é a medida da massa total da distribuição, então o raio de giração da distribuição em relação a L tem medida r, onde = (7) ∫R∫(x + y )ρ(x,y)dA 2 2 O número I0 da fórmula (7) é a medida do que denominamos o momento polar de inércia. Exemplo 2 Exemplo 3 Uma lâmina retangular tem uma densidade de área constante de ρkg/m2. Encontre o momento de inércia da lâmina em relação a um canto. Suponhamos que uma lâmina tenha a forma de uma região limitada por uma semicircunferência, e a medida da densidade de área da lâmina em um ponto qualquer seja proporcional à medida da distância do ponto ao diâmetro. Se a massa é medida em kg e a distância em m, encontre o raio de giração da lâmina em relação ao eixo x. Solução: Suponhamos que a lâmina seja limitada pelas retas x= a, y = b, o eixo x e o eixo y. Veja a Fig. acima. Se I0 kg-m2 é o momento de inércia em relação à origem, então, = ∫R∫ρ(x2 + y2)dA = = = 66 ∫R∫kydA Cálculo II – Integrais múltiplas mitada pelas retas x = 3 e y = 2 e os eixos coordenados. A densidade de área em um ponto qualquer é xy2kg-m2. 2. Uma lâmina na forma da região limitada pela parábola x2 = 8y, a reta y = 2 e o eixo y. A densidade de área varia com a distância à reta y = –1. = Se Ixkg–m2 é o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x, então = 3. Uma lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x2 + y2 = a2 e os eixos coordenados. A densidade de área varia com a soma das distâncias aos dois lados retos. ∫R∫ky3dy dx 4. Uma lâmina na forma da região limitada pela curva y = sen x e o eixo x de x = 0 a x = π. A densidade de área varia com a distância ao eixo x. = 5. Uma lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x2 + y2 = 4, e a reta x+y = 2. A densidade de área em um ponto qualquer é xy kg/m2. Nos Exercícios de 6 a 7, encontre o momento de inércia da lâmina homogênea dada em relação ao eixo indicado se a densidade da área é ρkg/m2 e a distância é medida em metros. Portanto, se r m é o raio de giração e assim 6. Uma lâmina na forma da região limitada por 4y = 3x, x = 4 e o eixo x; em relação ao eixo y. . O raio de giração, então é 7. Uma lâmina na forma da região limitada por uma circunferência de raio a unidades; em relação a seu centro. m. 8. Uma lâmina homogênea de área de densidade ρkg-m2 tem a forma da região limitada por um triângulo isósceles, que tem uma base de comprimento b m e uma altura de comprimento h m. Encontre o raio de giração da lâmina em relação à sua reta de simetria. Nos Exercícios de 1 a 5, encontre a massa e o centro de massa da lâmina dada, conforme a densidade da área for indicada. A massa é medida em kg; a distância, em m. 1. Uma lâmina na forma da região retangular li67 UEA – Licenciatura em Matemática Centro de Massa e Momento de Inércia (outras considerações) seqüência, a massa contida num elemento de volume dV = h.dx.dy será dada por Seja ρ a densidade de massa de um corpo que ocupa um domínio D do espaço. O centro de massa desse corpo é definido como sendo o ponto C = (x0,y0,z0) tal que ρdV = ρhdxdy = σdxdy e a massa total do domínio D do plano será ∫∫Dσdxdy As coordenadas do centro de massa C = (x0,y0) serão agora dadas por , e (1) (3) O centro de massa de um corpo é chamado centróide ou centro geométrico quando sua massa estiver homogeneamente distribuída, isto é, quando ρ for constante. Nesse caso, a fórmula (3) reduz-se a onde M é a massa total do corpo. Para bem compreender o significado dessa definição, devemos notar que xρdV é o produto da massa elementar dm = ρdV por sua distância x ao plano Oyz (Fig. 1).Esse produto é chamado o momento de massa em relação ao plano Oyz. A primeira integral em (1) é a soma dos momentos de todas as massas elementares dm ou momento total em relação ao plano Oyz. Do mesmo modo, a segunda e a terceira integrais são momentos totais em relação aos planos