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CAPÍTULO 1
UNIDADES DE MEDIDAS USADAS EM MECÂNICA
1. Introdução
Na Mecânica, o conhecimento das unidades de medidas é fundamental
para a realização de qualquer tarefa específica. Um exemplo disso é quando
um torneiro mecânico recebe o desenho de uma peça a ser fabricada. Nele, o
torneiro nota que as medidas não estão cotadas com a unidade definida pelo
projetista. Daí, tem-se a importância do emprego das unidades em Mecânica,
cujas unidades mais utilizadas são o milímetro e a polegada. Vale lembrar a
importância de especificar a unidade em relação a sua respectiva grandeza.
2. Milímetro
Em Matemática, você aprendeu que, para medir as coisas de modo que
todos entendam, sendo necessário adotar um padrão, ou seja, uma unidade de
medida.
Em Mecânica, a unidade de medida mais comum é o milímetro, cuja sua
abreviação é dada por mm. Esta unidade é tão comum que, em geral, nos
desenhos técnicos, essa abreviação nem aparece. Mas, na verdade, é sempre
bom especificar o seu uso para qualquer projeto dentro da Mecânica.
Vale lembrar que o milímetro faz parte dos submúltiplos de dez, sendo
a milésima parte do metro, isto é, uma parte de um metro que é dividido em
1.000 partes iguais. Embora seja pequena, em Mecânica o milímetro ainda é
uma medida considerada grande, quando se pensa no encaixe de precisão de
peças como rolamentos, buchas, eixos, entre outras. O milímetro é maior
ainda para instrumentos de medição, como calibradores ou blocos-padrão.
Assim, a Mecânica emprega medidas ainda menores que o milímetro, também
chamada de submúltiplos do milímetro, como mostra a Tabela 1.
Tabela 1 – Medidas em Mecânica para submúltiplos do milímetro (SENAI,
1997).
"Submúltiplos do "Representação "Correspondência "
"milímetro " " "
"Décimo de milímetro "0,1 mm " "
"Centésimo de milímetro"0,01 mm " "
"Milésimo de milímetro "0,001 mm (1 (m) " "
Na prática, o milésimo do milímetro também é representado pela letra
grega ( (lê-se mi). Assim, o milésimo de milímetro também pode ser chamado
de micrômetro, ou simplesmente de mícron, como:
1 (m( 1 x 10-6 m( 1 x 10-3 x 10-3 m (1 mm=1 x 10-3 m)( 1 x 10-3 mm( 0,001
mm
É importante para o futuro técnico mecânico estudar os assuntos passo
a passo, a fim de não perder nenhuma informação relevante.
3. Polegada
A polegada é outra unidade de medida muito utilizada em Mecânica,
principalmente nos conjuntos mecânicos em países de língua inglesa, como os
EUA e a Grã-Bretanha. Embora a unificação de vários blocos econômicos tenha
obrigado esses países a adotarem como norma o Sistema Métrico Decimal, essa
adaptação está sendo feita por etapas. Um exemplo disso são as máquinas de
comando numérico computadorizado, conhecido pela sigla CNC, que vêm sendo
fabricadas com os dois sistemas de medidas (Sistemas Métrico Decimal e
Inglês). Isso permite que o operador escolha o sistema que seja compatível
com aquele empregado em sua empresa. Por essa razão, mesmo que o sistema
adotado no Brasil seja o Sistema Métrico Decimal, é necessário conhecer a
polegada e aprender a fazer as conversões.
Por definição, a polegada, que pode ser fracionada ou decimal, é uma
unidade de medida que corresponde a, aproximadamente, 25,4 mm, ou seja:
1" ( 25,4 mm
A Figura 1 ilustra uma comparação de duas réguas com unidades
distintas, sendo a régua situada na parte superior está em milímetros e a
régua situada na parte inferior está em polegadas.
Figura 1 – Comparação das medidas em milímetros e em polegadas com uso de
réguas (SENAI, 1998).
Observe que, na régua inferior, os números aparecem acompanhados de
um sinal (", lê-se aspas). Esse sinal indica a representação de uma medida
em polegada ou em fração de polegada. Da mesma forma que o milímetro é uma
unidade de medida muito grande para a Mecânica sendo, para isso, dividido
em submúltiplos, a polegada também é dividida. Ela possui subdivisões que
podem ser usadas nas medidas de peças de precisão. Assim, a polegada é
dividida em 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 partes iguais, seguindo a lógica de
uma progressão geométrica. Nas escalas graduadas em polegadas, normalmente
a menor divisão corresponde a 1/16" (lê-se: um dezesseis avos de polegada).
Essas subdivisões são chamadas de polegadas fracionárias.
Ao analisar mais a Figura 1, percebe-se que a escala da régua
graduada em polegadas apresenta as frações 1/8", 1/4", 3/8" (lêm-se,
respectivamente, um oitavo de polegada, um quarto de polegada, três oitavos
de polegada), e assim por diante. Observe que os numeradores das frações
são sempre números ímpares. Como se chega a essas frações? Para obter essa
resposta, representa-se uma escala de uma polegada de comprimento e
verifica-se como são feitas as subdivisões, como ilustra a Figura 2.
Figura 2 – Divisão de uma polegada em dezesseis partes iguais (SENAI,
1998).
Como na Matemática, já se sabe que algumas das frações que estão à
amostra na Figura 2 podem ser simplificadas. Por exemplo:
Esse procedimento é realizado até a obtenção da fração final da
escala. Os resultados dos exemplos na Figura 2 mostram as subdivisões mais
comuns da polegada fracionária.
Para menores medidas, o procedimento será o mesmo. As subdivisões são
obtidas a partir de 1/16" e seus valores em ordem crescente são
apresentadas na Figura 3.
Figura 3 – Subdivisão da escala para obtenção de valores menores a partir
de 1/16" (SENAI, 1998).
A representação da polegada em forma decimal é tão usada na Mecânica
quanto a fracionária. Ela aparece em desenhos mecânicos, aparelhos de
medição como, por exemplo, paquímetros e micrômetros, permitindo a
realização de medidas menores do que a menor medida da polegada
fracionária, que é de 1/128" (lê-se um centro e vinte e oito avos de
polegada). Vale lembrar que uma polegada equivale, aproximadamente, igual a
25,4 mm (1" ( 25,4 mm).
Quanto à diferença entre as polegadas fracionada e decimal está nas
suas subdivisões, ou seja, em vez de ser subdividida em frações ordinárias,
a polegada decimal é dividida em partes iguais por 10, 100, 1000, etc. A
divisão mais comum é por 1000. Assim, têm-se como exemplos os seguintes
valores dados em polegadas decimais a partir dos valores de polegadas
fracionárias:
1/2" corresponde a 0,5" (cinco décimos de polegada);
1/4" corresponde a 0,25" (vinte e cinco centésimos de polegada);
1/8" corresponde a 0,125" (cento e vinte e cinco milésimos de polegada).
4. Conversão de Unidades de Medidas
4.1 Conversão de Polegadas em Milímetros
Para converter uma medida dada em polegadas para milímetros, basta
multiplicar a fração por 25,4 mm. A seguir têm-se alguns exemplos:
a) 5/16"
b) 3/8"
4.2 Conversão de Milímetros em Polegadas
Para converter uma medida dada em milímetros em polegadas, é
necessário que o futuro técnico em mecânica precise aplicar mais alguns
conhecimentos de aritmética e simplificação de frações. Uma forma mais
prática para esta conversão é dada por:
Exemplos:
a) uma barra de aço quadrada de 19,05 mm de lado.
b) uma chapa de alumínio de 1,588 mm de espessura.
4.3 Conversão de Polegada Decimal em Polegada Fracionária
Para converter polegada decimal e polegada fracionária, basta
transformar a polegada decimal em uma fração na qual o numerador é o valor
que o técnico em mecânica deverá converter, multiplicado por 10, 100, 1000,
etc., enquanto que o denominador é o número que o técnico usou na
multiplicação (10, 100, 1000, ...), dependendo do número decimal a ser
convertido. Após a montagem da fração, procede-se a sua simplificação.
Exemplos: valores obtidos após a conversão de milímetros em polegadas.
a) uma barra de aço quadrada de 19,05 mm de lado convertida para 0,75".
b) uma chapa de alumínio de 1,588 mm de espessura convertida para 0,0625".
4.4 Conversão de Polegada Fracionária para Polegada Decimal
Para conversão de polegada fracionária para polegada decimal, basta
apenas dividir o numerador da fração por seu denominador. A seguir têm-se
alguns exemplos:
a)
b)
5. Resolução de Cotas em Projetos Mecânicos
Suponha que o inspetor de qualidade receba um desenho projetado com
as devidas medidas em milímetros e que esteja faltando a cota de uma
medida, como ilustra a Figura 4. Vale lembrar que o desenho dessa peça é
dada em milímetros.
Figura 4 – Desenho de uma peça com as cotas dadas na parte superior e a
ausência de uma medida na parte inferior (SENAI, 1998).
