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Derivada Direcinal Vetor Gradiente M´ aximos e M´ınimos Multiplicadores de Lagrange Integrais Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ ericas Integrais Triplas
C´alculo-III Prof. Ludimar Costa Schreider
25 de outubro de 2011
Prof. Ludimar Costa Schreider
C´ alculo-III
Derivada Direcinal Vetor Gradiente M´ aximos e M´ınimos Multiplicadores de Lagrange Integrais Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ ericas Integrais Triplas
1
Derivada Direcinal
2
Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
4
Multiplicadores de Lagrange
5
Integrais
6
Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Sum´ario 1
Derivada Direcinal
2
Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
4
Multiplicadores de Lagrange
5
Integrais
6
Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Derivada Direcinal Vetor Gradiente M´ aximos e M´ınimos Multiplicadores de Lagrange Integrais Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ ericas Integrais Triplas
Derivada Direcinal
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Derivada Direcinal
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Defini¸c˜ao A derivada direcional de f em (x0 , y0 ) na dire¸c˜ao do vetor unit´ario u = (a, b) ´e f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0 , y0 ) h→0 h
Du f (x0 , y0 ) = lim se esse limite existir.
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Fazendo as contas.
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Fazendo as contas. Teorema Se f ´e uma fun¸c˜ao diferenc´ıavel em x e y , ent˜ao f tem derivada direcional na dire¸c˜ao de qualquer versor u = (a, b) e Du f (x, y ) = fx (x, y )a + fy (x, y )b
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Exemplo Determine a derivada direcional Du f (x, y ) se π f (x, y ) = x 3 − 3xy + 4y 2 e u ´e o versor dado pelo ˆangulo θ = . 3 Qual ser´a Du f (1, 2)?
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Sum´ario 1
Derivada Direcinal
2
Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
4
Multiplicadores de Lagrange
5
Integrais
6
Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Du f (x, y ) = fx (x, y )a + fy (x, y )b = (fx (x, y ), fy (x, y )) .(a, b) = (fx (x, y ), fy (x, y )).u
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Defini¸c˜ao Se f ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis x e y ent˜ao o gradiente de f ´e a fun¸c˜ao vetorial ∇f definida por ∇f (x, y ) = (
∂f ∂f ∂f ∂f , ) = ~i + ~j ∂x ∂y ∂x ∂y
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Sum´ario 1
Derivada Direcinal
2
Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
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Multiplicadores de Lagrange
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Integrais
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Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Defini¸c˜ao Uma fun¸c˜ao f de duas vari´aveis tem um m´ aximo local em (a, b) se f (x, y ) ≤ f (a, b) quando (x, y ) est´a pr´ oximo `a (a, b). O n´ umero f (a, b) ´e chamado um valor m´ aximo local. Se f (x, y ) ≥ f (a, b) quando (x, y ) est´a pr´oximo `a (a, b), ent˜ao f possui um m´ınimo local em (a, b) e f (a, b) ´e chamado de valor m´ınimo local. Se nas desigualdades acima (x, y ) for qualquer ponto do dom´ınio de f ent˜ao a palavra local pode ser trocada por absoluto (ou global).
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Defini¸c˜ao Uma fun¸c˜ao f de duas vari´aveis tem um m´ aximo local em (a, b) se f (x, y ) ≤ f (a, b) quando (x, y ) est´a pr´ oximo `a (a, b). O n´ umero f (a, b) ´e chamado um valor m´ aximo local. Se f (x, y ) ≥ f (a, b) quando (x, y ) est´a pr´oximo `a (a, b), ent˜ao f possui um m´ınimo local em (a, b) e f (a, b) ´e chamado de valor m´ınimo local. Se nas desigualdades acima (x, y ) for qualquer ponto do dom´ınio de f ent˜ao a palavra local pode ser trocada por absoluto (ou global). Teorema Se f possui um m´aximo ou m´ınimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem, ent˜ao fx (a, b) = 0 e fy (a, b) = 0 Prof. Ludimar Costa Schreider
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Exemplo Determine os valores extremos das fun¸c˜ oes:
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Exemplo Determine os valores extremos das fun¸c˜ oes: a) f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2
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Exemplo Determine os valores extremos das fun¸c˜ oes: a) f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2 b) f (x, y ) = x 2 − y 2
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a)
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Teste da Derivada Segunda Suponha que as derivadas paciais de segunda ordem de f sejam todas cont´ınuas em um disco de centro (a, b) e suponha que fx (a, b) = fy (a, b) = 0. Seja D = D(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 (a) Se D > 0 e fxx > 0 ent˜ao f (a, b) ´e um m´ınimo local (b) Se D > 0 e fxx < 0 ent˜ao f (a, b) ´e um m´aximo local (c) Se D < 0 ent˜ao f (a, b) n˜ao ´e m´aximo nem m´ınimo local
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Exemplo a) Encontre os m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela da fun¸c˜ao f (x, y ) = x 4 + y 4 − 4xy + 1.
