ângulos

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Geometria I – Turma 150 – 2011/1 Profa Gertrudes Regina Ângulos Introdução A noção de ângulo, bem como das principais figuras geométricas, já era conhecida por muitos povos, desde os babilônios e assírios, que a utilizavam na medida de área e na astronomia. H. Shotten, em 1893, colocou as definições de ângulo em três categorias: a diferença de direções entre duas linhas retas; a medida da rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro; e, finalmente, a porção do plano contida “entre” as duas retas que definem o ângulo. A definição que utilizaremos é a que tem sido usada mais recentemente e é adequada para o desenvolvimento da nossa teoria. Definições: 1. Um ângulo é a união de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não estão contidas numa mesma reta. Se um ângulo é formado pelas semi-retas AB e AC , então essas semi-retas são chamadas lados do ângulo, e o ponto A é chamado vértice do ângulo. Tal ângulo é denominado ângulo BAC ou ângulo CAB e denotado por BÂC ou CÂB. Algumas vezes, quando está claro no texto, é simplesmente denominado ângulo A e representado por Â. 2. Dizemos que o ponto P está no interior do ângulo BAC ou é ponto interior do ângulo BAC se os pontos P e B estão no mesmo lado da reta AC e os pontos P e C estão no mesmo lado da reta AB . O exterior do ângulo BAC é o conjunto dos pontos que não estão no interior e não estão no próprio ângulo BAC. Um ponto desse tipo é chamado ponto exterior do ângulo BAC. Na figura (1) (1) AB e AC são os lados e A é seu vértice. (2) B P A V C Q D Em (2) temos: [email protected] 1 Postulado da medida de Ângulo A cada ângulo BAC corresponde um número real entre 0 e 180. Definição O número correspondente ao postulado anterior é chamado medida do ângulo e é denotado por m(BÂC). Ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes. Postulado da construção do Ângulo Seja AB uma semi-reta da reta origem de um semiplano H. Para cada número r entre 0 e 180 existe exatamente uma semi-reta AP com P em H, tal que M(PÂB) = r. Postulado da adição de Ângulos Se D é um ponto interior do ângulo BÂC, então m(BÂC) = M(BÂD)+m(DÂC). Medida de Ângulos Convencionou-se universalmente denominar de 360o uma variação de orientação que, passa por todas as possíveis retornando à inicial. Grau, unidade de medida angular é definida com a fração 1 de uma volta completa. 360 Para medir ângulos, com maior precisão, dividimos 1o em 60 partes iguais, chamadas minutos. Assim, 1o = 60’ ( 60 minutos do grau). Cada minuto é dividido em 60 partes iguais, chamadas segundo. Assim, temos 1o = 60’ e 1’ = 60”( 60 segundos do grau). Nota: Por que há 360 graus numa revolução completa? Há somente razões históricas para isso. Os antigos babilônios( 4000 a 3000 a.C.) acrescentaram conquistas valiosas à cultura matemática egípcia. Interessavam-se pela astronomia por si mesma, pela sua relação com os conceitos religiosos e por suas conexões com o calendário, as estações e a época do plantio. Desenvolveram também um sistema numérico de base 60, usando a idéia de valor posicional para frações e para números inteiros. Por que 60? Ë possível que tenha sido pela facilidade de se dividir a circunferência em 6 partes iguais, usando seu raio como corda, e daí 60 seria 1 de 6 360. A idéia de 360 partes em uma circunferência poderia ser resultado de uma estimativa errônea de que o ano teria 360 dias. Ângulos: reto, agudo e obtuso Ângulo reto é todo ângulo que mede 90o. Ângulo agudo é um ângulo cuja medida é menor do que 90o. Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior do que 90o e menor do que 180o. Pode-se estender o conceito de ângulo para se ter o Ângulo nulo, ângulo com medida nula (cujos lados são semi-retas coincidentes) ou o Ângulo raso, ângulo que mede 180o (seus lados são semi-retas opostas). Em trigonometria precisamos da idéia de ângulo orientado, por isso admitimos a existência de ângulos nulos e ângulos rasos. [email protected] 2 Definições Dois ângulos são: Consecutivos quando um lado de um deles coincide com um lado do outro. Adjacentes quando são ângulos consecutivos e não têm pontos internos comuns. Opostos pelo vértice ( o.p.v.) quando os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Suplementares quando a soma de suas medidas é 180o. Complementares quando a soma de suas medidas é 90o. Ângulo suplementar adjacente Dado o ângulo DÂC e AB semi-reta oposta `a semi-reta AD temos o ângulo CÂB que se chama ângulo suplementar adjacente de DÂC ( também pode se dizer que DÂC e CÂB formam um par linear). C B A D Bissetriz de um ângulo Uma semi-reta BÂD ≡ CÂD. AD interna ao ângulo BÂC é bissetriz do ângulo BÂC se, e somente se, Teorema “Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes”. Exercícios 1. OA e OB são duas semi-retas colineares opostas. OC é uma semi-reta qualquer. Os ângulos AÔC e CÔB são adjacentes? São suplementares? 2. A soma de dois ângulos adjacentes é 1200. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo do outro menos 400. 3. De quantos graus move-se os ponteiros das horas enquanto o ponteiro dos minutos dá uma volta completa? [email protected] 3 4. Calcule a medida do complemento do ângulo que mede 370 25’ 5. Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. 6. O complemento de um ângulo está para o seu suplemento como 2 para 7 . Calcular a medida do ângulo. 7. O triplo do complemento de um ângulo aumentado de 500 é igual ao suplemento do ângulo. Determinar a medida do ângulo. 8.Os ângulos α e β são opostos pelo vértice. O primeiro é expresso em graus por 9x - 2 e o segundo por 4x + 8 .Determinar esses ângulos. 9..Na figura, GH e PQ se interceptam, formando quatro ângulos. a) Se b = 52o , qual a medida de a? b) Se a = 110o , quais as medidas de b, c e d? Q G a d b H c P 10. Na figura, três retas se interceptam no mesmo ponto. Dado a = 85o e e = 30o , determine b, c, d e f. f a e RESPOSTAS: 2. 400 e 800 3. 300 4. 520 35’ 5. 600 10. 30o 65o 85o 65o 6. 540 7. 700 8.160 d b c 9. a)128o b) 70o 110o e 70o Exercícios complementares: Referência: . DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar: Geometria plana. São Paulo: Atual, vol 9 Páginas Exercícios 28 .. 34 29, 34,..., 47, 50,51, 69, 71, 75, 76, 77, 78. Respostas na página 360 [email protected] 4