O inspetor de qualidade precisava calcular o comprimento da peça
abaixo. Para que o inspetor obtenha o valor da cota inferior da peça, basta
usar os conhecimentos de álgebra e resolver o problema. Assim:
x = (20,50+15,80+18,65+42,22) mm ( x = 97,17 mm
5. Exercícios de Fixação
1 – Converta as medidas cotadas em polegadas fracionárias para milímetros.
a) 5/32" b) 1/128" c) 1 5/8" d) 3 3/16" e) 7/16"
2 – Converta as medidas cotadas em milímetros para polegadas fracionárias.
a) 1,587 mm b) 19,05 mm c) 25,4 mm d) 63,5 mm e) 9,525 mm
3 – Transforme em polegada decimal as seguintes medições em polegadas
fracionárias.
a) 5/64" b) 3/16" c) 1/2" d) 1 7/8" e) 11/16"
4 – Transforme em polegada fracionária as seguintes medições em polegadas
decimais.
a) 0,125" b) 0,4375" c) 1,375" d) 2,500" e) 3,625"
5 – Converta as medidas cotadas em milímetros para polegadas decimais.
a) 6,35 mm b) 11,1125 mm c) 60,325 mm d) 79,375 mm
e)91,125 mm
6 – Converta as medidas cotadas em polegadas decimais para milímetros.
a) 0,0625" b) 0,001" c) 1,500" d) 2,625" e) 5,375"
7 – Qual é o diâmetro externo x da arruela desta figura?
8 – Qual é a medida da cota D no desenho abaixo?
9 – Determine a cota x do seguinte desenho.
10 – Determine o número de peças que pode ser obtido de uma chapa de 3m de
comprimento, sendo que cada peça deve ter 30mm de comprimento e que a
distância entre as peças deve ser de 2,5mm.
11 – Um mecânico precisava medir a distância x entre os centros dos furos
da peça representada abaixo. Qual foi a medida obtida?
(Obs.: Vale lembrar que, nas questões 7, 8, 9 e 11, as cotas são dadas em
milímetros).
6. Referências Bibliográficas
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Curso Básico de
Medição Industrial. Transformação de Medidas. Centro de Metal Mecânica
Euvaldo Lodi, Benfica, Rio de Janeiro, RJ, 1997. Pp. 50:56.
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Cálculo Técnico –
Metrologia – Leitura e Interpretação de Desenho Técnico Mecânico.
Usando Unidades de Medida. Telecurso 2000 Profissionalizante. São
Paulo, SP, 1998. Pp. 3:18.
CAPÍTULO 2
CÁLCULO DE PEÇAS METÁLICAS DILATADAS
1. Conceito de Temperatura
No estudo de sistemas mecânicos, até o momento, eram necessárias
apenas três grandezas físicas fundamentais do Sistema Internacional – SI –
[comprimento, tempo e massa], pois todas as outras grandezas mecânicas
derivadas [força e energia] são expressas em termos nessas três. Agora será
considerada uma classe de fenômenos, chamados de fenômenos térmicos ou de
calor, que requer uma quarta grandeza física fundamental no SI: a
temperatura.
Desde a infância, o ser humano experimenta as sensações de quente e
frio, que são descritas em termos de adjetivos como frio, quente, tépido,
morno, etc. Quando se toca num objeto, usa-se a própria sensação de
temperatura para atribuir ao objeto uma propriedade chamada temperatura,
que determina se o referido objeto encontra-se quente ou frio. Quanto mais
quente se sente o objeto, mais alta é a temperatura. Para determinar-se
quantitativamente a temperatura de um objeto, deve-se, primeiro, chegar ao
conceito por meio de operações independentes de nossas percepções
sensoriais de calor ou frio e que envolvem quantidades mensuráveis.
Há certos sistemas simples cujos estados podem ser especificados
medindo-se uma grandeza física. Considere, por exemplo, um líquido como
mercúrio ou álcool, dentro de um bulbo de paredes muito finas, que se
comunica com um tubo capilar (Figura 1A). O estado do sistema é
especificado pelo comprimento L da coluna líquida, a partir de um ponto
arbitrário. Outro sistema simples é apresentado na Figura 1B, que
representa um vaso de paredes finas contendo gás, cujo volume mantém-se
constante. A pressão p é medida pela leitura de qualquer termômetro
conveniente. O terceiro exemplo é a resistência elétrica de um fio, que
também varia com o frio ou o calor. Em cada um desses exemplos, a
quantidade que descreve o estado de variação do sistema, seja o comprimento
L, a pressão p ou a resistência R, chama-se coordenada de estado do
sistema.
Figura 1 – Em A, tem-se um sistema constituído por um tubo de parede fina
de vidro contendo em seu interior outro com bulbo que armazena álcool ou
mercúrio, cujo seu estado é especificado pelo valor de comprimento L; em B,
tem-se um sistema contendo um recipiente com um gás, cujo seu estado é dado
pela pressão p. (SEARS et al., 1984).
2. Termômetros
Para definir-se uma escala de temperatura, o procedimento mais
simples é escolher um sistema, por exemplo, um dos descritos anteriormente,
e associar-se arbitrariamente um valor numérico de temperatura a cada valor
da coordenada de estado do sistema. Isto define quantitativamente a
temperatura deste sistema e a de todos os sistemas em equilíbrio térmico
com ele.
Apesar do sistema mostrado na Figura 1A seja um dos mais antigos
termômetros, muitos outros sistemas são usados atualmente. As
características importantes de termômetro são:
- sensibilidade (mudança apreciável da coordenada de estado produzida por
uma pequena mudança de temperatura);
- precisão na medida da coordenada de estado; e
- reprodutibilidade.
Outra propriedade freqüentemente desejada é a velocidade com que
chega ao equilíbrio térmico com outros sistemas.
Um termômetro largamente empregado em pesquisa ou em laboratórios de
Engenharia é o termoelétrico, também conhecido como termopar, que se
utiliza do fato de que junções de metais ou de ligas metálicas diferentes
num circuito elétrico dá origem a uma força eletromotriz, ou tensão
elétrica, se eles estiverem em temperaturas diferentes. Na Figura 2, a
junção de teste é colocada em contato com o sistema cuja temperatura se
deseja medir e as duas junções de referência são mantidas à temperatura
constante de referência que, neste caso, a temperatura do gelo fundente.
Freqüentemente, insere-se a junção de teste dentro do material cuja
temperatura se quer medir. Desde que essa junção seja pequena e tenha uma
pequena massa, ela poderá seguir rapidamente as variações de temperatura e
chegar logo ao equilíbrio.
Figura 2 – Apresentação do termopar com a junção de teste e a junção de
referência (SEARS et al., 1984).
Outros tipos de termômetros como termômetro de resistência, termômetro
a gás e pirômetros têm a mesma função de medir temperaturas, mas com
especificações de construção distintas que serão discutidas em
Instrumentação Industrial.
3. Escalas de Temperatura
Qualquer tipo de termômetro pode ser usado para indicar a constância
de uma temperatura se sua coordenada de estado ou propriedade termométrica
permanecer constante. Desta maneia, verifica-se que um sistema composto por
um sólido e por um liquido de mesma substância, mantidos a pressão
constante, permanecerão em equilíbrio de fase, isto é, o líquido e o sólido
coexistem, sem o líquido mudar em sólido, ou vice-versa, apenas a uma
temperatura definida. Analogamente, um líquido só permanecerá em equilíbrio
de fase com seu vapor em uma temperatura definida, quando a pressão for
mantida constante.
A temperatura em que um sólido e um líquido de mesa substância
coexistem em equilíbrio de fase a pressão atmosférica é chamada ponto
normal de fusão. Analogamente, para líquido e vapor, é chamada ponto normal
de ebulição. Obtém-se, algumas vezes, o equilíbrio de fase entre um sólido
e seu vapor a pressão atmosférica. A temperatura em que esse processo
ocorre chama-se ponto normal de sublimação.
É possível que as três fases – sólida, líquida e vapor – coexistam em
equilíbrio, mas apenas em pressão e temperatura definidas. Essa temperatura
é conhecida como ponto tríplice. O ponto tríplice da água ocorre a 4,58 mm
de mercúrio e a 0,01 ºC. Qualquer destas condições de equilíbrio de fase de
um material pode ser escolhida como padrão de referência para o
estabelecimento de uma escala de temperatura. Qualquer temperatura assim
escolhida chama-se ponto fixo. O ponto fixo padrão usado em termometria
moderna é o ponto tríplice da água, ao qual foi atribuído o número
arbitrário de 273,16 K (lê-se 273,16 kelvins).
3.1 Escalas Celsius, Fahrenheit e Rankine
A escala Celsius de temperatura, algumas vezes chamada de escala
centígrada, emprega um grau de mesmo valor que o da escala Kelvin, mas seu
ponto zero é deslocado de tal maneira que a temperatura Celsius do ponto
tríplice da água é 0,01 ºC. Assim, se TC denotar a temperatura em escala
Celsius, tem-se:
TC = TK – 273,16 (Eq. I)
onde TK é a temperatura dada em escala Kelvin.
