Transcript
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Instituto de Física
FEP 2196 – FÍSICA PARA ENGENHARIA II - POLI
CINEMÁTICA RELATIVÍSTICA
• Resumo da Teoria • Exercícios Propostos • Exercícios Resolvidos
Revisão: Equipe do curso FEP2196 (IF-USP)
Cinemática relativística 1
Resumo A Teoria da Relatividade Restrita tem um postulado fundamental: a velocidade da luz no vácuo (expressa como c = 2,9979 × 1010 cm/s) é a mesma para quaisquer observadores inerciais, independente do movimento da fonte de luz ou do observador. Uma das principais conseqüências desse postulado é que nenhum objeto pode viajar a uma velocidade superior a c. A Relatividade vem sendo testada desde 1905, quando Albert Einstein propôs essa teoria para explicar algumas propriedades das ondas eletromagnéticas. Além do interferômetro de Michelson e Morley, dezenas de experimentos envolvendo os mais variados sistemas físicos nas mais diversas situações têm invariavelmente demonstrado que, de fato, a constância da velocidade da luz (também conhecida como “Invariância de Lorentz”) parece ser um fato fundamental da natureza. Enquanto os experimentos do tipo Michelson-Morley, feitos por volta do ano 1900, indicavam que a velocidade da luz deveria ser constante com uma precisão de apenas uma parte em 103 (ou 0,1%), os últimos experimentos 1 já são capazes de verificar a constância da velocidade da luz com uma precisão melhor que uma parte em 1015. A constância da velocidade da luz para quaisquer observadores inerciais implica que nem os intervalos de tempo nem as distâncias entre dois eventos podem ser iguais para todos os observadores. Isso significa que as noções de tempo e de espaço não têm mais um caráter absoluto, como era o caso na Mecânica de Galileu e Newton. A própria noção de simultaneidade tem que ser abandonada: ela passa a ser uma certa relação entre dois eventos que pode ser válida em um certo referencial, mas não é válida para todos os referenciais. Consequentemente, observadores em diferentes referenciais inerciais (ou seja, observadores que se movimentam com velocidade constante um em relação ao outro) medirão diferentes intervalos de tempo e distâncias – e ambos estarão certos!
Tempo e comprimento próprios Apesar dos intervalos de tempo e as distâncias não serem mais absolutos na Teoria da Relatividade Especial, ainda podemos definir distâncias e intervalos de tempo em certos referenciais particulares, e compará-los às medidas de tempos e distâncias feitas por outros observadores. Tempo próprio é o tempo entre dois eventos que ocorrem em instantes diferentes no mesmo ponto do espaço. Assim, o tempo próprio pode apenas ser medido usando certos relógios – aqueles relógios que estão em repouso com relação ao ponto onde os eventos ocorrem. Suponha que dois eventos ocorrem no mesmo ponto do espaço num certo referencial S, mas em pontos diferentes num outro referencial S' (que se move com velocidade v com relação a S). Como exemplo você pode pensar num malabarista sentado dentro de um trem que se move com velocidade constante: para o próprio malabarista (digamos, no referencial S), ele lança e pega sua bola em instantes diferentes, no mesmo ponto do espaço – o lugar onde ele está sentado. Já para uma pessoa parada na estação de trem (digamos, no referencial S') vendo o trem passar, o malabarista lança e pega a bola em posições diferentes. Seja Δt 0 o intervalo de tempo próprio, medido no relógio do referencial S no qual os dois eventos ocorrem na mesma posição (no exemplo acima, o intervalo de tempo medido no relógio do malabarista). A Teoria da Relatividade Especial determina então que o intervalo de tempo Δt ' medido pelo relógio do referencial S'
1
Para maiores detalhes, veja M. P. Haughn e C. M. Will, Physics Today 40, pg. 69 (maio de 1987). Os últimos dados são de H. Muller et al., Physical Review Letters 91, pg. 02401 (2003). 2
(no exemplo acima, o relógio do sujeito parado na estação de trem) é sempre mais longo que o intervalo de tempo próprio: Δt ' = γ Δt0 , onde γ =
1 v2 1− 2 c
.
