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Universidade de São Paulo Instituto de Física 2005 FEP 2196 – FÍSICA PARA ENGENHARIA II – POLI http://tecap.if.usp.br/fep2196 ou http://fep2196.incubadora.fapesp.br/portal
DINÂMICA RELATIVÍSTICA
• Resumo da Teoria. • Exercícios Propostos. • Exercícios Resolvidos. Preparado e Revisado pelas Equipes do curso FEP 2196.
Dinâmica Relativística Resumo
K O momento linear relativístico de uma partícula que se move com velocidade u em relação a um referencial inercial S é dado por: 1 K K p = m(u ) u , onde m(u ) = γ (u ) m0 , γ (u ) = . u2 1− 2 c Nestas expressões u é o módulo da velocidade, m(u) é a massa relativística da partícula e m0 é a sua massa G K de repouso. Note que o momento relativístico se reduz ao momento clássico ( pc = m u ) no limite u Æ 0. Na dinâmica relativística, a energia relativística e a massa relativística de uma partícula estão relacionadas pela famosa equação de Einstein: E = m(u)c2 = γ(u) m0 c2 . É fácil verificar que a energia e o momento linear relativísticos estão relacionados pela equação: E2 - p2 c2 = (m0 c2)2 . Se a partícula se encontra em repouso em relação a um referencial S (u = 0), então a energia da partícula é a chamada energia de repouso: E0 = m0 c2. Às vezes é útil definir a energia cinética relativística de uma partícula, que é simplesmente a diferença entre a sua energia relativística e sua energia de repouso: K(u) = E – E0 = m(u) c2 – m0 c2 = [γ(u) - 1] m0 c2 . A equação E0 = m0 c2 tem um significado muito profundo: ela nos diz que massa e energia são basicamente equivalentes. Uma das mais importantes implicações dessa equação é a noção de que podemos, em princípio, transformar massa em energia e vice-versa. Para ver como isso é possível, considere duas partículas quaisquer que, isoladamente, têm massas de repouso m0A e m0B . Mas se essas duas partículas formam um sistema ligado de massa de repouso M0, há uma energia de ligação do sistema, EB, dada por: B
EB = (m0A + m0B - M0)c2. Isso significa que um sistema ligado (por exemplo, um átomo ou um núcleo atômico), tem uma massa diferente das massas de suas partes constituintes. Se a massa do estado ligado for menor que as massas das partes constituintes, a energia de ligação é positiva; se for maior, a energia de ligação é negativa. Assim, por exemplo, um átomo de Hidrogênio tem uma massa ligeiramente menor que um próton e um elétron isolados; um núcleo de 2He(4) tem uma massa um pouco menor que dois prótons e dois nêutrons; já o isótopo radioativo 92U(235) pode decair em subprodutos que têm uma massa um pouco menor do que o núcleo original 1 (esses subprodutos podem ser, por exemplo, 56Ba(141), 36Kr(92) e mais dois nêutrons). Desta forma, é preciso fornecer uma certa quantidade de energia para ionizar um átomo de Hidrogênio ou quebrar um núcleo de Hélio, mas quando o núcleo do Urânio 235 se quebra uma certa quantidade de energia é liberada no processo (o decaimento de núcleos radioativos é conhecido como fissão nuclear). 1
(235)
Na verdade o decaimento espontâneo do 92U é extremamente lento, mas podemos acelerar esse processo (235) tremendamente se excitarmos levemente o núcleo de 92U com um nêutron de baixa energia. Essa reação foi observada pela primeira vez por Otto Hahn e Fritz Strassman em 1938.
Unidades na Mecânica Relativística No sistema MKS a massa de uma partícula é expressa em quilogramas (Kg), a energia em Joule (J) e o momento linear em kg m/s . Já na física atômica e nuclear, é mais conveniente expressar massas e energias no sistema unificado de massa e “eletron-volts” e seus derivados, em lugar das unidades MKS. A unidade de massa unificada u é definida como 1/12 da massa do átomo de 12C neutro (constituído do núcleo atômico mais os elétrons), e é dada por: 1 u = 1,661 × 10-27 Kg . Um elétron-volt (eV) é definido como a energia adquirida por um elétron de carga e =1,602x10-19 C submetido a uma diferença de potencial elétrico de 1 volt. O eV e o Joule estão relacionados por: 1 eV = 1,602 × 10-19 J. Os múltiplos do eV são o keV (103 eV), o MeV (106 eV) e o GeV (109 eV). A energia de repouso de uma massa de uma grama é: E0 = m0 c2 = (10-3 g) × (2,998 × 108 m/s)2 ≅ 9 × 1013 Kg (m/s)2 = 5,6 × 1032 eV = 5,6 × 1023 GeV A energia de repouso da “massa unificada” u é: E0 = (1u) × c2 = 931,5 MeV É usual expressarmos a massa de repouso de uma partícula na unidade MeV/c2. No exemplo acima podemos escrever: 1 u = 931,5 MeV/c2 . Da relação entre a energia e o momento relativístico vemos que o produto do momento pela velocidade da luz c tem dimensão de energia; ou seja [pc] = [energia]. Portanto podemos expressar o momento em unidades de eV/c (ou MeV/c, GeV/c etc.)
