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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro 3o EP
2013/1
E. A. Real
Semana 3 - Notas de Aula 02 e 03
Exerc´ıcio 1 Considere o conjunto C = (a) inf C = 2/5,
Vers˜ ao Tutor
Coord.: H. Clark & C. Vinagre
{ 2n } ; n ∈ N . Mostre que: 3n + 2
(b) sup C = 2/3.
Demonstra¸ c˜ ao- Fazendo n variar em N obt´em-se C = {2/5, 6/11, 8/14, . . .}. (a) (i) 2/5 ´e uma cota inferior de C pois para todo n ∈ N, vale claramente que 4 ≤ 4n.
(⋆)
Da´ı, para todo n ∈ N tem-se 6n+4 ≤ 6n+4n = 10n. Assim, para todo n ∈ N, resulta 2(3n+2) ≤ 5·2n. 2 2n Portanto, como se queria, para todo n ∈ N tem-se que ≤ , pois 3n + 2 > 0 e 5 > 0. 5 3n + 2 Como saber que se deve partir da afirma¸c˜ao (⋆)? Simples, fazendo uma conta “de tr´as para frente”: as afirma¸c˜oes acima s˜ao todas equivalentes: no rascunho (e s´o no rascunho), parte-se da u ´ltima e chega-se `a primeira; na demonstra¸c˜ao mesmo, elas aparecem em ordem trocada. (ii) No caso do conjunto C acima, 2/5 ´e uma cota inferior de C e 2/5 ∈ C. Logo, de (i), (ii) e pela Observa¸c˜ao 2.1 (4) das Notas de Aula 2 tem-se que 2/5 = inf C. (b) (i) Tem-se: para todo n ∈ N, que 6n ≤ 6n + 2 ´e verdade.
(⋆⋆)
Assim, para todo n ∈ N tem-se que 3·2n ≤ 2·(3n+2); da´ı, para todo n ∈ N resulta 2n/(3n+2) ≤ 2/3, pois 3n + 2 > 0. Portanto, por defini¸c˜ao, 2/3 ´e uma cota superior para C. (ii) Para mostrar que 2/3 ´e a menor das cotas superiores, ser´a preciso usar a Defini¸c˜ao 2.4 (S2) ou o Lema 2.1 (S2′ ). De todo jeito, usa-se a Propriedade Arquimediana (Proposi¸c˜ao 2.4 das NA 02). Usa-se a primeira aqui. A saber: Seja c ∈ R tal que c < 2/3. Deve-se encontrar x ∈ C tal que c < x. c . Note que 2 − 3c > 0 porque Pela propriedade arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > 2 − 3c c < 2/3 (verifique!) c Sendo 2 − 3c > 0 e n0 > tem-se que n0 (2 − 3c) > c. Da´ı, 2n0 − 3n0 c > 2c. Assim, 2 − 3c 2n0 2n0 3n0 c + 2c = (3n0 + 2)c < 2n0 . Portanto, c < , sendo que ∈ C. Assim, existe 3n0 + 2 3n0 + 2 2n0 x= ∈ C tal que c < x. 3n0 + 2 Pelas etapas (i) e (ii) acima e pela Defini¸c˜ao 2.4 (2), fica garantido que 2/3 = sup C Da mesma forma que no item (i), a desigualdade inicial em (⋆⋆) e o desenvolvimento acima s˜ao obtidos 2n0 fazendo-se uma conta “de tr´as para frente”, procurando n0 que satisfaz c < . 3n0 + 2 1
♢ Prel´ udio 1 Seja A ⊂ R um conjunto limitado e n˜ao vazio. Como R possui a propriedade do supremo ent˜ao os n´ umeros reais sup A e inf A existem. Por defini¸c˜ao, sup A ´e a menor das cotas superiores de A. Ent˜ao dado um n´ umero real α, sup A ≤ α se, e somente se, α ´ e uma cota superior de A (isto ´ e, x ≤ α para todo x ∈ A.) Vocˆe dever´a sempre lembrar disto quando precisar mostrar que o supremo de um certo conjunto ´e menor ou igual a um certo n´ umero. Por defini¸c˜ao, inf A ´e a maior das cotas inferiores de A. Ent˜ao dado um n´ umero real β, β ≤ inf A se, e somente se, β ´ e uma cota inferior de A (isto ´ e, β ≤ y para todo y ∈ A). Vocˆe dever´a sempre lembrar disto quando precisar mostrar que o ´ınfimo de um certo conjunto ´e maior ou igual a um certo n´ umero. Exerc´ıcio 2 Sejam A, B ⊂ R conjuntos limitados e n˜ ao vazios tais que A ⊂ B. Mostre que inf B ≤ inf A e sup A ≤ sup B. Conclua que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. Prova - Por hip´otese, A e B s˜ao subconjuntos limitados e n˜ao vazios de R e A ⊂ B. Por resultado do livro-texto sabe-se que os n´ umeros reais inf B, sup B, inf A e sup A existem. Primeiramente, por defini¸c˜ao de ´ınfimo sabe-se que inf B ≤ y para todo y ∈ B. Como A ⊂ B (hip´otese), ent˜ao inf B ≤ x para todo x ∈ A. Ou seja, inf B ´e uma cota inferior para A. Da´ı, pela defini¸c˜ao de ´ınfimo (releia o prel´ udio se precisar), tem-se que inf B ≤ inf A.