A temperatura em escala Kelvin em que o vapor se condensa a pressão
de 1 atm é de 373,16 K, de modo que, na escala Celsius, ela é dada por:
TC = 373,16 – 273,16 ( TC = 100 ºC
Há duas outras escalas de uso comum em Engenharia e na vida diária
nos EUA e na Grã-Bretanha. A escala Rankine, TR, cuja abreviação é grau
Rankine (ºR), é proporcional à temperatura na escala Kelvin, de acordo com
a relação:
(Eq. II)
Um grau de mesmo valor é usado na escala Fahrenheit, TF, cuja
abreviação é grau Fahrenheit (ºF), mas com ponto zero deslocado, obedecendo
a seguinte relação:
TF = TR – 459,69 (Eq. III)
Substituindo as equações I e II em III, obtém-se:
(Eq. IV)
da qual resulta que a temperatura Fahrenheit do ponto de gelo (TC = 0 ºC) é
32 ºF e a do ponto de vapor (TC = 100 ºC) é 212 ºF. Os 100 ºC ou Kelvin
entre os pontos de gelo e de vapor correspondem a 180 ºF ou Rankine, como
ilustra a Figura 3, onde as quatro escalas são comparadas.
Figura 3 – Comparação entre as escalas de temperatura Kelvin, Celsius,
Rankine e Fahrenheit, cujos seus valores são arredondados (SEARS et al.,
1984).
4. Dilatação Térmica
A maior parte dos sólidos dilata-se quando aquecida. Suponha que uma
barra de determinado material tenha comprimento Lo à temperatura inicial e
que, quando a temperatura cresce, (T, o comprimento aumentará de (L (Figura
4). A experiência mostra que se (T não for muito grande, (L será
diretamente proporcional a (T. Certamente, (L também será proporcional a
Lo. Se duas barras do mesmo material sofrerem a mesma variação de
temperatura, mas uma for o dobro da outra, então a variação de comprimento
desta também será o dobro do da outra. Introduzindo uma constante de
proporcionalidade (, que é diferente para materiais diferentes, pode-se
resumir esta relação para:
(L = ( * Lo * (T (Eq. V)
onde ( é o coeficiente de dilatação linear dado em ºC-1.
Figura 4 – Dilatação térmica de uma barra devido ao aumento de temperatura
para promover o aumento do seu comprimento (SENAI, 1998).
Pela Figura 4, a dilatação térmica ocorre sempre em três dimensões:
na direção do comprimento, da largura e da altura.
Quando a dilatação se refere a essas três dimensões, ao mesmo tempo,
ela é chamada de dilatação volumétrica. Se apenas duas dimensões são
consideradas, a dilatação é superficial. Esta variação de tamanho que os
materiais apresentam quando aquecidos depende de uma constante
característica de cada material, e isso se dá através do coeficiente de
dilatação linear (. A Tabela 1 apresenta os valores de ( para cada material
utilizado na indústria.
Tabela 1 – Valores de coeficiente de dilatação linear para cada material
(SENAI, 1997; SEARS et al., 1984).
"Material "Coeficiente de dilatação linear ("
" "(ºC-1) "
"Aço "0,000 012 (ou 1,2 x 10-5) "
"Alumínio "0,000 024 (ou 2,4 x 10-5) "
"Antimônio "0,000 011 (ou 1,1 x 10-5) "
"Chumbo "0,000 029 (ou 2,9 x 10-5) "
"Cobre "0,000 017 (ou 1,7 x 10-5) "
"Ferro fundido "0,000 010 5 (ou 1,05 x 10-5) "
"Grafite "0,000 007 8 (ou 7,8 x 10-6) "
"Ouro "0,000 014 (ou 1,4 x 10-5) "
"Porcelana "0,000 004 5 (ou 4,5 x 10-6) "
"Vidro "0,000 000 5 (ou 5,0 x 10-7) "
"Latão "0,000 020 (ou 2,0 x 10-5) "
"Invar "0,000 000 9 (ou 9,0 x 10-7) "
"Quartzo fundido "0,000 000 4 (ou 4,0 x 10-7) "
O aumento de temperatura normalmente causa um aumento no volume tanto
de sólidos quanto de líquidos. A experiência mostra que, se a variação de
temperatura (T não for grande demais, o aumento de volume (V será
aproximadamente proporcional à variação de temperatura. Ela também será
proporcional ao volume inicial Vo, como na dilatação linear. A expressão
para variação de volume (V é dada por:
(V = ( * Vo * (T (Eq. VI)
onde ( é o coeficiente de dilatação volumétrica cujo seu valor é o triplo
do coeficiente de dilatação linear, ou seja:
( = 3 * ( (Eq. VII)
Já para a dilatação superficial em que o aumento de área (S será
aproximadamente proporcional à variação de temperatura, ela também será
proporcional à área inicial So, como na dilatação linear. A expressão para
variação de área (S é dada por:
(S = ( * So * (T (Eq. VIII)
onde ( é o coeficiente de dilatação superficial cujo seu valor é o dobro do
coeficiente de dilatação linear,ou seja:
( = 2 * ( (Eq. IX)
5. Cálculo de Dilatação Térmica
Para fins de cálculo, devem-se considerar as dilatações lineares,
superficiais e volumétricas. Para os cálculos, o técnico em mecânica deverá
utilizar as Equações V, VI e VIII. A seguir são apresentados três exemplos
de cálculos que envolvem, cada um, os tipos de dilatação.
5.1 Cálculo de Dilatação Térmica Linear
A Figura 5 ilustra o projeto de um conjunto coroa-eixo. Nesse
conjunto, cujo material é aço, o diâmetro do furo da coroa deverá ser 0,05
mm menor do que o diâmetro do eixo. Seu problema é descobrir a que
temperatura a coroa deverá ser aquecida para se obter o encaixe com o
aperto desejado.
Figura 5 – Conjunto coroa-eixo (SENAI, 1998).
Na figura acima, a peça apresenta o comprimento de 250 mm em
temperatura ambiente de 25 ºC, sendo aquecida a 500 ºC. O comprimento da
peça após o aquecimento é dada a partir da aplicação da Eq. V. Assim:
(L = ( * Lo * (T = 1,2 x 10-5 * 250 * (500-25) = 1,2 x 10-5 * 250 * 475 (
( (L = 1,425 mm
Como (L = Lf – Lo, logo:
(L = Lf – Lo = 1,425 ( Lf = 1,425 + Lo = (1,425 + 250) mm (
( Lf = 251,425 mm (Resposta)
5.2 Cálculo de Dilatação Térmica Volumétrica
A seguir tem-se a reprodução de uma questão de vestibular extraída da
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS), em que
envolve a dilatação volumétrica de um paralelepípedo.
(QUESTÃO DE VESTIBULAR DA PUC-RS) Um paralelepípedo a 10 ºC possui
dimensões iguais a 10 cm x 20 cm x 30 cm, sendo constituído de um material
cujo coeficiente de dilatação térmica linear é 8,0 x 10-6 ºC. Quando sua
temperatura aumenta para 110 ºC, o acréscimo de volume, em cm3, é:
a) 144 b) 72,0 c) 14,4 d) 9,60 e) 4,80
Solução:
Com base no enunciado, utiliza-se a Eq. VI para o cálculo do acréscimo de
volume (V do paralelepípedo:
(V = ( * Vo * (T (I)
Mas: ( = 3( = 3 x 8,0 x 10-6 ( ( = 24,0 x 10-6 ºC-1 (II)
Com: (T = Tf – To = (110 – 10) ºC ( (T = 100 ºC = 1,0 x 102 ºC (III)
E: Vo = (10 x 20 x 30) cm3 ( Vo = 6.000 cm3 = 6,0 x 103 cm3 (IV)
Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), tem-se, portanto:
(V = 24,0 x 10-6 x 6,0 x 103 x 1,0 x 102 = 144 x 10-1 ( (V = 14,4 cm3
(Resposta)
5.3 Cálculo de Dilatação Térmica Superficial
A seguir tem-se a descrição exemplar de dilatação superficial de uma
moeda de cobre puro.
Uma moeda, fabricada com níquel puro, está à temperatura ambiente de
20 ºC. Ao ser levada a um forno, ela sofre um acréscimo de 1 % na área de
sua superfície. Qual a temperatura do forno? Dado: (níquel = 12,5 x 10-6 ºC-
1.
Solução:
A expressão simplificada da dilatação superficial é dada pela Eq. VIII:
(S = ( * So * (T (I)
Sendo:
(S = 0,01 So (que é o acréscimo percentual – 1 % – na área da superfície da
moeda de níquel) (II)
( = 2(níquel = 2 x 12,5 x 10-6 ( ( = 25,0 x 10-6 ºC-1 (III)
(T = Tf – To ( (T = Tf – 20 (IV)
Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), tem-se:
6. Exercícios de Fixação
1 – Uma chapa de alumínio possui um furo em sua parte central. Sendo
aquecida, observamos que:
(A) tanto a chapa como o furo tendem a diminuir suas dimensões.
(B) o furo permanece com suas dimensões originais e a chapa aumenta.
(C) a chapa e o furo permanecem com suas dimensões originais.
(D) a chapa aumenta e o furo diminui.
(E) tanto a chapa como o furo tendem a aumentar suas dimensões.
2 – (UFMG) O coeficiente de dilatação térmica do alumínio (Al) é,
aproximadamente, duas vezes o coeficiente de dilatação térmica do ferro
(Fe). A figura mostra duas peças em que um anel feito de um desses metais
envolve um disco feito do outro. À temperatura ambiente, os discos estão
presos aos anéis.
Se as duas peças forem aquecidas uniformemente, é correto afirmar que:
(A) apenas o disco de Al se soltará do anel de Fe.
(B) apenas o disco de Fe se soltará do anel de Al.
(C) os dois discos se soltarão dos respectivos anéis.