Na tabela abaixo mostramos a massa de repouso de algumas partículas (note que partículas de massa zero, como o fóton, não têm, a rigor, “energia de repouso”, pois elas têm sempre a velocidade da luz, em qualquer referencial!)
Partícula Fóton Neutrino Elétron Próton Nêutron Múon
Problemas resolvidos
Símbolo γ ν e p n
μ
Massa de repouso (MeV/c2) 0 < 10-6 0,511 938,272 939,565 105,658
1- Calcule a massa relativística, o momento e a energia cinética de um múon que se move com velocidade de magnitude v = 0,999 c. A massa de repouso de um múon é mμ = 1,8807 x 10-28 Kg. A massa relativística é dada por m( v ) =
m0 1−
2
v c2
=
1,8807 × 10 −28 1 − (0,999)
2
= 4,2064 x10 −27 Kg
ou, m(v) = 236,3 MeV/c2. A magnitude do momento linear relativístico pode ser calculada por: p = m(v) v = 4,206×10-27 × 0,999 × 3×108 p × c = 3,78 × 10-10 J = 2,361 MeV .
, ou seja,
Logo, p = 2,361 MeV/c. A direção e o sentido do momento são os mesmos da velocidade. A energia cinética será Ek = E - E0 = m(v) c2 - m0 c2 = (4,207 - 0,1881) × 10-27 (3×108) = 3,617×10-10 J = 2,26 MeV Obs.: Verifique que a relação E2 - p2c2 = (m0c2)2 é satisfeita. 2- Um elétron tem momento linear de módulo p = 5×10-22 Kg m/s. Calcule sua energia cinética relativística. A massa de repouso de um elétron é me = 9.096×10-31 Kg. Note que a massa de repouso do elétron pode ser expressa em MeV/c2: me c2 = 8,186×10-14 J = 0,511 MeV , ou
me = 0,511 MeV/c2.
A energia relativística é dada por E2=(pc)2+(m0c2)2=(5×10-22 × 3×108)2+(8,186×10-14)2 ; portanto, E = 1,709×10-13 J = 1,067 MeV. A energia cinética vale: K = E - E0 = 1,709×10-13 - 8,186×10-14 = 8,904×10-14 J = 0,556 MeV.
3- Um próton tem massa de repouso 1,00731 u e um nêutron tem massa de repouso 1,00867 u. Quando os dois se combinam, forma-se um dêuteron (Hidrogênio pesado), cuja massa de repouso é 2,01360 u. a) Qual a energia liberada pela reação? b) Seja uma usina atômica que produza 1000 moles de deuterons a cada hora. Qual a potência gerada pela usina?
(a) Sendo m0p, m0p e m0D as massas de repouso do próton, nêutron e dêuteron, respectivamente, a energia do sistema formado pelo próton e pelo nêutron, isoladamente e em repouso, é: E = ( m0p + m0n)c2 Como a energia é conservada, após a reação a energia liberada é: EB = ( m0p + m0n – m0D) c2. Substituindo os números na fórmula acima obtém-se: EB = 3,17×10-13 J. (b) A cada hora, a usina gera uma energia: ET = 3,17×10-13 × 1000 × 6,0×1023 = 1,9×1014 J. Assim, sua potência é: P = 1,9×1014 J / (3600 s) = 5,0×1010 Watts. Para se ter uma idéia da grandeza desse número, basta mencionar que a potência elétrica sendo gerada em todo o Brasil é da ordem de grandeza de 1010 Watts. Porém, as usinas nucleares hoje existentes no mundo não usam Hidrogênio, mas Urânio, o que fornece uma energia bem menor por grama de reagente.
4- Uma partícula em repouso, de massa M0, desintegra-se em duas partículas iguais de massa de repouso m0 < M0/2 . Use conservação de momento e energia relativísticos para calcular as velocidades dos fragmentos em função das massa m0 e M0. O momento inicial é zero (a partícula original está em repouso). Portanto, por conservação de momento, é evidente que os fragmentos saem com momentos e velocidades idênticos, mas em direções opostas. Da conservação da energia temos que: M0 = m0 γ + m0 γ . Assim, γ = M0 /2m0 . Portanto, as velocidades de cada fragmento têm módulo: v = c 1−
Problemas Propostos
1
γ2
2
4 m0 = c 1− 2 M0
.
