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Topologia da Superf´ıcie
Rela¸co˜es de a¸co˜es propriamente descont´ınuas e livres
On´ezimo Carlos Viana Cardoso 0268582 1
Defini¸c˜ ao 1: Uma estrutura diferenci´avel ou C ∞ (suave) numa variedade topol´ogica M, ´e uma fam´ılia U = {Uα , ϕα } de vizinhan¸cas coordenadas tais que: (1) Os Uα cobrem M ; (2) Para quaisquer α,β as vizinhan¸cas Uα , ϕα e Uβ , ϕβ s˜ao C ∞ -compat´ıveis; (3) Quaisquer vizinhan¸cas coordenadas V, ψ compat´ıveis com todas Uα , ϕα ∈ U est´a ela pr´opria em U . Defini¸c˜ ao 2: Uma a¸ca˜o ϕ : M × G → M , onde G ´e um grupo e M ´e uma variedade, ´e dita ser propriamente descont´ınua se satisfaz as seguintes condi¸co˜es: (i) Cada x ∈ M tem uma vizinhan¸ca U tal que o conjunto {h ∈ G hU 6= ∅} ´e finito; (ii) Se x, y ∈ M n˜ao est˜ao na mesma ´orbita, ent˜ao existem vizinhan¸cas U, V de x, y tais que U ∩ GV 6= ∅ Observe que (ii) implica que M/G ´e de Hausdorff. Como consequˆencia da descontinuidade pr´opria temos que, (i’) os grupos isotr´opicos Gx de cada x ∈ M ´e finito e cada x tem uma vizinhan¸ca U tal que hU = ∅ se h ∈ / Gx e hU = U se h ∈ Gx . Defini¸c˜ ao 3: Seja X um espa¸co topol´ogico e ∼ uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em X. Denotemos por [x] = {y ∈ X; y ∼ x} a classe de equivalˆ S encia de x, e para um subconjunto A ⊂ X, denotemos por [A] o conjunto a∈A [a], isto ´e, todos os x equivalentes a algum elemento de A. Consideremos X\ ∼ o conjunto das classes de equivalˆencia e denotemos por π : X → X\ ∼ a aplica¸c˜ao natural (proje¸c˜ao) que leva cada x ∈ X na sua classe de equivalˆencia, π(x) = [x]. Com essa nota¸ca˜o definamos a topologia quociente padr˜ao em X\ ∼ como segue: U ⊂ X\ ∼ ´e um subconjunto aberto se π −1 (U ) ´e aberto; a proje¸c˜ao de π ´e ent˜ao cont´ınua. Lema 1: Uma rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ em X ´e aberta se e somente se π ´e uma aplica¸ca˜o aberta. Quando ∼ ´e aberta e X tem uma base enumer´avel de conjuntos abertos; ent˜ao X\ ∼ tem tamb´em uma base enumer´avel.
