Apostila Completa Do Cederj De Geometria Plana Ii Aula 02

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Congruˆencia de segmentos e ˆangulos ´ MODULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Congruˆ encia de segmentos e ˆ angulos Objetivos • Introduzir um conceito fundamental em Geometria: o conceito de congruˆencia. • Estudar congruˆencia de segmentos e de aˆngulos. Introdu¸c˜ ao Vamos agora estudar um conceito fundamental em Geometria: o conceito de congruˆencia. Intuitivamente, podemos dizer que duas figuras planas s˜ao congruentes se ´e poss´ıvel sobrepˆ o-las exatamente, ou seja, sem “faltar” nem “sobrar” um ponto em nenhuma das duas, mesmo que para isso seja necess´ario virar uma delas “ao avesso” (o que ocorre quando uma ´e a imagem da outra refletida num espelho). Fa¸ca uma experiˆencia desenhando a m˜ao livre a mesma figura em dois pap´eis transparentes. Procure juntar os dois e olh´a-los contra a luz. Provavelmente as figuras n˜ao ficar˜ao exatamente sobrepostas: ´e muito dif´ıcil desenhar figuras congruentes a m˜ao livre. A figura 14 mostra trˆes figuras congruentes. Figuras planas Uma figura plana ´ e formada por um conjunto de pontos no plano. Fig. 14: Figuras congruentes. Congruˆ encia de segmentos No caso espec´ıfico de segmentos, a congruˆencia ´e relacionada ao “tamanho”. Assim, intuitivamente, dois segmentos de reta s˜ao congruentes se tˆem o mesmo tamanho. Partindo dessa no¸ca˜o intuitiva, podemos formular os seguintes axiomas: 19 CEDERJ Congruˆencia de segmentos e ˆangulos • Todo segmento ´e congruente a si mesmo. • Se AB ´e congruente a CD, ent˜ao CD ´e congruente a AB. • Se AB ´e congruente a CD e CD ´e congruente a EF , ent˜ao AB ´e congruente a EF . Congruˆ encia de segmentos O primeiro axioma sobre congruˆ encia de segmentos diz que a congruˆ encia de segmentos ´ e reflexiva. O segundo diz que a congruˆ encia de segmentos ´ e sim´ etrica e o terceiro diz que a congruˆ encia de segmentos ´ e transitiva. Uma rela¸ca ˜o em Matem´ atica, que satisfaz a `s trˆ es propriedades acima, ´ e chamada de rela¸ca ˜o de equivalˆ encia. Para indicar que dois segmentos s˜ao congruentes, usaremos o s´ımbolo ≡. Assim, se AB e CD s˜ao dois segmentos congruentes, vamos escrever AB ≡ CD (lˆe-se AB ´e congruente a CD). Nos desenhos, a indica¸ca˜o de segmentos congruentes ´e feita com alguns riscos curtos transversais, de modo a indicar que todos os segmentos cortados com um risco s˜ao congruentes entre si; todos aqueles cortados com dois riscos s˜ao congruentes entre si, e assim por diante, como vocˆe pode ver na figura 15. P N Q M Fig. 15: Segmentos congruentes. O pr´oximo axioma (ilustrado na figura 16) diz que a congruˆencia de segmentos ´e aditiva: F No¸co ˜es comuns Alguns axiomas por n´ os colocados est˜ ao relacionados com o que Euclides chamou de “no¸co ˜es comuns”. Como exemplo, podemos citar o axioma que diz que a congruˆ encia de segmentos ´ e aditiva. Esse axioma est´ a relacionado com a seguinte no¸ca ˜o comum: se iguais s˜ ao adicionados a iguais ent˜ ao os resultados s˜ ao iguais. C E B D A Fig. 16: A congruˆ encia de segmentos ´ e aditiva. • Se B est´a entre A e C, E est´a entre D e F , AB ≡ DE e BC ≡ EF ent˜ao AC ≡ DF . CEDERJ 20 Congruˆencia de segmentos e ˆangulos ´ MODULO 1 - AULA 2 Dado um segmento de reta AB, a nossa intui¸ca˜o nos diz que existem v´arios segmentos que s˜ao congruentes a ele e que se vocˆe considerar uma reta r qualquer, e um ponto C nessa reta, v˜ao existir exatamente dois segmentos de reta congruentes a AB contidos em r e come¸cando em C (um para cada “lado” de C). O axioma a seguir formaliza essa id´eia. Axioma de transporte de segmentos. −−→ • Dados um segmento AB e uma semi-reta CD, existe um u ´nico −−→ ponto E ∈ CD tal que AB ≡ CE (veja a figura 17). D E C → B A Fig. 17: Transporte do segmento AB para a semi-reta CD. Como j´a dissemos, o que temos visto at´e agora s˜ao propriedades e caracter´ısticas de objetos ideais. Em Desenho Geom´etrico estuda-se como obter boas aproxima¸co˜es dessas id´eias, usando apenas r´egua e compasso para desenhar no papel retas, circunferˆencias, segmentos congruentes, etc. Algumas dessas constru¸co˜es geom´etricas ser˜ao vistas na se¸ca˜o de exerc´ıcios desta aula e ao longo das pr´oximas. Desenho geom´ etrico e Geometria Como linguagem de comunica¸ca ˜o e express˜ ao, a arte do desenho antecede em muito a escrita. Atrav´ es de desenhos feitos nas paredes das cavernas, o homem pr´ e-hist´ orico registrou fatos relacionados com o seu cotidiano, deixando registros para que possamos conhecer um pouco seu modo de vida. Podemos dizer que a arte do desenho ´ e algo inerente ao homem. O Desenho Geom´ etrico nasceu na Geometria grega. Entre os gregos era tˆ enue a diferen¸ca entre Desenho Geom´ etrico e Geometria. Podemos dizer que o Desenho Geom´ etrico ´ e uma parte da Geometria que se prop˜ oe a resolver problemas com o aux´ılio de instrumentos. Veja o exemplo a seguir onde dois segmentos AB e CD s˜ao somados −→ sobre uma semi-reta EF . Pelo axioma de transporte de segmentos, existe −→ um u ´nico ponto G ∈ EF tal que AB ≡ EG. O mesmo axioma garante que − − → existe um u ´nico ponto H na semi-reta oposta a GE tal que GH ≡ CD. Veja a figura 18. O segmento EH obtido representa a soma dos segmentos AB e CD. F H G A B C D E Fig. 18: Soma dos segmentos AB e CD. 21 CEDERJ Congruˆencia de segmentos e ˆangulos Do mesmo modo, podemos obter m´ ultiplos de um segmento AB dado, somando-o repetidas vezes a ele mesmo. Veja na figura 19 um caso particular em que somamos 4 c´opias do segmento AB. Neste caso, podemos escrever que CE = 4AB. Quando ocorre de um segmento CD “conter” exatamente n segmentos congruentes a AB, escrevemos simplesmente CD ≡ nAB ou AB ≡ n1 CD. Dizemos que um segmento CD ´e m´ ultiplo de AB se CD ≡ nAB para algum n´ umero natural n n˜ao-nulo. Nesse caso, diz-se tamb´em que AB ´e um subm´ ultiplo de CD. D E B A C Fig. 19: M´ ultiplo de um segmento. Consideramos N = {0, 1, 2, . . .