Aplicações Da Função Quadrática

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Universidade Estácio de Sá Atividade estruturada Introdução ao calculo Equação do 2º grau ou Equação Quadrática André Luiz Rodrigues de Sousa 2012-2 Bibliografia AABOE, Asger. Episódios da Historia Antiga da Matemática. São Paulo: SBM. 1984. BATSCHELET. Edward. Introdução à Matemática para Biocientistas. São Paulo: EDUSO. 1978. BAUMGART, John K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual. 1992. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher: EDUSP. 1974. FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD. 1998. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD. 1998. PAIVA, Manoel. Matemática – Volume único. São Paulo: Moderna. 1999 TROTA, Fernando; JAKUBOVIC, José; IMENES, Luiz Márcio Pereira. Matemática Aplicada. São Paulo: Moderna 1980. www.arq.ufsc.br www.aviculturaindustrial.com.br www.semad.mg.gov.br Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 01 Índice Introdução Pagina 03 Definição Pagina 03 Resolução Equação do 2º Grau - Por Trinômios Quadrados Perfeitos Pagina 04 Resolução Equação do 2º Grau pela fórmula de Bháskara Pagina 05 Dedução da fórmula de Bháskara Pagina 06 Gráfico da Equação 2º Grau Pagina 07 Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º Grau Pagina 08 Aplicação da Função do 2º Grau – Definir área Pagina 09 Aplicação da Função do 2º Grau – Ponte Pênsil Pagina 10 Aplicação da Função do 2º Grau – Definir Produto Pagina 11 Aplicação da Função do 2º Grau – Superfícies Parabólicas Pagina 12 Aplicação da Função do 2º Grau – Curvas de Oferta e Demanda Pagina 13 Aplicação da Função do 2º Grau – Equilíbrio de Mercado Pagina 14 Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 02 Introdução - Equação 2º Grau. Ela diferencia-se da equação do primeiro grau pelo fato de a incógnita aparecer elevada ao quadrado, o que introduz as operações de potenciação e radiciação na resolução dessas equações. Também sendo chamada por alguns autores de função quadrática. A equação do segundo grau será muito importante na física, na geometria e em diversos campos do conhecimento. Definição - Equação 2º Grau. Equação do Segundo Grau é toda equação que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, em que “a”, “b” e “c” são os coeficientes e “x” é a incógnita. Esse nome existe porque o expoente mais alto existente na equação é o “2”. Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma, onde “a”, “b” e “c” são os coeficientes e “x” é a incógnita que se quer calcular. Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que 'a' deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que 'b' e 'c' deve pertencer ao conjunto dos reais. Observe alguns exemplos dessas funções: f(x) = x² + 4x +6; a = 1, b = 4, c = 6 (Completa) f(x) = 6x² – 3x; a = 6, b = - 3, c = 0 (Incompleta, do tipo 'c = 0'). f(x) = x² - 9; a = 1, b = 0, c = -9 (Incompleta, do tipo 'b = 0'). f(x) = - x²; a = -1, b = 0, b = 0 (Incompleta, do tipo 'b e c = 0'). Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio; Os valores de “x” são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de “y”. Então, podemos dizer que o domínio e o contradomínio são o conjunto dos reais. Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 03 Resolução Equação do 2º Grau - Por Trinômios Quadrados Perfeitos. Peguemos, como exemplo, a equação x2 + 2x − 8 = 0. Em primeiro lugar, deve-se colocar o termo independente (no caso, -8) no segundo membro. Assim a equação fica x2 + 2x = 8. Agora concentre-se no primeiro membro (em x2 + 2x). Que números poderiam colocar para que ele virasse um trinômio quadrado perfeito? Resposta: o número +1, pois x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Nota-se que só esse número transforma o primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito. Transformando o primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito da seguinte forma: Se x2 + 2x = 8, então x2 + 2x + 1 = 8 + 1. Nota-se que, como é uma equação, o que eu fizer no primeiro membro (lado esquerdo da igualdade) deverá ser feito no segundo membro (lado esquerdo da igualdade). Se x2 + 2x + 1 = 8 + 1, então (x + 1)2 = 9, e então . Como sabemos, a raiz de 9 pode ser +3 ou menos 3, de modo que teremos duas possibilidades para resolver a equação:  Se x + 1 = 3, então x = 3 – 1, o que nos leva a x1 = 2.  