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Aplicações da Lei de Stevin
Pressão total em um ponto de um líquido em equilíbrio
Para entendermos melhor como essa lei é aplicada, vamos pensar em um recipiente que esteja totalmente exposto à atmosfera e que contenha um líquido homogêneo e que esteja em equilíbrio sob a ação da gravidade.
Vejamos a ilustração:
Usando o ponto A como referência, para descobrirmos a pressão total do líquido, devemos simplesmente aplicar a Lei de Stevin, entre o ponto A e O, que se localiza na superfície do líquido. Com isso usamos:
Como podemos observar na figura acima, o ponto O está ligado à atmosfera, portanto a pressão PO será igual à pressão atmosférica. Vejamos:
Onde, PA representa a pressão absoluta ou total existente no ponto A, Patm representa a pressão atmosférica existente no local e μgh representa a pressão hidrostática ou efetiva.
Portanto podemos quando há pressão no interior de um líquido, ela poderá aumentar linearmente com a sua profundidade.
Gráfico de pressão
Vejamos agora os gráficos que representa as pressões hidrostáticas e totais, em função da profundidade representada por h.
Vejamos:
Como podemos observar no gráfico acima, as duas retas são paralelas entre si, enquanto o ângulo φ é:
Regiões isobáricas
Considerando um líquido homogêneo sob a ação da gravidade e em equilíbrio com relação à Lei de Stevin, teremos:
Se pensarmos em igualar as pressões nos pontos A e B irá ficar da seguinte forma:
Portanto podemos concluir que tanto o ponto A como o ponto B, agüentam, estando no mesmo nível, agüentam a mesma pressão, pertencendo assim ao mesmo plano horizontal, ou seja, quando o líquido é homogêneo, e está em equilíbrio e sob a ação da gravidade, suas regiões isobáricas serão consideradas planos horizontais.
Paradoxo hidrostático
Para entendermos melhor sobre o paradoxo hidrostático, vamos pensar em vasilhas de diferentes formas. Vejamos:
Com base na figura acima, podemos observar que o líquido atinge o mesmo nível nos três recipientes. Independente da forma do recipiente e da quantidade de líquido que cada um possui esse líquido irá aplicar uma pressão no fundo de cada um deles, onde essa pressão é dada por:
Essa força que é aplicada pelo líquido no fundo do recipiente, possui uma intensidade representada pelo produto da pressão através da área representada por A, que fica na base do recipiente (F = pA).
É importante lembrarmos que as forças somente terão a mesma intensidade se os recipientes tiverem áreas de bases iguais.
Portanto podemos concluir que o paradoxo hidrostático é considerado o fato da pressão e da força não depender da quantidade de líquido nem da forma do recipiente adotado.
A propriedade de um líquido de transmitir a pressão que se exerce sobre ele em todos os sentidos explica um fenómeno conhecido em física como paradoxo hidrostático.
Na figura 1 estão representados 3 recipientes de diversas formas mas com superfície de fundo de igual área.
Figura 1
A coluna de líquido que eles contêm também é igual. A massa de líquido nestes vasos é diferente, mas a pressão exercida sobre o fundo é a mesma e pode ser calculada através da equação fundamental da hidrostática:
Uma vez que a área do fundo dos recipientes é a mesma, a força com que o líquido exerce pressão sobre os fundos também é a mesma, sendo esta força igual, em intensidade, ao peso da coluna vertical do líquido:
em que é a área da superfície do fundo.
Esta conclusão pode ser verificada através de experiências levadas a cabo com o aparelho representado na figura 2.
Figura 2
O fundo dos 3 recipientes, 1, 2 e 3, é uma película de borracha fixa no suporte do aparelho. O seu fundo encurva-se e este movimento transmite-se à agulha. A experiência demonstra que:
"Quando as colunas de água nos recipientes são iguais, as indicações da agulha também o são, ou seja, a força com que o líquido actua sobre o fundo do recipiente não depende da forma deste último e é igual, em intensidade, ao peso da coluna vertical de líquido cuja base é o fundo do recipiente e a altura é a altura da coluna de líquido."
Explicação?
Observemos a figura 3 em que a área do fundo do recipiente sofre a acção duma força igual, em intensidade, ao peso da coluna de líquido , que exerce a pressão .
De acordo com a Lei de Pascal, esta pressão é transmitida também às áreas e , e a força que actua sobre todo o fundo é igual, em intensidade, ao peso da coluna vertical do líquido .
Esta é maior que o peso do líquido no recipiente 3, figura 2, é inferior no 2 e igual no 1.
