Apostila álgebra 1

Transcript

´ ALGEBRA I Departamento de Matem´atica UDESC - Joinville 2 Conte´ udo 1 SISTEMAS DE COORDENADAS 1.1 Coordenadas polares no <2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Rela¸c˜ao entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares e o Sistema de Coordenadas Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Gr´aficos de Equa¸c˜oes em Coordenadas Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Algumas Equa¸c˜oes em Coordenadas Polares e seus respectivos Gr´aficos. . . . . 1.1.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Coordenadas polares no <3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 6 7 8 14 15 15 16 16 17 19 21 ˜ DE COORDENADAS 2 TRANSFORMAC ¸ AO 2.1 Transla¸c˜ao de eixos coordenados. . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rota¸c˜ao dos eixos coordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Simplifica¸c˜ao de equa¸c˜oes por transforma¸c˜ao de coordenadas. 2.3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 24 24 27 27 28 29 31 31 32 33 34 34 . . . . . . . . 35 35 36 37 38 39 39 41 42 ˆ 3 A CIRCUNFERENCIA 3.1 Equa¸c˜ao padr˜ao da circunferˆencia. . . . . . . . 3.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 A forma geral da equa¸c˜ao da circunferˆencia. . 3.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Circunferˆencia determinada por trˆes condi¸c˜oes. 3.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 1 SISTEMAS DE COORDENADAS 1.1 Coordenadas polares no <2 Fonte: C´ alculo A. Fun¸c˜ oes. Limite. Deriva¸c˜ ao. Integra¸c˜ ao. Diva Mar´ılia Flemming. M´ırian Buss Gon¸calves. At´e o presente momento, localizamos um ponto no plano por meio de suas coordenadas cartesianas retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado ´e o sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distˆancia e da medida de um ˆangulo em rela¸c˜ao a um ponto fixo e a uma semireta fixa. A Figura 1 ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. O ponto fixo, denotado por O, ´e chamado p´ olo ou origem. A semireta fixa OA ´e chamada eixo polar. r P O ponto P fica bem determinado atrav´es do par  r  P´olo  ordenado (r, θ), onde |r| representa a distˆancia en ou  θ  tre a origem e o ponto P , e θ representa a medida,  origem  r d . O eixo polar A em radianos, do ˆangulo orientado AOP O segmento OP , muitas vezes, ´e chamado raio. Figura 1 Usaremos as seguintes conven¸c˜oes: d for descrito no sentido anti-hor´ (i) Se o ˆangulo AOP ario, ent˜ao θ > 0. Caso contr´ario, teremos θ < 0. d . (ii) Se r < 0, o ponto P estar´a localizado na extens˜ao do lado terminal do ˆangulo AOP (iii) O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representar´a o p´olo. 1.1.1 Exemplo 1. Representar num sistema de coordenadas polares os seguintes pontos: (a) P1 (2, π/4) (c) P3 (−2, −π/4) (b) P2 (−2, π/4) (d) P4 (2, −π/4) A Figura 2 (a) e (b), representa os pontos P1 e P2 , respectivamente. r P1  r = 2   π  θ = 4  r O eixo polar r = −2        π   θ = 4  r  eixo polar O  (a) P2 r  Figura 2 (b) 4 A Figura 3 (a) e (b), mostram os pontos P3 e P4 , respectivamente. P3 r @ r = −2 @ @ @r O@ r  −π eixo polar  @ θ= 4 @ @ @ @ @ @  O@@ θ = - eixo polar −π 4 @ @ r =2@ @ @ @r P4 (a) (b) Figura 3 1.1.2 Rela¸ c˜ ao entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares e o Sistema de Coordenadas Polares. Em v´arias situa¸c˜oes, surge a necessidade de nos referirmos a ambas, coordenadas cartesianas e coordenadas polares de um ponto P . Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o p´olo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual θ = π/2 com o eixo positivo dos y (ver Figura 4). Y6 Y $ θ=π 2 O - A - X Figura 4 Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), vamos analisar o caso em que o ponto P est´a no primeiro quadrante. A Figura 5 (a) e (b) ilustra o caso para r > 0 e r < 0, respectivamente. 5 Y6 Y6 rP y r P y r i θ -x x θ - X x  -y (a) - X (b) Figura 5 Podemos observar que: (i) Para r > 0, temos cos θ = xr e sen θ = yr . (ii) Para r < 0, temos e sen θ = cos θ = −x −r −y . −r Portanto, ( x = r cos θ y = r sen θ. (1) Pode-se verificar a validade das rela¸c˜oes encontradas, no caso em que o ponto P se encontra sobre um dos eixos ou num outro quadrante. Usando (1), podemos deduzir outra rela¸c˜ao muito usada. Elevando ambos os membros das equa¸c˜oes em (1) ao quadrado, podemos escrever ( x2 = r2 cos2 θ y 2 = r2 sen 2 θ. Adicionando membro a membro, obtemos: x + y 2 = r2 cos2 θ + r2 sen 2 θ ou x2 + y 2 = r 2 . Portanto, 2 q r = ± x2 + y 2 . (2) 6 1.1.3 Exemplos 1. Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares s˜ao (−4, 7π/6). Y6 r P y Solu¸c˜ ao. A Figura 6 ilustra este ponto. Temos, x = r cos θ e y = r sen θ 7π = −4  cos √6  = −4  sen 7π 6 = −4 − 23 = −4 − 12 √ = 2 3 = 2. √ Portanto, (2 3, 2) s˜ao as coordenadas cartesianas do ponto dado. 7π 6 - x  X Figura 6 2. Encontrar (r, θ), supondo r < 0 e 0 ≤ θ < 2π para √ o ponto P , cujas coordenadas cartesianas s˜ao ( 3, −1). Y6 Solu¸c˜ ao. A Figura 7 ilustra o ponto P. @ @ @ @ p r = −√ x2 + y 2 = − 3+1 = −2; √ cos θ = xr = −23 sen θ = yr = −1 −2 Portanto, θ = @ @ @ √ =− = 12 . 3 2 e 5π 6 . 5π 6 √ 3 - X @ @ −1 @r P Figura 7 1.1.4 Gr´ aficos de Equa¸c˜ oes em Coordenadas Polares. O gr´afico de F (r, θ) = 0 ´e formado por todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a ´ comum apresentarmos a equa¸c˜ao numa forma expl´ıcita, isto ´e, r = f (θ). equa¸c˜ao. E Na pr´atica, os seguintes procedimentos poder˜ao nos auxiliar no esbo¸co do gr´afico: (i) calcular os pontos de m´aximo e/ou m´ınimos; (ii) encontrar os valores de θ para os quais a curva passa pelo p´olo; (iii) verificar simetrias. Se, • a equa¸c˜ao n˜ao se altera quando substituirmos r por −r, existe simetria em rela¸c˜ao `a origem; 7 • a equa¸c˜ao n˜ao se altera quando substituirmos θ por −θ, existe simetria em rela¸c˜ao ao eixo polar; • a equa¸c˜ao n˜ao se altera quando substituirmos θ por π − θ, existe simetria em rela¸c˜ao ao eixo θ = π2 . 1.1.5 Exemplos 1. Esbo¸car a curva r = 2(1 − cos θ). Como a equa¸c˜ao n˜ao se altera ao substituirmos θ por −θ, isto ´e r = 2(1 − cos θ) = 2(1 − cos(−θ)), conclu´ımos que existe simetria em rela¸c˜ao ao eixo polar. Logo, basta analisar valores de θ tais que 0 ≤ θ ≤ π. Para 0 ≤ θ ≤ π, encontramos um ponto de m´aximo (4, π) e um ponto de m´ınimo (0, 0). Observamos que, considerando r = f (θ), os pontos de m´aximos e m´ınimos podem ser encontrados de maneira an´aloga aos da Se¸c˜ao 5.7 (C´alculo A). A Tabela 1 mostra alguns pontos da curva, cujo esbo¸co ´e mostrado na Figura 8. Tabela 1 θ r 0 0 π 1 3 π 2 2 2π 3 3 π 4 @ @ @
- eixo polar Figura 8 2. Esbo¸car a curva r = 2 cos 2θ. Analisando as simetrias, temos que (a) A curva ´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixo dos x, pois r = 2 cos(−2θ) = 2 cos 2θ. (b) A curva ´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixo dos y, pois r = 2 cos[2(π − θ)] = 2 cos(2π − 2θ) = 2 cos 2θ. Logo, basta fazer uma tabela para 0 ≤ θ ≤ π2 . Em 0 ≤ θ ≤ π2 , a curva passa pelo p´olo quando θ = π4 , pois r = f Podemos ainda verificar que, para 0 ≤ θ ≤ m´ınimo (−2, π/2). π 2, π 4
= 2 cos 2 · π 4 = 2 cos π2 = 0. temos um ponto de m´aximo (2, 0) e um ponto de Usando a Tabela 2 e os resultados anteriores, esbo¸camos a curva vista na Figura 9. θ= 6 Tabela 2 θ r 0 2 π 1 6 π 0 4 π −1 3 π −2 2 π 2 θ= π 3
θ= π 4
π
 θ = 6
 θ=0 
 eixo polar 



Figura 9 8 1.1.6 Algumas Equa¸c˜ oes em Coordenadas Polares e seus respectivos Gr´ aficos. (I) Equa¸ c˜ oes de retas. (a) θ = θ0 ou θ = θ0 ± nπ, n ∈ Z ´e uma reta que passa pelo p´olo e faz um ˆangulo de θ0 ou θ0 ± nπ radianos com o eixo polar (ver Figura 10).



