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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro 4o EP
2013/1
EAR
Matem´ atica
Semana 4 - NA 4 e Aula 7
Vers˜ ao Tutor
Coord. C. Vinagre & H. Clark
Exerc´ıcio 1. Mostre, por meio da defini¸c˜ ao de limite, que a sequˆencia (an )n∈N definida por an =
2n3 − 1 3n3 + 1
converge para 2/3. Sugest˜ao para uma majora¸c˜ao: lembrar que para n ∈ N vale n ≤ n3 . Demonstra¸ c˜ ao: Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R.
5 Pela Propriedade Arquimediana, existe um natural n0 > . 9ϵ Suponha que n ∈ N satisfaz n > n0 . Ent˜ao 3 2n − 1 2 6n3 − 3 − 6n3 − 2 −5 = −5 < 5 < 5 . = 3 3n3 + 1 − 3 = 3 3(3n + 1) 9n + 3 9n3 + 3 9n3 9n Como n > n0 >
5 5 e 9ϵ > 0 ent˜ao 9ϵn > 5 e da´ı < ϵ. Logo 9ϵ 9n 3 2n − 1 2 5 3n3 + 1 − 3 < 9n < ϵ .
Mostrou-se assim que: para todo n´ umero real ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0 ent˜ao 3 n −1 1 2n3 + 1 − 2 < ϵ . 2n3 − 1 2 = 3 n→∞ 3n + 1 3 √ 5 Observa¸ c˜ ao: Tamb´em se poderia ter tomado n0 > 3 9ϵ . Verifique! Da´ı, pela defini¸c˜ao de limite, escreve-se: lim
Exerc´ıcio 2. (a) Mostre, por meio da defini¸c˜ ao, que: se κ ∈ R∗ ent˜ ao a sequˆencia (an )n∈N definida κn por an = converge para κ. n+1 3n + 5n2 converge para (b) Mostre, por meio da defini¸c˜ ao, que a sequˆencia (an )n∈N definida por an = n + n2 5. 1 + 2 × 10n (c) Mostre, por meio da defini¸c˜ ao, que a sequˆencia (an )n∈N definida por an = converge 5 + 3 × 10n 2 para . 3 (d) Mostre a afirma¸c˜ ao do item (c) usando propriedades operat´ orias de limite, indicando todas as passagens do seu racioc´ınio. 1
Demonstra¸ c˜ ao(a) Por hip´otese, κ ∈ R e κ ̸= 0. Seja ϵ > 0.
|κ| |κ| Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > , pois > 0. ϵ ϵ Suponha n ∈ N tal que n > n0 . Ent˜ao κn −κ |κ| |κ| n + 1 − κ = n + 1 = n + 1 < n .
(a)
|κ| |κ| ent˜ao < ϵ. Logo ϵ n κn |κ| n + 1 − κ < n < ϵ . κn − κ < ϵ. Assim, se n > n0 ent˜ao n+1 Mostrou-se portanto que: para todo n´ umero real ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0 ent˜ao κn n + 1 − κ < ϵ. Como n > n0 >
κn n→∞ n+1
Da´ı, pela defini¸c˜ao de limite tem-se que lim
2
= κ.
Observa¸ c˜ ao: Entenda que n˜ao se pode dispensar o m´odulo em (a), porque o sinal de κ n˜ ao ´e conhecido!! (b) Seja ϵ > 0. Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > 2/ϵ. Suponha n ∈ N tal que n > n0 . Ent˜ao 3n + 5n2 −2n 2n 2 2n n + n2 − 5 = n + n2 = n + n2 < n2 = n < ϵ ,
(b)
2 porque n > n0 > . ϵ
3n + 5n2 < ϵ. Assim, se n > n0 ent˜ao − 5 n + n2 Mostrou-se assim que: para todo n´ umero real ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0 ent˜ao 3n + 5n2 n + n2 − 5 < ϵ. 2 Observa¸ c˜ ao: Outras majora¸c˜oes s˜ao poss´ıveis em (b). (c) Vocˆe deve ter mostrado no EP2 que, para todo n ∈ N tem-se que 1 + 2 × 10n 2 7 − < n. n 5 + 3 × 10 3 10 Seja ϵ > 0. Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > log10
2
(c) (7) ϵ
.