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Demonstra¸c˜ao: Seja A ⊂ X um conjunto aberto. Desde que [A] = π −1 (pi(A)), vemos pela defini¸ca˜o 2 de topologia quociente em X\ ∼ que [A] ´e aberto e reciprocamente [A] aberto implica que π(A) ´e aberto. Agora suponhamos que ∼ ´e aberto e X tem uma base enumer´avel {Ui } de conjuntos abertos. Se W ´e um S −1 subconjunto aberto de X\ ∼, ent˜ao πS (W ) = j ∈ JUj para alguma subfam´ılia de {Ui } e W = π(π −1 (W )) = j∈J π(Uj ). Segue ent˜ao que {π(Ui )} ´e uma base de conjuntos abertos de X\ ∼. Teorema: Seja G um grupo discreto com a¸ca˜o livre e propriamente descont´ınua numa variedade M . Ent˜ao existe uma u ´nica estrutura C ∞ de variedades diferenci´aveis da forma M \ G (com a topologia quociente) tal que cada ca conexa U com a propriedade: π −1 (U ) = S ˜ p ∈ M tem uma vizinhan¸ Uα ´e a decomposi¸c˜ao de π −1 em componentes abertas conexas e π|U˜α ´e um difeomorfismo sobre U para cada componente . Demonstra¸c˜ao: A variedade M ´e de Hausdorff desde que a a¸ca˜o de G ´e propriamente descont´ınua. E pelo Lema 1, tem uma base enumer´avel de abertos. Usando (i’) e a hip´otese de a a¸ca˜o ser livre, podemos encontrar para cada x ∈ M uma vizinhan¸ca U˜ tal que hU˜ ∩ U˜ = ∅ exceto quando h = e. Isto implica que πU˜ (= π|U˜ ) ´e injetiva na sua imagem U, e portanto, πU˜ : U˜ → U ´e um homeomorfismo de U˜ nos conjuntos abertos U - onde a aplica¸c˜ao π ´e cont´ınua e aberta. Sem perda de generalidade suponhamos que U˜ ´e uma vizinhan¸ca de coordenada conexa U˜ , ϕ. ˜ Ent˜ao tomando ϕ = ϕ˜ ◦ πU−1 ˜ , temos n ϕ : U → ϕ( ˜ U˜ ) ⊂ R ´e um homeomorfismo. Desde que todo p ∈ M ´e a ˜ , vemos que M ´e localmente euclidiano. Assim M imagem de algum x ∈ M ´e uma variedade topol´ogica. As vizinhan¸cas coordenadas U, ϕ s˜ao chamadas admiss´ıveis; a estrutura diferencial ´e determinada por vizinhan¸cas coordeS −1 ˜ nadas admiss´ıveis. Note que π (U ) = h∈G hU , ´e uma uni˜ao disjuntas de conjuntos abertos conexos, onde cada um difeomorfo a U˜ . Desde que π : hU˜ → U ´e a mesma aplica¸c˜ao π ◦ h−1 : hU˜ → U , o fato que π|hU˜ ´e um difeomorfismo segue trivialmente do fato que h−1 e π|U˜ : U˜ → U s˜ao difeomofismos depois de estabelecermos que qualquer cobertura de vizinhan¸cas admiss´ıveis U, ϕ e V, ψ s˜ao C ∞ -compat´ıveis, e ent˜ao elas definem uma estrutura C ∞ . Para provar isto tomemos U = π(U˜ ) e V = π(V˜ ) onde U˜ , ϕ˜ e V˜ , ψ˜ s˜ao as 3
˜ . Se p ∈ U ∩V , ent˜ao existem vizinhan¸cas coordenadas correspondentes de M pontos x ∈ U˜ e y ∈ V˜ (possivelmente n˜ao distintos) com π(x) = p = π(y). Esse u ´ltimo implica que x = h(y) para algum h ∈ G. Desde que h ´e um difeomorfismo, V˜1 = h(V˜ ) com ψ˜1 = ψ˜ ◦ h−1 ´e uma vizinhan¸ca coordenada e −1 −1 ˜ ˜ ˜ ˜ e V˜1 , ψ˜1 s˜ao C ∞ ψ = ψ˜ ◦ πV−1 ˜ = ψ1 ◦ h ◦ πV˜ = ψ1 ◦ πV˜1 . Entretanto, U , ϕ compat´ıveis e assim U, ϕ e V, ψ s˜ao compat´ıveis. Pois, por conta da exigˆencia de π(U˜ ) ser um difeomorfismo, nenhuma outra estrutura C ∞ ´e poss´ıvel. Conclus˜ ao: Para concluirmos o anseio deste trabalho atentemos agora que ∞ π ´e C de ordem n = dim(M \ G) = dimM desde que ´e localmente um difeomorfismo. De fato, ela s´o pode ser injetiva se G = e para π −1 (p) = Gx para algum x, e essa o´rbita Gx ´e uma correspondˆencia injetiva com G nele mesmo em virtude da hip´otese de G ser uma a¸c˜ao livre.
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