θ  0

O

- A

Figura 10 (b) r sen θ = a e r cos θ = b, a, b ∈ <, s˜ao retas paralelas aos eixos polar e π/2, respectivamente (ver Figuras 11 e 12). π 2 π 2 6 6 a - - A A a [r sen θ = a, a < 0] [r sen θ = a, a > 0] Figura 11 π 2 π 2 6 b - A b [r cos θ = b, b > 0] 6 - A [r cos θ = b, b < 0] Figura 12 (II) Circunferˆ encias. (a) r = c, c ∈ < ´e uma circunferˆencia centrada no p´olo e raio |c| (ver Figura 13). '$ o &% Figura 13 - A 9 (b) r = 2a cos θ ´e uma circunferˆencia de centro no eixo polar, tangente ao eixo θ = π/2: • se a > 0, o gr´afico est´a `a direita do p´olo; • se a < 0, o gr´afico est´a a` esquerda do p´olo (ver Figura 14). π 2 π 2 6 P (r, θ) r '$  yθ 0 (2a, 0) &% 6 '$ - - 2a A &% [r = 2a cos θ, a > 0] A [r = 2a cos θ, a < 0] Figura 14 (c) r = 2b sen θ ´e uma circunferˆencia de centro no eixo π/2 e que tangencia o eixo polar: • se b > 0, o gr´afico est´a acima do p´olo; • se b < 0, o gr´afico est´a abaixo do p´olo (ver Figura 15). π 2 π 2 6 6 2b '$ &% 0 '$ - A A &% 2b [r = 2b sen θ, b > 0] [r = 2b sen θ, b < 0] Figura 15 (III) Lima¸ cons. r = a ± b cos θ ou r = a ± b sen θ, onde a, b ∈ < s˜ao lima¸cons. Temos, • se b > a, ent˜ao o gr´afico tem um la¸co (ver Figura 16); 10 π 2 π 2 6 6 - - eixo polar eixo polar r = a + b cos θ π 2 [b > a] r = a − b cos θ π 2 6 6 - eixo polar - eixo polar r = a + b sen θ [b > a] r = a − b sen θ Figura 16 • se b = a, ent˜ao o gr´afico tem o formato de um cora¸c˜ao, por isso ´e conhecido como Cardi´oide (ver Figura 17); π 2 π 2 6 6 - - eixo polar eixo polar r = a(1 − cos θ) r = a(1 + cos θ) π 2 π 2 6 6 - eixo polar - eixo polar r = a(1 − sen θ) r = a(1 + sen θ) Figura 17 11 • se b < a, ent˜ao o gr´afico n˜ao tem la¸co (ver Figura 18). π 2 π 2 6 6 - - eixo polar r = a + b cos θ π 2 eixo polar r = a − b cos θ [b < a] π 2 6 6 - eixo polar - eixo polar r = a + b sen θ r = a − b sen θ [b < a] Figura 18 Observamos que na Figura 16 usamos a = 1 e b = 2, na Figura 17 usamos a = b = 1 e na Figura 18 usamos a = 3 e b = 2. (IV) Ros´ aceas. r = a cos nθ ou r = a sen nθ, onde a ∈ < e n ∈ ℵ s˜ao ros´aceas: • se n ´e par temos uma ros´acea de 2n p´etalas (ver Figura 19); π 2 π 2 6 6 - - eixo polar r = a cos nθ [n par] Figura 19 eixo polar r = a sen nθ • se n ´e ´ımpar temos uma ros´acea de n p´etalas (ver Figura 20). 12 π 2 π 2 6 6 - - eixo polar eixo polar [n ´ımpar] r = a sen nθ r = a cos nθ Figura 20 Observamos que na Figura 19 usamos a = 1 e n = 4, na Figura 20 usamos a = 1 e n = 5. (V) Lemniscatas. r2 = ±a2 cos 2θ ou r2 = ±a2 sen 2θ, onde a ∈ < s˜ao lemniscatas (ver Figura 21). θ= @ @ π 2 3π 4 6 θ= π 4 θ= @ @ π 2 3π 4 6 θ= π 4 @ @ @ @ @ eixo polar @ @ eixo polar @ @ @ @ @ @ @ @ @ r2 = a2 cos 2θ π 2 r2 = −a2 cos 2θ π 2 6 6 eixo polar r2 = a2 sen 2θ Figura 21 Observamos que na Figura 21 usamos a = 1. eixo polar r2 = −a2 sen 2θ 13 (IV) Espirais. As equa¸c˜oes seguintes representam algumas espirais: (a) (b) (c) (d) rθ = a, a > 0 r = aθ, a > 0 r = eaθ r2 = θ —— —— —— —— espiral espiral espiral espiral hiperb´olica; de Arquimedes; logar´ıtmica; parab´olica. As Figuras 22 a 25 ilustram estas espirais. π 2 π 2 6 6 (a, π2 ) (a, π2 ) eixo polar eixo polar rθ = a (θ < 0) rθ = a (θ > 0) Figura 22 π 2 π 2 6 6 eixo polar eixo polar r = eaθ r = aθ (θ ≥ 0) Figura 24 Figura 23 π 2 π 2 6 eixo polar r= √ 6 eixo polar √ r=− θ θ Figura 25 14 1.1.7 Exerc´ıcios 1. Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares. (a) P1 (4, π/4) (c) P3 (−4, π/4) (b) P2 (4, −π/4) (d) P4 (−4, −π/4) 2. Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas. (a) P1 (3, π/3) (b) P2 (−3, π/3) (c) P3 (3, −π/3) (d) P4 (−3, −π/3) 3. Encontrar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas polares. (a) (−2, 2π/3) (b) (4, 5π/8) (c) (3, 13π/4) (d) (−10, π/2) (e) (−10, 3π/2) (f ) (1, 0) 4. Encontrar um par de coordenadas polares dos seguintes pontos: (a) (1, 1) (b) (−1, 1) (c) (−1, −1) (d) (1, −1) 5. Usar (a) r > 0 e 0 ≤ θ < 2π; (b) r < 0 e 0 ≤ θ < 2π; (c) r > 0 e −2π < θ ≤ 0; (d) r < 0 e −2π < θ ≤ 0; √ √ √ para descrever os pontos P1 ( 3, −1) e P2 (− 2, − 2), em coordenadas polares. 6. Transformar as seguintes equa¸c˜oes para coordenadas polares (a) x2 + y 2 = 4 (b) x = 4 (c) y = 2 (d) y + x = 0 (e) x2 + y 2 − 2x = 0 (f ) x2 + y 2 − 6y = 0 7. Transformar as seguintes equa¸c˜oes para coordenadas cartesianas. (a) r = cos θ (b) r = 2 sen θ (c) r = cos θ+1 sen θ (d) r = a, a > 0. 8. Nos exerc´ıcios a seguir esbo¸car o gr´afico das curvas em coordenadas polares. (a) r = 1 + 2 cos θ (b) r = 1 − 2 sen θ (c) r = a ± b cos θ, a = 2 e b = 3; a = 3 e b = 2; a = b = 3 (d) r = cos 3θ (e) r = 2 cos 3θ (f) (g) (h) (i) r = 2 sen 2θ r = 2 − cos θ r = 2 − sen θ r = a ± b sen θ, a = 2 e b = 3; a = 3 e b = 2; a = b = 2 (j) r = 2 sen 3θ 15 (k) (l) (m) (n) (o) (p) 1.1.8 θ = π/4 θ = π/9 r2 = 4 cos 2θ r = 3θ, θ ≥ 0 r = 4 sen θ r = e−θ , θ ≥ 0 (q) (r) (s) (t) (u) (v) r r r r r r √ = 2 = 10 cos θ = 2| cos θ| = 12 sen θ = eθ/3 = 2θ (w) r cos θ = 5 (x) 5r cos θ = −10 Respostas √ (2a) (3/2, 3 3/2) √ (2b) (−3/2, −3 3/2) √ (2c) (3/2, −3 3/2) √ (2d) (−3/2, 3 3/2) √ (3a) (1, − 3) (6a) r = ±2 √ (4a) ( 2, π/4) √ (4b) ( 2, 3π/4) √ (4c) ( 2, 5π/4) √ (4d) ( 2, 7π/4) (6b) r cos θ = 4 (6c) r sen θ = 2 (6d) θ = 3π 4 + kπ, k ∈ Z (6e) r = 2 cos θ (3b) (−1.5307, 3.6955) √ √ (3c) (−3 2/2, −3 2/2) (5a) P1 (2, 11π/6); P2 (2, 5π/4) (6f) r = 6 sen θ (5b) P1 (−2, 5π/6); P2 (−2, π/4) (7a) x2 + y 2 − x = 0 (3d) (0, −10) (5c) P1 (2, −π/6); P2 (2, −3π/4) (7b) x2 + y 2 − 2y = 0 (3e) (0, 10) (5d) P1 (−2, −7π/6); P2 (−2, −7π/4) (7c) x + y = 1 (7d) x2 + y 2 = a2 (3f) (1, 0) 1.2 Coordenadas polares no <3 Fonte:Geometria Anal´ıtica. Cole¸c˜ ao Schaum. Joseph H. Kindle. Z6 No espa¸co, al´em das coordenadas cartesianas retangulares, trˆes outros sistemas s˜ao freq¨ uentemente empregados: os de coordenadas polares, cil´ındricas e esf´ericas. As coordenadas polares do ponto P no espa¸co, Fig. 1, s˜ao (r, α, β, γ), onde r, raio vetor, designa a distˆancia OP e α, β e γ s˜ao ˆ angulos diretores de OP . As rela¸c˜oes entre coordenadas polares e retangulares do ponto P s˜ao     r  P (x, y, z)    γ r    β   O    α     X   Figura 1 (r, α, β, γ)     Y 16    x = r cos α y = r cos β z = r cos γ. √ 2 r = ± x + y2 + z2, cos α = xr , cos β = yr , cos γ = zr , r 6= 0. (3)   (4) Uma vez que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, as quatro coordenadas n˜ao s˜ao independentes. Por exemplo, para α = 60◦ e β = 45◦ , temos cos2 γ = 1 − cos2 α − cos2 β = 1 − 14 − 12 = 14 . Da condi¸c˜ao γ ≤ 180◦ deduz-se: γ = 60◦ ou 120◦ . 1.3 Coordenadas cil´ındricas No sistema de coordenadas cil´ındricas, um ponto P (x, y, z), Fig. 2, ´e localizado pelas coordenadas r, θ, z, devendo-se notar que r e θ s˜ao as coordenadas polares da proje¸c˜ao Q do ponto P no plano xy. Para designar essas coordenadas, escrevemos: (r, θ, z)∗ . As rela¸c˜oes entre coordenadas cil´ındricas e retangulares s˜ao Z6 P (x, y, z) r (r, θ, z)    x = r cos θ y = r sen θ z = z. √ r = ± x2 + y 2 , θ = arctan xy . (5)   z O  PP P  P    θ - r PPPP    X    Y (6) O ˆangulo θ n˜ao sofre restri¸c˜ao de valor, podendo r receber valores negativos, como em coordenadas polares. Figura 2 1.4 Coordenadas esf´ ericas Seja P (x, y, z) um ponto qualquer do espa¸co e Q, sua proje¸c˜ao no plano xy. Chamemos de r distˆancia OP , como em coordenadas polares. Designemos o ˆangulo ZOP por φ. Consideremos o ˆangulo φ como positivo e capaz de variar no 0◦ ≤ φ ≤ 180◦ . Designemos ˆangulo XOQ por θ. Os s´ımbolos r, θ e φ tomam o nome de coordenadas esf´ericas do ponto P representam-se por P (r, θ, φ); r ´e o raio vetor, θ ´e a longitude e φ ´e a co-latitude de P . O ˆangulo pode receber qualquer valor. Do triˆangulo retˆangulo OP Q, deduzimos OQ = r sen φ, QP = r cos φ. a o e θ (7) 17 Z6  r P (x, y, z) r φ (r, θ, φ)   O   X X X   Y X  θ X   M    Q X    Do triˆangulo retˆangulo OM Q tiramos OM = OQ cos θ, M Q = OQ sen θ. Portanto,    x = OM = r sen φ cos θ   y = M Q = r sen φ sen θ z = QP = r cos φ. √ r = ± x2 + y 2 + z 2 , θ = arctan xy , φ = arccos zr . (8) (9) Figura 3 Nos problemas que envolvem a determina¸c˜ao de ´areas e volumes pelo c´alculo, o trabalho muito se simplifica com o emprego de coordenadas cil´ındricas ou esf´ericas. As coordenadas cil´ındricas mostram-se particularmente u ´teis quando a superf´ıcie limite ´e de revolu¸c˜ao. 1.5 Exemplos 1. Determinar as coordenadas polares, cil´ındricas e esf´ericas do ponto de coordenadas retangulares (1, −2, 2). Solu¸c˜ ao – Coordenadas polares. r= p x2 + y 2 + z 2 = p 12 + (−2)2 + 22 = √ 9 = 3. α = arccos xr = arccos 13 = 70◦ 320 ,   β = arccos yr = arccos − 23 = 131◦ 490 , γ = arccos zr = arccos 23 = 48◦ 110 . Resposta: (3, 70◦ 320 , 131◦ 490 , 48◦ 110 ). Coordenadas cil´ındricas. r= p x2 + y 2 = p 12 + (−2)2 = √ 5. θ = arctan xy = arctan −2 = 296◦ 340 , z = 2. √ Resposta: ( 5, 296◦ 340 , 2). Coordenadas esf´ericas. r= p x2 + y 2 + z 2 = θ = arctan φ = arccos y x z r p 12 + (−2)2 + 22 = = arctan −2 = √ 9 = 3. 