Note que, como v / c < 1, γ é um número maior que 1. Também podemos definir o comprimento próprio de um objeto, que é simplesmente o comprimento medido no sistema de referência em que aquele objeto está parado. Suponha que um sujeito observa uma barra que passa por ele com uma velocidade v paralela ao comprimento da barra. Chamemos de S o referencial do tal sujeito e de S' o referencial que se move junto com a barra (o referencial próprio da barra), e suponha que a barra possui comprimento próprio L0. O observador no referencial S pode medir o comprimento da barra do seguinte modo: ele cronometra o intervalo de tempo que a barra leva para passar por ele e então usa a fórmula L = v × Δt para deduzir o comprimento da barra. A Teoria da Relatividade Especial determina que o comprimento da barra medido pelo observador no referencial S (que chamamos de L) será sempre menor do que o comprimento medido no referencial próprio da barra (que chamamos de L0) 2 : L L= 0 .
γ
Transformações de Lorentz No caso mais geral as relações entre os intervalos de tempo e as distâncias entre quaisquer eventos, medidas por diferentes observadores inerciais, podem ser expressas através das Transformações de Lorentz. Seja um referencial S' em movimento com relação a um referencial S, com velocidade v na direção x. Sincronize os cronômetros dos dois referenciais de forma que t = t' = 0 no instante em que a origem do r r sistema de coordenadas S ( x = 0 ) coincidir com a origem do sistema de coordenadas S' ( x ' = 0 ). Então, dadas as coordenadas de qualquer evento (x,y,z,t) medidas no referencial S, as coordenadas (x',y',z',t') medidas no referencial S' são dadas por:
x' = γ ( x − vt ) y' = y z' = z xv ⎞ ⎛ t' = γ ⎜ t − 2 ⎟ ⎝ c ⎠ A transformação inversa é facilmente obtida: basta mudar ν por -ν e trocar os índices (linha por sem-linha).
Note que neste caso chamamos o referencial próprio da barra de S', enquanto no exemplo anterior chamamos o referencial próprio do malabarista de S. Evidentemente, a opção de colocar a linha num referencial ou no outro (ou pintar um de vermelho e o outro de azul) vai do gosto do freguês. 2
3
Transformação de velocidades r r Um objeto cuja velocidade medida no referencial S é u = (u x , u y , u z ) terá a velocidade u ' = (u ' x , u ' y , u ' z )
medida no referencial S' dada por: u' x =
ux − v u v 1 − x2 c
;
u' y =
uy 1 u vγ 1 − x2 c
;
u' z =
uz 1 u vγ 1 − x2 c
.
Problemas Resolvidos. 1- Um evento ocorre, no sistema de referência S, em x = 40 m, y = z = 0 e t = 10-8 s. Um sistema de referência S’ se move com uma velocidade ν = 0,8c ao longo do eixo positivo x de S. Ache as coordenadas do evento no referencial S’ (assuma que os eixos x, y e z de ambos os sistemas são paralelos). Utilizando as transformações de Lorentz obtemos: 1
1 v2 −2 5 −2 γ = (1 − 2 ) = (1 − 0.8) = 3 c 5 x' = 40 − 0.8 × 3 × 10 8 × 10 −8 ≅ 63m. 3 y ' = 0. z ' = 0.
(
)
5⎛ 40 × 0.8 ⎞ t ' = ⎜10 −8 − ≅ −1,6 × 10 −7 s. 8 ⎟ 3⎝ 3 × 10 ⎠
2- Os píons são partículas radioativas que podem ser produzidas num laboratório de pesquisa. O tempo de meia-vida de um píon em repouso é T0 = 1,8 x 10-8 s. Isso significa que, em média, a metade dos píons existentes em um dado instante se desintegra decorridos 1,8 × 10-8 s. Em uma dada experiência, os píons são produzidos com alta velocidade e se verifica que, a uma distância L = 39 m do local da produção, a população de píons caiu à metade. Qual a velocidade dos píons? Se os píons andassem com velocidade ν ≅ c e se desprezássemos a dilatação do tempo, eles chegariam com a metade da população a uma distância: L0 ≅ cT0 = 3 × 10 8 × 1,8 × 10 −8 = 5,4m.