} o conjunto dos n´ umeros naturais. Observe que inclu´ımos o 0 (zero) no conjunto dos n´ umeros naturais. Representamos o conjunto dos n´ umeros naturais, excluindo o 0 (zero), por N∗ . O conjunto Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ´ e chamado de conjunto dos n´ umeros inteiros. Dizer que um n´ umero ´ e inteiro positivo ´ e o mesmo que dizer que esse n´ umero ´ e natural n˜ ao-nulo. Um n´ umero ´ e dito racional se ele pode ser escrito na forma p , sendo p e q q n´ umeros inteiros e q 6= 0. CEDERJ 22 Essas considera¸co˜es nos conduzem naturalmente a` id´eia de medir segmentos. A id´eia de medir segmentos servir´a para fundamentarmos a no¸ca˜o de congruˆencia. Para medir segmentos adotamos um segmento AB como unidade de medida e verificamos simplesmente quantas vezes ele “cabe” em um outro segmento dado. A id´eia ´e de fato simples, mas o processo pode trazer surpresas como veremos adiante. Por exemplo, o segmento a ser medido pode n˜ao ser um m´ ultiplo de AB. Fa¸ca um teste com os segmentos da figura 20, usando o segmento AB como unidade de medida, para medir os demais segmentos (vocˆe pode usar uma r´egua ou um palito com o mesmo comprimento de AB). A B C D E G F H Fig. 20: Medida de um segmento. Congruˆencia de segmentos e ˆangulos Note que, na figura 20, o segmento CD ´e congruente a 2AB e o segmento EF ´e congruente a 3AB. Adotando AB como unidade de medida, dizemos que a medida de CD ´e 2 e que a medida de EF ´e 3. Por´em, o segmento GH n˜ao ´e um m´ ultiplo de AB. Esse segmento ´e congruente a trˆes 1 vezes 2 AB. Nesse caso, dizemos que a medida de GH ´e 23 . Em geral, quando ocorre de um dado segmento ser congruente a m vezes n1 AB, dizemos que . sua medida ´e m n Considere agora um segmento CD. Ainda pensando no segmento AB como unidade de medida, podem acontecer trˆes situa¸co˜es: a medida de CD ´e um n´ umero inteiro positivo, ou a medida de CD ´e um n´ umero racional positivo ou CD n˜ao ´e congruente a nenhum m´ ultiplo de nenhum segmento 1 da forma n AB, para nenhum n inteiro. Nos dois primeiros casos, dizemos que AB e CD s˜ao comensur´ aveis. No u ´ltimo, dizemos que AB e CD s˜ao incomensur´ aveis. A existˆencia de segmentos que n˜ao s˜ao comensur´aveis ´e atribu´ıda aos pitag´ oricos. Voltaremos a falar de tais segmentos na aula 11. Considerando essa no¸ca˜o de medida de segmento que acabamos de introduzir, e fixando uma unidade de medida, apresentamos os seguintes axiomas: • A cada segmento AB est´a associado um n´ umero real positivo que chamamos medida de AB, e escrevemos m(AB). Dois segmentos s˜ao congruentes se, e somente se, suas medidas s˜ao iguais. Do mesmo modo, se considerarmos um n´ umero real positivo qualquer, digamos c, ent˜ao existem segmentos com medida igual a c. • Se B est´a entre A e C, ent˜ao m(AC) = m(AB) + m(BC). Se AB e CD s˜ao incomensur´aveis, a medida de CD, usando AB como unidade de medida, ser´a um n´ umero irracional positivo. Usando essa no¸ca˜o de medida, definimos distˆancia entre pontos: ´ MODULO 1 - AULA 2 Pit´ agoras, fil´ osofo e matem´ atico grego, nasceu na ilha de Samos, na costa ´ oeste da Asia Menor. Foi estudioso na juventude e ent˜ ao viajou cerca de 30 anos. Aos mais ou menos 50 anos de idade emigrou para a colˆ onia grega de Crotona, no sul da It´ alia, onde come¸cou sua vida p´ ublica. Ele se estabeleceu como professor e fundou a Escola Pitag´ orica, uma associa¸ca ˜o semi-secreta com centenas de alunos e que disputa a honra de ser a primeira universidade do mundo. O movimento fundado por Pit´ agoras chamou-se pitagorismo e tinha prop´ ositos religiosos, pol´ıticos