296◦ 340 , = arccos 23 = 48◦ 110 , Resposta: (3, 296◦ 340 , 48◦ 110 ). 2. Determinar as coordenadas cartesianas ortogonais do ponto, cujas coordenadas cil´ındricas s˜ao (6, 120◦ , −2). 18 x = r cos θ = 6 cos 120◦ = −3, √ Solu¸c˜ ao. y = r sen θ = 6 sen 120◦ = 3 3, z = −2. √ Resposta: (−3, 3 3, −2). 3. Determinar as coordenadas retangulares do ponto de coordenadas esf´ericas (4, −45◦ , 30◦ ). Solu¸c˜ ao. x = r sen φ cos θ = 4 sen 30◦ cos(−45◦ ) = √ 2, √ y = r sen φ sen θ = 4 sen 30◦ sen (−45◦ ) = − 2, √ z = r cos φ = 4 cos 30◦ = 2 3. √ √ √ Resposta: ( 2, − 2, 2 3). 4. Determinar as coordenadas cartesianas do ponto, cujas coordenadas polares s˜ao (3, 120◦ , 120◦ , 135◦ ). Solu¸c˜ ao. x = r cos α = 3 cos 120◦ = − 23 , y = r cos β = 3 cos 120◦ = − 23 , √ z = r cos γ = 3 cos 135◦ = − 3 2 2 . Resposta:  √  − 23 , − 32 , − 3 2 2 . 5. Determinar as coordenadas cartesianas, polares e esf´ericas de um ponto, cujas coordenadas cil´ındricas s˜ao (6, 120◦ , 4). Solu¸c˜ ao – Retangulares. x = r cos θ = 6 cos 120◦ = −3, y = r sen θ = 6 sen 120◦ = 3, z = 4. √ Resposta: (−3, 3 3, 4). Polares. r= p x2 + y 2 + z 2 = √ √ (−3)2 + (3 3)2 + 42 = 2 13. q −3 α = arccos xr = arccos 2√ = 114◦ 350 , 13 √ 3 β = arccos yr = arccos 23√13 = 46◦ 70 , γ = arccos zr = arccos 2√413 = 56◦ 190 . √ Resposta: (2 13, 114◦ 350 , 46◦ 70 , 56◦ 190 ). Esf´ericas. r= p x2 + y 2 + z 2 = q √ √ (−3)2 + (3 3)2 + 42 = 2 13 √ θ = arctan xy = arctan 3−33 = 120◦ , φ = arccos zr = arccos 2√413 = 56◦ 190 , √ Resposta: (2 13, 120◦ , 56◦ 190 ). 19 6. Passar a equa¸c˜ao x2 + y 2 + 2z 2 − 2x − 3y − z + 2 = 0 para coordenadas cil´ındricas. Solu¸c˜ ao. Empreguemos as f´ormulas x = r cos θ, y = r sen θ e z = z. Substituindo, na equa¸c˜ao dada, x, y e z pelos valores acima, vem r2 cos2 θ + r2 sen 2 θ + 2z 2 − 2r cos θ − 3r sen θ − z + 2 = 0. Simplificando, resulta r2 − r(2 cos θ + 3 sen θ) + 2z 2 − z + 2 = 0. 7. Passar a equa¸c˜ao 2x2 + 3y 2 − 6z = 0 para coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ ao. Empreguemos as f´ormulas x = r sen φ cos θ, y = r sen φ sen θ e z = r cos φ. Substituindo, temos 2r2 sen 2 φ cos2 θ + 3r2 sen 2 φ sen 2 θ − 6r cos φ = 0 ou 2r sen 2 φ cos2 θ + 3r sen 2 φ sen 2 θ − 6 cos φ = 0. 8. Exprimir a equa¸c˜ao r + 6 sen φ cos θ + 4 sen φ sen θ − 8 cos φ = 0, em coordenadas retangulares. Solu¸c˜ ao. A equa¸c˜ao dada est´a expressa em coordenadas esf´ericas. Multipliquemo-la por r. Empregando os valores de x, y, z, dados no problema 7, obtemos r2 + 6r sen φ cos θ + 4r sen φ sen θ − 8r cos φ = 0, ou x2 + y 2 + z 2 + 6x + 4y − 8z = 0. √ Esta ´e a equa¸c˜ao de uma esf´era com centro em (−3, −2, 4) e raio r = 29. 9. Reduzir a equa¸c˜ao z = r2 cos 2θ, expressa em coordenadas cil´ındricas, a coordenadas cartesianas ortogonais. Solu¸c˜ ao. Fa¸camos cos 2θ = cos2 θ − sen 2 θ. Teremos ent˜ao 2 z = r (cos2 θ − sen 2 θ) = r2 cos2 θ − r2 sen 2 θ. Como r cos θ = x e r sen θ = y, a equa¸c˜ao pedida ´e z = x2 − y 2 . 10. Transformar x2 + y 2 − z 2 = 25 em uma equa¸c˜ao do sistema polar. Solu¸c˜ ao. Em coordenadas polares, temos x = r cos α, y = r cos β, z = r cos γ. Portanto, a equa¸c˜ao se transforma em r2 cos2 α + r2 cos2 β − r2 cos2 γ = 25 ou r2 (cos2 α + cos2 β − cos2 γ) = 25. Como cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, a equa¸c˜ao pedida ´e r2 (1 − 2 cos2 γ) = 25. 11. Passar a equa¸c˜ao cos γ = r cos α cos β, expressa em coordenadas polares, para o sistema cartesiano ortogonal. Solu¸c˜ ao. Multipliquemos ambos os membros da equa¸c˜ao dada por r. Teremos r cos γ = r2 cos α cos β. Como r cos γ = z, r cos α = x e r cos β = y, a equa¸c˜ao pedida ´e z = xy. 1.6 Exerc´ıcios 1. Determinar as coordenadas polares dos seguintes pontos: (a) (0, 1, 1) (c) (1, −2, 2) (e) (8, −4, 1) (b) (0, −2, −2) (d) (6, 3, 2) 2. Determinar as coordenadas cil´ındricas dos pontos do problema 1. 20 3. Determinar as coordenadas esf´ericas do problema1. 4. Determinar as coordenadas retangulares dos pontos, cujas coordenadas polares s˜ao: (c) (4, 120◦ , 120◦ , 135◦ ) (d) (3, 150◦ , 60◦ , 90◦ ) (a) (2, 90◦ , 30◦ , 60◦ ) (b) (3, 60◦ , −45◦ , 120◦ ) (e) (2, 45◦ , 120◦ , −60◦ ) 5. Determinar as coordenadas ortogonais dos pontos, cujas coordenadas cil´ındricas s˜ao: (a) (6, 120◦ , −2) (b) (1, 330◦ , −2) (c) (4, 45◦ , 2) (d) (8, 120◦ , 3) (e) (6, 30◦ , −3) 6. Determinar as coordenadas retangulares dos pontos, cujas coordenadas esf´ericas s˜ao: (c) (6, 330◦ , 60◦ ) (d) (5, 150◦ , 210◦ ) (a) (4, 210◦ , 30◦ ) (b) (3, 120◦ , 240◦ ) (e) (2, 180◦ , 270◦ ) 7. Determinar as coordenadas esf´ericas dos pontos, cujas coordenadas cil´ındricas s˜ao: (a) (8, 120◦ , 6) (b) (4, 30◦ , −3) (c) (6, 135◦ , 2) (d) (3, 150◦ , 4) (e) (12, −90◦ , 5) 8. Transformar as seguintes equa¸c˜oes nas correspondentes do sistema esf´erico. (b) x2 − y 2 − z 2 = a2 (a) 3x2 − 3y 2 = 8z (c) 3x + 5y − 2z = 6 9. Transformar as coordenadas retangulares das equa¸c˜oes dadas em coordenadas cil´ındricas: (c) x2 + y 2 − 8x = 0 (d) x2 − y 2 + 2y − 6 = 0 (a) 5x + 4y = 0 (b) 5x2 − 4y 2 + 2x + 3y = 0 (e) x2 + y 2 − z 2 = a2 10. As superf´ıcies dadas por suas equa¸c˜oes est˜ao expressas em coordenadas cil´ındricas. Refer´ı-las ao sistema cartesiano ortogonal e identific´a-las. (a) r2 + 3z 2 = 36 (b) r = a sen θ (c) r2 + z 2 = 16 (d) θ = 45◦ (e) r2 − z 2 = 1 11. Referir ao sistema polar os lugares das seguintes equa¸c˜oes cartesianas. (a) x2 + y 2 + 4z = 0 (b) x2 + y 2 − z 2 = a2 (c) 2x2 + 3y 2 + 2z 2 − 6x + 2y = 0 (d) z = 2xy 12. Transformar as seguintes equa¸c˜oes, dadas em coordenadas esf´ericas, em equa¸c˜oes de coordenadas retangulares: (a) r = 5a cos φ (b) θ = 60◦ (c) r sen φ = a (d) r = 4 13. Transformar as seguintes equa¸c˜oes polares em equa¸c˜oes cartesianas retangulares: (a) r(cos α + cos β + cos γ) = 5 (b) r2 (2 cos2 α − 1) = 25 (c) cos γ = r(cos2 α − cos2 β) (d) r2 − r2 cos2 γ − 4r cos γ − 2 = 0 21 14. Instituir uma f´ormula para o c´alculo da distˆancia entre dois pontos P1 (r1 , θ1 , φ1 ), P2 (r2 , θ2 , φ2 ) no sistema de coordenadas esf´ericas. Sugest˜ ao. Utilizar a f´ormula da distˆancia entre dois pontos expressa em coordenadas retangulares e transform´a-la para coordenadas esf´ericas. 