Oxz e Oyz, respectivamente. O que as Equações (1) nos dizem é que ao três momentos referidos são, respectivamente, iguais aos momentos Mx0, My0 e Mz0 da massa total M, concentrada no centro de massa C. Em outras palavras, os momentos de massa são os mesmos que se obtêm como se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa. onde V é o volume de D; e as fórmulas (3) ficam sendo Ax0 = ∫∫Dxdxdy e Ay0 = ∫∫Dydxdy onde A é a área de D. Para introduzir a noção de momento de inércia, vamos considerar um corpo D em rotação em torno de um eixo L, com velocidade angular ω (Fig.1). As Equações (1) podem ser escritas na forma compacta: (2) Fig. 1 Onde R = C = (x0,y0,z0) e r = (x, y, z). A integral que aí aparece é o vetor cujas componentes são as integrais das componentes do vetor ρr = (ρx, ρy, ρz). Naturalmente, se a origem do sistema de coordenadas coincidir com o centro de massa, R será zero e Então, cada elemento de massa dm = ρdV, a uma distância r do eixo, terá velocidade escalar ωr, portanto sua energia cinética será ∫∫∫ DρrdV A energia cinética total, Eer, devida à rotação, será a soma de todos esses elementos, isto é, Vamos supor que a massa esteja distribuída sobre uma lâmina de espessura h, disposta sobre o plano x, y e que ρ seja independente de z: ρ = ρ(x,y). Nesse caso, é conveniente introduzir a densidade superficial de massa σ = ρh. Em con- 68 Cálculo II – Integrais múltiplas Essa última integral é, por definição, o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo L: I= ∫∫∫ Dr ρdV • Área de uma superfície A integral dupla pode ser utilizada para se determinar a área da porção da superfície z = f(x,y), situada sobre uma região fechada R no plano xy. Para mostrar isso, devemos, inicialmente, definir o que significa a medida dessa área e depois obter uma fórmula para calculá-la. Suponhamos que f e suas derivadas parciais primeiras sejam contínuas em R e suponhamos também que f(x, y) > 0 em R. Seja Δ uma partição de R em n sub-regiões retangulares. O i-ésimo retângulo tem dimensões de medidas Δix e Δiy e uma área de medida ΔiA. Seja (ξi,γi) um ponto qualquer no i-ésimo retângulo, e o ponto Q (ξi,γi,f(ξi,γi)) na superfície. Consideremos o plano tangente à superfície. Projetamos verticalmente para cima o i-ésimo retângulo sobre o plano tangente, e seja Δiσ a medida da área desta projeção. A Fig. 1 mostra a região R, a porção da superfície sobre R, a iésima sub-região retangular de R e a projeção do i-ésimo retângulo sobre o plano tangente à superfície em Q. O número Δiσ é uma aproximação da medida da área da parte da superfície que está sobre o i-ésimo retângulo. Como temos n dessas partes, a soma (4) 2 Em termos do momento de inércia, a energia cinética de um corpo em rotação assume a forma . Note-se que essa energia é diretamente proporcional ao momento de inércia. Quanto maior o momento de inércia, tanto maior será a energia necessária para colocar o corpo em rotação ou para pará-lo. A integral (4) mostra-nos que o momento de inércia I será tanto maior quanto mais afastada do eixo L estiver a massa do corpo, como ocorre nos volantes ou reguladores de velocidade. Observe também a analogia entre a expressão da energia cinética de rotação e a energia cinética de um corpo de massa m em translação com velocidade r: . Vemos que a massa m desempenha aqui papel análogo ao do momento de inércia no caso de uma rotação. No caso de uma lâmina D disposta sobre o plano x, y, com densidade superficial de massa σ, o momento de inércia em relação a um eixo L, perpendicular ao plano, é dado por I= é uma aproximação da medida σ da área da porção da superfície que está sobre R. Isso nos leva a definir σ como: ∫Dr2σdxdy Onde r é a distância do elemento de massa σ dxdy ao eixo L. (1) Exemplo 1 Fig. 1 69 UEA – Licenciatura em Matemática Agora, precisamos obter uma fórmula para calcular o limite da Eq.