e filos´ oficos. Os pitag´ oricos aconselhavam obediˆ encia, silˆ encio, abstinˆ encia de certos alimentos, simplicidade no vestir e nas posses e o h´ abito da auto-an´ alise. Acreditavam na imortalidade e na transmigra¸ca ˜o da alma. Pit´ agoras foi o primeiro a conceber a Matem´ atica como um sistema de pensamento mantido coeso por provas dedutivas. Foi mesmo o primeiro a usar a palavra Mathematike para designar a Matem´ atica. Antes dele, havia apenas a palavra mathemata, que designava conhecimento ou aprendizado em geral. Consulte: http://catanduvas.g12.br/ desgeo/ Defini¸c˜ao 7 (Distˆancia entre dois pontos) A distˆancia entre dois pontos distintos X e Y ´e a medida do segmento XY . 23 CEDERJ Congruˆencia de segmentos e ˆangulos Atividade 1: (Tra¸ cando segmentos congruentes) Para esta atividade vocˆe dever´a −−→ usar r´egua e compasso. O objetivo ´e construir na semi-reta CD da figura 21 um segmento de reta come¸cando no ponto C e congruente ao segmento AB −−→ dado. Ou seja, vamos marcar um ponto E em CD tal que AB ≡ CE. D A B C Fig. 21: Atividade 1. Primeiro m´etodo: Use uma r´egua graduada para medir o segmento AB e depois marcar o ponto E de forma que m(AB) = m(CE). Segundo m´etodo: Coloque uma das pontas do compasso no ponto A e a outra no ponto B, ao mesmo tempo. Ao fazer isso, vocˆe estar´a fixando uma abertura do compasso. Veja figura 22. Sem modificar essa abertura, coloque a ponta de metal do compasso no ponto C e fa¸ca um risco com a ponta de −−→ grafite cruzando a semi-reta CD. Aten¸ca˜o! Se o compasso abrir ou fechar um pouquinho nessa opera¸ca˜o, vocˆe deve come¸car de novo. O ponto E que −−→ fica determinado pela interse¸ca˜o da semi-reta CD com o tra¸co do compasso ´e o ponto procurado. Fig. 22: Fixando uma abertura do compasso. CEDERJ 24 Congruˆencia de segmentos e ˆangulos ´ MODULO 1 - AULA 2 Congruˆ encia de ˆ angulos No caso de aˆngulos, a congruˆencia ´e relacionada a` abertura de seus lados. Assim, intuitivamente, dois aˆngulos s˜ao congruentes se eles tˆem a mesma abertura. Partindo dessa no¸ca˜o intuitiva, formulamos o seguinte axioma: Axioma de transporte de ˆangulos −→ ˆ e uma semi-reta − • Dados um aˆngulo B AC DE, em cada semi←→ plano determinado pela reta DE (que ´e o prolongamento de −−→ −−→ ˆ ´e congruDE) existe uma u ´nica semi-reta DF tal que B AC ˆ . Veja a figura 23. ente a E DF D F B A C E ˆ Fig. 23: Transporte do a ˆngulo A. Usaremos tamb´em o s´ımbolo ≡ para indicar a congruˆencia de aˆngulos. ˆ ´e congruente a E DF ˆ escreveremos simplesAssim, para denotar que B AC ˆ ≡ E DF ˆ . mente B AC Finalizamos os axiomas sobre congruˆencia de aˆngulos com os pr´oximos dois axiomas. O primeiro deles formaliza a nossa pr´atica de medir aˆngulos com ajuda de um transferidor (veja a Atividade 2 desta aula) e o u ´ltimo diz que a medida de aˆngulos ´e aditiva. ˆ do plano est´a associado um n´ • A cada aˆngulo B AC umero real ˆ positivo menor que 180 chamado medida do aˆngulo B AC, e ˆ denotado por m(B AC), tal que dois aˆngulos s˜ao congruentes se, e somente se, tˆem a mesma medida. Reciprocamente, para todo n´ umero real positivo c menor que 180, existe um aˆngulo cuja medida ´e c. −−→ ˆ ent˜ao m(B AC) ˆ • Se AD ´e uma semi-reta que divide B AC, = ˆ ˆ m(B AD) + m(C AD), veja figura 24. 