1.7 Respostas √ (1a) ( 2, 90◦ , 45◦ , 45◦ ) √ (1b) (2 2, 90◦ , 135◦ , 135◦ ) (1c) (3, arccos(1/3), arccos(−2/3), arccos(2/3)) (1d) (7, arccos(6/7), arccos(3/7), arccos(2/7)) (1e) (9, arccos(8/9), arccos(−4/9), arccos(1/9)) (2a) (1, 90◦ , 1) (2b) (2, 270◦ , −2) √ (2c) ( 5, 2π − arctan(1/2), 2) √ (2d) (3 5, arctan(1/2), 2) √ (2e) (4 5, 2π − arctan 2, 1) √ (3a) ( 2, 90◦ , 45◦ ) √ (3b) (2 2, 270◦ , 135◦ ) (3c) (3, 2π − arctan 2, arccos(2/3)) (3d) (7, arctan(1/2), arccos(2/7)) (3e) (9, 2π − arctan(1/2), arccos(1/9)) √ (4a) (0, 3, 1) √ (4b) (3/2, 3 2/2, −3/2) √ (4c) (−2, −2, −2 2) √ (4d) (−3 3/2, 3/2, 0) √ (4e) ( 2, −1, 1) √ (5a) (−3, 3 3, −2) √ (5b) ( 3/2, −1/2, −2) √ √ (5c) (2 2, 2 2, 2) √ (5d) (−4, 4 3, 3) √ (5e) (3 3, 3, −3) √ √ (6a) (− 3, −1, 2 3) √ √ √ (6d) ( 5 4 3 , − 54 , − 5 2 3 ) (6e) (2, 0, 0) (7a) (10, 120◦ , arccos(3/5)) (7b) (5, 30◦ , arccos(−3/5)) √ √ (7c) (2 10, 135◦ , 10/10) (7d) (5, 150◦ , arccos(4/5)) (7e) (13, −90◦ , arccos(5/13)) (8a) 3r sen 2 φ cos 2θ = 8 cos θ (8b) r2 ( sen 2 φ cos 2θ − cos2 φ) = a2 (8c) r(3 sen φ cos θ + 5 sen φ sen θ − 2 cos φ) = 6 (9a) θ = arctan(−5/4) (9b) 5r cos2 θ − 4r sen 2 θ + 2 cos θ + 3 sen θ = 0 (9c) r − 8 cos θ = 0 (9d) r2 cos 2θ + 2r sen θ − 6 = 0 (9e) r2 − z 2 = a2 (10a) x2 + y 2 + 3z 2 = 36. Elips´oide de revolu¸c˜ao. (10b) x2 + y 2 = ay. Cilindro circular reto. (10c) x2 + y 2 + z 2 = 16. Esfera. (10d) y = x. Plano. (10e) x2 +y 2 −z 2 = 1. Hiperbol´oide de uma folha. (11a) r(cos2 α + cos2 β) + 4 cos γ = 0 ou r(1 − cos2 γ) + 4 cos γ = 0 (11b) r2 (1 − 2 cos2 γ) = a2 (11c) r(2 + cos2 β) − 6 cos α + 2 cos β = 0 (11d) cos γ = 2r cos α cos β (12a) x2 + y 2 + z 2 = 5az √ (12b) y = 3x (6b) ( 3 4 3 , − 94 , − 32 ) (12c) x2 + y 2 = a2 (6c) ( 92 , − 3 2 3 , 3) (12d) x2 + y 2 + z 2 = 16 √ 22 (13a) x + y + z = 5 (13c) z = x2 − y 2 (13b) x2 − y 2 − z 2 = 25 (13d) x2 + y 2 − 4z − 2 = 0 (14) q r12 + r22 − 2r1 r2 [cos(θ2 − θ1 ) sen φ1 sen φ2 + cos φ1 cos φ2 ] = d 23 2 ˜ DE COORDENADAS TRANSFORMAC ¸ AO Fonte:Geometria Anal´ıtica. Charles H. Lehmann. Um dos principais objetivos da Geometria Anal´ıtiva ´e a determina¸c˜ao das propriedades de v´arias curvas e configua¸c˜oes geom´etricas. Sobre a base de alguns conceitos fundamentais j´a fizemos um estudo da linha reta e da circunferˆencia. Naturalmente esperamos continuar esta investiga¸c˜ao relativamente a outras curvas. Entretanto, a medida que progredirmos em nosso trabalho, verificaremos que as curvas e suas equa¸c˜oes se tornam mais complicadas e mais dif´ıceis de serem analisadas. Em consequˆencia torna-se expediente, em v´arias ocasi˜oes, introduzir novos recursos a fim de facilitar o estudo destas curvas. Assim, nesta altura, ´e conveniente introduzir a no¸c˜ao de transforma¸c˜ao de coordenadas, um recurso que nos possibilita simplificar as equa¸c˜oes de muitas curvas. Uma transforma¸c˜ ao ´e o processo de mudar uma rela¸c˜ao, express˜ao ou figura em outra. Estabelecemos agora a seguinte: uma tranforma¸c˜ ao ´e uma opera¸c˜ ao por meio da qual uma rela¸c˜ao, express˜ ao ou figura ´e mudada em outra de acordo com uma dada lei. Analiticamente a lei dada ´e expressa por uma ou mais equa¸c˜oes denominadas equa¸c˜ oes de transforma¸c˜ ao. Transforma¸c˜ ao de coordenadas. Consideremos uma circunferˆencia de raio r cuja equa¸c˜ao ´e dada na forma padr˜ao (x − h)2 + (y − k)2 = r2 Y6 Y’ 6 '$ P r O’(h,k) X’ &% onde as coordenadas (h, k) do centro O0 s˜ao ambas diferentes de zero (Fig. 1). Se esta circunferˆencia ´e mudada, a qualquer respeito, sendo colocada com seu centro na origem O, sua equa¸c˜ao assume a forma canˆonica mais simples - O (10) x2 + y 2 = r 2 . X (11) Figura 1 Mas o mesmo efeito pode ser produzido sem mover a figura. Em vez disso, podemos mover os eixos coordenados paralelamente a si mesmos, respectivamente, no plano coordenado de maneira que a origem O coincida com o centro O0 (h, k) da circunferˆencia e os eixos coordenados tomam as posi¸c˜oes paralelas designadas pelos novos eixos X 0 e Y 0 na Fig. 1. Seja P qualquer ponto sobre a circunferˆencia. As coordenadas de P s˜ao (x, y) quando referidas aos eixos originais X e Y , mas evidentemente, s˜ao diferentes quando referidas aos novos eixos X 0 e Y 0 . Sejam designadas por (x0 , y 0 ) as novas coordenadas de P . Ent˜ao a equa¸c˜ao da circunferˆencia referida aos novos eixos X 0 e Y 0 ´e dada pela forma canˆonica simples x02 + y 02 = r2 . (12) Vemos, ent˜ao, que movendo os eixos coordenados paralelamente a si mesmos, respectivamente, transformamos as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer sobre a circunferˆencia nas coordenadas (x0 , y 0 ) e, como consequˆencia, transformamos a equa¸c˜ao (10) na forma (12) mais simples. A opera¸c˜ao de 24 mover os eixos coordenados no plano coordenado para uma posi¸c˜ao diferente de maneira que os novos eixos sejam paralelos aos antigos eixos, respectiva e semelhantemente orientados, ´e denominada transla¸c˜ ao dos eixos coordenados. Veremos mais adiante que algumas equa¸c˜oes podem ser transformadas para formas mais simples por uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados em torno de sua origem como ponto fixo. 2.1 Transla¸ c˜ ao de eixos coordenados. A fim de simplificar equa¸c˜oes por transla¸c˜ao dos eixos coordenados necessitaremos do seguinte teorema. Teorema 1. Se os eixos coordenados s˜ ao transladados para uma nova origem O0 (h, k) e se as coordenadas de qualquer ponto P antes e depois da transla¸c˜ ao s˜ ao (x, y) e (x0 , y 0 ), respectivamente, ent˜ao as equa¸c˜ oes de transforma¸c˜ao das antigas para as novas coordenadas s˜ ao dadas por ( x = x0 + h y = y0 + k (13) Demonstra¸c˜ao. Os antigos eixos X e Y e os novos eixos transladados X 0 e Y 0 est˜ao representados na Fig. 2 onde as coordenadas da nova origem O0 s˜ao (h, k) em rela¸c˜ao aos antigos eixos. Desde o ponto P s˜ao tra¸cadas perpendiculares a ambos os conjuntos de eixos e os novos eixos est˜ao prolongados at´e interceptarem os antigos eixos, dando-nos assim todos os pontos apresentados na figura. Y6 F B Usando a rela¸c˜ao fundamental para segmentos retil´ıneos orientados, temos de imediato, por meio da figura Y’ 6 P r E x = OD = OA + AD = OA + O0 C = h + x0 . (14) O’(h,k) C X’ Semelhantemente y = OF = OB + BF = OB + O0 E = k + y 0 . - O A D X (15) Figura 2 2.1.1 Exemplos 1. Transformar a equa¸c˜ao x3 − 3x2 − y 2 + 3x + 4y − 5 = 0 (16) por transla¸c˜ao dos eixos coordenados `a nova origem (1, 2). Desenhar o lugar geom´etrico e mostrar ambos os conjuntos de eixos. Solu¸c˜ ao. Pelo Teorema 1 as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao s˜ao x = x0 + 1 e y = y0 + 2 Se substituirmos estes valores de x e y na equa¸c˜ao 16 obteremos 25 Y 6Y’ 6 (x0 + 1)3 − 3(x0 + 1)2 − (y 0 + 2)2 + 3(x0 + 1) + 4(y 0 + 2) − 5 = 0. 2 O Desenvolvendo e simplificando esta u ´ltima equa¸c˜ao obtemos a equa¸c˜ao transformada procurada - O’ X’ x03 − y 02 = 0. - 1 X (17) O lugar geom´etrico, uma par´abola semi-c´ ubica, est´a representado na Fig. 3. Figura 3 No exemplo 1 a nova origem foi especificada. Usualmente, entretanto, as coordenadas da nova origem n˜ao s˜ao dadas, mas devem ser determinadas. O processo em tal caso ´e ilustrado no exemplo seguinte. 2. Por uma transla¸c˜ao dos eixos coordenados transformar a equa¸c˜ao x2 − 4y 2 + 6x + 8y + 1 = 0 em outra equa¸c˜ao desprovida de termos do primeiro grau. Desenhar o lugar geom´etrico e mostrar ambos os conjuntos de eixos. Solu¸c˜ ao. Neste caso particular podemos usar dois m´etodos diferentes, o primeiro sendo o mais geral. Primeiro m´etodo. Se substituirmos na equa¸c˜ao acima os valores de x e y dados pelas equa¸c˜ oes de 0 2 0 2 0 transforma¸c˜ao no Teorema 1, obtemos a equa¸c˜ao transformada (x + h) − 4(y + k) + 6(x + h) + 8(y 0 + k) + 1 = 0 que, ap´os desenvolvimentos e redu¸c˜ao de termos semelhantes assume a forma x02 − 4y 02 + (2h + 6)x0 − (8k − 8)y 0 + h2 − 4k 2 + 6h + 8k + 1 = 0. (18) Uma vez que a equa¸c˜ao transformada deve ser desprovida de termos do primeiro grau, fazemos iguais a zero os coeficientes de x0 e y 0 na equa¸c˜ao (18). Assim temos: Y’ 6 Y6 2h + 6 = 0 e 8k − 8 = 0 e k = 1. donde h = −3 b O’ −3 1 O - X’ X Logo, a nova origem ´e o ponto (−3, 1). Se substituirmos estes valores de h e k em (18) obtemos a equa¸c˜ao procurada x02 − 4y 02 − 4 = 0. Figura 4 (19) O lugar geom´etrico, uma hip´erbole, est´ a representado na Fig. 4. Segundo m´etodo. No caso de equa¸c˜oes do segundo grau desprovidas do termo em xy ´e poss´ıvel efetuar a transforma¸c˜ao pelo m´etodo de completar os quadrados. Assim, os termos da equa¸c˜ao x2 − 4y 2 + 6x + 8y + 1 = 0 podem ser reagrupados na forma 26 (x2 + 6x) − 4(y 2 − 2y) = −1. Ent˜ao completando os quadrados, obtemos (x2 + 6x + 9) − 4(y 2 − 2y + 1) = −1 + 9 − 4 donde (x + 3)2 − 4(y − 1)2 = 4. (20) Se na equa¸c˜ao (20) fazemos as substitui¸c˜oes x + 3 = x0 e y − 1 = y0 (21) obtemos de imediato a equa¸c˜ao procurada (19). Obviamente, de (21), temos as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao x = x0 − 3 y = y 0 + 1. e No exemplo 2 o tipo de simplifica¸c˜ao desejada ´e especificado; em caso contr´ario, procuramos efetuar o maior n´ umero de simplifica¸c˜oes poss´ıveis. Tal est´a ilustrado no exemplo seguinte. 