Transcript
Note que, se o atrito entre os pneus e a auto-estrada for desprezível ( e = 0), a equação se reduz a:
tg =
(acp – e g)
(acp e + g)
tg =
acp
g
tg =
(16,67)2 9,8 x 150
Substituindo os valores:
= 0,189
= tg -1(0,189)
= 10,7°
Que é a solução do exemplo anterior!!!!!
Na animação abaixo podemos observar que, como a direção do VETOR velocidade é SEMPRE tangente á trajetória, ela muda a cada instante.
acp
v
acp
v
acp
v
acp
v
O VETOR aceleração terá direção radial e sentido para o CENTRO da trajetória (círculo).
R
v2
R
acp =
Movimento Circular Uniforme
Conforme vimos na CINEMÁTICA, um objeto com MCU descreve uma trajetória circular de raio R com uma velocidade v, cujo módulo é constante no tempo.
R
Vimos ainda que, embora o módulo do VETOR velocidade permaneça constante no tempo, sua direção e sentido variam a cada instante.
Como resultado, o objeto apresenta uma aceleração denominada aceleração normal ou centrípeta:
v2
R
acp =
fe
N
F
P
Repouso:
fc
N
F
P
Movimento:
e N
c N
força de atrito
tempo
repouso
movimento
iminência do movimento
Enquanto o corpo não se move, a força de atrito estático ( fe ) e a força F aplicada por um agente externo se equilibram. Elas são iguais em módulo, sendo que fe e F possuem sentidos opostos.
O módulo de fe possui um valor máximo fe máx dado por:
fe máx = e N
Onde µe é o coeficiente de atrito estático.
Portanto:
fe e N
Uma vez iniciado o movimento, o módulo da força de atrito cinético (fc) é menor que o da força aplicada (F). Temos: fc = c N
Podemos observar que a força de atrito cinético (fc) é menor que a força de atrito estático (fe) pois: c e
Podemos distinguir dois tipo de força de atrito:
a) uma que atua em objetos em repouso, mas com TENDÊNCIA ao movimento (atrito estático);
b) outra que surge quando existe o movimento relativo entre dois corpos (atrito cinético ou dinâmico).
No caso do atrito estático, enquanto a força que empurra a caixa for suficientemente pequena, o módulo da força de atrito estático é igual ao módulo da força que empurra a caixa impedindo o início do movimento.
Superaquecimento por atrito:
Uma estrela cadente, apesar do nome, não emite luz própria. Muitas vezes são objetos muito pequenos que, ao entrar na atmosfera da Terra, se incendeiam e se vaporizam devido ao calor intenso gerado pelo atrito com o ar. A energia liberada é tão grande que é possível enxergar a luminosidade a grandes distâncias.
Aquecimento por atrito:
As naves espaciais são dotadas de uma estrutura adequada, com materiais especiais, para evitar sua destruição no reingresso à atmosfera. O atrito causa um calor excessivo que pode ser fatal para os astronautas.
Movimento dos veículos a motor:
As rodas dos veículos, cujo movimento se deve à queima de combustível no motor, são revestidas por pneus. A função do pneu é tirar o máximo proveito possível da força de atrito (com esse intuito, as equipes de carros de corrida trocam freqüentemente os pneus).
Os pneus, acoplados à rodas, impulsionam a Terra para trás. O surgimento e a ação da força de atrito é que impulsiona o veículo para frente.
Impedindo a derrapagem:
A força de atrito impede a derrapagem nas curvas, isto é, o deslizamento de uma superfície (os pneus, no caso) sobre a outra (o asfalto).
Fat
A Força de Atrito no nosso cotidiano
A força de atrito é muito comum no nosso dia a dia. Por exemplo, é ela que torna possível o movimento da grande maioria dos objetos que se movem apoiados sobre o solo.
Movimento do homem e dos animais:
Os animais usam as patas ou os pés (no caso do homem) para se movimentar. O que esses membros fazem é comprimir o solo e forçá-lo ligeiramente para trás. Ao fazer isso surge a força de atrito. Como ela se OPÕE ao movimento relativo entre as superfícies em contato, as patas ou pés são impulsionados para frente
Origem das Forças de Atrito
A força de atrito se origina de forças interatômicas (forças de interação entre átomos). Quando duas superfícies estão em contato, temos pontos de aderência ou colagem (ou ainda solda) entre as superfícies. É o resultado da força atrativa entre átomos muito próximos uns dos outros.
Quanto mais rugosas foram as superfícies maior será a força de atrito, pois a rugosidade favorece a ocorrência de mais pontos de aderência ou solda, como ilustra a figura ao lado:
A segunda lei de Newton e o MCU
Se uma partícula descreve um MCU, de acordo com a 2a lei de Newton, a força resultante sobre ele produz uma aceleração normal ou centrípeta.
FR = m acp
v2
R
Fcp = m
Portanto, se a resultante das forças aplicadas em um corpo é uma força do tipo normal ou centrípeta, este corpo descreverá um movimento circular uniforme (MCU).