25 CEDERJ Congruˆencia de segmentos e ˆangulos B D Vocˆ e sabia que... A base de numera¸ca ˜o hindu era decimal, exatamente como utilizamos hoje. Por´ em, a base de numera¸ca ˜o babilˆ onica era sexagesimal. Isto significa que eles utilizavam 60 s´ımbolos (algarismos) distintos para escrever todos os n´ umeros. Infelizmente o zero era representado por uma lacuna, o que tornava a leitura de alguns n´ umeros confusa. Talvez essa tenha sido a dificuldade essencial, que levou esse sistema a n˜ ao ser absorvido pelas civiliza¸co ˜es que sucederam a civiliza¸ca ˜o babilˆ onica. Para esse povo, que utilizava um sistema de numera¸ca ˜o de base 60, foi muito natural dividir o c´ırculo em 360 partes (grau), e cada uma destas partes em 60 partes (minuto) e repetir o processo para essas subpartes. Assim, o “grau” ´ e uma inven¸ca ˜o dos babilˆ onios, que entraram para a hist´ oria da ciˆ encia matem´ atica tendo dado a ela uma contribui¸ca ˜o importante que utilizamos at´ e hoje. C A ˆ ˆ ˆ Fig. 24: m(B AC) = m(B AD) + m(D AC). Nota: No segundo axioma enunciado acima usamos a no¸ca˜o de semi-reta que divide um aˆngulo. Uma semi-reta divide um aˆngulo se ela tem como origem a origem do aˆngulo e est´a contida no interior do aˆngulo. Outro modo equivalente de definir este conceito seria: “uma semi-reta divide um aˆngulo se possui origem coincidente com a origem do aˆngulo, e intersecta qualquer segmento cujas extremidades perten¸cam aos lados distintos do aˆngulo”. Veja a figura 24. Atividade 2: (Tra¸ cando ˆ angulos congruentes) Para esta atividade vocˆe dever´a usar r´egua, compasso e transferidor. O objetivo ´e construir um aˆngulo a −−→ partir da semi-reta BC da figura 25 que seja congruente ao aˆngulo Aˆ dado. B A C Fig. 25: Atividade 2. Primeiro m´etodo: Neste m´etodo use um transferidor. O primeiro passo ´e medir o aˆngulo Aˆ usando esse instrumento. Observe que o transferidor ´e transparente e tem o formato de um meio c´ırculo (ou de um c´ırculo). Pr´oximo ao meio do lado reto (ou no centro do c´ırculo), est´a marcado um ponto. Chame esse ponto de centro do transferidor. Coloque o transferidor sobre o aˆngulo Aˆ de forma que o centro do transferidor fique em cima do ponto A, e o zero do bordo do transferidor fique em cima de uma das semi-retas ˆ Veja figura 26. A outra semi-reta determina a que determinam o aˆngulo A. medida do aˆngulo no bordo circular do transferidor. CEDERJ 26 Congruˆencia de segmentos e ˆangulos ´ MODULO 1 - AULA 2 Fig. 26: Transporte de um a ˆngulo usando transferidor. O segundo passo ´e transportar o aˆngulo. Coloque o transferidor sobre −−→ a semi-reta BC de modo que seu centro fique sobre o ponto B. Fa¸ca o zero −−→ da borda cair sobre a semi-reta BC e marque um ponto na posi¸ca˜o da borda correspondente a` medida que vocˆe tomou. Chame esse ponto de D. O aˆngulo ˆ ter´a a mesma medida de A. ˆ C BD Segundo m´etodo: Neste m´etodo use um compasso e uma r´egua (que n˜ao precisa ter marca¸ca˜o de medida). Fixe a ponta de metal do compasso sobre o ponto A e, com qualquer abertura, trace com a outra ponta uma curva que corte as duas semi-retas