3. Por uma transla¸c˜ao dos eixos coordenados, simplificar a equa¸c˜ao y 2 − 4x − 6y + 17 = 0. (22) Solu¸c˜ ao. Como no primeiro m´etodo do exemplo 2 substitu´ımos na equa¸c˜ao (22) os valores de x e y dados pelas equa¸c`oes de transforma¸c˜ao no Teorema 1. Temos ent˜ao (y 0 + k)2 − 4(x0 + h) − 6(y 0 + k) + 17 = 0 que pode ser escrita na forma y 02 − 4x0 + (2k − 6)y 0 + k 2 − 4h − 6k + 17 = 0. (23) Nossa pr´oxima etapa ´e determinar os valores de h e k que simplificar˜ao a equa¸c˜ao (23). Podemos eliminar o termo em y 0 , mas n˜ao podemos eliminar o termo em x0 uma vez que seu coeficiente ´e −4. Neste caso, por´em, podemos eliminar o termo constante. Em conseq¨ uˆencia escrevemos 2k − 6 = 0 k 2 − 4h − 6k + 17 = 0 e donde k=3 e h = 2. Para estes valores de h e k a equa¸c˜ao (23) se reduz `a forma procurada y 02 − 4x0 = 0. 27 2.1.2 Exerc´ıcios 1. Em cada um dos exerc´ıcios, transformar a equa¸c˜ao dada por transla¸c˜ao dos eixos coordenados para a nova origem indicada. (a) x2 + y 2 + 2x − 6y + 6 = 0; (−1, 3). (d) y 3 − x2 + 3y 2 − 4x + 3y − 3 = 0; (−2, −1). (b) 3x2 + 2y 2 + 12x − 4y + 8 = 0; (−2, 1). (e) xy − 3x + 4y − 13 = 0; (−4, 3). (c) 4x2 − y 2 − 8x − 10y − 25 = 0; (1, −5). 2. Em cada um dos exerc´ıcios, por uma transla¸c˜ao dos eixos coordenados, transformar a equa¸c˜ao dada em outra desprovida de termos do primeiro grau. Usar o primeiro m´etodo de exemplo 2 ilustrativo. (a) 2x2 + y 2 + 16x − 4y + 32 = 0. (b) 3x2 + 2y 2 + 18x − 8y + 29 = 0. (c) 3x2 − 2y 2 − 42x − 4y + 133 = 0. (d) xy − x + 2y − 10 = 0. (e) 8x3 + 24x2 − 4y 2 + 24x − 12y − 1 = 0. 3. Em cada um dos exerc´ıcios, por uma transla¸c`ao dos eixos coordenados, transformar a equa¸c˜ao dada em outra desprovida de termos do primeiro grau. Usar o segundo m´etodo do exemplo 2 ilustrativo. (a) 4x2 + 4y 2 + 32x − 4y + 45 = 0. (b) 2x2 + 5y 2 − 28x + 20y + 108 = 0. (c) x2 − 3y 2 + 6x + 6y + 3 = 0. (d) 12x2 + 18y 2 − 12x + 12y − 1 = 0. (e) 12x2 − 18y 2 − 12x − 12y − 5 = 0. 4. Em cada um dos exerc´ıcios, simplificar a equa¸c˜ao dada por uma transla¸c˜ao dos eixos coordenados. (a) x2 + 8x − 3y + 10 = 0. (b) 16x2 + 16y 2 + 8x − 48y + 5 = 0. (c) 72x2 + 36y 2 − 48x + 36y − 55 = 0. 2.1.3 (d) y 2 − 6x2 − 24x − 2y − 32 = 0. (e) 30xy + 24x − 25y − 80. Respostas (1a) x02 + y 02 = 4. (3a) x02 + y 02 = 5. (1b) 3x02 + 2y 02 = 6. (3b) 2x02 = 5y 02 = 10. (1c) 4x02 − y 02 = 4. (3c) x02 − 3y 02 = 3. (1d) y 03 − x02 = 0. (3d) 2x02 + 3y 02 = 1. (1e) x0 y 0 = 1. (3e) 2x02 − 3y 02 = 1 (2a) 2x02 + y 02 = 4. (4a) x02 − 3y 0 = 0. (2b) 3x02 + 2y 02 = 6. (4b) x02 + y 02 = 2. (2c) 3x02 − 2y 02 = 12. (4c) 2x02 + y 02 = 2. (2d) x0 y 0 = 8. (4d) y 02 − 6x02 = 9. (2e) 2x03 − y 02 = 0. (4e) x0 y 0 = 2. 28 2.2 Rota¸ c˜ ao dos eixos coordenados. A fim de simplificar equa¸c˜oes por rota¸c˜ao dos eixos coordenados necessitaremos do seguinte teorema. Teorema 2. Se os eixos coordenados s˜ ao girados de um ˆ angulo θ em torno de sua origem O como ponto fixo e se as coordenadas de qualquer ponto P s˜ ao (x, y) e (x0 , y 0 ) antes e depois da rota¸c˜ ao, respectivamente, ent˜ao as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ ao das antigas para as novas coordenadas s˜ao dadas por ( x = x0 cos θ − y 0 sen θ y = x0 sen θ + y 0 cos θ. Demonstra¸c˜ ao. Na Fig. 5 est˜ao representados os antigos eixos X e Y e os novos eixos X 0 e Y 0 oriundos da rota¸c˜ao. Desde o ponto P tracemos a ordenada AP sobre o eixo X, a ordenada A0 P sobre o eixo X 0 e o segmento retil´ıneo OP . Seja ˆangulo P OA0 = φ e OP = r. Ent˜ao, das defini¸c˜oes das fun¸c˜oes trigonom´etricas, temos: Y6 Pc Y’ A KA  r   A  φ   A    A  θ O (24) (25) x0 = OA0 = r cos φ y 0 = A0 P 0 = r sen φ. (26) A A A x = OA = r cos(θ + φ) y = AP = r sen (θ + φ) *  A  X’  A’  De (24), temos: - A X x = r cos(θ + φ) = r cos θ cos φ − r sen θ sen φ. Figura 5 Se nesta u ´ltima equa¸c˜ao substituirmos os valores dados por (26) obtemos a primeira equa¸c˜ao de transforma¸c˜ao x = x0 cos θ − y 0 sen θ. Semelhantemente de (25) y = r sen (θ + φ) = r sen θ cos φ + r cos θ sen φ donde, de (26), temos a segunda equa¸c˜ao de transforma¸c˜ao y = x0 sen θ + y 0 cos θ. Nota. Para nossas finalidades ser´a necess´ario girar os eixos coordenados apenas de um ˆangulo com valor suficiente para colocar um ou outro dos eixos coincidente com, ou paralelo a, qualquer reta fixa dada no plano coordenado. Em conseq¨ uˆencia restringiremos, geralmente, os valores de ˆangulo de rota¸c˜ao θ ao intervalo dado por 0◦ ≤ θ < 90◦ . 29 2.2.1 Exemplos 1. Transformar a equa¸c˜ao 2x2 + √ 3xy + y 2 = 4 (27) por rota¸c˜ao dos eixos coordenados de um ˆangulo de 30◦ . Desenhar o lugar geom´etrico e mostrar ambos os conjuntos de eixos. Solu¸c˜ ao. Pelo teorema 2 as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao s˜ao √ x = x0 cos 30◦ − y 0 sen 30◦ = 23 x0 −√ 12 y 0 y = x0 sen 30◦ + y 0 cos 30◦ = 21 x0 + 23 y 0 . Y 6 Y’ KA Se estes valores de x e y s˜ao substitu´ıdos na equa¸c˜ ao (27) obtemos A *  A  X’  2  A √  +  A   30◦ A 3 0 2 x  1 0 2x − 12 y 0 + √ 2 3 0 2 y + 2 √  √3 0 1 0   1 0 3 2 x − 2y 2x + √ 3 0 2 y  = 4. - O X Desenvolvendo e simplificando esta u ´ltima equa¸c˜ ao obtemos a equa¸c˜ao transformada pedida 5x02 + y 02 = 8. (28) O lugar geom´etrico, uma elipse, est´a representado na Fig. 6. Figura 6 No exemplo 1 o ˆangulo de rota¸c˜ao θ ´e dado. Geralmente, entretanto, o ˆangulo de rota¸c˜ao deve ser determinado a fim de alcan¸car alguma condi¸c˜ao estabelecida. O principal emprego para a rota¸c˜ao de eixos ´e a remo¸c˜ao do termo em xy das equa¸c˜oes de segundo grau. 2. Por uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados transformar a equa¸c˜ao 9x2 − 24xy + 16y 2 − 40x − 30y = 0 (29) em outra equa¸c˜ao desprovida do termo x0 y 0 . Desenhar o lugar geom´etrico e mostrar ambos os conjuntos de eixos. Solu¸c˜ ao. Se substituirmos na equa¸c˜ao (29) os valores de x e y dados pelas equa¸c˜oes de transforma¸c˜ ao no teorema 2, obtemos 9(x0 cos θ − y 0 sen θ)2 − 24(x0 cos θ − y 0 sen θ)(x0 sen θ + y 0 cos θ)+ +16(x0 sen θ + y 0 cos θ)2 − 40(x0 cos θ − y 0 sen θ) − 30(x0 sen θ + y 0 cos θ) = 0 que, ap´os desenvolvimento e redu¸c˜ao de termos semelhantes, assume a forma (9 cos2 θ − 24 cos θ sen θ + 16 sen 2 θ)x02 + +(14 sen θ cos θ + 24 sen 2 θ − 24 cos2 θ)x0 y 0 + +(9 sen 2 θ + 24 sen θ cos θ + 16 cos2 θ)y 02 − −(40 cos θ + 30 sen θ)x0 + (40 sen θ − 30 cos θ)y 0 = 0. (30) 30 Visto que a equa¸c˜ao transformada deve ser desprovida de termos em x0 y 0 , igualamos a zero o coeficiente de x0 y 0 em (30) e obtemos 14 sen θ cos θ + 24 sen 2 θ − 24 cos2 θ = 0. Ora, sen 2θ = 2 sen θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sen 2 θ. Logo a u ´ltima rela¸c˜ao pode ser escrita 7 sen 2θ − 24 cos 2θ = 0 donde tan 2θ = 24 7 . De acordo com a nota ao teorema 2, o ˆangulo θ estar´a restrito ao primeiro quadrante, de maneira que 2θ se situar´a no primeiro ou no segundo quadrantes onde o cosseno e a tangente de um ˆ angulo concordam em sinal. Da mesma forma, sen θ e cos θ ser˜ao negativos. Logo, a partir do valor de tan 2θ dado acima, temos: cos 2θ = 7 25 . A fim de efetuar a simplifica¸c˜ao da equa¸c˜ao (30) necessitamos os valores de sen θ e cos θ, que podem ser obtidos pelas f´ormulas do ˆangulo metade da Trigonometria. Assim, sen θ = q cos θ = q r 1−cos 2θ 2 = 7 1− 25 2 = 3 5 e Y6 r 1+cos 2θ 2 = 7 1+ 25 2 = 45 . Se estes valores de sen θ e cos θ s˜ao substitu´ıdos na equa¸c˜ao (30), temos: Y’ KA  A 144 25 *  A  X’ +   − 81 25 288 25 + + 288 25 144 25 +  256 25 x02 +   168 25 + 216 25 − 384 25  x0 y 0 y 02 − (32 + 18)x0 + (24 − 24)y 0 = 0  A  A   A θ que se reduz `a equa¸c˜ao transformada procurada  O - X Figura 7 y 02 − 2x0 = 0. (31) O lugar geom´etrico, uma par´abola, est´a mostrado na Fig. 7. Nota. Evidentemente ´e de longe muito mais f´acil desenhar o lugar geom´etrico da equa¸c˜ao (31) relativa aos eixos X 0 e Y 0 do que desenhar o lugar geom´etrico da equa¸c˜ao (29) relativa aos eixos X e Y . Mais ainda, as propriedades da par´ abola podem ser obtidas muito mais facilmente da equa¸c˜ao (31) mais simples. O estudante pode, entretanto, perguntar se s˜ ao ou n˜ ao estas vantagens mais do que compensadas pela quantidade de c´alculo necess´ario para transformar a equa¸c˜ao (29) na equa¸c˜ao (31). O problema geral de eliminar um termo em xy da equa¸c˜ao de segundo grau ser´ a considerado mais tarde (Cap´ıtulo IX) e, ent˜ao, ser´a mostrado como o volume deste c´alculo pode ser consideravelmente reduzido. 