Suponha n ∈ N tal que n > n0 . Ent˜ao 1 + 2 × 10n 2 7 − < n <ϵ n 5 + 3 × 10 3 10 ( ) (7) 7 porque n > n0 > log10 e da´ı, 10n > 10log10 ϵ = 7ϵ . Portanto, para todo n´ umero real ϵ > 0, ϵ existe n0 ∈ N tal que, para todo n ∈ N, se n > n0 ent˜ao 1 + 2 × 10n 2 − <ϵ 5 + 3 × 10n 3 Logo, a sucess˜ao converge para 2/3. 2 Observa¸ c˜ ao: Outras majora¸c˜oes s˜ao, tamb´em, poss´ıveis em (c). Por exemplo, como 1 + 2 × 10n 2 7 − < n . E outras mais. Certo? 10 > e ≃ 2.7 . . ., ent˜ao n 5 + 3 × 10 3 e (d) O resultado sobre quociente de limites n˜ao pode ser usado diretamente, pois se chega a uma indetermina¸c˜ao do tipo ∞/∞. Pode-se no entanto, reescrever a express˜ao da sequˆencia de forma a fazer aparecer somente sequˆencias cujos limites existam. Tem-se que, para todo n ∈ N, vale que (1 + 2 × 10n ) × 1 + 2 × 10n = 5 + 3 × 10n (5 + 3 × 10n ) ×
1 10n 1 10n
=
1 10n 5 10n
+ +
2×10n 10n 3×10n 10n
=
1 10n 5 10n
+2 . +3
Agora que o resultado sobre quociente de limites pode ser usado, pelas propriedades operat´orias de limites tem-se: lim 1n + lim 2 lim ( 1n + 2) 1 + 2 × 10n 2 n→∞ n→∞ 10 n→∞ 10 lim = = , = 5 1 n→∞ 5 + 3 × 10n 3 lim ( 10n + 3) 5 × lim 10n + lim 3 n→∞
1 n n→∞ 10
pois lim
n→∞
n→∞
= 0, como vocˆe deve mostrar, pela defini¸c˜ao, como exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 3. Mostre, por meio da defini¸c˜ ao, que a sequˆencia (an )n∈N definida por √ √ an = ( 3n2 + 2 − 3n), se n ∈ N, converge para 0. Sugest˜ ao: Para fazer as majora¸c˜oes, a igualdade √ √ √ √ √ √ 3n2 + 2 + 3n 2 2 √ 3n + 2 − 3n = ( 3n + 2 − 3n). √ 3n2 + 2 + 3n ´e um artif´ıcio alg´ebrico muito utilizado neste tipo de sequˆencia. Demonstra¸ c˜ ao- Seja ϵ > 0. 1 Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > √ . ϵ 3 √ √ 2 + 2 > 3n2 > 0 ent˜ Suponha n ∈ N tal que n > n0 . Como 3n ao 3n2 + 2 > 3n e da´ı √ √ √ √ √ √ 3n2 + 2 − 3n > 0. Logo 3n2 + 2 − 3n = 3n2 + 2 − 3n e se pode escrever √ √ √ √ √ √ 1 ( 3n2 + 2 − 3n) − 0 = 3n2 + 2 − 3n 3n2 + 2 + 3n √ √ = 3n2 + 2 + 3n 3
√ √ √ √ 1 √ = = ( 3n2 + 2 − 3n)( 3n2 + 2 + 3n) √ 2 3n + 2 + 3n 2 3n + 2 − 3n2 2 √ =√ √ . =√ 2 2 3n + 2 + 3n 3n + 2 + 3n √ √ √ √ √ √ √ √ √ De 3n2 + 2 > 3n2 = 3n segue tamb´em que 3n2 + 2 + 3n > 3n + 3n = 2 3n = 2n 3 esta ´e a passagem crucial da majora¸c˜ao, certifique-se de tˆe-la entendido completamente. Da´ı, tem-se que 2 2 1 √ √ < √ = √ . 2 2n 3 n 3 3n + 2 + 3n Portanto, √ √ 2 ( 3n + 2 − 3n) − 0 =
1 1 √ √ < √ . 2 n 3 3n + 2 + 3n
1 1 Como n > n0 > √ ent˜ao n > √ e da´ı ϵ 3 ϵ 3 √ √ 1 ( 3n2 + 2 − 3n) − 0 < √ < ϵ . n 3 √ √ Assim, se n > n0 ent˜ao |( 3n2 + 2 − 3n) − 0| < ϵ . Mostrou-se umero real ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0 √ assim que: √ para todo n´ ent˜ao | 3n2 + 2 − 3n − 0| < ϵ . √ √ Por defini¸c˜ao, conclui-se ent˜ao que lim ( 3n2 + 2 − 3n) = 0. n→∞
Exerc´ıcio 4. Considere L ∈ R. Mostre detalhadamente pela defini¸c˜ ao que: se a sequˆencia (an )n∈N de n´ umeros reais satisfaz 3 para todo n ∈ N, |an − L| ≤ 2 n ent˜ ao lim an = L. n→∞
Demonstra¸ c˜ ao3 Por hip´otese, para todo n ∈ N, |an − L| ≤ 2 . n Seja ϵ > 0. Pela Propriedade Arquimediana, existe N ∈ N tal que N > Seja n ∈ N tal que n > N . Ent˜ao
n2
>
N2
|an − L|
√
3 ϵ
.
