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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Engenharia Elétrica
ANÁLISE FASORIAL
Gildenir Soares Batista da Silva V1.0 abril, 07
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Fasor Podemos dizer que um fasor é um vetor no espaço bidimencional, cujos parâmetros são expressos, não em função das suas coordenadas retangulares, mas sim em função do seu módulo e do ângulo que ele faz em relação ao eixo das abscissas. • Representação Fasorial: Representado por uma letra maiúscula com um ponto acima, ou pode ser escrito em negrito. •
A = A∠( ±θ ) ou A = A∠(±θ )
, onde A é o módulo do fasor e Θ é o ângulo formado entre o eixo x e o fasor (“vetor”); partido sempre do eixo x e no sentido anti-horário. O fasor pode ser escrito em suas formas equivalentes: na forma exponencial e na forma retangular complexa. •
A = A∠( ±θ ) ≡ A ⋅ e ± jθ ≡ A(cosθ ± jsenθ ) ≡ a ± jb Onde: a = A ⋅ cos θ e b = A ⋅ senθ y •
A
bj A
θ a
x
Figura 1 – Representação gráfica do fasor A.
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Do gráfico da Fig. 1, podemos obter as seguintes comprovações: - O módulo do fasor, escrito na forma retangular complexa, pode ser expresso assim: A = A = a 2 + b 2 , verifique que mesmo que o fasor esteja
sendo expresso na forma exponencial ou na forma retangular complexa ele continua tendo o mesmo módulo, que no nosso caso genérico é igual a A. Basta, apenas, que façamos a seguinte comprovação: que o módulo de A⋅ e ± jθ e o módulo de A(cos θ ± jsenθ ) seja igual a A. Portanto, concluímos que para que isto ocorra, o módulo do fator que multiplica A precisa ser igual a unidade; e veremos, logo abaixo, que isto é verdade! Como sabemos, a identidade de Euler é dada por: e ± jθ = cos θ ± jsenθ , então: e ± jθ = cos θ ± jsenθ =
(cos θ )2 + (± senθ )2
⇒
e ± jθ = cos 2 θ + sen 2θ = 1 = 1
- O ângulo do fasor, escrito na forma retangular complexa, pode ser expresso assim: b ⎛b⎞ = tgθ , sendo assim: θ = arctg ⎜ ⎟ a ⎝a⎠
Operações Fasoriais Uma boa forma de entender e de fixar as operações com fasores é imaginar ele sempre escrito na forma
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exponencial ( A∠(±θ ) ≡ A ⋅ e ± jθ ), pois nos lembraremos das propriedades da função exponencial. Vejamos isso adiante. • Soma e subtração: Para efetuar a soma ou a subtração de fasores, deve-se primeiro transformar os fasores para a forma retangular (complexa); depois voltamos para forma fasorial. Como citado anteriormente, se imaginarmos a soma de duas funções exponenciais de mesma base (A.ejΘ e A.ejΦ), mas de expoentes diferentes (ângulos diferentes), jamais somaríamos suas amplitudes (A) diretamente, sem antes transformar para forma retangular complexa. Veja no próximo tópico, como a idéia também é válida para as demais operações. Obs1.: Em particular, somente no caso da soma ou subtração entre dois ou mais fasores de mesmo ângulo Θ, poderemos somar diretamente as amplitudes e manter o mesmo ângulo. Ou seja: A1∠θ + A2 ∠θ + A3 ∠θ + K + An ∠θ = ( A1 + A2 + A3 + K + An )∠θ
Obs2.: − A∠θ = A∠(θ ± 180°) , represente graficamente este fasor e
verifique você mesmo, esta equivalência. • Produto e Divisão:
A∠θ ⋅ C∠φ = A ⋅ C∠(θ + φ ) A∠θ A = ∠(θ − φ ) C∠φ C
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Verifique que, se imaginarmos o produto de duas funções exponenciais de mesma base (A.ejΘ e B.ejΦ), com expoentes iguais ou diferentes (ângulos iguais ou diferentes), multiplicaríamos as amplitudes, manteríamos a base e somaríamos os expoentes diretamente, sem transformar para forma retangular complexa. Veja a analogia e o porquê das operações fasoriais serem assim, no exemplo de divisão. Considere os fasores literais abaixo, como exemplo: •
•
A = A∠θ e B = B∠φ , então o quociente fica assim: •
A •
B
=
A∠θ A ⋅ e jθ A j (θ −φ ) A ≡ = ⋅e ≡ ∠(θ − φ ) B B∠φ B ⋅ e jφ B
Observe funciona.
que
para
as
demais
operações
a
idéia
• Potenciação e Radiciação:
( A∠θ )a = Aa∠(θ ⋅ a) a
A∠θ = a A∠(θ ÷ a )
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