No entanto eles atingem a distância de 39m! Isso ocorre porque o tempo de decaimento próprio dos píons é T0, mas no referencial do laboratório o tempo de decaimento é T = γ T0 . Portanto: L = v T = v γ T0 =
v v2 1− 2 c
T0 ,
ou seja:
4
v c 1−
v2 c2
=
L ≅ 7,2 ⇒ cTo
v ≅ 0,99 . c
3- Um grupo de astronautas realiza uma jornada da Terra até Sírius, uma estrela muito brilhante localizada a 8,5 anos-luz de distância da Terra, de acordo com medidas feitas na Terra. A velocidade escalar da astronave é ν = 0,95c. Ache a distância entre a Terra e Sírius, de acordo com medidas feitas pelos astronautas.
A distância Terra-Sírius medida da Terra é a distância própria : L0 = 8,5 anos luz. A distância observada pelo grupo de astronautas (em movimento com relação a Sírius) será portanto:
L=
L0
γ
⎛ v2 ⎞ , onde γ = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ c ⎠
−
1 2
≅ 3,2
⇒L=
8,5 ≅ 2,7 anos-luz . 3,2
4- Uma nave espacial S é alcançada por uma nave espacial S', que ultrapassa S com uma velocidade relativa ν = c/2. O capitão de S saúda o capitão de S' piscando as luzes da proa e da popa simultaneamente do ponto de vista de S. Quando medida por S, a distância entre as luzes é de 100m. Qual a diferença entre os instantes de emissão dos sinais de luz, quando medidos por S'?
No sistema de referência de S os sinais das duas luzes são emitidos nos instantes de tempo t1 e t2 , desde os locais x1 e x2 (proa e popa, respectivamente). Mas os tempos de emissão, no sistema de referência de S', ocorrem nos tempos t'1 e t’2 , que podem ser calculados a partir das transformações de Lorentz. vx1 vx t 2 − 22 2 c e t' = c t '1 = 2 2 v v2 1− 2 1− 2 c c t1 −
Portanto, de acordo com S' a diferença entre os tempos de emissão é:
t ' 2 −t '1 =
v (x 2 − x1 ) c2 v2 1− 2 c
(t 2 − t1 ) −
De acordo com S os sinais são simultâneos, portanto t2 = t1 . Temos, portanto:
t ' 2 −t '1 =
−
v (x 2 − x1 ) c2 v2 1− 2 c
Substituindo ν = 0,5c e x2 - x1 = 100 m, obtemos: 5
t’2 – t’1 ≅ - 1,93 x 10 -7 s . O sinal negativo significa que o capitão de S' vê a luz da proa (frente) de S piscar ligeiramente mais cedo do que a luz de popa (trás).
5- Um homem, carregando uma vara de comprimento próprio L0V = 20 m, passa correndo por baixo de uma área coberta de telhas de comprimento próprio L0T = 11 m. A situação é esquematizada na figura abaixo. A velocidade ν do homem com relação ao telhado é tal que γ = 2. Responda: a) Qual a magnitude da velocidade do homem em relação ao telhado? b) No referencial do telhado, por quanto tempo a vara estará totalmente debaixo das telhas? c) No referencial do homem, existe algum instante em que a vara esteja totalmente sob as telhas?
a) A velocidade do homem no referencial do telhado pode ser calculada a partir de:
1
γ =
1−
=2⇒v=
v2 c2
3 c 2
b) No referencial do telhado a vara mede: LV =
L0V
γ
=
20m = 10m . 2
Portanto ela cabe toda debaixo dos 11m de extensão do telhado. Assim, a vara permanecerá debaixo do telhado por um intervalo de tempo: Δt =
11m − 10m 2 1m = v 3 c
c) No referencial do homem, o telhado tem uma extensão de LT =
L0T
γ
= 5,5m .