(1). Para isso, encontramos uma fórmula para calcular Δiσ como a medida da área de um paralelogramo. Para simplificar o cálculo, tomamos o ponto (ξi,γi) no i-ésimo retângulo, no vértice (xi–1,yi–1). Sejam A e B vetores que têm como representantes os segmentos de reta orientados com pontos iniciais em Q e que formam os dois lados adjacentes do paralelogramo, cuja área tem Δiσ de medida (veja Fig.2). Esse limite é uma integral dupla que existe em R devido à continuidade de fx e fy que está sobre R, (3) Exemplo 1 Encontre a área da superfície do cilindro x2 + z2 = 16. Limitada pelos planos x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3. Solução: Fig.2 A superfície é mostrada acima. A região R é o retângulo no primeiro quadrante do plano xy, limitado pelas retas x = 2 e y = 3 tem equação x2 + z = 16. Resolvendo para z, temos z = . Portanto, f(x, y) = . Assim, se σ é a medida da área da superfície, temos da equação (3) Então, Δiσ = |AXB|. Como A = Δixi + fx(ξi,γi)Δixk e B = Δiyj + fy(ξi,γi)Δiyk Segue que = –Δix Δiy fx(ξi,γi) i – Δix Δiy fy(ξi,γi)j + Δix Δiyk Portanto veja em (2) abaixo Δiσ = |A x B| = Substituindo a Eq. (2) em (1), temos = 2πunidades quadradas. Exemplo 2 Encontre a área do parabolóide z = x2 + y2 limitado superiormente pelo plano z = 4. 70 Cálculo II – Integrais múltiplas Solução: O hemisfério é mostrado acima. Resolvendo a equação da esfera para z e colocando esse igual a f(x, y), obtemos: F(x, y) = Como fx(x,y) = –x/ Solução: ,e fy(x,y) = –y/ A figura acima mostra a superfície dada. Da equação do parabolóide, vemos que f(x, y) = x2 + y2. A região fechada no plano xy limitada pela circunferência x2 + y2 = 4 é a região R. Se σ unidades quadradas é a área desejada, da equação (3), temos: , notamos que fx e fy não são definidos na circunferência x2 + y2 = a2, que é a fronteira da região R no plano xy. Além disso, a integral dupla obtida na Eq. (3) é , que é imprópria, pois o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto da fronteira de R. Podemos resolver essa situação considerando a região R’ como a limitada pela circunferência x2 + y2 = b2,onde b< a, tomando depois o limite, b → a–. Além disso, o cálculo é simplificado se a integral dupla for calculada por uma integral iterada e se usarmos coordenadas polares. Então, temos Como o integrando contém os termos 4(x2 + y2), o cálculo da integral dupla é simplificado se usarmos coordenadas polares. Então, x2 + y2 = r2 e dxdy = dA = r dr dθ. Além disso, r varia de 0 a 2 e θ de 0 a 2π. Temos, então, , portanto esta é a área em unidades quadradas. = 2πa2, que é a área do hemisfério em unidades quadradas. Exemplo 3 Encontre a área da metade superior da esfera x2 + y2 + z2 = a2. 71 UEA – Licenciatura em Matemática 1. Encontre a área da superfície formada pela intersecção dos planos, x = 0, x = 1, y = 0, y =1, com o plano 2x + y + z = 4. 2. Encontre a área da superfície no primeiro octante delimitada pelo cilindro x + y = 9 e o plano x = z. 3. Determine a área da porção da superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4x recortada por uma folha do cone y2 + z2 = x2. 4. Determine a área da porção de superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4z, interior ao parabolóide x2 + y2 = 3z. 5. O segmento de reta da origem ao ponto (a, b) gira em torno do eixo x. Encontre a área da superfície do cone gerado. 6. Encontre a área da porção do plano x = z que está compreendida entre os planos y = 0 e y = 6 e interior ao hiperbolóide 9x2 – 4y2 + 16z2 = 144. 