1- A vida média de mésons μ em repouso é T0 = 2,2×10-6 s. Uma medida realizada no laboratório forneceu uma vida média T = 6,9 x 10-6 s. Responda às perguntas abaixo também considerando medidas realizadas no laboratório. a) Qual é a velocidade do mésons? b) A massa de repouso de um mésons μ é 207 vezes a massa de repouso do elétron. Qual é a massa relativística dos mésons? c) Qual é a energia cinética dos mésons d) Qual é o momento linear dos mésons? 2- Uma caixa retangular em repouso tem arestas com comprimentos a,b, e c.a massa de repouso da caixa é m0 e sua massa de repouso por unidade de volume é ρ0 = m0 /abc. a) Qual é o volume da caixa, visto por um observador que se move em relação à caixa com velocidade de magnitude v na direção da aresta a? b) Qual é a massa relativística da caixa medida por este observador? c) Qual é a densidade da caixa, em termos de ρ0, quando medida por observador? 3- Um núcleo de 12C é composto de 6 prótons (p) e 6 neutros (n), mantidos em estreita associação por forças nucleares intensas. As massas de repouso do núcleo 12C, do próton e do nêutron são, respectivamente, 12
C p n
12,000 000u 1,007 825 u 1,008 665 u.
Qual é quantidade de energia que devemos fornecer a um núcleo de 12C para separá-lo em seus prótons e nêutrons constituintes? 4- Para um avião supersônico voando a 2400 km/h, ache o erro percentual feito no cálculo da sua energia cinética, quando se utiliza a aproximação não relativística. 5- Considere a seguinte colisão elástica observada em um dado referencial S: uma partícula A tem massa de repouso m0 e uma partícula B massa de repouso M0 = 2m0. Antes da colisão a partícula A move-se com ^ K velocidade v = 0,6c 1 e a partícula B está em repouso. Depois da colisão, a partícula A move-se ao longo da direção y, no sentido positivo, com velocidade de magnitude vA e a partícula B move-se segundo um ângulo θ em relação à direção x com velocidade de magnitude vB. a) Determine as magnitudes das velocidades, vA e vB, das partículas A e B. b) Determine o ângulo θ . 6- Um próton com energia cinética Ek = 437 MeV colide elasticamente com um próton em repouso e, após a colisão, os prótons emergem com energias cinéticas iguais. Determine o ângulo entre as direções definidas pelas trajetórias dos prótons após a colisão. 7- Um corpo de massa de repouso m0, caminhando inicialmente com uma velocidade de magnitude v = 0,6c em relação ao referencial do laboratório, efetua uma colisão perfeitamente inelástica com um corpo idêntico, inicialmente em repouso no referencial do laboratório. a) Qual é a velocidade do corpo resultante? b) Qual é a massa de repouso do corpo resultante? 8- Uma partícula de massa de repouso m0 tem uma energia cinética Ek. Prove que seu momento linear obedece à equação
p = 2 m0 K + K 2 / c 2 .
9- Um elétron e um pósitron (anti-elétron) movem-se juntos, formando um sistema ligado conhecido como positrônio, com velocidade v0 = 0,6c. Num certo instante de tempo o pósitron e o elétron se aniquilam, criando dois fótons que se movem em direções que formam ângulos θ iguais em relação À direção definida pela trajetória do positrônio. Fótons são partículas de massa de repouso igual a zero. As energias de repouso do elétron e do pósitron são iguais e valem 0,5 MeV/c2. Despreze a energia de ligação do positrônio. a) Qual a energia do positrônio? b) Qual a energia e o momento linear de cada fóton? c) Qual o valor do ângulo θ ? 10- No referencial do laboratório, qual a mínima energia cinética que um próton deve ter para que ao colidir com outro próton de mesma energia, mas movendo-se em sentido contrário, crie no estado foral mais um próton e um antipróton? (No estado final haverá três prótons e um antipróton e a mínima energia corresponde à situação em que todas as partículas estão em repouso em relação ao laboratório). [Use para a massa de repouso do próton e do antipróton M0 = 1 GeV/c2 .] 11- Uma partícula é criada a 20 km acima do nível do mar com energia E = 1,35x105 MeV em relação a Terra, e passa a caminhar verticalmente para baixo. No seu sistema próprio (sistema que se desloca com a mesma velocidade da partícula) ela se desintegra no intervalo de tempo Δt = 2,0 x10 −8 s após a sua criação. A energia de repouso da partícula é E0=140 MeV. Determine, para um observador na Terra, a) quanto tempo demora para a partícula se desintegrar? b) a que altura acima do nível do mar se dá a desintegração? 12- Duas partículas de mesma massa de repouso m0c2 = 1 Ge V caminham em sentidos opostos com velocidade de magnitudes v1 = 0,6c e v2 = 0,8c. Num determinado instante de tempo elas colidem formando uma única partícula de massa de repouso M0 e velocidade de magnitude v. (a) Determine o valor de M0. (b) Determine o valor de v. (c) Qual é a energia cinética da partícula formada na colisão? 13- Em relação a um referencial S uma partícula possui energia de 5 GeV e momento linear de 3 GeV/c. a) Qual é a energia da partícula em um referencial S onde seu momento linear é igual a 4GeV/c? b) Qual é a massa de repouso da partícula? c) Qual é a velocidade relativa dos dois referenciais S e S'? 14- Uma partícula de massa de repouso M0 estacionária, cinde-se em duas partículas cujas massas de repouso são m0 e 2m0. A velocidade da partícula de massa m0 é 0,8c. a) Determine a velocidade da partícula de massa 2m0. b) Obtenha a razão M0 / m0.