que formam o aˆngulo Aˆ em dois pontos, E e F . Agora mantenha a abertura do compasso e fixe-o com a ponta de metal no −−→ ponto B. Trace com a outra ponta uma curva que corte BC (em um ponto que chamaremos G) e seja grande o bastante para cortar o aˆngulo depois de transportado (vocˆe deve ter uma estimativa do tamanho que ele vai ficar). Agora marque com o compasso a distˆancia entre E e F e transporte para a curva no segundo desenho come¸cando em G, determinando um ponto H. −−→ ˆ ser´a congruente a A. ˆ Confira usando Trace a semi-reta BH. O aˆngulo GBH um transferidor. Veja a figura 27. H B G E A F C Fig. 27: Transporte de a ˆngulo usando compasso. Unidade de Medida de ˆ angulo Observe que... Por motivos hist´oricos, usa-se o grau para indicar a medida de um ˆ ´e 50, por exemplo, dizemos que B AC ˆ aˆngulo. Assim, se a medida de B AD mede 50o (cinq¨ uenta graus). A congruˆ encia de a ˆngulos tamb´ em ´ e uma rela¸ca ˜o de equivalˆ encia. 27 CEDERJ Congruˆencia de segmentos e ˆangulos ˆ um aˆngulo e D um ponto tal que A est´a entre C e D (veja Seja B AC ˆ ´e chamado aˆngulo suplementar adjacente ao figura 28). O aˆngulo B AD ˆ aˆngulo B AC. B D A C ˆ e B AD ˆ s˜ Fig. 28: B AC ao a ˆngulos suplementares adjacentes. Usando os axiomas anteriores, pode-se mostrar que a soma das medidas de dois aˆngulos suplementares adjacentes ´e 180o . Em vista disso, estendemos a no¸ca˜o de aˆngulos e de medida de aˆngulos para o caso em que seus lados s˜ao semi-retas coincidentes e para o caso em que seus lados s˜ao semi-retas opostas. No primeiro caso dizemos que o aˆngulo ´e nulo, e no segundo caso dizemos que o aˆngulo ´e raso. A medida de um aˆngulo nulo ´e zero e a medida de um aˆngulo raso ´e 180o . Dois aˆngulos s˜ao chamados suplementares se a soma de suas medidas for 180o , e s˜ao chamados complementares se a soma de suas medidas for 90o . Al´ em do grau, h´ a tamb´ em outras unidades para medir a ˆngulos, como o radiano e o grado. Um a ˆngulo mede um grado quando corresponde a 1/400 de uma circunferˆ encia. Falaremos sobre o radiano na aula 17. Se dois aˆngulos suplementares adjacentes s˜ao congruentes (ou seja, tˆem ˆ a mesma medida), eles s˜ao chamados retos , e indicados como o aˆngulo B AC na figura 29. Como a soma das medidas de dois aˆngulos suplementares adjacentes ´e 180o , tem-se que a medida de um aˆngulo reto ´e 90o . B D A C ˆ ≡ B AD ˆ s˜ Fig. 29: B AC ao a ˆngulos retos. Com rela¸ca˜o a` figura 29, tome um ponto E pertencente ao interior do ˆ (veja figura 30). O aˆngulo E AC ˆ ´e menor que o aˆngulo B AC ˆ aˆngulo B AC ˆ ´e maior que o aˆngulo B AD. ˆ e o aˆngulo E AD Um aˆngulo ´e chamado agudo se ele for menor que um aˆngulo reto e ´e chamado obtuso se for maior que um aˆngulo reto. Assim, a medida de um aˆngulo agudo ´e menor que 90 o e a medida de um aˆngulo obtuso ´e maior que 90o . CEDERJ 28 Congruˆencia de segmentos e ˆangulos ´ MODULO 1 - AULA 2 ˆ Angulo reto e ˆ angulo raso B E D A C ˆ e B AD ˆ s˜ ˆ ´ ˆ ´ Fig. 30: B AC ao a ˆngulos retos, E AC e agudo e E AD e obtuso. ´ importante enfatizar que vocˆe n˜ao deve decorar os axiomas e sim se E convencer de que eles s˜ao naturais. Muitas das propriedades que est˜ao nestas