72 UNIDADE V Teorema de Green Cálculo II – Teorema de Green Teorema 1 (Teorema de Green). → TEOREMA DE GREEN Seja U um aberto de R2 e F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1 sobre U. Suponha-se → que r : [a,b] → U é um caminho fechado simples, seccionalmente C1, orientado no sentido → positivo. Seja A o interior de Γ = r ([a,b]). Temos então: George Green, matemático e físico inglês, com pouca formação básica, foi quem desenvolveu o Teorema de Green. Em 1828, Green publicou seu trabalho An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (um ensaio sobre a aplicação da análise matemática e as teorias de eletricidade e magnetismo). Nesse trabalho, o teorema foi utilizado, mas passou despercebido pela pequena tiragem do trabalho. Posteriormente, Green procurou a formação superior e, após anos de estudos autodidáticos, entrou na Universidade de Caius, em Cambridge. Formou-se em quatro anos, com desempenho desapontador, possivelmente por estar engajado em sua pesquisa. Publicou trabalhos sobre luz e som, e morreu em 1844. (1) Pelas razões acima referidas, a prova desse teorema para o caso geral está longe de ser realizável no âmbito deste curso. Assim, vamos restringir-nos a uma classe particular de regiões do plano: Definição 1 Seja U ⊂ IR2 um aberto limitado. Diz-se que U é uma região regular se for, simultaneamente, x-regular e y-regular, isto é, U = {(x,y)∈ Quatro anos depois, seus trabalhos iniciais foram novamente publicados, sendo, então, considerados de imensa importância para teorias modernas de eletricidade e magnetismo. 2 : f1(x) < y < f2(x) e a < x < b} e U = {(x,y)∈ 2 : h1(y) < x < h2(x) e c < y < d}, Com f1,f2,h1,h2 funções de classe C1. → Seja U um aberto de R2 e r : [a,b] → U um caminho seccionalmente C1, fechado e simples, isto → é r , não se auto-intersecta, exceto nas extremi→ dades. Seja A a região interior a Γ = r ([a,b]) – parte da dificuldade na formalização da versão mais geral do Teorema de Green deve-se ao fato de ser difícil definir com rigor o “interior” de uma curva fechada. Outra dificuldade reside na definição de “orientação” de um caminho. Vamos resignar-nos à seguinte definição: dize→ mos que o caminho fechado simples r está ori→ entado no sentido positivo, se r percorre a cur→ va Γ = r ([a,b]), deixando à esquerda os pontos do interior de Γ. Região x-regular. Exemplo 1 Um intervalo I = ]a,b[X]c,d[ é uma região regular de R2. 75 UEA – Licenciatura em Matemática por outro lado, Exemplo 2 Um círculo D ⊂ IR2, de raio R e centro em P0 = (x0,y0) é uma região regular. Com efeito, Do mesmo modo, uma vez que a região A também pode ser descrita por A = {(x,y)∈ : h1(y) < x < h2(y) e c < y < d}, Temos: e e Vamos provar o Teorema de Green no caso em que A é uma região regular. Assim, Nesse caso, a fronteira de A é a curva Γ = Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ4, com Γ1 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f1(x)}, Γ2 = {(x,y) ∈ IR2 : x = b e f1(b) ≤ y ≤ f2(b)}, Exemplo 3 Γ3 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f2(x)}, Seja Γ o quadrado de vértices em (0, 0), (2, 0), (2, 2) e (0, 2). Γ4 = {(x,y) ∈ IR2 : x = a e f1(a) ≤ y ≤ f2(a)}, → Para obtermos um caminho r para Γ orientado positivamente, podemos considerar: r 1(t) = (t,f1(t)) → t∈[a,b]; → r 2(t) = (b,t) t∈[f1(b), f2(b)]; r 3(t) = (a + b – t, f2(a + b – t)) → t∈[a,b]; → t∈[f1(a), f2(a)]. r 4(t) = (a, f1(a) + f2(a) – t) → Seja F o campo vetorial dado por → F = (y2, x): Aplicando o Teorema de Green, obtemos: Assim, Exemplo 4 Seja A a região limitada pelas parábolas y = x2 e y = x2 + 2 para x > 0. 