(D) os discos não se soltarão dos anéis.
3 – Ao aquecermos um sólido de 20 ºC a 80 ºC, observamos que seu volume
experimenta um aumento corresponde a 0,09 % em relação ao volume inicial.
Qual é o coeficiente de dilatação linear do material de que é feito o
sólido?
4 – Uma barra de estanho tem a forma de um prisma reto de 4,0 cm2 de área
da base e 1,0 m de comprimento, quando na temperatura inicial de 68 ºF.
Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do estanho é igual a 2,0 x 10-
5 ºC-1, determine o comprimento e o volume dessa barra quando ela atinge a
temperatura de 518 ºF.
5 – Uma barra de ferro tem, a 20 ºC, um comprimento igual a 300 cm. O
coeficiente de dilatação térmica linear do ferro vale 12 x 10-6 ºC-1.
Determine o comprimento da barra a 120 ºC.
6 – Uma vara metálica tem comprimento de 1 m, a 0 ºC. Ao ser aquecida até
100 ºC, sofre um aumento de 0,12 cm. Determine o coeficiente de dilatação
térmica linear do metal, no intervalo de temperatura considerado.
7 – (ITA-SP) O coeficiente médio de dilatação térmica linear do aço é 1,2 x
10-5 ºC-1. Usando trilhos de aço de 8,0 m de comprimento, um engenheiro
construiu uma ferrovia deixando um espaço de 0,50 cm entre os trilhos,
quando a temperatura era de 28 ºC. Num dia de Sol forte, os trilhos
soltaram-se dos dormentes. Qual dos valores abaixo correspondente à mínima
temperatura que deve ter sido atingida pelos trilhos?
(A) 100 ºC (B) 60 ºC (C) 80 ºC (D) 50 ºC (E) 90 ºC
8 – O gráfico representa como varia o comprimento L de duas barras
homogêneas, A e B, em função da temperatura, sendo, a 0 ºC, L2 = 2 L1.
Essas barras devem ser dispostas verticalmente de modo que uma plataforma P
apoiada sobre elas permaneça sempre na horizontal para qualquer temperatura
( > 0 ºC.
a) Determine a relação entre os coeficientes de dilatação linear (A e (B
das barras.
b) Qual o valor do desnível x entre as bases de apoio das duas barras em
função dos comprimentos L1 e L2?
9 – Uma placa tem área 5,000 m2 a 0 ºC. Ao ter sua temperatura elevada para
100 ºC, sua área passa ser 5,004 m2. Determine os coeficientes de dilatação
térmica superficial e linear da placa.
10) Ao ser aquecido de 10 ºC para 210 ºC, o volume de um corpo sólido
aumenta 0,02 cm3. Se o volume do corpo a 10 ºC era 100 cm3, determine os
coeficientes de dilatação térmica volumétrica, linear e superficial que
constitui o corpo.
11 – Em um frasco volumétrico usado em laboratório de química está gravado
"200 cm3 a 20 ºC". Sendo o coeficiente de dilatação térmica volumétrica do
vidro 27 x 10-6 ºC-1, determine a capacidade desse frasco.
12 – Uma esfera metálica é aquecida de 30 ºC para 110 ºC, e seu volume
sofre um aumento correspondente a 1,2 %. Qual o valor do coeficiente de
dilatação linear médio desse metal?
13 – Uma peça sólida tem uma cavidade cujo volume vale 8 cm3 a 20 ºC.
A temperatura da peça varia para 520 ºC e o coeficiente de dilatação linear
do sólido (12 x 10-6 ºC-1) pode ser considerado constante. Supondo que a
pressão interna da cavidade seja sempre igual à externa, qual a variação
percentual do volume da cavidade?
14 – Uma placa metálica de dimensões 10 cm x 20 cm x 0,5 cm tem em seu
centro um furo cujo diâmetro é igual a 1,00 cm quando uma placa está à
temperatura de 20 ºC. O coeficiente de dilatação linear do metal da placa é
20 x 10-6 ºC-1. Quando a temperatura é de 520 ºC, a área do furo:
(A) aumenta 1 %.
(B) diminui 1 %.
(C) aumenta 2 %.
(D) diminui 2 %.
(E) não se altera.
15 – (UMC-SP) A figura mostra a variação relativa do comprimento de uma
barra metálica em função da temperatura.
Se um cubo de aresta a, feito desse metal, for submetido à variação de
temperatura de 100 ºC, sua dilatação volumétrica será:
(A) (V = 7,2 x 10-3 a3.
(B) (V = 6,0 x 10-3 a3.
(C) (V = 5,6x 10-3 a3.
(D) (V = 4,8 x 10-3 a3.
(E) (V = 3,6 x 10-3 a3.
7. Referências Bibliográficas
FERRARO, N. G. & SOARES, P. A. T. Física Básica. Volume único, 2ª Edição.
Atual Editora. São Paulo, SP, 2004. Pp. 253:257.
SEARS, F. et al. Física 2 – Mecânica dos Fluidos, Calor, Movimento
Ondulatório. 2ª Edição. Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Rio
de Janeiro, RJ, 1984. Pp. 332:339.
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Cálculo Técnico –
Metrologia - Leitura e Interpretação de Desenho Técnico Mecânico.
Usando Unidades de Medida. Telecurso 2000 Profissionalizante. São
Paulo, SP, 1998. Pp. 3:18.
VILLAS BÔAS, N. et al. Tópicos de Física 2 – Termologia, Ondulatória,
Óptica. 16ª Edição reformulada e ampliada. Editora Saraiva. São Paulo,
SP, 2004. Pp. 168:169.
CAPÍTULO 3
CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE PEÇAS DOBRADAS OU CURVADAS
Um dos problemas mais comuns entre os profissionais em mecânica é com
relação ao custo da matéria-prima para a fabricação de peças. Para obter
esta resposta, basta calcular o comprimento de peças antes de serem
dobradas ou curvadas.
1. Peças Dobradas
O cálculo do comprimento de uma peça dobrada não é um problema
difícil de resolver. Basta empregar os conhecimentos de Matemática
referentes ao cálculo do perímetro. Para lembrar, perímetro é a medida do
contorno de uma figura geométrica plana. Um exemplo de perímetro é
ilustrado na Figura 1, onde é apresentada a medida do perímetro de uma
chapa metálica a ser fabricada.
Figura 1 – Desenho de uma chapa com todos os lados cotados em milímetros.
Através do desenho da chapa com todas as dimensões dadas em
milímetros é que se pode calcular o perímetro p desta chapa somando-se os
seus valores. Assim:
p= (19,75 + 10,21 + 16,07 + 10,55 + 3,56 + 5,15) mm ( p = 65,29 mm
A seguir é apresentado um desenho de uma peça dobrada vista
tridimensional (Figura 2A) e em vista frontal com as cotas dadas em
milímetros (Figura 2B).
Figura 2 – Desenho de uma peça dobrada com vistas tridimensional (A) e em
vista frontal (B) (SENAI, 1998).
Pela figura acima, basicamente há três segmentos de reta, que são
representados por A, B, C e D. Os segmentos de reta A e C são,
respectivamente as alturas da linha neutra e externa da peça, enquanto que
os segmentos de reta B e D são, respectivamente, os comprimentos das linhas
neutra e externa da base da peça. Vale lembrar que linha neutra é aquela
que se encontra no meio da espessura, cujo símbolo é uma linha curta no
meio entre duas linhas longas, conforme a indicação na Figura 2.
Para facilitar a resolução do problema exposto, têm-se os seguintes
cálculos matemáticos:
I – Comprimento da linha neutra da base da peça dobrada:
(Eq. I)
onde B é o comprimento da linha neutra da base, b é o comprimento da medida
interna da peça e e é a espessura da peça.
Caso o comprimento externo D da peça for dado, o cálculo do
comprimento da linha neutra da base B da peça dobrada é dado por:
(Eq. II)
e, para o cálculo do comprimento externo D:
(Eq. III)
II – Cálculo da altura da linha neutra da peça dobrada:
(Eq. IV)
onde A é a altura da linha neutra da peça e C é a altura externa (ou total)
da peça.
Caso a altura da linha neutra A for dada, o cálculo da altura externa
(ou total) C da peça é dado por:
(Eq. V)
III – Cálculo do comprimento total da peça dobrada:
(Eq. VI)
onde T é o comprimento total da peça dobrada.
Para a peça ilustrada na Figura 2, seu o comprimento interno b mede
50 mm e a sua espessura e, 6 mm. Daí, para a Eq. I, tem-se o cálculo do
comprimento da linha neutra da base B, ou seja:
O comprimento externo D da peça dado na Eq. III é:
A altura da linha neutra da peça A dada na Eq. IV, cuja altura
externa C é de 30 mm, é:
O comprimento total T da peça dobrada dado na Eq. VI é, portanto:
2. Peças Curvadas Circulares
O cálculo para peças curvadas circulares (Figura 3) requer
conhecimento de Geometria Plana. É preciso considerar a maneira como os
materiais se comportam ao sofrer deformações, sejam elas a quente ou a
frio, como nas peças dobradas. Aqui, o perímetro é utilizado para o cálculo
do comprimento total da peça, junto com os valores dos raios ou diâmetros
da circunferência.
Figura 3 – Ilustração de uma peça curvada circular em vista tridimensional
(A) e em vista frontal (B), indicando os raios interno ri, da linha neutra
rn e externo re (SENAI, 1998).