duas primeiras aulas em forma de axiomas v˜ao ser usadas nas aulas seguintes sem justificativa e, muitas vezes, nem notaremos que estamos usando um desses axiomas. Vamos resumir a nomenclatura sobre aˆngulos e suas medidas: ˆ Angulos e suas medidas ˆ • Angulo reto - Um aˆngulo cuja medida ´e 90 graus. ˆ • Angulo agudo - Um aˆngulo cuja medida ´e menor que 90 graus. ˆ • Angulo obtuso - Um aˆngulo cuja medida ´e maior que 90 graus. ˆ • Angulo nulo - Um aˆngulo cuja medida ´e 0 grau. ˆ • Angulo raso - Um aˆngulo cuja medida ´e 180 graus. ˆ ˆ • Angulos suplementares - Angulos cuja soma das medidas ´e 180 graus. ˆ ˆ • Angulos complementares - Angulos cuja soma das medidas ´e 90 graus. Oa ˆngulo reto mede 90o e o a ˆngulo raso mede 180o . Mas qual ´ e a raz˜ ao para os valores serem justamente 90 e 180? Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando eg´ıpcios e a ´rabes estavam tentando elaborar um calend´ ario. Nessa ´ epoca, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa o ´rbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa o ´rbita, ou seja, um arco de circunferˆ encia de sua o ´rbita. A esse arco fez-se corresponder um a ˆngulo cujo v´ ertice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse a ˆngulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou a ˆngulo de um grau. Pode-se concluir, ent˜ ao, que para os antigos eg´ıpcios e a ´rabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que ´ e a Terra que gira em torno do Sol, mas, manteve-se a tradi¸ca ˜o e convencionou-se dizer que o arco de circunferˆ encia mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferˆ encia. Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu... • O significado de congruˆencia em Geometria. • Alguns axiomas de congruˆencia de segmentos e de aˆngulos. • As no¸co˜es de medida de aˆngulo e de medida de segmento. 29 CEDERJ Congruˆencia de segmentos e ˆangulos Exerc´ıcios 1. Fa¸ca um desenho onde constem pontos A, B, C e D e retas r e s, satisfazendo ao mesmo tempo a todos os itens abaixo: • r e s s˜ao concorrentes, • A ∈ r e B ∈ r, • C ∈ s e D ∈ s, • AB ≡ CD, • AB e CD n˜ao se intersectam. 2. Desenhe sobre uma reta r trˆes pontos diferentes A, B e C (n˜ao necessariamente nessa ordem). Diga se ´e verdadeira ou falsa cada afirma¸ca˜o abaixo, de acordo com seu desenho. • m(AB) = m(BC), • CB ≡ AB, • Se B est´a entre A e C, ent˜ao m(AB) = m(BC), • m(AB) = 2m(BA). Alguma das afirma¸co˜es depende do desenho que vocˆe fez para ser falsa ou verdadeira? Alguma delas ´e sempre falsa (independentemente do seu desenho)? Alguma delas ´e sempre verdadeira? 3. Considere trˆes pontos A, B e C tais que B esteja entre A e C. Se m(AC) = 18cm e m(BC) = 2m(AB), determine m(AB) e m(BC). 4. Considere quatro pontos A, B, C e D tais que B esteja entre A e C e C esteja entre B e D. Se m(AD) = 30cm, m(AB) = 2m(BC) e m(BC) = 3m(CD), determine m(AB), m(BC) e m(CD). 5. Sejam AB, CD e EF segmentos tais que CD ≡ 2AB e CD ≡ 5EF. Adotando AB como unidade de medida, determine a medida de EF. 6. Considere quatro pontos A, B, C e D dispostos nessa ordem sobre uma reta r (ou seja, B est´a entre A e C e C est´a entre B e D). Se AB ≡ CD, mostre que AC ≡ BD. CEDERJ 30