76 Cálculo II – Teorema de Green Essa discussão elucida-nos como tratar regiões que têm “buracos”. Exemplo 5 Considere a coroa circular A = A1∪A2 da figura seguinte. → Seja F o campo vetorial dado por → F = (xy,x): Aplicando o Teorema de Green, obtemos: Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, tal como ilustra a figura seguinte, onde se possa aplicar o Teorema de Green, vamos ver que a fórmula (1) do Teorema de Green vale ainda para a união A = A1 ∪ A2. Essa região não é o interior de uma curva simples, mas sim a região limitida por duas curvas simples, a saber, Γe = Γ1∪Γ4 e Γi = Γ2∪Γ3 Repare-se que a fronteira de A é Γ = Γe∪Γi → Dado um campo vectorial F = (F1,F2), podemos aplicar o Teorema de Green para A1 e para A2 : Repare-se que A é interior à curva Γ = Γ1∪Γ2. → Para um dado campo vectorial F = (F1,F2), temos: Somando, obtemos, mais uma vez, a fórmula do Teorema de Green: Somando as duas equações, obtemos a fórmula do Teorema de Green para a região A: Note-se que as orientações indicadas para Γe e Γi “deixam à esquerda os pontos de A". Ainda em relação à figura anterior, suponha-se que as circunferências têm raios R1 = 1 e R2 = 2. → Consideremos o campo vectorial F = (y3, – x3). Aplicando o Teorema de Green, obtemos: 77 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 6 Por meio do teorema de Green, calcule , onde C é a curva fechada que consiste nos gráficos de y = x2 e y = 2x entre os pontos (0,0) e (2,4). Exemplo 8 Com o auxílio do teorema de Green, calcule a in- Solução: tegral curvilínea A figura abaixo exibe a região R delimitada por C. Aplicando o teorema de Green, temos: se C é a fronteira da região delimitada pelos quartos de círculo de raios a e b e pelos segmentos dos eixos x e y, conforme figura a seguir. Solução: Exemplo 7 Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea Teorema , onde Se uma região R do plano-xy é delimitadanpor uma curva fechada simples, parcialmente suave C, então, a área A de R é C é a elipse 4x2 + 9y2 = 36. Solução: A figura abaixo ilustra a região R delimitada por C. Aplicando o teorema de Green, temos 78 Cálculo II – Teorema de Green Exemplo 9 A INVENÇÃO DO PLANÍMETRO Use o teorema anterior para achar a área da elipse Em 1854, o matemático suíço Jacob Amsler inventou um dispositivo mecânico capaz de medir a área de regiões planas limitadas. Na ocasião (e até hoje) o instrumento foi enxergado com muito entusiasmo. Se considerarmos a dificuldade de medir áreas de planos extremamente irregulares, teremos idéia do quão inovador foi o planímetro no século XIX. Solução: As equações paramétricas da elipse C são x = a cost, y = b sent; 0 ≤ t ≤ 2π. Julgando o planímetro um instrumento bastante interessante, pensaremos um pouco mais a respeito do seu funcionamento. Mecanicamente, o instrumento tem uma construção muito simples, possui dois braços de tamanho igual ou não, comumente feitos de metal. Esses braços são capazes de variar o ângulo entre eles, desde 0 a 180 graus. 1. Aplique o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea. a) C é a curva fecha- Na extremidade de um dos braços, temos uma ponta que pode ser fixada em superfícies planas. Na outra ponta, temos uma rodinha que gira perpendicularmente ao braço na qual é fixada. Na ponta dessa rodinha, temos um contador, que mede o número de voltas que ela dá quando a ponta móvel do instrumento deslocase em uma superfície plana. Quando essa ponta se desloca sobre uma curva plana fechada, o contador indicará a área cercada pela curva. da definida por y = x e y = –x. 2 b) C é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). c) C é o círculo x2 + y2 = 1. d) C é o triângulo de vértices (1,1), (2,2) e (3,0). e) Ao pensar em um instrumento tão simples, somos imediatamente induzidos a imaginar como este pode executar cálculos que, em princípio, tem um grande grau de complexidade. C é a fronteira da região entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. 2. Calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das equações: O Teorema de Green aliado ao Planímetro a) y = 4x2, y = 16x O desenho seguinte esquematiza o funcionamento de um planímetro. A área R a ser medida não deve conter a extremidade fixa do aparelho, e percorreremos a curva C com a extremidade móvel, sempre no sentido anti-horário (por causa do marcador). b) y2 – x2 = 5, y = 3 c) C é a hipociclóide x = acos3 t, y = asen3 t; 0 ≤ t ≤ 2π. 79 UEA – Licenciatura em Matemática Assim, temos que nosso campo é: Precisamos, agora, determinar a e b. Para isso, consideraremos a equação dos círculos que podem ser descritos por cada um dos braços do planímetro: Para usar o Teorema de Green, precisamos descrever o campo de direções definido pelo instrumento. Para tal, comecemos definindo coordenadas x e y. Como podemos fazer qualquer escolha, coloquemos a origem na ponta do planímetro que é fixada e, a partir dela, dois eixos perpendiculares x e y. Como a rodinha gira perpendicularmente ao braço no qual está fixada, o campo F(x,y) definido pelo planímetro é perpendicular ao braço móvel, e podemos supor que tenha módulo 1. Da segunda linha, temos que: e logo Substituindo na equação do círculo centrado em (0,0), e desenvolvendo, teremos: 4y2a2 + (x2 + y2)2 + 4x2a2 – 4xa(x2 + y2) = 4y2r2 4(x2 + y2)a2 – 4x(x2 + y2)a +(x2 + y2)2 – 4y2r2 = 0 Colocando (x2 + y2) = R2 temos: Equação do Campo F(x,y) e logo Vamos considerar aqui que o planímetro tem os dois braços com comprimento igual a r. O primeiro está centrado na origem escolhida (0,0); o segundo, em um ponto móvel (a,b). → Chamemos de v o vetor que define o braço móvel do planímetro. ou seja, A escolha do valor positivo de a implica simplesmente que o caminho a ser percorrido pelo braço do planímetro é o sentido anti-horário (sentido padrão de funcionamento). Com esse valor, o valor de b aparece, consequentemente, como sendo: → Temos v = (x – a, y – b) e um vetor perpendi→ cular é w = (–(y – b), x – a). Como o braço tem comprimento r, temos: ou seja, . Agora, que calculamos os valores de a e de b 80 Cálculo II – Teorema de Green Para ver isso, faremos uma breve introdução ao cálculo do trabalho, desde situações mais simples, em que a força aplicada a uma partícula é constante e na direção e no sentido do movimento, até situações com mudanças constantes na direção do movimento, na direção e na intensidade da força sobre a partícula. temos que o campo para o planímetro é: Derivando ambas as equações, obtemos: Na situação mais simples, em que a força aplicada a uma partícula é constante e na direção e no sentido do movimento, que se dá em linha reta, o trabalho é dado por W = F.(b – a), em que b – a é a distância percorrida pelo objeto durante a atuação da força, e F é o módulo da força. logo, e No caso em que a força não tem módulo constante, podemos subdividir a distância percorrida em intervalos de tamanhos Δx e supor que a força é constante em cada um dos pedacinhos. Assim, W = FiΔx e, tomando o limite Assim, pelo Teorema de Green aplicado ao planímetro, a constante que multiplica a área só depende do comprimento dos braços, ou seja quando Δx tende a zero, teremos . área cercada de C. Podemos, então, mudar a direção da força atuante sobre o objeto. Se seu módulo e direção forem constantes, podemos determinar sua componente na direção do movimento (|F|cosθ) e, assim, determinar o trabalho como W = |F|cosθ(b – a). O QUE MEDE A INTEGRAL DE LINHA? Tendo especificado que, para o campo gerado pelo planímetro, e de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha ∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy é igual a um múltiplo da área da região delimitada pela curva C, torna-se necessário definir agora o que exatamente calcula a integral de linha, e a relação desta com a medição realizada pelo planímetro. Para entender essa relação, analisaremos alguns casos de interesse que possibilitarão essas definições. No caso em que o módulo da força não é constante, novamente torna-se necessária a integração dessa força ao longo de toda a tra- Quando o campo é um campo de forças jetória e Quando o campo é um campo de forças, temos que a integral de linha ∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy representa o trabalho realizado pelo campo vetorial F = (f, g) em uma partícula que se move ao longo da curva C. . Também é possível fazer que a direção de atuação da força sobre a partícula varie durante a trajetória, além da variação já incluída do módulo da força. 