Imagina que a parte mais fina do recipiente, figura 3, é ainda mais fina e comprida. Então, seria suficiente uma quantidade muito pequena de água para criar uma grande pressão sobre o fundo.
Em 1648, Pascal pasmou os seus contemporâneos com uma experiência.
Inseriu um tubo estreito num barril cuidadosamente fechado e cheio de água, como mostra a figura 4.
Figura 4
Depois, subiu à varanda de um 2º andar e derramou neste tubo uma caneca de água.
A pressão sobre as paredes do barril cresceu tanto que as suas aduelas não suportaram e começou a verter água.
Paradoxo hidrostático
Um sistema de vasos comunicantes é um conjunto de vasos, dois ou mais, que são postos em comunicação entre si de tal modo que um líquido que se deite num deles se distribui por todos os outros.
Nessas circunstâncias, qualquer que seja a capacidade particular de cada um dos vasos ou a sua posição relativa, supondo-os abertos, as superfícies livres do líquido, nos vasos comunicantes, ficam situadas, em todos eles, ao mesmo nível.
Poder-se-ia pensar que o líquido contido em B, pelo facto de B ter maior diâmetro do que A, e portanto conter uma porção de líquido de maior peso, obrigasse esse mesmo líquido a ascender mais em A. Tal não sucede.
O que está em causa é o equilíbrio do líquido, e esse equilíbrio exige, segundo a lei fundamental da Hidrostática, que a pressão tenha igual valor em todos os pontossituados a um mesmo nível, o que só se verifica quando as superfícies livres do líquido nos diferentes vasos estiverem todas no mesmo plano horizontal.
Os vasos V1 e V2 contêm o mesmo líquido homogéneo e têm por fundo superfícies de igual área. A força de pressão exercida pelo líquido sobre esses fundos de igual área tem igual valor em ambos os vasos.
Poderia pensar-se que, pelo facto do peso do líquido contido em V2 ser maior do que o peso do líquido contido em V1, a força de pressão no fundo de V2 seria superior à força de pressão no fundo de V1. Como não sucede assim e se verifica que a força de pressão tem o mesmo valor em ambos os casos, consideraram os físicos de séculos passados, que tal situação era paradoxal, e assim esta situação ficou conhecida por paradoxo hidrostático.
Mas não existe paradoxo nenhum!
O peso do líquido que o vaso V2 contém a mais relativamente a V1, em nada influi no valor da força de pressão exercida no fundo do respectivo vaso.
As forças de pressão exercidas nas paredes laterais do vaso V2 e dirigidas perpendicularmente a essas paredes, originam, por parte destas, forças de reacção , também normais, orientadas de fora para dentro do vaso, em todos os pontos das paredes.
As componentes verticais dessas forças de reacção , por serem orientadas de baixo para cima, opõem-se ao peso das partículas do líquido correspondente, na figura, às regiões limitadas pelos triângulos ACB e A'B'C'.
As componentes horizontais dessas forças de reacção anulam-se duas a duas.
Assim, a força de pressão exercida pelo líquido no fundo do vaso V2 corresponde exclusivamente ao peso do líquido que constitui a coluna BB'CC', exactamente como se o vaso V2 tivesse a forma do vaso V1
Procura interpretar, analogamente, o paradoxo hidrostático no caso do vaso que contém o líquido ter a forma representada ao lado.
Vão existir forças de pressão exercidas pelo líquido sobre as paredes laterais do vaso, e perpendicularmente a estas, e, analogamente, vão existir forças de reacção destas paredes sobre o líquido, forças estas também perpendiculares ás paredes do vaso, mas que apontam para dentro do mesmo.
Estas forças têm componentes verticais e horizontais.
As componentes horizontais destas forças de reacção têm resultante nula.
As componentes verticais destas forças de reacção têm o mesmo sentido que o peso das partículas de líquido e assim, temos que a força exercida no fundo vaso é, não só devida ao peso das partículas de líquido existentes, mas também como se existissem dois triângulos de líquido que, apostos no vaso lhe confeririam a forma do vaso V1.
Se colocarmos em comunicação várias vasilhas de formas diferentes, observamos que o líquido alcança o mesmo nível em todas elas. A primeira vista, poderíamos pensar que deveria exercer maior pressão em sua base aquele recipiente que contivesse maior volume de fluido.
A força devida a pressão que exerce um fluido na base de um recipiente pode ser maior ou menor que o peso do líquido que contém o recipiente, este é em essência o paradoxo hidrostático.
Como foi demonstrado, na equação fundamental da estática de fluidos, a pressão somente depende da profundidade abaixo da superfície do líquido e é independente da forma da vasilha que o contém. Como é igual a altura do líquido em todos os vasos, a pressão na base é a mesma e o sistema de vasos comunicantes está em equilíbrio.