Como a força resultante tem SEMPRE a mesma direção e sentido que a aceleração, e esta resulta para o centro, essa força recebe o nome de FORÇA CENTRÍPETA. A intensidade da força centrípeta vale:
Note que a acp é conhecida, pois sabemos o valor da velocidade permitida e do raio da trajetória.
Dividindo por cos :
acp = g
( e + tg )
(1 – e tg )
acp = g
( e cos + sen )
(cos – e sen )
Isolando tg :
tg =
(acp – e g)
(acp e + g)
Substituindo os valores:
tg =
(1,85 – 0,12 x 9,8)
(1,85 x 0,12 + 9,8)
tg = 0,06725
= tg -1(0,06725)
= 3,85°
Fat cos + N sen = m acp
e N cos + N sen = m acp
m acp = N ( e cos + sen )
Do somatório das forças em X:
acp = ( e cos + sen )
g
(cos – e sen )
Resulta, para a aceleração centrípeta:
acp = g
( e cos + sen )
(cos – e sen )
m acp = ( e cos + sen )
m g
(cos – e sen )
Substituindo o valor da normal:
N =
m g
(cos – e sen )
v2
R
acp =
Já sabemos que:
(16,67)2
150
acp =
acp = 1,85 m/s2
Usando a segunda lei de Newton:
Do somatório das forças em Y:
Fx = m ax
Fy = m ay
N cos = P + Fat sen
N cos = m g + e N sen
N (cos – e sen ) = m g
N =
m g
(cos – e sen )
Exemplo 6:
Uma curva circular de uma auto-estrada será projetada para velocidades de 60 Km/h. Se o raio da curva é 150 m, qual deve ser o mínimo ângulo de inclinação da rodovia sabendo que e = 0,12 ?
Fat
Teremos uma força resultante:
Fat
Identificando as forças que atuam no problema:
acp v2
g g R
tg =
=
Dividindo as equações:
N cos = m g
N sen = m acp
tg =
(16,67)2 9,8 x 150
Substituindo os valores:
= 0,189
= tg -1(0,189)
v = 60 3,6 = 16,67 m/s
= 10,7°
Exemplo 5:
Uma curva circular de uma auto-estrada é projetada para velocidades de 60 Km/h. Se o raio da curva é 150 m, qual deve ser o ângulo de inclinação da rodovia considerando o atrito nulo?
Identificando as forças:
P
N
Nx
Ny
Usando a segunda lei de Newton:
Em Y:
N cos = m g
FR = m acp
Em X:
N sen = m acp
Admitindo o veículo com movimento circular uniforme, a força resultante e a aceleração são do tipo NORMAL ou CENTRÍPETA:
fe = m ax
fe = Fcp
ax = acp
v2
R
acp =
v2
R
Fcp = m
É essa força que possibilita ao carro realizar a curva com velocidade constante sem derrapar.
Temos:
N = P = m g
fe = e N = e m g
como:
fe = Fcp
v2
R
e m g = m
v = e g R
Resulta:
v = 0,25 x 9,8 x 47,5
v = 10,79 m/s
v = 38,8 Km/h
Exemplo 4:
Ao realizar uma curva numa estrada, o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a rodovia vale 0,25. Qual a velocidade máxima que um carro pode ter para realizar uma curva plana de 47,5 m de raio sem derrapar?
Passo 1: identificar as forças que atuam nos corpos do problema:
Usando a segunda lei de Newton:
Resulta:
Fx = m ax
Fy = m ay
N = P = m g
fe = m ax
A força resultante é a força de atrito, pois não existe aceleração em y e as forças verticais se anulam.
MÓDULO:
O módulo da força de atrito é proporcional à força de reação entre os planos em contato (força normal). A constante de proporcionalidade depende das propriedades dos meios em contato.
fat = N na qual = coeficiente de atrito
P
Fat
N
F
A seguir veremos como se processam as forças de atrito quando existe movimento relativo entre os corpos e quando há apenas tendência de movimento
Experiências desse tipo nos permitem deduzir algumas propriedades da força de atrito:
DIREÇÃO:
As forças de atrito, resultantes do contato entre dois corpos, são SEMPRE tangenciais à superfície de contato. No exemplo acima, a direção da força de atrito é horizontal (direção do movimento).
A força de atrito não aparecerá se, por exemplo, você levantar a caixa.
SENTIDO:
A força de atrito SEMPRE tende a se opor ao movimento relativo entre as superfícies em contato. Assim, o sentido da força de atrito que atua em determinado objeto é sempre contrário ao movimento daquele objeto.
Forças de Atrito
A figura mostra uma pessoa tentando empurrar uma caixa. A dificuldade para mover a caixa surge devido à atuação de uma força de contato entre o solo e a caixa, contrária ao movimento, denominada força de atrito (fat ).