As peças curvadas circulares, como os anéis, por exemplo, são feitas
a partir de perfis planos. Por isso, não é possível calcular a quantidade
de material necessário e nem pelos diâmetros interno e externo das peças
curvadas, pois se for colocado um pedaço de aço no microscópio, verá que é
formado por cristais arrumados de forma geométrica.
Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação nas peças
curvadas, bem como das peças dobradas, os cristais que constituem a
estrutura do material mudam de forma, alongando-se (tração na parte externa
da peça) ou comprimindo-se (compressão na parte interna), como ilustra a
Figura 2A. É mais ou menos o que acontece com a palma da mão quando é
aberta ou fechada. A pele se esticará ou se contrairá, dependendo do
movimento que você fizer.
No caso específico das peças curvadas, por causa da deformação, o
diâmetro interno não pode ser usado como referência para o cálculo, pois a
peça tenderá a ser menor do que o tamanho especificado. Pelo mesmo motivo,
o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a peça ficará
maior do que o especificado. O que se pode utilizar, para fins de cálculo,
é o diâmetro da linha neutra que passa pelo meio da espessura da peça
curvada, uma vez que esta linha não sofre deformação quando a peça é
curvada, conforme a ilustração da Figura 2A.
Para determinar o diâmetro da linha neutra em peças curvadas
circulares, ela é determinada, em Mecânica, por meio de um ensaio mecânico,
isto é, um estudo do comportamento do material realizado com o auxílio de
equipamentos apropriados em testes realizados em laboratórios específicos
de mecânica. Em termos de cálculo, a solução é calcular o diâmetro da linha
neutra dn através de um cálculo aproximado pelo diâmetro médio da peça
curvada circular. Para isso, basta somar os valores dos diâmetros interno
di e externo de e dividir por 2, isto é:
(Eq. VII)
[Nota 1: diâmetro da circunferência d ( d = 2r (r é o raio da
circunferência)]
IV – Cálculo do diâmetro externo do anel
O cálculo do diâmetro externo do anel circular de se dá pela soma do
valor do diâmetro interno di com as duas espessuras do mesmo, ou seja:
(Eq. VIII)
V – Cálculo do perímetro da circunferência do anel
A expressão para o cálculo do perímetro da circunferência é dada por:
(Eq. IX)
onde p é o perímetro da circunferência do anel, dn é o diâmetro da linha
neutra e ( é uma constante numérica cujo valor a ser adotado aqui é ( =
3,14.
[Nota 2: Quando se trabalha com uma chapa de até 1 mm de espessura, não há
necessidade de correção nessa medida porque, neste caso, a linha neutra do
material está bem próxima do diâmetro médio do anel].
Para a peça ilustrada na Figura 4, suponha-se que o técnico em
mecânica receba um desenho contendo as seguintes dimensões: diâmetro
interno di = 80 mm; diâmetro externo de = 100 mm; espessura e = 10 mm.
Figura 4 – Desenho de um anel circular com as respectivas dimensões cotadas
em milímetros (SENAI, 1998).
Ao utilizar a Eq. VII, tem-se a soma dos diâmetros interno e externo
para obter o valor da média do diâmetro interno do anel que, por sua vez, é
o diâmetro da linha neutra do anel circular, ou seja:
O valor do diâmetro da linha neutra da circunferência é obtido com
esta equação para a matéria-prima necessária. Como o comprimento do
material para a fabricação do anel corresponde mais ou menos ao perímetro
da circunferência formada pela linha média, logo o valor desse perímetro é
obtido na Eq. IX, ou seja:
Ao analisar o desenho da Figura 4, a fim de executar o trabalho, o
técnico em mecânica precisará de uma chapa metálica com 10 mm de espessura.
Em função da deformação pelo processo de curvatura da chapa metálica, é
provável que se tenha a necessidade de obter uma correção na medida do
perímetro de 282,6 mm.
De acordo com o SENAI (1998), a tendência, nestes casos, é que o anel
fique maior que o especificado, uma vez que, em empresas pequenas, os
procedimentos a serem executados são:
- fazer amostras com a medida obtida;
- analisar o resultado; e
- fazer as correções necessárias.
3. Peças Curvadas Semicirculares
Ao analisar o desenho na Figura 5, têm-se primeiramente de descobrir
quais os elementos geométricos contidos. Assim, percebe-se que há, no
desenho, duas semicircunferências e dois segmentos de reta.
Figura 5 – Desenho de uma peça curvada semicircular (SENAI, 1998).
Se há dificuldade de "enxergar" esses elementos, tem-se o auxílio de
linhas pontilhadas nos dois círculos separados nos dois segmentos de reta
na Figura 6.
Figura 6 – Separação dos elementos geométricos constituintes da peça
curvada semicircular (SENAI, 1998).
Pela Figura 6, através das linhas pontilhadas, têm-se duas
circunferências absolutamente iguais. Com isso, tem-se a execução dos
cálculos apenas nas medidas de uma dessas circunferências, ou seja, do
perímetro e do comprimento total da peça a ser fabricada.
VI – Cálculo do perímetro da semicircunferência
Como está a trabalhar com a medida do raio, vale lembrar de que, para
o cálculo do perímetro, tem-se o uso da seguinte equação:
(Eq. X)
onde p é o perímetro da semicircunferência e rn é o raio da linha neutra.
VII – Cálculo do comprimento total da peça a ser fabricada
Para calcular o comprimento total da peça fabricada, tem-se a
seguinte equação:
(Eq. XI)
onde E é o comprimento total da peça, p é o perímetro da semicircunferência
e D é o segmento de reta da peça.
Pela Figura 5, as dimensões dadas na peça são, respectivamente, rn=
10 mm e D = 30 mm.
Pela Eq. X, o perímetro da peça p em questão é:
E o comprimento total E dado pela Eq. XI é, portanto:
4. Peças Curvadas Circulares Incompletas
O desenho na Figuras 7 corresponde a uma peça curvada circular
incompleta, pois a parte circular não tem uma volta completa, ou seja, não
contém o ângulo de 360º.
Figura 7 – Peça curvada circular incompleta (SENAI, 1998).
Pelo desenho na Figura 7, há um segmento de reta em uma
circunferência que, como já havia mencionada, não está completa, formado um
arco.
Como de hábito, há necessidade de fazer uma análise no desenho para
verificar todas as medidas disponíveis, ou seja, a espessura da peça, o
raio interno do arco de circunferência e o valor do ângulo correspondente
ao arco que se deseja obter.
A seguir são apresentados os cálculos para dimensionamento correto da
peça ilustrada na Figura 7.
VIII – Cálculo do raio da linha neutra da circunferência
Para este cálculo, devem-se ter os raios interno ri e da linha neutra
rn da circunferência e a espessura e da peça, ou seja:
(Eq. XII)
IX – Cálculo do perímetro da circunferência incompleta
Com a obtenção do valor do raio da linha neutra da Eq. XII, o
perímetro da circunferência incompleta é o mesmo dado para o cálculo do
perímetro da semicircunferência da Eq. X, ou seja:
X – Cálculo da medida do arco a 1º de circunferência de 360º
Como a circunferência completa possui o ângulo igual a 360º, divide-
se o valor calculado do perímetro p por 360, isto é:
(Eq. XIII)
onde arc é a medida do arco para cada 1º de circunferência de 360º dada em
milímetros.
XI – Cálculo da medida do arco de ângulo de circunferência
Para isso, basta pegar o valor da medida do arco arc em milímetros
para cada grau do arco de circunferência pelo valor do ângulo ( do arco,
isto é:
(Eq. XIV)
onde c é a medida do arco para o ângulo de circunferência de ângulo ( do
arco.
XII – Cálculo do comprimento aproximado da peça a ser fabricada
(Eq. XV)
onde L é o comprimento aproximado da peça e F é o segmento de reta da peça.
Para as dimensões dadas na Figura 7, têm-se, respectivamente, e= 6
mm, F = 50 mm, ri = 12 mm e ( = 340º.
Pela Eq. XII, o raio da linha neutra da peça em questão é:
O perímetro da peça é:
Pela Eq. XIII, a medida do arco a 1º de circunferência é:
Pela Eq. XIV, a medida do arco para o ângulo de circunferência de
340º é:
Pela Eq. XV, o comprimento aproximado da peça a ser fabricada é,
portanto:
5. Exercícios de Fixação
1 – Calcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças
dobradas.
"a)" "
" " "
"b)" "
" " "
"c)" "
2 – Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes
peças.
"a) " "
" " "
"b) " "
6. Referências Bibliográficas
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Cálculo Técnico –
Metrologia - Leitura e Interpretação de Desenho Técnico Mecânico.
Usando Unidades de Medida. Telecurso 2000 Profissionalizante. São
Paulo, SP, 1998. Pp. 1:8.
CAPÍTULO 4
CÁLCULO DE MEDIDAS DESCONHECIDAS – 1ª PARTE
1. Procedimentos Fundamentais
Suponha que um torneiro mecânico que, na sua rotina de trabalho,
receba ordens de serviço junto com os desenhos mecânicos de peças a serem
torneadas. Uma dessas ordens de serviço para produção de uma peça indicada
no desenho é apresentada na Figura 1.