Portanto, do ponto de vista dele, certamente os 20m de vara não conseguem ficar debaixo dos 5,5m de telhado! Como resolver esse paradoxo? Note que “estar debaixo do telhado” significa que os extremos C e D devem estar simultaneamente entre os pontos extremos A e B do telhado. Porém, aquilo que é simultâneo 6
para um observador no referencial do telhado não é simultâneo para o homem segurando a vara. A ordem com que os eventos importantes desse exercício acontecem são diferentes nos dois referenciais. Seja t = t' = 0 o instante em que o extremo C da vara coincide com o ponto A do telhado. No referencial do telhado, a coordenada do ponto D nesse instante é x = 10 m. Portanto, no ponto de vista do telhado, no instante t = 0 a vara está toda sob as telhas. Ainda do ponto de vista do telhado, a vara começa a sair de baixo do telhado quando D passa por B – ou 2 m e a uma distância Δx = 10 m do local em que C passou por A. seja, após um intervalo de tempo Δt = 3 c Já no referencial do homem (S’), utilizando as transformações de Lorentz temos: ⎛ v Δx Δt ' = γ ⎜⎜ Δt − 2 c ⎝
⎛ 2 m ⎞ 3 10m ⎞ ⎟ ⎟ = 2⎜ − ⎟ ⎜ 3 c ⎟ c 2 ⎠ ⎝ ⎠
⇒ Δt ' = −
26 m 3 c
O sinal negativo significa que, para o homem que carrega a vara, a extremidade D da barra cruza o ponto B do telhado antes que a extremidade C cruze o ponto A. Portanto, para o homem, a ponta da frente da vara já começa a sair de dentro do telhado antes que a ponta de trás comece a entrar debaixo do telhado.
6- Um objeto A se desloca com velocidade u em relação a um referencial S, caminhando para leste. Um objeto B se desloca com velocidade u, também em relação ao referencial S, caminhando para oeste. Qual a velocidade relativa de B em relação a A?
Em relação ao referencial S, temos νΑ = u e νΒ = -u. No referencial S', ligado a Α, a velocidade relativa ao referencial S é ν = u. O valor νB' é obtido através da transformação de velocidades: B
v' B =
vB − v 2u =− vv u2 1 − 2B 1+ 2 c c
Problemas Propostos 1- Um relógio funciona durante um ano em um referencial de repouso fixo na Terra. Se o relógio se move com uma velocidade escalar v = 3 × 106 m/s em relação à Terra, ache o número de segundos pelo qual ele varia de um relógio fixo na Terra. 2- Considere um universo em que a velocidade da luz é c = 120 Km/h. Um Ford Landau correndo a uma velocidade u relativa à estrada ultrapassa um Volkswagen se movendo a uma velocidade v = 60 km/h = c/2 em relação à estrada. A velocidade do Landau é tal que o seu comprimento é medido por um observador fixo na estrada como sendo o mesmo que o do Volkswagen. Sabe-se que o comprimento próprio do Landau é o dobro do Volkswagen. Qual é a velocidade do Landau?