Para existir força de atrito deve haver movimento relativo entre dois corpos em contato ou, pelo menos, a TENDÊNCIA de um se mover em relação ao outro devido à ação de força(s) externa(s) aplicada(s).
Considerando os fios ideais:
T1 = T1'
T2 = T2'
a =
65
67
= 0,97 m/s2
a =
T3
m1 + m2 + m3
a =
65
12 + 24 + 31
Aplicando a 2ª lei de Newton ao conjunto dos 3 blocos, a força resultante no sistema vale T3 .
FR = m a
T3 = (m1 + m2 + m3) a
Usando a segunda lei de Newton:
Fx = m ax
Fy = m ay
Do somatório das forças em Y:
T cos = P = mg
P
T
Tx
Ty
T =
m g
cos
T = = 0,5 N
50 10-3 x 9,8
cos 12°
Do somatório das forças em X:
T sen = m acp
acp =
T sen m
acp =
sen
m
m g
cos
Resulta:
acp = g tg
acp = 9,8 x tg12°
acp = 2,08 m/s2
Exemplo 1:
Três blocos estão conectados sobre uma mesa horizontal sem atrito, como mostra a figura abaixo. O conjunto é puxado para a direita por uma força de tração T3 = 65 N, que atua no bloco 3.
Dadas as massas m1 = 12 Kg, m2 = 24 Kg e m3 = 31 Kg, determine:
a) a aceleração do sistema;
b) as forças de tração T1 e T2.
Identificando as forças que atuam nos corpos do problema:
Note que foram omitidas as forças em y, pois a aceleração dos blocos só ocorre na horizontal!!!!!
Forças de Tração
v = acp R
Como:
v = L x sen x g x tg
v = 0,72 m/s
v2
R
acp =
obtemos
acp = g tg
v = R g tg
L
v = 1,2 x sen12° x 9,8 x tg12°
Para o período:
2 R
v
t =
2 L sen
v
t =
2 x 1,2 x sen12°
0,72
=
=
2,18 s
Para a freqüência:
1
t
f =
1
2,18
f =
=
0,46 Hz
Para o bloco de massa m1:
T1 = m1 a
FR = m a
T1 = 11,64 N
T1 = 12 x 0,97
Para o bloco de massa m2:
T2 – T1 = m2 a
FR = m a
T2 = 34,92 N
T2 = T1 + m2 a
T2 = 11,64 + 24 x 0,97
Exemplo 7:
A figura mostra um pequeno objeto de massa m que gira em um círculo horizontal com velocidade constante v na ponta de um fio de comprimento L. À medida que o corpo gira, o fio descreve uma superfície de um cone imaginário. Este dispositivo é chamado de pêndulo cônico.
Sabendo que = 12°, m = 50 g e L = 1,2 m calcule:
a) a tensão no fio;
b) a aceleração e a velocidade do objeto;
c) o período e a freqüência do movimento.
L
Identificando as forças que atuam no objeto:
P
T
Tx
Ty
T
T
Somando as equações (1) e (2) :
T – p = m a
P – T = M a
+
P – p = (m + M) a
P – p
m + M
a =
Determinando a aceleração:
2,8x9,8 – 1,3x9,8
1,3 + 2,8
a =
a = 3,58 m/s2
Da equação (1):
T = p + m a
T = 1,3x9,8 + 1,3x3,58
T = 17,4 N
T3
tg 1 cos 2 + sen 2
T2 =
T3
T1
T2
147
tg28°cos47° + sen47°
T2 =
T2 = 134,37 N
T1 = T2
cos 2
cos 1
Substituindo o valor de T2 em T1:
T1 = 134,37
cos 47°
cos 28°
T1 = 103,79 N
Exemplo 2:
A figura ao lado mostra dois blocos ligados por uma corda, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis. Sabendo que m = 1,3 Kg e M = 2,8 Kg determine a tensão na corda e a aceleração dos blocos.
Identificando as forças:
T
T
Para o bloco de massa m:
T – p = m a
FR = m a
Para o bloco de massa M:
P – T = M a
FR = m a
equação (1)
equação (2)
No nó formado pelas cordas:
FR = 0
T3
T1
T2
Fx = 0
T1 cos 1 = T2 cos 2
T1 = T2
cos 2
cos 1
Fy = 0
T3 = T1 sen 1 + T2 sen 2
Substituindo o valor de T1:
T3 = T2 sen 1 + T2 sen 2
cos 2
cos 1
T3 = T2 tg 1 cos 2 + T2 sen 2
T3
tg 1 cos 2 + sen 2
T2 =
Exemplo 3:
A figura ao lado mostra um bloco de massa m = 15 Kg suspenso por 3 cordas. Sabendo que 1 = 28° e 2 = 47°, determine as tensões nas cordas.
Da primeira lei de Newton:
FR = 0
T3 = P = m g
T3 = 15 x 9,8
T3 = 147 N
Observando o equilíbrio estático do conjunto, vamos identificar as forças que atuam nos corpos do problema:
P
T3
no caixote:
T3
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