31 2.2.2 Exerc´ıcios 1. Determinar as novas coordenadas do ponto (3, −4) quando os eixos coordenados s˜ao girados de um ˆangulo de 30◦ . 2. Determinar as novas coordenadas dos pontos (1, 0) e (0, 1) quando os eixos coordenados s˜ao girados de um ˆangulo de 90◦ . 3. Em cada um dos exerc´ıcios seguintes transformar a equa¸c˜ao dada por rota¸c˜ao dos eixos coordenados do ˆangulo indicado. √ (a) 2x + 5y − 3 = 0; arctan 2.5. (b) x2 − 2xy + y 2 − x = 0; 45◦ . √ (c) 3y 2 + 3xy − 1 = 0; 60◦ . (d) 5x2 + 3xy + y 2 − 4 = 0; arcsen 1010 . (e) 11x2 + 24xy + 4y 2 − 20 = 0; arctan 0.75. (f ) x4 + y 4 + 6x2 y 2 − 32 = 0; 45◦ . 4. Por rota¸c˜ao dos eixos coordenados transformar a equa¸c˜ao 2x − y − 2 = 0 em outra equa¸c˜ao desprovida do termo em x0 . 5. Por rota¸c˜ao dos eixos coordenados transformar a equa¸c˜ao x + 2y − 2 = 0 em outra equa¸c˜ao desprovida do termo y 0 . 6. Em cada um dos exerc´ıcios seguintes, por uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados, transformar a equa¸c˜ao dada em outra equa¸c˜ao desprovida do termo em x0 y 0 . √ (d) 2x2 − 5xy + 2y 2 = 0. (a) 4x2 + 4xy + y 2 + 5x = 1. (e) x2 − 2xy + y 2 − 4 = 0. (b) 9x2 + 3xy + 9y 2 = 5. (f ) 16x2 + 24xy + 9y 2 + 25x = 0. (c) 5x2 + 4xy + 2y 2 = 2. 7. A equa¸c˜ao de uma circunferˆencia ´e x2 +y 2 = r2 . Mostrar que a forma desta equa¸c˜ao permanece sem modifica¸c˜ao quando referida aos eixos coordenados que foram girados de qualquer ˆangulo θ. Diz-se ent˜ao que esta equa¸c˜ao ´e invariante quanto `a rota¸c˜ao. 2.2.3 1. Respostas  √ 3 2 √  3 − 2, − 23 − 2 3 . 2. (0, −1) e (1, 0). √ 3. (a) 29x0 − 3 = 0. √ √ (b) 4y 02 − 2x0 + 2y 0 = 0. √ √ (c) 3 3x02 − 3y 02 − 2 = 0. 5. √ 5x0 − 2 = 0. 6. (a) 5x02 + 2x0 − y 0 − 1 = 0. (b) 21x02 + 15y 02 − 10 = 0. (c) 6x02 + y 02 − 2 = 0. (d) 11x02 + y 02 − 8 = 0. (d) x0 − 3y 0 = 0 e x0 + 3y 0 = 0. √ √ (e) y 0 = 2 e y 0 = − 2. (e) 4x02 − y 02 − 4 = 0. (f ) 5x02 + 4x0 − 3y 0 = 0. (f ) x04 + y 04 = 16. √ 4. 5y 0 + 2 = 0. 7. 5x2 − 26xy + 5y 2 + 72 = 0. 32 2.3 Simplifica¸ c˜ ao de equa¸ c˜ oes por transforma¸ c˜ ao de coordenadas. Temos justamente visto que, por uma transla¸c˜ao ou por uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados, ´e poss´ıvel ´ ent˜ao natural inquirir se uma simplitransformar quaisquer equa¸c˜oes em formas mais simples. E fica¸c˜ao ainda maior pode ser alcan¸cada para algumas equa¸c˜oes realizando ambas estas opera¸c˜oes. Se uma equa¸c˜ao ´e transformada em uma forma mais simples por uma transla¸c˜ao ou por uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados, ou por ambas, denominamos o processo simplifica¸c˜ ao por transforma¸c˜ao de coordenadas. Consideraremos primeiramente o caso em que uma transla¸c˜ao dos eixos coordenados a uma nova origem O0 (h, k) ´e seguida por uma rota¸c˜ao dos eixos transladados em torno de O0 de um ˆangulo θ, como se representa na Fig. 8. Se P ´e qualquer ponto no plano ordenado, sejam (x, y), (x0 , y 0 ) e (x00 , y 00 ) suas coordenadas quando referido, respectivamente, aos eixos originais X e Y , aos eixos transladados X 0 e Y 0 e aos eixos girados X 00 e Y 00 . Ent˜ao, pelo Teorema 1 ( x = x0 + h Y6 (32) y = y0 + k Y’ 6 KA e, pelo Teorema 2, Y” bP A ( *   X” A A O0 A  (h, k) A  θ  - x0 = x00 cos θ − y 00 sen θ y 0 = x00 sen θ + y 00 cos θ. (33) Se os valores de x0 e y 0 dados em (33) s˜ao substitu´ıdos em (32), obtemos as equa¸c˜oes procuradas de transforma¸c˜ao X’ - O X ( Figura 8 x = x00 cos θ − y 00 sen θ + h y = x00 sen θ + y 00 cos θ + k. (34) Pode-se mostrar que as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao (34) permanecem v´alidas quando a ordem de transforma¸c˜ao ´e invertida, ou seja, quando uma rota¸c˜ao ´e seguida por uma transla¸c˜ao. Enunciamos este resultado como o Teorema 3. Se os eixos coordenados s˜ ao submetidos tanto a uma transla¸c˜ ao como a uma rota¸c˜ao, tomadas em qualquer ordem, e se as coordenadas de qualquer ponto P referido aos conjuntos de eixos original e final s˜ ao (x, y) e (x00 , y 00 ), respectivamente, ent˜ ao as equa¸c˜ oes de transforma¸c˜ ao das antigas para as novas coordenadas finais s˜ao dadas por ( x = x00 cos θ − y 00 sen θ + h y = x00 sen θ + y 00 cos θ + k onde θ ´e o ˆangulo de rota¸c˜ao e (h, k) s˜ao as coordenadas da nova origem referida aos eixos coordenados originais. Notas. 1. As equa¸c˜ oes de transforma¸c˜ oes dadas pelo Teorema 1, pelo Teorema 2 e pelo Teorema 3 acima, s˜ao todas rela¸c˜oes lineares. Uma vez que elas s˜ ao usadas na opera¸c˜ao de substitui¸c˜ao em uma equa¸c˜ao que deve ser transformada, o grau da equa¸c˜ao transformada n˜ao pode ser mais alto do que o da equa¸c˜ao original. Nem pode ser inferior, pois, se o fosse, poder´ıamos, por transforma¸c˜ao de coordenadas, voltar da equa¸c˜ao transformada para sua forma original e assim elevar o grau da equa¸c˜ ao. Por´em terminamos de ver justamente que isto ´e imposs´ıvel. Logo, conclu´ımos que o grau de uma equa¸c˜ ao n˜ ao ´e modificado por transforma¸c˜ ao de coordenadas. 2. Embora as equa¸c˜ oes de transforma¸c˜ ao do Teorema 3 possam ser empregadas quando s˜ao realizadas tanto uma transla¸c˜ao como uma rota¸c˜ ao, geralmente ´e mais simples realizar estas opera¸c˜oes separadamente em duas etapas distintas. O Teorema 3 mostra que a ordem destas opera¸c˜oes ´e indiferente. Entretanto, no caso de uma equa¸c˜ao do segundo grau em que os termos x2 , y 2 e xy formam um quadrado perfeito, os eixos devem ser inicialmente girados antes de serem transladados. 33 2.3.1 Exemplo 1. Por transforma¸c˜ao de coordenadas simplificar a equa¸c˜ao 3x2 − 2xy + 3y 2 − 2x − 10y + 9 = 0. (35) Desenhar o lugar geom´etrico e todos os conjuntos de eixos coordenados. Solu¸c˜ ao. Uma vez que em (35) os termos de segundo grau n˜ao formam um quadrado perfeito, podemos primeiramente transladar os eixos para uma nova origem (h, k). Logo, usando as equa¸c˜ oes de transforma¸c˜ao doe Teorema 1, obtemos da equa¸c˜ao (35) 3(x0 + h)2 − 2(x0 + h)(y 0 + k) + 3(y 0 + k)2 − 2(x0 + h) − 10(y 0 + k) + 9 = 0 que, depois de desenvolvimento, simplifica¸c˜ao e redu¸c˜ao de termos semelhantes, assume a forma 3x02 − 2x0 + 3y 02 + (6h − 2k − 2)x0 + (−2h + 6k − 10)y 0 + +(3h2 − 2hk + 3k 2 − 2h − 10k + 9) = 0. (36) A fim de eliminar os termos de primeiro grau em (36) fazemos seus coeficientes iguais a zero. Isto nos d´a o sistema 6h − 2k − 2 = 0 −2h + 6k − 10 = 0 cuja solu¸c˜ao ´e h = 1 e k = 2. Substituindo estes valores de h e k em (36) obtemos 3x02 − 2x0 y 0 + 3y 02 − 2 = 0. (37) A seguir, por rota¸c˜ao de eixos, usando as equa¸c˜oes do Teorema 2, obtemos da equa¸c˜ao (37) 3(x00 cos θ − y 00 sen θ)2 − 2(x00 cos θ − y 00 sen θ)(x00 sen θ + y 00 cos θ)+ +3(x00 sen θ + y 00 cos θ)2 − 2 = 0 que se reduz a (3 cos2 θ − 2 sen θ cos θ + 3 sen 2 θ)x002 + (2 sen 2 θ − 2 cos2 θ)x00 y 00 + +(3 sen 2 θ + 2 sen θ cos θ + 3 cos2 θ)y 002 − 2 = 0. Y6 Y’ 6 Y”  X” I @ 45◦ @ - @ O0 @ A fim de eliminar o termo x00 y 00 de (38) fazemos seu coeficiente igual a zero, obtendo assim 2 sen 2 θ − 2 cos2 θ = 0 @ 2 X’ donde θ = 45◦ de acordo com a nota do Teorema 2. Substituindo este valor de θ em (38) e simplificando, obtemos a equa¸c˜ao procurada x002 + 2y 002 − 1 = 0. O 1 Figura 9 (38) - X (39) O lugar geom´etrico da equa¸c˜ao (39), uma elipse, e todos os conjuntos de eixos coordenados est˜ao representados na Fig. 9. 34 2.3.2 Exerc´ıcios 1. Em cada um dos exerc´ıcios abaixo, simplificar a equa¸c˜ao dada por transforma¸c˜ao de coordenadas. (a) x2 − 10xy + y 2 − 10x + 2y + 13 = 0. (d) 3x + 2y − 5 = 0. (b) 52x2 − 72xy + 73y 2 − 104x + 72y − 48. (e) 2x2 + 2xy + 2y 2 − 2x − 10y + 11 = 0. (c) 16x2 + 24xy + 9y 2 + 60x − 80y + 100 = 0. 2. Determinar as novas coordenadas do ponto (−1, 3) quando os eixos coordenados s˜ao, primeiramente, transladados `a nova origem (4, 5) e, ent˜ao, girados de um ˆangulo de 60◦ . 3. Determinar as novas coordenadas do ponto (2, 2) quando os eixos coordenados s˜ao, primeiramente, girados de um ˆangulo de 45◦ e, ent˜ao, transladados `a nova origem (−1, 1). 