7
3- Quanto visto de um sistema inercial S, um evento ocorre no ponto xΑ sobre o eixo x, e 10 -6 s mais tarde um outro evento ocorre no ponto xΒ , tal que xΒ -xΑ = 600 m, quando visto de S. Responda: a) Existe um outro sistema inercial S', movendo-se com uma velocidade menor do que c paralela ao eixo x, para o qual os dois eventos são simultâneos? Se assim for, qual é o módulo e o sentido da velocidade de S' com relação a S? b) Repita a parte (a) para o caso em que Α e Β estão separados somente de 100 m quando vistos de S. 4- Um astronauta observa duas espaçonaves viajando em direção a ele com sentidos opostos. Uma das espaçonaves (S1) se aproxima com uma velocidade escalar v1 = 0,6c, enquanto a segunda (S2) se aproxima com uma velocidade escalar ν2 = 0,8 c. Com que velocidade escalar um observador em S2 vê a espaçonave S1 se aproximando? 5- Uma barra de comprimento próprio l 0 no sistema S', move-se com velocidade constante ν relativamente ao sistema S. A extremidade A' da barra passa pelo ponto A de S no instante de tempo t = t' = 0 e neste instante é emitido de A' um sinal de luz que viaja de A' para B'. Responda: a) Em qual instante de tempo t0, medido em S' (em repouso com relação à barra), o sinal chega em B'? b) Em qual instante de tempo t1, medido em S, o sinal alcança B'? c) Em qual instante de tempo t2, medido em S, a extremidade B' da barra passa pelo ponto A? 6- Duas naves espaciais, A e B, viajam na mesma direção em sentidos contrários, com velocidade de magnitude ν = 0,8c em relação à Terra.
v A = 0,8c v B = −0,8c Cada nave tem o comprimento, L0 =100 m, no referencial em que está em repouso. a) b) c) d)
Qual o comprimento de cada nave medido por um observador na Terra? Qual o comprimento e a velocidade da nave B medidos por observador na nave A? Qual o comprimento e a velocidade da nave A medidos por um observador na nave B? No instante de tempo t = 0 (relógio da Terra) as proas das naves estão alinhadas e elas começam a passar uma pela outra. Em que instante de tempo (no relógio da Terra) estarão as popas alinhadas?
7- Dois observadores nas origens O e O' dos sistemas S e S' disparam os seus cronômetros no instante em que as origens dos sistemas de coordenadas coincidem. A velocidade relativa entre eles é v = 0,8c. Quando o cronômetro do observador em S' marca 1 hora, ele emite um sinal luminoso de O' para O. a) De acordo com o observador em O, em que instante de tempo o sinal luminoso foi enviado? b) De acordo com o observador em O, quanto tempo o sinal leva para atingi-lo? Que valor o seu cronômetro acusa na chegada do sinal? c) De acordo com o observador em S', quanto tempo passa entre a emissão do sinal em O' e sua recepção em O? Qual a leitura de seu cronômetro quando o sinal é recebido? 8- Em um referencial S um observador vê duas partículas idênticas (A e B) emergirem da origem do sistema de referência, com velocidades iguais u = 0,5c, formando um ângulo de +30° e -30° com o eixo x. a) Determine as velocidades de A e B quando observadas no referencial do centro de massa das duas partículas. b) Determine a velocidade da partícula A em relação à partícula B. 8
