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Complexos e Geometria IME/ITA
3/27/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)
2 Dados de Deus – Complexos e Geometria
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO...................................................................................................03
2
REVISÃO...........................................................................................................03
3
FORMA TRIGONOMÉTRICA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA................04
4
EXEMPLOS.......................................................................................................05
5
EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)....................................................................................07
6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................09
3 Dados de Deus – Complexos e Geometria
1 INTRODUÇÃO
Os números complexos surgiram por volta do século XVI, com o estudo de equações do 3º grau por Cardano e de Tartaglia. Este havia descoberto1 uma fórmula para calcular as raízes de uma equação do tipo , a saber:
Cardano, após muito insistir, conseguiu que Tartaglia lhe passasse a fórmula, com a condição de não divulgá-la, o que não ocorreu. O resultado foi a publicação do método no Ars Magna de Cardano, em 1545 (e uma grande inimizade entre os dois matemáticos). Mas um problema inquietante era que, aplicando-se a fórmula acima, chegavase a raízes quadradas de números negativos (algo desconhecido e incoerente para a época) ainda que a equação possuisse todos seus zeros reais. Como exemplo, tome . Era sabido que 4, e eram raízes, no entanto ao utilizar a fórmula conclui-se que:
O problema perdurou até a publicação do L'Algebra parte maggiore dell'Arithmetica em 1572 por Rafael Bombelli. O engenheiro teve a idéia de supor que os números forma a 2 e b = 1.
e
e
deveriam ser da
, respectivamente. De fato, consegui provar que a =
No século XVIII, de Moivre e Euler começaram a formalizar a estutura algébrica dessa nova classe de números e surgiu então a notação . Ainda no mesmo século os complexos (que somente receberam essa denominação no século XIX) passaram a ter uma interpretação geométrica, com o plano de Argand-Gauss e, para coroar a importância dessa nova ferramenta, Gauss provou que os números complexos são necessários e suficientes para a álgebra, com o Teorema Fundamental da Álgebra.
1
Scipione del Ferro também havia encontrado um método de resolução de equações desse tipo.
4 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Os números complexos são hoje utilizados nos mais diversos campos da ciência, como eletromagnetismo, circuitos elétricos, física quântica, teoria do caos e, é claro, na geometria. Nesta primeira apostila você encontra uma breve revisão de conceitos básicos, a interpretação geométrica dos complexos, bem como alguns teoremas fundamentais que podem ser a diferença entre entrar ou não no IME ou no ITA.
2 REVISÃO
Os números complexos são da forma Denotamos por a parte real de z e
, em que a parte imaginária.
Confira agora algumas propriedades para
e
IGUALDADE: ADIÇÃO: MULTIPLICAÇÃO: CONJUGAÇÃO:
,
,
DIVISÃO: POTÊNCIAS DE i: Seja
.
.
PRODUTO COM CONJUGADO:
3 FORMA TRIGONOMÉTRICA2 E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
2
Utilizando a expansão de Taylor, prova-se que
.
.
5 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Fig. 01
O plano complexo (também conhecido como plano de Argand-Gauss) é gerado por dois eixos ortogonais, sendo as abscissas números reais e as ordenadas os imaginários. Desta forma, todo número complexo pode ser representado de uma forma trigonométrica (ou polar), conforme ilustra a Fig. 01. Note ainda que o ponto z pode ser interpretado como uma das extremidades do vetor que o liga à origem. Dizemos que o ponto z é o afixo do complexo e Oz (que a partir de agora chamaremos apenas de z) o vetor associado ao afixo. Podemos escrever:
O ângulo
é chamado de argumento e
Sejam notação:
e
é chamado de módulo de z.
. Confira 2 propriedades interessantes dessa
MULTIPLICAÇÃO: DIVISÃO: Repare agora que multiplicar um complexo por é o mesmo que somar seu argumento, i.e. rotacioná-lo de um ângulo no sentido anti-horário
4 EXEMPLOS
ao
6 Dados de Deus – Complexos e Geometria
A seguir apresentaremos 3 exemplos de exercícios envolvendo números complexos e geometria.
Exemplo 1 Mostre que os pontos médios de um quadrilátero qualquer formam um paralelogramo.
Fig. 02
Devemos provar que Verifique que:
,
e ,
.
,
Logo:
Exemplo 2 Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares.
7 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Fig. 03
As diagonais de um losango podem ser escritas como:
Para que sejam perpendiculares (i.e. rotacionadas de 90º) devemos ter
Note que
Mas
. Logo:
Assim:
Exemplo 3 (Teorema de Napoleão) Dado um triângulo qualquer, constroem-se triângulos equiláteros externamente a cada um de seus lados. Os centros dos novos triângulos também formam um triângulo equilátero.
8 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Tome a origem sobre um dos vértices, conforme ilustra a Fig. 03. Temos que:
+b
Como
são baricentros:
Com isso concluímos que
5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)
Prove os teoremas abaixo: 1-) 2-)
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3-) 4-) 5-) Considere um círculo de raio unitário: 1. Para uma corda
, temos
2. Se c pertence à corda
, então
3. A intersecção entre as tangentes em a e b é o ponto 4. O pé da perpendicular de um ponto arbitrário c à corda 5. A intersecção entre as cordas
é
é o ponto
6-) Os pontos a,b,c,d pertencem a uma circunferência se e somente se
7-) Os triângulos se
8-) A área de um triângulo
são similares e de mesma orientação se e somente
é
9-) O ponto c divide um segmento
na razão
se e somente se
10-) O ponto t é baricentro de um triângulo abc se e somente se 11-) Para o ortocentro h e o circuncentro o do triângulo abc, temos
12-) Para um triângulo positivamente orientado abc, as seguintes condições são equivalentes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Abc é equilátero |a - b| = |b - c| = |c - a| a² + b² + c² = ab + bc + ca (b - a)/(c - b) = (c - b)/(a - b) (z - a)-1 + (z - b)-1 + (z - c)-1 = 0, em que z = (a + b + c)/3 (a + eb + e²c)(a + ec + e²b) = 0, em que e = cos(2p/3) + i.sin(2p/3)
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6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Hahn, Liang-shin Complex Numbers and Geometry, The Mathematical Association of America, 1994 Andreescu, Titu Complex Numbers From A to … Z, Birkhäuser, 1956 http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoesalgebricas-parte.html
Em breve a segunda parte da apostila com questões nível IME resolvidas!