Figura 1 – Ilustração de uma ordem de serviço para produção de uma peça a
ser torneada (SENAI, 1998).
A indicação do desenho mostra que o torneiro terá de tornear um
tarugo cilíndrico para que o fresador produza uma peça cuja extremidade
seja um perfil quadrado. Contudo, o desenho apresenta apenas a medida do
lado do quadrado. Para isso, o torneiro mecânico terá que descobrir a
medida do diâmetro do cilindro que, ao ser desbastado pelo fresador,
fornecerá a peça desejada.
A fim de resolver o problema, remeta-se a recorrer os conhecimentos
de Geometria, uma vez que há um teorema que pode ajudar na descoberta da
medida que falta em um dos lados do triângulo retângulo: Teorema de
Pitágoras.
O triângulo retângulo (Figura 2) é um triângulo que possui um ângulo
reto (90º), cujo seu lado maior chama-se hipotenusa (a) e os outros dois
lados menores chamam-se catetos (b e c). Pelo Teorema de Pitágoras, "o
quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos", isto é:
a2 = b2 + c2 (Eq. I)
Figura 2 – Triângulo retângulo com identificação dos lados: hipotenusa (a)
e catetos (b e c) (SENAI, 1998).
Em primeiro lugar, o torneiro mecânico deve identificar as figuras
geométricas que estão presentes no desenho do tarugo. Ao analisar
atentamente o desenho, há uma circunferência e um quadrado.
Em seguida, é necessário ver quais as medidas que estão no desenho e
que poderão ser usadas no cálculo. No desenho que o torneiro mecânico
recebeu, a medida disponível é a do lado do quadrado, que tem 30 mm.
A Geometria diz que "se houver um quadrado inscrito em uma
circunferência, o diâmetro da circunferência corresponde à diagonal do
quadrado" (Figura 3).
Figura 3 – Quadrado inscrito em uma circunferência (SENAI, 1998).
A título de recordação, diagonal é o segmento de reta que une dois
vértices não consecutivos de um polígono, ou seja, de uma figura geométrica
plana que tenha mais de três lados (Figura 4).
Figura 4 – Exemplos de diagonais formados em um hexágono (à esquerda) e um
quadrado (à direita) (SENAI, 1998)
Para entender melhor o que foi explicado, observe na Figura 3 o
desenho do quadrado inscrito na circunferência ao qual foi acrescentada a
diagonal d. Ao analisar com cuidado, o quadrado foi dividido em dois
triângulos retângulos isósceles pela diagonal. Por sua vez, a diagonal
traçada no quadrado corresponde a hipotenusa dos dois triângulos e os
catetos correspondem aos lados do quadrado e medem 30 mm. Assim, a medida
que falta é a hipotenusa do triângulo retângulo, ou seja, o diâmetro da
peça a ser calculada pelo torneiro mecânico.
Transportando as medidas do desenho para o Teorema de Pitágoras, tem-
se:
Para garantir que o torneiro mecânico, como qualquer profissional em
Mecânica, aprenda a descobrir a medida que falta em um desenho, há um outro
exemplo de uma peça, neste caso um parafuso rosqueado com cabeça sextavada.
Nela não se tem uma das medidas, como indica a Figura 5.
Figura 5 – Desenho de um parafuso rosqueado com cabeça sextavada (SENAI,
1998).
O torneiro mecânico precisa preparar o material na medida correta
para que o fresador usine a extremidade da peça a ser sextavada.
Ao analisar o desenho da Figura 5, a primeira coisa que se tem a
fazer é traçar uma linha diagonal dentro da figura sextavada que
corresponda ao diâmetro da circunferência (Figura 6A) que, por sua vez,
passa a ser a hipotenusa a do triângulo retângulo. O lado do sextavado do
qual a hipotenusa partiu é o cateto c (Figura 6B) que, junto com o cateto
b, formam o ângulo reto do triângulo (Figura 6C).
Figura 6 – Método de desenvolvimento para o cálculo do diâmetro da cabeça
sextavada do parafuso (SENAI, 1998).
Se era possível obter um triângulo retângulo, poderia ser aplicado o
Teorema de Pitágoras. Porém, surgiu outro problema: apenas o cateto maior
apresentou um valor de 26 mm.
Apesar de não ter as medidas, a Figura 6 fornece ao torneiro mecânico
dados importantes, a saber: a hipotenusa corresponde ao diâmetro da
circunferência que, por sua vez, é o dobro do raio r (d = 2r). Por isso, a
hipotenusa é igual a duas vezes o valor do raio dessa mesma circunferência.
É necessário saber, também, que, quando se tem um desenho técnico de
uma peça sextavada inscrita em uma circunferência, os lados desse desenho
correspondem ao raio da circunferência onde ele está inscrito.
Com isso, esses dados podem ser representados matematicamente da
seguinte forma:
( a hipotenusa a = 2r; e
( o cateto menor c = r.
Aplicando o Teorema de Pitágoras e substituindo os valores, tem-se:
(2r)2 = 262 + r2 ( 4r2 + 676 + r2 (4r2 – r2 = 676 ( 3r2 = 676 (r2 = 225,33
(
( r = ( r ( 15,01 mm
Como a hipotenusa a é igual a 2r e sabendo que o valor de r é 15,01
mm, logo tem-se:
a= 2 x 15,01 = 30,02 mm
Sabendo que a hipotenusa também corresponde ao diâmetro da
circunferência, logo conclui-se que esse diâmetro para a usinagem do
parafuso é de 30,02 mm.
Como visto, há maneiras de se fazer os cálculos para as peças com
perfis distintos. A seguir é apresentada uma tabela com resolução de
cálculos geométricos.
Tabela 1 – Cálculos geométricos para peças com perfis hexagonais e do
quadrado.
"Para peças com perfis do quadrado"Para peças com perfis hexagonais "
"Cálculo do lado: "Cálculo da medida entre faces: "
" " "
"Cálculo da diagonal: "Cálculo da diagonal: "
2. Exercícios de Fixação
1 – Qual é a medida da diagonal no desenho da porca quadrada mostrado a
seguir?
2 – É preciso fazer um quadrado em um tarugo de 40 mm de diâmetro. Qual
deve ser a medida do lado do quadrado?
3 – Calcule o comprimento da cota x da peça a seguir.
4 – De acordo com o desenho a seguir, qual deve ser o diâmetro de um tarugo
para fresar uma peça de extremidade quadrada?
5 – Calcule na placa a seguir a distância entre os centros dos furos A e B.
6 – Qual é a distância entre os centros das polias A e B?
7 – Calcule o diâmetro do rebaixo onde será encaixado um parafuso de cabeça
quadrada, conforme ilustra o seguinte desenho. Considere 6 mm de folga.
Depois de obter o valor da diagonal do quadrado, acrescente a medida da
folga.
8 – Qual é a distância entre os centros dos furos A e B? Dê a resposta em
milímetros.
9 – Calcule a distância entre os centros dos furos igualmente espaçados da
peça a seguir.
10 – Calcule o valor de x no desenho a seguir.
11 – Calcule o valor de x nos seguintes desenhos.
12) – Calcule a distância entre dois chanfros opostos do bloco representado
a seguir.
3. Referências Bibliográficas
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Cálculo Técnico –
Metrologia - Leitura e Interpretação de Desenho Técnico Mecânico.
Usando Unidades de Medida. Telecurso 2000 Profissionalizante. São
Paulo, SP, 1998. Pp. 1:8.
CAPÍTULO 5
CÁLCULO DE MEDIDAS DESCONHECIDAS – 2ª PARTE
1. Cálculo do Comprimento de Correias
Quando se fala em reforma e manutenção de máquinas, os profissionais
em mecânica precisam de conhecimentos e criatividade para resolver os
problemas que envolvem este tipo de trabalho.
Na maioria dos casos, as máquinas apresentam problemas com falta de
peças, falta de esquemas e desenhos, onde conjuntos mecânicos gastos
precisam ser substituídos, ainda mais quando se tratam de máquinas mais
antigas onde não há reposição de componentes danificados porque as peças
para substituição deixaram de ser fabricadas e comercializadas. A tarefa do
técnico em mecânica, no entanto, é, além de adaptar as peças e
dispositivos, modernizar a máquina para que possa ser empregada com mais
eficiência.
Um dos maiores problemas a serem solucionados é calcular o comprimento
das correias. Suponha que, em uma empresa, o técnico em mecânica receba
ordens de seu chefe para calcular o comprimento de todas as correias das
máquinas que estão sendo reformadas.
Para a solução deste problema, o técnico precisa conhecer, primeiro,
que as máquinas possuem sistemas rotativos, os quais são constituídos
basicamente de motor e rotor. A partir daí, ele precisa conhecer os
tamanhos das polias integrantes que, por ora, podem possuir diâmetros
iguais ou diferentes. A seguir são apresentados os tipos de cálculos do
comprimento de polias a serem feitos de acordo com os diâmetros das polias
integrantes do sistema rotativo das máquinas.
1.1 Cálculo do Comprimento de Correias com Polias de Diâmetros Iguais
Nos conjuntos mecânicos, o técnico em mecânica tem várias combinações
de polias e correias. Assim, é possível combinar polias de diâmetros
iguais, movidas por correias abertas (Figura 1A, à esquerda) e correias
cruzadas (Figura 1B, à direita). A razão para o cruzamento das correias, no
entanto, é inverter a rotação da polia.