Vamos examinar nesta página três exemplos, dois simples e o outro um pouco mais complexo para explicar este paradoxo.
Em todos os casos, temos de ter em conta que a força que exerce um fluido em equilíbrio sobre uma superfície devido a pressão é sempre perpendicular a esta superfície.
Recipientes de forma cilíndrica
Primeiro exemplo
Consideremos dois recipientes com simetria cilíndrica, ambos contém líquido até a mesma altura h1.
Recipiente da esquerda
Peso do líquido
O peso do líquido contido no recipiente da esquerda de forma cilíndrica é
m1g=ρA1h1g
Força devida a pressão em suas bases.
A pressão que exerce o líquido na base é
P= ρh1g
A força devida a pressão é
F=PA1= ρA1h1g
No recipiente da esquerda, ambas as quantidades coincidem.
Recipiente da direita
Peso do líquido
O peso do líquido contido no recipiente da direita é a soma do peso do líquido contido no cilindro de base A1 e altura h1, e do cilindro oco de base anular A2 e altura h2.
m2g= ρA1h1g+ ρA2h2g
Força devida a pressão em suas bases.
O líquido exerce uma força para baixo em sua base A1 devida a pressão
F1= ρA1h1g
Também exerce uma força em sua base anular A2 devida a pressão do líquido situado acima,
F2=ρA2h2g
Ambas as forças tem o mesmo sentido, para baixo. A resultante é igual ao peso do fluido
F1+F2=m2g
Segundo exemplo
Comparemos agora estes outros dois recipientes
Recipiente da esquerda
Peso
O peso do líquido contido neste recipiente é
m1g=ρA1h1g
Força devida a pressão em suas bases.
A pressão na base do recipiente é
P= ρh1g
A força devida a esta pressão é
F=PA1= ρA1h1g
Ambas as quantidades coincidem.
Recipiente da direita
Peso
O peso do líquido contido no recipiente da direita é a diferença entre o peso do líquido contido no cilindro de base A1 e altura h1, e o peso do líquido contido no cilindro oco de base anular A2 e altura h2.
m2g= ρA1h1g- ρA2h2g
Força devida a pressão em suas bases.
O líquido exerce uma força na base A1 devida a pressão do líquido que está acima, e é igual a F1= ρA1h1g, apontando para baixo
Também exerce uma força em sua base anular A2 devida a pressão do líquido situado acima, igual a F2=ρA2h2g porém em sentido oposto
A resultante nos dá o peso do líquido contido no recipiente.
F1-F2=m2g
Como vemos, o paradoxo desaparece se consideramos a força que exerce o fluido devido a pressão na superfície anular A2, que no primeiro exemplo é para baixo e no segundo é para cima.
Foi comprovado nos dois exemplos simples que a soma das forças verticais devidas a pressão que exerce o fluido nas paredes do recipiente iguala ao peso do fluido contido no mesmo.
Recipiente de forma cônica
Seja um recipiente em forma cônica, de altura h, cuja base tem um raio R e que está completamente cheio de líquido.
O peso do líquido de densidade ρ é
A força para baixo que exerce o líquido em sua base devido a pressão é
F=ρgh(πR2)
que é o triplo do peso do líquido contido no cone
O paradoxo é resolvido considerando todas as forças que exerce o líquido devido a pressão na superfície cônica e que são perpendiculares a mesma.
A força dF que exerce o líquido sobre o elemento da superfície cônica compreendido entre y e y+dy é o produto da pressão do líquido a profundidade y, multiplicado pela área da superfície do tronco de cone de raio x e altura dy. A área desta superfície é equivalente a de um retângulo de comprimento 2πx e largura ds=dy/cosθ.
A força é dF=ρgy·2πxds
A componente vertical desta força é
dFy=dF·senθ= ρgy·2πxdy·tanθ
A relação entre x e y e o ângulo θ é
A componente vertical da soma de todas as forças que exerce o íquido sobre os elementos da superfície lateral do cone é
A componente vertical da resultante das forças que exerce o líquido devido a pressão sobre a superfície total do cone é
que está dirigida para baixo, e coincide com o peso do fluido.
Como foi comprovado nestes exemplos, o paradoxo hidrostático consiste em que a força devida a pressão do líquido sobre base do recipiente pode ser diferente do peso do líquido que o contém. Porém este paradoxo é resolvido no momento em que levamos em conta as componentes verticais das forças que exerce o líquido sobre todas as paredes do recipiente originadas pela pressão.