9- Num sistema de referência S, uma barra de comprimento L0 se move com velocidade (0,u,0), mantendo-se sempre paralela ao eixo x. Em t=0 o centro da barra coincide com a origem do sistema de referência e eventos 1 e 2 ocorrem nas extremidades direita e esquerda da barra, respectivamente. a) Quais são as coordenadas espaços-temporais dos eventos 1 e 2, conforme um observador em S? b) Determine as coordenadas espaços-temporais dos eventos 1 e 2 observadas num referencial S', que se move com velocidade (v,0,0) relativamente a S. Em t=t'=0 os dois sistemas de coordenadas se superpõem. c) Determine a velocidade da barra no sistema S'. d) Para um observador em S' a barra estará inclinada de um ângulo θ’ em relação ao eixo x'. Determine esse ângulo. 10- Um estudante vai realizar uma prova que deve durar 1 hora. Seu professor está em viagem e passará (sem parar) pela Terra com velocidade constante v = 0,6c. O aluno propõe que a prova inicie quando o professor passar pela Terra e quando o professor, em seu próprio relógio, verificar que se passou 1 hora do início da prova ele envie um sinal luminoso à Terra. O aluno terminaria a prova quando recebesse o sinal luminoso. Quanto tempo o aluno teria para realizar a prova de acordo com seu relógio? 11- Um observador S vê uma estrela com uma elevação angular θ em relação à horizontal 0x. Um segundo observador S' caminha na direção Ox com velocidade ν relativa a S. a) Calcule o ângulo de elevação θ ′ da estrela, visto por S', em relação a O’x', sem utilizar os resultados da Teoria da Relatividade Restrita (cálculo clássico, conhecido pelos astrônomos como “aberração da luz”). b) Calcule novamente o ângulo θ′, desta vez utilizando a Teoria da Relatividade Restrita. c) Compare os resultados dos itens anteriores quando v/c << 1. 12- Um méson-π (píon) é produzido no ponto A de um laboratório e se move com velocidade v=0,8c em direção a um bloco B, onde é bruscamente freado. A distância entre A e B vale 9,6 m no referencial do laboratório. O méson se desintegra dentro do bloco 2 × 10 −8 s após ter sido freado (medido no seu próprio referencial). O tempo de freamento é desprezível. a) Qual o tempo gasto pelo méson para ir de A até B, no referencial do laboratório? b) Qual o tempo gasto pelo méson para ir de A até B, no seu próprio referencial? c) No referencial do laboratório, quanto tempo se passou entre a produção do méson em A e sua desintegração em B? d) Quanto vale a distância entre A e B medida no referencial do méson? 13- Um feixe de mésons que se move com velocidade v= 3 / 2 c em relação ao laboratório passa diante de dois contadores separados por uma distância de 9 m no laboratório. As partículas não sofrem perda alguma, seja em velocidade ou em energia, ao passarem diante dos contadores. Observa-se que o primeiro contador registra 1000 mésons e o segundo assinala somente 250. Admitindo-se que a diminuição no número de mésons resulta da desintegração destes em vôo, pergunta-se qual é a vida média dessas partículas no seu sistema próprio. Admita que os mésons se desintegram segundo a lei N(t)=N(t=0) × 2-t/T, onde T é a vida média dos mésons. Respostas dos problemas propostos
1) Δ t = 1577s
9
2) v =108 km/h r 3) a) sim; v = 0,5 c iˆ
4)
b)
v = 3 (> 1 impossível) c
v = 0,95 c
l 5) a) t’0 = 0 c c) t2=
l b )t1= 0 c
1/ 2
⎧1 − v / c ⎫ ⎬ ⎨ ⎩1 + v / c ⎭
l0 γv
6) a ) LA = LB =60m c) L’A= 21,8m ; v’A = 0,98c
b) L’B =21,8m ; v’B = - 0,98 c d) t= 2,5 × 10-7 s
7) a) Δt = 1h : 40 min (6000s ) b) Δt c = 1h : 20 min (4800s ) c) Δt ' c = 4h. O cronômetro marcará 5h.
r 13 ˆ 8) a) v ' A = cj. 13 r 13 ˆ b) v ' B = − cj. 13 r 13 ˆ c) v ' ' A = cj 7 L x1 = + 0 , y 1 = z1 = 0, t1 = 0. 9) a) 2
x2 = −
b)
x'1 =
L0 , y 2 = z 2 = 0, t 2 = 0. 2 L0 2 v2 1− 2 c
,
vL0 2 y '1 = z '1 = 0, t '1 = − 2c v2 1− 2 c
10
x' 2 = −
c)
Lo 2 v2 1− 2 c
,
vL0 2 y ' 2 = z ' 2 = 0, t ' 2 = + 2c v2 1− 2 c
u ' x = − v, u ' y = u 1 −
d) tg (θ ') =
uv c2
v2 , u ' z = 0. c2
1 1−
v2 c2
10) TP =2h 11) a) tg (θ ') =
sen(θ ) cos(θ ) +
v c
b) tg (θ ') =
sen(θ )
1
cos(θ ) +
vγ c
v c) Se << 1 ⇒ γ ≅ 1 ⇒ resultado clássico = resultado relativístico c
12) a) t1L = 4,0 × 10 −8 s b) t1π = 2,4 × 10 −8 s c) t 2 L = 7,3 × 10 −8 s d) Lπ = 5,8m. 13) T ' = 0,87 x10 −8 s.
11