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Exemplo a) Encontre os m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela da fun¸c˜ao f (x, y ) = x 4 + y 4 − 4xy + 1. b) Determine a menor distˆancia entre o ponto (1, 0, −2) e o plano x + 2y + z = 4
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Exemplo a) Encontre os m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela da fun¸c˜ao f (x, y ) = x 4 + y 4 − 4xy + 1. b) Determine a menor distˆancia entre o ponto (1, 0, −2) e o plano x + 2y + z = 4 c) Uma caixa retangular sem tampa ´e feita com 12m2 de madeira. Determine o maior volume poss´ıvel para esta caixa.
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Derivada Direcinal
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Vetor Gradiente
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M´aximos e M´ınimos
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Multiplicadores de Lagrange
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Integrais
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Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
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Integrais Triplas
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Derivada Direcinal
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Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
4
Multiplicadores de Lagrange
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Integrais
6
Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Parti¸c˜ao
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Parti¸c˜ao
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Defini¸c˜ao A integral dupla de f sobre o retˆangulo R ´e m X n X
ZZ f (x, y )dA = R
lim
m,n→∞
i=1 j=1
se esse limite existir.
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f (xi , yj )∆A
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Integral Iteradas
Defini¸c˜ao Suponha que f seja uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis,R cont´ınua no d retˆagulo R = [a, b] × [c, d]. Usaremos a nota¸c˜ao c f (x, y )dy significando que x ´e mantido cosntante e f (x, y ) ´e integrado em rela¸c˜ao a y de y = c para y = d. Esse procedimento ´e chamado integra¸c˜ao parcial em rela¸c˜ao a y.
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Exemplo Calcule o valor das integrais R3R2 a) 0 1 x 2 y dy dx
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Exemplo Calcule o valor das integrais R3R2 a) 0 1 x 2 y dy dx b)
R2R3 1
0
x 2 y dx dy
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Teorema Se f for cont´ınua no retˆagulo R = {(x, y )/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, ent˜ao Z Z Z bZ d Z dZ b f (x, y )dA = f (x, y )dy dx = f (x, y )dx dy R
a
c
c
a
Observe que se f (x, y ) ≥ 0, podemos interpretar a integral dupla RR olido que est´a acima de R e R f (x, y )dA como o volume do s´ abaixo da superf´ıcie z = f (x, y )
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Exemplo Determine o volume do s´ olido S que ´e delimitado pelo parabol´oide el´ıptico x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2, e os trˆes planos coordenados.
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Exemplo Determine o volume do s´ olido S que ´e delimitado pelo parabol´oide el´ıptico x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2, e os trˆes planos coordenados.
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Derivada Direcinal
2
Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
4
Multiplicadores de Lagrange
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Integrais
6
Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Queremos ser capazes de integrar uma fun¸c˜ao n˜ao somente sobre um retˆangulo R, mas tamb´em sobre uma regi˜ao D de forma mais geral.
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Regi˜oes do Tipo I
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Regi˜oes do Tipo I
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Defini¸c˜ao Se f ´e cont´ınua numa regi˜ao D do tipo I tal que D = {(x, y )/a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} ent˜ao Z Z
Z
b
Z
g2 (x)
f (x, y )dA = D
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f (x, y )dy dx a
g1 (x)
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Exemplo RR Calcule e uma regi˜ao limitada pelas D (x + 2y )dA, onde D ´ 2 2 par´abolas y = 2x e y = 1 + x .
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Exemplo RR Calcule e uma regi˜ao limitada pelas D (x + 2y )dA, onde D ´ 2 2 par´abolas y = 2x e y = 1 + x .
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Regi˜oes do Tipo II
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Regi˜oes do Tipo II
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Exemplo Determine o volume do s´ olido que est´a contido debaixo do parabol´oide z = x 2 + y 2 e acima da regi˜ao D limitada pela y = 2x e pela par´abola y = x 2 .
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Exemplo Determine o volume do s´ olido que est´a contido debaixo do parabol´oide z = x 2 + y 2 e acima da regi˜ao D limitada pela y = 2x e pela par´abola y = x 2 .
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Derivada Direcinal
2
Vetor Gradiente
3
M´aximos e M´ınimos
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Multiplicadores de Lagrange
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Integrais
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Integrais Sobre Regi˜ oes Gen´ericas
7
Integrais Triplas
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Defini¸c˜ao A integral tripla de f sobre a caixa B ´e Z Z Z f (x, y )dV = B
lim
`,m,n→∞
` X m X n X i=1 j=1 k=1
se esse limite existir.
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f (xi , yj , zk )∆V
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Defini¸c˜ao Se f ´e cont´ınua numa regi˜ao B tal que B = {(x, y )/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ee ≤ z ≤ f } ent˜ao Z Z Z
Z
b
Z
d
Z
f
f (x, y , z)dV = B
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f (x, y , z)dz dy dx a
c
e
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