Figura 1 – Esquema ilustrativo de polias de diâmetros iguais para correia
aberta (A) e para correia cruzada (B) (SENAI, 1998).
Para identificar qual a polia que está montada no eixo do motor,
basta analisar o sentido do movimento da correia. Na Figura 1A, o sentido
de movimento é horário e, portanto, a polia da direita é a polia do motor,
uma vez que a polia da esquerda é a polia do rotor. Caso o sentido de
movimento for anti-horário, a polia da esquerda é a polia do motor, uma vez
que a polia da direita é a polia do rotor.
A partir da análise do desenho feito pelo técnico em mecânica, o
comprimento da correia corresponde ao perímetro desse desenho. O raciocínio
a seguir é semelhante ao que foi seguido para solucionar o problema do
comprimento do material para fabricação de peças curvadas. Pelo desenho,
nota-se que a área de contato da correia com a polia está localizada nas
duas semicircunferências.
Em termos de cálculos geométricos, consideram-se as duas
semicircunferências das extremidades das duas polias como se fossem formar
uma única circunferência. Logo, o comprimento das partes curvas será o
perímetro da circunferência p, isto é:
(Eq. I)
onde d é o diâmetro da circunferência e ( (lê-se a letra grega pi)é uma
constante invariável (adota-se o valor de ( = 3,14).
Assim, para o cálculo do comprimento da correia aberta para polias de
diâmetros iguais Lai, tem-se a seguinte expressão matemática:
(Eq. II)
onde c é a distância entre os centros dos eixos das polias.
Já para o cálculo do comprimento da correia cruzada para polias de
diâmetros iguais Lci, tem-se:
(Eq. III)
1.2 Cálculo do Comprimento de Correias com Polias de Diâmetros Diferentes
Em uma instalação de um sistema rotativo de máquinas em que se têm
polias de diâmetros diferentes, o técnico em mecânica repete o mesmo
procedimento de medir os diâmetros de cada polia e a distância entre os
centros dos eixos. A combinação de polias de diâmetros diferentes tem por
finalidade alterar a relação de transmissão de velocidade de rotação da
máquina, aumentando-a ou diminuindo-a. Esse tipo de conjunto de polias pode
igualmente ser movimentado por meio de correias abertas (Figura 2A, à
esquerda) ou por correias cruzadas (Figura 2B, à direita).
Figura 2 – Esquema ilustrativo de polias de diâmetros diferentes para
correia aberta (A) e para correia cruzada (B) (SENAI, 1998).
No caso nos diâmetros das polias, tem-se como referência para o
cálculo do comprimento de correias o raio de cada polia (d/2 = r, para
polia menor, e D/2 = R, para polia maior). Uma informação importante para
este tipo de sistema é que a polia menor representa a polia do motor,
enquanto que a polia maior representa a polia do rotor.
Para o cálculo do comprimento da correia aberta para polias de
diâmetros diferentes Lad, tem-se a seguinte expressão matemática:
(Eq. IV)
onde R e r são, respectivamente, os raios das polias maior e menor.
Nota: O cálculo na Eq. IV é aproximado, porque a região de contato da polia
com a correia não é exatamente correspondente a uma semicircunferência.
Já para o cálculo do comprimento da correia cruzada para polias de
diâmetros diferentes Lcd, tem-se:
(Eq. V)
Exemplos práticos:
1 – Calcule o valor aproximado do comprimento da correia aberta para uma
máquina abaixo em que as polias do motor e do rotor possuem o mesmo
diâmetro.
Dados do problema: d = 20 cm = 200 mm; c = 40 cm = 400 mm
Solução: O perímetro da circunferência formada pela metade de cada polia é
dado por:
Pela Eq. II, tem-se:
Portanto, o comprimento da correia aberta deve ser, aproximadamente, de
1430 mm.
OBSERVAÇÃO: O comprimento físico das correias, independentemente de serem
abertas ou cruzadas e dos diâmetros das polias, tem de ser maior que o
comprimento calculado.
2 – Calcule o valor aproximado do comprimento da correia aberta para uma
máquina abaixo em que as polias do motor e do rotor possuem diâmetros
diferentes.
Dados do problema: D = 25 cm = 250 mm; d = 10 cm = 100 mm; c = 45 cm = 450
mm
Solução: Ao analisar a figura acima, nota-se que os segmentos de reta entre
as duas polias estão inclinadas. Para calcular a distância entre os centros
dos eixos das polias c, tem-se como "ferramenta" ideal o Teorema de
Pitágoras, bastando traçar uma linha para c, conforme ilustra o desenho a
seguir.
Assim, o segmento de reta da correia a é a hipotenusa, a distância entre os
centros dos eixos das polias c é o cateto maior e a medida b que
corresponde a diferença entre os raios maior e menor (b = R – r) é o cateto
menor.
Com base destas informações, utiliza-se a Eq. IV para o cálculo em questão:
Substituindo os valores, tem-se:
Portanto, o comprimento da correia aberta deve ser, aproximadamente, de
2050 mm.
3 – Calcule o comprimento de uma correia cruzada que liga duas polias
iguais, com 350 mm de diâmetro e distância entre os centros dos eixos de
600 mm.
Dados do problema: D = 350 mm; c = 600 mm.
Solução: Como se trata de uma correia cruzada no sistema rotativo da
máquina, tem-se o cálculo de seu comprimento através da Eq. III. Assim:
onde p é o perímetro da circunferência das polias dadas na Eq. I
Com os dados do problema, tem-se:
E:
Portanto, o comprimento da correia cruzada deve ser, aproximadamente, de
2500 mm.
4 – Calcule o comprimento de uma correia cruzada que deverá ligar duas
polias de diâmetros diferentes (D = 200 mm e d = 150 mm) e com a distância
entre os centros dos eixos de 400 mm.
Dados do problema: D = 200 mm, d = 150 mm; c = 400 mm.
Solução: Pelo enunciado, tem-se um sistema rotativo com uma correia cruzada
e duas polias de diâmetros diferentes. Estas, por sua vez, para efeitos de
cálculo, devem dar valores de seus respectivos raios, ou seja:
Polia maior (; Polia menor (
Assim, o desenho para o sistema rotativo em questão é descrito a seguir.
Pela Eq. V e com os dados em questão, tem-se:
Portanto, o comprimento da correia cruzada deve ser, aproximadamente, de
1450 mm.
2. Exercícios de Fixação
Calcule o comprimento das correias mostradas nos desenhos a seguir. Favor
converter os valores cotados para milímetros.
3. Referências Bibliográficas
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Cálculo Técnico –
Metrologia - Leitura e Interpretação de Desenho Técnico Mecânico.
Usando Unidades de Medida. Telecurso 2000 Profissionalizante. São
Paulo, SP, 1998. Pp. 1:6.
CAPÍTULO 6
CÁLCULO DE MEDIDAS DESCONHECIDAS – 3ª PARTE
1. Cálculo Trigonométrico
Já foi dito nos Capítulos 4 e 5 que a necessidade de descobrir
medidas desconhecidas é uma das atividades mais comuns dentro da Mecânica.
Por isso, os profissionais na área como engenheiros, técnicos, desenhistas,
fresadores, torneiros, retificadores, ajustadores e ferramenteiros têm de
dominar esse conhecimento com muita segurança para realizar bem seu
trabalho.
Desde o Capítulo 4 que o Teorema de Pitágoras é usado para descobrir
a medida de um dos lados do triângulo retângulo descritos em desenhos
mecânicos. Contudo, nem sempre as medidas disponíveis não são aquelas
adequadas à aplicação desse teorema. São as ocasiões que o técnico em
mecânica precisa encontrar medidas auxiliares dispondo somente de medidas
de um lado e de um ângulo agudo do triângulo retângulo. Neste caso, o
técnico em mecânica tem de aplicar seus conhecimentos de Trigonometria para
resolução do problema exposto.
A Trigonometria é o ramo da Matemática que estuda as relações entre
os ângulos agudos do triângulo retângulo e seus lados (Figura 1).
Figura 1 – Triângulo retângulo com a hipotenusa a e seus catetos b e c
juntamente com os ângulos agudos ( e ( (GIOVANNI & BONJORNO, 1986).
Considerando o que está exposto na figura acima, tem-se que:
* Para o ângulo agudo (:
* Para o ângulo agudo (:
Pela importância que a Trigonometria fornece aos profissionais de
Mecânica, ela está sempre presente nos testes de seleção para emprego.
Suponha que o candidato ao cargo de técnico em mecânica depare, durante a
aplicação de uma prova de seleção em uma dada empresa, uma questão que
contenha um desenho de um flange o qual pede-se calcular a distância entre
os furos (Figura 2).
Figura 2 – Desenho de um flange com dez furos (SENAI, 1998).
Pela questão pedida, tem-se como calcular a distância entre os furos
do flange. Para isso, o candidato a técnico em mecânica pode usar o
triângulo retângulo a fim de dar a análise da relação entre as partes desse
triângulo e obter a resposta esperada. Na aplicação do Teorema de
Pitágoras, ele analisa a relação entre os catetos e a hipotenusa. Porém, há
casos nos quais as relações compreendem também o uso de ângulos agudos do
triângulo retângulo, e que estas relações são estabelecidas pela
Trigonometria.