(1)
Do mesmo modo: por defini¸c˜ao de supremo sabe-se que y ≤ sup B para todo y ∈ B. Como A ⊂ B (hip´otese), ent˜ao x ≤ sup B para todo x ∈ A. Ou seja, sup B ´e uma cota superior para A. Da´ı, pela defini¸c˜ao de ´ınfimo (releia o prel´ udio se precisar), tem-se que sup A ≤ sup B.
(2)
Finalmente, ´e claro que inf A ≤ sup A (por quˆe?). Da´ı e de (1) e (2), segue a conclus˜ao final Exerc´ıcio 3 Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B. Ent˜ ao sup A = inf B se, somente se, para cada ϵ > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais que β − α < ϵ. Demonstra¸ c˜ ao- Deve-se provar, sendo α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B, que sup A = inf B ⇐⇒ β − α < ϵ para cada ϵ > 0. Note que a hip´otese α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B, ´e para garantir a existˆencia dos n´ umeros: sup A e inf B. (⇒) Hip´otese: sup A = inf B. Pelo Lemma 2.1 item (S2’) das NA 2, para cada ϵ > 0 existe α ∈ A tal que α + ϵ > sup A. Como por hip´otese sup A = inf B ent˜ao α + ϵ > inf B. (a)
2
Pela defini¸c˜ ao de ´ınfimo, inf B ≤ β para todo β ∈ B. Da´ı e de (a) tem-se que β < α + ϵ. Logo, β − α < ϵ. 2 (⇐) Hip´otese: para todo ϵ > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais que β − α < ϵ. Ser´a mostrado que sup A = inf B por contradi¸c˜ao. Assim, suponha que sup A < inf B. Da´ı, ϵ = inf B − sup A ´e positivo. Como β ≥ inf B para todo β ∈ B e α ≤ sup A para todo α ∈ A ent˜ ao −α ≥ − sup A e ent˜ao β − α ≥ inf B − sup A. Portanto, β − α ≥ ϵ para qualquer α ∈ A e qualquer β ∈ B. O que contradiz a hip´otese. Logo, sup A = inf B Exerc´ıcio 4 Estude as Notas de Aula 3 e fa¸ca o que se pede em cada item abaixo: (a) Mostre que existem trˆes subconjuntos de N que sejam infinitos, enumer´ aveis, diferentes de N e disjuntos dois a dois; (b) Mostre que existem trˆes subconjuntos de Z que s˜ ao infinitos, enumer´ aveis e disjuntos dois a dois. Solu¸ c˜ oes poss´ıveis- (a) A = {3k | k ∈ N}, B = {3k + 1 | k ∈ N}, C = {3k + 2 | k ∈ N} s˜ao exemplos de subconjuntos pr´oprios de N (isto ´e, est˜ao contidos em N mas s˜ao diferentes de N) e, pelo que foi ´ aprendido em Algebra, eles s˜ao tais que A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ e B ∩ C = ∅, isto ´e, os conjuntos s˜ao dois a dois disjuntos. (b) Os conjuntos acima s˜ao subconjuntos de Z e servem como resposta. Tamb´em poder´ıa-se tomar A = {3k | k ∈ Z}, B = {3k + 1 | k ∈ Z}, C = {3k + 2 | k ∈ Z}. Para pensar: dado um n´ umero natural m, como obter m subconjuntos pr´oprios e n˜ao vazios de Z que sejam dois a dois disjuntos? Exerc´ıcio 5 Estude as Notas de Aula 3 e mostre que todas as afirma¸c˜ oes abaixo s˜ ao falsas. Os conjuntos considerados s˜ ao sempre subconjuntos n˜ ao vazios de R . (a) Se A ⊂ B e A ´e conjunto finito ent˜ ao B ´e conjunto finito. (b) Se A ⊂ B e B ´e conjunto infinito ent˜ ao A ´e conjunto infinito. (c) Se A ⊂ B e A ´e conjunto enumer´ avel ent˜ ao B ´e conjunto enumer´ avel. (d) Toda cole¸c˜ ao enumer´ avel C = {A1 , A2 , A3 , . . . , An , . . .} de conjuntos finitos tem uni˜ ao,
∞ ∪
An ,
n=1
finita. (e) Todo subconjunto infinito de R ´e enumer´ avel. (f ) Nenhum subconjunto infinito de R ´e enumer´ avel. (g) Se A e B s˜ ao conjuntos com m e n elementos, respectivamente ent˜ ao A ∪ B possui m + n elementos. (h) Se A e B s˜ ao conjuntos infinitos ent˜ ao A ∩ B ´e um conjunto infinito. (i) Se A e B s˜ ao conjuntos infinitos ent˜ ao A ∩ B ´e um conjunto finito. (j) Para pensar: existem infinitos gr˜ aos de areia na praia de Copacabana. Solu¸ c˜ oes poss´ıveis (n˜ ao necessariamente u ´ nicas): (a) A afirma¸c˜ao ´e falsa pois, por exemplo, existem A = {1, 2, 3} e B = Z tais que A ⊂ B e A ´e conjunto finito mas B n˜ ao ´e conjunto finito. (b) A afirma¸c˜ao ´e falsa pois, por exemplo, existem A = {1, 2, 3} e B = Z tais que A ⊂ B e B ´e conjunto infinito mas A ´e conjunto finito. (c) Existem, por exemplo, A = Q e B = R, onde A ⊂ B e A ´e conjunto enumer´avel mas B n˜ ao ´e conjunto enumer´avel. Portanto, a afirma¸c˜ao ´e falsa. 3