Se x + 1 = - 3, então x = -3 – 1, o que nos leva a x2 = − 4. Portanto, para resolver qualquer equação desta forma, procedemos da seguinte maneira: - Colocamos o termo independente no segundo membro. - Completamos o primeiro membro com um número para descobrir um trinômio quadrado perfeito e usamos a fatoração. - Aplicamos a raiz quadrada aos dois membros e resolvemos como se fosse uma equação comum. - Lembre-se que a raiz quadrada tem duas possibilidades de resposta, logo a equação terá duas soluções. - Se ao tirar a raiz quadrada dos dois membros, o segundo membro for um número negativo (não existe raiz quadrada de número negativo), então a equação não terá solução. Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 04 Resolução Equação do 2º Grau pela fórmula de Bháskara. Outra forma para resolver a equação do 2º grau, é através da fórmula de Bháskara, que é dada a seguir: Se ax2 + bx + c = 0, então: e Em muitos livros, os autores chamam de delta (Δ) a expressão que está dentro da raiz, isto é, b2 − 4ac. Assim, a fórmula de Bháskara pode ser reescrita da seguinte forma: e Repare que:  Se Δ > 0, a equação terá duas soluções distintas ; Exemplo:  Se Δ = 0, a equação terá duas soluções idênticas x1 = x2;  Se Δ for negativo, a equação não terá soluções reais; Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 05 Dedução da fórmula de Bháskara. A fórmula de Bháskara também pode ser deduzida descobrindo trinômios quadrados perfeitos. Temos ax2 + bx + c = 0. Vamos dividir toda a equação por “a”: Vamos jogar o termo independente no segundo membro, sempre tendo em mente a manutenção da igualdade na equação: Qual o número que falta para completar um trinômio quadrado perfeito? Você descobrirá que: Tirando o mínimo no segundo membro, temos: Assim, Como uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e outra negativa, temos que: e Passando o termo para o segundo membro, finalmente obtemos a fórmula de Bháskara! Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 06 Gráfico da Equação 2º Grau. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente “a”, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou “y” igual a zero, transformando a função numa equação do 2º grau. Coeficiente “a” > 0, parábola com a concavidade voltada para cima Coeficiente “a” < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo Δ > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos. Δ = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto. Δ < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x). Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 07 Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º Grau. O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente “a”, os pontos serão definidos, observe: Quando o valor do coeficiente “a” for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo. Quando o valor do coeficiente “a” for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta. Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 08 Aplicação da Função do 2º Grau – Definir área. Caso: Vamos supor que um avicultor pretende fazer um pequeno viveiro, de formato retangular, para alojar alguns pintinhos. Para esta tarefa ele comprou 6 metros de cerca. Pretende-se que a área seja a máxima. Como proceder? Queremos que o perímetro seja de 6 metros. Então, fica 2a + 2b = 6 - Se exprimirmos “a” em função de “b”, teremos: 2a = 6 – 2b / a = 3 – b. A área da região retangular é dada pela formula: A = a.b, onde A é a área. Como a = 3 – b, fica assim A = (3 – b). b / A = 3b – b² Pretende-se saber quando a área é máxima. Determinemos então o valor de “b”. Sabemos que 0 < b < 3. Vimos já que A = - b² + 3b. Portanto utilizando a formula: Desenhando o gráfico desta função obtemos: O gráfico sugere que a área máxima no ponto em que a função toma o maior valor, ou seja: Então, a área máxima é 2,25 para b = 1,5. Neste caso, a = 3 – b a = 3 – 1,5 = 1,5. A área máxima a = b = 1,5; isto quer dizer que é uma superfície quadrada. Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 09 Aplicação da Função do 2º Grau – Ponte Pênsil. Também chamada pendente, a ponte pênsil ou suspensa pode vencer distancias ainda maiores que as em arco ou viga, de até 2.100 m. Seu tabuleiro é sustentado por cabos de aço. A ponte suspensa é apropriada para grandes vãos livres, pois ela permite máxima leveza e um peso morto mínimo. Um exemplo é a Golden Gate Bridge, com um vão livre de 1.280 metros. Caso: Vamos considerar que os cabos de suspensão de uma ponte (como na figura abaixo) estão presos a duas torres que distam 480 metros e tem 60 metros de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine a equação da parábola que tem a forma dos cabos. Observando a figura podemos ver que os cabos da ponte formam uma parábola cujo vértice foi escolhido para a origem no plano cartesiano. Nesse referencial o ponto de coordenadas (240, 60) pertence à parábola. Como a parábola tem a vértice na origem sabe-se que é uma equação do tipo y = ax² Vamos descobrir o valor de “a” através das coordenadas dadas. 