4. Por transla¸c˜ao dos eixos coordenados `a nova origem (3, 3), seguida pela rota¸c˜ao dos eixos de um ˆangulo de 30◦ , as coordenadas de um certo ponto P s˜ao transformadas em (7, 6). Determinar as coordenadas de P em rela¸c˜ao aos eixos originais. 5. Por transla¸c˜ao dos eixos coordenados `a nova origem (1, 1), seguida pela rota¸c˜ao dos eixos de um ˆangulo de 45◦ , a equa¸c˜ao de um certo lugar geom´etrico ´e transformada em x002 − 2y 002 = 2. Determinar a equa¸c˜ao do lugar geom´etrico em rela¸c˜ao aos eixos originais. 2.3.3 Respostas (c) x002 − 4y 00 = 0.  √ 3, 52 3 − 1 . √ √ 3. (2 2, − 2).  √ √  4. 72 3, 13 2 +3 3 . (e) 3x002 + y 002 − 3 = 0. 5. x2 − 6xy + y 2 + 4x + 4y = 0. 1. (a) 2x002 − 3y 002 − 6 = 0. (b) x002 + 4y 002 − 4 = 0. 2.  −5 2 − √ 35 3 ˆ A CIRCUNFERENCIA Fonte:Geometria Anal´ıtica. Charles H. Lehmann. Depois da linha reta a circunferˆencia ´e a curva mais familiar ao estudante por seu pr´evio trabalho em Geometria elementar. Faremos um estudo detalhado da equa¸c˜ao da circunferˆencia e deduziremos algumas de suas propriedades especiais. 3.1 Equa¸ c˜ ao padr˜ ao da circunferˆ encia. A equa¸c˜ao da circunferˆencia ser´a obtida a partir da seguinte Defini¸ c˜ ao. Uma circunferˆencia ´e o lugar geom´etrico de um ponto que se move num plano de maneira que est´a sempre a uma distˆancia constante de um ponto fixo no referido plano. O ponto fixo ´e denominado centro da circunferˆencia e a distˆancia constante ´e denominada raio da circunferˆencia. Teorema 1. A circunferˆencia cujo centro ´e o ponto dado (h, k) e cujo raio ´e a constante dada r, tem por equa¸c˜ao (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . Demonstra¸c˜ ao. Seja P (x, y) qualquer ponto sobre a circunferˆencia cujo centro ´e C(h, k), conforme representa¸c˜ao na Fig. 1. Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de circunferˆencia, o ponto P deve satisfazer a condi¸c˜ao geom´etrica Y 6 |CP | = r O b
P b (x, y)

r (40) que ´e expressa analiticamente pela equa¸c˜ao X q (x − h)2 + (y − k)2 = r C(h, k) donde (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . (41) Figura 1 Inversamente, seja P1 (x1 , y1 ) qualquer ponto cujas coordenadas satisfa¸cam a equa¸c˜ao (41) de maneira que (x − h)2 + (y − k)2 = r2 donde q (x − h)2 + (y − k)2 = r 36 que ´e a express˜ao anal´ıtica da condi¸c˜ao geom´etrica (1) aplicada ao ponto P1 . Logo, (41) ´e a equa¸c˜ao procurada. Para o caso particular em que o centro C est´a na origem h = k = 0 temos o Corol´ ario. A circunferˆencia cujo centro ´e a origem e cujo raio ´e a constante r tem por equa¸c˜ao x2 + y 2 = r 2 . (42) Notas. 1. A equa¸c˜ao (41) ´e conhecida como a equa¸c˜ ao padr˜ ao ou a forma padr˜ ao da equa¸c˜ ao de uma circunferˆencia. Em geral designaremos como forma padr˜ao a equa¸c`ao de uma curva a partir da qual podemos obter mais rapidamente suas caracter´ısticas importantes. Assim, da equa¸c˜ao (41), podemos obter de imediato as coordenadas do centro e o raio da circunferˆencia. 2. O tipo mais simples da equa¸c˜ao padr˜ao de uma curva ´e freq¨ uentemente denominada forma canˆ onica. Logo a equa¸c˜ao (42) ´e a forma canˆonica da equa¸c˜ao de uma circunferˆencia. Observamos do Teorema 1 que, sendo conhecidas as coordenadas do centro de uma circunferˆencia e o comprimento do seu raio, a equa¸c˜ao pode ser imediatamente escrita. Tal sugere um m´etodo de ataque para obten¸c˜ao da equa¸c˜ao de uma circunferˆencia em qualquer problema dado; tudo que ´e necess´ario obter s˜ao as coordenadas do centro e o comprimento do raio a partir de condi¸c˜oes dadas. A constru¸c˜ao de uma circunferˆencia em Geometria elementar envolve a determina¸c˜ao do centro e do raio; o m´etodo ali empregado, ainda que nem sempre o mais breve, pode ser usado para obter a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia em Geometria Anal´ıtica. 3.1.1 Exemplo 1. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia circunscrita ao triˆangulo cujos v´ertices s˜ao P1 (−1, 1), P2 (3, 5) e P3 (5, −3). Solu¸c˜ ao. A constru¸c˜ao da circunferˆencia que passa por trˆes pontos dados ´e um problema familiar de Geometria elementar. Nesta, o m´etodo consiste em construir as mediatrizes l1 e l2 , respectivamente, de quaisquer dos dois segmentos retil´ıneos ligando os pontos dados, ou seja P1 P2 e P2 P3 (Fig. 2). A interse¸c˜ao C de l1 e l2 ´e o centro da circunferˆencia procurada e o raio ´e a distˆancia de C a qualquer um dos trˆes pontos P1 , P2 e P3 . Determinaremos agora a equa¸c˜ao da circunferˆencia empregando esse mesmo m´etodo analiticamente. As equa¸c˜oes das mediatrizes l1 e l2 s˜ao x + y = 4 e x − 4y = 0, 4 respectivamente. A solu¸c˜ao  comum a estas duas equa¸c˜oes ´e x = 16 5 , y = 5 , de maneira que as  coordenadas do centro C s˜ao 16 4 5 ,5 . O raio da circunferˆencia ´e dado por Y 6 l1 r = |CP1 | = P b 2 (3, 5) @ @ C C C  @ b C P1 (−1, 1) b  HH C@ C OHH H C HCb r 16 5 2 +1 +  4 5 −1 2 = 1 5 √ 442. Logo, pelo Teorema 1 acima, a equa¸c˜ao procurada da circunferˆencia ´e  l2 - X  x− 16 5 2  + y− 4 5 2 = 442 25 . P3 (5, −3) Figura 2 O estudante verificar´a o fato de as coordenadas dos pontos P1 , P2 e P3 satisfazerem a equa¸c˜ao da circunferˆencia. 37 3.2 A forma geral da equa¸ c˜ ao da circunferˆ encia. Se a equa¸c˜ao padr˜ao da circunferˆencia, (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , (43) ´e desenvolvida, obtemos x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r2 = 0, que pode ser escrita na forma x2 = y 2 + Dx + Ey + F = 0, (44) onde D = −2h, E = −2k e F = h2 + k 2 − r2 . Segue-se, portanto, que a equa¸c˜ao de qualquer circunferˆencia pode ser escrita na forma (44), denominada forma geral da equa¸c˜ao da circunferˆencia. A quest˜ao que agora surge ´e, ao contr´ario, saber se cada equa¸c˜ao da forma geral (44) representa uma circunferˆencia. Para responder a esta quest˜ao, reduzimos a forma (44) `a forma (43) pelo m´etodo de completar os quadrados. Assim, reagrupando os termos de (44) (x2 + Dx) + (y 2 + Ey) = −F e, somando D2 4 + E2 4 a ambos os membros, obtemos  x2 + Dx + D2 4   + y 2 + Ey + E2 4  = D2 +E 2 −4F , 4 donde D 2 E 2 D2 + E 2 − 4F + y+ = . (45) 2 2 4 Comparando as equa¸c˜oes (43) e (45) vemos que o segundo membro de (45) ´e o crit´erio que determina se (45) representa ou n˜ao uma circunferˆencia. H´a trˆes casos poss´ıveis a considerar:     x+ (a) Se D2 + E2 − 4F > 0 a equa¸c˜ao (45) representa uma circunferˆencia cujo centro ´e o ponto √ − D2 , − E2 e cujo raio ´e igual a 12 D2 + E 2 − 4F . (b) Se D2 + E 2 − 4F = 0 a equa¸c˜ao (45) ´e freq¨ uentemente chamada uma circunferˆencia de raio zero; tamb´em ´e denominada uma circunferˆencia ponto ou uma circunferˆencia nula. De nosso ponto de vista, entretanto, a equa¸c˜ao (45) representa ent˜ao o ponto isolado − D2 , − E2 como seu lugar geom´etrico. (c) Se D2 +E 2 −4F < 0 a equa¸c˜ao (45) ´e freq¨ uentemente denominada uma circunferˆencia imagin´aria. Em nossa Geometria real, entretanto, a equa¸c˜ao (45) n˜ ao tem, ent˜ao, lugar geom´etrico. Embora o caso (b) represente uma forma limite do caso (a), consideraremos doravante que uma equa¸c˜ao representa uma circunferˆencia como seu lugar geom´etrico se e apenas se ela recai no caso (a). Portanto temos o 38 Teorema 2. A equa¸c˜ao x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma circunferˆ ao  encia de raio n˜ nulo se e apenas se D2 + E 2 − 4F > 0. As coordenadas do centro s˜ ao ent˜ ao − D2 , − E2 e o raio ´e √ 1 D2 + E 2 − 4F . 2 Nota. Se a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia ´e dada na forma geral, o estudante ´e advertido a n˜ao proceder de maneira mecˆanica e usar os valores dados no Teorema 2 como f´ormulas para obten¸c˜ao do centro e do raio. Em vez disso dever´a reduzir a equa¸c˜ao `a forma padr˜ao pelo m´etodo de completar os quadrados, como na dedu¸c˜ao do pr´oprio teorema. 