(d) Falsa: Por exemplo, os conjuntos A1 = {1}, A2 = {1, 2}, A3 = {1, 2, 3}, . . . , An = {1, 2, 3, . . . , n}, . . ., ∞ ∪ formam um cole¸c˜ao C = {A1 , A2 , A3 , . . . , An , . . .} de conjuntos finitos mas tais que An = N ´e conn=1
junto infinito. O mesmo acontece para C = {A1 , A2 , A3 , . . . , An , . . .} onde A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = ∞ ∪ {3}, . . . , An = {n}, . . ., pois aqui tamb´em An = N. n=1
(e) Falsa, pois existe por exemplo, o subconjunto Qc = R − Z dos n´ umeros irracionais que ´e infinito e n˜ao ´e enumer´avel. Tamb´em, qualquer intervalo de R ´e subconjunto de R que ´e infinito e n˜ao enumer´avel. (f ) Falsa, pois existe por exemplo, Q que ´e subconjunto de R que ´e infinito e enumer´avel. (g) Falsa. Basta tomar dois subconjuntos finitos de R cuja interse¸c˜ao seja n˜ao vazia. Por exemplo: √ A = {1, 2, 3,√ 2, −1} tem m = 5 elementos e B = {1, 2, 3, 4, 5} tem n = 5 elementos, mas A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 2, −1} tem 7 ̸= 10 elementos. (h) Falso. Por exemplo, existem A = R+ e B = R− que s˜ao conjuntos infinitos mas tais que A ∩ B = {0} ´e conjunto finito. (i) Falso. Por exemplo, existem A = R+ e B = Z que s˜ao conjuntos infinitos mas tais que A ∩ B = {q ∈ Z | q ≥ 0} ´e conjunto infinito. (j) Falso. Pesquise!!! Exerc´ıcio 6 Estude as Notas de Aula 02 e 03 e diga se as afirma¸c˜ oes abaixo s˜ ao verdadeiras ou falsas. Justifique completamente suas respostas. Para as verdadeiras, vocˆe pode indicar defini¸c˜ oes estudadas ou os resultados (proposi¸co ˜es, teoremas, etc) provados no livro-texto para justificar suas respostas. (a) [2, 3) ∩ Q ´e um conjunto enumer´ avel. (b) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero racional. (c) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero irracional. (d) Entre dois n´ umeros inteiros existe um n´ umero inteiro. (e) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero inteiro. (f ) Entre dois n´ umeros reais existem infinitos n´ umeros racionais. Entre dois n´ umeros reais existem infinitos n´ umeros irracionais. (g) Todo subconjunto infinito de R ´e ilimitado. (h) Todo subconjunto enumer´ avel de R ´e ilimitado. (i) Para cada n´ umero real x existe um n´ umero natural maior do que x. Resolu¸ c˜ ao (a) Verdade. Pelo Teorema 3.6(a)da NA 3, todo subconjunto de conjunto enumer´ avel ´e enumer´avel: no caso, [2, 3) ∩ Q ⊂ Q e Q ´e conjunto enumer´avel (Teorema 3.9). Os itens (b) e (c) s˜ao verdadeiras, pelo Teorema da Densidade (Teorema 2.4, NA 2). A afirma¸c˜ao (d) ´e falsa: 2 e 3 s˜ao n´ umeros inteiros e n˜ao existe inteiro entre 2 √e 3. O mesmo exemplo mostra que (e) ´e tamb´em falsa. Outro exemplo: entre os n´ umeros reais 1/2 e 2/2 n˜ao existe nenhum n´ umero inteiro. As duas afirma¸c˜oes de (f) s˜ao consequˆencias do Teorema de Densidade A afirma¸c˜ao (g) ´e falsa pois qualquer intervalo da forma (a, b) ou [a, b] ´e subconjunto infinito de R que ´e limitado (inferiormente por a e superiormente por b).
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A afirma¸c˜ao (h) ´e falsa pois, por exemplo, o conjunto [2, 3) ∩ Q ´e enumer´avel (vide item (a)) e ´e limitado inferiormente por 2 e superiormente por 3. Aten¸c˜ao: Este conjunto n˜ao ´e um intervalo - vide a caracteriza¸c˜ao dos intervalos na aula 5 do livro-texto. A afirma¸c˜ao (i) ´e uma das formula¸c˜oes da Propriedade Arquimediana dos n´ umeros reais e, portanto, verdadeira.
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