81 UEA – Licenciatura em Matemática de forças, a integral de linha calcula o trabalho realizado para se mover sobre a curva C sob a ação do campo. O planímetro, em princípio, não determina um campo de forças, e a integral de linha, então, não calcula trabalho. QUANDO O CAMPO É UM CAMPO QUALQUER Nesse caso, torna-se necessário definir um ve→ tor v unitário, que representa a direção do movimento do objeto. Se o campo é qualquer, a integral de linha não calcula o trabalho realizado ao se mover um ponto sobre a curva C, mas o exemplo anterior mostra que a integral de linha de um campo qualquer F, ao longo de um curva C, mede a concordância da circulação do campo F com a orientação da curva C, pois, se em um ponto F não tiver componente na direção de C, o valor acrescido por esse ponto na integral de linha será nulo, e se tiver componente nessa direção, haverá um acréscimo na integral de linha de valor igual ao módulo dessa componente do campo. Ela mede também a soma das projeções da força na direção da curva. O produto escalar do vetor força F pelo vetor → direção v dá-nos o módulo da componente da → força na direção do movimento (|F|cosθ = F.v ) → uma vez que v é unitário. Integrando esse produto escalar por toda a trajetória, obtemos o trabalho . Lembramos que, nesse ca→ so apenas o vetor F é variável, o vetor v é constante. Finalmente, temos o caso em que, além do módulo e da direção da força sobre o objeto serem variáveis, a direção do movimento também varia. Ora, dado um campo de vetores F = (f(x, y), g(x, y)), podemos procurar suas curvas integrais, isto é, as curvas que são sempre tangentes ao campo. Procuramos curvas (x(s), y(s)) tais que o vetor tangente Para determinar o trabalho nessa situação, é necessário realizar uma parametrização da curva por comprimento de arco. Também é → preciso determinar um vetor unitário v que represente a direção do movimento do objeto. O produto escalar dos vetores variáveis Força F e → direção v terá como resultado o módulo da componente da força na direção do movimento em cada ponto da trajetória. Integrando esse produto escalar durante todo o comprimento da curva, obtemos o trabalho ou, na prática, procuramos soluções do sise tema de equações diferenciais . Se |F| = 1 então a curva sai para→ metrizada por comprimento de arco e F.v = 1. Assim, a integral de linha de um campo unitário em cima de uma curva integral mede o comprimento desta curva, pois . → Seja F = (f(x, y), g(x, y)). Como v é um vetor tangente a uma trajetória curvilínea parametrizada por comprimento de arco s, então Relação entre a integral de linha e a medição realizada pelo Planímetro e As figuras a seguir, realizadas usando o software Maple, mostram o campo gerado pelo Planímetro, no primeiro quadrante, e algumas curvas integrais e ortogonais desse campo. Assim, no caso em que o campo é um campo 82 Cálculo II – Teorema de Green Então, ∫C f dx + g dy ≈ ∫C1 f dx + g dy + + ∫C2 f dx + g dy + ... + ∫Cn f dx + g dy = (k1 + k2 + ... + kn)πd em que k é o número dado pelo contador ao percorrermos a curva C. Funcionamento do Planímetro Chamemos de r o comprimento de cada braço do Planímetro, d o diâmetro da rodinha colocada perpendicularmente ao braço móvel e de k o número dado pelo contador ao se percorrer C no sentido anti-horário. O campo determinado pelo Planímetro é F = (f, g). Então área cercada por C ou seja: Área cercada por De todo o conteúdo colocado, podemos ver o quão interessante é esse instrumento que, baseado num teorema relativamente simples, tem aplicações extensas e extremamente