Analisando com cuidado o desenho proposto na questão, o candidato
verifica se é possível obter o resultado com o Teorema de Pitágoras ou com
a Trigonometria. A primeira coisa que o candidato deve fazer na resolução
do problema (bem como no dia-a-dia no local de trabalho assim que for
aprovado na seleção e admitido na empresa) é traçar um triângulo dentro do
desenho do flange (Figura 3), pois é o triângulo que dará as medidas que
são pedidas na questão.
Figura 3 – Descrição de um triângulo dentro do desenho do flange (SENAI,
1998).
Unindo os pontos A, B e C, tem-se um triângulo isósceles (em
vermelho, na Figura 2), pois ele é o caminho para se chegar ao triângulo
retângulo. No vértice A, traça-se um ângulo agudo . Em seguida, traça-
se uma reta bissetriz no meio do ângulo agudo a partir no vértice A,
fazendo uma divisão simultânea do ângulo agudo em dois ângulos
e do triângulo ABC em dois triângulos retângulos ADB e ADC (Figura 4).
Figura 4 – Formação de dois triângulos retângulos e de dois ângulos
no vértice A do triângulo ABC (SENAI, 1998).
Como os dois triângulos retângulos da Figura 4 são iguais, o
candidato a técnico em mecânica analisa as medidas disponíveis de apenas um
deles: a hipotenusa, a qual é igual ao valor do raio da circunferência que
passa pelo centro dos furos (75 mm). Além da hipotenusa, tem-se o ângulo
, que é a metade do ângulo .
Primeiro, o candidato tem de fazer o cálculo do ângulo agudo
bastando dividir 360º pelo número total de furos do flange projetado no
desenho, que é de 10 furos, ou seja:
Em seguida, calcula-se o ângulo a partir da divisão do ângulo
agudo por 2, ou seja:
Com apenas as medidas do ângulo e da hipotenusa (R = 75 mm), o
Teorema de Pitágoras não pode ser aplicado, mas sim a Trigonometria,
através do cálculo do seno de um dos triângulos retângulos da Figura 4 (ADB
ou ADC). Assim:
Pelo cálculo do seno do ângulo é que se pode achar o valor do
cateto oposto do triângulo retângulo ADB, ou seja:
O triângulo ABC que o candidato a técnico em mecânica descobriu foi
dividido em dois. O resultado obtido () corresponde à metade da
distância entre os furos . Por isso, esse resultado deve ser
multiplicado por 2, ou seja:
Portanto, a resposta para a distância entre os furos do flange
encontrada pelo candidato a técnico em mecânica é de 46,350 mm.
Outro exemplo de cálculo que envolve a Trigonometria é ilustrado na
Figura 5A em que é apresentado um problema para definir a profundidade x da
peça projetada pelo desenhista.
Figura 5 – Em A, desenho de uma peça em que se deseja calcular a
profundidade x; em B, construção de um triângulo ABC dividido em dois
triângulos retângulos (SENAI, 1998).
Como primeiro passo, o técnico em mecânica tem de construir um
triângulo isósceles ABC que, na verdade, por conta do ângulo de 60º, é um
triângulo eqüilátero dentro do desenho e dividi-lo em dois triângulos
retângulos, conforme a Figura 5B.
Pelo desenho, o ângulo de 60º é dividido por uma linha bissetriz
em dois ângulos iguais , ou seja, . Essa linha bissetriz
que divide o ângulo de 60º é paralela a profundidade x, a qual se deseja
calculá-la, ou seja: x = .
Pela Trigonometria, os valores de seno, cosseno e tangente para o
ângulo são, respectivamente: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87; tg 30º =
0,58.
Em um dos triângulos retângulos formados na Figura 5B, o lado é
obtido pelo cálculo do cosseno de 30º, ou seja:
Como cos 30º = 0,87, logo:
E como x = , portanto, a profundidade da peça projetada no desenho x é
de 17,40 mm.
2. Peças Conadas
Uma das operações mais comuns que um torneiro mecânico deve realizar
é o torneamento cônico. Quando é necessário tornear peças cônicas, uma das
técnicas mais utilizadas é a inclinação do carro superior do torno.
Para que isso seja feito, é preciso calcular o ângulo de inclinação
do carro. Contudo, muitas das vezes o desenho da peça não tem um dado de
referência para a execução desse serviço. Então, existe um jeito de
amenizar o problema: desenhar um triângulo retângulo dentro do desenho da
peça a ser torneara (Figura 6).
Figura 6 – Desenho de um triângulo retângulo em vermelho dentro do desenho
de uma peça cônica a ser torneada (SENAI, 1988).
Em termos de cálculos para descobrir o ângulo de torneamento da mesa
do torno, a primeira tarefa costumeira do torneiro mecânico, bem como de
qualquer profissional de Mecânica, é analisar o desenho e visualizar o
triângulo retângulo. É através da relação entre os lados e ângulos que o
torneiro encontrará a medida que procura. No desenho da Figura 6, o cateto
maior do triângulo retângulo corresponde ao comprimento do cone c, e o
cateto menor corresponde a diferença entre o diâmetro maior D e o diâmetro
menor d do cone dividido por 2. Logo, o ângulo agudo do triângulo
retângulo será o ângulo de inclinação do cone, e a expressão para calcular
este ângulo é dada pela sua tangente, isto é:
(Eq. I)
Com esta expressão, utiliza-se a técnica de inclinação do carro
superior do carro.
Além de peças cônicas, existem outros tipos de peças que apresentam
medidas desconhecidas para o operador e que também empregam a relação
tangente. Esse é o caso dos cálculos relacionados a medidas do encaixe tipo
"rabo de andorinha" (Figura 7).
Figura 7 – Desenho de uma peça tipo "rabo de andorinha" (SENAI, 1998).
Tomando o exemplo deste tipo de peça, imagine que o técnico em
mecânica tenha de calcular a cota x (Figura 8).
Figura 8 – Desenho em vista frontal da peça "rabo de andorinha" com a cota
x a ser calculada (SENAI, 1998).
Antes de realizar os cálculos, é importante notar que as duas
circunferências dentro da peça não fazem parte da mesa. Elas representam os
roletes que servem para controlar a medida x da peça e que auxiliarão no
desenvolvimento dos cálculos.
Na Figura 8, a primeira coisa a fazer é desenhar um triângulo
retângulo dentro do desenho da peça a ser produzida, a qual está destacada
na cor vermelha.
Ao analisar o desenho em questão, a medida x, na verdade, é a largura
do rasgo da peça c menos duas vezes o cateto adjacente ca do triângulo
menos duas vezes o raio r do rolete. Ou seja, matematicamente falando, tem-
se:
(Eq. II)
Suponha que o técnico em mecânica depare com esta peça cujas cotas
são dadas pelo projetista a fim de ser produzida empresa em que trabalha
(Figura 9).
Figura 9 – Desenho de "rabo de andorinha" com cotas dadas em milímetros
(SENAI, 1998).
A primeira coisa a fazer é analisar o desenho para calcular a medida
x correspondente à largura do rasgo de 100 mm. Contudo, o técnico precisa
fazer um desenho de um triângulo retângulo sobre o desenho projetado a fim
de calcular o cateto adjacente, como na Figura 8 e, em seguida, dividir o
ângulo de 60º pela metade, ou seja, 30º. O cateto oposto do triângulo
retângulo é o raio R do rolete, que é de 8 mm. Assim, pela Trigonometria, o
cálculo do cateto adjacente é obtido pela tangente do ângulo agudo de 30º
no triângulo retângulo, ou seja:
Como tg 30º ( 0,57, tem-se:
Portanto, o valor da medida x para o rasgo as peça em questão é:
3. Exercícios de Fixação
1 – Calcule a altura dos blocos-padrão necessários para que a mesa de seno
fique inclinada a 9º 30'.
2 – Calcule a cota x dos seguintes desenhos.
3 – Calcule o ângulo do chanfro da peça a seguir.
4 – Calcule a cota x da peça chanfrada mostrada a seguir.
5 – Calcule a distância entre furos do flange com 12 furos igualmente
espaçados, cujo raio da circunferência que passa pelo centro dos furos é de
150 mm (Tome como exemplo a resolução do problema do flange de 10 furos nas
páginas 2, 3 e 4).
6 – Calcule o ângulo de inclinação do carro superior do torno para tornear
a peça na figura a seguir. Não se esqueça de usar a Eq. I para o cálculo da
tangente do ângulo .
7 – Qual é o ângulo de inclinação do carro superior do trono para que se
possa tornear a peça mostrada conforme ilustra o desenho a seguir?
8 – Um torneiro mecânico precisa tornear a polia mostrada no desenho a
seguir. Calcule a cota x correspondente à maior largura do canal da polia.
9 – Calcule a cota x do eixo com extremidade cônica.
10 – Calcule os ângulos desconhecidos das peças a seguir.
4. Referências Bibliográficas
GIOVANNI, J. R. & BONJORNO, J. R. Matemática 2º Grau – Conjuntos, Funções,
Trigonometria. Editora FTD. São Paulo, SP, 1986. Pp. 218.
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI. Cálculo Técnico –
Metrologia - Leitura e Interpretação de Desenho Técnico Mecânico.
Usando Unidades de Medida. Telecurso 2000 Profissionalizante. São
Paulo, SP, 1998. Pp. 1:6.