60 = a. 240² a= 1 960 Portanto a equação da parábola é y = 1 . X² 960 Veja o gráfico: Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 010 Aplicação da Função do 2º Grau – Definir Produto. O plástico é derivado das resinas de petróleo. Pertencem ao grupo dos polímeros, com características especiais e variadas. São divididos em dois grupos de acordo com características de fusão: Termoplásticos e Termorrígidos. A reciclagem é feita de 3 maneiras: Energética, Química e Mecânica. Caso: empresa Plastilit planeja produzir um tipo de arquivo para pastas, a partir de um pedaço retangular de plástico de 80 cm por 50 cm e, para isso, é preciso fazer duas dobras no plástico ao longo do maior lado, formando o arquivo na forma de U. Que medida da altura “x” deverá ter esse arquivo, para que seu volume interno seja máximo? A largura da pasta será 80 – 2x, a altura vale “x” e a profundidade é 50 cm.·. O volume interno da pasta é dado pelo produto das três dimensões: V = 50 x (80 – 2x) = 4000x – 100x² O volume é uma função quadrática em função da altura “x”. n(t) = - 16t² + 480t = -16 (t² - 30) n(t) = - 16 (t² - 30 + 15²) + 3600 - 16 (t² - 30 + 15² - 15²) - 16 (t – 15)² + 3600 V(x) = - 100x² + 4000x = - 100 (x² - 40x) V(x) = - 100 (x² - 40x + 20² - 20²) = 100(x² - 40x + 20²) + 40000 - 100 (x – 20)² + 40000 A pasta deverá ter 25 cm de altura na dobradura para um volume interno de 40.000 cm. Veja o gráfico da função: Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 011 Aplicação da Função do 2º Grau – Superfícies Parabólicas. Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica, uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominada o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente. Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus. Angulo Termômetro Alimento Luz Solar Vértice Material Metálico Introdução ao Calculo Diferencial Material Refratário Fogões Solares: É possível utilizar a radiação solar para fins domésticos. Para isto deve-se concentrar essa radiação em pequenas regiões, utilizando-se de lentes ou espelhos. Os fogões solares usam material refratário parabólico para a concentração de calor. Os raios solares incidem na superfície do espelho e ao se refletirem passam pelo foco. O calor concentrado neste ponto é suficiente para cozinhar alimentos. Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 012 Aplicação da Função do 2º Grau – Curvas de Oferta e Demanda. São discutidas neste exemplo varias aplicações das funções quadráticas em Administração e Economia. Estas aplicações incluem curvas de oferta e demanda e seus respectivos equilíbrios de mercado. Curvas de Oferta e Demanda. Os segmentos pertencentes ao primeiro quadrante, de vários tipos de parábola são frequentemente apropriados para representar funções de oferta e demanda, como é ilustrado nos gráficos abaixo. Observe que cada curva é apenas uma dentre uma família de curvas apropriadas para representar as funções discutidas. Por exemplo, o vértice da parábola abaixo pode localizar-se em qualquer parte do segundo quadrante ou sobre o semi-eixo positivo de “y” contando que a parábola tenha interseções “x” e “y” positivas. Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 013 Aplicação da Função do 2º Grau – Equilíbrio de Mercado. O preço e a quantidade de equilibrio de mercado são aqueles representados pelas coordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e demanda. Uma solução aproximada para estas coordenadas pode ser obtida geometricamente para qualquer curva de oferta e demanda. Entretanto, uma solução algebrica simultanea, mesmo para funções de oferta e demanda do segundo grau, pode envolver a resolução de equações do terceiro e quarto grau. Uma vez que aqui não são discutidos a resolução de grau superior a dois, o exemplo abaixo esta limitado a resolução da equação quadratica. Caso: Ache o preço e a quantidade de equilibrio para as seguintes equações de oferta e demanda (onde “x” representa a quantidade e “y”, o preço. Gráfico do Caso acima. Introdução ao Calculo Diferencial Engenharia Elétrica – 2012 – 2 Página - 014