úteis na engenharia, na geologia, etc. Traduzindo para o funcionamento físico do Planímetro, quando este percorre uma curva integral do campo, a rodinha fixada perpendicularmente na extremidade do braço móvel, roda perfeitamente livre. O contador acoplado a essa rodinha mede o número de voltas que ela dá ao se deslocar sobre a curva. Seja k esta medida e d o diâmetro da rodinha. O comprimento total da curva integral será então kπd. Chamando novamente de F = (f, g) o campo associado ao Planímetro e de C a curva integral, temos: ∫C f dx + g dy = comprimento de C = kπd Quando o Planímetro percorre uma curva ortogonal, a rodinha não roda nada; logo, o medidor acoplado na rodinha indicará zero, ou seja, o valor da integral de linha do campo sobre a curva ortogonal. Assim, em qualquer um dos casos, ∫C fdx + g dy = kπd em que k é o número medido pelo contador acoplado à rodinha. Qualquer curva fechada C, contida no primeiro quadrante, pode ser aproximada por vários segmentos de curvas integrais e ortogonais intercaladas, que denotaremos por C1, C2, ...,Cn. 83 Respostas dos Exercícios Cálculo II – Respostas dos exercícios UNIDADE I c) Todos reais (todo plano xy) Funções de várias variáveis TEMA 01 INTRODUÇÃO d) y ≥ x Pág. 12 y > –x 1. 25m 2. –7,34oC . TEMA 02 DOMÍNIO E IMAGEM e) Pág. 15 a) f) b) 87 UEA – Licenciatura em Matemática m) x2 + y2 ≠ 4 g) h) x2 + y2 ≤ 3 TEMA 03 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Pág. 19 1. a–4 i) y>u b–3 c–1 d–2 2. a) As isotérmicas são círculos centrados na origem b) x2 + y2 = 100 j) 3. A soma das distâncias entre um ponto pertencente à elipse e cada um de seus focos é constante. A usina estará sobre uma elipse que tem tenha uma da cidades em cada um de seus focos, de forma que a soma das distâncias entre a usina e cada cidade seja igual a M. y ≥ –x TEMA 04 LIMITES E CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS l) x2 + y2 ≠ 1 Pág. 21 Demonstrações TEMA 05 88 Cálculo II – Respostas dos exercícios UNIDADE II DERIVADAS PARCIAIS Derivada direcional Pág. 24 TEMA 01 Demontrações VETOR GRADIENTE E DERIVADAS DIRECIONAIS TEMA 06 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Pág. 30 Demonstrações Pág. 25 Demonstrações TEMA 02 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Pág. 32 1. a) máximos: f(±1,0) =1, mínimos f(0,±1) =–1 b) x = 100/3, y = 100/3, z = 100/3 c) máximos: f(± 2,1) = 4, mínimos f(± 2,–1) = –4 d) máximo: mínimo : e) mínimo: f) máximo: f(1,3,5) = 70, mínimo: f(–1,–3,–5) = – 70 2. Base quadrada de lado , altura 3. Demonstração 4. Demonstração. 5. Cubo, aresta de comprimento c/12. 6. x = y 4,62 m e z 2,31 m. 89 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE III 2. a) Integrais de linha b) TEMA 01 c) CAMINHOS E CURVAS 3. pág. 41 4. Demonstrações 5. 56 6. 2π TEMA 02 COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS pág. 44 1. a) b) c) 8a d) e) 14 TEMA 03 DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA Pág. 48 1. a) b) 90 Cálculo II – Respostas dos exercícios UNIDADE IV 4. Integrais múltiplas 5. a) – TEMA 02 b) INTEGRAIS REPETIDAS c) Pág. 58 6. 1. a) 1. ; b) 2. 7. ; 8. c) 3.0; d) 4.0; e) 5. 0; f) 9. 10. ; g) 11. 2. –24 12. unid.cúbicas unid.cúbicas 3. 21,5 4. 8 / 3 13. 4πunid. Cúbicas 5. 42 14. unid. cúbicas 6. 15. un. Cúbicas 7. 16. 17. TEMA 03 INTEGRAIS TRIPLAS TEMA 04 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS DUPLAS Pág. 61 1. a) b) Pág. 64 2. 1 πR2 2 2. π(1 – e–R ) 3. 91 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE V 3. Teorema de Greenn 4. (b4 – a4)/8 5. 0 Pág. 79 TEMA 05 1. a) A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA b) c) π d) – 3 Pág. 67 e) –3π 2. a) 1. 12kg, (2, ) b) 2. c) 3. ) 4. 5. 6. 9ρkg–m2 7. 8. Pág. 72 1. unid. quadradas 2. 9 unid. quadradas 3. 8π unid. quadradas 4. 12πunid. quadradas. 5. 6. unid. quadradas unid. quadradas 92