3.2.1 Exemplo 1. Reduzir as trˆes equa¸c˜oes seguintes `a forma padr˜ao da equa¸c˜ao da circunferˆencia. Se a equa¸c˜ao representar uma circunferˆencia encontrar seu centro e seu raio. (a) 2x2 + 2y 2 − 10x + 6y − 15 = 0. (b) 36x2 + 36y 2 + 48x − 108y + 97 = 0. (c) x2 + y 2 − 8x + 6y + 29 = 0. Solu¸c˜ ao. (a) Primeiramente dividir a equa¸c˜ao (a) por 2, coeficiente de x2 , e transpor o termo constante para o segundo membro. Isto nos d´a, ap´os reagrupamento dos termos (x2 − 5x) + (y 2 + 3y) = 15 2 . A fim de completar os quadrados, adicionamos o quadrado da metade do coeficiente de x e o quadrado da metade do coeficiente de y a ambos os membros. Isto nos d´a  x2 − 5x + 25 4   + y 2 + 3y + 9 4  = 15 2 + 25 4 + 94 , que pode ser escrita na forma  x− 52 2  + y+ 3 2 2 = 16. Logo, a equa¸c˜ao dada representa uma circunferˆencia cujo centro ´e  5 3 2, −2  e cujo raio ´e 4. (b) Dividindo a equa¸c˜ao (b) por 36, transpondo o termo constante e reagrupando os termos, obtemos   x2 + 43 x + (y 2 − 3y) = − 97 36 . A complementa¸c˜ao dos quadrados nos d´a  x2 + 43 x + 4 9   + y 2 − 3y + 9 4  = − 97 36 + donde  x+ 2 3 2  + y− 3 2 2 = 0. 4 9 + 94 . 39   Logo, o lugar geom´etrico da equa¸c˜ao (b) ´e o ponto isolado − 23 , 32 . (c) Reagrupando os termos e completando os quadrados para a equa¸c˜ao (c), obtemos (x2 − 8x + 16) + (y 2 + 6y + 9) = −29 + 16 + 9 donde (x − 4)2 + (y + 3)2 = −4. Portanto a equa¸c˜ao (c) n˜ao tem lugar geom´etrico. 3.3 Circunferˆ encia determinada por trˆ es condi¸ c˜ oes. Na equa¸c˜ao padr˜ao da circunferˆencia, (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , (46) h´a trˆes constantes arbitr´arias independentes, h, k e r. Igualmente na equa¸c˜ao geral da circunferˆencia x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, (47) h´a trˆes constantes arbitr´arias independentes, D, E e F . Uma vez que a equa¸c˜ao de qualquer circunferˆencia pode ser escrita em uma ou outra das formas (46) e (47), a equa¸c˜ao de qualquer circunferˆencia particular pode ser obtida por determina¸c˜ao dos valores de trˆes constantes. Isto, por seu turno, exige trˆes equa¸c˜oes independentes que podem ser obtidas a partir de trˆes condi¸c˜oes independentes. Logo, analiticamente, a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia ´e inequivocamente determinada por trˆes condi¸c˜oes independentes. Geometricamente, tamb´em uma circunferˆencia ´e inequivocamente determinada por trˆes condi¸c˜oes independentes; por exemplo, uma circunferˆencia ´e inequivocamente determinada por quaisquer trˆes de seus distintos pontos. Temos agora outro m´etodo para a determina¸c˜ao da equa¸c˜ao de uma circunferˆencia. 3.3.1 Exemplos 1. Determinar a equa¸c˜ao, centro e raio da circunferˆencia que passa pelos trˆes pontos (−1, 1), (3, 5) e (5, −3). Solu¸c˜ ao. Admitiremos que a equa¸c˜ao procurada est´a na forma geral x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, (48) onde as constantes D, E e F devem ser determinadas. Visto os trˆes pontos estarem sobre a circunferˆencia, suas coordenadas devem satisfazer a equa¸c˜ ao (48). Conseq¨ uentemente, temos as seguintes trˆes equa¸c˜oes correspondentes aos pontos dados:    (−1, 1), 1 + 1 − D + E + F = 0 (3, 5), 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0   (5, −3), 25 + 9 + 5D − 3E + F = 0 que pode ser escrita mais compactamente assim: 40    D−E−F =2 3D + 5E + F = −34   5D − 3E + F = −34 A solu¸c˜ao deste sistema de trˆes equa¸c˜ oes nos d´a D = − 32 5 , E = − 85 , F = − 34 5 , de maneira que, substituindo-se estes valores em (48), obtemos x2 + y 2 − 32 5 x − 8 5 − 34 5 =0 ou 5x2 + 5y 2 − 32x − 8y − 34 = 0 que ´e a equa¸c˜ao procurada da circunferˆencia. O centro e o raio da circunferˆencia s˜ao obtidos por redu¸c˜ao da u ´ltima equa¸c˜ao `a forma padr˜ ao  donde o centro ´e  16 4 5 ,5  e o raio ´e 1 5 x− √ 16 5 2  + y− 4 5 2 = 442 25 , 442. 2. Determinar a equa¸c˜ao, centro e raio da circunferˆencia cujo centro se encontra sobre a reta 3x + 7y = 2 = 0 e que passa pelos dois pontos (6, 2) e (8, 0). Solu¸c˜ ao. Admitamos que a equa¸c˜ao procurada esteja na forma padr˜ao (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . (49) Uma vez que o centro (h, k) se encontra sobre a reta 3x + 7y + 2 = 0 suas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao da reta e temos: 3h + 7k + 2 = 0. (50) Al´em disso, como os pontos (6, 2) e (8, 0) se encontram sobre a circunferˆencia, suas coordenadas devem satisfazer a equa¸c˜ao (49). Logo temos as duas equa¸c˜oes (6 − h)2 + (2 − k)2 = r2 (8 − h)2 + k 2 = r2 . Y 6 O HH (6, b 2) b(8, 0) H H Figura 3 X H HH (h, k) b H H 3x+7y+2=0 H (51) (52) A solu¸c˜ao do sistema de trˆes equa¸c˜oes (50), (51) e (52) nas trˆes inc´ognitas h, k e r d´a √ h = 4, k = −2, r = 2 5. Logo a equa¸c˜ao da circunferˆencia procurada ´e (x − 4)2 + (y + 2)2 = 20 √ com o centro (4, −2) e o raio 2 5. O gr´afico est´a representado na Fig. 3. 41 Podemos obter a forma de determinante da equa¸c˜ao da circunferˆencia passando por trˆes pontos n˜ao colineares dados P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) e P3 (x3 , y3 ). O resultado ´e dado pelo Teorema 3. A circunferˆencia que passa por trˆes pontos n˜ ao colineares dados P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) e P3 (x3 , y3 ) tem por equa¸c˜ao, sob a forma de determinante, x2 + y 2 x y x21 + y12 x1 y1 x22 + y22 x2 y2 x23 + y32 x3 y3 1 1 1 1 = 0. (53) Nota. Esta forma pode ser vantajosamente usada para determinar se quatro pontos dados quaisquer se encontram ou n˜ao sobre uma circunferˆencia. Diz-se que tais s˜ao conc´ıclicos. 3.4 Exerc´ıcios 1. Uma circunferˆencia tem um diˆametro cujos extremos s˜ao (2, 3) e (−4, 5). Encontrar sua equa¸c˜ao. 2. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia cujo centro ´e o ponto (7, −6) e que passa pelo ponto (2, 2). 3. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia cujo centro ´e o ponto (2, −4) e que ´e tangente ao eixo Y. 4. Uma circunferˆencia tem seu centro no ponto (0, −2) e ´e tangente `a reta 5x − 12y + 2 = 0. Encontrar sua equa¸c˜ao. 5. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia cujo centro ´e o ponto (−4, −1) e que ´e tangente `a reta 3x + 2y − 12 = 0. 6. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia que passa pelo ponto (7, −5) e cujo centro ´e a interse¸c˜ao das retas 7x − 9y − 10 = 0 e 2x − 5y + 2 = 0. 7. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos dois pontos (1, 3) e (4, 6). 8. Uma circunferˆencia passa pelos dois pontos (−3, 3) e (1, 4) e seu centro se encontra sobre a reta 3x − 2y − 23 = 0. Encontrar sua equa¸c˜ao. 9. Por redu¸c˜ao da equa¸c˜ao 4x2 + 4y 2 + 28x − 8y + 53 = 0 `a forma padr˜ao, determinar se representa ou n˜ao uma circunferˆencia. Se for, encontrar seu centro e raio. 10. Por redu¸c˜ao da equa¸c˜ao 16x2 + 16y 2 − 64x + 8y + 177 = 0 `a forma padr˜ao, determinar se representa ou n˜ao uma circunferˆencia. Se for, encontrar seu centro e raio. 11. Calcular a ´area do c´ırculo cuja circunferˆencia ´e dada pela equa¸c˜ao 9x2 +9y 2 +72x−12y+103 = 0. 12. Determinar o per´ımetro da circunferˆencia cuja equa¸c˜ao ´e 25x2 + 25y 2 + 30x − 20y − 62 = 0. 13. Mostrar que as circunferˆencias 4x2 + 4y 2 − 16x + 12y + 13 = 0 e 12x2 + 12y 2 − 48x + 36y + 55 = 0 s˜ao concˆentricas. 42 14. Dados os pontos (2, −2), (−1, 4) e (4, 6), determinar a equa¸c˜ao, centro e raio da circunferˆencia que passa pelos trˆes pontos. 15. Determinar a equa¸c˜ao, centro e raio da circunferˆencia que passa pelos trˆes pontos (4, −1), (0, −7) e (−2, −3). 16. As equa¸c˜oes de duas circunferˆencias distintas s˜ao x2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 e x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0. Determinar as condi¸c˜oes que devem satisfazer os coeficientes a fim de que estas duas circunferˆencias sejam concˆentricas. 17. Determinar a equa¸c˜ao da circunferˆencia cujo centro est´a sobre a reta 4x + 7y + 5 = 0 e que passa pelos dois pontos (−1, −4) e (2, −1). 3.5 Respostas 1) (x + 1)2 + (y − 4)2 = 10 10) N˜ao h´a lugar geom´etrico 2) (x − 7)2 + (y + 6)2 = 89 11) 5π √ 12) 2 3π 3) (x − 2)2 + (y + 4)2 = 4 4) x2 + (y + 2)2 = 4 5) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52 6) (x − 4)2 + (y − 2)2 = 58 7) (x − 7)2 + y 2 = 45 8) (x − 2)2 + (y + 9) Ponto (− 72 , 1) 17 2 ) 2 = 629 4 14) 6x2 + 6y 2 − 32x − 25y − 34 = 0; ( 83 , 25 ); 12 √ 1 2.465 12 15) 7x2 + 7y 2 − 22x + 52y + 21 = 0; ( 11 , − 26 ); 7 7 √ 5 26 7 16) D1 = D2 , E1 = E2 e F1 6= F2 17) (x + 3)2 + (y − 1)2 = 29