> 3/ϵ e vale
(por hip.) 3 3 ≤ < 2 < ϵ. 2 n N
Portanto, para todo ϵ > 0 dado, existe N ∈ N tal que, para todo n ∈ N, se n > N ent˜ao |an − L| < ϵ . Pela defini¸c˜ ao de limite de sequˆencia, tem-se que lim an = L . n→∞
4
Exerc´ıcio 5. Em cada item, dˆe um exemplo de sequˆencia satisfazendo a propriedade pedida ou justifique completamente, com base nas Proposi¸c˜ oes e Teoremas das Notas de Aula 4 e da Aula 7, porque n˜ ao ´e poss´ıvel existir uma tal sequˆencia. (a) Uma sequˆencia que tenha limite mas n˜ ao seja limitada. (b) Uma sequˆencia que seja limitada mas n˜ ao tenha limite. (c) Uma sequˆencia convergente (an )n∈N cujo conjunto de valores {an : n ∈ N} seja finito. (d) Uma sequˆencia convergente cujo conjunto de valores seja infinito. (e) Uma sequˆencia divergente cujo conjunto de valores seja finito. (f ) Uma sequˆencia divergente cujo conjunto de valores seja infinito. (g) Uma sequˆencia convergente com infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. (h) Uma sequˆencia cujo conjunto de valores n˜ ao seja unit´ ario e que convirja para um dos elementos do conjunto de valores. (i) Duas sequˆencias divergentes cuja soma seja uma sequˆencia convergente. (j) Duas sequˆencias convergentes cuja soma seja uma sequˆencia divergente. (k) Duas sequˆencias divergentes cuja soma seja uma sequˆencia divergente. Demonstra¸ c˜ ao- (a) Imposs´ıvel. Toda sequˆencia convergente (isto ´e, que possui limite) ´e limitada veja Teorema 7.1. (b) A sequˆencia (an )n∈N onde an = (−1)n para cada n ∈ N, ´e limitada pois seu conjunto de valores ´e {1, −1}, que ´e um conjunto limitado (relembre a defini¸c˜ao de conjunto limitado). Mas ela ´e divergente (veja o Exemplos 4.3 (j) e (m)) das NA 4 ou ent˜ao estude a teoria sobre subsequˆencias da Aula 8. (c) a = (1, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ......) ´e uma sequˆencia cujo conjunto de valores ´e {1, 2, 3, 4} e que ´e convergente, pois ela ´e constante a partir do termo a5 - ou seja, na linguagem do Exemplo 4.4 (e) das NA 4, a 5-cauda da sequˆencia ´e a sequˆencia constante (2,2,2,2.....), o que torna a sequˆencia dada convergente. (d) A sequˆencia (an )n∈N onde an = 1/n, para cada n ∈ N serve: ela tem limite 0 e seu conjunto de valores ´e {1/n : n ∈ N}, que ´e infinito. (e) A sequˆencia do item (b) serve. (f ) A sequˆencia a = (n)n∈N , isto ´e, onde an = n, para cada n ∈ N, ´e divergente e seu conjunto de valores ´e N, que ´e infinito. (g) A sequˆencia (an )n∈N onde an = (−1)n /n, para cada n ∈ N, converge para 0 (´e um exerc´ıcio importante mostrar isto pela defini¸c˜ao), e tem infinitos termos positivos (todos os termos de ordem par a2 , a4 , a6 , . . . , a2k , . . .), e infinitos termos negativos (todos os de ordem ´ımpar a3 , a5 , a7 , . . . , a2k+1 , . . .). (h) A sequˆencia do item (c) serve. (i) As sequˆencias x = (n)n∈N e y = (−n)n∈N s˜ao divergentes, pois n˜ao s˜ao limitadas. E a soma delas ´e a sequˆencia constante nula, que converge. (j) Imposs´ıvel. A sequˆencia que ´e a soma de duas sequˆencias convergentes ´e sempre uma sequˆencia convergente. (k) As sequˆencias x = (2n)n∈N e y = (n)n∈N s˜ao divergentes, pois n˜ao s˜ao limitadas. E a soma delas ´e a sequˆencia x+y = (3n)n∈N que sendo ilimitada, ´e tamb´em divergente.
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